পরিমিতি

প্রশ্ন: 24 সে.মি. ব্যাস এবং 6 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি নিরেট বেলন গলিয়ে 3 টি গোলক তৈরি করা হলে প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ব্যাস = 24 সেমি
∴ বেলনের ব্যাসার্ধ, R = 24/2 = 12 সেমি
উচ্চতা, h = 6 সেমি
∴ বেলনের আয়তন = πR²h
= π × (12)² × 6
= π × 144 × 6
= 864π ঘন সেমি

মনে করি, প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ = r
আমরা জানি, গোলকের আয়তন = (4/3)πr³

প্রশ্নমতে,
3 টি গোলকের আয়তন = বেলনের আয়তন
⇒ 3 × (4/3)πr³ = 864π
⇒ 4πr³ = 864π
⇒ 4r³ = 864
⇒ r³ = 864 / 4
⇒ r³ = 216
⇒ r = ³√216
⇒ r = 6 সেমি

∴ প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ 6 সেমি।

মনেকরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
তাহলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩/৪‍(a²)
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √৩/৪(a+১)²
প্রশ্নমতে,
(√৩/৪(a+১)²) - (√৩/৪(a²)) = ৩√৩
a² + ২a + ১ - a² = ১২
২a = ১১
a = ৫.৫

প্রশ্ন: একটি সাবানের আকার ৫ সে. মি. × ৪ সে. মি. × ১.৫ সে. মি. হলে ৫৫ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৪৮ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সাবানের আয়তন = (৫ x ৪ x ১.৫) ঘন সে.মি.
= ৩০ ঘন সে.মি. 

আবার, 
বাক্সের আয়তন = (৫৫ x ৪৮ x ৩০) ঘন সে.মি.
= ৭৯২০০ ঘন সে.মি. 

∴ সাবান রাখা যাবে = ৭৯২০০/৩০ টি 
= ২৬৪০ টি।

প্রশ্ন: 10 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 12 সে.মি.। ইহার  আয়তন কত? 

সমাধান: 
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × 10 × 10 × 12 
= 400 ঘনসে.মি.

প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 32 একক হলে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 32 একক
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 32/4 = 8 একক

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 8
= 8√2

প্রশ্ন: 10 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 18 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার ভূমির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 10 সেমি
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল = (10 × 10) = 100 বর্গ সেমি
পিরামিডের উচ্চতা, h = 18 সেমি

আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
⇒ আয়তন = (1/3) × 100 × 18
⇒ আয়তন = 100 × 6
⇒ আয়তন = 600 ঘন সেমি

∴ পিরামিডটির আয়তন 600 ঘন সেমি।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5√2 একক
বাহুর দৈর্ঘ্য = 5√2/√2 একক
= 5 একক
∴ ক্ষেত্রফল = 5²
= 25 বর্গ একক

ধরি,
বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ ক্ষেত্রফল = a²
বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = a + a এর ৫০%
= a + a × ৫০/১০০
= a + a/2
= ৩a/২

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (৯/৪)a²
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (৯/৪)a² - a² = ৫a²/৪
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি হার = {(৫a²/৪)/a²} × ১০০
= (৫/৪) × ১০০
= ১২৫%

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার পানি ধরে। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ ১.২৫ মিটার। চৌবাচ্চাটির গভীরতা কত?

সমাধান: 
ধরি,
চৌবাচ্চাটির গভীরতা = ক মিটার
∴ চৌবাচ্চাটির আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা
= ২.৫৬ × ১.২৫ × ক
= ৩.২ক ঘনমিটার

আমরা জানি,
১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার
∴ ৮০০০ লিটার = ৮০০০/১০০০ = ৮ ঘনমিটার

প্রশ্নমতে,
৩.২ক = ৮
বা, ক = ৮/৩.২
∴ ক = ২.৫ মিটার

বর্গের পরিসীমা 4x = 2s
⇒ x = s/2
বর্গের ক্ষেত্রফল = x² = (s/2)²

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ সে.মি এবং আয়তন 180 ঘন সে.মি। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি,
বেলনের ব্যাসার্ধ = r
এবং উচ্চতা = h

দেওয়া আছে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 120 ..........(1)
আয়তন = πr²h = 180 ..........(2)

(2) ÷ (1) করলে পাই,
πr²h/2πrh = 180/120
⇒ r/2 = 3/2
⇒ r = 3

∴ বেলনের ব্যাসার্ধ = 3 সে.মি.

