সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

PrepBank · পাতা ১০ / ২৯ · ৯০১–১,০০০ / ২,৮৯২

৯০১.

x² = √5x সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি?

ক
{2, √5}
খ
{√5, 1}
গ
{1, 0}
ঘ
{0, √5}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² = √5x সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি?
সমাধান:
x² = √5x
বা, x² - √5x = 0
বা, x (x - √5) = 0

হয়,
x = 0

অথবা,
(x - √5) = 0
বা, x = √5

∴ সমাধান সেট: {0,√5}

৯০২.

x² - 3x - 4 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
(x - 4)(x + 1)
খ
(x + 4)(x - 1)
গ
(x + 4)(x + 1)
ঘ
(x - 4)(x - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 3x - 4 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - 3x - 4
= x² - 4x + x - 4
= x(x - 4) +1(x - 4)
= (x - 4)(x + 1)

৯০৩.

ক
3/4
খ
1/4
গ
1/3
ঘ
5/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯০৪.

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশকের অংক এককের অংক অপেক্ষা ২ বেশি। সংখ্যাটি এর অংকদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি কত?

ক
৭৫
খ
৬৪
গ
৫৩
ঘ
৩১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশকের অংক এককের অংক অপেক্ষা ২ বেশি। সংখ্যাটি এর অংকদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = ক
দশক স্থানীয় অংক = (ক + ২)
∴সংখ্যাটি = ১০(ক + ২) + ক
= ১১ক + ২০

শর্তানুসারে,
১১ক + ২০ = ৭(ক + ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ৭(২ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ১৪ক + ১৪ + ৩
বা, ৩ক = ৩
∴ ক = ১

সংখ্যাটি = ১১ × ১ + ২০
= ৩১

৯০৫.

x + 1/x = 5 হলে, 1/(x² - 5x + 1) = ?

ক
0
খ
1
গ
∞
ঘ
উপরের কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

x + 1/x = 5
⇒ (x² + 1)/x = 5
⇒ x² + 1 = 5x
⇒ x² - 5x + 1 = 0

এখন,
1/(x² - 5x + 1)
= 1/0
= ∞

৯০৬.

3x + 4y = 14, 4x - 3y = 2 হলে x - y এর মান কত?

ক
0
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 4y = 14, 4x - 3y = 2 হলে x - y এর মান কত?

সমাধান:
3x + 4x = 14....................(1)
4x - 3y = 2....................(2)

(1) × 3 + (2) × 4 ⇒
9x + 12y + 16x - 12y = 42 + 8
25x = 50
x = 2

(1) ⇒
3x + 4x = 14
3 × 2 + 4x = 14
6 + 4x = 14
4x = 14 - 6
4x = 8
x = 2

x - y = 2 - 2 = 0

৯০৭.

3x + y = 9 এবং 5x - y = 7 হলে, x ও y এর মান হবে যথাক্রমে -

ক
ক) 3, - 2
খ
খ) 4, - 3
গ
গ) 2, 3
ঘ
ঘ) 1, 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + y = 9 এবং 5x - y = 7 হলে, x ও y এর মান হবে যথাক্রমে -

সমাধান:
3x + y = 9 ............... (1)
5x - y = 7 ..............(2)

(1) + (2) নং হতে পাই,
8x = 16
∴ x = 2

(1) নং হতে পাই,
(3 × 2) + y = 9
∴ y = 3

∴ (x, y) = (2, 3)

৯০৮.

x - y = 7 এবং xy = 60 হলে, x = ?

ক
ক) -12
খ
খ) 5
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

x - y = 7
∴ y = x - 7......(1)

আবার, xy = 60
বা, x(x - 7) = 60 [y = x - 7 বসিয়ে]
বা, x² - 7x - 60 = 0
বা, x² - 12x + 5x - 60 = 0
বা, x(x - 12) + 5(x - 12) = 0
বা, (x - 12)(x + 5) = 0
∴ x = -5, 12

৯০৯.

একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে। প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 12 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণিতে কতজন ছাত্র আছে?

ক
68 জন
খ
76 জন
গ
72 জন
ঘ
80 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে। প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 12 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণিতে কতজন ছাত্র আছে?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = x টি

১ম শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 4(x - 2) জন = (4x - 8) জন
২য় শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 3x +12 জন

∴ 4x - 8 = 3x +12
⇒ 4x - 3x = 12 + 8
⇒ x = 20
∴ ছাত্র সংখ্যা = 4 × 20 - 8 = 72 জন

৯১০.

(4m + 2n)³ + 3(4m + 2n)² (m - 2n) + 3(4m + 2n)(m - 2n)² + (m - 2n)³ এর সরল কত হবে?

ক
ক) 125m
খ
খ) 125m²
গ
গ) 125m³
ঘ
ঘ) 125

ব্যাখ্যা

(4m + 2n)³ + 3(4m + 2n)² (m - 2n) + 3(4m + 2n)(m - 2n)² + (m - 2n)³
= {(4m + 2n) + (m - 2n)}³
= (4m + 2n + m - 2n)³
= (5m)³
= 125m³

৯১১.

xyz = 240 হলে কোনটি y এর মান হতে পারে না?

ক
ক) 0
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

y এর মান শূন্য হলে xyz এর মান 0 হয়ে যাবে; যা প্রশ্নোক্ত সমীকরণের সাথে সাংঘর্ষিক। তাই y এর মান 0 হতে পারে না।

৯১২.

সমাধান করুনঃ x/5 - 2/7 = 5x/7 - 4/5

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

x/5 - 2/7 = 5x/7 - 4/5
বা, x/5 - 5x/7 = 2/7 - 4/5
বা, (7x - 25x)/35 = (10-28)/35
বা, -18x/35 = -18/35
∴ x = 1

৯১৩.

দুইটি সংখ্যার যোগফল ৫৫। ছোট সংখাটির ৬ গুণ বড় সংখ্যাটির ৫ গুণের সমান হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
২০
খ
২৫
গ
৩০
ঘ
৩৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুদুইটি সংখ্যার যোগফল ৫৫। ছোট সংখাটির ৬ গুণ বড় সংখ্যাটির ৫ গুণের সমান হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
তাহলে, বড় সংখ্যাটি = ৫৫ - ক

প্রশ্নমতে,
৬ক = ৫(৫৫ - ক)
বা, ৬ক = ২৭৫ - ৫ক
বা, ৬ক + ৫ক = ২৭৫
বা, ১১ক = ২৭৫
বা, ক =২৭৫/১১
∴ ক = ২৫

∴ ছোট সংখ্যাটি ২৫।

৯১৪.

কোনাে স্থানে যতজন লােক ছিল প্রত্যেকে তত ৬ টাকা করে চাঁদা দেয়ায় মােট ৫৪০০ টাকা আদায় হলাে। এখানে লােকসংখ্যা কত?

ক
ক) ২০
খ
খ) ৩০
গ
গ) ৪০
ঘ
ঘ) ৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনাে স্থানে যতজন লােক ছিল প্রত্যেকে তত ৬ টাকা করে চাঁদা দেয়ায় মােট ৫৪০০ টাকা আদায় হলাে। এখানে লােকসংখ্যা কত?

সমাধান:
মনেকরি
লোকসংখ্যা ক জন

প্রশ্নমতে,
৬ক × ক = ৫৪০০
৬ক^২= ৫৪০০
ক^২ =৯০০
ক^২ = ৩০^২
ক = ৩০

৯১৫.

