অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: A, B এবং C মিলে একটি ব্যবসায় ৫৩০০০ টাকা বিনিয়োগ করেন। A, B-এর চেয়ে ৫০০০ টাকা বেশি এবং B, C-এর চেয়ে ৬০০০ টাকা বেশি বিনিয়োগ করেন। মোট ৩১৮০০ টাকা লাভ হলে B-এর লাভের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
C-এর বিনিয়োগ = x টাকা
তাহলে,
B, C-এর চেয়ে ৬,০০০ টাকা বেশি বিনিয়োগ করেন
∴ B = x + ৬০০০
A, B-এর চেয়ে ৫,০০০ টাকা বেশি বিনিয়োগ করেন
∴ A = (x + ৬০০০) + ৫০০০ = x + ১১০০০

মোট বিনিয়োগ,
A + B + C = ৫৩০০০
⇒ (x + ১১০০০) + (x + ৬০০০) + x = ৫৩০০০
⇒ ৩x + ১৭০০০ = ৫৩০০০
⇒ ৩x = ৩৬০০০
∴ x = ১২০০০

এখন,
C = x = ১২০০০ টাকা
B = ১২০০০ + ৬০০০ = ১৮০০০ টাকা
A = ১২০০০ + ১১০০০ = ২৩০০০ টাকা

∴ লাভের অনুপাত A : B : C = ২৩০০০ : ১৮০০০ : ১২০০০ = ২৩ : ১৮ : ১২

∴ B-এর অংশ = ৩১৮০০ × (১৮/৫৩) = ১০৮০০ টাকা

সুতরাং, B-এর লাভের পরিমাণ ১০৮০০ টাকা।

পিতার বর্তমান বয়স = ৭০ এর ৫/৭ = ৫০ বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স = ৭০ এর ২/৭ = ২০ বছর
∴ ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত= (৫০+১০) : (২০+১০) = ২ : ১

প্রশ্ন: যদি (a/b) = (b/c) = (2/3) হয়, তবে a : c এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(a/b) = (b/c) = (2/3)

তাহলে, 
a/b = 2/3
∴ a = (2/3) × b ......(1) 
এবং , 
b/c = 2/3
∴ b = (2/3) × c

এখন, b এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 
⇒ a = (2/3) × (2/3) × c
⇒ a = (4/9) × c
⇒ a/c = 4/9
∴ a : c = 4 : 9

প্রশ্ন: a : b = 3 : 5 এবং b : c = 4 : 7 হলে, এর ‍a : c : b এর মান কোনটি?

সমাধান: 
a : b = 3 : 5 = 12 : 20
b : c = 4 : 7 = 20 : 35

a : b  : c = 12 : 20 : 35
a : c : b = 12 : 35 : 20

প্রশ্ন: একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ২। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ২৫ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ কত লিটার?

সমাধান:
দুধ ও পানির অনুপাত = ৭ : ২

দুধের পরিমাণ = ৭ক লিটার
পানির পরিমাণ = ২ক লিটার

প্রশ্ন অনুসারে,
৭ক - ২ক = ২৫
⇒ ৫ক = ২৫
⇒ ক = ৫

∴ পানির পরিমাণ = ২ক = ২ × ৫ = ১০ লিটার

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ২৬০০। সংখ্যা দুইটির অনুপাত ৫ : ৮ হলে, সংখ্যা দুইটির পার্থক্য কত?

সমাধান:
অনুপাতটির পূর্ব ও উত্তর রাশির যোগফল = (৫ + ৮) = ১৩

প্রথম সংখ্যা = ২৬০০ এর (৫/১৩)= ১০০০

দ্বিতীয় সংখ্যা = ২৬০০ এর (৮/১৩) = ১৬০০

∴ সংখ্যা দুইটির পার্থক্য = ১৬০০ − ১০০০ = ৬০০

প্রশ্ন: কোন স্কুলের একটি শ্রেণিকক্ষে ছাত্র ও ছাত্রীদের অনুপাত ৫ : ৭। যদি শ্রেণিকক্ষে ১ জন শিক্ষক এবং ২৩ জন পর্যবেক্ষকসহ মোট ১৯২ জন লোক থাকে, তবে শ্রেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা কতজন?