দৈর্ঘ্য = ৬ মিঃ,
প্রস্থ = ৪ মিঃ,
উচ্চতা = ৫ মিঃ
∴ আয়তন = (৬ × ৪ × ৫) ঘনমিঃ
= ১২০ ঘনমিঃ
১ ঘনমিঃ এলাকায় ১০০০ লিটার পানি ধরে
∴ চৌবাচ্চায় মোট পানির পরিমাণ = ১২০ × ১০০০ লিঃ
= ১২০০০০ লিঃ

প্রশ্ন: ২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = {২১ মি. + (২ + ২) মি.} = ২৫ মিটার 
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = {১৫ মি. + (২ + ২) মি.} = ১৯ মিটার 
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৫ × ১৯) বর্গমিটার 
= ৪৭৫ বর্গমিটার

আবার, 
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (২১ × ১৫) বর্গমিটার 
= ৩১৫ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪৭৫ – ৩১৫) বর্গমিটার 
= ১৬০ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 সে মি হলে, ঘনকের ধার কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 সে মি
মনে করি,
ঘনকের ধার m সে মি
আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 × ঘনকের ধার 
= √3 × m

শর্তমতে,
√3 × m = 15
বা, m = 15/√3
বা, m = (15 × √3)/(√3 × √3)
বা, m = (15 × √3)/3
∴ m = 5√3

∴ ঘনকের ধার 5√3 সে মি

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৩০ মিটার। যদি প্রতি বর্গমিটার ঘাস লাগাতে ৩ টাকা খরচ হয়, তবে পুরো মাঠে ঘাস লাগাতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার
আয়তাকার মাঠের প্রস্থ = ৩০ মিটার 
∴ আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার 
= (৫০ × ৩০) বর্গমিটার 
= ১৫০০ বর্গমিটার 

১ বর্গমিটারে খরচ হয় = ৩ টাকা 
∴ ১৫০০ বর্গমিটারে খরচ হয় = (৩ × ১৫০০) টাকা 
= ৪৫০০ টাকা 

∴ ঘাস লাগাতে খরচ হবে = ৪৫০০ টাকা ।

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৪৮/৩ মিটার = ১৬ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(৪৮+১৬) = ১২৮ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২৮ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ১২৮/৪ মিটার = ৩২ মিটার

বাগানের ব্যাস = ২৪ মিঃ
∴ বাগানের ব্যাসার্ধ = ১২ মিঃ
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = π × (১২)²
= ১৪৪π বর্গমিঃ
রাস্তাসহ বাগানের ব্যাসার্ধ = (১২ + ১)
= ১৩ মিঃ
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = π(১৩)²
= ১৬৯π বর্গমিঃ
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১৬৯π - ১৪৪π
= ২৫π বর্গমিঃ

আমরা জানি, গোলকের ক্ষেত্রফল = 4 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= 4πr²
= π (2r)²
= π (ব্যাস)²
= π (10)²
= 100π

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৩৭ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল

∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ২ × রম্বসের ক্ষেত্রফল
= (২ × ৩৭) বর্গ সে.মি.
= ৭৪ বর্গ সে.মি.

সমবাহু ত্রিভূজের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ ক্ষেত্রফল = √3/4 a²
আবার,
সমবাহু ত্রিভূজের নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = a + 2
∴ ক্ষেত্রফল = √3/4(a + 2)²
শর্তমতে,
√3/4(a + 2)² - √3/4a² = 3√3
বা, √3/4{(a + 2)² - a²} = 3√3
বা, (a² + 4a + 4 - a²) = 12
বা, 4a + 4 = 12
∴ a = 2

দৈর্ঘ্য = 5a,
প্রস্থ = 4a,
উচ্চতা = 3a

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য় = √{(5a)² + (4a)² + (3a)²} = 30√2
বা, √(25a² + 16a² + 9a²) = 30√2
বা, √50a² = 30√2
বা, 5√2a = 30√2
∴ a = 6

∴ আয়তন = 5a × 4a × 3a
= 60a³
= 60(6)³
= 60 × 216
= 12,960 ঘনমিঃ

প্রশ্ন: যদি ১৮ ফুট দীর্ঘ এবং ১৫ ফুট প্রস্থ একটি কার্পেট দিয়ে একটি ঘরের মেঝের ৪০% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ১৮ × ১৫
=  ২৭০ বর্গফুট

৪০% মেঝে =  ২৭০ বর্গফুট
⇒ ১% মেঝে =  ২৭০/৪০ বর্গফুট
⇒ ১০০% বা সম্পূর্ণ মেঝে =  (২৭০ × ১০০) /৪০ বর্গফুট = ৬৭৫ বর্গফুট

