ত্রিকোণমিতি

প্রশ্ন: secA - tanA = 4/5 হলে, tanA + secA এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
sec²A - tan²A = 1 
বা, (secA + tanA)(secA - tanA) = 1 
বা, 4/5 (secA + tanA) = 1 
∴ secA + tanA = 5/4 

প্রশ্ন: cosA secA + 2 এর মান কত?
​
​সমাধান:
 cosA secA  + 2
​= cosA (1/cosA) + 2
​= 1 + 2
​= 3

দেওয়া আছে,
sec²θ+tan²θ=7
⇒ 1+tan²θ+tan²θ =7
⇒1+2tan²θ = 7
⇒ 2tan²θ = 6
⇒ tan²θ = 3
⇒tanθ = √3
⇒tanθ = tan60º
∴ θ = 60º

প্রশ্ন: secA - tanA = 1/6 হলে, secA + tanA এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sec²A - tan²A = 1
⇒ (secA - tanA)(secA + tanA) = 1
⇒ (1/6)(secA + tanA) = 1
⇒ secA + tanA = 1/(1/6)
⇒ secA + tanA = 6

Cos2θ = 2Cos²θ - 1
= 2{1/2(a + 1/a)}² - 1
= 2.1/4(a² + 1/a² + 2.a.1/a) - 1
= 1/2{(a² + 1/a²) + 2} - 1
= 1/2(a² + 1/a²) + 1 - 1
= 1/2 × (a² + 1/a²)

ধরি, খুঁটিটি x মিটার উচুঁতে ভেঙ্গেছিল
∴ ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (45-x) মিটার
∴ sin30° = x/45-x
বা, 1/2 = x/45-x
বা, 2x = 45-x
বা, 3x = 45
∴ x = 15

প্রশ্ন: যদি A + B = 90° এবং tan A = √3 হয়, তবে B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A + B = 90°
⇒ B = 90° - A ..........(1)
এবং 
tan A = √3
⇒ tan A = tan 60°
∴ A = 60°

(1) নং এ A এর মান বসিয়ে পাই, 
⇒ B = 90° - A
⇒ = 90° - 60°
∴ B = 30°

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙ্গে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত খুঁটিটির গোড়া থেকে 12 মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করলো, খুঁটিটির উচ্চতা কত? 

সমাধান:

ধরি, 
খুঁটির উচ্চতা = h 

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, ,
(h - 5)² = 5² + 12²
বা, (h - 5)² = 25 + 144 
বা, (h - 5)² = 169
বা, (h - 5)² = 13²
বা, h - 5 = 13 
∴ h = 18 

∴ খুঁটির উচ্চতা = 18 মিটার ।

প্রশ্ন: (3, - 2) এবং (7, 6) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি, দুইটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দ্বারা অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

এখানে, (x₁, y₁) = (3, - 2) এবং (x₂, y₂) = (7, 6)

∴ ঢাল, m = {6 - (- 2)}/(7 - 3)
= (6 + 2)/(7 - 3)
= 8/4
= 2

∴ সরলরেখার ঢাল = 2

প্রশ্ন: যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1 + tan²θ = 4
⇒ sec²θ = 4   ; [sec²θ = 1 + tan²θ]
⇒ (secθ)² = (2)²
⇒ secθ = 2
⇒ secθ = sec60°
∴ θ = 60°

প্রশ্ন: sinθ এর সর্বোচ্চ মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সাইন ফাংশনের মান সবসময় নিম্নলিখিত সীমার মধ্যে থাকে,
- 1 ≤ sinθ ≤ 1
অর্থাৎ, সর্বোচ্চ মান (maximum value) = + 1
এবং সর্বনিম্ন মান (minimum value) = - 1

প্রশ্ন: হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosecθ = 1/sinθ এবং cotθ = cosθ/sinθ

​

প্রশ্ন: একটি নদীর এক তীরে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে অপর তীরে অবস্থিত 60 মিটার উঁচু একটি গাছের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60°। নদীটির প্রস্থ কত?

