লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

ত্রিকোণমিতি

মোট প্রশ্ন১,২৮৮এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

ত্রিকোণমিতি

PrepBank · পাতা ১১ / ১৩ · ১,০০১–১,১০০ / ১,২৮৮

১,০০১.
  1. ক
    ক) - 1
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) - 1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান: 
১,০০২.
cosecA + cotA = 5/3 হলে, cosecA - cotA = ?
  1. ক
    1/5
  2. খ
    1/3
  3. গ
    3/5
  4. ঘ
    5/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosecA + cotA = 5/3 হলে, cosecA - cotA = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecA + cotA = 5/3

আমরা জানি,
cosec2A - cot2A = 5/3
⇒ (cosecA + cotA)(cosecA - cotA) = 1
⇒ (5/3) × (cosecA - cotA) = 1
∴ (cosecA - cotA) = 3/5
১,০০৩.
cot(π + x) = কত?
  1. ক
    cotx
  2. খ
    tanx
  3. গ
    - cotx
  4. ঘ
    1/cotx
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cot(π + x) = কত?

সমাধান:
cot(π + x) [মানটি তৃতীয় চতুর্ভাগে রয়েছে, তৃতীয় চতুর্ভাগে tan, cot ধনাত্মক)
= cotx
১,০০৪.
একটি ঘুড়ি ভূমি থেকে ৫৫ মিটার উপরে উড়ছে, যার সুতা ভূমির সাথে ৬০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে। সুতার দৈর্ঘ্য কত মিটার?
  1. ক
    ক) ৬৫
  2. খ
    খ) ১১০
  3. গ
    গ) ১৩৫/২
  4. ঘ
    ঘ) ১২৭/২
ব্যাখ্যা

Sine 60° = লম্ব/অতিভুজ
√3/2 = 55/অতিভুজ
∴ অতিভুজ = (55 × 2)/√3
= 63.5 মিটার
= 127/2 মিটার

১,০০৫.
Sinθ এর রেঞ্জ কত?
  1. ক
    ক) -1 থেকে 1
  2. খ
    খ) -1 থেকে 0
  3. গ
    গ) 0 থেকে 1
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
Sinθ এর রেঞ্জ -1 থেকে 1
১,০০৬.
tan(3A) = 1 হলে, 4A = কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    15°
  4. ঘ
    60°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tan(3A) = 1 হলে, 4A = কত?

সমাধান: 
tan3A = 1
বা, tan3A = tan45°
বা, 3A = 45°
A = 15°
4A = 4 × 15°
4A = 60°
১,০০৭.
sin60° . cos30° + cos60° . sin30° = কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) -1
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin60° . cos30° + cos60° . sin30° = কত?

সমাধান:
sin60° . cos30° + cos60° . sin30°
= (√3/2 . √3/2) + (1/2 . 1/2)
= 3/4 + 1/4
= (3 + 1)/4
= 4/4
= 1
১,০০৮.
সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে একটি মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 120 মিটার হয়। মিনারটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    120√3 মিটার 
  2. খ
    120 মিটার 
  3. গ
    60√3 মিটার 
  4. ঘ
    60 মিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে একটি মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 120 মিটার হয়। মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
 
ধরি,
মিনারের উচ্চতা = h

আমরা জানি
tan45° = h/120
বা, 1 = h/120
বা, h = 120
∴ h = 120 মিটার 
১,০০৯.
secA = 2/√3 হলে, tanA = কত?
  1. ক
    √3/2
  2. খ
    1/√3
  3. গ
    - √3/2
  4. ঘ
    1/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: secA = 2/√3 হলে, tanA = কত?

সমাধান:
secA = 2/√3
⇒ sec2A = (2/√3)2
⇒ 1 + tan2A = 4/3
⇒ tan2A = (4/3) - 1
⇒ tanA = √{(4 - 3)/3}
∴ tanA = 1/√3
১,০১০.
  1. ক
    4/3
  2. খ
    - 4/3
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    - 3/4
১,০১১.
যদি sinA = 3/5, তাহলে cosA = কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    5/3
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    4/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sinA = 3/5, তাহলে cosA = কত?

সমাধান:
cosA = √(1 - sin2A)
= √{1 - (3/5)2}
= √(1 - 9/25)
= √{(25 - 9)/25}
= √(16/25)
= 4/5
১,০১২.
সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে একটি মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 240 মিটার হয়। মিনারটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    418.45 মি.
  2. খ
    319.69 মি.
  3. গ
    415.69 মি.
  4. ঘ
    315.69 মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে একটি মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 240 মিটার হয়। মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য, BC = 240 মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ, θ = 60° 
মিনারটির উচ্চতা, AB (h) =? 

চিত্র হতে পাই, 
tanθ = AB/BC
বা, tan60° = AB/240
বা, √3 = AB/240
বা, AB = 240 × √3
∴ AB = 415.69 মিটার

∴  মিনারটির উচ্চতা = 415.69 মিটার।
১,০১৩.
sinθ = 1/2 এবং tanθ = 1 হলে, cosec(- θ) - cot(- θ) = ?
  1. ক
    - 3/2
  2. খ
    - 1
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinθ = 1/2 এবং tanθ = 1 হলে, cosec(- θ) - cot(- θ) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinθ = 1/2 এবং tanθ = 1

প্রদত্ত রাশি,
cosec(- θ) - cot(- θ)
= - cosecθ - (- cotθ)
= - cosecθ + cotθ
= - (1/sinθ) + (1/tanθ)
= - {1/(1/2)} + 1/(1)
= - 2 + 1
=- 1
১,০১৪.
cosθ-এ θ-র মান কত হলে cos-এর সর্বোচ্চ মান পাওয়া যায়?
  1. ক
    ক) 0°
  2. খ
    খ) 90°
  3. গ
    গ) 180°
  4. ঘ
    ঘ) 270°
ব্যাখ্যা

cosθ = 0 when θ = 90° or, 270°
Maximum value of cosθ is 1 when θ = 0°, 360°.
Minimum value of cosθ is –1 when θ = 180°.

১,০১৫.
tanθ = 1/0 হলে θ এর মান কত?
  1. ক
    30° 
  2. খ
    60° 
  3. গ
    90° 
  4. ঘ
    120° 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ = 1/0 হলে θ এর মান কত?