মনে করি,
ঘনকের ধার, a
আমরা জানি,
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a এবং আয়তন = a³ ঘন একক।
প্রশ্নানুসারে, √2a = 4√2
বা, a = 4
সুতরাং ঘনকটির আয়তন = 4³
= 64
উৎসঃ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।

প্রশ্ন: একটি গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের অনুপাত 1 : 1 হলে ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
গোলকের ব্যাসার্ধ = r 

আমরা জানি, 
গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক 
এবং গোলকের আয়তন= (4/3)πr³ ঘন একক 

প্রশ্নমতে,
4πr² : (4/3)πr³ = 1 : 1
⇒ 4πr²/(4/3)πr³ = 1
⇒ 3/r = 1
⇒ r = 3
∴ r = 3 

∴ ব্যাসার্ধ = 3 একক।

প্রশ্ন: একটি সাবানের দৈর্ঘ্য ৫ সে. মি. প্রস্থ ৪ সে . মি. এবং উচ্চতা ৩ সে. মি. হলে, ৮০ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৫০ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?

সমাধান:
একটি সাবানের আয়তন = (৫ × ৪ × ৩) ঘন সে. মি.
= ৬০ ঘন সে. মি.

একটি বাক্সের আয়তন = (৮০ × ৫০ × ৩০) ঘন সে. মি.
= ১,২০,০০০ ঘন সে. মি.

তাহলে, একটি বাক্সে সর্বমোট সাবান ধরবে = বাক্সের আয়তন/সাবানের আয়তন
= ১,২০,০০০/৬০ টি
= ২০০০ টি

প্রশ্ন: একটি পাইপের বহির্ব্যাস 18.5 ইঞ্চি এবং অন্তর্ব্যাস 8.5 ইঞ্চি। পাইপটির পুরুত্ব কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পাইপের বহির্ব্যাস = 18.5 ইঞ্চি
পাইপের অন্তর্ব্যাস = 8.5 ইঞ্চি
∴ পাইপটির পুরুত্ব = (18.5 - 8.5)/2 ইঞ্চি
= 10/2 ইঞ্চি
= 5.0 ইঞ্চি  । 

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 16 সে.মি হলে, বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধান: 
ব্যাসার্ধ r = 16 সে.মি,
উচ্চতা h হলে,
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr²h)/(2πrh)
= r/2
= 16/2
= 8

∴ বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের 8 গুণ।

প্রশ্ন: ১০ সে. মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৬ সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ১০ সে. মি.
বৃত্তের কেন্দ্র হতে জ্যা পর্যন্ত দূরত্ব, d = ৬ সে. মি.

তাহলে, জ্যা = ২√(ব্যাসার্ধ^২- কেন্দ্র হতে দূরত্ব^২)
= ২√(১০^২- ৬^২) সে. মি.
= ২√(১০০ - ৩৬)
= ২ × √৬৪
= ২ × ৮
= ১৬ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার ও উচ্চতা ৪৬ মিটার। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার
এবং উচ্চতা ৪৬ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
= (৩৪ × ৪৬) বর্গমিটার
= ১৫৬৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাস ১৪ সে.মি. হলে ৪৪০ সে.মি. পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাস ১৪ সে.মি.
∴ চাকার ব্যাসার্ধ, r = ৭ সে.মি.

চাকার পরিধি = ২πr সে.মি.
= ২ × (২২/৭) × ৭ সে.মি.
= ৪৪ সে.মি.

আমরা জানি,
চাকা ১ বার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

৪৪০ সে.মি. পথ অতিক্রম করতে চাকাটি ঘুরবে (৪৪০/৪৪) বার = ১০ বার

দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি
কর্ণ হতে বিপরীত শীর্ষের দূরত্ব ৫ সে.মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = সামান্তরিকের কর্ণের দৈর্ঘ্য × কর্ণ হতে বিপরীত শীর্ষের দূরত্ব
= ১০ × ৫ বর্গসে.মি.
= ৫০ বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ১৬ ফুট এবং প্রস্থ ১০ ফুট। মেঝেটি ঢাকতে ৮ ফুট দীর্ঘ এবং ৫ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট কয়টি কার্পেট প্রয়োজন?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য = ৮ ফুট
 কার্পেটের প্রস্থ = ৫ ফুট
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল = (৮ × ৫) বর্গফুট
= ৪০ বর্গফুট

আবার,
ঘরের দৈর্ঘ্য = ১৬ ফুট
ঘরের প্রস্থ = ১০ ফুট 
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = (১৬ × ১০) বর্গফুট
= ১৬০ বর্গফুট 

∴ কার্পেট সংখ্যা = ১৬০/৪০ টি 
= ৪ টি।