ত্রিকোণমিতি

প্রশ্ন: 3 cotA = 4 হলে, sinA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3 cotA = 4
⇒ cotA = 4/3

আমরা জানি,
cotA = ভূমি/লম্ব
এখানে, ভূমি = 4 এবং লম্ব = 3

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
⇒ (অতিভুজ)² = (3)² + (4)²
⇒ (অতিভুজ)² = 9 + 16
⇒ (অতিভুজ)² = 25
⇒ অতিভুজ = √25 = 5

এখন,
sinA = লম্ব/অতিভুজ
∴ sinA = 3/5

প্রশ্ন: কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?
​
​সমাধান: 
tan90° এর মান = অসংজ্ঞায়িত।

​​অন্যদিকে, 
sin60° এর মান = √3/2,
​cos90° এর মান = 0 
​এবং sec0° এর মান = 1 
​
​

প্রশ্ন: secθ + tanθ = x তাহলে, tanθ এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
secθ + tanθ = x .......(1)
আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1 
⇒ x(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/x ........(2)

এখন, 
(1) নং হতে (2) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
⇒ secθ + tanθ - (secθ - tanθ) = x - (1/x)
⇒ 2tanθ = (x² - 1)/x
∴ tanθ = (x² - 1)/2x

প্রশ্ন: যদি secA = 13/5 এবং A সূক্ষ্মকোণ হয়, তাহলে sinA এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
secA = 13/5

আমরা জানি, 
cos A = 1/sec A = 1/(13/5)
∴ cos A = 5/13

আবার,
sin²A + cos²A = 1 
⇒ sin²A = 1 - cos²A
⇒ sin²A = 1 - (5/13)2 = 1 - (25/169) = (169 - 25)/169
⇒ sin²A = 144/169
⇒ sinA = √(144/169)
∴ sinA = 12/13 (যেহেতু A সূক্ষ্মকোণ, sin A ধনাত্মক)

সঠিক উত্তর sin A = 12/13

প্রশ্ন: যদি sec⁡θ - tan⁡θ = √3 - √2​ হয়, তবে sec⁡θ + tan⁡θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
sec⁡θ - tan⁡θ = √3 - √2

আমরা জানি,
sec⁡²θ - tan⁡²θ = 1
⇒ (sec⁡θ - tan⁡θ)(sec⁡θ + tan⁡θ) = 1
⇒ (√3 - √2)(sec⁡θ + tan⁡θ) = 1
⇒ sec⁡θ + tan⁡θ = 1/(√3 - √2)
⇒ sec⁡θ + tan⁡θ = (√3 + √2)/(√3 - √2)(√3 + √2)
⇒ sec⁡θ + tan⁡θ = (√3 + √2)/{(√3)² - (√2)²}
⇒ sec⁡θ + tan⁡θ = (√3 + √2)/(3 - 2)
∴ sec⁡θ + tan⁡θ = (√3 + √2)

প্রশ্ন: A = 60° হলে, 2sinAcosA/(sin²A + cos²A) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = 60°

প্রদত্ত রাশি, 
2sinAcosA/(sin²A + cos²A) 
= 2sinAcosA   ; [sin²A + cos²A = 1]
= 2 × sin60° × cos60°
= 2 × (√3/2) × (1/2)   ; [sin60° = √3/2, cos60° = 1/2]
= √3/2

প্রশ্ন: যদি sinθ = 3/5 এবং θ  সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
sinθ = 3/5 

আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ (3/5)² + cos²θ = 1
⇒ 9/25 + cos²θ = 1
⇒ cos²θ = 1 - 9/25
⇒ cos²θ = 16/25

∴ cosθ = 4/5 

প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে secθ এর মান কত?

সমাধান:
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7
⇒ (sinθ + cosθ + sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ - sinθ + cosθ) = (7 + 1)/(7 - 1) [যোজন-বিয়োজন করে]
⇒ 2sinθ/2cosθ = 8/6
⇒ sinθ/cosθ = 4/3
⇒ tanθ = 4/3
⇒ tan²θ = 16/9
⇒ ​​sec²θ - 1 = 16/9 [ sec²θ - tan²θ = 1]
⇒ sec²θ = 1 + 16/9
⇒ sec²θ = (9 + 16)/9
⇒ sec²θ = 25/9
⇒ secθ = 5/3

প্রশ্ন: tanθ + cotθ =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ
= (sinθ/cosθ) + (cosθ/sinθ)
= (sin²θ + cos²θ)/(sinθ . cosθ)           
= 1/(sinθ . cosθ)                          [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= (1/sinθ) . (1/cosθ)
= cosecθ . secθ 

প্রশ্ন: cosecA - cotA = 3/4 হলে, cosecA + cotA = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecA - cotA = 3/4

আমরা জানি,
cosec²A - cot²A = 1
⇒ (cosecA + cotA)(cosecA - cotA) = 1
⇒ (cosecA + cotA)(3/4) = 1
⇒ cosecA + cotA = 1 × (4/3)
∴ cosecA + cotA = 4/3

