লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

ত্রিকোণমিতি

মোট প্রশ্ন১,২৮৮এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

ত্রিকোণমিতি

PrepBank · পাতা ৬ / ১৩ · ৫০১–৬০০ / ১,২৮৮

৫০১.
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:


সমাধান: 

৫০২.
যদি sinA = 1/2 হয়, তাহলে sin22A =?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/4
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    √3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sinA = 1/2 হয়, তাহলে sin22A =?

সমাধান:
sin A = 1/2
⇒ sin A = sin 30°
⇒ A = 30°

sin22A
⇒ sin2(2 × 30°)
⇒ sin260°
⇒ (√3/2)2
⇒ 3/4

∴ sin22A এর মান হল 3/4
৫০৩.
cosec(90° - θ) = 2 হলে, cosθ = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    √3/2
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1/√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosec(90° - θ) = 2 হলে, cosθ = কত?

সমাধান:
cosec(90° - θ) = 2
⇒ secθ = 2
⇒ 1/cosθ = 2
∴ cosθ = 1/2 
৫০৪.
secA - tanA = 4/5 হলে, tanA + secA এর মান কত? 
  1. ক
    1/5
  2. খ
    3/5
  3. গ
    4/5
  4. ঘ
    5/4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: secA - tanA = 4/5 হলে, tanA + secA এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
sec2A - tan2A = 1 
বা, (secA + tanA)(secA - tanA) = 1 
বা, 4/5 (secA + tanA) = 1 
∴ secA + tanA = 5/4 

৫০৫.
cos{(11π/2) + θ} =? 
  1. ক
    - sinθ 
  2. খ
    sinθ 
  3. গ
    cosθ
  4. ঘ
    - cosθ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos{(11π/2) + θ} =? 

সমাধান:
আমরা জানি 
cos{(π/2) + θ} = sinθ
sin{(π/2) + θ} = cosθ

cos[{11(π/2)} + θ] =  - sinθ 

(π/2) এর বিজোড় গুণিতক হলে 

৫০৬.
  1. ক
    1/3
  2. খ
    3
  3. গ
    √3
  4. ঘ
    1/√3
ব্যাখ্যা
সমাধান:
৫০৭.
cosA secA + 2 এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    1
  3. গ
    8
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosA secA + 2 এর মান কত?
​
​সমাধান:
 cosA secA  + 2
​= cosA (1/cosA) + 2
​= 1 + 2
​= 3

৫০৮.
উন্নতি কোণ কত হলে খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে?
  1. ক
    90°
  2. খ
    60°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    30°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: উন্নতি কোণ কত হলে খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে?

সমাধান:

ধরি,
খুঁটিটির দৈর্ঘ্য AB, ছায়ার দৈর্ঘ্য BC,
উন্নতি কোণ AB = BC
চিত্র হতে,
tanθ = AB/BC = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

অর্থাৎ, উন্নতি কোণ 45° হলে, খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে।
৫০৯.
{(1/cosθ) + (1/cotθ)}{(1/cosθ) - (1/cotθ)} এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) cotθ
  4. ঘ
    ঘ) - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {(1/cosθ) + (1/cotθ)}{(1/cosθ) - (1/cotθ)} এর মান কত? 

সমাধান: 
{(1/cosθ) + (1/cotθ)}{(1/cosθ) - (1/cotθ)}
= (secθ + tanθ)(secθ - tanθ)
= (sec2θ - tan2θ)
= 1 
৫১০.
যদি sec²θ+tan²θ=7 হয়, তাহলে θ এর মান নির্ণয় করুন,এখানে 0° < θ < 90°
  1. ক
    ক) 60°
  2. খ
    খ) 30°
  3. গ
    গ) 45°
  4. ঘ
    ঘ) 90°
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
sec²θ+tan²θ=7
⇒ 1+tan²θ+tan²θ =7
⇒1+2tan²θ = 7
⇒ 2tan²θ = 6
⇒ tan²θ = 3
⇒tanθ = √3
⇒tanθ = tan60º
∴ θ = 60º

৫১১.
cosecθ + cotθ = a হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত?
  1. ক
    1/a²
  2. খ
    1/a
  3. গ
    a
  4. ঘ
    1 - a
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosecθ + cotθ = a হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosec²θ - cot²θ = 1
বা, (cosecθ + cotθ)(cosecθ - cotθ) = 1
বা, a(cosecθ - cotθ) = 1
∴ cosecθ - cotθ = 1/a
৫১২.
একটি গাছের উচ্চতা 200 মি.। গাছটির শীর্ষ বিন্দু ভূমির কোন বিন্দুতে উন্নতি কোন 60° উৎপন্ন করলে ,গাছটির গোঁড়া থেকে ভুথলস্থ বিন্দুটির দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) 116.0622 মি.
  2. খ
    খ) 115.470 মি.
  3. গ
    গ) 112.47 মি.
  4. ঘ
    ঘ) 110 মি.
ব্যাখ্যা

এখানে AB = 200 মি. ∴ tan60 = AB/BC ⟹ √3 = 200/BC ⟹ BC = 115.47 মি.
৫১৩.
যদি sin⁡x + cos⁡x = 1 হয়, তবে sin⁡2x এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sin⁡x + cos⁡x = 1 হয়, তবে sin⁡2x এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin2x = 2sinx · cosx

দেওয়া আছে,
sin⁡x + cos⁡x = 1
⇒ (sin⁡x + cos⁡x)2 = 12
⇒ sin2x + cos2x + 2sinx · cosx = 1
⇒ 1 + 2sinx · cosx = 1
⇒ 2sinx · cosx = 0
∴ sin2x = 0
৫১৪.
একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ যথাক্রমে 70° এবং 90° হলে তৃতীয় কোণটির পরিমাণ রেডিয়ান এককে কত হবে?
  1. ক
    π/2 রেডিয়ান
  2. খ
    π/4 রেডিয়ান
  3. গ
    π/5 রেডিয়ান
  4. ঘ
    π/9 রেডিয়ান
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ যথাক্রমে 70° এবং 90° হলে তৃতীয় কোণটির পরিমাণ রেডিয়ান এককে কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
তিন কোণের সমষ্টি = 180°

∴ ১ম কোণ + ২য় কোণ + ৩য় কোণ = 180°
⇒ 70° + 90° + ৩য় কোণ  = 180°
⇒ ৩য় কোণ  = 180° - 70° - 90° 
∴ ৩য় কোণ  = 20°

