অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: রিয়া জুন মাসে প্রতিদিন গড়ে ২৮০০ টাকা আয় করে। মাসের প্রথম ১৫ দিন সে প্রতিদিন গড়ে ২০০০ টাকা খরচ করে এবং বাকি দিনগুলোতে প্রতিদিন গড়ে ২৫০০ টাকা খরচ করে। মাস শেষে তার আয় ও সঞ্চয়ের অনুপাত কত?

সমাধান:
জুন মাসে মোট দিন = ৩০
∴ ৩০ দিনে মোট আয় = (২৮০০ × ৩০) টাকা
= ৮৪,০০০ টাকা

প্রথম ১৫ দিনের খরচ = ১৫ × ২০০০ টাকা
= ৩০,০০০ টাকা

পরবর্তী ১৫ দিনের খরচ = ১৫ ×  ২৫০০ টাকা
= ৩৭,৫০০ টাকা

∴ মোট খরচ = ৩০,০০০ + ৩৭,৫০০ = ৬৭,৫০০ টাকা
∴ সঞ্চয় = ৮৪,০০০ − ৬৭,৫০০ = ১৬,৫০০ টাকা

∴ আয় : সঞ্চয় = ৮৪,০০০ : ১৬,৫০০
= ১৬৮ : ৩৩
= ৫৬ : ১১

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে আপেল ও কমলা ৪ : ৩ অনুপাতে রয়েছে। ঝুড়ি থেকে ১৬টি আপেল সরিয়ে নেওয়া হয় এবং ১২টি কমলা যোগ করা হয়। ফলে আপেল ও কমলার অনুপাত ১ : ১ হয়। ঝুড়িতে প্রথমে মোট কতগুলো ফল ছিল? 

সমাধান:
ধরি, আসল অবস্থায়,
আপেলের সংখ্যা = ৪ক টি
কমলার সংখ্যা = ৩ক টি

এখন, ১৬টি আপেল সরানোর পর এবং ১২টি কমলা যোগ করার পর,
আপেল থাকে = (৪ক - ১৬) টি
কমলা থাকে = (৩ক + ১২) টি

এখন নতুন অনুপাত ১ : ১ অর্থাৎ, আপেল = কমলা
সুতরাং,
৪ক - ১৬ = ৩ক + ১২
⇒ ৪ক - ৩ক = ১২ + ১৬
∴ ক = ২৮

অতএব, আসল সংখ্যা,
আপেল = ৪ × ২৮ = ১১২ টি
কমলা = ৩ × ২৮ = ৮৪ টি

∴ ঝুড়িতে প্রথমে মোট ফল ছিল = ১১২ + ৮৪ = ১৯৬ টি।

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩। ৪ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৫ : ২। পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, পিতার বয়স = ৭ক 
 এবং পুত্রের বয়স = ৩ক 

∴ ৪ বছর আগে পিতার বয়স ছিল = (৭ক - ৪)
 ৪ বছর আগে পুত্রের বয়স ছিল = (৩ক - ৪)

প্রশ্নমতে,
(৭ক - ৪) : (৩ক - ৪) = ৫ : ২
⇒ (৭ক - ৪)/(৩ক - ৪) = ৫/২
⇒ ২(৭ক - ৪) = ৫(৩ক - ৪)
⇒ ১৪ক - ৮ = ১৫ক - ২০
∴ ক = ১২ 

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৭ × ১২ = ৮৪ বছর

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়েসের অনুপাত ১২ : ৫। পুত্রের বয়স ১৫ বছর হলে পিতার বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, পিতার বয়স ক বছর

শর্তমতে,
ক/১৫ = ১২/৫
⇒ ৫ক = ১২ × ১৫
⇒ ক = (১২ × ১৫)/৫
⇒ ক = ১২ × ৩
⇒ ক = ৩৬ 

∴ পিতার বয়স ৩৬ বছর।

প্রশ্ন: দুইটি রাশির অনুপাত ৪ : ৭। পূর্ব রাশি ২৮ হলে, উত্তর রাশি কত?