সমাধান:
tanθ = 1/0
⇒ ​tanθ = ∞ (অসংজ্ঞায়িত)
​⇒ ​tanθ = tan 90°
⇒ ​​θ = 90°

১,০১৬.
সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 10 মিটার হয়। গাছটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    17.32 মিটার
  2. খ
    16.72 মিটার
  3. গ
    17.52 মিটার
  4. ঘ
    17.75 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 10 মিটার হয়। গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
গাছটির উচ্চতা, AB = h মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 10 মিটার
C বিন্দুতে উন্নতি কোণ = 60°

এখন,
ΔABC এ
tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan60° = h/10
⇒ √3 = h/10
⇒ h = 10√3
⇒ h = 10 × 1.7320
∴ h = 17.32

∴ গাছটির উচ্চতা 17.32 মিটার।
১,০১৭.
cos2A + cos4A = 1 হলে tan4A এর মান কত?
  1. ক
    ক) cosecA
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) sinA
  4. ঘ
    ঘ) sin2A
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos2A + cos4A = 1 হলে tan4A এর মান কত? 

সমাধান: 
cos2A + cos4A = 1 
cos4A = 1 - cos2A 
cos4A = sin2A
 
এখন
 tan4A 
= sin4A/cos4A
=  sin2A
১,০১৮.
একটি গাছের পাদদেশ হতে 26√3 মিটার দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° হলে, গাছটির উচ্চতা কত মিটার?
  1. ক
    √3/26
  2. খ
    26/√3
  3. গ
    26
  4. ঘ
    78
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ হতে 26√3 মিটার দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° হলে, গাছটির উচ্চতা কত মিটার?

সমাধান:

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য ত্রিকোণমিতির tan অনুপাত ব্যবহার করতে হবে। 
ধরি, 
গাছটির উচ্চতা = h মিটার
গাছের পাদদেশ থেকে দূরবর্তী স্থানের দূরত্ব = 26√3 মিটার
গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ = 30°. 

আমরা জানি,
tanθ = (লম্ব/ভূমি) 
এখন,
⇒ tan30° = গাছটির উচ্চতা/গাছটির পাদদেশ থেকে দূরবর্তী স্থানের দূরত্ব
⇒ tan(30°) = h/26√3 
⇒ 1/√3 = h/26√3
⇒ h = (1/√3)(26√3)
∴ h = 26 মিটার

∴  গাছটির উচ্চতা = 26 মিটার
১,০১৯.
একটি গাছের পাদদেশ থেকে 25 মিটার দূরে ভূতলের কোনো বিন্দুতে গাছের চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    25√3 মিটার 
  2. খ
    25/√3 মিটার 
  3. গ
    25 মিটার 
  4. ঘ
    25√3/2 মিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে 25 মিটার দূরে ভূতলের কোনো বিন্দুতে গাছের চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
AB গাছের গোড়া B থেকে 25 মিটার দূরে C বিন্দু থেকে গাছটির অগ্রভাগ অর্থাৎ A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60°

এখন
tan∠ACB = tan60°
বা, AB/BC =  AB/25
বা, √3 = AB/25
∴ AB = 25√3

∴ গাছটির উচ্চতা 25√3 মিটার 
১,০২০.
tan60° + 1 = কত?
  1. ক
    0.732
  2. খ
    √3
  3. গ
    2.414
  4. ঘ
    2.732
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tan60° + 1 = কত?

সমাধান:
 tan60° + 1 = √3 + 1 = 1.732 + 1 = 2.732
১,০২১.
2sinθ + 3cosθ এর সর্বোচ্চ মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    √5
  3. গ
    √13
  4. ঘ
    2/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2sinθ + 3cosθ এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a sinθ + b cosθ এর সর্বোচ্চ মান = √(a2 + b2)

∴ 2sinθ + 3cosθএর সর্বোচ্চ মান = √(22 + 32)
= √(4 + 9)
= √13
১,০২২.
যদি cos(θ + 30°) = 1/2 হয়, তাহলে tan2θ এর মান কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/3
  3. গ
    √3
  4. ঘ
    √3/2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি cos(θ + 30°) = 1/2 হয়, তাহলে tan2θ এর মান কত?

সমাধান:
cos(θ + 30°) = 1/2
⇒ cos(θ + 30°) = cos(60°)
⇒ θ + 30° = 60°
বা, θ = 60° - 30°
বা, θ = 30°

এখন,
tan2θ
= tan2(30°)
= (1/√3)2
= 1/3

১,০২৩.
secθ + tanθ = 11/6 হলে, secθ - tanθ এর মান কত?
  1. ক
    6/5
  2. খ
    3/11
  3. গ
    5/6
  4. ঘ
    6/11
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: secθ + tanθ = 11/6 হলে, secθ - tanθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ + tanθ = 11/6
আমরা জানি,
sec2θ - tan2θ = 1
⇒ (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
⇒ (11/6)(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/(11/6)
⇒ secθ - tanθ = 6/11
১,০২৪.
একটি মিনারের পাদদেশ হতে 21 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    18√3
  2. খ
    12√3
  3. গ
    24√3
  4. ঘ
    21√3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 21 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

মনে করি,
মিনারটির উচ্চতা = AB = h 

মিনারের পাদদেশ BC = 21 মিটার
মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ, ∠ACB = 60°

আমরা জানি,
tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan60° = h/21
⇒ √3 = h/21
⇒ h = 21√3

∴ মিনারটির উচ্চতা 21√3 মিটার।

১,০২৫.
ত্রিকোণমিতিতে tan⁡θ কে কীভাবে প্রকাশ করা যায়?
  1. ক
    sin⁡θ/cos⁡θ
  2. খ
    cos⁡θ/sin⁡θ
  3. গ
    sec⁡θ
  4. ঘ
    cosec⁡θ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিকোণমিতিতে tan⁡θ কে কীভাবে প্রকাশ করা যায়?

সমাধান:
tanθ = sin⁡θ/cos⁡θ
cotθ = cos⁡θ/sin⁡θ
tanθ = 1/cotθ
১,০২৬.
cot135° এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) - 1
  4. ঘ
    ঘ) 1/√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cot135° এর মান কত?

সমাধান: 
cot135°
= cot (90° + 45°)
= - tan45°
= - 1
১,০২৭.
যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং cos(θ + 20°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?
  1. ক
    0°
  2. খ
    20°
  3. গ
    40°
  4. ঘ
    50°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং cos(θ + 20°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos(θ + 20°) = 1/2
⇒ cos(θ + 20°) = cos60°
⇒ θ + 20° = 60°
⇒ θ = 60° - 20°
∴ θ = 40°

∴ θ এর মান 40° হবে।
১,০২৮.
একটি 72 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করলো। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিলো?
  1. ক
    30 মিটার
  2. খ
    36 মিটার
  3. গ
    24 মিটার
  4. ঘ
    48 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি 72 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করলো। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিলো?

