ত্রিকোণমিতি

Sine 60° = লম্ব/অতিভুজ
√3/2 = 55/অতিভুজ
∴ অতিভুজ = (55 × 2)/√3
= 63.5 মিটার
= 127/2 মিটার

cosθ = 0 when θ = 90° or, 270°
Maximum value of cosθ is 1 when θ = 0°, 360°.
Minimum value of cosθ is –1 when θ = 180°.

প্রশ্ন: tanθ = 1/0 হলে θ এর মান কত?

সমাধান:
tanθ = 1/0
⇒ ​tanθ = ∞ (অসংজ্ঞায়িত)
​⇒ ​tanθ = tan 90°
⇒ ​​θ = 90°

প্রশ্ন: যদি cos(θ + 30°) = 1/2 হয়, তাহলে tan²θ এর মান কত?

সমাধান:
cos(θ + 30°) = 1/2
⇒ cos(θ + 30°) = cos(60°)
⇒ θ + 30° = 60°
বা, θ = 60° - 30°
বা, θ = 30°

এখন,
tan²θ
= tan²(30°)
= (1/√3)²
= 1/3

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 21 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

মনে করি,
মিনারটির উচ্চতা = AB = h 

মিনারের পাদদেশ BC = 21 মিটার
মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ, ∠ACB = 60°

আমরা জানি,
tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan60° = h/21
⇒ √3 = h/21
⇒ h = 21√3

∴ মিনারটির উচ্চতা 21√3 মিটার।

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। গাছটি 15 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত? 

সমাধান: 

ধরি, গাছটি a মিটার দূরে অবস্থিত । 
∴ tan 45° = AB/AC 
⇒ 1 = 15/a 
∴ a = 15 মিটার 

∴ গাছটি 15 মিটার দূরে অবস্থিত। 

প্রশ্ন: যদি cos²θ + (1/cosec²θ) + 17 = a হয়, তবে a² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
cos²θ + (1/cosec²θ) + 17 = a
⇒ cos²θ + sin²θ + 17 = a   ; [1/cosecθ = Sinθ]
⇒ 1 + 17 = a  ; [sin²θ + cos²θ = 1] 
⇒ a² = 18² = 324

∴ a² -এর মান 324

প্রশ্ন: একটি লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি 13 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গে থাকলে এর উচ্চতা কত?

সমাধান: 
মনে করি, খুঁটিটি A বিন্দুতে ভেঙ্গে যায় এবং ভাঙ্গা অংশ B বিন্দুতে ভূমির সাথে ∠ABC = 30° কোণ উৎপন্ন করে।
ধরি, খুঁটির উচ্চতা = h মিটার এবং খুঁটিটি 13 মিটার উচ্চতায় ভেঙ্গে ছিল।



এখন,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ​ 
∴ sin30° = 13/(h - 13)
⇒ 1/2 = 13/(h - 13)
⇒ h - 13 = 26
⇒ h = 26 + 13
⇒ h = 39 

∴ খুঁটির উচ্চতা = 39 মিটার

প্রশ্ন: tan 15° + cot 15° এর মান নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cot15° + tan15°
= (cos15°/sin15°) + (sin15°/cos15°)
= (cos²15° + sin²15°)/(sin15° cos 15°)    ; [sin²θ + cos²θ = 1]
= 1/(sin15° cos15°)
= 2/(2sin15° cos15°)   ; [লব ও হরে 2 দ্বারা গুণ করে পাই এবং (2sinθ cosθ = sin2θ)
= 2/sin30°
= (2/1/2)  ; [sin30° = 1/2)]
= 2 × 2
= 4 

প্রশ্ন: যদি 2 sin²θ + 5 cos²θ = 3 হয়, তাহলে tan²θ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2 sin²θ + 5 cos²θ = 3
⇒ 2 sin²θ + 5 (1 - sin²θ) = 3
⇒ 2 sin²θ + 5 - 5 sin²θ = 3
⇒ - 3 sin²θ + 5 = 3
⇒ - 3 sin²θ = 3 - 5
⇒ - 3 sin²θ = - 2
∴ sin²θ = 2/3

এবং 
cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (2/3)
∴ cos²θ = 1/3

আমরা জানি, 
tan²θ = sin²θ/cos²θ
 = (2/3)/(1/3)
= (2/3) × (3/1)
∴ tan²θ = 2

প্রশ্ন: tanA cotA + 3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tanA cotA + 3
= tanA (1/tanA) + 3  ; [cotA = 1/tanA] 
= 1 + 3
= 4

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30°। গাছটি 10 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত?

সমাধান:

ধরি,
গাছটি = a মিটার দূরে অবস্থিত

∴ tan 30° = (গাছের উচ্চতা)/(দূরত্ব)
⇒ 1/√3 = 10/a
∴ a = 10√3

প্রশ্ন: A = π/2 ও B = π/4 হলে sec(A + B) = কত?
 