সমাধান:
ধরি, উত্তর রাশি = ক

প্রশ্নমতে,
৪ : ৭ = ২৮ : ক
⇒ (৪/৭) = (২৮/ক)
⇒ ৪ক = ২৮ × ৭
⇒ ক = (২৮ × ৭)/৪
∴ ক = ৪৯

∴ উত্তর রাশি ৪৯

প্রশ্ন: ২৫ লিটার মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৪ : ১। ৫ লিটার পানি যোগ করলে নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মোট মিশ্রণ = ২৫ লিটার
দুধ : পানি = ৪ : ১
∴ মোট = ৪ + ১ = ৫ অংশ

∴ দুধের পরিমাণ = (৪/৫) × ২৫ = ২০ লিটার
∴ পানির পরিমাণ = (১/৫) × ২৫ = ৫ লিটার

আবার, 
৫ লিটার পানি যোগ করলে, নতুন পানির পরিমাণ = ৫ + ৫ = ১০ লিটার
এবং নতুন দুধের পরিমাণ = ২০ লিটার (অপরিবর্তিত)

∴ নতুন অনুপাত = দুধ : পানি = ২০ : ১০
= ২ : ১

সুতরাং, নতুন অনুপাত হবে ২ : ১। 

প্রশ্ন: একটি ব্যবসায় ক, খ ও গ-এর মূলধন যথাক্রমে ৩২, ৪০ ও ৪৮ টাকা। ব্যবসায় মোট ৩০ টাকা লাভ হলে খ-এর লাভ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ব্যবসায় মোট ৩০ টাকা এবং 
ক, খ এবং গ-এর মূলধনের অনুপাত = ৩২ : ৪০ : ৪৮ = ৪ : ৫ : ৬ 

∴ অনুপাতের সমষ্টি = ৪ + ৫ = ৬ = ১৫ 
∴ খ -এর লাভ = ৩০ এর (৫/১৫) = ১০ টাকা 

সুতরাং, খ -এর লাভ ১০ টাকা।

প্রশ্নমতে,
৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৫ বছর ও ৩ বছর ছিল।
তাহলে,
বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৫+৩) বছর
= ২৮ বছর
এবং মেয়ের বয়স = (৩+৩) বছর
= ৬ বছর।
সুতরাং,
৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (২৮+৫) বছর
= ৩৩ বছর
এবং (৬+৫) বছর = ১১ বছর
সুতরাং,
মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৩ : ১১
= ৩ : ১

এখানে তামা ও সোনার অনুপাত = ৩ঃ১।
সুতরাং মোট মিশ্রণের অনুপাত = ৩ + ১ = ৪
মিশ্রণে সোনার অনুপাত = ৩/৪ × ১৬ গ্রাম
= ১২ গ্রাম।

এবং মিশ্রণে তামার অনুপাত = ১/৪ × ১৬ গ্রাম = ৪ গ্রাম।
নতুন মিশ্রণে সোনা মিশাতে হবে, (১২ + ক)/৪ = ৪/১
বা, ১২ + ক = ১৬
বা, ক = ১৬-১২
বা, ক = ৪ গ্রাম।

প্রশ্ন: ৯৬ লিটার দুধের মিশ্রণে আগে থেকেই ১২ লিটার পানি মিশানো আছে। দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩ করতে চাইলে আরও কত লিটার পানি মিশানো যাবে?

সমাধান:
মোট মিশ্রণ = ৯৬ লিটার  
মিশ্রণে পানি = ১২ লিটার  

নতুন দুধ : পানি অনুপাত = ৭ : ৩  

মোট মিশ্রণে দুধ আছে = ৯৬ - ১২  
= ৮৪ লিটার  

নতুন অনুপাত,  
৮৪/নতুন পানি = ৭/৩  
⇒ ২৫২ = ৭ × নতুন পানি  
⇒ নতুন পানি = ২৫২ / ৭  
= ৩৬ লিটার  

∴ আরও পানি মিশানোর পরিমাণ (৩৬ - ১২) লিটার  
= ২৪ লিটার

প্রশ্ন: সাফিন, রাফিন এবং রাফান-এর মাসিক বেতনের অনুপাত ৪ : ৭ : ৮। যদি রাফান এর মাসিক বেতন সাফিন এর থেকে ৮০০ টাকা বেশি হয়, তবে রাফিন এর বার্ষিক বেতন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাফিন, রাফিন এবং রাফান-এর মাসিক বেতনের অনুপাত ৪ : ৭ : ৮

মনে করি,
সাফিন এর মাসিক বেতন ৪ক টাকা
রাফিন এর মাসিক বেতন ৭ক টাকা
রাফান এর মাসিক বেতন ৮ক টাকা

যদি রাফান এর মাসিক বেতন সাফিন এর থেকে ৮০০ টাকা বেশি হয়,

প্রশ্নমতে,
৮ক - ৪ক = ৮০০
⇒ ৪ক = ৮০০
⇒ ক = ৮০০/৪
∴ ক = ২০০

∴ রাফিন এর মাসিক বেতন (৭ × ২০০) = ১৪০০ টাকা

∴ রাফিন এর বার্ষিক বেতন = (১৪০০ × ১২) = ১৬৮০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4 হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?