আবার, 90° = π/2 রেডিয়ান
∴ 20° = (π × 20°)/(2 × 90°) = π/9 রেডিয়ান
৫১৫.
secA - tanA = 1/6 হলে, secA + tanA এর মান কত?
  1. ক
    1/6
  2. খ
    6
  3. গ
    36
  4. ঘ
    √6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: secA - tanA = 1/6 হলে, secA + tanA এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sec2A - tan2A = 1
⇒ (secA - tanA)(secA + tanA) = 1
⇒ (1/6)(secA + tanA) = 1
⇒ secA + tanA = 1/(1/6)
⇒ secA + tanA = 6

৫১৬.
cosec(90° - θ) = 2/√3 হলে tanθ = কত?
  1. ক
    1/√3
  2. খ
    √3
  3. গ
    2/√3
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosec(90° - θ) = 2/√3 হলে tanθ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosec(90° - θ) = 2/√3
⇒ secθ = 2/√3
⇒ sec2θ = (2/√3)2
⇒ 1 + tan2θ = 4/3
⇒ tan2θ = (4/3) - 1
⇒ tan2θ = (4 - 3)/3
⇒ tan2θ = 1/3
∴ tanθ = 1/√3
৫১৭.
  1. ক
    √2
  2. খ
    5√2
  3. গ
    √5
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 

সমাধান: 
৫১৮.
sin(Q + 18°) = 1/√2 হলে, Q এর মান কত?
  1. ক
    27°
  2. খ
    28°
  3. গ
    78°
  4. ঘ
    42°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin(Q + 18°) = 1/√2 হলে, Q এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin (Q + 18°) = 1/√2 
⇒ sin (Q + 18°) = sin 45° 
⇒ Q + 18° = 45° 
⇒ Q = 45° - 18° 
∴ Q = 27°  । 
৫১৯.
Cosθ = 1/2 × (a + 1/a) হলে Cos2θ = ?
  1. ক
    ক) a + 1/a
  2. খ
    খ) 1/2 × (a2 + 1/a2)
  3. গ
    গ) 1/2 × (a + 1/a)
  4. ঘ
    ঘ) a2 + 1/a2
ব্যাখ্যা

Cos2θ = 2Cos2θ - 1
= 2{1/2(a + 1/a)}2 - 1
= 2.1/4(a2 + 1/a2 + 2.a.1/a) - 1
= 1/2{(a2 + 1/a2) + 2} - 1
= 1/2(a2 + 1/a2) + 1 - 1
= 1/2 × (a2 + 1/a2)

৫২০.
A = π/2 ও B = π/6 হলে sin(A + B) = কত?
  1. ক
    √3
  2. খ
    √3/2
  3. গ
    1/√3
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = π/2 ও B = π/6 হলে sin(A + B) = কত? 

সমাধান: 
 sin(A + B) = sin(π/2 + π/6) 
= sin (2π/3) 
= sin120° 
= sin (90° + 30°)
= cos30°
= √3/2
৫২১.
একটি 45 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30º কোন উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উচুঁতে ভেঙ্গে ছিল?
  1. ক
    ক) 15
  2. খ
    খ) 30
  3. গ
    গ) 22
  4. ঘ
    ঘ) 25
ব্যাখ্যা

ধরি, খুঁটিটি x মিটার উচুঁতে ভেঙ্গেছিল
∴ ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (45-x) মিটার
∴ sin30° = x/45-x
বা, 1/2 = x/45-x
বা, 2x = 45-x
বা, 3x = 45
∴ x = 15

৫২২.
যদি A + B = 90° এবং tan A = √3 হয়, তবে B এর মান কত?
  1. ক
    45°
  2. খ
    60°
  3. গ
    75° 
  4. ঘ
    30°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A + B = 90° এবং tan A = √3 হয়, তবে B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A + B = 90°
⇒ B = 90° - A ..........(1)
এবং 
tan A = √3
⇒ tan A = tan 60°
∴ A = 60°

(1) নং এ A এর মান বসিয়ে পাই, 
⇒ B = 90° - A
⇒ = 90° - 60°
∴ B = 30°

৫২৩.
sinθ = 1/2 হলে, cotθ এর মান নিচের কোনটি? 
  1. ক
    √3
  2. খ
    √2
  3. গ
    1/√3
  4. ঘ
    1/√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinθ = 1/2 হলে, cotθ এর মান নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে
sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°

এখন 
cot30° = √3
৫২৪.
যদি A = 45° হয় তবে (1 - tan2A)/(1 + tan2A) = কত? 
  1. ক
    2
  2. খ
    - 2 
  3. গ
    0 
  4. ঘ
    1 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = 45° হয় তবে (1 - tan2A)/(1 + tan2A) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = 45°

এখন,
(1 - tan2A)/(1 + tan2A)
= {1 - (tan45°)2}/{1 + (tan45°)2}
= {1 - (1)2}/{1 + (1)2}
= (1 - 1)/(1 + 1)
= 0/2
= 0
৫২৫.
Sin{(9π/2) + θ} =?
  1. ক
    sinθ
  2. খ
    - Cosθ
  3. গ
    - sinθ
  4. ঘ
    Cosθ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: Sin{(9π/2) + θ} =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= Sin{(9π/2) + θ}
= Sin{9 × (π/2) + θ}
= Sin(9 × 90° + θ)        ; π = 180°

90° করে ঘুরে, 9 বার ঘুরে 2nd  চতুর্ভাগে আসবে । যেখানে Sinθ এর মান ধনাত্মক । 
আবার Sin(90° + θ) = Cosθ

∴ Sin{(9π/2) + θ} = Cosθ
৫২৬.
একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙ্গে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত খুঁটিটির গোড়া থেকে 12 মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করলো, খুঁটিটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    30 মিটার
  2. খ
    24 মিটার
  3. গ
    28 মিটার
  4. ঘ
    18 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙ্গে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত খুঁটিটির গোড়া থেকে 12 মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করলো, খুঁটিটির উচ্চতা কত? 