সমাধান:
sec(A + B) = sec[(π/2) + (π/4)]
= sec(3π/4)
= sec135°
= sec(90° + 45°)
= - cosec45°                             [∵ sec(90° + θ) = - cosecθ]
= - √2                                       [∵ cosec45° = √2] 

পাখিটি AB = 26m,
উত্তর পূর্বে গিয়ে BC = 24m দক্ষিণ দিকে যায় এবং
C বিন্দুতে অবস্থান করে
∴ A হতে C এর দূরত্ব AC = ?
পিথাগুরাসের সূত্রানুসারে AC² + BC² = AB²
বা, AC² = AB² - BC²
= 26² - 24²
= 100
∴ AC = 10m

প্রশ্ন: 21 মিটার উঁচু খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 21√3 মিটার হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?

সমাধান:
 
খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = 21 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 21√3 মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ?

ΔABC এ
tanθ = AB/BC
⇒ tanθ = 21/(21√3)
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ tanθ = tan30°
∴ θ = 30°

∴ সূর্যের উন্নতি কোণ হলো 30°

প্রশ্ন: sec2θ = 2/√3 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
sec2θ = 2/√3
⇒ sec2θ = sec30°
⇒  2θ = 30°
⇒  θ = 30°/2
∴ θ = 15°

প্রশ্ন: যদি cotθ = 4/3 হয়, তাহলে (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ − 2cosθ) এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
cotθ = ভূমি/লম্ব = 4/3
এখানে, ভূমি = 4 এবং লম্ব = 3
ধরি, অতিভুজ = x 

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
x² = 4² + 3²
⇒ x² = 16 + 9
⇒ x² = 25
⇒ x² = 5²
⇒ x = 5

এখন, sinθ = লম্ব/অতিভুজ = 3/5
এবং, cosθ = ভূমি/অতিভুজ = 4/5

∴ (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ − 2cosθ) 
= [3(3/5) + 2(4/5)]/[3(3/5) - 2(4/5)]
= (17/5)/(1/5)
= 17 

প্রশ্ন: যদি 1 + sinθ = mcosθ হয় তবে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
1 + sinθ = m cos θ
⇒ (1 + sinθ)/cosθ = m
⇒ (1/cosθ) + (sinθ/cosθ) = m
⇒ secθ + tanθ = m .......(i)

আমরা জানি
(secθ + tanθ) (secθ - tanθ) = 1
⇒ m(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/m ........(ii)

এখন, (i) - (ii) ⇒
secθ + tanθ - (secθ - tanθ) = m - (1/m)
⇒ secθ + tanθ - secθ + tanθ = (m² - 1)/m
⇒ 2tanθ = (m² - 1)/m
⇒ tanθ = (m² - 1)/2m
⇒ 1/cotθ = 1/{(m² - 1)/2m}
∴ cotθ = 2m/(m² - 1)

প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে secθ এর মান কত?

সমাধান:
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7
⇒ ​(sinθ + cosθ + sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ - sinθ + cosθ) = (7 + 1)/(7 - 1) [যোজন-বিয়োজন করে]
⇒ ​​2sinθ/2cosθ = 8/6
⇒ ​​sinθ/cosθ = 4/3
⇒ ​​tanθ = 4/3
⇒ ​​tan²θ = 16/9
⇒ ​​sec²θ - 1 = 16/9 [ sec²θ - tan²θ = 1]
⇒ ​​sec²θ = 1 + (16/9)
⇒ ​​sec²θ = (9 + 16)/9
⇒ ​​sec²θ = 25/9
⇒ ​​secθ = 5/3

প্রশ্ন: যদি sin θ = 0.5 হয়, তবে θ এর মান কত? (0° ≤ θ ≤ 90°)

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিকোণমিতির মান অনুসারে-
sin 0° = 0
sin 30° = 1/2
sin 90° = 1
sin 180° = 0 

অতএব, sin θ = 0.5 হয় কেবল যখন θ এর মান = 30° হয়।

Question: If sin 45° = √2A, then A =?

Solution: 
sin 45° = √2A
1/√2 =√2A
A = 1/(√2)²
A = 1/2

(1/sin²A) - (1/tan²A)
=(1/sin²A) - (cos²A/sin²A)
= (1 - cos²A)/sin²A
= sin²A/sin²A
=1

(cosecθ + cotθ)(cosecθ - cotθ)
= cosec²θ - cot²θ = 1
বা, 3(cosecθ - cotθ) = 1
∴ cosecθ - cotθ = 1/3

প্রশ্ন: sin{(nπ)/2} অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?

সমাধান:
sin{(nπ)/2}
= sin{(4π)/2}
= sin2π
= sin360°
= sin(4 × 90° + 0°)
= sin0°
= 0

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ AC = 2 একক এবং লম্ব AB = 1 একক হলে tanC = কত?
 

প্রশ্ন: tan2A = √3 হলে, A = ?

সমাধান: 
tan2A = √3 = tan60°
⇒ 2A = 60° 
∴ A = 30°

প্রশ্ন: (- 1, - 4) এবং (4, 8) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
√2sinθ - cosθ=2sinθ–√2sin(90º−θ)
⇒ -cosθ+√2cosθ =2sinθ - √2sinθ
⇒cosθ(√2 - 1) =√2sinθ(√2 - 1)
⇒ cotθ = √2

প্রশ্নমতে,
(x+5)º + (2x-3)º + (3x+4)º = 180º
বা, 6x + 6 = 180
বা, 6x = 174
বা, x = 174/6 = 29