লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

পরিমিতি

মোট প্রশ্ন২,১১০এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

পরিমিতি

PrepBank · পাতা ৩ / ২১ · ২০১–৩০০ / ২,১১০

২০১.
একটি আয়তকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ১৬ মিটার। বাগানের পরিসীমা কত মিটার?
  1. ক
    ক) ১৬
  2. খ
    খ) ২৫
  3. গ
    গ) ৪১
  4. ঘ
    ঘ) ৮২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ১৬ মিটার। বাগানের পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ১৬ মিটার
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০০/১৬ = ২৫ মিটার 

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২(২৫ + ১৬) মিটার 
= ৮২ মিটার
২০২.
১ মিলিমিটার ১ ডেকামিটারের কত অংশ?
  1. ক
    ১/১০
  2. খ
    ১/১০০০০
  3. গ
    ১/১০০
  4. ঘ
    ১/১০০০
ব্যাখ্যা
১ ডেকামিটার
= ১০ মিটার
= ১০ × ১০০০ মিলিমিটার
= ১০০০০ মিলিমিটার

অতএব, ১ মিলিমিটার ১ ডেকামিটারের ১/১০০০০ অংশ
২০৩.
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা এর দৈর্ঘ্যের ৩/৫ অংশ। বস্তুটির দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ। বস্তুটির প্রস্থ  ২.৫ সে.মি. হলে আয়তাকার বস্তুটির আয়তন কত? 
  1. ক
    ২৫.৫ ঘন সে.মি.
  2. খ
    ২৭.৫ ঘন সে.মি.
  3. গ
    ৩৫.৫ ঘন সে.মি.
  4. ঘ
    ৩৭.৫ ঘন সে.মি.
ব্যাখ্যা
এখানে,
 আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ  ২.৫ সে.মি. 
 আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ২.৫ × ২ সে.মি. 
                                       = ৫ সে.মি
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা = ৫ এর ৩/৫ অংশ
                                           = ৩ সে.মি

আয়তাকার বস্তুটির আয়তন =দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা 
                                          = ৫ × ২.৫ × ৩ 
                                           = ৩৭.৫ ঘন সে.মি.
২০৪.
রম্বসের একটি কর্ণ আরেকটি কর্ণের দ্বিগুন। রম্বসের ক্ষেত্রফল 64 বর্গমিটার হলে এর বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?
  1. ক
    8 মিটার
  2. খ
    12 মিটার
  3. গ
    16 মিটার
  4. ঘ
    25 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রম্বসের একটি কর্ণ আরেকটি কর্ণের দ্বিগুন। রম্বসের ক্ষেত্রফল 64 বর্গমিটার হলে এর বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ d1 এবং d2 হলে এর ক্ষেত্রফল (½) × d1 × d2

ধরি,
রম্বসটির ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য x মিটার,
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2x মিটার

রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × x × 2x
= x2

শর্তমতে,
x2 = 64
বা, x = 8

তাহলে বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2 × 8 মিটার
= 16 মিটার
২০৫.
একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি., ১৮ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল -
  1. ক
    ক) ১৫০ বর্গমিটার
  2. খ
    খ) ১৫০ বর্গসে.মি.
  3. গ
    গ) ১৫০ বর্গএকক
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি., ১৮ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল -

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি × লম্ব দূরত্ব
= (১/২) × (১২ + ১৮) × ১০
= ১৫০ বর্গ সে.মি.
২০৬.
একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৬০ মিটার এবং এর দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা দ্বিগুণ হলে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ১০০ বর্গমিটার
  2. খ
    খ) ২০০ বর্গমিটার
  3. গ
    গ) ৮০০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬০০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৬০ মিটার এবং এর দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা দ্বিগুণ হলে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মি.
তাহলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২x মি.
পরিসীমা = ২( ২x + x) মি.

 সুতরাং,
২( ২x + x) = ৬০
বা, ২( ৩x) = ৬০
বা, ৬x = ৬০
বা, x = ১০
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ১০ মি.
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০ মি.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২০ × ১০ বর্গমিটার
= ২০০ বর্গমিটার

২০৭.
আয়তাকার একটি মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। মাঠের ক্ষেত্রফল ১০ কাঠা হলে, পরিসীমা কত ফুট?
  1. ক
    ক) ৩০০ ফুট
  2. খ
    খ) ৩৬০ ফুট
  3. গ
    গ) ৪২০ ফুট
  4. ঘ
    ঘ) ৬০০ ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আয়তাকার একটি মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। মাঠের ক্ষেত্রফল ১০ কাঠা হলে, পরিসীমা কত ফুট?

সমাধান: 
ধরি,
প্রস্থ ক ফুট
দৈর্ঘ্য ২ক ফুট
∴ ক্ষেত্রফল = ২ক২ বর্গফুট
আমরা জানি,
১ কাঠা = ৭২০ বর্গ ফুট
প্রশ্নমতে,
২ক২ = ৭২০০
ক২ = ৩৬০০
ক = ৬০ ফুট

∴ দৈর্ঘ্য = ১২০ ফুট
পরিসীমা = ২(১২০ + ৬০)
= ৩৬০

২০৮.
৪ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে ১ মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে? 
  1. ক
    ১৬ টি
  2. খ
    ৩২টি
  3. গ
    ৬৪টি
  4. ঘ
    ৬০টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে ১ মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 4m
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1m

গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ ছোট গোলকের আয়তন
= (4/3)πR3/(4/3)πr3
= R3/r3
= 43/13
= 64
২০৯.
বেলনের ভূমির ব্যাস 6 মিটার, উচ্চতা 14 মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    352 বর্গমিটার
  2. খ
    396 বর্গমিটার
  3. গ
    264 বর্গমিটার
  4. ঘ
    528 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস 6 মিটার, উচ্চতা 14 মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস 6 মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = 3 মিটার
বেলনের উচ্চতা h = 14 মিটার

আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 × (22/7) × 3 × 14 বর্গ মিটার
= 264 বর্গমিটার
২১০.
১৫ ফুট দৈর্ঘ্য ও ১২ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি কার্পেট দ্বারা একটি মেঝের ৬০% মোড়ানো যায়। মেঝেটির ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?
  1. ক
    ১৬০ বর্গফুট 
  2. খ
    ৩০০ বর্গফুট 
  3. গ
    ১৮০ বর্গফুট 
  4. ঘ
    ৪০০ বর্গফুট 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৫ ফুট দৈর্ঘ্য ও ১২ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি কার্পেট দ্বারা একটি মেঝের ৬০% মোড়ানো যায়। মেঝেটির ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য ১৫ ফুট ও প্রস্থ ১২ ফুট
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল (১৫ × ১২) বর্গফুট
= ১৮০ বর্গফুট 

∴ ৬০% সমান ১৮০ বর্গফুট 
∴ ১% সমান (১৮০/৬০) বর্গফুট
∴ ১০০% সমান {(১৮০ × ১০০)/৬০}  বর্গফুট
= ৩০০ বর্গফুট 

২১১.
একটি গরুর গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৪ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৫ মিটার। গাড়িটি কত পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ৯৬ বার বেশি ঘুরবে।
  1. ক
    ০.৬৫ কিলোমিটার
  2. খ
    ১.৫ কিলোমিটার
  3. গ
    ১.৯২ কিলোমিটার
  4. ঘ
    ২.৪ কিলোমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গরুর গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৪ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৫ মিটার। গাড়িটি কত পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ৯৬ বার বেশি ঘুরবে।

সমাধান:
সামনের চাকা ও পিছনের চাকার লসাগু = (৪ × ৫) = ২০
২০ মিটার অতিক্রম করলে চাকাটি ১ বার বেশি ঘুরে

∴ ৯৬ বার বেশি ঘুরতে চাকাটির পথ অতিক্রম করতে হবে = (৯৬ × ২০) মিটার
= ১৯২০ মিটার 
= (১৯২০/১০০০) কিলোমিটার
= ১.৯২ কিলোমিটার

২১২.
একটি মাঠের দৈর্ঘ্য ১৭ মিটার, প্রস্থ ১৩ মিটার। মাঠের চারপাশে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ২৮৫ বর্গমিটার
  2. খ
    ৩০৪ বর্গমিটার
  3. গ
    ৩৫৭ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৩৬৮ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি মাঠের দৈর্ঘ্য ১৭ মিটার, প্রস্থ ১৩ মিটার। মাঠের চারপাশে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = ১৭ + (২ × ২) = ২১ মিটার
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = ১৩ + (২ × ২) = ১৭ মিটার

∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ২১ × ১৭ = ৩৫৭ বর্গমিটার
২১৩.
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ২ গুণ। দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ৯৬ বর্গমিটার
  2. খ
    খ) ৫১২ বর্গমিটার
  3. গ
    গ) ২৫৬ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) ১০২৪ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ২ গুণ। দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে 
 দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার  
∴ বিস্তার= ৩২/২ = ১৬ মিটার।