সমাধান:

ধরি, 
খুঁটির উচ্চতা = h 

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, ,
(h - 5)2 = 52 + 122
বা, (h - 5)2 = 25 + 144 
বা, (h - 5)2 = 169
বা, (h - 5)2 = 132
বা, h - 5 = 13 
∴ h = 18 

∴ খুঁটির উচ্চতা = 18 মিটার ।

৫২৭.
tan66°.tan30°. cot66° এর মান নির্ণয় করুন। 
  1. ক
    1/√2
  2. খ
    √3
  3. গ
    1/√3
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tan66°.tan30°. cot66° এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
tan66°.tan30°. cot66°
= tan66° × (1/√3) × cot66°
= 1/√3

∴ tan66°.tan30°. cot66° এর মান হল 1/√3
৫২৮.
tan90° এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) √3
  4. ঘ
    ঘ) অসংজ্ঞায়িত
ব্যাখ্যা
বিভিন্ন ধরণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান:
৫২৯.
যদি secθ - tanθ = 5 হয়, তবে secθ এর মান কত?
  1. ক
    5/13
  2. খ
    7/6
  3. গ
    17/5
  4. ঘ
    13/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি secθ - tanθ = 5 হয়, তবে secθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ - tanθ = 5 ...... (1)

আমরা জানি,
sec2θ - tan2θ = 1
⇒ (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ + tanθ = 1/(secθ - tanθ)
⇒ secθ + tanθ = 1/5 ...... (2) [কারণ (1) হতে]

সমীকরণ (1) + (2) করে পাই,
⇒ secθ - tanθ + secθ + tanθ = 5 + (1/5)
⇒ 2secθ = 26/5
⇒ secθ = 26/10
∴ secθ = 13/5
৫৩০.
cosec(90° - θ) = 2/√3 হলে tan2θ = কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/√3
  3. গ
    1/√5
  4. ঘ
    1/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosec(90° - θ) = 2/√3 হলে tan2θ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosec(90° - θ) = 2/√3
⇒ secθ = 2/√3
⇒ sec2θ = (2/√3)2
⇒ 1 + tan2θ = 4/3
⇒ tan2θ = (4/3) - 1
⇒ tan2θ = (4 - 3)/3
∴ tan2θ = 1/3
৫৩১.
(3, - 2) এবং (7, 6) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    - 1/2
  3. গ
    - 3/5
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3, - 2) এবং (7, 6) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি, দুইটি বিন্দু (x1, y1) এবং (x2, y2) দ্বারা অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
m = (y2 - y1)/(x2 - x1)

এখানে, (x1, y1) = (3, - 2) এবং (x2, y2) = (7, 6)

∴ ঢাল, m = {6 - (- 2)}/(7 - 3)
= (6 + 2)/(7 - 3)
= 8/4
= 2

∴ সরলরেখার ঢাল = 2

৫৩২.
sin(θ + 15°) = 3/√12 হলে √2cosθ = ?
  1. ক
    1/√2
  2. খ
    1/2
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin(θ + 15°) = 3/√12 হলে √2cosθ = ?

সমাধান:
sin(θ + 15°) = 3/√12
⇒ sin(θ + 15°) = 3/(2√3)
⇒ sin(θ + 15°) = (√3 . √3)/2√3
⇒ sin(θ + 15°) = √3/2
⇒ sin(θ + 15°) = sin60°
⇒ θ + 15° = 60°
⇒ θ = 45°

এখন,
√2cosθ = √2(cos 45°)
= √2(1/√2)
= 1
৫৩৩.
যদি tanA + sinA = m এবং tanA - sinA = n হয়, তাহলে (m2 - n2)/4 = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    mn
  3. গ
    4√mn
  4. ঘ
    √mn
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি tanA + sinA = m এবং tanA - sinA = n হয়, তাহলে (m2 - n2)/4 = কত? 

সমাধান: 
(m2 - n2)/4
= {(tanA + sinA)2 - (tanA - sinA)2}/4
= (4tanA . sinA)/4    [∴ (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab]
= √(tan2A . sin2A)
= √{tan2A (1 - cos2A)}
= √(tan2A - tan2A . cos2A)
= √(tan2A - (sin2A/cos2A) . cos2A)
= √(tan2A - sin2A)
= √{(tanA + sinA)(tanA - sinA)}
= √mn
৫৩৪.
42 মিটার লম্বা একটি মই একটি দেয়ালের ছাদ বরাবর ঠেস দিয়ে ভূমির সঙ্গে 45° কোণ উৎপন্ন করে। দেয়ালের উচ্চতা কত?
  1. ক
    ক) 18/√2
  2. খ
    খ) 21√2 
  3. গ
    গ) 23√2 
  4. ঘ
    ঘ) 14√2 
ব্যাখ্যা
ধরি,  উচ্চতা = h
তাহলে, sin45° = h/42
বা, 1/√2 = h/42
∴ h = 42/√2 = 21√2 
৫৩৫.
যদি cot (x – 30°) = √3 হয়, তাহলে cos x = ?
  1. ক
    ক) 1/√2
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) √3/2
ব্যাখ্যা
cot (x-30º) = √3 = cot 30º
⇒ x-30º= 30º [As we know, cot 60º = 1/√3]
⇒ x = 60º
Now, cosx = cos60º = 1/2
৫৩৬.
tan 90° - এর মান কত?
  1. ক
    ক) ∞
  2. খ
    খ) -∞
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) -1
ব্যাখ্যা
tan 90° - এর মান অসঙ্গায়িত।
৫৩৭.
যদি 1 + tan2θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ = ?
  1. ক
    37.5°
  2. খ
    30°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    60°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 1 + tan2θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1 + tan2θ = 4
⇒ sec2θ = 4   ; [sec2θ = 1 + tan2θ]
⇒ (secθ)2 = (2)2
⇒ secθ = 2
⇒ secθ = sec60°
∴ θ = 60°

৫৩৮.
sinθ এর সর্বোচ্চ মান কত? 
  1. ক
    - 1
  2. খ
    0
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinθ এর সর্বোচ্চ মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সাইন ফাংশনের মান সবসময় নিম্নলিখিত সীমার মধ্যে থাকে,
- 1 ≤ sinθ ≤ 1
অর্থাৎ, সর্বোচ্চ মান (maximum value) = + 1
এবং সর্বনিম্ন মান (minimum value) = - 1

৫৩৯.
হলে, cosθ এর মান কত?
  1. ক
    5/4
  2. খ
    4/5
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    3/5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosecθ = 1/sinθ এবং cotθ = cosθ/sinθ

​

৫৪০.
একটি নদীর এক তীরে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে অপর তীরে অবস্থিত 60 মিটার উঁচু একটি গাছের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60°। নদীটির প্রস্থ কত?
  1. ক
    20√3 মিটার
  2. খ
    30 মিটার
  3. গ
    30√3 মিটার
  4. ঘ
    58 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নদীর এক তীরে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে অপর তীরে অবস্থিত 60 মিটার উঁচু একটি গাছের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60°। নদীটির প্রস্থ কত?