ক
28
খ
18
গ
12
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯১৬.

a = 16 - 5b এবং b = a/3 হলে, a এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 16 - 5b এবং b = a/3 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
b = a/3
বা, a = 3b …… (i)

আবার,
a = 16 - 5b
বা, a + 5b = 16
বা, 3b + 5b = 16 [(i) নং হতে a এর মান বসিয়ে]
বা, 8b = 16
বা, b = 16/8
∴ b = 2

b এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
a = 3 × 2
∴ a = 6

∴ a এর মান 6.

৯১৭.

px + qy = r এবং qx + py = s সহ-সমীকরণের সমাধানে x + y এর মান কত?

ক
(p + q)/(r + s)
খ
(r + s)/(p + q)
গ
rs/pq
ঘ
(r + s)/pq

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: px + qy = r এবং qx + py = s সহ-সমীকরণের সমাধানে x + y এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
px + qy = r .........(i)
qx + py = s ......(ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
(px + qy) + (qx + py) = r + s
⇒ (px + py) + (qx + qy) = r + s
⇒ p(x + y) + q(x + y) = r + s
⇒ (p + q)(x + y) = r + s
∴ x + y = (r + s) / (p + q)

৯১৮.

৪ - (১ ÷ ১) - ১ + {(২ - ১/২) ^-১ এর ৩} এর মান কত?

ক
ক) ৪
খ
খ) ৫
গ
গ) ৬
ঘ
ঘ) ৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪ - (১ ÷ ১) - ১ + {(২ - ১/২) ^-১ এর ৩} এর মান কত?

সমাধান:
৪ - (১ ÷ ১) - ১ + {(২ - ১/২) ^-১ এর ৩}
= ৪ - ১- ১ + {(৩/২)^-১ এর ৩}
= ৪ - ২ + (৩ × ২/৩)
= ২ + ২
= ৪

৯১৯.

(a/4) - (a/5) = (a + 1)/10 হলে, a এর মান কত?

ক
1/2
খ
-1
গ
1
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a/4) - (a/5) = (a + 1)/10 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
(a/4) - (a/5) = (a + 1)/10
⇒ (5a - 4a)/20 = (a + 1)/10
⇒ a/20 = (a + 1)/10
⇒ 20a + 20 = 10a
⇒ 20a - 10a = - 20
⇒ 10a = - 20
⇒ a = (- 20)/10
∴ a = - 2

সুতরাং, a এর মান = - 2

৯২০.

পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণের চেয়ে ৪ বছর বেশি। ৪ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ১০০ বছর হলে, পিতার বর্তমান বয়স কত?

ক
৭০ বছর
খ
৬৪ বছর
গ
৫২ বছর
ঘ
৭২ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণের চেয়ে ৪ বছর বেশি। ৪ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ১০০ বছর হলে, পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৩ক + ৪ বছর

৪ বছর পর,
পুত্রের বয়স = ক + ৪ বছর
পিতার বয়স = (৩ক + ৪) + ৪ = ৩ক + ৮ বছর

প্রশ্নমতে,
(ক + ৪) + (৩ক + ৮) = ১০০
⇒ ৪ক + ১২ = ১০০
⇒ ৪ক = ৮৮
⇒ ক = ২২

∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ২২ বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৩ × ২২) + ৪ = ৭০ বছর

৯২১.

a = 1, b = - 1, c = 2, d = - 2 হলে, a - ( - b) - (- C) - ( - d) এর মান কত?

ক
1
খ
0
গ
2
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 1, b = - 1, c = 2, d = - 2 হলে, a - (- b) - (- C) - ( - d) এর মান কত?

সমাধান:
a - ( - b) - ( - c) - ( - d)
= a + b + c + d
= 1 + ( - 1) + (2) + ( - 2)
= 1 - 1 + 2 - 2
= 0

৯২২.

2x + y = - 7 এবং 3x - 2y = 0 হলে, x - y এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
- 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + y = - 7 এবং 3x - 2y = 0 হলে, x - y এর মান কত?

সমাধান:
2x + y = - 7..........(i)
3x - 2y = 0..........(ii)

(i) নং সমীকরণেকে ২ দ্বারা গুণ করে (ii) নং এর সাথে যোগ করে পাই।
4x + 2y + 3x - 2y = - 14 + 0
বা, 7x = - 14
বা, x = - 14/7
∴ x = - 2

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2(- 2) + y = - 7
বা, y = - 7 + 4
∴ y = - 3

∴ x - y = - 2 + 3 = 1

৯২৩.

কোন সংখ্যার দ্বিগুনের সাথে 3 যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা 7 বেশি হয়। সংখ্যাটি নির্ণয় করুন।

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, 2x + 3 = x + 7
∴ x = 7 - 3 = 4

৯২৪.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো একটি সংখ্যার, একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অংকের চারগুণ। অঙ্ক দুইটির সমষ্টি ১০ হলে সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 46
খ
খ) 28
গ
গ) 41
ঘ
ঘ) 82

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো একটি সংখ্যার, একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অংকের চারগুণ। অঙ্ক দুইটির সমষ্টি ১০ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি
দশক স্থানীয় অঙ্ক = x
একক স্থানীয় অঙ্ক = 4x

প্রশ্নমতে,
x + 4x = 10
5x = 10
x = 2

দশক স্থানীয় অঙ্ক = 2
একক স্থানীয় অঙ্ক = 8
সংখ্যাটি = 28

৯২৫.

দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 41 এবং তাদের বর্গের অন্তরফল 9 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

ক
ক) (5,4)
খ
খ) (6,5)
গ
গ) (6,7)
ঘ
ঘ) (7,5)

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
সংখ্যা দুটি x এবং y

১ম শর্তমতে
x² + y² = 41........... (1)

২য় শর্তমতে,
x² - y² = 9 ............. (2)

(1)নং এবং (2)নং যোগ করে পাই,
x² + y² + x² - y² = 41 + 9
2x² = 50
x² = 25
x² = 5²
x = 5

(1)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই
x² + y² = 41
5² + y² = 41
25 + y² = 41
y² = 41 - 25
y² =16
y² = 4²
y = 4

৯২৬.

দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৯৯ এবং অন্তরফল ৯ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৪০
খ
খ) ৪৫
গ
গ) ৫০
ঘ
ঘ) ৫৪

ব্যাখ্যা

ধরি, বড় সংখ্যাটি ক। প্রশ্নমতে, ক + (ক - ৯) = ৯৯
⇒ ২ক = ১০৮
⇒ ক = ৫৪

৯২৭.

2a - b = 6 এবং ‍a - 2b = 2 হলে a + b = কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a - b = 6 এবং ‍a - 2b = 2 হলে a + b = কত?

সমাধান:
2a - b = 6 .................. (1)
a - 2b = 2 .................. (2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
2a - b - (a - 2b) = 6 - 2
⇒ 2a - b - a + 2b = 4
∴ a + b = 4

৯২৮.

ax - by = a - b, ax + by = a + b হলে x + y এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) - 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ax - by = a - b, ax + by = a + b হলে x + y এর মান কত?

সমাধান:
ax - by = a - b.................(1)
ax + by = a + b.................(2)

(1) + (2) ⇒
ax - by + ax + by = a - b + a + b
2ax = 2a
x = 2a/2a
x = 1

(2) ⇒
ax + by = a + b
1. a + by = a + b
a + by = a + b
by = a + b - a
by = b
y = 1

x + y = 1 + 1 = 2

৯২৯.