∴ ক্ষেত্রফল = (৩২ × ১৬) বর্গমিটার।
= ৫১২ বর্গমিটার।
২১৪.
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ। এর চারিদিকে একবার প্রদক্ষিণ করলে প্রায় ০.৬২ মাইল হাঁটা হয়। আয়তাকার ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত ?
  1. ক
    ২৪৮ মিটার
  2. খ
    ৪০০ মিটার
  3. গ
    ৩২৪ মিটার
  4. ঘ
    ২২৫ মিটার
  5. ঙ
    ৪২১ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ। এর চারিদিকে একবার প্রদক্ষিণ করলে প্রায় ০.৬২ মাইল হাঁটা হয়। আয়তাকার ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে ,
আয়তাকার ক্ষেত্রটির চারিদিকে একবার প্রদক্ষিণ করলে প্রায় ০.৬২ মাইল হাঁটা হয়
অর্থাৎ আয়তাকার ক্ষেত্রটির পরিসীমা = ০.৬২ মাইল (প্রায়)
= ১ কিমি
= ১০০০ মিটার

ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (ক × ৪) মিটার ( যেহেতু দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ )
= ৪ক মিটার

আমরা জানি,
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২ × (৪ক + ক) মিটার
= ২ × ৫ক মিটার
= ১০ক মিটার

প্রশ্নমতে,
১০ক = ১০০০
⇒ ক = ১০০০ ÷ ১০ 
∴ ক = ১০০

আয়তাকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ = ১০০ মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = (৪ × ১০০) মিটার
= ৪০০ মিটার
২১৫.
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 19 সে.মি এবং এর কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√5 সে.মি. হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত
  1. ক
    ক) 118 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    খ) 236 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    গ) 254 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 127 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 19 সে.মি এবং এর কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√5 সে.মি. হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?  

সমাধান: 
আয়তাকার ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b ও c সে.মি.।

শর্তমতে
a + b + c = 19 এবং
√(a2+ b2 + c2) = 5√5
a2 + b2 + c2 = 125

এখন,
(a + b + c)2 = (19)2
বা, (a2 + b2 + c2)+ 2(ab + bc + ca) = 361
বা, 125 + 2(ab + bc + ca) = 361
বা, 2(ab + bc + ca) = 361 - 125
2(ab + bc + ca) = 236

সুতরাং আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 236 বর্গ সে.মি.
২১৬.
একটি ঘনকের প্রতিটি ধার 6 সে.মি. হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    3√3 সে.মি.
  2. খ
    3√6 সে.মি.
  3. গ
    6√3 সে.মি.
  4. ঘ
    6√6 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের প্রতিটি ধার 6 সে.মি. হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকটির প্রত্যেক ধার a একক হলে, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য  a√3 একক

দেওয়া আছে,
ঘনকের ধার, a = 6 সে.মি.
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য
= 6√3 সে.মি.
২১৭.
4 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের অভ্যন্তরে অন্তঃবৃত্ত অঙ্কিত হলো। বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    16 - 2π
  2. খ
    16 - π
  3. গ
    16 - 4π
  4. ঘ
    4 - π
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের অভ্যন্তরে অন্তঃবৃত্ত অঙ্কিত হলো। বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 42 = 16 বর্গ সে.মি. 

তাহলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 4/2 = 2 সে.মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π (2)2
= 4π
∴ অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল = 16 - 4π
২১৮.
৬০ ফুট দীর্ঘ এবং ৫০ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি বাগানের বাহিরের চর্তুদিকে ৩ ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৭২৫ বর্গ ফুট
  2. খ
    ৬৯৬ বর্গ ফুট
  3. গ
    ৫৯৫ বর্গ ফুট
  4. ঘ
    ৬৬৯ বর্গ ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬০ ফুট দীর্ঘ এবং ৫০ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি বাগানের বাহিরের চর্তুদিকে ৩ ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬০ ফুট
বাগানের প্রস্থ = ৫০ ফুট
রাস্তার প্রস্থ = ৩ ফুট

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৬০ × ৫০ = ৩০০০ বর্গ ফুট

আবার
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬০ + ৩ + ৩ = ৬৬ ফুট
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = ৫০ + ৩ + ৩ = ৫৬ ফুট

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৬৬ × ৫৬ = ৩৬৯৬ বর্গ ফুট

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল − বাগানের ক্ষেত্রফল
= ৩৬৯৬ - ৩০০০ = ৬৯৬ বর্গ ফুট
২১৯.
১ ট্রিলিয়ন = ?
  1. ক
    ক) ১০০ কোটি
  2. খ
    খ) ১০০০ কোটি
  3. গ
    গ) ১০০০০০ কোটি
  4. ঘ
    ঘ) ১০০০০০০ কোটি
ব্যাখ্যা
১ মিলিয়ন = ১০ লক্ষ
১০ মিলিয়ন = ১ কোটি
১০০ কোটি = ১ বিলিয়ন
১০০০ বিলিয়ন = ১ ট্রিলিয়ন
অর্থাৎ, ১০০০০০ কোটি = ১ ট্রিলিয়ন
২২০.
12 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 23 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?
  1. ক
    946 ঘন সে.মি.
  2. খ
    1242 ঘন সে.মি.
  3. গ
    876 ঘন সে.মি.
  4. ঘ
    1104 ঘন সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 23 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
= (1/3) × 12 × 12 × 23 ঘন সে.মি.
= 1104 ঘন সে.মি.
২২১.
একটি কোণকের তির্যক উচ্চতা 21 সে.মি এবং তার বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 396 বর্গসে.মি। কোণটির ভূমির ব্যাস কত?
  1. ক
    ক) 10 সে.মি
  2. খ
    খ) 9 সে.মি
  3. গ
    গ) 13 সে.মি
  4. ঘ
    ঘ) 12 সে.মি
ব্যাখ্যা
একটি কোণকের তির্যক উচ্চতা 21 সে.মি এবং তার বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 396 বর্গসে.মি। কোণটির ভূমির ব্যাস কত?

সমাধান: মনে করুন, কোণটির ভূমির ব্যাসার্ধ = r একক
এখানে তির্যক উচ্চতা, l = 21 সে.মি
কোণকটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = rrl

প্রশ্নমতে, πrl = 396
বা, 3.1416 x r x 21 = 396
বা, 396 = 3.1416 x r x 21
বা, r = 6 সে.মি (প্রায়) 
 
.:. কোণকটির ভূমির ব্যাস = 2 x r = 2×6 সে.মি = 12 সে.মি (প্রায়)
২২২.
বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ ৮ সে. মি. হলে, বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?
  1. ক
    ক) ৮ গুণ
  2. খ
    খ) ৪ গুণ
  3. গ
    গ) ১৬ গুণ
  4. ঘ
    ঘ) ২ গুন
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ ৮ সে. মি. হলে, বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধানঃ
ব্যাসার্ধ r = 8 সে. মি., উচ্চতা h হলে,

আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr2h)/(2πrh)
= r/2
= 8/2
= 4
∴ বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের 4 গুণ।
২২৩.
একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০√২ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?
  1. ক
    ১০ বর্গমিটার
  2. খ
    ২৫ বর্গমিটার
  3. গ
    ১০০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ২০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০√২ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০√২ মিটার 

মনে করি,
বর্গের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ক মিটার
তাহলে, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য √২ক মিটার

 শর্তমতে,
√২ক = ১০√২
বা, ক = ১০

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)২=১০২=১০০ বর্গমিটার

২২৪.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার করে বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল ৮√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৯ মিটার
  2. খ
    ৭ মিটার
  3. গ
    ২√৩ মিটার
  4. ঘ
    ৫ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার করে বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল ৮√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
২২৫.
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার ও প্রস্থ ৩০ মিটার। এর ভিতরের চতুর্দিকে ১ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৫৬০ বর্গমিটার
  2. খ
    ৮৯০ বর্গমিটার
  3. গ
    ৯৪০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ১০৬৪ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার ও প্রস্থ ৩০ মিটার। এর ভিতরের চতুর্দিকে ১ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = ৪০ × ৩০ = ১২০০ বর্গমিটার
রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০ - (২ × ১) = ৩৮ মিটার
রাস্তা বাদে বাগানের প্রস্থ = ৩০ - (২ × ১) = ২৮ মিটার

∴ রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩৮  × ২৮) বর্গমিটার
= ১০৬৪ বর্গমিটার
২২৬.
একটি আয়তকার জমির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং উক্ত জমির পরিসীমা 40 মিটার হলে, জমিটির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    12 মি.
  2. খ
    30 মি.
  3. গ
    15 মি.
  4. ঘ
    36 মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তকার জমির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং উক্ত জমির পরিসীমা 40 মিটার হলে, জমিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = 3x মিটার