সমাধান:

মনে করি,
খুঁটিটি ভূমি থেকে h উঁচুতে ভেঙ্গেছিলো।
এখানে, ∠BDC = 30°
এখন,
sin30° = লম্ব/অতিভুজ
⇒ sin30° = BC/BD
⇒ 1/2 = h/(72 - h)
⇒ 2h = 72 - h
⇒ 2h + h = 72
⇒ 3h = 72
∴ h = 24

সুতরাং, খুঁটিটি ভূমি থেকে 24 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিলো।
১,০২৯.
6cotA = 8 হলে, cosA.sinA = কত?
  1. ক
    3/5
  2. খ
    12/25 
  3. গ
    25/12
  4. ঘ
    4/5 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6cotA = 8 হলে, cosA.sinA = কত?

সমাধান: 
6 cotA = 8
cotA = 4/3
ভূমি / লম্ব = 4/3

অতিভুজ = √{(4)2 + (3)2} = 5

cosA.sinA = (4/5)(3/5) = 12/25 
১,০৩০.
একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 45° । গাছটি 15 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত? 
  1. ক
    15 মিটার
  2. খ
    30 মিটার
  3. গ
    10 মিটার
  4. ঘ
    20 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। গাছটি 15 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত? 

সমাধান: 

ধরি, গাছটি a মিটার দূরে অবস্থিত । 
∴ tan 45° = AB/AC 
⇒ 1 = 15/a 
∴ a = 15 মিটার 

∴ গাছটি 15 মিটার দূরে অবস্থিত। 

১,০৩১.
Cos2θ - Sin2θ = 1/3 হলে, Cos4θ - Sin4θ এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 1/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: Cos2θ - Sin2θ = 1/3 হলে, Cos4θ - Sin4θ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
Cos2θ - Sin2θ = 1/3

Cos4θ - Sin4θ = (Cos2θ)2 - (Sin2θ)2
                       = (Cos2θ + Sin2θ)(Cos2θ - Sin2θ)
                       = 1 × (1/3)
                       = 1/3
১,০৩২.
যদি cos2θ + (1/cosec2θ) + 17 = a হয়, তবে a2 এর মান কত?
  1. ক
    324
  2. খ
    17
  3. গ
    256
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি cos2θ + (1/cosec2θ) + 17 = a হয়, তবে a2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
cos2θ + (1/cosec2θ) + 17 = a
⇒ cos2θ + sin2θ + 17 = a   ; [1/cosecθ = Sinθ]
⇒ 1 + 17 = a  ; [sin2θ + cos2θ = 1] 
⇒ a2 = 182 = 324

∴ a2 -এর মান 324

১,০৩৩.
21 ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে 30° কোণে স্পর্শ করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?
  1. ক
    7 ফুট
  2. খ
    8 ফুট
  3. গ
    9 ফুট
  4. ঘ
    10 ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 21 ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে 30° কোণে স্পর্শ করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?

সমাধান:

ধরি,
মাটি থেকে h ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে যায়।

আমরা জানি,
sin30° = লম্ব/অতিভূজ
বা, 1/2 = h/(21 - h)
বা, (21 - h) = 2h
বা, 3h = 21
∴ h = 7
অর্থাৎ, মাটি থেকে 7 ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গ যায়।
১,০৩৪.
Sinθ -এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) - 2
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান: 
θ কোণ নির্দেশ করলে
sinθ এর সর্বনিম্ন  মান = - 1
sinθ এর সর্বোচ্চ মান = 1
১,০৩৫.
যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 12°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?
  1. ক
    12°
  2. খ
    18°
  3. গ
    48°
  4. ঘ
    78°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 12°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমধান:
sin(θ + 12°) = 1/2
⇒ sin(θ + 12°) = sin30°
⇒ θ + 12° = 30°
⇒ θ = 30° - 12°
∴θ = 18°
১,০৩৬.
cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30° = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    0
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    √3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30° = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA. cosB + sinA . sinB

এখন,
cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30°
= cos(60° - 30°)
= cos 30°
= √3/2
১,০৩৭.
একটি লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি 13 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গে থাকলে এর উচ্চতা কত?
  1. ক
    39 মিটার
  2. খ
    13 মিটার
  3. গ
    26 মিটার
  4. ঘ
    48 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি 13 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গে থাকলে এর উচ্চতা কত?

সমাধান: 
মনে করি, খুঁটিটি A বিন্দুতে ভেঙ্গে যায় এবং ভাঙ্গা অংশ B বিন্দুতে ভূমির সাথে ∠ABC = 30° কোণ উৎপন্ন করে।
ধরি, খুঁটির উচ্চতা = h মিটার এবং খুঁটিটি 13 মিটার উচ্চতায় ভেঙ্গে ছিল।



এখন,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ​ 
∴ sin30° = 13/(h - 13)
⇒ 1/2 = 13/(h - 13)
⇒ h - 13 = 26
⇒ h = 26 + 13
⇒ h = 39 

∴ খুঁটির উচ্চতা = 39 মিটার

১,০৩৮.
একটি 28√3 মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট মিনারের শীর্ষ বিন্দু হতে 56 মিটার দূরের ভূতলস্থ একটি বিন্দুর অবনতি কোণ কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি 28√3 মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট মিনারের শীর্ষ বিন্দু হতে 56 মিটার দূরের ভূতলস্থ একটি বিন্দুর অবনতি কোণ কত?

সমাধান:

ধরি,
অবনতি কোণ sinθ = 28√3/56
sinθ = √3/2
sinθ = sin60°
θ = 60°

∴ বিন্দুর অবনতি কোণ 60°
১,০৩৯.
cos2A - sin2A = 2/3 হলে, cos4A - sin4A এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2/5
  2. খ
    খ) 3/5
  3. গ
    গ) 2/3
  4. ঘ
    ঘ) 3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : cos2A - sin2A = 2/3 হলে, cos4A - sin4A এর মান কত?
সমাধান : 
cos2A - sin2A = 2/3 হলে,
cos4A - sin4A
= (cos2A)2 - (sin2A)2
= (cos2A + sin2A)(cos2A - sin2A)
= 1 . 2/3
= 2/3
১,০৪০.
একটি 48 মি. লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোন উৎপন্ন করে।খুঁটিটি কত উচুতে ভেঙ্গেছিল ?
  1. ক
    ক) 14
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 17
ব্যাখ্যা

উপরের চিত্রে AB = 48 মি. এবং AD = DC = 48 - BD
প্রশ্নমতে, sin30 = BD/DC
বা, 1/2 = BD/(48 - BD)
বা, 2BD = 48 - BD
বা, 3BD = 48
বা, BD = 16 m.