দুইটি সংখ্যার গুণফল ১৫৬ এবং তাদের বর্গের যোগফল ৩১৩। সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

ক
২৫
খ
২৩
গ
২৭
ঘ
২৯

ব্যাখ্যা

xy = 156 ----(1)
x²+ y² = 313 ---(2)
আমরা জানি, (x + y)² = x²+ y² + 2xy
= 313 + 2×156
= 625
∴ x + y = 25

৯৩০.

a/b = 4, a + 2b = 12 হলে, a এর মান কত?

ক
ক) 12
খ
খ) 16
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a/b = 4, a + 2b = 12 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a/b = 4
a = 4b..............(1)

এখন
a + 2b = 12
বা, 4b + 2b = 12
বা, 6b = 12
বা, b = 12/6
b = 2

(1) নং ⇒
a = 4b
= 4 × 2
= 8

৯৩১.

একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল 90 হয়, সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 24
খ
খ) 16
গ
গ) 18
ঘ
ঘ) 20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল 90 হয়, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
3x + 2x = 90
বা, 5x = 90
বা, x = 90/5
∴ x = 18

∴ সংখ্যাটি = 18

৯৩২.

একজন ব্যাটসম্যান 21টি বাউন্ডারি ও ওভার বাউন্ডারির মাধ্যমে 96 রান করে। তার বাউন্ডারির সংখ্যা কত?

ক
15
খ
16
গ
14
ঘ
13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন ব্যাটসম্যান 21টি বাউন্ডারি ও ওভার বাউন্ডারির মাধ্যমে 96 রান করে। তার বাউন্ডারির সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বাউন্ডারি এর সংখ্যা = x
ওভার বাউন্ডারি এর সংখ্যা = (21 - x)

প্রশ্নমতে,
4x + 6(21 - x) = 96
4x + 126 - 6x = 96
- 2x = -30
x = 15
সুতরাং, বাউন্ডারি এর সংখ্যা = 15.

৯৩৩.

ক
11/3
খ
7/2
গ
3/5
ঘ
8/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯৩৪.

2log₂x - log₂(x - 4) = 4 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

ক
8
খ
6
গ
2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2log₂x - log₂(x - 4) = 4 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
2log₂x - log₂(x - 4) = 4
⇒ log₂x² - log₂(x - 4) = 4
⇒ log₂ [x²/(x - 4)] = 4
⇒ x²/(x - 4) = 2⁴ = 16
⇒ x² = 16(x - 4)
⇒ x² = 16x - 64
⇒ x² - 16x + 64 = ০
⇒ (x - 8)² = ০
⇒ x = 8

৯৩৫.

যদি x/y = 2/3 হয় তবে (6x + y)/(3x + 2y) এর মান কত?

ক
4/5
খ
5/4
গ
14/15
ঘ
20/13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x/y = 2/3 হয় তবে (6x + y)/(3x + 2y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x/y = 2/3
⇒ 2y = 3x
⇒ y = (3/2)x
∴ y = 3x/2

এখন,
(6x + y)/(3x + 2y)
= {6x + (3x/2)}/{3x + 2(3x/2)} [ y = 3x/2 ]
= {(12x + 3x)/2}/{3x + 3x}
= 15x/12x
= 5/4

৯৩৬.

y = x²সমীকরনে x = 3 বসালে 'y' এর মান কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 9
গ
গ) 27
ঘ
ঘ) 15

ব্যাখ্যা

y = x²
⇒ y = 3² = 9

৯৩৭.

দুই অংক বিশিষ্ট কোন সংখ্যার অংকদ্বয়ের যোগফল 9 এবং বিয়োগফল 1 হলে, সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 72
খ
খ) 45
গ
গ) 36
ঘ
ঘ) 63

ব্যাখ্যা

মনে করি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = x
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y
সংখ্যাটি x + 10y

প্রশ্নমতে,
x + y = 9 .......... (1)
x - y = 1 .......... (2)

(1)নং ও (2) নং যোগ করে পাই
x + y + x - y = 9 + 1
2x = 10
x= 5

(1) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই
5 + y = 9
y = 9 - 5
y = 4

সংখ্যাটি = 5 + (10 × 4) = 45

৯৩৮.

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 5 ও 1 হলে, সমীকরণটি-

ক
x² - 6x + 5 = 0
খ
x² - 6x - 5 = 0
গ
x² - 15x + 5 = 0
ঘ
x² - 15x - 5 = 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 5 ও 1 হলে, সমীকরণটি-

সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 5 ও 1 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x² - (মুলদ্বয়ের যোগফল)x + মুলদ্বয়ের গুণফল = 0
⇒ x² - (5 + 1)x + 5 × 1 = 0
⇒ x² - 6x + 5 = 0

৯৩৯.

(x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²) হলে, x এর মান কত?

ক
ক) ab
খ
খ) a/b
গ
গ) a + b
ঘ
ঘ) (a +b)/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²)
বা,(x - a)/(a + b) (a - b) = (x - b)/- (a + b) (a - b)
বা, (x - a) = - (x - b)
বা, x - a = - x + b
বা, x + x = a + b
বা, 2x = a + b
বা, x = (a + b)/2
∴ x = 1/2 (a + b)

৯৪০.

দুই অংকের একটি সংখ্যার অংক দুটি পরস্পর স্থান বিনিময় করলে তাদের মান পূর্ববর্তী মানের চেয়ে ১৮ কম হয়। সংখ্যাটির অংকদ্বয়ের যোগফল ৪ হলে সংখ্যা দুইটি কত?

ক
১৩, ৩১
খ
১৩, ২২
গ
৩১, ২২
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংকের একটি সংখ্যার অংক দুটি পরস্পর স্থান বিনিময় করলে তাদের মান পূর্ববর্তী মানের চেয়ে ১৮ কম হয়। সংখ্যাটির অংকদ্বয়ের যোগফল ৪ হলে সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
দশক স্থানীয় অংক = x
একক স্থানীয় অংক = y

সংখ্যাটি = 10x + y
অংক দুটি পরস্পর স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10y + x
এখন
10y + x = 10x + y - 18
10y + x - 10x - y = - 18
9y - 9x = - 18
- 9(x - y) = - 18
x - y = 2 ......................(1)

আবার
x + y = 4..................(2)

(1) + (2) ⇒
x - y + x + y = 2 + 4
2x = 6
x = 3

(2)⇒
x + y = 4
3 + y = 4
y = 4 - 3
y = 1

সংখ্যা দুইটি = 31 ও 13

৯৪১.

xy = 2 এবং xy² = 8 হলে x = ?

ক
1/3
খ
1/4
গ
1/2
ঘ
1/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: xy = 2 এবং xy² = 8 হলে x = ?

সমাধান:
xy = 2 ............ (1)
xy² = 8 ............(2)

(2) ÷ (1) হতে পাই,
(xy²)/(xy) = 8/2
∴ y = 4

এখন,
xy = 2
⇒ x = 2/y
⇒ x = 2/4
∴ x = 1/2

৯৪২.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ১২
খ
খ) ১৪
গ
গ) ২৪
ঘ
ঘ) ২৮

ব্যাখ্যা

ধরি এককের অংক y এবং দশকের অংক x ; তাহলে সংখ্যাটি = 10x+y

প্রশ্নমতে, 10(x+3) + y - 2 = 3(10x+y)
⇒ 10x + 30 + y - 2 = 30x + 3y
⇒ 10x + y + 28 = 30x + 3y
⇒ 20x + 2y = 28
⇒ 2(10x + y) = 28
⇒ 10x + y = 14

সুতরাং, সংখ্যাটি 14

৯৪৩.