তাহলে,
পরিসীমা = 2(3x + x)
⇒ 40 = 2 × 4x
⇒ 8x = 40
⇒ x = 40/8
∴ x = 5 মিটার

∴ জমিটির দৈর্ঘ্য = 3 × 5 = 15 মিটার
২২৭.
৩০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ২০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ৪২০ বর্গমিটার
  2. খ
    ৩৩৬ বর্গমিটার
  3. গ
    ৩৭২ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৯৩৬ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ২০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাবাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার 
রাস্তাবাদে মাঠের প্রস্থ = ২০ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩০ × ২০) বর্গমিটার 
= ৬০০ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = {৩০ মিটার + (৩ + ৩) মিটার} = ৩৬ মিটার 
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = {২০ মিটার + (৩ + ৩) মিটার} = ২৬ মিটার 
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৬ × ২৬) বর্গমিটার 
= ৯৩৬ বর্গমিটার 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৯৩৬ – ৬০০) বর্গমিটার 
= ৩৩৬ বর্গমিটার।

২২৮.
6 সেমি × 12 সেমি × 15 সেমি বিশিষ্ট আয়তাকার ব্লকটিকে সমান সংখ্যক ঘনকে কাটা হলো। ঘনকের সর্বনিম্ন সম্ভাব্য সংখ্যা নির্ণয় করুন।
  1. ক
    ক) 30
  2. খ
    খ) 50
  3. গ
    গ) 40
  4. ঘ
    ঘ) 60
ব্যাখ্যা
আয়তাকার ব্লকটির আয়তন = (6 × 12 × 15) cm3 = 1080 cm3
ঘনকের বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য 
=6 cm, 12 cm, 15 cm এর গ.সা.গু 
= 3 cm.
ঘনকটির আয়তন = (3 × 3 × 3) cm3 = 27 cm3
ঘনকের সংখ্যা = 1080/27 = 40.
২২৯.
কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহু ও পরিসীমার বর্গের অনুপাত নিচের কোনটি হবে?
  1. ক
    ক) 1 : 4
  2. খ
    খ) 2 : 3
  3. গ
    গ) 1 :√ 2
  4. ঘ
    ঘ) 1 : 16
ব্যাখ্যা

বর্গের বাহু a হলে, পরিসীমা 4a.
∴ বাহু ও পরিসীমার অনুপাত = a2 : (4a)2
= a2 : 16a2
= 1 : 16

২৩০.
১ মিটার সমান কত ইঞ্চি?
  1. ক
    ক) ৩৬ ইঞ্চি
  2. খ
    খ) ৩৯.৩৭ ইঞ্চি
  3. গ
    গ) ৩৯.৫৭ ইঞ্চি
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬.৫ ইঞ্চি
ব্যাখ্যা
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে. মি. (প্রায়)
১ গজ = ০.৯১৪৪ মি.(প্রায়)
১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়)
১ কি. মি. = ০.৬২ মাইল (প্রায়)
১ মাইল = ১.৬১ কি. মি. (প্রায়)
২৩১.
একটি কোণকের উচ্চতা 12 সে. মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?
  1. ক
    240π ঘনসে.মি.
  2. খ
    244π ঘনসে.মি.
  3. গ
    140π ঘনসে.মি.
  4. ঘ
    144π ঘনসে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা 12 সে. মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 12 সে. মি.
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 6 সে. মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (1/3) × π × r2 × h ঘনএকক
= (1/3) × π × 62 × 12 ঘনসে.মি.
= (1/3) × π × 36 × 12 ঘনসে.মি.
= 144Π ঘনসে.মি.

২৩২.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. ও প্রস্থ ১০ সে.মি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ২৫ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।
  1. ক
    ক) ৭.১ সে.মি.
  2. খ
    খ) ৭.২ সে.মি.
  3. গ
    গ) ৭.৩ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৭ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. ও প্রস্থ ১০ সে.মি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ২৫ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

সমাধান:
প্রশ্নমতে আয়তক্ষেত্রের,
প্রথম ক্ষেত্রফল = নতুন ক্ষেত্রফল
১৮ × ১০ = ২৫ × নতুন প্রস্থ
নতুন প্রস্থ = ১৮০/২৫ = ৭.২ সে.মি
২৩৩.
যদি একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 4 সে.মি. এবং 6 সে.মি. হয়, তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    6
  2. খ
    8
  3. গ
    12
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 4 সে.মি. এবং 6 সে.মি. হয়, তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান : 
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল।
= 1/2 × 4 × 6
= 12 বর্গ সে.মি.।
২৩৪.
একটি বেলনের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি., বেলনের আয়তন 250π ঘন সে.মি. হলে, বেলনের উচ্চতা কত?
  1. ক
    12 সে.মি.
  2. খ
    10 সে.মি.
  3. গ
    15 সে.মি.
  4. ঘ
    5 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বেলনের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি., বেলনের আয়তন 250π ঘন সে.মি. হলে, বেলনের উচ্চতা কত?

সমাধান:
বেলনের উচ্চতা = h সে.মি.
বেলনের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি
বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 5 সে.মি.

বেলনের আয়তন = πr2h
⇒ π × 52 × h = 250π
⇒ 25h = 250
∴ h = 10
২৩৫.
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪৫ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ২০২৫ বর্গমিটার
  2. খ
    ২০১৫ বর্গমিটার
  3. গ
    ২৪৭৫ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ১০১৫ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪৫ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু2
= (৪৫)২
= ২০২৫
২৩৬.
এক ইঞ্চি সমান কত সেন্টিমিটার?
  1. ক
    ক) 1.54
  2. খ
    খ) 2.54
  3. গ
    গ) 2.57
  4. ঘ
    ঘ) 3.54
ব্যাখ্যা
এক ইঞ্চি= ২.৫৪ সেন্টিমিটার হয়ে থাকে।
১ সেন্টিমিটার= ১০ মিলিমিটার
১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার
১ মিটার = ১০০০ মিলিমিটার
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার

উৎস: নবম-দশম শ্রেণির পদার্থবিজ্ঞান
২৩৭.
১২ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি গোলকে কতটুকু পানি জায়গা হবে?
  1. ক
    ৯০৭.৭৮ লি.
  2. খ
    ৯০৫.১৪ মি.লি.
  3. গ
    ৬৫২.২৪ মি.লি.
  4. ঘ
    ৯.৭৮ লি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি গোলকে কতটুকু পানি জায়গা হবে?

সমাধান: 
গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 cm

আয়তন, v = (4/3)πr3
= (4/3) × (22/7) × (6)3
= 905.14 cm3

আমরা জানি,
1 cm3 = 1ml
∴ 905.14 cm3 = 905.14 ml
২৩৮.
একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৫৬ বর্গমিটার
  2. খ
    ৬০ বর্গমিটার
  3. গ
    ৭৭ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৮০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
ঘরটির দৈর্ঘ্য = ক + ৪ মিটার
ঘরটির পরিসীমা = ২(ক + ৪ + ক) মিটার

এখন,
২(ক + ৪ + ক) = ৩৬
বা, ২(২ক + ৪) = ৩৬
বা, ৪ক + ৮ = ৩৬
বা, ৪ক = ৩৬ - ৮
বা, ৪ক = ২৮
বা, ক = ৭

সুতরাং, ঘরটির দৈর্ঘ্য = (৭ + ৪) = ১১ মিটার

∴ আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = (১১ × ৭) = ৭৭ বর্গমিটার
২৩৯.
একটি কূয়ার গভীরতা 10 মিটার এবং ব্যাসার্ধ 1 মিটার হলে, কূয়াটির আয়তন কত?
  1. ক
    100π ঘনমিটার
  2. খ
    10π ঘনমিটার
  3. গ
    1000 ঘনমিটার
  4. ঘ
    π3 ঘনমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কূয়ার গভীরতা 10 মিটার এবং ব্যাসার্ধ 1 মিটার হলে, কূয়াটির আয়তন কত?

সমাধান:
কূয়ার গভীরতা h = 10 মিটার
কূয়ার ব্যাসার্ধ r = 1 মিটার

∴ কূয়ার আয়তন = πr2h 
= π × 12 × 10
= 10π ঘনমিটার
২৪০.
আয়তাকার একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ১২ সেমি, ১০ সেমি ও ৯ সেমি হলে। ঘনকটির সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৫৭৬ বর্গ সেমি
  2. খ
    ৬৩৬ বর্গ সেমি
  3. গ
    ৫৭০ বর্গ সেমি
  4. ঘ
    ৬২৫ বর্গ সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ১২ সেমি, ১০ সেমি ও ৯ সেমি হলে। ঘনকটির সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a = ১২ সেমি
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ b = ১০ সেমি
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা c = ৯.৫ সেমি

আমরা জানি,
সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক
= ২ {(১২ × ১০) + (১০ × ৯) + (৯ × ১২)} বর্গ সেমি
= ২ (১২০ + ৯০ + ১০৮) বর্গ সেমি
= ২ × ৩১৮ বর্গ সেমি
= ৬৩৬ বর্গ সেমি
২৪১.
একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 49 সে.মি. হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?
  1. ক
    248 সে.মি.
  2. খ
    252 সে.মি.
  3. গ
    256 সে.মি.
  4. ঘ
    260 সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 49 সে.মি. হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 49 সে.মি.