সমাধান:

​মনে করি,
​গাছটির পাদবিন্দু = C
​গাছের শীর্ষবিন্দু = A
​গাছের উচ্চতা, AC = 60 মিটার 
​অপর তীরের নির্দিষ্ট বিন্দু = B
​শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ, ∠ABC = 60°
​নদীর প্রস্থ = BC 
​
​এখন,
​tan60° = AC/BC
⇒ ​√3 = 60/BC
​⇒ ​BC = 60/√3 
⇒ ​BC = (20 × 3)/√3
⇒ ​BC ​= (20 × √3 × √3)/√3
⇒ ​BC ​= 20√3
​
​∴ নদীর প্রস্থ = 20√3 মিটার 

৫৪১.
নিচের কোন কোণের জন্য sinθ = cosθ হবে?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন কোণের জন্য sinθ = cosθ হবে?

সমাধান:
sin45° = 1/√2
cos45° = 1/√2

∴ 45° কোণের জন্য sinθ = cosθ হবে।
৫৪২.
একজন লোক ১০০ মিটার ট্র্যাকে ২৪ বার দৌড়ালে লোকটির অতিক্রান্ত দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) ২ কি.মি. ৪ হে.মি.
  2. খ
    খ) ২.০৪ কি.মি.
  3. গ
    গ) ২.৪৪ কি.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ২ কি.মি. ৪ ডেসি মি.
ব্যাখ্যা

অতিক্রান্ত দূরত্ব = ২৪ × ১০০ মিঃ
= ২৪০০ মিঃ
= ২ কিঃমিঃ ৪ হেক্টোমিঃ

৫৪৩.
যদি θ = 45° হয় তাহলে sec2θ - tan2θ এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি θ = 45° হয় তাহলে sec2θ - tan2θ এর মান কত?

সমাধান:
θ = 45°

প্রদত্ত রাশি:
sec2θ - tan2θ
= (√2)2 - (1)2
= 2 - 1
= 1
৫৪৪.
cosec2A + cot2A = 5/12 হলে cosec4A - cot4A এর মান কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1
  3. গ
    7/12
  4. ঘ
    5/12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosec2A + cot2A = 5/12 হলে cosec4A - cot4A  এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
cosec2A + cot2A = 5/12

এখানে
 cosec4A - cot4A = (cosec2A)2 - (cot2A)2
= (cosec2A + cot2A)(cosec2A - cot2A)
= 1 × (5/12)
= 5/12
৫৪৫.
cosθ=1/2(a+1/a), a≠0 হলে cos 2θ = ?
  1. ক
    ক) a2+1/a2
  2. খ
    খ) ½(a2+1/a2)
  3. গ
    গ) ¼(a2+1/a2)
  4. ঘ
    ঘ) 2(a2+1/a2)
ব্যাখ্যা
cosθ = ½(a+1/a)
⇒cos2θ =¼(a+1/a)2
⇒2cos2θ = 2.¼(a2+2.a.1/a+1/a2)
⇒2cos2θ-1 = ½(a2+1/a2+2)-1
⇒cos2θ = ½(a2+1/a2) +1 - 1
∴⇒cos2θ = ½(a2+1/a2)
৫৪৬.
cos480° এর মান কত?
  1. ক
    - (1/2)
  2. খ
    1/2
  3. গ
    √3/2
  4. ঘ
    - (√3/2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos480° এর মান কত?

সমাধান:
cos 480°
= cos(450° + 30°)
= cos(5 × 90° + 30°) [৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত]
= - sin30°
= - (1/2)
৫৪৭.
১৮ মি. দীর্ঘ খাঁড়া একটি বাঁশ তার পাদবিন্দু হতে ৮ মি. উচ্চতায় এমনভাবে ভেঙ্গে পড়ে যাতে তা পুরোপুরি খসে না পড়ে। তাহলে বাঁশের পাদবিন্দু থেকে কত দূরে তার শীর্ষবিন্দু ভূমিতে গিয়ে ঠেকবে?
  1. ক
    ক) ৫ মি.
  2. খ
    খ) ৭ মি.
  3. গ
    গ) ৬ মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৮ মি.
ব্যাখ্যা


বাঁশের দৈর্ঘ্য AB = 18 মি.; AC = 8 মি.
BC = CD = 10 মি.
যেহেতু, C বিন্দুতে বাঁশটি ভেঙ্গে যায় এবং এর B শীর্ষবিন্দুটি ভূমিতে ঠেকে D বিন্দুটিতে মিলিত হয়,
সেহেতু, ACD একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়।
ΔACD - এ
AD2 = CD2 - AC2
AD2 = 102 - 82 = 62
∴ AD = 6

৫৪৮.
যদি cosθ = 0.7 তাহলে sinθ = ? যেখানে,  0 ≤ θ < 90°
  1. ক
    0.5
  2. খ
    √0.51
  3. গ
    √0.55
  4. ঘ
    √0.6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি cosθ = 0.7 তাহলে sinθ = ? যেখানে,  0 ≤ θ < 90°

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = 0.7

আমরা জানি,
sin2θ + cos2θ = 1
বা, sin2θ + (0.7)2= 1
বা, sin2θ + 0.49 = 1
বা, sin2θ = 1 - 0.49 = 0.51
∴ sinθ = √0.51

৫৪৯.
sin2θ = √3/2 হলে, θ এর মান কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    0°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    60°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin2θ = √3/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান: 
sin2θ = √3/2
বা, sin2θ = sin60°
বা, 2θ = 60°
বা, θ = 60°/2
∴ θ = 30°
৫৫০.
4 tanA = 3 হলে cosA এর মান কত?
  1. ক
    3/5
  2. খ
    4/5
  3. গ
    5/4
  4. ঘ
    3/4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 tanA = 3 হলে cosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4 tanA = 3
⇒ tanA = 3/4

আমরা জানি,
tanA = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ2 = লম্ব2 + ভূমি2
⇒ অতিভুজ2 = 32 + 42
⇒ অতিভুজ2 = 9 + 16
⇒ অতিভুজ2 = 25
⇒ অতিভুজ = √25
⇒ অতিভুজ = 5 

এখন,
cosA = ভূমি/অতিভুজ
∴ cosA = 4/5

৫৫১.
যদি cosecB = 17/8 হয়, তবে cosB এর মান কত?
  1. ক
    8/15
  2. খ
    15/8
  3. গ
    17/8
  4. ঘ
    15/17
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি cosecB = 17/8 হয়, তবে cosB এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, cosecB = 17/8

আমরা জানি,
cosecB = অতিভুজ/লম্ব
অতএব,
অতিভুজ = 17 এবং লম্ব = 8

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব2 + ভূমি2 = অতিভুজ2
বা, 82 + ভূমি2 = 172
বা, 64 + ভূমি2 = 289
বা, ভূমি2 = 289 - 64
বা, ভূমি2 = 225
∴ ভূমি = √225 = 15

