পরিমিতি

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ২৮ মিটার এবং ১৮ মিটার। জমির চারপাশে ২ মিটার চওড়া পাড় আছে। পাড়সহ জমির পরিসীমা কত?

সমাধান:
পাড়সহ জমির দৈর্ঘ্য = ২৮ + (২ × ২) = ৩২ মিটার
পাড়সহ জমির প্রস্থ = ১৮ + (২ × ২) = ২২ মিটার

∴ পাড়সহ জমির পরিসীমা = ২ × (৩২ + ২২) মিটার = ১০৮ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 84 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 12 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
= ১/২ × ভূমি × ১২
= ৬ × ভূমি

প্রশ্নমতে,
৬ × ভূমি = ৮৪
বা, ভূমি = ৮৪/৬
বা, ভূমি = ১৪

∴ ভূমি = ১৪ গজ

ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল

প্রশ্ন: একটি কোণকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং উচ্চতা 21 সে.মি. হলে কোণকের মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি.
উচ্চতা, l = 21 সে.মি.

∴ কোণকের মোট ক্ষেত্রফল = πr(r + l) 
= (22/7) × 7(7 + 21)
= 22 × 28
= 616 বর্গ সে.মি. 

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে পরিসীমা 3a একক।

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে পরিসীমা 4a একক।

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার
এর পরিসীমা ৩ × ১২ = ৩৬ মিটার

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৩৬ মিটার
এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (৩৬/৪) = ৯ মিটার।

ত্রিভুজের পরিসীমা s = (২০+২১+২৯)/২ = ৩৫
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{৩৫(৩৫-২০)(৩৫-২১)(৩৫-২৯)
=√৪৪১০০
= ২১০ বর্গ সেমি 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = প্রস্থের ৩ গুণ
ক্ষেত্রফল = ৩০০ বর্গমিটার

ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে,
দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

∴ ৩ক × ক = ৩০০
⇒ ৩ক^২ = ৩০০
⇒ ক^২ = ১০০
⇒ ক = ১০

অতএব,
প্রস্থ = ১০ মিটার
দৈর্ঘ্য = ৩ × ১০ = ৩০ মিটার

আমরা জানি,
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

∴ পরিসীমা
= ২(৩০ + ১০)
= ২ × ৪০
= ৮০ মিটার।

অতএব, সঠিক উত্তর:
ঘ) ৮০ মিটার।

ত্রিভুজ হওয়ার শর্ত “যে কোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর”
∴ তৃতীয় বাহুর মান কমপক্ষে ৫ মিটার হতে হবে
∴ ত্রিভুজের পরিসীমা কমপক্ষে = ৫ + ৭ + ১১ = ২৩ মিটার

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে সেন্টিমিটার সবচেয়ে ছোট।

সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h = π(3)² x 3.5 = 22x9x3.5/7 =99 ঘন মিঃ
ট্যাংকটিতে পানি ধরে = 99 x 1000 = 99000 লিটার (১ ঘনমিঃ পানি = ১০০০ লিঃ)

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৬ মিটার এবং প্রস্থ ৩ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ৩ মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২ × (৬ + ৩) মিটার
= ২ × ৯ মিটার
= ১৮ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় = ৪৫ টাকা
∴ ১৮ মিটারে খরচ হয় = (৪৫ × ১৮) টাকা
= ৮১০ টাকা। 

আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a² এবং আয়তন = a³
প্রশ্নানুসারে,
6a² = 150
বা, a² = 25
বা, a = 5
সুতরাং আয়তন = 5³
= 125 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ মিটার কম। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (২ক - ৬) মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

প্রশ্নমতে,
২{(২ক - ৬) + ক} = ৪৮
বা, ২(৩ক - ৬) = ৪৮
বা, ৬ক - ১২ = ৪৮
বা, ৬ক = ৪৮ + ১২
বা, ৬ক = ৬০
বা, ক = ৬০/৬
∴ ক = ১০

∴ প্রস্থ = ১০ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২(১০) - ৬ = ২০ - ৬ = ১৪ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ১৪ × ১০
∴ ক্ষেত্রফল = ১৪০ বর্গমিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো ১৪০ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৮০ বর্গমিটার। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং উচ্চতা ৮ মিটার হলে, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ৮০ বর্গমিটার
একটি সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ১২ মিটার
উচ্চতা, h = ৮ মিটার
ধরি, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য = b মিটার

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (a + b) × h
⇒ ৮০ = (১/২) × (১২ + b) × ৮
⇒ ৮০ = (১২ + b) × ৪
⇒ ১২ + b = ৮০ / ৪
⇒ ১২ + b = ২০
⇒ b = ২০ - ১২
⇒ b = ৮ মিটার

∴ অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার।

প্রশ্ন: কোণকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?

সমাধান: 
• গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক  ।
• গোলকের আয়তন = (4/3) πr³ ঘন একক ।

• কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πr√(h² + r²) বর্গ একক । 
• কোণকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = πr(L + r) বর্গ একক । 
• কোণকের আয়তন = (1/3) × πr²h ঘন একক । 

• বেলনের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²  । 
• বেলনের সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 
• বেলনের আয়তন = πr²h   ।

বাগানের ক্ষেত্রফল = (৬৫ × ৫০) বর্গ ফুট
= ৩২৫০ বর্গ ফুট
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = {৬৫+ (৫+৫)} {৫০ + (৫+৫)}
= ৭৫ × ৬০
= ৪৫০০ বর্গ ফুট
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৪৫০০ - ৩২৫০
= ১২৫০ বর্গ ফুট

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গ সে. মি. হলে, এবং একটি কর্ণ ১৪ সে. মি. হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে. মি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গ সে. মি.
একটি কর্ণ ১৪ সে. মি.
অপর কর্ণ = ? সে. মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × একটি কর্ণ × অপর কর্ণ 
বা, (১/২) × একটি কর্ণ × অপর কর্ণ = রম্বসের ক্ষেত্রফল
বা, (১/২) × ১৪ × অপর কর্ণ = ৮৪
বা, ৭ × অপর কর্ণ = ৮৪
বা, অপর কর্ণ = ৮৪/৭
∴ অপর কর্ণ = ১২

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে. মি.