১,০৪১.
cosecθ - cotθ = 5/6 হলে, cosecθ + cotθ এর মান কত?
  1. ক
    ক) 4/3
  2. খ
    খ) 3/2
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 6/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : cosecθ - cotθ = 5/6 হলে, cosecθ + cotθ এর মান কত?
সমাধান :
(cosec2θ) - (cot2θ) = 1
বা, (cosecθ + cotθ) (cosecθ - cotθ) = 1
বা, cosecθ + cotθ = 1/(cosecθ - cotθ)
বা, cosecθ + cotθ = 1/ (5/6)
বা, cosecθ + cotθ = 6/5
১,০৪২.
একটি মই এর এক প্রান্ত ভূমি থেকে 12 মিটার উঁচু একটি ঘরের জানালা বরাবর পৌঁছায়। অপর প্রান্ত ঘর থেকে 5 মিটার দূরে থাকলে মই এর দৈর্ঘ্য কত মিটার?
  1. ক
    13 মিটার
  2. খ
    14 মিটার
  3. গ
    17 মিটার
  4. ঘ
    19 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি মই এর এক প্রান্ত ভূমি থেকে 12 মিটার উঁচু একটি ঘরের জানালা বরাবর পৌঁছায়। অপর প্রান্ত ঘর থেকে 5 মিটার দূরে থাকলে মই এর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:

ধরি,
মইটি a মিটার লম্বা

∴ সমকোণী ত্রিভুজের সূত্র হতে পাই,
(অতিভূজ)২ = (ভূমি)২ + (লম্ব)২
⇒ a2 = (5)2 + (12)2
⇒ a2 = 25 + 144
⇒ a2 = 169
∴ a = 13 মিটার
১,০৪৩.
Sin120° = ?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 1/√2
  3. গ
    গ) √3/2
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
Sin120°
= Sin(90° + 30°)
= Cos30°
= √3/2
১,০৪৪.
tan(π + x) = কত?
  1. ক
    1/tanx
  2. খ
    tanx
  3. গ
    1/cotx
  4. ঘ
    cotx
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tan(π + x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছ,
tan(π + x)

আমরা জানি,
তৃতীয় চতুর্ভাগে tan, cot ধনাত্মক

এখানে,
tan(π + x) = tan(180° + x) [যার অবস্থান তৃতীয় চতুর্ভাগে]
= tanx
১,০৪৫.
60 মিটার একটি খুঁটি তার মোট উচ্চতার 2/3 অংশ উপরে ভেঙ্গে যায়। খুঁটির ভাঙ্গা অংশ ভূমির সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে?
  1. ক
    300
  2. খ
    600
  3. গ
    450
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 60 মিটার একটি খুঁটি তার মোট উচ্চতার 2/3 অংশ উপরে ভেঙ্গে যায়। খুঁটির ভাঙ্গা অংশ ভূমির সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে? 

সমাধান:
দেয়া আছে, 
খুঁটির মোট উচ্চতা = 60 মিটার
ভেঙ্গে যাবার পরে খুঁটির লম্ব অংশের দৈর্ঘ্য = 60 × (2/3) মিটার
= 40 মিটার

∴ খুঁটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = 60 - 40 মিটার
= 20 মিটার

যেহেতু, ভেঙ্গে যাবার পরে খুঁটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা লম্ব অংশের দৈর্ঘ্য বেশী, তাই খুঁটির ভাঙ্গা অংশ ভূমিকে স্পর্শ করবে না, ফলে ভূমির সাথে কোণ উৎপন্ন করবে না।
১,০৪৬.
tan 15° + cot 15° এর মান নির্ণয় করুন- 
  1. ক
    30
  2. খ
    4
  3. গ
    15
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tan 15° + cot 15° এর মান নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cot15° + tan15°
= (cos15°/sin15°) + (sin15°/cos15°)
= (cos215° + sin215°)/(sin15° cos 15°)    ; [sin2θ + cos2θ = 1]
= 1/(sin15° cos15°)
= 2/(2sin15° cos15°)   ; [লব ও হরে 2 দ্বারা গুণ করে পাই এবং (2sinθ cosθ = sin2θ)
= 2/sin30°
= (2/1/2)  ; [sin30° = 1/2)]
= 2 × 2
= 4 

১,০৪৭.
cos(nπ)/6 অনুক্রমটির চতুর্থ পদের মান কত?
  1. ক
    ক) √3/2
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) - 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 1/√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos(nπ)/6 অনুক্রমটির চতুর্থ পদের মান কত?

সমাধান:
cos(nπ)/6 অনুক্রমটির চতুর্থ পদ = cos(4π)/6 [এখানে, n = 4]

এখন,
cos(4π)/6
= cos(4 × 180°)/6
= cos120°
= cos(90° + 30°)
= - sin30°
= - 1/2
১,০৪৮.
1/{tanA√(1 - sin2A)} = ?
  1. ক
    ক) cosec A
  2. খ
    খ) sin A
  3. গ
    গ) tan A
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 1/{tanA√(1 - sin2A)} = ? 

সমাধান : 
tanA√(1 - sin2A)
= tanA√(cos2A)
= (sinA/cosA) × cosA
=  sinA
 
অতএব,
  1/{tanA√(1 - sin2A)} 
= 1/sinA
= cosecA
১,০৪৯.
যদি 2 sin2θ + 5 cos2θ = 3 হয়, তাহলে tan2θ = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2 sin2θ + 5 cos2θ = 3 হয়, তাহলে tan2θ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2 sin2θ + 5 cos2θ = 3
⇒ 2 sin2θ + 5 (1 - sin2θ) = 3
⇒ 2 sin2θ + 5 - 5 sin2θ = 3
⇒ - 3 sin2θ + 5 = 3
⇒ - 3 sin2θ = 3 - 5
⇒ - 3 sin2θ = - 2
∴ sin2θ = 2/3

এবং 
cos2θ = 1 - sin2θ = 1 - (2/3)
∴ cos2θ = 1/3

আমরা জানি, 
tan2θ = sin2θ/cos2θ
 = (2/3)/(1/3)
= (2/3) × (3/1)
∴ tan2θ = 2

১,০৫০.
যদি 7sin2θ + 3cos2θ = 4 হয়, তবে θ এর মান কত?
  1. ক
    45∘
  2. খ
    60∘
  3. গ
    90∘
  4. ঘ
    30∘
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 7sin2θ + 3cos2θ = 4 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
7sin2θ + 3cos2θ = 4
⇒ 7sin2θ + 3(1- sin2θ) = 4
⇒ 7sin2θ + 3 - 3sin2θ = 4
⇒ 4sin2θ = 1
⇒ sin2θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30∘
∴ θ = 30∘
১,০৫১.
আহসান সাইকেলে চড়ে বৃত্তাকার পথে 10 সেকেন্ডে একটি বৃত্তচাপ অতিক্রম করে। যদি চাপটি কেন্দ্রে 28° কোণ উৎপন্ন করে এবং বৃত্তের ব্যাস 180 মিটার হয়, তবে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    ক) 14π মিটার
  2. খ
    খ) 28π মিটার
  3. গ
    গ) 90π মিটার
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আহসান সাইকেলে চড়ে বৃত্তাকার পথে 10 সেকেন্ডে একটি বৃত্তচাপ অতিক্রম করে। যদি চাপটি কেন্দ্রে 28° কোণ উৎপন্ন করে এবং বৃত্তের ব্যাস 180 মিটার হয়, তবে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 