এখন, cosB = ভূমি/অতিভুজ
= 15/17

৫৫২.
যদি tan A = 1/√3 হয়, তবে (cosec2 A - sec2 A)/(cosec2 A + sec2 A) এর মান কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    2/3
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    3/2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tan A = 1/√3 হয়, তবে (cosec2 A - sec2 A)/(cosec2 A + sec2 A) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
tan A = 1/√3 
বা, 1/cot A = 1/√3 
∴ cot A = √3 

প্রদত্ত রাশি = (cosec2 A - sec2 A)/(cosec2 A + sec2 A)
= (1 + cot2 A - 1 - tan2 A)/(1 + cot2 A + 1 + tan2 A) 
= {1 + (√3)2 - 1 - (1/√3)2}/{1 + (√3)2 + 1 + (1/√3)2} 
= {1 + 3 - 1 - (1/3)}/{1 + 3 + 1 + (1/3)} 
= {3 - (1/3)}/{5 + (1/3)} 
= {(9 - 1)/3}/(15 + 1)/3}
= (8/3)/(16/3) 
= (8/3) × (3/16)
= 1/2

৫৫৩.
যদি θ সূক্ষকোণ হয় এবং 7sin2θ + 3cos2θ = 4 হয়, তাহলে tanθ এর মান কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/√3
  3. গ
    √2
  4. ঘ
    √3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষকোণ হয় এবং 7sin2θ + 3cos2θ = 4 হয়, তাহলে tanθ এর মান কত?

সমাধান: 
7sin2θ + 3cos2θ = 4
⇒ 7sin2θ + 3(1 - sin2θ) = 4
⇒ 7sin2θ + 3 - 3sin2θ = 4
⇒ 4sin2θ = 1
⇒ sin2θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30º
⇒ θ = 30º

∴ tanθ = tan30º = 1/√3
৫৫৪.
tanθ = - (5/12), (π/2) <& theta; <π হলে cosecθ এর মান - 
  1. ক
    -(5/13)
  2. খ
    - (13/5)
  3. গ
    5/13
  4. ঘ
    13/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tanθ = - (5/12), (π/2) < θ <π হলে cosecθ এর মান -

(π/2) < θ <π এ tanθ ঋণাত্মক 

tanθ = - 5/12 = লম্ব/ভূমি 

অতিভুজ = √{লম্ব2 + ভূমি2}
= √{(5)2 + (- 12)2}
= √(25 + 144)
= √169
= 13

cosecθ = অতিভুজ/লম্ব = 13/5

এখানে 
tanθ = - (5/12) এ লম্ব = - 5 ধরলে cosecθ =13/(- 5) = - 13/5  আসে 
(π/2) < θ <π এ অর্থাৎ ২য় চতুর্ভাগে cosecθ ধনাত্মক। 
তাই cosecθ = 13/5 গ্রহণযোগ্য। 
৫৫৫.
যদি secA = 17/8 হয়, তবে sinA এর মান কত?
  1. ক
    15/17
  2. খ
    8/17
  3. গ
    17/15
  4. ঘ
    15/8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি secA = 17/8 হয়, তবে sinA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, secA = 17/8

আমরা জানি, secA = অতিভুজ/ভূমি
অতএব, অতিভুজ = 17 এবং ভূমি = 8

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব2 + ভূমি2 = অতিভুজ2
বা, লম্ব2 + 82 = 172
বা, লম্ব2 + 64 = 289
বা, লম্ব2 = 289 - 64
বা, লম্ব2 = 225
∴ লম্ব = √225 = 15

এখন, sinA = লম্ব/অতিভুজ
∴ sinA = 15/17

৫৫৬.
tanθ + sinθ = a এবং tanθ - sinθ = b হলে, (a2 - b2) এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    0
  2. খ
    4√(ab)
  3. গ
    a/b
  4. ঘ
    (√ab)/2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ + sinθ = a এবং tanθ - sinθ = b হলে, (a2 - b2) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, a2- b2
= (tanθ + sinθ)2 - (tanθ - sinθ)2
= 4tanθ . sinθ                  [∵ (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab]
= 4√(tan2θ . sin2θ)
= 4√[tan2θ(1 - cos2θ)]
= 4√[tan2θ - (tan2θ . cos2θ)]
= 4√(tan2θ - sin2θ)          [∵ tanθ = sinθ/cosθ]
= 4 √[(tanθ + sinθ)(tanθ - sinθ)]
= 4√(ab)  

৫৫৭.
যদি θ = 45° হয় তবে, tanθ√(1 - sin2θ) = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    1/√2
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি θ = 45° হয় তবে, tanθ√(1 - sin2θ) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
θ = 45°

প্রদত্ত রাশি = tanθ√(1 - sin2θ)
= tanθ√(cos2θ)
= tanθ × cosθ
= tan45° × cos45°
= 1 × (1/√2)
= 1/√2
৫৫৮.
কোনো স্থান থেকে একটি মিনারের দিকে 60 মিটার পিছিয়ে আসলে মিনারের শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ 45° থেকে 60° হয়। মিনারের উচ্চতা কত?
  1. ক
    ক) 60√3/(√3 - 1) মিটার
  2. খ
    খ) 60√3/(√2- 1) মিটার
  3. গ
    গ) 60√3/√3 মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ক ও গ উভয়
ব্যাখ্যা


ΔABD এর ∠ADB = 45°
∴ tan45°=AB/BD
⇒ 1 = h/(60 + x)
⇒ h = 60 + x ...........(1)
ΔABC এর ∠ACB =  60°
∴ tan60°=AB/BC = h/x
⇒√3 = h/x
∴ x = h/√3
x এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই,
h = 60√3/(√3 - 1) মিটার

৫৫৯.
cot90°. tan0° . sec30° . cosec60° = কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 2/√3
ব্যাখ্যা

cot90°. tan0° . sec30° . cosec60° = 0 . 0 . 2/√3 . 2/√3 = 0

৫৬০.
sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি?
  1. ক
    √3/2
  2. খ
    1
  3. গ
    0
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি? 