Cosec²θ - Cot²θ = 1
বা, (Cosecθ + Cotθ)(Cosecθ - Cotθ) = 1
বা, Cosecθ - Cotθ = 1/(Cosecθ + Cotθ)
= 1/(5/2)
= 2/5
∴ Cosecθ - Cotθ = 2/5

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ হতে 20 মিটার দূরে ভূমির কোন বিন্দুতে গাছের চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

মনে করি, গাছটির উচ্চতা AB = h মিটার।
গাছের পাদদেশ থেকে বিন্দুর দূরত্ব BC = 20 মিটার।
উন্নতি কোণ, ∠ACB = 60°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর ক্ষেত্রে,
tan ∠ACB = AB/BC
⇒ tan 60° = h/20
⇒ √3 = h/20
∴ h = 20√3 মিটার

∴ গাছটির উচ্চতা 20√3 মিটার।

প্রশ্ন: 3tan²30° + (1/4)sec60° + 7cot²45° - (2/3)sin²60° এর মান কত?

সমাধান:
3tan²30° + (1/4)sec60° + 7cot²45° - (2/3)sin²60°
= 3(tan30°)² + (1/4)sec(60°) + 7(cot45°)² - (2/3)(sin60°)² 
= 3 × (1/√3)² + (1/4) × 2 + 7 × (1)² - (2/3) × (√3/2)² 
= (3 × 1/3) + (1/2) + 7 - (2/3) × (3/4)
= 1 + 1/2 + 7 - 1/2
= 8

দেওয়া আছে,
sinθ = √3/2
বা, sinθ = sin60º
বা, sinθ = sin(2×360º + 60º)
∴ θ = 780º

Sin(9π/2 - θ) = Sin(9 × π/2 - θ)
= Sin(9 × 90° - θ)
= cosθ

প্রশ্ন: ১৮ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙে গেল যে ভাঙা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ৩০° কোণে মাটি র্স্পশ করল। খুঁটিটি মাটি হতে কত উঁচুতে ভেঙেছিল?

সমাধান:

ধরি,
মাটি থেকে h ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে যায়।

ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে খুঁটির সঙ্গে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে,
∴ ভাঙ্গা অংশটি ভূমির সঙ্গে ৯০° - ৬০° = ৩০° কোণ উৎপন্ন করে

আমরা জানি,
sin৩০° = লম্ব/অতিভূজ
বা, ১/২ = h/(১৮ - h)
বা, (১৮ - h) = ২h
বা, ৩h = ১৮
∴ h = ৬

অর্থাৎ, মাটি থেকে ৬ ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে গিয়েছিল।
 

tan^-11/2+tan^-11/3 = tan^-1((1/2 + 1/3)/(1 - (1/2)×(1/3)) = tan^-1((5/6)/(5/6)) = tan^-1(1) = 45º = π/4

asin45⁰ = bcosec30⁰
বা, a (1/√2) = b × 2
বা, a/b = 2√2
বা, (a/b)⁴ = (2√2)⁴
বা, a⁴/b⁴ = 64

প্রশ্ন: যদি cosA = 8/17 হয়, তবে tanA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, cosA = 8/17

আমরা জানি, cosA = (ভূমি)/(অতিভুজ)
অতএব, ভূমি = 8 এবং অতিভুজ = 17

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
বা, লম্ব² = অতিভুজ² - ভূমি²
বা, লম্ব² = 17² - 8²
বা, লম্ব² = 289 - 64
বা, লম্ব² = 225
∴ লম্ব = √225 = 15

এখন, tanA = (লম্ব)/(ভূমি)
= 15/8

Xsin60º.tan30º=sec60º.cot45º
⇒ X.(√3/2).(1/√3) = 2.1
⇒ X = 4

প্রশ্ন: sin²(47°) + cos²(47°) =?
​
​সমাধান:
​আমরা জানি,
​sin²θ + cos²θ = 1
​
​∴ sin²(47°) + cos²(47°) = 1

প্রশ্ন: 18 মিটার দীর্ঘ একটি মই ভূমির সাথে 45° কোণে হেলান দিয়ে একটি দেয়ালের ছাদ স্পর্শ করে। দেয়ালটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

এখানে, মইটির দৈর্ঘ্য (অতিভুজ), AC = 18 মিটার।
ভূমির সাথে উৎপন্ন কোণ, ∠ACB = 45°
দেয়ালের উচ্চতা (লম্ব), AB = ?

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
বা, sin45° = AB/AC
বা, 1/√2 = AB/18
বা, √2AB = 18
বা, AB = 18/√2
বা, AB = (18 × √2)/(√2 × √2)
বা, AB = (18√2)/2
∴ AB = 9√2 মিটার

সুতরাং, দেয়ালটির উচ্চতা 9√2 মিটার।

sin²θ+cos²θ=1
Squaring both sides
sin⁴θ+cos⁴θ=1−2sin²θ.cos²θ
Putθ=90∘
sin⁴θ+cos⁴θ = 1−2sin²90∘×cos²90∘ = 1−0 = 1