240 জন লোক একটি বনভোজনে যায়। সেখানে যতজন মহিলা ছিল তার থেকে 20 জন পুরুষ বেশি ছিল। আবার যতজন শিশু ছিল তার থেকে 20 জন প্রাপ্তবয়ষ্ক লোক বেশি ছিল। বনভোজনে কতজন মহিলা ছিল?

ক
55 জন
খ
60 জন
গ
65 জন
ঘ
70 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 240 জন লোক একটি বনভোজনে যায়। সেখানে যতজন মহিলা ছিল তার থেকে 20 জন পুরুষ বেশি ছিল। আবার যতজন শিশু ছিল তার থেকে 20 জন প্রাপ্তবয়ষ্ক লোক বেশি ছিল। বনভোজনে কতজন মহিলা ছিল?

সমাধান:
ধরি,
পুরুষ = a জন
মহিলা = a – 20 জন
শিশু = (a + a – 20) – 20 = 2a – 40 জন

প্রশ্নমতে,
a + (a – 20) + (2a – 40) = 240
বা, 4a – 60 = 240
বা, 4a = 300
বা, a = 75
অতএব, মহিলার সংখ্যা = 75 – 20 = 55 জন

৯৪৪.

একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ২ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
৫২ জন
খ
৫৬ জন
গ
৬০ জন
ঘ
৭৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ২ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = কটি

একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ৪) × ৪ জন

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসলে ২ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ২ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৪) × ৪ = ৩ক + ২
⇒ ৪ক - ১৬ = ৩ক + ২
⇒ ৪ক - ৩ক = ২ + ১৬
⇒ ক = ১৮

অতএব, বেঞ্চ আছে ১৮টি।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ২ জন
= (৩ × ১৮) + ২ জন
= ৫৪ + ২ জন
= ৫৬ জন

সুতরাং, ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা হলো ৫৬ জন।

৯৪৫.

x + 2y = 9
2x - y = 3
উপরোক্ত সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কোনটি?

ক
ক) (3, 3)
খ
খ) (2, -1)
গ
গ) (5, 1)
ঘ
ঘ) (2, 4)

ব্যাখ্যা

x + 2y = 9 or, x = 9 - 2y
এখন, 2x - y = 3
or, 2(9 - 2y) - y = 3
or, 18 - 4y - y = 3
or, 5y = 15
or, y = 3
∴ x = 9 - 2 × 3 = 9 - 6 = 3
∴ নির্ণেয় সমাধানঃ (x, y) = (3, 3)
-------------------------------
short-cut
(3, 3) এর জন্য, 3 + 2 × 3 = 9; 2 × 3 - 3 = 3। তাই অপশনের ক) সঠিক

৯৪৬.

একটি সংখ্যার 4 গুণের সাথে 10 যোগ করা হলে উত্তর হয় সংখ্যাটির 5 গুণ অপেক্ষা 5 কম। সংখ্যাটি কত?

ক
30
খ
20
গ
25
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4 গুণের সাথে 10 যোগ করা হলে উত্তর হয় সংখ্যাটির 5 গুণ অপেক্ষা 5 কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি
সংখাটি = x

প্রশ্নমতে
4x + 10 = 5x - 5
বা, 10 + 5 = 5x - 4x
বা, 15 = x
∴ x = 15

৯৪৭.

একটি বন্দুকের গুলি প্রতি সেকেন্ডে ১,৫৪০ ফুট গতিবেগে লক্ষ্যভেদ করে। এক ব্যক্তি বন্দুক ছুঁড়বার ৩ সেকেন্ড পরে লক্ষ্যভেদের শব্দ শুনতে পায়। শব্দের গতি প্রতি সেকেন্ডে ১১০০ ফুট। লক্ষ্য বস্তুর দূরত্ব কত?

ক
ক) ২০২৫ ফুট
খ
খ) ১৯২৫ ফুট
গ
গ) ১৯৭৫ ফুট
ঘ
ঘ) ১৮৭৫ ফুট

ব্যাখ্যা

ধরি,
লক্ষবস্তুর দূরত্ব = x মিটার

x মিটার যেতে বুলেটের সময় লাগে x/১৫৪০ সেকেন্ড
x মিটার আসতে শব্দের সময় লাগে x/১১০০ সেকেন্ড

প্রশ্নমতে,
(x/১৫৪০) + (x/১১০০) = ৩
বা, (৫x + ৭x)/৭৭০০ = ৩
বা ,১২x = ৩ × ৭৭০০
বা, ১২x = ২৩১০০
বা, x = ২৩১০০/১২
বা, x = ১৯২৫

৯৪৮.

কোন ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয় । ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 3/5
খ
খ) 4/5
গ
গ) 3/4
ঘ
ঘ) 4/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয় । ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটি x/y

১ম শর্তমতে
(x + 7)/y = 2
⇒ x + 7 = 2y
∴ x - 2y = - 7..............(1)

২য় শর্তমতে
x/(y - 2) = 1
⇒ x = y - 2
∴ x - y = - 2..............(2)

(1) নং - (2) নং ⇒
x - 2y - x + y = -7 + 2
⇒ - y = - 5
∴ y = 5

(2) নং ⇒
x - 5 = - 2
⇒ x = -2 + 5
∴ x = 3

ভগ্নাংশটি = 3/5

৯৪৯.

3x²- 7x + 11 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল কত?

ক
- 3/7
খ
- 7/3
গ
3/11
ঘ
11/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x²- 7x + 11 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
3x² - 7x + 11 = 0 সমীকরণের মুলদ্বয় a ও b

আমরা জানি,
ab = ধ্রুবক পদ/x² এর সহগ
ab= 11/3

৯৫০.

দুইটি সংখ্যার বর্গের যোগফল ৮০ এবং তাদের পার্থক্যের বর্গ ৩৬। সংখ্যাদ্বয়ের গুনফল কত?

ক
ক) ৪৪
খ
খ) ২২
গ
গ) ২৬
ঘ
ঘ) ৩২

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যা দুইটি ক ও খ।
প্রশ্নমতে, ক² + খ² = ৮০ এবং (ক-খ)² = ৩৬
ক² + খ² = (ক-খ)² + ২কখ
বা, ২কখ = ৮০-৩৬ = ৪৪
বা, কখ = ২২

৯৫১.

একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও 25 পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট 75 টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

ক
ক) 70 জন
খ
খ) 75 জন
গ
গ) 80 জন
ঘ
ঘ) 100 জন

ব্যাখ্যা

মনে করি,
ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা x জন

প্রশ্নমতে,
x(x+25) = 75 × 100 [∵ 75 টাকা = 7500 পয়সা]
⇒ x² + 25x -7500 = 0
⇒ x² +100x - 75x-7500 = 0
⇒ x(x+100) -75(x+100) = 0
হয় অথবা
x-75 = 0 x + 100=0
∴ x=75 x = -100 [ গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ ঐ শ্রেণিতে 75 জন ছাত্র ছাত্রী আছে।

৯৫২.

যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y = কত?

ক
3
খ
4
গ
- 3
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y = কত?

সমাধান:
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0 [y = - 4]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4

∴ 4x + y = 4 × (1/4) + (- 4)
= 1 - 4
= - 3.

৯৫৩.

একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসালে 4টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে বসালে 10 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। শ্রেণির মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
140 জন
খ
210 জন
গ
180 জন
ঘ
60 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসালে 4টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে বসালে 10 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। শ্রেণির মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনেকরি, ছাত্রসংখ্যা x
6 জন করে ছাত্র বসলে বেঞ্চসংখ্যা = (x/6) + 4
5 জন করে ছাত্র বসলে বেঞ্চসংখ্যা = (x - 10)/5

∴ (x/6) + 4 = (x - 10)/5
⇒ (x + 24)/6 = (x - 10)/5
⇒ 5x + 120 = 6x - 60
⇒ 6x - 5x = 120 + 60
∴ x = 180

∴ ঐ শ্রেণির মোট ছাত্র সংখ্যা 180 জন।

৯৫৪.

6a - b = 1 এবং - 6a + 5b = 7 সমীকরণে (a, b) এর মান কত?

ক
(1/2, 2)
খ
(1, 1/2)
গ
(2, 2)
ঘ
(2, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6a - b = 1 এবং - 6a + 5b = 7 সমীকরণে (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
6a - b = 1 ........... (1)
- 6a + 5b = 7 ........... (2)

(1) + (2) ⇒
6a - b - 6a + 5b = 1 + 7
⇒ 4b = 8
∴ b = 2

(1) নং থেকে পাই,
6a - 2 = 1
⇒ 6a = 3
∴ a = 1/2

∴ (a, b) = (1/2, 2)

৯৫৫.

দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

ক
ক) (7, 6)
খ
খ) (7, 4)
গ
গ) (5, 7)
ঘ
ঘ) (6, 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি x এবং y

∴ x² + y²= 61..........(¡)
x² - y² = 11..........(¡¡)
---------------------------------------
(+) করে, 2x² = 72
বা, x² = 72/2
বা, x² = 36
বা, x² = 6²
∴ x = 6
(¡) নং হতে পাই,
y² = 61 - x²
বা, y² = 61 - (6)²
বা, y² = 61 - 36
বা, y² = 25
বা, y² = 5²
∴ y = 5

∴ (x, y) = (6, 5)

৯৫৬.

a = 3b = 5c এবং abc =225 হলে c এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
8
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 3b = 5c এবং abc =225 হলে c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 5c
এবং
3b = 5c
⇒ b = (5/3) × c

এখন,
abc = 225
বা, 5c × (5/3)c × c = 225
বা, (25/3) c³ = 225
বা, c³ = (225 × 3)/25
বা, c³ = 27
বা, ³√c³ = ³√27 = (3³)^1/3
বা, c = 3

৯৫৭.

(x+y)⁴ বিস্তৃতিতে দ্বিপদী সহগ গুলো কি কি?

ক
ক) 1, 4, 6, 4, 1
খ
খ) 1, 3, 5, 3, 1
গ
গ) 2, 4, 6, 4, 2
ঘ
ঘ) 2, 3 ,5 ,3 ,1

ব্যাখ্যা

সরাসরি সূত্র প্রয়োগ করে বের করা যাবে।
n = 1 (1, 1)
n = 2 (1, 2, 1)
n = 3 (1, 3, 3, 1)
n = 2 (1, 4, 6, 4, 1)

৯৫৮.

সমীকরণের সমাধান কত?

ক
1/4
খ
1/2
গ
3/4
ঘ
5/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমীকরণের সমাধান কত?

সমাধান:

৯৫৯.

(x - y, 3) = (0, x + 2y) হলে, (x, y) = কত?

ক
(1, 1)
খ
(1, 3)
গ
(- 1, 3)
ঘ
(1, - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - y, 3) = (0, x + 2y) হলে (x, y) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x - y, 3) = (0, x + 2y)
∴ x - y = 0 ...........(1)
x + 2y = 3 ..........(2)

(2) - (1) নং হতে পাই,
x + 2y - (x - y) = 3 - 0
বা, x + 2y - x + y = 3
বা, 3y = 3
∴ y = 1

(1) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,
x - y = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1

∴ নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (1, 1) ।

৯৬০.

একটি শ্রেণিকক্ষে যদি প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসানো হয়, তবে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার যদি প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসানো হয়, তাহলে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীতে মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

ক
66 জন
খ
60 জন
গ
50 জন
ঘ
55 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষে যদি প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসানো হয়, তবে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার যদি প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসানো হয়, তাহলে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীতে মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = x জন

১ম ক্ষেত্রে,
4 জন বসে 1 টি বেঞ্চে
∴ x জন বসে x/4 টি বেঞ্চে
∴ ১ম ক্ষেত্রে, মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/4) + 3 টি

২য় ক্ষেত্রে,
3 জন বসে 1 টি বেঞ্চে
∴ (x - 6) জন বসে (x - 6)/3 টি বেঞ্চে

তাহলে,
(x/4) + 3 = (x - 6)/3
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3
বা, 4x - 24 = 3x + 36
বা, 4x - 3x = 36 + 24
∴ x = 60

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = 60 জন

৯৬১.

x + 3y = 7 এবং y/x = 1/4 হলে, x এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
3
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 3y = 7 এবং y/x = 1/4 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x + 3y = 7.......(i)
y/x = 1/4
x = 4y

(i) হতে পাই,
4y + 3y = 7
7y = 7
y = 1

x = 4y = 4

৯৬২.

x² + y² + 5xy এর সাথে কত যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

ক
3xy
খ
- 3xy
গ
2xy
ঘ
- 2xy

ব্যাখ্যা

x² + y² + 5xy = x² + y² + 2xy + 3xy = (x + y)² + 3xy
(x + y)² + 3xy এর সাথে - 3xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে।
(x + y)² + 3xy + ( - 3xy) = (x + y)²

৯৬৩.

দুটি সংখ্যার যোগফল 150 এবং তাদের বিয়োগফল 10 হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 70
খ
খ) 75
গ
গ) 80
ঘ
ঘ) 90

ব্যাখ্যা

মনেকরি
বৃহত্তম সংখ্যা = x
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = y

x + y = 150...... (1)
x - y = 10..............(2)

(1)নং এবং (2)নং যোগ করে পাই
x + y + x - y = 150 + 10
2x = 160
x = 80

৯৬৪.

কোনো সংখ্যার ২০% এর সাথে ২৪ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যাটি হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৩০
খ
খ) ৩৬
গ
গ) ৪০
ঘ
ঘ) ৪৮

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যাটি ক
শর্তমতে, ক এর ২০% + ২৪ = ক
২০ক/১০০ + ২৪ =ক
ক - ২০ক/১০০ = ২৪
(১০০ক - ২০ক)/১০০ = ২৪
৮০ক = ২৪ × ১০০ = ২৪০০
ক = ৩০
অর্থাৎ, উক্ত সংখ্যাটি ৩০

৯৬৫.