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= (22/7) × 49 + 2 × 49
= 22 × 7 + 98
= 154 + 98
= 252 সে.মি.

২৪২.
২০ মিটার দীর্ঘ একটি কামরার মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে ৮৫০০ টাকা খরচ হয়। যদি ঐ কামরাটির প্রস্থ ৪ মিটার কম হতো, তবে ৬৮০০ টাকা খরচ হতো। কামরার প্রস্থ কত?
  1. ক
    ক) ২০ মিটার
  2. খ
    খ) ২৫ মিটার
  3. গ
    গ) ৩০ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৩৫ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২০ মিটার দীর্ঘ একটি কামরার মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে ৮৫০০ টাকা খরচ হয়। যদি ঐ কামরাটির প্রস্থ ৪ মিটার কম হতো, তবে ৬৮০০ টাকা খরচ হতো। কামরার প্রস্থ কত? 

সমাধান:
কামরার দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার।
প্রস্থ ৪ মিটার কমলে ক্ষেত্রফল কমে = ৪ × ২০ =  ৮০ বর্গ মিটার।
ক্ষেত্রফল ৮০ বর্গ মিটার কমার জন্য খরচ কমে = ৮৫০০ - ৬৮০০ = ১৭০০ টাকা

১৭০০ টাকা খরচ হয় ৮০ বর্গ মিটারে
৮৫০০ টাকা খরচ হয় (৮০ × ৮৫০০)/১৭০০ বর্গ মিটারে
= ৪০০ বর্গ মিটারে

সুতরাং কামরার প্রস্থ = ৪০০/২০ = ২০ মিটার
২৪৩.
একটি সিলিন্ডারের ব্যাস ১০ সে. মি. এবং উচ্চতা ১২ সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?
  1. ক
    ১৮০π ঘন সেমি
  2. খ
    ৩০০π ঘন সেমি
  3. গ
    ৩৮৪π ঘন সেমি
  4. ঘ
    ৪৪৮π ঘন সেমি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস ১০ সে. মি. এবং উচ্চতা ১২ সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = ১০ সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = ১০/২ = ৫ সেমি
উচ্চতা, h = ১২ সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr২h
= π × (৫)২ × ১২
= π × ২৫ × ১২
= ৩০০π ঘন সেমি

∴ নির্ণেয় আয়তন ৩০০π ঘন সেমি।

২৪৪.
একটি আয়তকার বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 8 সে.মি, 6 সে.মি. এবং 4 সে.মি এবং ভিতরের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সে.মি.। বাক্সটির কাঠের পুরত্ব কত?
  1. ক
    1 সে.মি.
  2. খ
    1/2 সে.মি.
  3. গ
    2 সে.মি.
  4. ঘ
    3/2 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তকার বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 8 সে.মি, 6 সে.মি. এবং 4 সে.মি এবং ভিতরের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সে.মি.। বাক্সটির কাঠের পুরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
কাঠের পুরত্ব = x সে.মি.
∴ বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, a = (8 - 2x) সে.মি.
বাক্সের ভিতরের প্রস্থ, b = (6 - 2x) সে.মি.
বাক্সের ভিতরের উচ্চতা, c = (4 - 2x) সে.মি.

∴ বাক্সের ভিতরের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক
= 2{(8 - 2x) (6 - 2x) + (6 - 2x)(4 - 2x) + (4 - 2x)(8 - 2x)}
= 2(48 - 28x + 4x2 +24 - 20x + 4x2 + 32 - 24x + 4x2)
= 2 (12x2 - 72x + 104)

প্রশ্নানুসারে, 
বা, 2(12x2 - 72x + 104) = 88
বা, 12x2 - 72x + 104 = 44
বা, 12x2 - 72x + 60 = 0
বা, x2 - 6x + 5 = 0
বা, (x - 5)(x - 1) = 0
∴ x = 5 বা, x = 1 যেহেতু বাইরের উচ্চতা 4 সে.মি. তাই ভিতরের উচ্চতা 5 হতে পারে না।
অতএব বাক্সের পুরুত্ব = 1 সে.মি.
২৪৫.
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?
  1. ক
    12π
  2. খ
    18π
  3. গ
    24π
  4. ঘ
    28π
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি এবং
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 6 সে.মি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 π × 2 × 6
= 24π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 24π বর্গ সে.মি।

২৪৬.
একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তার খরচ ১৫০ টাকা হয়, তবে পুকুরটির চারপাশে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা তৈরি করতে মোট কত টাকা খরচ হবে?
  1. ক
    ২৩৪০০ টাকা
  2. খ
    ৪৩৬০০ টাকা
  3. গ
    ৩৬২০০ টাকা
  4. ঘ
    ৪১৬০০ টাকা
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তার খরচ ১৫০ টাকা হয়, তবে পুকুরটির চারপাশে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা তৈরি করতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পুকুরের দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
পুকুরের প্রস্থ = ১৫ মিটার

∴ পুকুরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ২০ × ১৫
= ৩০০ বর্গমিটার

রাস্তাসহ পুকুরের দৈর্ঘ্য = ২০ + ২ + ২ = ২৪ মিটার
রাস্তাসহ পুকুরের প্রস্থ = ১৫ + ২ + ২ = ১৯ মিটার

∴ রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = ২৪ × ১৯
= ৪৫৬ বর্গমিটার

সুতরাং, রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল) - (পুকুরের ক্ষেত্রফল)
= ৪৫৬ - ৩০০
= ১৫৬ বর্গমিটার

১ বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ১৫০ টাকা
∴ ১৫৬ বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ১৫৬ × ১৫০ টাকা
= ২৩৪০০ টাকা

∴ রাস্তা প্রস্তুত করতে ২৩৪০০ টাকা খরচ হয়।

২৪৭.
যদি একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ ৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ১৪ সে.মি. হয়, তবে তার আয়তন কত হবে?
  1. ক
    ১৩২ ঘন সে.মি.
  2. খ
    ১৩০ ঘন সে.মি.
  3. গ
    ১১৮ ঘন সে.মি.
  4. ঘ
    ১২৩ ঘন সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ ৩ সেমি এবং উচ্চতা ১৪ সেমি হয়, তবে তার আয়তন কত হবে?

সমাধান:
​
​ধরা যাক,
ব্যাসার্ধ, r = ৩ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১৪ সে.মি.

এখন,
আয়তন = (১/৩) × π × r২ × h
= (১/৩) × (২২/৭) × ৩২ × ১৪
= ১৩২ ঘন সে.মি. (প্রায়)

২৪৮.
একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৬৪ মিটার। প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ২ মিটার বেশি হলে, দৈর্ঘ্য কত মিটার?
  1. ক
    ১২ মিটার
  2. খ
    ১৩ মিটার
  3. গ
    ১৫ মিটার
  4. ঘ
    ১৭ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৬৪ মিটার। প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ২ মিটার বেশি হলে, দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = (x + ২) মিটার

প্রশ্নমতে,
২(২x + ২) = ৬৪
⇒ ২x + ২ = ৩২
⇒ ২x = ৩০
∴ x = ১৫

∴ দৈর্ঘ্য = (১৫ + ২) মিটার = ১৭ মিটার
২৪৯.
কোন কোণকের উচ্চতা 12 সে.মি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 9 সে.মি। এর তির্যক উচ্চতা কত? 
  1. ক
    10 সে.মি
  2. খ
    13 সে.মি
  3. গ
    15 সে.মি
  4. ঘ
    18 সে.মি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন কোণকের উচ্চতা 12 সে.মি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 9 সে.মি। এর তির্যক উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
এখানে,
উচ্চতা, h = 12 সে.মি
এবং ব্যাসার্ধ, r = 9 সে.মি 

আমরা জানি, 
কোণকের তির্যক উচ্চতা, l = √(h2 + r2) একক
= √(122 + 92) সে.মি
= √(144 + 81) সে.মি
= √(225) সে.মি
= 15 সে.মি

∴ কোণকের তির্যক উচ্চতা = 15 সে.মি।
২৫০.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 6√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 5 মিটার
  2. খ
    খ) 7 মিটার
  3. গ
    গ) 10 মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 13 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 6√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
মানে করি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য =  a মিটার
সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3(a2)/4 বর্গমিটার
প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে বাহুর দৈর্ঘ্য = (a + 2) মিটার।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3 × (a + 2)2/4

প্রশ্নমতে,
{√3(a + 2)2/4} - {√3a2/4} = 6√3
(√3/4){(a + 2)2 - a2} = 6√3
a2 + 4a + 4 - a2 = 24
4a + 4 = 24
4a = 24 - 4
4a = 20
a = 5

ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার।
২৫১.
একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 75 মিটার এবং উচ্চতা 6 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    15 মি.
  2. খ
    20 মি.
  3. গ
    30 মি.
  4. ঘ
    15√2 মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 75 মিটার এবং উচ্চতা 6 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (75 × 6) বর্গ মি.
= 450 বর্গ মি.