চাপের দৈর্ঘ্য  s = ?
চাপটি কেন্দ্রে  উৎপন্ন কোণ θ = 28°
বৃত্তের ব্যাস 180 মিটার
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 180/2 = 90 মিটার

আমরা জানি,
s =πrθ/180
   = π × 90 × 28/180
   = 14π মিটার
১,০৫২.
tanA cotA + 3 এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    - 2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanA cotA + 3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tanA cotA + 3
= tanA (1/tanA) + 3  ; [cotA = 1/tanA] 
= 1 + 3
= 4

১,০৫৩.
সমকোণী ত্রিভুজ ABC তে,∠B = 90° এবং AC = 2AB হলে, ∠ACB =?
  1. ক
    ক) 30°
  2. খ
    খ) 45°
  3. গ
    গ) 50°
  4. ঘ
    ঘ) 60°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজ ABC তে,∠B = 90° এবং AC = 2AB হলে, ∠ACB =?

সমাধান:

AC = 2AB

sin(∠ACB) = AB/AC
⇒  sin(∠ACB) = AB/2AB
⇒  sin(∠ACB) = 1/2
⇒  sin(∠ACB) = sin30°
∴ ∠ACB = 30°
১,০৫৪.
একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30°। গাছটি 10 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত? 
  1. ক
    2√3
  2. খ
    5√3
  3. গ
    10√3
  4. ঘ
    10√2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30°। গাছটি 10 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত?

সমাধান:



ধরি,
গাছটি = a মিটার দূরে অবস্থিত

∴ tan 30° = (গাছের উচ্চতা)/(দূরত্ব)
⇒ 1/√3 = 10/a
∴ a = 10√3

১,০৫৫.
A = π/2 ও B = π/4 হলে sec(A + B) = কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    1/√2
  3. গ
    - √2
  4. ঘ
     √2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = π/2 ও B = π/4 হলে sec(A + B) = কত?
 
সমাধান:
sec(A + B) = sec[(π/2) + (π/4)]
= sec(3π/4)
= sec135°
= sec(90° + 45°)
= - cosec45°                             [∵ sec(90° + θ) = - cosecθ]
= - √2                                       [∵ cosec45° = √2] 

১,০৫৬.
ΔABC এ ∠B = 90°। যদি AC = 2AB হয় তাহলে ∠A এর মান কত?
  1. ক
    ক) 45°
  2. খ
    খ) 225°
  3. গ
    গ) 30°
  4. ঘ
    ঘ) 60°
ব্যাখ্যা

cosA = AB/AC
= AB/2AB
= 1/2
= cos60°
∴ <A = 60°
১,০৫৭.
একটি মিনারের শীর্ষ বিন্দু থেকে একটি পাখি প্রথমে উত্তর-পূর্ব দিকে 26 মিঃ যায় অতঃপর পাখিটি দক্ষিন দিকে 24 মিঃ যায় পাখিটি মিনারের শীর্ষ বিন্দু থেকে কত দূরে অবস্থান করছে?
  1. ক
    ক) 8m
  2. খ
    খ) 10m
  3. গ
    গ) 12m
  4. ঘ
    ঘ) 14m
ব্যাখ্যা

পাখিটি AB = 26m,
উত্তর পূর্বে গিয়ে BC = 24m দক্ষিণ দিকে যায় এবং
C বিন্দুতে অবস্থান করে
∴ A হতে C এর দূরত্ব AC = ?
পিথাগুরাসের সূত্রানুসারে AC2 + BC2 = AB2
বা, AC2 = AB2 - BC2
= 262 - 242
= 100
∴ AC = 10m

১,০৫৮.
cot⁡(π + x) = ?
  1. ক
    cot(x)
  2. খ
    tan(x)
  3. গ
    sin(x)
  4. ঘ
    1/cot(x)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cot⁡(π + x) = ?

সমাধান:
cot⁡(π + x)
এখানে (π + x) তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত তাই cot⁡ এর মান ধনাত্মক হবে। 
∴ cot(x) হবে কারণ কোণ হিসেবে ⁡(π + x) থাকলে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের পরিবর্তন হয় না।
১,০৫৯.
21 মিটার উঁচু খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 21√3 মিটার হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত? 
  1. ক
    45°
  2. খ
    30°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    50°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 21 মিটার উঁচু খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 21√3 মিটার হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?

সমাধান:
 
খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = 21 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 21√3 মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ?

ΔABC এ
tanθ = AB/BC
⇒ tanθ = 21/(21√3)
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ tanθ = tan30°
∴ θ = 30°

∴ সূর্যের উন্নতি কোণ হলো 30°

১,০৬০.
দেয়ালের সাথে একটি মইয়ের উন্নতি কোণ 60° এবং মইয়ের দৈর্ঘ্য 30 মিটার হলে মইটির পাদদেশ থেকে দেয়াল কত দূরে অবস্থিত?
  1. ক
    10 মিটার
  2. খ
    12 মিটার
  3. গ
    15 মিটার
  4. ঘ
    18 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দেয়ালের সাথে একটি মইয়ের উন্নতি কোণ 60° এবং মইয়ের দৈর্ঘ্য 30 মিটার হলে মইটির পাদদেশ থেকে দেয়াল কত দূরে অবস্থিত?

সমাধান:

মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 30 মিটার
মইটির পাদদেশ থেকে দেয়ালের দূরত্ব BC= x মিটার

এখন,
Cos∠ACB = BC/AC
বা, Cos 60° = x/30
বা, 1/2 = x/30
বা, 2x = 30
∴ x = 15
১,০৬১.
একটি খুঁটির ছায়া 10 মিটার লম্বা এবং সূর্যের উন্নতি 45°, তাহলে খুঁটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    20 মিটার
  2. খ
    30 মিটার
  3. গ
    10 মিটার
  4. ঘ
    10√3 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খুঁটির ছায়া 10 মিটার লম্বা এবং সূর্যের উন্নতি 45°, তাহলে খুঁটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য = 10 মিটার
সূর্যের উচ্চতা কোণ = 45∘