বার্ষিক ক্রীড়া অনুষ্ঠান করার জন্য কোনো এক সমিতির সদস্যরা 45,000 টাকার বাজেট করলেন এবং সিদ্ধান্ত নিলেন যে, প্রত্যেক সদস্যই সমান চাঁদা দিবেন। কিন্তু 5 জন সদস্য চাঁদা দিতে অসম্মতি জানালেন। এর ফলে প্রত্যেক সদস্যের মাথাপিছু 15 টাকা চাঁদা বৃদ্ধি পেল। ঐ সমিতিতে কতজন সদস্য ছিলেন?

ক
ক) ১৫০
খ
খ) ১২৫
গ
গ) ১৮৫
ঘ
ঘ) ৮০

ব্যাখ্যা

মনে করি, সমিতির সদস্য সংখ্যা x এবং জনপ্রতি প্রদেয় চাঁদার পরিমাণ q টাকা। তাহলে. মোট চাঁদা, A=qx টাকা
পাঁচজন চাঁদা দিতে অস্বীকৃতি জানানোয় প্রকৃত সদস্য সংখ্যা ছিল (x-5) জন এবং চাঁদা হলো (q+15) টাকা।
তাহলে, মোট চাঁদা হলো (x-5)(q+15)
প্রশ্নানুসারে, qx= (x-5)(q+15)……….(i)
এবং qx=45,000……….(ii)
সমীকরণ (i)থেকে পাই,
qx=(x-5)(q+15)
বা, qx=qx-5q+15x-75
বা, 5q=15x-75=5(3x-15)
∴ q=3x-15………..(iii)
সমীকরণ (ii)এ q এর মান বসিয়ে পাই,
(3x-15)Xx=45000
বা, 3x2-15x=45000
বা,x2-5x=15000 [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]
বা,x2-5x-15000=0
বা, x2-125x+120x-15000=0
বা, x(x-125)+120(x-125)=0
বা, (x-125)(x+120)=0
সুতরাং, (x-125)=0 অথবা (x+120)=0
বা x=125 বা, x=-120
যেহেতু সদস্র সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x এর মান -120 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴x=125
সুতরাং, সমিতির সদস্য সংখ্যা ১২৫ জন।

৯৬৬.

{(x - 2)/(x - 1)} + {1/(x - 1)} - 2 = 0 এর সমাধান সেট কোনটি?

ক
{ }
খ
{1}
গ
{- 1}
ঘ
{2}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(x - 2)/(x - 1)} + {1/(x - 1)} - 2 = 0 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
(x - 2)/(x - 1) + 1/(x - 1) - 2 = 0
⇒ (x - 2)/(x - 1) + 1/(x - 1) = 2
⇒ (x - 2 + 1)/(x - 1) = 2
⇒ (x - 1)/(x - 1) = 2
⇒ 1 = 2, যা সম্ভব নয়।

∴ প্রদত্ত সমীকরণের কোন সমাধান নেই।

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট, S = { }

৯৬৭.

(5x/6 + 3) এবং (x/3 + 10) পরস্পর সমান হলে x এর মান কত?

ক
ক) 6.0
খ
খ) 7.0
গ
গ) 21/2
ঘ
ঘ) 14.0

ব্যাখ্যা

(5x/6 + 3) = (x/3 + 10)
⇒ 5x/6 - x/3 = 10 - 3 = 7
⇒ (5x-2x)/6 = 7
⇒ 3x = 42
⇒ x = 14

৯৬৮.

শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল?

ক
৪০
খ
৪৮
গ
৫০
ঘ
৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম ছাত্রছাত্রী সংখ্যা ছিলো ক জন
∴ প্রতিজনের ভাড়া ২৪০০/ক
অতিরিক্ত দশজন যাওয়াতে এখন প্রতিজনের ভাড়া ২৪০০/(ক + ১০)

প্রশ্নমতে,
(২৪০০/ক) - (২৪০০/(ক + ১০)) = ৮
বা, {২৪০০(ক + ১০) - ২৪০০ক}/ক(ক + ১০) = ৮
বা, (২৪০০ক + ২৪০০০ - ২৪০০ক)/(ক^২ + ১০ক) = ৮
বা, ৮ক^২+ ৮০ক - ২৪০০০ = ০
বা, ৮(ক^২ + ১০ক - ৩০০০) = ০
বা, ক^২ + ১০ক - ৩০০০ = ০
বা, ক^২ + ৬০ক - ৫০ক - ৩০০০ = ০
বা, ক(ক + ৬০) - ৫০(ক + ৬০) = ০
∴ (ক + ৬০)(ক - ৫০) = ০

যেহেতু, ক ≠- ৬০
∴ ক = ৫০ জন।

বাসে গিয়েছিলো (৫০ + ১০) = ৬০জন

৯৬৯.

কোন সংখ্যার 1/3 সংখ্যাটির 1/5 অপেক্ষা 4 বেশি। সংখ্যাটি কত?

ক
15
খ
30
গ
45
ঘ
60

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার 1/3 সংখ্যাটির 1/5 অপেক্ষা 4 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x/3 = (x/5) + 4
বা, x/3 = (x + 20)/5
বা, 5x = 3(x + 20)
বা, 5x = 3x + 60
বা, 5x - 3x = 60
বা, 2x = 60
বা, x = 60/2
∴ x = 30

৯৭০.

x + y - 7 = 0 এবং 3x - y = 9 হলে, x ও y এর মান কত?

ক
ক) (4, 3)
খ
খ) (2, 5)
গ
গ) (1, 6)
ঘ
ঘ) (2, 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y - 7 = 0 এবং 3x - y = 9 হলে, x ও y এর মান কত?

সমাধান:
x + y - 7 = 0
বা, x + y = 7 ............... (1)
3x - y = 9 .............. (2)

(1) + (2) নং হতে পাই,
x + y = 7
3x - y = 9
4x = 16
∴ x = 4

(1) নং হতে পাই,
4 + y = 7
∴ y = 3

∴ (x, y) = (4, 3)

৯৭১.

কোনো সংখ্যার ৪০% এর সাথে ৬০ যোগ করলে যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত?

ক
১০০
খ
১৬০
গ
৮০
ঘ
১০৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ৪০% এর সাথে ৬০ যোগ করলে যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
⇒ ক এর ৪০% + ৬০ = ক
⇒ ক × (৪০/১০০) + ৬০ = ক
⇒ (২ক/৫) + ৬০ = ক
⇒ ক - (২ক/৫) = ৬০
⇒ (৫ক - ২ক)/৫ = ৬০
⇒ ৩ক = ৩০০
⇒ ক = ৩০০/৩
∴ ক = ১০০

∴ সংখ্যাটি হলো ১০০।

৯৭২.

x - {x - (x + 1)} এর মান কত?

ক
ক) -1
খ
খ) 1
গ
গ) x + 1
ঘ
ঘ) x - 1

ব্যাখ্যা

x - {x - (x + 1)}
= x - {x - x - 1}
= x + 1

৯৭৩.

পানি ভর্তি একটি বালতির ওজন ১৮ কেজি। বালতির অর্ধেক পানি হলে, তার ওজন দাঁড়ায় ১০ কেজি। খালি বালতির ওজন কত?

ক
১.৫ কেজি
খ
২ কেজি
গ
৩ কেজি
ঘ
৪ কেজি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পানি ভর্তি একটি বালতির ওজন ১৮ কেজি। বালতির অর্ধেক পানি হলে, তার ওজন দাঁড়ায় ১০ কেজি। খালি বালতির ওজন কত?