এখানে,
a = 7,
b = 8
এবং c = 9
∴ s = (a + b + c)/2
= (7 + 8 + 9)/2
= 12
∴ ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{12(12 - 7)(12 - 8)(12 - 9)}
= √(12 × 5 × 4 × 3)
= 12√5 বর্গমিঃ

প্রশ্ন: একটি নোটবুকের দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি., প্রস্থ ১৫ সে.মি. এবং মোট পুরুত্ব ১.৮ সে.মি.। প্রতি পাতার পুরুত্ব ০.০৯ মি.মি. হলে নোটবুকে কতগুলো পাতা আছে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
নোটবুকের দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি.
প্রস্থ = ১৫ সে.মি.
মোট পুরুত্ব = ১.৮ সে.মি. = (১.৮ × ১০) মি.মি. ; [১ সে.মি. = ১০ মি.মি.] 
= ১৮ মি.মি.
এবং প্রতি পাতার পুরুত্ব = ০.০৯ মি.মি.

∴ পাতার সংখ্যা = মোট পুরুত্ব​/প্রতি পাতার পুরুত্ব 
= ১৮ মি.মি./০.০৯ মি.মি.
= (১৮ × ১০০)/৯ 
= ২ × ১০০
= ২০০ টি 

সুতরাং, নোটবুকে ২০০টি পাতা আছে।  

ভূমি b = ১৬ মিঃ
বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১০ মিঃ
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4(√(4a²-b²))
= 16/4((√(4.10²-16²)
= 48 বর্গমিঃ

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য ৪৫ মিটার এবং প্রস্থ ৩৫ মিটার। চারপাশে ৪ মিটার চওড়া পাড় থাকলে পাড়ের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৪৫ মিটার
পুকুরের প্রস্থ = ৩৫ মিটার
পাড়ের বিস্তার = ৪ মিটার

∴ পুকুরের ক্ষেত্রফল = ৪৫ × ৩৫ = ১৫৭৫ বর্গমিটার

আবার, 
পাড় সহ মোট দৈর্ঘ্য = ৪৫ + (২ × ৪) = ৪৫ + ৮ = ৫৩ মিটার
এবং প্রস্থ = ৩৫ + (২ × ৪) = ৩৫ + ৮ = ৪৩ মিটার

∴ পাড় সহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = ৫৩ × ৪৩ = ২২৭৯ বর্গমিটার

∴ পাড়ের ক্ষেত্রফল = পাড় সহ ক্ষেত্রফল - পুকুরের ক্ষেত্রফল
= ২২৭৯ - ১৫৭৫ = ৭০৪ বর্গমিটার।

সুতরাং, পাড়ের ক্ষেত্রফল ৭০৪ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার এবং দৈর্ঘ্য ১২ মিটার হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৯২ বর্গমিটার
দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ ১৯২ = ১২ × প্রস্থ
⇒ প্রস্থ = ১৯২/১২
∴ প্রস্থ = ১৬ মিটার

এখন পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১২ + ১৬)
= ২ × ২৮
= ৫৬ মিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৫৬ মিটার। 

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক হলে কর্ণ x√2.
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x = 4 বর্গ একক
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x² = 4² = 16

বৃত্তের ব্যাস ৫৬ ফুট হলে ব্যাসার্ধ ২৮ ফুট
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = ৩.১৪১৬ × ২৮² = ২৪৬১.৭৬ বর্গফুট
প্রশ্নমতে,বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪৬১.৭৬ বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৪৬১.৭৬ = ৪৯.৬ ফুট।

সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য x সেমি হলে পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে-
x² + x² = 10²
⇒ 2x² = 100
⇒ x² = 50
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 50 = 25 বর্গসেমি

৪০০ পৃষ্ঠা = ২০০ পাতা
∴ বইয়ের পুরুত্ব = ২০০ × ০.১
= ২০ মি.মি.
= ২ সে. মি.
∴ আয়তন = ২৫ × ২০ × ২
= ১০০০ ঘন সে. মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২২১ বর্গমিটার ও পরিসীমা ৬০ মিটার হলে তার দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = x মিটার
প্রস্থ = y মিটার

প্রশ্নমতে, 
xy = ২২১ .....(১)
এবং, 
২(x + y) = ৬০
∴ x + y = ৩০ .......(২)

আমরা জানি, 
(x - y)^২ = (x + y)^২ - ৪xy
= (৩০)^২ - (৪ × ২২১) = ৯০০ - ৮৮৪ 
⇒ (x - y)^২ = ১৬ 
∴ x - y = ৪ .......(৩)

এখন, (২) ও (৩) নং যোগ করে পাই, 
x + y + x - y = ৩০ + ৪ 
⇒ ২x = ৩৪ 
∴ x = ১৭ 

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ১৭ মিটার।