সমাধান: 
sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ = sin(5π/6)  [এখানে n = 5]

এখন, 
sin (5π/6)
= sin {(5 × 180°)/6}
= sin 150°
= sin (180° - 30°)
= sin30°
= 1/2
∴ sin (5π/6) = 1/2
৫৬১.
cosθ = 1/2 হলে cotθ এর মান কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1
  3. গ
    √3
  4. ঘ
    1/√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosθ = 1/2 হলে cotθ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cosθ = 1/2 
বা, cosθ = cos60° 
∴ θ = 60° 

এখন, 
cotθ 
= cot60° 
= 1/√3
৫৬২.
secθ = 3/2 হলে tanθ = কত?
  1. ক
    1/√3
  2. খ
    2/3
  3. গ
    3/√2
  4. ঘ
    √5/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: secθ = 3/2 হলে tanθ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ = 3/2
⇒ sec2θ = 9/4
⇒ 1 + tan2θ = 9/4
⇒ tan2θ = (9/4) - 1
⇒ tan2θ = (9 - 4)/4
⇒ tan2θ = 5/4
⇒ tanθ = √5/2
৫৬৩.
যদি 7sin2θ + 3cos2θ = 4 হয়, তবে cotθ এর মান কত?
  1. ক
    1/√3
  2. খ
    0
  3. গ
    √3/2
  4. ঘ
    √3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 7sin2θ + 3cos2θ = 4 হয়, তবে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
7sin2θ + 3cos2θ = 4
⇒ 7sin2θ + 3(1- sin2θ) = 4
⇒ 7sin2θ + 3 - 3sin2θ = 4
⇒ 4sin2θ = 1
⇒ sin2θ = 1/4
⇒ sinθ =1/2
⇒ sinθ = sin30∘
⇒ θ = 30∘

∴ cotθ = cot30° = √3
৫৬৪.
যদি A সূক্ষ্মকোণ এবং sinA = 8/10 হয়, তবে cotA এর মান কত?
  1. ক
    10/8
  2. খ
    1/4
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    3/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A সূক্ষ্মকোণ এবং sinA = 8/10 হয়, তবে cotA এর মান কত?

সমাধান:
sinA = 8/10

আমরা জানি
⇒ cos2A = 1 - sin2A
⇒ cos2A = 1 - (8/10)2
⇒ cos2A = (1 - 64)/100
⇒ cos2A = (100 - 64)/100
⇒ cos2A = 36/100
⇒ cos2A = (6/10)2
⇒ cosA = 6/10

cotA = cosA/sinA
= (6/10)/(8/10)
= 3/4
 
৫৬৫.
(sinA + cosA)/(sinA - cosA) = 7 হলে, tanA =?
  1. ক
    ক) 3/4
  2. খ
    খ) 4/3
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 5/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (sinA + cosA)/(sinA - cosA) = 7 হলে, tanA =?

সমাধান: 
(sinA + cosA)/(sinA - cosA) = 7 
বা, (sinA + cosA + sinA - cosA)/(sinA + cosA - sinA + cosA ) = (7 + 1)/(7 - 1)
বা, 2sinA/2cosA = 8/6
বা, tanA = 4/3 
৫৬৬.
একটি দেয়াল ৪০ ফুট উচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে দেয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা হয়েছে। উপরে মইটি দেয়ালের ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?
  1. ক
    ক) ৪১ ফুট
  2. খ
    খ) ৪৯ফুট
  3. গ
    গ) ৪৩ফুট
  4. ঘ
    ঘ) ৪৪ফুট
ব্যাখ্যা

এখানে ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ AC2 = AB2 + BC2
⇒AC2 = 402 +92
⇒AC2 = 1681
∴AC = 41
৫৬৭.
নিচের কোনটি সঠিক?
i. sec²A = 1 + tan²A
ii. secA = 1/cosA
iii. cotA = sinA/cosA
  1. ক
    ক) i
  2. খ
    খ) ii ও iii
  3. গ
    গ) i, ii ও iii
  4. ঘ
    ঘ) i ও ii
ব্যাখ্যা

sec²A = 1 + tan²A [সূত্র]
secA = 1/cosA [সূত্র]

৫৬৮.
ঝড়ে একটি গাছ হেলে পড়লো। গাছের গোড়া থেকে 7 মিটার উচ্চতায় একটি লাঠি ঠেস দিয়ে গাছটিকে সোজা করা হলো। মাটিতে লাঠিটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ 30° হলে, লাঠির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 14 মিটার
  2. খ
    খ) 18 মিটার
  3. গ
    গ) 21 মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 28 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ঝড়ে একটি গাছ হেলে পড়লো। গাছের গোড়া থেকে 7 মিটার উচ্চতায় একটি লাঠি ঠেস দিয়ে গাছটিকে সোজা করা হলো। মাটিতে লাঠিটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ 30° হলে, লাঠির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:


মনে করি,
লাঠির দৈর্ঘ্য = BC
গাছের গোড়া থেকে AB = 7 মি।
অবনতি কোণ, ∠DBC = 30°

∴ ∠ACB = ∠DBC = 30° [একান্তর কোণ হিসেবে]

ΔABC থেকে পাই,
sin∠ACB = AB/BC
⇒ sin30° = 7/BC
⇒ 1/2 = 7/BC
⇒ BC = 14
৫৬৯.
নিম্নের কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?
  1. ক
    ক) cos 90°
  2. খ
    খ) sin 90°
  3. গ
    গ) sec 0°
  4. ঘ
    ঘ) sec 90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?
সমাধান: 
- sec 90° এর মান অসংজ্ঞায়িত।
- sec 0° এর মান 1
- cos 90° এর মান 0 
- sin 90° এর মান 1
 
৫৭০.
(- 4, 5) এবং (1, 2) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?
  1. ক
    3/5
  2. খ
    7/3
  3. গ
    - 5/3
  4. ঘ
    - 3/5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (- 4, 5) এবং (1, 2) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x1, y1) এবং (x2, y2) দিয়ে অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
m = (y2 - y1)/(x2 - x1)

এখানে,
(x1, y1) = (- 4, 5) এবং (x2, y2) = (1, 2)

∴ ঢাল, (m) = (2 - 5)/{1 - (- 4)}
= - 3/(1 + 4)
= - 3/5

৫৭১.
সূর্যের উন্নতি কোণ ৬০º হলে একটি মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 40 মিটার হয়। মিনারটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    ক) 50√3
  2. খ
    খ) 60√3
  3. গ
    গ) 40√3
  4. ঘ
    ঘ) 30√3
ব্যাখ্যা
ধরি মিনারের উচ্চতা = h
শর্তমতে
tan60 = h/40
√3 = h/40
h = 40√3
৫৭২.
Cosθ = 3/5 হলে, Cosecθ এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5/3
  2. খ
    খ) 5/4
  3. গ
    গ) 4/9
  4. ঘ
    ঘ) 3/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: Cosθ = 3/5 হলে, Cosecθ এর মান কত?