সমাধান:
বালতির ওজন + পানি = ১৮ কেজি
বালতির ওজন + অর্ধেক পানিভর্তি বালতির ওজন = ১০ কেজি

বাকি অর্ধেক পানির ওজন = ১৮ - ১০ = ৮ কেজি

বালতির ওজন + অর্ধেক পানির ওজন = ১০ কেজি
অর্ধেক পানির ওজন = ৮ কেজি

বালতির ওজন = (১০ - ৮) = ২ কেজি

৯৭৪.

x² + kx +1 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান ও বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হলে k এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) -1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

মনে করি, মূলদ্বয় α ও -α
আমরা জানি, মূলদ্বয় এর যোগফল = -b/a
⇒ α - α = -k/1
∴ k = 0

৯৭৫.

কোন সংখ্যার 60% এর সাথে 10 যোগ করলে ফলাফল হবে ঐ সংখ্যাটি। উহা কত?

ক
20
খ
25
গ
30
ঘ
35

ব্যাখ্যা

সংখ্যাটি y হলে, y এর 60% = 60y/100 = 3y/5
3y/5 + 10 = y
y = 25

৯৭৬.

(.০১ × ১.১ × ১.২) / (০.০১ × ০.০২) এর মান কত?

ক
ক) ১২০
খ
খ) ৫৫০
গ
গ) ৬৬০
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

(.০১ × ১.১ × ১.২) / (০.০১ × ০.০২)
= (১/১০০ × ১১০/১০০ × ১২০/১০০) / (১/১০০ × ২/১০০)
= ৬৬

৯৭৭.

একটি সংখ্যার অর্ধেকের সাথে 7 যোগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেই সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে 26 বিয়োগ করলেও একই সংখ্যা পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 17
খ
খ) 18
গ
গ) 21
ঘ
ঘ) 22

ব্যাখ্যা

ধরি,
সংখ্যাটি = x
সংখ্যার অর্ধেক = x/2
সংখ্যার দ্বিগুণ = 2x
প্রশ্নমতে,
x/2 + 7 = 2x - 26
x = 22

৯৭৮.

এক ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৫ বছরের বড় এবং তার স্ত্রীর বয়স তাদের ছেলের বয়সের ৫ গুণ। ৬ বছর পরে ছেলের বয়স ১৪ হলে লোকটির বর্তমান বয়স কত বছর?

ক
৩৫
খ
৪০
গ
৩০
ঘ
৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৫ বছরের বড় এবং তার স্ত্রীর বয়স তাদের ছেলের বয়সের ৫ গুণ। ৬ বছর পরে ছেলের বয়স ১৪ হলে লোকটির বর্তমান বয়স কত বছর?

সমাধান:
যেহেতু,
৬ বছর পরে ছেলের বয়স ১৪ বছর
∴ ছেলের বর্তমান বয়স = (১৪ - ৬) বছর
= ৮ বছর

আবার,
স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৫ গুণ
∴ স্ত্রীর বয়স = (৮ × ৫) বছর
= ৪০ বছর

∴ ঐ ব্যক্তির বয়স = (৪০ + ৫) বছর
= ৪৫ বছর

৯৭৯.

কোন ভগ্নাংশের লবের সাথে 5 যোগ করলে এর মান 2 হয়। আবার, হর থেকে 1 বিয়োগ করলে এর মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

ক
2/3
খ
3/4
গ
4/5
ঘ
5/6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশের লবের সাথে 5 যোগ করলে এর মান 2 হয়। আবার, হর থেকে 1 বিয়োগ করলে এর মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটির লব a এবং হর b
তাহলে, ভগ্নাংশটি = a/b

১ম শর্তানুসারে, (a + 5)/b = 2
⇒ a + 5 = 2b
⇒ a - 2b = - 5 . . . . . . (1)
২য় শর্তানুসারে, a/(b - 1) = 1
⇒ a = b - 1
⇒ a - b = - 1 . . . . . . (2)

(2) নং - (1) নং
a - b - a + 2b = - 1 + 5
∴ b = 4
b এর মান (2) নং এ বসাই,
a = - 1 + 4
∴ a = 3
∴ ভগ্নাংশটি = 3/4

৯৮০.

একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত টাকার চেয়ে আরও ২৫ টাকা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৫০০ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণিতে ছাত্র- ছাত্রীর সংখ্যা কত?

ক
৭০ জন
খ
৭২ জন
গ
৭৫ জন
ঘ
৮০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত টাকার চেয়ে আরও ২৫ টাকা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৫০০ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণিতে ছাত্র- ছাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ঐ শ্রেণিতে ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ক
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় ক + ২৫ টাকা
মোট চাঁদা = ক (ক + ২৫) টাকা
= ক^২ + ২৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
ক^২ + ২৫ক = ৭৫০০
⇒ ক^২ + ২৫ক - ৭৫০০ = ০
⇒ ক২ + ১০০ক - ৭৫ক - ৭৫০০ = ০
⇒ ক (ক + ১০০) - ৭৫ (ক + ১০০) = ০
⇒ (ক + ১০০) (ক - ৭৫) = ০
∴ (ক + ১০০) = ০ অথবা, (ক - ৭৫) = ০
(ক + ১০০) = ০
ক = -১০০ , সম্ভব নয়

(ক - ৭৫) = ০
∴ ক = ৭৫

অতএব,
ঐ শ্রেণিতে ৭৫ জন ছাত্র-ছাত্রী রয়েছে।

৯৮১.

মোট 120 টি পঁচিশ পয়সার মুদ্রা ও পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রায় মোট 35 টাকা হলে, পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

ক
ক) 50টি
খ
খ) 40টি
গ
গ) 35টি
ঘ
ঘ) 20টি

ব্যাখ্যা

ধরি,
পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = x
পঁচিশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = 120 - x

শর্তমতে,
50x + 25(120 - x) = 3500
50x + 3000 - 25x = 3500
25x = 3500 - 3000
25x = 500
x = 500/25
x = 20

পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা 20

৯৮২.

6x² - 7x - 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ে প্রকৃতি কেমন?

ক
বাস্তব ও সমান
খ
অবাস্তব ও অসমান
গ
বাস্তব ও অসমান
ঘ
মূলদ ও অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x² - 7x - 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ে প্রকৃতি কেমন?

সমাধান:
6x² - 7x - 4 = 0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক নির্ণয় করে পাই।

নিশ্চায়ক = (- 7)² - 4 × 6 × (- 4)
= 49 + 96
= 145 > 0

যেহেতু নিশ্চায়ক ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

৯৮৩.

4 × 5 × 0 × 7 × 1 = কত?

ক
ক) 480
খ
খ) 0
গ
গ) 210
ঘ
ঘ) 140

ব্যাখ্যা

যেকোনো সংখ্যাকে ০ দ্বারা গুণ করলে এর গুণফল ০ হয়।

৯৮৪.

x - {a - (x - b)} = ?