যেহেতু সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
শর্তমতে,
a2 = 450
বা, a = √450
বা, a = 15√2 মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a
= √2 × 15√2
= (15 × 2)
= 30 মি.
২৫২.
একটি আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল ২৭৩ বর্গমিটার। দৈর্ঘ্য ৫ মিটার বেশি হলে মেঝের ক্ষেত্রফল হতো ৩৩৮ বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ কত?
  1. ক
    দৈর্ঘ্য ২১ মিটার প্রস্থ ১৩ মিটার
  2. খ
    দৈর্ঘ্য ২৭ মিটার প্রস্থ ১৪ মিটার
  3. গ
    দৈর্ঘ্য ২৭ মিটার প্রস্থ ১৩ মিটার
  4. ঘ
    দৈর্ঘ্য ৪৭ মিটার প্রস্থ ৩২ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল ২৭৩ বর্গমিটার। দৈর্ঘ্য ৫ মিটার বেশি হলে মেঝের ক্ষেত্রফল হতো ৩৩৮ বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য ক মিটার 
আয়তাকার মেঝের প্রস্থ খ মিটার 
আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল কখ = ২৭৩ বর্গমিটার 
∴ খ = ২৭৩/ক ..................(১)

দৈর্ঘ্য ৫ মিটার বেশি হলে দৈর্ঘ্য হবে (ক + ৫) মিটার 
∴ ক্ষেত্রফল হবে (ক + ৫)খ = ৩৩৮ বর্গমিটার
∴ খ = ৩৩৮/(ক + ৫) ...............(২)

(১) ও (২) নং হতে পাই,
৩৩৮/(ক + ৫) = ২৭৩/ক
বা, ৩৩৮ক = ২৭৩ক + ১৩৬৫
বা, ৬৫ক = ১৩৬৫
∴ ক = ২১ 

(১) নং হতে পাই,
খ = ২৭৩/২১ = ১৩

∴ দৈর্ঘ্য ২১ মিটার এবং প্রস্থ ১৩ মিটার
২৫৩.
একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার ও প্রস্থ ২৫ মিটার। চারপাশে ৩ মিটার চওড়া পাড় থাকলে পাড়সহ পরিসীমা কত?
  1. ক
    ১৫৪ মিটার
  2. খ
    ৪২৬ মিটার
  3. গ
    ১৭০ মিটার
  4. ঘ
    ৩২০ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার ও প্রস্থ ২৫ মিটার। চারপাশে ৩ মিটার চওড়া পাড় থাকলে পাড়সহ পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার
পুকুরের প্রস্থ = ২৫ মিটার
চারপাশে পাড়ের চওড়া = ৩ মিটার

পাড় চারপাশে থাকায় দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয় দিকেই দুই পাশে মোট ২ × ৩ = ৬ মিটার যোগ হবে।

সুতরাং, পাড়সহ দৈর্ঘ্য = ৪০ + ৬ = ৪৬ মিটার
পাড়সহ প্রস্থ = ২৫ + ৬ = ৩১ মিটার

∴ পাড়সহ পুকুরের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক 
= ২ × (৪৬ + ৩১) = ২ × ৭৭ 
= ১৫৪ মিটার

অতএব, পাড়সহ পরিসীমা ১৫৪ মিটার।

২৫৪.
একটি রম্বসের প্রতিটি বাহু ১১ সে.মি. হলে, রম্বসের পরিসীমার দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৪৪ সে.মি.
  2. খ
    ৫৬ সে.মি.
  3. গ
    ২২ সে.মি.
  4. ঘ
    ১২১ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের প্রতিটি বাহু ১১ সে.মি. হলে, রম্বসের পরিসীমার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের প্রতিটি বাহু, a = ১১ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের পরিসীমা = 4a একক
= (৪ × ১১) সে.মি.
= ৪৪ সে.মি.

২৫৫.
একটি কাঠের গুড়ির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার, প্রস্থ ৫০ সে.মি. এবং উচ্চতা ২৫ সে.মি.। এটি কেটে ১০ সে.মি. উচ্চতা, ২৫ সে.মি. প্রস্থ এবং ৫০ সে.মি. দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট কতগুলো ব্লক তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    ২০টি
  2. খ
    ৫০ টি
  3. গ
    ৩৫ টি
  4. ঘ
    ৪০ টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কাঠের গুড়ির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার, প্রস্থ ৫০ সে.মি. এবং উচ্চতা ২৫ সে.মি.। এটি কেটে ১০ সে.মি. উচ্চতা, ২৫ সে.মি. প্রস্থ এবং ৫০ সে.মি. দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট কতগুলো ব্লক তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কাঠের গুড়ির দৈর্ঘ্য = ৪ মিটার = (৪ × ১০০) সে.মি. = ৪০০ সে.মি.
কাঠের গুড়ির প্রস্থ = ৫০ সে.মি.
কাঠের গুড়ির উচ্চতা = ২৫ সে.মি.

কাঠের গুড়ির আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (৪০০ × ৫০ × ২৫) ঘন সে.মি.
= ৫০০০০০ ঘন সে.মি.

আবার,
প্রতিটি ব্লকের দৈর্ঘ্য = ৫০ সে.মি.
প্রতিটি ব্লকের প্রস্থ = ২৫ সে.মি.
প্রতিটি ব্লকের উচ্চতা = ১০ সে.মি.

প্রতিটি ব্লকের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (৫০ × ২৫ × ১০) ঘন সে.মি.
= ১২৫০০ ঘন সে.মি.

∴ ব্লকের সংখ্যা = কাঠের গুড়ির আয়তন/প্রতিটি ব্লকের আয়তন
= ৫০০০০০/১২৫০০
= ৪০ টি

সুতরাং, ৪০টি ব্লক তৈরি করা যাবে।

২৫৬.
একটি জমির দৈর্ঘ্য ২৫০ ফুট এবং প্রস্থ ৭২ ফুট। ঐ জমির ক্ষেত্রফল কত কাঠা?
  1. ক
    ১৫ কাঠা
  2. খ
    ২০ কাঠা
  3. গ
    ২৫ কাঠা
  4. ঘ
    ৩০ কাঠা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি জমির দৈর্ঘ্য ২৫০ ফুট এবং প্রস্থ ৭২ ফুট। ঐ জমির ক্ষেত্রফল কত কাঠা?

সমাধান:
জমির দৈর্ঘ্য = ২৫০ ফুট
জমির প্রস্থ = ৭২ ফুট

আমরা জানি,
জমির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= (২৫০ × ৭২) বর্গফুট
= ১৮০০০ বর্গফুট

৭২০ বর্গফুট = ১ কাঠা
১ বর্গফুট = ১/৭২০ কাঠা
১৮০০০ বর্গফুট = ১৮০০০/৭২০ কাঠা
= ২৫ কাঠা
২৫৭.
একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ, মেঝেতে প্রতি বর্গমিটারে কার্পেট বিছাতে ২০ টাকা করে মোট ১৩৫২০ টাকা খরচ হলে মেঝের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ১৩ মিটার
  2. খ
    খ) ১৬৯ মিটার
  3. গ
    গ) ৬০ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৫২ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ, মেঝেতে প্রতি বর্গমিটারে কার্পেট বিছাতে ২০ টাকা করে মোট ১৩৫২০ টাকা খরচ হলে মেঝের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
আয়তাকার ঘরের প্রস্থ x মিটার
তাহলে, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ৪x মিটার
আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = ৪x × x বর্গমিটার = ৪x২ বর্গমিটার

২০ টাকা খরচ হয় ১ বর্গমিটারে
∴ ১৩৫২০ টাকা খরচ হয় (১৩৫২০/২০) বর্গমিটার = ৬৭৬ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
৪x২ = ৬৭৬
⇒ x২ = ১৬৯
⇒ x = ১৩

মেঝের দৈর্ঘ্য ৪ × ১৩ মিটার = ৫২ মিটার
২৫৮.
একটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে. মি. হলে, তার সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    225 বর্গ সে. মি.
  2. খ
    216 বর্গ সে. মি.
  3. গ
    316 বর্গ সে. মি.
  4. ঘ
    36 বর্গ সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি হলে, তার সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে. মি.

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a2
= 6 × 62
= (6 × 36)
= 216 বর্গ সে. মি.
২৫৯.
একটি সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ ১৭ সে.মি. এবং উচ্চতা ৫ সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৭৪ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ৭৭ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ৮৫ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ৯২ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ ১৭ সে.মি. এবং উচ্চতা ৫ সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ = ১৭ সে.মি.
এবং উচ্চতা = ৫ সে.মি.