সমাধান:
ছাত্র-ছাত্রীর অনুপাতের যোগফল = ৫ + ৭ = ১২

শ্রেণিকক্ষে মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = ১৯২ - (১ + ২৩) জন = ১৬৮ জন

∴ শ্রেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা = ১৬৮ × (৭/১২) জন
= ৯৮ জন

জুই এবং রবিনের বয়স যথাক্রমে ৫a, ৮a
∴ (৫a +১৫) : (৮a + ১৫) = ১০ঃ১৩
বা, (৫a + ১৫)/(৮a + ১৫) = ১০/১৩
বা, ৬৫a + ১৯৫ = ৮০a + ১৫০
বা, ১৫a = ৪৫
∴ a = ৩
∴ জুইয়ের বর্তমান বয়স = ৫ × ৩
= ১৫

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×4² : π×5²
= 16 : 25

চতুর্থ সমানুপাতিক x হলে
3 × x = 9 × 4
⇒ x = (9 × 4) / 3
∴ x = 12

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় কৃতকার্য ও অকৃতকার্য শিক্ষার্থীর অনুপাত ৭ : ২। যদি ১৪৪ জন শিক্ষার্থী অকৃতকার্য হয়ে থাকে, তবে মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কৃতকার্য : অকৃতকার্য = ৭ : ২
অকৃতকার্য শিক্ষার্থী = ১৪৪ জন

∴ অনুপাতের সমষ্টি = ৭ + ২ = ৯ অংশ

এখন, 
২ অংশের সমান = ১৪৪ জন 
∴ ১ অংশের সমান = ১৪৪/২ = ৭২ জন

∴ মোট পরীক্ষার্থী = ৯ × ৭২ = ৬৪৮ জন

মনে করি,
সংখ্যা দু'টি = ৫x, ৬x
∴ ল.সা.গু. ৩০x = ২৪০
∴ x = ৮
∴ বড় সংখ্যাটি = ৬ × ৮ = ৪৮

হরিণ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে (১×৫×২) = ১০ মিটার
বাঘ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে (১×৪×২) = ৮ মিটার
বাঘঃহরিণ = ৮:১০ = ৪:৫

সংখ্যা দুটি যথাক্রমে, ৫ক ও ৬ক হলে,
গ.সা.গু = ক এবং ল.সা.গু = ৩০ক
প্রশ্নমতে, ক = ৮
∴ ল.সা.গু = ৩০ x ৮ = ২৪০

ধরি, মাসুদের আয় ২০ টাকা ও ব্যয় ১৫ টাকা, তাহলে সঞ্চয় (২০-১৫) = ৫ টাকা
২০ টাকায় সঞ্চয় করে ৫ টাকা
১০০ 〃 〃 〃(১০০×৫)/২০ টাকা
= ২৫ টাকা

প্রশ্ন: ক, খ ও গ-এর মধ্যে 260 টাকা এমনভাবে ভাগ করতে হবে যেন ক-এর অংশের 2 গুণ, খ-এর অংশের 3 গুণ এবং গ-এর অংশের 4 গুণ সমান হয়। তাহলে গ-এর টাকার পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
ক-এর অংশ = x
খ-এর অংশ = y
গ-এর অংশ = z

প্রদত্ত শর্ত,
2x = 3y = 4z = k [ধরি সবগুলোর সমান মান = k]
2x = k
∴ x = k/2

3y = k
∴ y = k/3
এবং 
4z = k
∴ z = k/4

প্রশ্নমতে, 
x + y + z = 260
⇒ (k/2) + (k/3) + (k/4) = 260
⇒ (6k + 4k + 3k)/12 = 260
⇒ 13k/12 = 260
⇒ k = (260 × 12)/13
∴ k = 240

∴ গ-এর অংশ, z = k/4 = 240/4 = 60 টাকা

সুতরাং গ-এর টাকার পরিমাণ = 60 টাকা।

প্রশ্ন: রহিম ও করিমের বেতনের অনুপাত ৫ : ২ । করিমের বেতন রহিমের বেতন অপেক্ষা ৩৪৮ টাকা কম হলে রহিমের বেতন কত?