ক
2x - a - b
খ
2x - 2a
গ
2a - 2b
ঘ
x- a + b

ব্যাখ্যা

x - {a - (x - b)}
= x - {a -x + b}
= x - a +x - b
= 2x - a - b

৯৮৫.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 12। সংখ্যাটি থেকে 18 বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

ক
75
খ
66
গ
57
ঘ
84

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 12। সংখ্যাটি থেকে 18 বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটি = 10x + y ; [যেখানে x = দশকের অংক, y = এককের অংক]

দেওয়া আছে,
x + y = 12 ……(1)

আবার,
আর সংখ্যাটি থেকে 18 বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। অর্থাৎ,
⇒ (10x + y) - 18 = 10y + x
⇒ 10x + y - 18 = 10y + x
⇒ 10x - x + y - 10y = 18
⇒ 9x - 9y = 18
⇒ 9(x - y) = 18
∴ x - y = 2 ……(2)

এখন সমীকরণ (1) ও (2) যোগ করে পাই,
⇒ (x + y) + (x - y) = 12 + 2
⇒ 2x = 14
∴ x = 7
তাহলে (1) থেকে পাই,
⇒ 7 + y = 12
∴ y = 5

সুতরাং, সংখ্যাটি = 10x + y = 10 × 7 + 5 = 75

৯৮৬.

দুইটি সংখ্যার গুণফল 63 এবং বর্গের যোগফল 130। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

ক
14
খ
12
গ
18
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 63 এবং বর্গের যোগফল 130। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = x ও y

দেওয়া আছে,
xy = 63
x² + y² = 130

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
= 130 + (2 × 63)
= 130 + 126
= 256
∴ x + y = √256 = 16

৯৮৭.

a = 2b = 3c এবং abc = 36 হলে c এর মান কত?

ক
2
খ
2√2
গ
3
ঘ
3√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 2b = 3c এবং abc = 36 হলে c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 2b = 3c এবং abc = 36

∴ a = 3c
এবং
2b = 3c
⇒ b = 3c/2

এখন,
abc = 36
⇒ 3c × (3c/2) × c = 36
⇒ 9c³ = 36 × 2
⇒ 9c³ = 72
⇒ c³ = 72/9
⇒ c³ = 8
⇒ c³ = 2³
⇒ c = 2

৯৮৮.

a + 2b = 7 এবং 2a - 3b = 0 হলে a ও b এর মান কত?

ক
3 ও 2
খ
4 ও 3
গ
3 ও 5
ঘ
2 ও 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + 2b = 7 এবং 2a - 3b = 0 হলে a ও b এর মান কত?

সমাধান:
a + 2b = 7
⇒ a = 7 - 2b

এখন,
2a - 3b = 0
⇒ 2(7 - 2b) - 3b = 0
⇒ 14 - 4b - 3b = 0
⇒ - 7b = - 14
∴ b = 2

∴ a = 7 - 2 × 2 = 7 - 4 = 3

৯৮৯.

(x-4)² = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) নেই

ব্যাখ্যা

(x-4)² = 0
বা, x² -8x+16 = 0
x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 হওয়ায় সমীকরণের মূল দুইটি।

৯৯০.

p এর মান কত হলে 9x² - px + 25 সমীকরণটি পূর্ণবর্গ হবে?

ক
24
খ
36
গ
30
ঘ
15

ব্যাখ্যা

^{প্রশ্ন:} p এর মান কত হলে 9x² - px + 25 সমীকরণটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
(3x)² - 2.3x.5 + (5)²
= (3x - 5)²

∴ px = 2.3x.5
p = 30

৯৯১.

x⁴−3x−2 কে x+1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কি হবে?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

নির্ণেয় ভাগশেষ = (-1)⁴-3(-1)-2 [x = -1 বসিয়ে]
= 1 + 3 - 2
= 2

৯৯২.

(x + 5)² = x² + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

ক
3, 10
খ
10, 15
গ
15, 25
ঘ
10, 25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x + 5)² = x²+ bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

সমাধান:
(x + 5)² = x² + bx + c
x² + 2.x.5 + 5² = x² + bx + c
x² + 10x + 25 = x² + bx + c

x ও ধ্রবক পদের সহগ সমীকৃত করে পাই
b = 10
c = 25

৯৯৩.

একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশের সঙ্গে ১২ যোগ করলে সংখ্যাটির তৃতীয়াংশের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
১২০
খ
১২৮
গ
১৪৪
ঘ
১৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশের সঙ্গে ১২ যোগ করলে সংখ্যাটির তৃতীয়াংশের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) + ১২ = ক/৩
⇒ (ক + ৪৮)/৪ = ক/৩
⇒ ৩(ক + ৪৮) = ৪ক
⇒ ৩ক + ১৪৪ = ৪ক
⇒ ক = ১৪৪

সংখ্যাটি হলো ১৪৪

৯৯৪.

(2 + √3) ও (2 - √3) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

ক
x² + 4x + 2 = 0
খ
x² - 4x + 1 = 0
গ
x² - 3x - 2 = 0
ঘ
x² - 5x + 3 = 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2 + √3) ও (2 - √3) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
মনে করি,
মূলদ্বয়, α = 2 + √3 এবং β = 2 - √3
মূলদ্বয়ের যোগফল, α + β = 2 + √3 + 2 - √3
∴ α + β = 4

মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ = (2 + √3) . (2 - √3)
= (2)² - (√3)²
= 4 - 3
∴ αβ = 1

∴ নির্ণেয় সমীকরণ x² - (α + β) x + αβ = 0
⇒ x² - 4x + 1 = 0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x² - 4x + 1 = 0

৯৯৫.

2x/(x - 4) + 3x/(x + 2) = 5 হলে x = কত?

ক
ক) -20
খ
খ) -4
গ
গ) 20
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

2x/(x-4) + 3x/(x+2) = 5
বা, 2x/(x-4) - 2 = 3 - 3x/(x+2)
বা, (2x-2x+8) / (x-4) = (3x+6-3x) / (x+2)
বা, 8/(x-4) = 6/(x+2)
বা, 4/(x-4) = 3/(x+2)
বা, 4x + 8 = 3x - 12
∴ x = -20

৯৯৬.

√(x + 2) = √x + √2 হলে x = কত?

ক
ক) -3
খ
খ) 0
গ
গ) √3
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

x = 0 হলে,
বামপক্ষ = ডানপক্ষ = √2
∴ x = 0

৯৯৭.

2x + 3y = 36 এবং 2x + y = 16 হলে x = ?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

2x + 3y = 36.......(1)
2x + y = 16.........(2)
(1) নং - (2) নং ⇒
2y = 20
∴ y = 10
(2) নং ⇒
2x + 10 = 16
বা, 2x = 6
∴ x = 3

৯৯৮.

3/5 এর লব ও হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 4/5 হয়?

ক
5
খ
4
গ
3
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3/5 এর লব ও হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 4/5 হয়?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

শর্তমতে,
(3 + x)/(5 + x) = 4/5
বা, 15 + 5x = 20 + 4x
বা, 5x − 4x = 20 − 15
∴ x = 5

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 5 ।

৯৯৯.

2x³ - 5x² + 4 = 0 সমীকরণে x এর সহগ কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x³ - 5x² + 4 = 0 সমীকরণে x এর সহগ কত?

সমাধান:
2x³ - 5x² + 4 = 0

প্রদত্ত সমীকরণে x এর কোন পদ নাই। এজন্য x এর সহগ হবে 0.

১,০০০.

কোন শর্তে a^x = a^y হলে, x = y হবে?

ক
ক) a ≠ 0
খ
খ) a > 1
গ
গ) a > 0, a ≠ 1
ঘ
ঘ) a < 0, a ≠ -1

ব্যাখ্যা

a > 0, a ≠ 1 শর্তে,
a^x = a^y হলে x = y হবে।