সমাধান:

৫৭৩.
যদি sin⁡x + cos⁡x = 1 হয়, তবে sin⁡2x এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    - 1
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sin⁡x + cos⁡x = 1 হয়, তবে sin⁡2x এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin2x = 2sinx.cosx

দেওয়া আছে,
sin⁡x + cos⁡x = 1
বা, (sin⁡x + cos⁡x)2 = 12
বা, sin2x + cos2x + 2sinx.cosx = 1
বা, 1 + 2sinx.cosx = 1
বা, 2sinx.cosx = 0
∴ sin2x = 0
৫৭৪.
অবনতি কোণের মান কত হলে খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে? 
  1. ক
    ক) 30°
  2. খ
    খ) 45°
  3. গ
    গ) 60°
  4. ঘ
    ঘ) 90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অবনতি কোণের মান কত হলে খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে? 

সমাধান: 

AB খুঁটির দৈর্ঘ্য হলে, অবনতি কোণ ∠A = θ
সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের ক্ষেত্রে, ∠ACB = θ

ছায়ার দৈর্ঘ্য = BC 

tanθ = AB/BC
⇒ tanθ = AB/AB
⇒ tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45
⇒ θ = 45°
৫৭৫.
নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    cosec(- θ) = - cosecθ
  2. খ
    cot( - θ) = cotθ
  3. গ
    sin(- θ) = sinθ
  4. ঘ
    cos(- θ) = - cosθ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
⇒ sin(- θ) = - sinθ
⇒ cos(- θ) = cosθ
⇒ tan(- θ) = - tanθ
⇒ cosec(- θ) = - cosecθ
⇒ sec(- θ) = secθ
⇒ cot( - θ) = - cotθ

৫৭৬.
sinA = cosA হলে A এর মান কত? 
  1. ক
    55°
  2. খ
    45°
  3. গ
    35°
  4. ঘ
    25°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinA = cosA হলে A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA = cosA
⇒ sinA/cosA = 1
⇒ tanA = 1
⇒ tanA = tan45°
∴ A = 45°

৫৭৭.
(sin2)55° + (sin2)35° = ?
  1. ক
    ক) -1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 1/2
ব্যাখ্যা
(sin2)55° + (sin2)35°
= (sin2)55° + (sin2) (90°-55°)
= (sin2)55° + (cos2)55°
= 1
৫৭৮.
1 + tanx = √2 হলে cotx - 1 = কত?
  1. ক
    1/√2
  2. খ
    √2
  3. গ
    2√2
  4. ঘ
    2√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + tanx = √2 হলে cotx - 1 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 + tanx = √2
⇒ tanx = √2 - 1
⇒ cotx = 1/(√2 - 1)
⇒ cotx  = (√2 + 1)/{(√2 - 1)(√2 + 1)}
⇒ cotx = (√2 + 1)/(2 - 1)
⇒ cotx = √2 + 1
∴ cotx - 1 = √2
৫৭৯.
সমাধান করুন:
  1. ক
    cotθ
  2. খ
    secθ
  3. গ
    cosecθ
  4. ঘ
    cosθ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

​
​সমাধান:
​

৫৮০.
sinA + sin2A = 1 হলে cos2A + cos4A = কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    4
  3. গ
    3
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinA + sin2A = 1 হলে cos2A + cos4A = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA + sin2A = 1
বা, sinA = 1 - sin2A
∴ sinA = cos2A

এখন,
cos2A + cos4A
= cos2A + (cos2A)2
= cos2A + (sinA)2
= cos2A + sin2A
= sin2A + cos2A
= 1

৫৮১.
যদি tanθ = 1/√3 হয়, তবে cosecθ এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    2/√3
  2. খ
    √3/2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tan θ = 1/√3 হয়, তবে cosec θ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 tanθ = 1/√3
বা, tanθ = tan30° 
∴ θ = 30°
 
এখন,
cosec θ
= cosec30°
= 1/sin30°
= 1/(1/2)
= 2

৫৮২.
{sinA/(1 + cosA)} + {sinA/(1 - cosA)} = কত, যেখানে, (0∘ < A < 90∘)
  1. ক
    2cosecA
  2. খ
    2cosA
  3. গ
    2sinA
  4. ঘ
    2secA
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {sinA/(1 + cosA)} + {sinA/(1 - cosA)} = কত, যেখানে, (0∘ < A < 90∘)

সমাধান:
 {sinA/(1 + cosA)} + {sinA/(1 - cosA)}
= {sinA(1 - cosA) + sin A(1 + cosA)}/{(1 + cosA)(1 - cosA)}
= (sinA - sinA · cosA + sinA + sinA · cosA)/(1 - cos2A)
= 2sinA/sin2A
= 2cosecA
৫৮৩.
নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    cos(- θ) = - cosθ
  2. খ
    cosec(- θ) = cosecθ
  3. গ
    tan(- θ) = tanθ
  4. ঘ
    sec(- θ) = secθ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
• sin(- θ) = - sinθ
• cos(- θ) = cosθ
• tan(- θ) = - tanθ
• cosec(- θ) = - cosecθ
• sec(- θ) = secθ
• cot(- θ) = - cotθ

৫৮৪.
secA - tanA = 7/2 হলে, secA + tanA = ?
  1. ক
    7/2
  2. খ
    2/7
  3. গ
    1/7
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: secA - tanA = 7/2 হলে, secA + tanA = ?

সমাধান: 
sec2A - tan2A = 1
⇒ (secA + tanA) (secA - tanA) = 1
⇒ (secA + tanA) (7/2) = 1
∴ (secA + tanA) = 2/7
৫৮৫.
A = 60° হলে 2cotA/cot2A = ?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 2/√3
  4. ঘ
    ঘ) 2√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = 60° হলে 2cotA/cot2A = ?

সমাধান: 
2cotA/cot2A
= 2cot60°/(cot60°)2
= (2/√3)/(1/√3)2
= (2/√3)/(1/3)
= (2/√3) × (3/1)
= 2√3 
৫৮৬.
sin(Q + 18°) = 1/√2 হলে, Q এর মান কত? 
  1. ক
    27°
  2. খ
    35°
  3. গ
    49°
  4. ঘ
    54°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sin(Q + 18°) = 1/√2 হলে, Q এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin (Q + 18°) = 1/√2 
বা, sin (Q + 18°) = sin 45° 
বা, Q + 18° = 45° 
বা, Q = 45° - 18° 
∴ Q = 27°

৫৮৭.
যদি sinα = 5/13 হয়, তাহলে cosα =?
  1. ক
    5/13
  2. খ
    5/12
  3. গ
    12/13
  4. ঘ
    13/12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sinα = 5/13 হয়, তাহলে cosα =?