সমাধান:

​মনে করি,
​গাছটির পাদবিন্দু = C
​গাছের শীর্ষবিন্দু = A
​গাছের উচ্চতা, AC = 60 মিটার 
​অপর তীরের নির্দিষ্ট বিন্দু = B
​শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ, ∠ABC = 60°
​নদীর প্রস্থ = BC 
​
​এখন,
​tan60° = AC/BC
⇒ ​√3 = 60/BC
​⇒ ​BC = 60/√3 
⇒ ​BC = (20 × 3)/√3
⇒ ​BC ​= (20 × √3 × √3)/√3
⇒ ​BC ​= 20√3
​
​∴ নদীর প্রস্থ = 20√3 মিটার 

অতিক্রান্ত দূরত্ব = ২৪ × ১০০ মিঃ
= ২৪০০ মিঃ
= ২ কিঃমিঃ ৪ হেক্টোমিঃ

বাঁশের দৈর্ঘ্য AB = 18 মি.; AC = 8 মি.
BC = CD = 10 মি.
যেহেতু, C বিন্দুতে বাঁশটি ভেঙ্গে যায় এবং এর B শীর্ষবিন্দুটি ভূমিতে ঠেকে D বিন্দুটিতে মিলিত হয়,
সেহেতু, ACD একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়।
ΔACD - এ
AD² = CD² - AC²
AD² = 10² - 8² = 6²
∴ AD = 6

প্রশ্ন: যদি cosθ = 0.7 তাহলে sinθ = ? যেখানে,  0 ≤ θ < 90°

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = 0.7

আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
বা, sin²θ + (0.7)²= 1
বা, sin²θ + 0.49 = 1
বা, sin²θ = 1 - 0.49 = 0.51
∴ sinθ = √0.51

প্রশ্ন: 4 tanA = 3 হলে cosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4 tanA = 3
⇒ tanA = 3/4

আমরা জানি,
tanA = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ অতিভুজ² = 3² + 4²
⇒ অতিভুজ² = 9 + 16
⇒ অতিভুজ² = 25
⇒ অতিভুজ = √25
⇒ অতিভুজ = 5 

এখন,
cosA = ভূমি/অতিভুজ
∴ cosA = 4/5

প্রশ্ন: যদি cosecB = 17/8 হয়, তবে cosB এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, cosecB = 17/8

আমরা জানি,
cosecB = অতিভুজ/লম্ব
অতএব,
অতিভুজ = 17 এবং লম্ব = 8

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
বা, 8² + ভূমি² = 17²
বা, 64 + ভূমি² = 289
বা, ভূমি² = 289 - 64
বা, ভূমি² = 225
∴ ভূমি = √225 = 15

এখন, cosB = ভূমি/অতিভুজ
= 15/17

প্রশ্ন: যদি tan A = 1/√3 হয়, তবে (cosec² A - sec² A)/(cosec² A + sec² A) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
tan A = 1/√3 
বা, 1/cot A = 1/√3 
∴ cot A = √3 

প্রদত্ত রাশি = (cosec² A - sec² A)/(cosec² A + sec² A)
= (1 + cot² A - 1 - tan² A)/(1 + cot² A + 1 + tan² A) 
= {1 + (√3)² - 1 - (1/√3)²}/{1 + (√3)² + 1 + (1/√3)²} 
= {1 + 3 - 1 - (1/3)}/{1 + 3 + 1 + (1/3)} 
= {3 - (1/3)}/{5 + (1/3)} 
= {(9 - 1)/3}/(15 + 1)/3}
= (8/3)/(16/3) 
= (8/3) × (3/16)
= 1/2

প্রশ্ন: যদি secA = 17/8 হয়, তবে sinA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, secA = 17/8

আমরা জানি, secA = অতিভুজ/ভূমি
অতএব, অতিভুজ = 17 এবং ভূমি = 8

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
বা, লম্ব² + 8² = 17²
বা, লম্ব² + 64 = 289
বা, লম্ব² = 289 - 64
বা, লম্ব² = 225
∴ লম্ব = √225 = 15

এখন, sinA = লম্ব/অতিভুজ
∴ sinA = 15/17

প্রশ্ন: tanθ + sinθ = a এবং tanθ - sinθ = b হলে, (a² - b²) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, a²- b²
= (tanθ + sinθ)² - (tanθ - sinθ)²
= 4tanθ . sinθ                  [∵ (a + b)² - (a - b)² = 4ab]
= 4√(tan²θ . sin²θ)
= 4√[tan²θ(1 - cos²θ)]
= 4√[tan²θ - (tan²θ . cos²θ)]
= 4√(tan²θ - sin²θ)          [∵ tanθ = sinθ/cosθ]
= 4 √[(tanθ + sinθ)(tanθ - sinθ)]
= 4√(ab)  