সমাধান: 
ত্রিভুজের তিনটি কোণ হলো 2x, 3x, 4x
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = 180°

তাহলে,
2x + 3x + 4x = 180° 
⇒ 9x = 180°  
⇒ x = 20°

বৃহত্তম কোণ = 4x = 4 × 20°= 80°

অনুপাতদ্বয়ের বিয়োগফল, ৫ - ১ = ৪
দুধের পরিমাণ ৪ লিটার বেশি হয় যখন পানি ১ লিটার
∴ দুধের পরিমাণ ৮ লিটার বেশি হয় পানি (১×৮)/৪ লিটার
= ২ লিটার

পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত = ৫ঃ২
অনুপাতের যোগফল = ৫ + ২ = ৭
৭০ লিটার মিশ্রণে পেট্রোলের পরিমাণ = (৭০ X ৫/৭) = ৫০ লিটার
৭০ লিটার মিশ্রণে অকটেনের পরিমাণ = (৭০ X ২/৭) = ২০ লিটার
ধরি অকটেন মিশাতে হবে ক লিটার
প্রশ্নমতে, ৫০/(২০ + ক) = ২/১
বা, ৪০ + ২ক = ৫০
বা, ক = ৫

প্রশ্ন: সুমনের বেতন রহিমের বেতনের ২১০%। লিটনের বেতন লিজার বেতনের ৭০%। লিজার বেতন রহিমের বেতনের দ্বিগুণ। সুমন এবং লিটনের বেতনের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
রহিমের বেতন ১০০ টাকা
∴ সুমনের বেতন = ১০০ × ২১০%
= ১০০ × (২১০/১০০) = ২১০ টাকা

লিজার বেতন ২০০ টাকা
∴ লিটনের বেতন = ২০০ × ৭০%
= ১০০ × (৭০/১০০) = ১৪০ টাকা

∴ সুমন এবং লিটনের বেতনের অনুপাত = ২১০ : ১৪০
= ২১ : ১৪
= ৩ : ২

প্রশ্ন: তানভীর এপ্রিল মাসে দৈনিক গড়ে ৩২০০ টাকা আয় করে। মাসের প্রথম ২০ দিন সে গড়ে প্রতিদিন ১৮০০ টাকা খরচ করে এবং বাকি দিনগুলোতে প্রতিদিন ২০০০ টাকা করে খরচ করে। মাস শেষে তার আয় ও সঞ্চয়ের অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
এপ্রিল মাসে মোট দিন = ৩০
∴ ৩০ দিনে মোট আয় = ৩২০০ × ৩০
= ৯৬০০০ টাকা

প্রথম ২০ দিনের খরচ = ২০ × ১৮০০
= ৩৬০০০ টাকা

পরবর্তী ১০ দিনের খরচ = ১০ × ২০০০
= ২০০০০ টাকা

সর্বমোট খরচ = ৩৬০০০ + ২০০০০
= ৫৬০০০ টাকা

∴ সঞ্চয় = ৯৬০০০ − ৫৬০০০
= ৪০০০০ টাকা

∴ আয় : সঞ্চয় = ৯৬০০০ : ৪০০০০
= ৯৬ : ৪০
= ১২ : ৫

পূর্ব রাশি : উত্তর রাশি
= ৫ : ৭

∴ প্রশ্নমতে,
x/৫ = ৯১/৭
বা, ৭x = ৫ × ৯১
বা, x = ৬৫

∴ রাশি দুটির যোগফল = ৬৫ + ৯১ = ১৫৬।

ধরি, ক এর বেতন ৭x টাকা, খ এর বেতন ৫x টাকা এবং গ এর বেতন ৩x টাকা।
প্রশ্নমতে, ৫x - ৩x = ২২২
সুতরাং, x = ১১১ টাকা।
∴ ক এর বেতন ৭ × ১১১ = ৭৭৭ টাকা