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (৭ × ৫)
= ৮৫ বর্গ সে.মি.
২৬০.
কোণকের ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h হলে আয়তন -
  1. ক
    ক) πr2h
  2. খ
    খ) 4/3 πr3
  3. গ
    গ) 3/4 πr2h
  4. ঘ
    ঘ) 1/3 πr2h
ব্যাখ্যা
কোণকের আয়তন = 1/3 πr2h
২৬১.
একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?
  1. ক
    ৪৮ মিটার
  2. খ
    ৬০ মিটার
  3. গ
    ৭২ মিটার
  4. ঘ
    ৮০ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তাকার ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার।
অতএব, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার।

আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।
প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ১২৮
⇒ ২ক2 = ১২৮
⇒ ক2 = ১২৮/২
⇒ ক2 = ৬৪
⇒ ক = √৬৪
⇒ ক = ৮ মিটার

∴ প্রস্থ = ৮ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২ × ৮ = ১৬ মিটার

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(১৬ + ৮) মিটার
= ২ × ২৪ মিটার
= ৪৮ মিটার

২৬২.
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 288 বর্গসে.মি. এর অর্ধেক এবং রম্বসটির একটি কর্ণ অপর কর্ণের দ্বিগুণ হলে, বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
  1. ক
    ক) 12 সে.মি.
  2. খ
    খ) 22 সে.মি.
  3. গ
    গ) 24 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 26 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 288 বর্গসে.মি. এর অর্ধেক এবং রম্বসটির একটি কর্ণ অপর কর্ণের দ্বিগুণ হলে, বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
একটি কর্ণ = x
অপর কর্ণ = 2x

রম্বসের ক্ষেত্রফল 288 বর্গসে.মি. এর অর্ধেক = 288/2 = 144 বর্গসে.মি.

প্রশ্নমতে,
(1/2) . x . 2x = 144
বা, x2 = 144
∴ x = 12

বৃহত্তম কর্ণ = 2 × 12
= 24 সে.মি.
২৬৩.
রম্বসের কর্ণদ্বয় একটি অপরটির দেড়গুণ এবং ক্ষেত্রফল 48 সে. মি. হলে বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?
  1. ক
    ক) 8 সে. মি.
  2. খ
    খ) 12 সে. মি.
  3. গ
    গ) 16 সে. মি.
  4. ঘ
    ঘ) 24 সে. মি.
ব্যাখ্যা

ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 2a cm
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 3a cm
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 2a × 3a = 48
বা, 3a2 = 48
বা, a2 = 16
∴ a = 4
∴ বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 3.4
= 12 সে. মি.

২৬৪.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. হ্রাস করা হলো এবং প্রস্থ 3 সে.মি.বৃদ্ধি করা হলো। এতে যে বর্গ পাওয়া গেলো তার ক্ষেত্রফল উক্ত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    ক) 12 সে.মি.
  2. খ
    খ) 14 সে.মি.
  3. গ
    গ) 15 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 16 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. হ্রাস করা হলো এবং প্রস্থ 3 সে.মি.বৃদ্ধি করা হলো। এতে যে বর্গ পাওয়া গেলো তার ক্ষেত্রফল উক্ত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত? 
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = y

প্রশ্নমতে 
(x - 4)(y + 3) = xy 
xy + 3x - 4y - 12 = xy
3x - 4y  = 12 ...............(1)

আবার 
x - 4 = y + 3
x - y = 7 ...........(2)

(1) × 1 - (2)×  4 ⇒
3x - 4y -(4x - 4y) = 12 - 28
3x - 4x = - 16
- x = - 16
x = 16
২৬৫.
একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের তিনগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমার তিনগুণ কত?
  1. ক
    ১৮৮ মিটার
  2. খ
    ২৮৮ মিটার
  3. গ
    ১৪৪ মিটার
  4. ঘ
    ৯৬ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের তিনগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমার তিনগুণ কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ক মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = (৩ক × ক) বর্গমিটার
= ৩ক২বর্গমিটার

শর্তমতে,
৩ক২ = ৪৩২
বা, ক২= ৪৩২/৩
বা, ক২= ১৪৪
বা, ক = √১৪৪
∴ ক = ১২

∴ আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ১২ মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = (১২ × ৩) = ৩৬ মিটার

তাহলে, আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(৩৬ + ১২) মিটার
= ২ × ৪৮ = ৯৬ মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমার তিনগুণ = ৯৬ × ৩ = ২৮৮ মিটার

২৬৬.
একটি সিলিন্ডারের ভূমির ক্ষেত্রফল 100π ব‍র্গমিটার এবং আয়তন 900π ঘনমিটার হলে সিলিন্ডারের উচ্চতা কত?
  1. ক
    3 মিটার
  2. খ
    6 মিটার
  3. গ
    9 মিটার
  4. ঘ
    12 মিটার
  5. ঙ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ভূমির ক্ষেত্রফল 100π ব‍র্গমিটার এবং আয়তন 900π ঘনমিটার হলে সিলিন্ডারের উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি, 
সিলিন্ডারের ব্যাসা‍র্ধ = r
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr2

সিলিন্ডারের ভূমির আয়তন = πr2h

প্রশ্নমতে,
πr2h/πr2 = 900π/100π
∴ h = 9
২৬৭.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৯ সে.মি. ও ১২ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ৫৪ বর্গমি.
  2. খ
    খ) ৪৫ বর্গসে.মি.
  3. গ
    গ) ৫৪ বর্গসে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৫৬ বর্গসে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৯ সে.মি. ও ১২ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৯ × ১২ বর্গসে.মি.
= ৫৪ বর্গসে.মি.
২৬৮.
ABCD একটি রম্বস। AC ও BD দুটি কর্ণ হলে, ∠AOD + ∠BOC = কত?
  1. ক
    ক) 80°
  2. খ
    খ) 180°
  3. গ
    গ) 90°
  4. ঘ
    ঘ) 120°
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
AC ও BD দুটি কর্ণ পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে
∠AOD = 90°
∠BOC = 90°
∴ ∠AOD + ∠BOC = 180°

২৬৯.
একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুণ, দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার হলে ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত মিটার?
  1. ক
    ক) ১২৮ মিটার
  2. খ
    খ) ১৪৪ মিটার
  3. গ
    গ) ৬৪ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৯৬ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুণ, দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার হলে ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৪৮ মিটার
∴ বিস্তার= ৪৮/৩ = ১৬ মিটার

পরিসীমা = ২(৪৮ + ১৬) মিটার 
= ২ × ৬৪ মিটার 
= ১২৮ মিটার 
২৭০.
একটি লোহার ফাপা গোলকের বাইরের ব্যাস ১০ সে.মি. ও বেধ ২ সে.মি.হলে, গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন কত ঘন সে.মি.?
  1. ক
    ৭২π ঘন সে.মি.
  2. খ
    ১০৮π ঘন সে.মি.
  3. গ
    ৩৬π ঘন সে.মি.
  4. ঘ
    ১০৮ ঘন সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লোহার ফাপা গোলকের বাইরের ব্যাস ১০ সে.মি. ও বেধ ২ সে.মি.হলে, গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন কত ঘন সে.মি.?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বাইরের ব্যাস = ১০ সে.মি.
বেধ = ২ সে.মি.

বাইরের ব্যাসার্ধ (R) = ১০/২ = ৫ সে.মি.
ভিতরের ব্যাসার্ধ (r) = বাইরের ব্যাসার্ধ - বেধ
= ৫ - ২ = ৩ সে.মি.

ফাঁপা অংশ = ভিতরের গোলকের আয়তন

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (৪/৩)πr৩
∴ ফাঁপা অংশের আয়তন = (৪/৩)π(৩)৩
= (৪/৩)π × ২৭
= (৪ × ২৭π)/৩
= ৩৬π ঘন সে.মি.

২৭১.
একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে তার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পায়?
  1. ক
    ক) ২ ‍গুণ
  2. খ
    খ) ৩ গুণ
  3. গ
    গ) ৪ গুণ
  4. ঘ
    ঘ) ৬ গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ বৃদ্ধি হলে তার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পায়?

সমাধান: 
ধরি,
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক 
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল ক২ বর্গএকক 

এখন,
বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে বাহু হবে ২ক একক 
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল হবে (২ক)২ বর্গএকক 
= ৪ক২ বর্গএকক 

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = ৪ক২ - ক২ = ৩ক২

∴ ক্ষেত্রফল ৩ গুণ বৃদ্ধি পায়।
২৭২.
একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ১১২ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৭ : ২৪ : ২৫ হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৩৫ সে.মি.
  2. খ
    ৭৫ সে.মি.
  3. গ
    ৪৫ সে.মি.
  4. ঘ
    ৫০ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ১১২ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৭ : ২৪ : ২৫ হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ক, ২৪ক এবং ২৫ক

শর্তমতে,
৭ক + ২৪ক + ২৫ক = ১১২
⇒ ৫৬ক = ১১২
⇒ ক = ১১২/৫৬
∴ ক = ২

∴ বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = (২ × ২৫) = ৫০ সে.মি.
২৭৩.
৮০ ফুট দীর্ঘ এবং ৭০ ফুট প্রস্থ একটি বাগানের বাহিরের চারদিকে ৫ ফুট প্রস্থ একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?
  1. ক
    ক) ১২০০
  2. খ
    খ) ১৬০০
  3. গ
    গ) ১৫০০
  4. ঘ
    ঘ) ১৪০০
ব্যাখ্যা
রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য ৮০ফুট
রাস্তা বাদে বাগানের প্রস্থ ৭০ ফুট
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৮০ × ৭০) বর্গফুট
                                            =৫৬০০ বর্গফুট।