ΔABD এর ∠ADB = 45°
∴ tan45°=AB/BD
⇒ 1 = h/(60 + x)
⇒ h = 60 + x ...........(1)
ΔABC এর ∠ACB =  60°
∴ tan60°=AB/BC = h/x
⇒√3 = h/x
∴ x = h/√3
x এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই,
h = 60√3/(√3 - 1) মিটার

cot90°. tan0° . sec30° . cosec60° = 0 . 0 . 2/√3 . 2/√3 = 0

sec²A = 1 + tan²A [সূত্র]
secA = 1/cosA [সূত্র]

প্রশ্ন: (- 4, 5) এবং (1, 2) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

এখানে,
(x₁, y₁) = (- 4, 5) এবং (x₂, y₂) = (1, 2)

∴ ঢাল, (m) = (2 - 5)/{1 - (- 4)}
= - 3/(1 + 4)
= - 3/5

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
⇒ sin(- θ) = - sinθ
⇒ cos(- θ) = cosθ
⇒ tan(- θ) = - tanθ
⇒ cosec(- θ) = - cosecθ
⇒ sec(- θ) = secθ
⇒ cot( - θ) = - cotθ

প্রশ্ন: sinA = cosA হলে A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA = cosA
⇒ sinA/cosA = 1
⇒ tanA = 1
⇒ tanA = tan45°
∴ A = 45°

প্রশ্ন:

​
​সমাধান:
​

প্রশ্ন: sinA + sin²A = 1 হলে cos²A + cos⁴A = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA + sin²A = 1
বা, sinA = 1 - sin²A
∴ sinA = cos²A

এখন,
cos²A + cos⁴A
= cos²A + (cos²A)²
= cos²A + (sinA)²
= cos²A + sin²A
= sin²A + cos²A
= 1

প্রশ্ন: যদি tan θ = 1/√3 হয়, তবে cosec θ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 tanθ = 1/√3
বা, tanθ = tan30° 
∴ θ = 30°
 
এখন,
cosec θ
= cosec30°
= 1/sin30°
= 1/(1/2)
= 2

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
• sin(- θ) = - sinθ
• cos(- θ) = cosθ
• tan(- θ) = - tanθ
• cosec(- θ) = - cosecθ
• sec(- θ) = secθ
• cot(- θ) = - cotθ

প্রশ্ন: sin(Q + 18°) = 1/√2 হলে, Q এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin (Q + 18°) = 1/√2 
বা, sin (Q + 18°) = sin 45° 
বা, Q + 18° = 45° 
বা, Q = 45° - 18° 
∴ Q = 27°

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 12 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:


ধরি,
মিনারটির উচ্চতা = AB = h

মিনারের পাদদেশ হতে
BC = 12 মিটার

মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ
∠ACB = 60°

আমরা জানি,
tan ∠ACB = AB/BC

বা, tan 60° = h/12

বা, √3 = h/12

∴ h = 12√3

প্রশ্ন: একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য ২০ মিটার এবং সূর্যের উন্নতি কোণ ৪৫° হলে, গাছটির উচ্চতা কত হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ (θ) = ৪৫°
ধরি, গাছটির উচ্চতা = h মিটার

আমরা জানি,
tanθ = উচ্চতা/ছায়ার দৈর্ঘ্য
⇒ tan৪৫° = h/২০
⇒ ১ = h/২০ [যেহেতু tan৪৫° = ১]
⇒ h = ২০ মিটার

∴ গাছটির উচ্চতা ২০ মিটার।

ΔABC - এ,
C = 90°,
B = 90° - A
∴ Sin²A + Sin²B + Sin²C
= Sin²A + Sin²(90° - A) + Sin²90°
= Sin²A + Cos²A + 1
= 1 + 1
= 2

প্রশ্ন: sin(A + 18°) = 1/√2 হলে, A এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin (A + 18°) = 1/√2 
⇒ sin (A + 18°) = sin 45° 
⇒ A + 18° = 45° 
⇒ A = 45° - 18° 
∴ A = 27°