প্রশ্ন: যদি A : B = ২ : ৩ এবং B : C = ৪ : ৫ হয়, তবে A : B : C কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A : B = ২ : ৩ = (২ × ৪) : (৩ × ৪) = ৮ : ১২ 
এবং 
B : C = ৪ : ৫ = (৪ × ৩) : (৫ × ৩) = ১২ : ১৫ 

সুতরাং, A : B : C = ৮ : ১২ : ১৫ 

প্রশ্ন: ক, খ ও গ ২৮০ টাকা নিয়ে কারবার শুরু করল। ক ও খ -এর মূলধন সমান কিন্তু গ -এর মূলধন ২০ টাকা কম। মোট ৫৬ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে? 

সমাধান: 
ধরি,
ক ও খ এর মূলধন = x টাকা
∴ গ এর মূলধন = (x - ২০) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + x + (x - ২০) = ২৮০
বা, x + x + x - ২০ = ২৮০
বা, ৩x = ২৮০ + ২০
বা, ৩x = ৩০০
বা, x = ৩০০/৩
∴ x = ১০০

ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত = x : x : (x - ২০)
= ১০০ : ১০০ : (১০০ - ২০)
= ১০০ : ১০০ : ৮০
= ৫ : ৫ : ৪
∴ অনুপাতটির রাশিগুলোর সমষ্টি = (৫ + ৫ + ৪)
= ১৪

∴ গ লাভ পাবে = {৫৬ × (৪/১৪)} টাকা
= ১৬ টাকা ।

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে চিনি ও দুধের অনুপাত ৩ : ২। যদি মিশ্রণের মোট ওজন ৫০ কেজি হয়, তবে চিনির পরিমাণ কত কেজি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
চিনি ও দুধের অনুপাত ৩ : ২
অনুপাতের সমষ্টি = ৩ + ২ = ৫

∴ চিনির পরিমাণ = (৩/৫) × ৫০ = ৩০ কেজি

প্রশ্ন: ৩৫ গ্রাম ওজনের একটি সোনার গহনায় সোনা ও তামার অনুপাত ৪ : ১। গহনাটিতে আর কতটুকু সোনা মেশালে এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৬ : ১ হবে?

সমাধান:
১ম অংশে,
সোনার পরিমাণ = (৩৫/৫) × ৪ = ২৮ গ্রাম
এবং তামার পরিমাণ = ৩৫ - ২৮ = ৭ গ্রাম

২য় অংশে,
তামা মেশানো হয়নি, তাই ১ম অংশে তামার পরিমাণ ৭ গ্রাম হলে, ২য় অংশেও তামার পরিমাণ হবে ৭ গ্রাম।

দেওয়া আছে,
সোনা : তামা = ৬ : ১
তার মানে, সোনার ভাগ ৬ টি ও তামার ভাগ ১ টি

এখন,
তামার ১ ভাগ = ৭ গ্রাম
∴ সোনা ৬ ভাগ = (৬ × ৭) = ৪২ গ্রাম

∴ সোনা মেশানো হয়েছে = (৪২ - ২৮) = ১৪ গ্রাম

ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত যথাক্রমে ৩২০ : ৪০০ : ৪৮০ = ৪ঃ৫ঃ৬
অনুপাতগুলাের যােগফল = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫
ক পায় ৩০০ এর ৪/১৫ = ৮০ টাকা
এবং গ পায় ৩০০ এর ৬/১৫ = ১২০ টাকা
সুতরা, ক অপেক্ষা গ বেশি পাবে (১২০- ৮০) টাকা = ৪০ টাকা।

প্রশ্ন: x : y এর ব্যস্তানুপাত কোনটি?