সমাধান:
ধরি, 
রহিমের বেতন = ৫ক 
করিমের বেতন = ২ক 

প্রশ্নমতে,
৫ক - ২ক = ৩৪৮
⇒ ৩ক = ৩৪৮
⇒ ক = ৩৪৮/৩
⇒ ক = ১১৬

∴ রহিমের বেতন = ৫ × ১১৬ = ৫৮০ টাকা 

প্রশ্ন: তিনজন সাইকেল আরোহীর গতির অনুপাত ৫ : ৮ : ১০। তারা একই দূরত্ব অতিক্রম করতে যে সময় নেয় তার অনুপাত কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
তিনজন সাইকেল আরোহীর গতির অনুপাত ৫ : ৮ : ১০

মনেকরি,
দূরত্ব = ১ 

∴ তিনটি গাড়ির সময়ের অনুপাত  = (১/৫) : (১/৮) : (১/১০)
= (১/৫) × ৪০ : (১/৮) × ৪০ : (১/১০) × ৪০
= ৮ : ৫ : ৪ 

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশি যথাক্রমে ২ এবং ৩২ হলে, এর মধ্য সমানুপাতী কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = ২
৪র্থ রাশি = ৩২

আমরা জানি, তিনটি পরপর সমানুপাতের ক্ষেত্রে:
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ২ × ৩২ = ৬৪
⇒ মধ্য রাশি = √৬৪ = ৮

প্রশ্ন: 2, 5, 6 এর চতুর্থ সমানুপাতী কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি
সমানুপাতের ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি
2 × ৪র্থ রাশি = 5 × 6
৪র্থ রাশি = (30/2)
৪র্থ রাশি = 15

প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয়ের দ্বিগুণানুপাত = ৯^২ : ৩৬^২
= ৮১ঃ১২৯৬

অনুপাতের সমষ্টি = ৭+৩ = ১০
∴ ৬০ লিটার মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৬০ এর ৩/১০ = ১৮ লিটার।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৭। উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করলে অনুপাত হয় ১ : ২। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৪ক এবং ৭ক
উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করলে নতুন অনুপাত ১ : ২ হয়। 
অর্থাৎ, 
⇒ (৪ক - ৩) : (৭ক - ৩) = ১ : ২
⇒ (৪ক - ৩)/(৭ক - ৩) = ১/২
⇒ ৮ক - ৬ = ৭ক - ৩ 
⇒ ৮ক - ৭ক = - ৩ + ৬ 
∴ ক = ৩ 
সুতরাং, প্রথম সংখ্যা = ৪ × ৩ = ১২ এবং দ্বিতীয় সংখ্যা = ৭ × ৩ = ২১

অতএব, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ১২ এবং ২১। 

প্রশ্ন: ৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে? 

সমাধান: 
মিশ্রণে এসিড : পানির অনুপাত = ৩ : ২ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = {৬০ × (৩/৫)} = ৩৬ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {৬০ × (২/৫)} = ২৪ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩৬ : (২৪ + x) = ২ : ৩
বা, ৩৬/(২৪ + x) = ২/৩ 
বা, ১০৮ = ৪৮ + ২x 
বা, ২x = ১০৮ - ৪৮ 
বা, ২x = ৬০ 
বা, x = ৬০/২ 
∴ x = ৩০ 

∴ ৩০ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

তিন পুত্রের বয়সের অনুপাত = ৫ ঃ ৭ ঃ ৯
অনুপাতের যোগফল = ( ৫ + ৭ + ৯ ) = ২১
∴ বড় ছেলে পাবে ( ৪২০০ এর ৯/২১ ) = ১৮০০ টাকা

গয়নার ওজন = ৩২ গ্রাম
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪
∴ সোনার পরিমাণ = (৩২ × ৩) / ৪ = ২৪ গ্রাম
∴ তামার পরিমাণ = (৩২ × ১)/৪ = ৮ গ্রাম
সোনা ∶ তামা = ৪ ∶ ১
= (৪ X ৮) ∶ (১ X ৮)
= ৩২ ∶ ৮
∴ সোনা মিশাতে হবে = ৩২ - ২৪ = ৮ গ্রাম।

ধরি,
কবির, আবির, জাবিরের চকোলেট সংখ্যা যথাক্রমে ৫a, ৪a, ৩a
∴ ৫a - ৩a = ৩০
বা, ২a = ৩০
∴ ৪a = ৬০ টি

অনুপাত = ১/২ : ২/৩ : ৩/৪ = ৬ঃ৮ঃ৯ [২,৩,৪ এর ল.সা.গু. ১২ দ্বারা গুণ করে]
∴ সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৬a, 8a, 9a
৮a - ৬a = ১৪
বা, ২a = ১৪
∴ a = ৭
∴ বড় সংখ্যাটি = ৯ × ৭
= ৬৩