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য={৮০ + (৫ × ২)} ফুট
                                  =(৮০ + ১০) = ৯০ ফুট
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ= {৭০ + (৫ × ২)} ফুট
                                = (৭০+১০)ফুট = ৮০ ফুট
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল=(৯০ × ৮০) বর্গফুট
                                        = ৭২০০ বর্গফুট

রাস্তার ক্ষেত্রফল= (৭২০০ - ৫৬০০)বর্গফুট
                          = ১৬০০ বর্গফুট
২৭৪.
একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৬০ ব. মি. এবং সমান্তরাল বাহু দুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব ৮ মি.। একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মি. হলে অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য হবে -
  1. ক
    ৭ মি.
  2. খ
    ৮ মি.
  3. গ
    ৯ মি.
  4. ঘ
    ১২ মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৬০ ব. মি. এবং সমান্তরাল বাহু দুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব ৮ মি.। একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মি. হলে অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য হবে -

সমাধান: 
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় a = ৮, b = ?
লম্ব দূরত্ব, h = ৮ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২){h(a + b)}

প্রশ্নমতে
(১/২){h(a + b)} = ৬০
⇒ (১/২){৮(৬ + b)} = ৬০
⇒ ৪(৬ + b)} = ৬০
⇒ ৬ + b = ১৫
⇒ b = ১৫ - ৬
∴ b = ৯
২৭৫.
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ২৮.৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?
  1. ক
    ৮৬৪ টাকা
  2. খ
    ৫৮৪ টাকা
  3. গ
    ৬৮৪ টাকা
  4. ঘ
    ৪৮৪ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ২৮.৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৪ মিটার

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (৮ + ৪) মিটার
= ২ × ১২ মিটার
= ২৪ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় ২৮. ৫ টাকা
∴ ২৪ মিটারে খরচ হয় (২৪ × ২৮.৫) টাকা
= ৬৮৪ টাকা
২৭৬.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।  বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২৪ মিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত সে.মি?
  1. ক
    ক) ৮০০ সে.মি. 
  2. খ
    খ) ৯০০ সে.মি. 
  3. গ
    গ) ৬০০ সে.মি. 
  4. ঘ
    ঘ) ৫০০ সে.মি. 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।  বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২৪ মিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত সে.মি?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২৪ মিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২৪/৪ = ৬ মিটার 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল  = ৬২ = ৩৬ বর্গমিটার 

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার 
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৪ মিটার 
সামান্তরিকের ভূমি = ৩৬/৪ = ৯ মিটার 
= (৯ × ১০০) সে.মি. 
= ৯০০ সে.মি. 
২৭৭.
একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 8 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30°। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    18 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    20 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    40 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    80 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 8 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30°। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 8 সে.মি. ও b = 10 সে.মি.
এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sin30°
= (1/2) × 8 × 10 × (1/2)
= 20 বর্গ সে.মি.
২৭৮.
3 মি. বাহু বিশিষ্ট একটি ঘনক আকৃতির বক্সে 10 সেমি বাহু বিশিষ্ট কতটি ঘনক রাখা যাবে?
  1. ক
    35000
  2. খ
    28000
  3. গ
    27000
  4. ঘ
    39000
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 মি. বাহু বিশিষ্ট একটি ঘনক আকৃতির বক্সে 10 সেমি বাহু বিশিষ্ট কতটি ঘনক রাখা যাবে?

সমাধানঃ
ঘনক সংখ্যা = বড় ঘনকের আয়তন / ছোট ঘনকের আয়তন
= (300 × 300 × 300)  / (10 × 10 × 10)
= 27000

২৭৯.
একটি আয়তাকার জমির চতুর্দিকে প্রাচীর নির্মাণ করতে প্রতি মিটার ২৭০ টাকা হিসেবে মোট ৩০২৪০ টাকা খরচ হয়। জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৮ : ৬ হলে জমির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    ৭৫০ বর্গমিটার
  2. খ
    ৭৯০ বর্গমিটার
  3. গ
    ৭৬৮ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৮০০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির চতুর্দিকে প্রাচীর নির্মাণ করতে প্রতি মিটার ২৭০ টাকা হিসেবে মোট ৩০২৪০ টাকা খরচ হয়। জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৮ : ৬ হলে জমির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
আয়তাকার জমির পরিসীমা = ৩০২৪০/২৭০ = ১১২ মিটার

মনে করি,
প্রস্থ ও দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ক এবং ৬ক

শর্তমতে,
২(৮ক + ৬ক) = ১১২
⇒ ২৮ক = ১১২
⇒ ক = ১১২/২৮
∴ ক = ৪

অতএব,
দৈর্ঘ্য = ৮ × ৪ = ৩২ মিটার 
প্রস্থ = ৬ × ৪ = ২৪ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = ৩২ × ২৪ = ৭৬৮ বর্গ মিটার

সুতরাং, জমিটির ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গমিটার।

২৮০.
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ১ । উহার পরিসীমা ২৪০ মিটার হলে আয়তাকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?
  1. ক
    ২৮ মিটার
  2. খ
    ৩০ মিটার
  3. গ
    ৩২ মিটার
  4. ঘ
    ৩৪ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ১ । উহার পরিসীমা ২৪০ মিটার হলে আয়তাকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৩ক
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ক

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২ (৩ক + ক) মিটার
= ৮ক মিটার

প্রশ্নমতে,
৮ক = ২৪০
∴ ক = ৩০ মিটার
২৮১.
বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গের পরিসীমা কত হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯π/২ বর্গ মি. হবে?
  1. ক
    ১২ মি.
  2. খ
    ১৬ মি.
  3. গ
    ১৪ মি.
  4. ঘ
    ৮ মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গের পরিসীমা কত হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯π/২ বর্গ মি. হবে?

সমাধান: 

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

প্রশ্নমতে,
πr2 = 9π/2
r2 = 9/2
r = 3/√2

তাহলে বৃত্তের ব্যাস = 2 × 3/√2 = 3√2

বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ
ধরি, 
বর্গের এক বাহু = a
∴ √2a = 3√2
a = 3

∴ বর্গের পরিসীমা = 4a = (4 × 3) = 12
২৮২.
একটি বর্গাকৃতি মাঠের বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি., মাঠের ভিতরের চারদিকে ২ সে.মি. চওড়া আছে, রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৬৪ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ৮০ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ১০০ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ১২৮ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি মাঠের বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি., মাঠের ভিতরের চারদিকে ২ সে.মি. চওড়া আছে, রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ১২২ = ১৪৪ বর্গ সে.মি.

রাস্তাবাদে মাঠের একবাহু = ১২ - (২ × ২) = ৮ সে.মি.
রাস্তাবাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = ৮২ = ৬৪ বর্গ সে.মি.

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১৪৪ - ৬৪ = ৮০ বর্গ সে.মি.
২৮৩.
২০ মিটার বাহু বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের মধ্যে একটি বৃত্ত অন্তর্লিখিত হলে, বর্গক্ষেত্রের ভিতরে বৃত্ত বহির্ভূত অংশের ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ক) ৩০০
  2. খ
    খ) ৩১৪
  3. গ
    গ) ৮০
  4. ঘ
    ঘ) ৮৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২০ মিটার বাহু বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের মধ্যে একটি বৃত্ত অন্তর্লিখিত হলে, বর্গক্ষেত্রের ভিতরে বৃত্ত বহির্ভূত অংশের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:


দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ২০ মিটার
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২০ × ২০ বর্গমিটার = ৪০০ বর্গমিটার

যেহেতু বৃত্তটি বর্গক্ষেত্রের ভেতরে অন্তর্লিখিত হয়েছে, সেহেতু বৃত্তটির ব্যাস ২০ মিটার,
তাহলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ১০ মিটার।
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল π × ১০২ বর্গমিটার = ৩.১৪ × ১০০ বর্গমিটার = ৩১৪ বর্গমিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ভেতরে বৃত্ত বহির্ভূত অংশের ক্ষেত্রফল =
(৪০০ - ৩১৪) বর্গমিটার
= ৮৬ বর্গমিটার
২৮৪.
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৮০ বার ঘোরে। ৫ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে? 
  1. ক
    ৪০০০ ডিগ্রি
  2. খ
    ১২০০ ডিগ্রি
  3. গ
    ৫৪০০ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ২০০০ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৮০ বার ঘোরে। ৫ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ১৮০ বার
৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে (১৮০ × ৫)/৬০ বার
= ১৫ বার 


গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০ ডিগ্রি
গাড়ির চাকা ১৫ বার ঘুরে অতিক্রম করে = (৩৬০ × ১৫) ডিগ্রি
= ৫৪০০ ডিগ্রি

২৮৫.
10 একক ব্যাস বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির কত শতাংশ?
  1. ক
    ক) 40%
  2. খ
    খ) 250%
  3. গ
    গ) 500%
  4. ঘ
    ঘ) 400%
ব্যাখ্যা
 প্রশ্ন: 10 একক ব্যাস বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির কত শতাংশ?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = 10
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r  = 10/2 = 5
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (5)2 = 25π
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 2 × π × 5 = 10π

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির = (25π/10π) × 100 = 250 শতাংশ
২৮৬.
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৯ সে.মি হলে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা -এর দৈর্ঘ্য কোনটি?
  1. ক
    ২৭ সে.মি
  2. খ
    ১২ সে.মি
  3. গ
    ১৬ সে.মি
  4. ঘ
    ১৮ সে.মি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৯ সে.মি হলে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা -এর দৈর্ঘ্য কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা এবং ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ হলো ব্যাস।
∴ বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা = বৃত্তের ব্যাস
= ২ × ব্যাসার্ধ
= (২ × ৯) সে.মি
= ১৮ সে.মি
২৮৭.
১০ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি ঘনকের মধ্যে ৫ মিটার দৈর্ঘ্যের কয়টি ঘনক রাখা যাবে?
  1. ক
    ৮টি
  2. খ
    ১৬টি
  3. গ
    ৫০টি
  4. ঘ
    ২টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি ঘনকের মধ্যে ৫ মিটার দৈর্ঘ্যের কয়টি ঘনক রাখা যাবে?