ধরি, খুঁটির উচ্চতা = h

আমরা জানি,
⇒ tanθ = খুঁটির উচ্চতা​/ছায়ার দৈর্ঘ্য
⇒ tan45∘ = h/​10
⇒ 1 = h/10
⇒ h = 10 মিটার
১,০৬২.
sec2θ = 2/√3 হলে, θ এর মান কত?
  1. ক
    60°
  2. খ
    45°
  3. গ
    30°
  4. ঘ
    15°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sec2θ = 2/√3 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
sec2θ = 2/√3
⇒ sec2θ = sec30°
⇒  2θ = 30°
⇒  θ = 30°/2
∴ θ = 15°

১,০৬৩.
যদি cotθ = 4/3 হয়, তাহলে (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ − 2cosθ) এর মান নির্ণয় করুন?
  1. ক
    0
  2. খ
    5
  3. গ
    17
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি cotθ = 4/3 হয়, তাহলে (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ − 2cosθ) এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
cotθ = ভূমি/লম্ব = 4/3
এখানে, ভূমি = 4 এবং লম্ব = 3
ধরি, অতিভুজ = x 

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
x2 = 42 + 32
⇒ x2 = 16 + 9
⇒ x2 = 25
⇒ x2 = 52
⇒ x = 5

এখন, sinθ = লম্ব/অতিভুজ = 3/5
এবং, cosθ = ভূমি/অতিভুজ = 4/5

∴ (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ − 2cosθ) 
= [3(3/5) + 2(4/5)]/[3(3/5) - 2(4/5)]
= (17/5)/(1/5)
= 17 

১,০৬৪.
যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 14°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?
  1. ক
    16°
  2. খ
    18°
  3. গ
    24°
  4. ঘ
    30°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 14°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin(θ + 14°) = 1/2
⇒ sin(θ + 14°) = sin30°
⇒ θ + 14° = 30°
⇒ θ = 30° - 14°
∴ θ = 16°
১,০৬৫.
যদি 1 + sinθ = mcosθ হয় তবে cotθ এর মান কত?
  1. ক
    2m/(m2 + 1)
  2. খ
    2m/(m2 - 1)
  3. গ
    m/(m2 - 1)
  4. ঘ
    (m2 - 1)/2m
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 1 + sinθ = mcosθ হয় তবে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
1 + sinθ = m cos θ
⇒ (1 + sinθ)/cosθ = m
⇒ (1/cosθ) + (sinθ/cosθ) = m
⇒ secθ + tanθ = m .......(i)

আমরা জানি
(secθ + tanθ) (secθ - tanθ) = 1
⇒ m(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/m ........(ii)

এখন, (i) - (ii) ⇒
secθ + tanθ - (secθ - tanθ) = m - (1/m)
⇒ secθ + tanθ - secθ + tanθ = (m2 - 1)/m
⇒ 2tanθ = (m2 - 1)/m
⇒ tanθ = (m2 - 1)/2m
⇒ 1/cotθ = 1/{(m2 - 1)/2m}
∴ cotθ = 2m/(m2 - 1)

১,০৬৬.
  1. ক
    1/2
  2. খ
    3/2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
 প্রশ্ন: 

সমাধান:
১,০৬৭.
যদি cot (θ - 30°) = 1/√3 হয়, তাহলে cosθ এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    √3/2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি cot (θ - 30°) = 1/√3 হয়, তাহলে cosθ এর মান কত?

সমাধান:
cot (θ - 30°) = 1/√3
⇒ cot (θ - 30º) = cot 60º
⇒ θ - 30º = 60º
⇒ θ = 60º + 30º
∴ θ = 90º

এখন,
cosθ
= cos90º
= 0
১,০৬৮.
যদি tanθ = 1 হয়, তাহলে, (8sinθ + 5cosθ)/(sin3θ - 2cos3θ + 7cosθ) = কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি tanθ = 1 হয়, তাহলে, (8sinθ + 5cosθ)/(sin3θ - 2cos3θ + 7cosθ) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

এখন, (8sinθ + 5cosθ)/(sin3θ - 2cos3θ + 7cosθ)
= (8sin45° + 5cos45°)/(sin345° - 2cos345° + 7cos45°)
= [{8 × (1/√2)} + {5 × (1/√2)}]/{(1/√2)3 - 2(1/√2)3 + 7(1/√2)}
= (8/√2) + (5/√2)/{(1/2√2) - (2/2√2) + (7/√2)}
= (13/√2)/{(1 - 2 + 14)/2√2}
= (13/√2)/(13/2√2)
= 2
১,০৬৯.
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে secθ এর মান কত?
  1. ক
    3/5
  2. খ
    5/2
  3. গ
    5/3
  4. ঘ
    4/5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে secθ এর মান কত?

সমাধান:
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7
⇒ ​(sinθ + cosθ + sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ - sinθ + cosθ) = (7 + 1)/(7 - 1) [যোজন-বিয়োজন করে]
⇒ ​​2sinθ/2cosθ = 8/6
⇒ ​​sinθ/cosθ = 4/3
⇒ ​​tanθ = 4/3
⇒ ​​tan2θ = 16/9
⇒ ​​sec2θ - 1 = 16/9 [ sec2θ - tan2θ = 1]
⇒ ​​sec2θ = 1 + (16/9)
⇒ ​​sec2θ = (9 + 16)/9
⇒ ​​sec2θ = 25/9
⇒ ​​secθ = 5/3

১,০৭০.
cos24° + cos204° =?
  1. ক
    √3/2
  2. খ
    1/√2
  3. গ
    0
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos24° + cos204° =?

সমাধান:
cos204° = cos(180° + 24°) = - cos24°

cos24° + cos204°
= cos24° - cos24°
= 0
১,০৭১.
নিচের কোনটি সত্য নয়?
  1. ক
    ক) sin²θ + cos²θ = 1
  2. খ
    খ) sec²θ - tan²θ = 1
  3. গ
    গ) sec²θ + tan²θ = 1
  4. ঘ
    ঘ) cosec²θ - cot²θ = 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি সত্য নয়?

sin²θ + cos²θ = 1
sec²θ - tan²θ = 1
sec²θ + tan²θ = 1
cosec²θ - cot²θ = 1
 
সঠিক উত্তর: sec²θ + tan²θ = 1

সমাধান:
১,০৭২.
θ = 30° হলে, (2sinθ/tanθ) এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    1/√2
  3. গ
    √3
  4. ঘ
    √3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: θ = 30° হলে, (2sinθ/tanθ) এর মান কত? 