সমাধান:
ব্যস্তানুপাত: সরল অনুপাতের উত্তর রাশিকে পূর্ব রাশি এবং পূর্ব রাশিকে উত্তর রাশি ধরে যে অনুপাত পাওয়া যায়, তাকেই ব্যস্ত অনুপাত বলে।  

যেমন,
4 : 9 এর ব্যস্ত অনুপাত হলো  9 : 4।
একইভাবে, x : y এর ব্যস্তানুপাত y : x

সুতরাং, সঠিক উত্তর ক) y : x

প্রশ্ন: ৮, ১০ ও ১৬ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
প্রথম রাশি : দ্বিতীয় রাশি = তৃতীয় রাশি : চতুর্থ রাশি
বা, প্রথম রাশি × চতুর্থ রাশি = দ্বিতীয় রাশি × তৃতীয় রাশি

এখানে, প্রথম রাশি = ৮, দ্বিতীয় রাশি = ১০ এবং তৃতীয় রাশি = ১৬

সূত্রমতে,
৮ × চতুর্থ রাশি = ১০ × ১৬
⇒ ৮ × চতুর্থ রাশি = ১৬০
⇒ চতুর্থ রাশি = ১৬০/৮
∴ চতুর্থ রাশি = ২০

অর্থাৎ, চতুর্থ সমানুপাতিক সংখ্যাটি ২০

এখানে,
এসিডঃপানি = ৩ঃ১
তাহলে এসিডের পরিমাণ = ৩/৪ × ৩২ লিটার
= ২৪ লিটার।
এবং পানির পরিমাণ = ১/৪ × ৩২ লিটার
= ৮ লিটার।

সুতরাং শর্তমতে,
দ্বিতীয় অনুপাতে এসিডের পরিমাণ একই থাকবে এবং শুধু পানির পরিমাণ পরিবর্তন হবে।
২৪/(৮ + ক) = ৩/২
বা, ৮/(৮ + ক) = ১/২
বা, ৮ + ক = ১৮
বা, ক = ৮ লিটার।

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ৪ = ৭ 
ক্ষুদ্রতম অংশ = ২১,০০০ এর ১/৭ = ৩,০০০ টাকা
বৃহত্তম অংশ = ২১,০০০ এর ৪/৭ = ১২,০০০ টাকা
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য ( ১২,০০০ - ৩,০০০ ) = ৯,০০০ টাকা

রহিম  : করিম  :  সাকিব  = ২০০০০  :  ৩০০০০  : ৪০০০০ = ২  : ৩  : ৪
মোট মূলধন ২০০০০  + ৩০০০০ + ৪০০০০ = ৯০০০০ টাকা
৯০০০০ টাকা ৩ বছর পরে লাভ  = ৯০০০০ × ৩০/১০০ = ২৭০০০ টাকা

তাহলে সাকিব পাবে = ২৭০০০ এর ৪/৯ = ১২০০০ টাকা

আমরা জানি.
সমানুপাতের ১ম রাশি×৪র্থ রাশি = ২য় রাশি×৩য় রাশি
∴ ৪র্থ রাশি = ৪০×৫০/১০
= ২০০

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²; এখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π × ৪^২ : π × ৩^২
= ১৬ : ৯

সোনা : তামা = ৩ : ১

অনুপাত রাশির যোগফল=৩ + ১ = ৪গ্রাম

মিশ্রণ এ সোনার পরিমাণ= [১৬ × (৩/৪)] = ১২গ্রাম

, , , , , , = [১৬ × (৪ × ৪)] = ৪ গ্রাম 

অতিরিক্ত সোনা মিশাতে হবে = ১৬ - ১২ = ৪ গ্রাম 

প্রশ্ন: ১৪৩ টাকাকে ২: ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য কত?

সমাধান:
মোট অংশ = ২ + ৪ + ৫ = ১১
প্রতি অংশের মান = ১৪৩/১১ = ১৩

∴ ক্ষুদ্রতম অংশ = ২ × ১৩ = ২৬
∴ বৃহত্তম অংশ = ৫ × ১৩ = ৬৫

∴ পার্থক্য = ৬৫ - ২৬ = ৩৯

সুতরাং, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য = ৩৯ টাকা

ক, খ এবং গ রাশি তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী হলে মধ্যসমানুপাতী হবে, খ^২ = ক × গ
বা, খ = √(ক × গ)
সুতরাং ৬৪ এবং ৮১ সংখ্যার মধ্যসমানুপাতী = √(৬৪ × ৮১)
= ৮ × ৯
= ৭২

দেওয়া আছে, কঃখ = ৩ঃ৪ = ৯ঃ১২ (৩ দ্বারা গুণ করে)
এবং খঃগ = ৬ঃ৭ = ১২ঃ১৪ (২ দ্বারা গুণ করে)
সুতরাং কঃখঃগ = ৯ঃ১২ঃ১৪।