সমাধান:
বড় ঘনকের আয়তন = ১০৩ ঘন মিটার
= ১০০০ ঘন মিটার

ছোট ঘনকের আয়তন = ৫৩ ঘন মিটার
= ১২৫ ঘন মিটার

∴ ঘনক রাখা যাবে = ১০০০/১২৫= ৮টি
২৮৮.
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার, এর উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমির অর্ধেক কত সে. মি.?
  1. ক
    ৬০০ সে. মি.
  2. খ
    ৯০০ সে. মি. 
  3. গ
    ৮০০ সে. মি.
  4. ঘ
    ৭০০ সে. মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার, এর উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমির অর্ধেক কত সে. মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার
উচ্চতা ৪ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
সামান্তরিকের ভূমি = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল/উচ্চতা
= ৭২/৪ = ১৮  মিটার

∴ সামান্তরিকের ভূমির অর্ধেক = ১৮/২ = ৯ মিটার = (৯ × ১০০) = ৯০০ সে. মি.

২৮৯.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ৪ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৪√৩ বর্গমিটার
  2. খ
    ২√৩ বর্গমিটার
  3. গ
    ১৬ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৮√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ৪ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × বাহু২
= (√৩/৪) × ৪২
= (√৩/৪) × ১৬
= ৪√৩ বর্গমিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৪√৩ বর্গমিটার।
২৯০.
4 একক ধারবিশিষ্ট একটি ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি কত একক? 
  1. ক
    8√3 একক 
  2. খ
    4√3 একক 
  3. গ
    12 একক 
  4. ঘ
    6√3 একক 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 একক ধারবিশিষ্ট একটি ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি কত একক? 

সমাধান: 
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 a
=  4√3

∴ ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি =  4√3 + 4√3
= 8√3 একক । 
২৯১.
একটি আয়তাকৃতি বস্তুর উচ্চতা এর দৈর্ঘ্যের ৩/৫ অংশ। বস্তুটির দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ। বস্তুটির প্রস্থ ২.৫ সে.মি. হলে তার আয়তন কত?
  1. ক
    ক) ২৫.৫ ঘন সে.মি.
  2. খ
    খ) ৩৭.৫ ঘন সে.মি.
  3. গ
    গ) ২৮.৫ ঘন সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৩৩.৫ ঘন সে.মি.
ব্যাখ্যা
বস্তুটির প্রস্থ ২.৫ সে.মি.
বস্তুটির দৈর্ঘ্য = ২.৫ × ২ = ৫ সে.মি.
বস্তুটির উচ্চতা = (৫ × ৩)/৫ সে.মি.
                       = ৩ সে.মি.

বস্তুটির আয়তন = (২.৫ × ৫ × ৩) ঘন সে.মি.
                         = ৩৭.৫ ঘন সে.মি.
২৯২.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    ক) 25
  2. খ
    খ) 25√2
  3. গ
    গ) 30
  4. ঘ
    ঘ) 25√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ =  45°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b =10 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) ×10 × 10 × sin45°
= 50 ×(1/√2)
= 50/√2
= (50 ×√2)/2
= 25√2
২৯৩.
একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ২ মিটার, প্রস্থ ১ মিটার ৫০ সে.মি.এবং উচ্চতা ১ মিটার। বাক্সটির আয়তন কত?
  1. ক
    ৩ ঘন মিটার
  2. খ
    ২ ঘন মিটার
  3. গ
    ৩.৫ ঘন মিটার
  4. ঘ
    ৪.৫ ঘন মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ২ মিটার, প্রস্থ ১ মিটার ৫০ সে.মি.এবং উচ্চতা ১ মিটার। বাক্সটির আয়তন কত?

সমাধান: 
বাক্সের দৈর্ঘ্য  = ২ মিটার
বাক্সের প্রস্থ  = ১ মিটার ৫০ সে.মি.
= ১.৫০ মিটার
বাক্সের উচ্চতা = ১ মিটার

বাক্সটির আয়তন = (২ × ১.৫ × ১) ঘন মিটার
= ৩ ঘন মিটার
২৯৪.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    15 বর্গসে.মি.
  2. খ
    30 বর্গসে.মি.
  3. গ
    20 বর্গসে.মি.
  4. ঘ
    25 বর্গসে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b = 10 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) × 10 × 10 × sin30°
= (1/2) × 10 × 10 × (1/2)
= 25 বর্গসে.মি.
২৯৫.
একটি সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল ৩২π বর্গসেমি এবং ব্যাসার্ধ ২ সেমি হলে, সিলিন্ডারটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    ১২ সেমি
  2. খ
    ১০ সেমি
  3. গ
    ৮ সেমি
  4. ঘ
    ৬ সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল ৩২π বর্গসেমি এবং ব্যাসার্ধ ২ সেমি হলে, সিলিন্ডারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৩২π বর্গসেমি
ব্যাসার্ধ r = ২ সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
∴ ৩২π = ২π × ২(২ + h)
⇒ ৪π(২ + h) = ৩২π
⇒ (২ + h) = ৩২π/৪π
⇒ (২ + h) = ৮
⇒ h = ৮ - ২
∴ h = ৬

∴ সিলিন্ডারটির উচ্চতা = ৬ সেমি
২৯৬.
একটি কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. এবং উচ্চতা ১২ সে.মি. হলে এর হেলানো উচ্চতা কত?
  1. ক
    ৬ সে.মি.
  2. খ
    ৮ সে.মি.
  3. গ
    ১০ সে.মি.
  4. ঘ
    ১৩ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. এবং উচ্চতা ১২ সে.মি. হলে এর হেলানো উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = ৫ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১২ সে.মি.

ধরি,
হেলানো উচ্চতা = l

আমরা জানি,
⇒ l২ = r২ + h২ 
⇒ l২ = (৫)২ + (১২)২ 
⇒ l = √১৬৯
∴ l = ১৩ 

∴ হেলানো উচ্চতা = ১৩ সে.মি.

২৯৭.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    20 বর্গসে.মি.
  2. খ
    25 বর্গসে.মি.
  3. গ
    30 বর্গসে.মি.
  4. ঘ
    45 বর্গসে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b = 10 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) × 10 × 10 × sin30°
= (1/2) × 10 × 10 × (1/2)
= 25 বর্গসে.মি.
২৯৮.
একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে, তবে গ্যালারির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৮৭৫ বর্গমিটার
  2. খ
    ১০০০ বর্গমিটার
  3. গ
    ১১২৫ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৫৮৫ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে, তবে গ্যালারির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) = ২০০০ বর্গমিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ - (২ × ৭.৫) = ৩৫ মিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের প্রস্থ = ৪০ - (২ × ৭.৫) = ২৫ মিটার

গ্যালারি বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৫ × ২৫) = ৮৭৫ বর্গমিটার
গ্যালারির ক্ষেত্রফল =(২০০০ - ৮৭৫) = ১১২৫ বর্গমিটার
২৯৯.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ১৬√২ বর্গমিটার 
  2. খ
    খ) ১৬√৫ বর্গমিটার 
  3. গ
    গ) ৯√৩ বর্গমিটার 
  4. ঘ
    ঘ) ১৬√৩ বর্গমিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে,
3a =24
a = 8

ক্ষেত্রফল = (√3/4)a2 বর্গমিটার 
= (√3/4)(8)2 বর্গমিটার 
= 16√3 m2 বর্গমিটার 
৩০০.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ সে.মি. ও ১৪ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ১৮০ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ২০৫ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ১৫৪ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ১১২ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ সে.মি. ও ১৪ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ সে.মি. ও ১৪ সে.মি.
এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) ×  (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা
= (১/২) ×  (১৮ + ১৪) × ৭ বর্গ সে.মি.
= ১১২ বর্গ সে.মি.