সমাধান: 
2sinθ/tanθ
= 2sinθ/(sinθ/cosθ)
= 2sinθ × (cosθ/sinθ)
= 2cosθ
= 2cos30°
= 2 × (√3/2)
= √3
১,০৭৩.
যদি sin θ = 0.5 হয়, তবে θ এর মান কত? (0° ≤ θ ≤ 90°)
  1. ক
     60°
  2. খ
     90°
  3. গ
     30°
  4. ঘ
     45°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি sin θ = 0.5 হয়, তবে θ এর মান কত? (0° ≤ θ ≤ 90°)

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিকোণমিতির মান অনুসারে-
sin 0° = 0
sin 30° = 1/2
sin 90° = 1
sin 180° = 0 

অতএব, sin θ = 0.5 হয় কেবল যখন θ এর মান = 30° হয়।

১,০৭৪.
sinθ = 4/5 হলে, ‍cotθ এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 3/5
  2. খ
    খ) 4/3
  3. গ
    গ) 3/4
  4. ঘ
    ঘ) 4/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinθ = 4/5 হলে, ‍cotθ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
sinθ = 4/5
⇒ (sinθ)2 = (4/5)2
⇒ sin2θ = 16/25
⇒ 1 - cos2θ = 16/25
⇒ 1 - (16/25) = cos2θ
⇒ (25 - 16)/25 = cos2θ
⇒ 9/25 = cos2θ
⇒ (3/5)2 = cos2θ
∴ cosθ = 3/5

আমরা জানি,
cotθ = cosθ/sinθ
= (3/5)/(4/5)
= (3/5) × (5/4)
= 3/4
১,০৭৫.
একটি তালগাছ এর পাদবিন্দু হতে 10 মিটার দূরবর্তী স্থানে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    5√3 মিটার 
  2. খ
    15 মিটার 
  3. গ
    10√3 মিটার 
  4. ঘ
    12√6 মিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি তালগাছ এর পাদবিন্দু হতে 10 মিটার দূরবর্তী স্থানে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান: 


গাছটির উচ্চতা AB 

ΔABC এ 
tan60° = AB/BC
⇒ √3 = AB/10
⇒ AB = 10√3 
∴ AB = 10√3 মিটার 
১,০৭৬.
If sin 45° = √2A, then A = ?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 1 √2
  4. ঘ
    ঘ) 1√3
ব্যাখ্যা

Question: If sin 45° = √2A, then A =?

Solution: 
sin 45° = √2A
1/√2 =√2A
A = 1/(√2)2
A = 1/2

১,০৭৭.
(1/sin2A) - (1/tan2A) = কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 1/√3
ব্যাখ্যা

(1/sin2A) - (1/tan2A)
=(1/sin2A) - (cos2A/sin2A)
= (1 - cos2A)/sin2A
= sin2A/sin2A
=1

১,০৭৮.
cosecθ + cotθ = 3 হলে cosecθ - cotθ = কত?
  1. ক
    ক) -3
  2. খ
    খ) -1/3
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 1/3
ব্যাখ্যা

(cosecθ + cotθ)(cosecθ - cotθ)
= cosec2θ - cot2θ = 1
বা, 3(cosecθ - cotθ) = 1
∴ cosecθ - cotθ = 1/3

১,০৭৯.
ΔPQR -এ ∠Q = 90° হলে sin2P + sin2R = ?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) - 1
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔPQR -এ ∠Q = 90° হলে sin2P + sin2R = ?

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যানুসারে,
∠Q = 90°
∴ P + R = 90°
বা, P = 90° - R
বা, sinP = sin(90° - R)
বা, sinP = cosR

∴ sin2P + sin2R
= cos2R + sin2R
= 1
১,০৮০.
sin{(nπ)/2} অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি? 
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    √2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sin{(nπ)/2} অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?

সমাধান:
sin{(nπ)/2}
= sin{(4π)/2}
= sin2π
= sin360°
= sin(4 × 90° + 0°)
= sin0°
= 0

১,০৮১.
যদি sin⁡A = 5/13 হয়, তবে cot⁡A =?
  1. ক
    12/5
  2. খ
    12/13
  3. গ
    13/5
  4. ঘ
    1/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sin⁡A = 5/13 হয়, তবে cot⁡A =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA = 5/13

আমরা জানি,
⇒ sin⁡2A + cos⁡2A =1
⇒ cos2A = 1 - sin2A = 1 - (5/13​)2 = 1 - (25/169) = 144/169
⇒ cosA = √(144/169) = 12/13

এখন,
cot⁡A = cos⁡A/sin⁡A = (12/13)/(5/13) = 12/5

∴ cot⁡A = 12/5
১,০৮২.
0° < A < 90° হলে, {sinA/(1 + cosA)} + {sinA/(1 - cosA) এর মান নির্ণয় করুন?
  1. ক
    (1/2) secA
  2. খ
    2 tanA
  3. গ
    2 cosecA
  4. ঘ
    (1/2) cosA
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0° < A < 90° হলে, {sinA/(1 + cosA)} + {sinA/(1 - cosA) এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান:
১,০৮৩.
cotθ = 4/3 হলে, cosecθ এর মান কত?
  1. ক
    ক) 4/3
  2. খ
    খ) 5/4
  3. গ
    গ) 5/3
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cotθ = 4/3 হলে, cosecθ এর মান কত?

সমাধান: 
cotθ = 4/3 = ভূমি/লম্ব 

ভূমি = 4, লম্ব = 3

অতিভুজ২ = 42 + 32
= 16 + 9 
= 25
∴ অতিভুজ = 5 

cosecθ = অতিভুজ/লম্ব 
= 5/3
১,০৮৪.
  1. ক
    0°
  2. খ
    45°
  3. গ
    30°
  4. ঘ
    60°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,০৮৫.
একটি গাছের উচ্চতা 150 মি.। গাছটির শীর্ষ ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ 60° হলে গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দুরত্ব কত?
  1. ক
    300√3 মি.
  2. খ
    50/√3 মি.
  3. গ
    150√3 মি.
  4. ঘ
    50√3 মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাছের উচ্চতা 150 মি.। গাছটির শীর্ষ ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ 60° হলে গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দুরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দুরত্ব = x মি.
গাছের উচ্চতা, AB = 150 মি.
এবং C বিন্দুতে গাছটির শীর্ষ A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60°

সমকোণী Δ ABC থেকে পাই, tan∠ACB = AB/BC
বা, tan 60° = 150/x
বা, √3 =150/x
বা, x√3= 150
বা, x = 150/√3
∴ x = 150√3/3
x = 50√3 

১,০৮৬.
ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ AC = 2 একক এবং লম্ব AB = 1 একক হলে tanC = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    √3
  3. গ
    1
  4. ঘ
    1/√3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ AC = 2 একক এবং লম্ব AB = 1 একক হলে tanC = কত?
 