সমাধান:
cosα = √(1 - sin2α)
= √(1 - 25/169)
= √(144/169)
= 12/13
৫৮৮.
একটি মিনারের পাদদেশ হতে 12 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60° হলে মিনারটির উচ্চতা কত? 
  1. ক
    5√3
  2. খ
    10√3
  3. গ
    12√3
  4. ঘ
    8√3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 12 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?


সমাধান:


ধরি,
মিনারটির উচ্চতা = AB = h

মিনারের পাদদেশ হতে
BC = 12 মিটার

মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ
∠ACB = 60°

আমরা জানি,
tan ∠ACB = AB/BC

বা, tan 60° = h/12

বা, √3 = h/12

∴ h = 12√3

৫৮৯.
sin(- 585°) এর মান কত?
  1. ক
    1/3
  2. খ
    √2/3
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1/√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin(- 585°) এর মান কত?

সমাধান:
sin(- 585°)
= - sin(585°)
= - sin(360° + 225°)
= - sin(2π + 225°)
= - sin225°
= - sin(180° + 45°)
= - sin(π + 45°)
= sin45°
= 1/√2
৫৯০.
A = 60° হলে, sin(3A/2) = কত?
  1. ক
    1/√2
  2. খ
    1
  3. গ
    0
  4. ঘ
    √3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = 60° হলে, sin(3A/2) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = 60°

এখন, 
sin(3A/2) 
= sin(3 × 60°)/2
= sin90°
= 1
৫৯১.
একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য ২০ মিটার এবং সূর্যের উন্নতি কোণ ৪৫° হলে, গাছটির উচ্চতা কত হবে?
  1. ক
    ১০ মিটার
  2. খ
    ২০ মিটার
  3. গ
    ১৫ মিটার
  4. ঘ
    ২০√২ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য ২০ মিটার এবং সূর্যের উন্নতি কোণ ৪৫° হলে, গাছটির উচ্চতা কত হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ (θ) = ৪৫°
ধরি, গাছটির উচ্চতা = h মিটার

আমরা জানি,
tanθ = উচ্চতা/ছায়ার দৈর্ঘ্য
⇒ tan৪৫° = h/২০
⇒ ১ = h/২০ [যেহেতু tan৪৫° = ১]
⇒ h = ২০ মিটার

∴ গাছটির উচ্চতা ২০ মিটার।

৫৯২.
নিচের কোনটি ভুল?
  1. ক
    sin (90° - θ) = cosθ
  2. খ
    tan (90° - θ) = cotθ
  3. গ
    cosec (90° - θ) = secθ
  4. ঘ
    sec (90° - θ) = tanθ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি ভুল?

সমাধান:
sin (90° - θ) = cosθ
cos (90° - θ) = sinθ
tan (90° - θ) = cotθ
cosec (90° - θ) = secθ
sec (90° - θ) = cosecθ
cot (90° - θ) = tanθ
৫৯৩.
চিত্রে ΔABC সমকোণী ত্রিভূজে Sin2A + Sin2B + Sin2c = ?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

ΔABC - এ,
C = 90°,
B = 90° - A
∴ Sin2A + Sin2B + Sin2C
= Sin2A + Sin2(90° - A) + Sin290°
= Sin2A + Cos2A + 1
= 1 + 1
= 2

৫৯৪.
যদি cotθ = 1 হয়, তবে sinθ - cos(- θ) =?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    √2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি cotθ = 1 হয়, তবে sinθ - cos(- θ) =? 

সমাধান: 
cotθ = 1 
⇒ cotθ = cot 45° 
∴ θ = 45 

sinθ - cos(- θ) 
= sinθ - cosθ
= sin45 - cos45° 
= (1/√2) - (1/√2)
= 0
৫৯৫.
sinθ/cosθ = ?
  1. ক
    ক) cotθ
  2. খ
    খ) tanθ
  3. গ
    গ) secθ
  4. ঘ
    ঘ) cosecθ
ব্যাখ্যা
আমরা জানি 
sinθ/cosθ = tanθ
cosθ/sinθ = cotθ
৫৯৬.
1 + cot2θ = 4 এবং θ < 90° হলে, θ এর মান কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    40°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + cot2θ = 4 এবং θ < 90° হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 + cot2θ = 4
⇒ cosec2θ = 4
⇒ cosec2θ = 22
⇒ cosecθ = 2
⇒ (1/sinθ) = 2
⇒ sinθ = (1/2)
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°
৫৯৭.
sin(P + 18°) = 1/√2 হলে, P এর মান কত?
  1. ক
    54°
  2. খ
    42°
  3. গ
    78°
  4. ঘ
    27°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin(P + 18°) = 1/√2 হলে, P এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin (P + 18°) = 1/√2 
বা, sin (P + 18°) = sin 45° 
বা, P + 18° = 45° 
বা, P = 45° - 18° 
∴ P = 27°
৫৯৮.
sin(nΠ/3) + cos(nΠ/3) অনুক্রমটির অষ্টম পদ কত?
  1. ক
    (√3 + 1)/2
  2. খ
    (√3 - 1)/2
  3. গ
    -(√3 + 1)/2
  4. ঘ
    (√- 3 + 1)/2
ব্যাখ্যা
sin(nΠ/3) + cos(nΠ/3) অনুক্রমটির অষ্টম পদ
= sin(8Π/3) + cos(8Π/3)
= sin480 + cos480
=√3/2 - 1/2
= (√3 - 1)/2
৫৯৯.
একটি 2√3 মিটার লম্বা মই একটি দেয়ালের সাথে এমনভাবে হেলানো আছে যে মইটি দিয়ে দেয়ালের 3 মিটার উচ্চতায় উঠা যায়। মইটি মাটির সাথে কত ডিগ্রি কোণে হেলানো আছে?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    75°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি 2√3 মিটার লম্বা মই একটি দেয়ালের সাথে এমনভাবে হেলানো আছে যে মইটি দিয়ে দেয়ালের 3 মিটার উচ্চতায় উঠা যায়। মইটি মাটির সাথে কত ডিগ্রি কোণে হেলানো আছে?

সমাধান:

sinθ = 3/(2√3)
⇒ sinθ = √3/2
⇒ sinθ = sin60°
∴ θ = 60°
৬০০.
sin(A + 18°) = 1/√2 হলে, A এর মান কত? 
  1. ক
    23°
  2. খ
    27°
  3. গ
    42°
  4. ঘ
    62°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sin(A + 18°) = 1/√2 হলে, A এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin (A + 18°) = 1/√2 
⇒ sin (A + 18°) = sin 45° 
⇒ A + 18° = 45° 
⇒ A = 45° - 18° 
∴ A = 27°