১,০৮৭.
tan⁡A + cot⁡A = 2, এই সমীকরণ থেকে sin⁡A এর মান নির্ণয় করুন?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/√2
  3. গ
    √3/2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tan⁡A + cot⁡A = 2, এই সমীকরণ থেকে sin⁡A এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান:
tan⁡A + cot⁡A = 2
বা, sinA/cosA + cosA/sinA = 2
বা, (sin2A + cos2A)/(sinA.cosA) = 2
বা, 1 = 2sinA.cosA
বা, sin2A = 1
বা, sin2A = sin90°
বা, 2A = 90°
∴ A = 45°

∴ sinA = sin45° = 1/√2
১,০৮৮.
একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য ৫ মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ৫ মিটার
  2. খ
    খ) ৭ মিটার
  3. গ
    গ) ১০ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ২৫ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য ৫ মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে লম্ব ও ভূমির মান সমান। 
∴ ভূমির দৈর্ঘ্য হবে ৫ মিটার
১,০৮৯.
If θ be an acute angle and 7sin2θ + 3cos2θ = 4, then the value of tanθ is?
  1. ক
    ক) √3
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 1/√3
ব্যাখ্যা
Question: If θ be an acute angle and 7sin2θ + 3cos2θ = 4, then the value of tanθ is?

Solution: 
7sin2θ  + 3cos2θ = 4
⇒ 7sin2θ + 3(1- sin2θ)=4
⇒ 7sin2θ + 3 - 3sin2θ=4
⇒ 4sin2θ=1
⇒ sin2θ=1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°

 tan30° = 1/√3 
১,০৯০.
যদি, cosθ = 3/5 হয়, তবে cosecθ = ?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/5
  3. গ
    5/3
  4. ঘ
    5/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি, cosθ = 3/5 হয়, তবে cosecθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = 2/5

আমরা জানি,
sinθ = √(1 - cos2θ)
= √{1 - (3/5)2}
= √(1 - 9/25)
= √{(25 - 9)/25}
= √(16/25)
= 4/5

∴ cosecθ = 1/sinθ = 1/(4/5) = 5/4
১,০৯১.
tan2A = √3 হলে, A = ?
  1. ক
    20°
  2. খ
    30°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    60°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tan2A = √3 হলে, A = ?

সমাধান: 
tan2A = √3 = tan60°
⇒ 2A = 60° 
∴ A = 30°

১,০৯২.
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে, tanθ এর মান কত?
  1. ক
    7/8
  2. খ
    8/7
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    4/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে, tanθ এর মান কত? 

সমাধান:
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7
বা,(sinθ + cosθ + sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ - sinθ + cosθ) = (7 + 1)/(7 - 1)  [যোজন-বিয়োজন করে] 
বা, 2sinθ/2cosθ = 8/6
বা, sinθ/cosθ = 4/3
∴ tanθ = 4/3 
১,০৯৩.
sin{(17π/2) + θ} = ?
  1. ক
    sinθ
  2. খ
    - cosθ
  3. গ
    cosθ
  4. ঘ
    - sinθ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin{(17π/2) + θ} = ?

সমাধান:
sin{(17π/2) + θ}
= Sin {17 × (π/2) + θ}
= sin(17 × 90° + θ)
= cosθ
90° করে 17 বার ঘুরলে দ্বিতীয় চতুর্ভাগে আসবে যেখানে Sinθ এর মান ধনাত্মক।
আবার, sin(90° + θ) = cosθ এবং sin(n × 90° + θ) = cosθ হবে যদি n এর মান বিজোড় হয়।
১,০৯৪.
একটি 65 মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে 60 মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত মিটার?
  1. ক
    12 মিটার
  2. খ
    16 মিটার
  3. গ
    20 মিটার
  4. ঘ
    25 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি 65 মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে 60 মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:

মনে করি,
দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = x মিটার
দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(মইয়ের উচ্চতা)2 = (দেয়ালের উচ্চতা)2 + (x)2
⇒ (65)2 = (60)2 + (x)2
⇒ 4225 = 3600 + (x)2
⇒ (x)2 = 4225 - 3600
⇒ (x)2 = 625
⇒ (x)2 = (25)2
∴ x = 25

∴ দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = 25 মিটার।
১,০৯৫.
θ একটি পূরক কোণ, এবং cos θ = 15/17 হলে cot (90- θ) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 11/15
  2. খ
    খ) 9/15
  3. গ
    গ) 7/15
  4. ঘ
    ঘ) 8/15
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে,
cos θ =15/17
⇒ secθ = 17/15
⇒ sec²θ = 289/225
⇒ 1 + tan²θ = 289/225
⇒tan²θ = 289/225 - 1
⇒tan²θ = 64/225
⇒tanθ = 8/15
⇒ cot(90 - θ) = 8/15
১,০৯৬.
২৪ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে ৩০° কোণে স্পর্শ করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?
  1. ক
    ৫ ফুট
  2. খ
    ৬ ফুট
  3. গ
    ৮ ফুট
  4. ঘ
    ৯ ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৪ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে ৩০° কোণে স্পর্শ করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?

সমাধান:

ধরি,
মাটি থেকে h ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে যায়।

আমরা জানি,
sin30° = লম্ব/অতিভূজ
বা, ১/২ = h/(২৪ - h)
বা, (২৪ - h) = ২h
বা, ৩h = ২৪
∴ h = ৮
অর্থাৎ, মাটি থেকে ৮ ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গ যায়।
১,০৯৭.
যদি sinA = 4/5 হয়, তবে secA এর মান কত?
  1. ক
    3/5
  2. খ
    5/3
  3. গ
    5/4
  4. ঘ
    4/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sinA = 4/5 হয়, তবে secA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA = 4/5
∴ ভূমি = √(52 - 42)
= √(25 - 16)
= √9
= 3

আমরা জানি, tanA = লম্ব/ভূমি
∴ tanA = 4/3
∴ secA = 5/3
১,০৯৮.
(- 1, - 4) এবং (4, 8) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    10 একক
  2. খ
    13 একক
  3. গ
    15 একক
  4. ঘ
    7 একক
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (- 1, - 4) এবং (4, 8) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

১,০৯৯.
If √2sinθ - cosθ=2sinθ - √2sin(90°−θ),then the value of cotθ is-
  1. ক
    ক) √2
  2. খ
    খ) -√2
  3. গ
    গ) √2-1
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
√2sinθ - cosθ=2sinθ–√2sin(90º−θ)
⇒ -cosθ+√2cosθ =2sinθ - √2sinθ
⇒cosθ(√2 - 1) =√2sinθ(√2 - 1)
⇒ cotθ = √2

১,১০০.
The angles of a triangle are (x+5)°,(2x-3)°,(3x+4)°.Then, what is the value of X here?
  1. ক
    ক) 30
  2. খ
    খ) 31
  3. গ
    গ) 29
  4. ঘ
    ঘ) 28
ব্যাখ্যা

প্রশ্নমতে,
(x+5)º + (2x-3)º + (3x+4)º = 180º
বা, 6x + 6 = 180
বা, 6x = 174
বা, x = 174/6 = 29