অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ৩৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৭ : ২ । গহনাটিতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৯ : ১ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, সোনা ও তামার অনুপাত ৭ : ২

মোট অংশ = (৭ + ২) = ৯

∴ গহনাতে সোনার পরিমাণ = ৩৬ × (৭/৯) গ্রাম = ২৮ গ্রাম
∴ গহনাতে তামার পরিমাণ = ৩৬ × (২/৯) গ্রাম = ৮ গ্রাম

ধরি, সোনা মেশাতে হবে = ক গ্রাম

শর্তমতে,
(২৮ + ক)/৮ = ৯/১
⇒ ২৮ + ক = ৭২
⇒ ক = ৭২ - ২৮
⇒ ক = ৪৪

∴ সোনা মেশাতে হবে = ৪৪ গ্রাম।

প্রশ্ন: ১৪৪ : ২৮৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির বর্গমূলের অনুপাতকে তার দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়।

∴ ১৪৪ : ২৮৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত = √১৪৪ : √২৮৯
= ১২ : ১৭

∴ ১৪৪ : ২৮৯  এর দ্বিভাজিত অনুপাত = ১২ : ১৭

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৪ ও ১২ হলে মধ্য সমানুপাতিক কোনটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ক্রমিক সমানুপাতের ক্ষেত্রে,
(২য় রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
⇒ (২য় রাশি)^২ = ৪ × ১২
⇒ (২য় রাশি)^২ = ৪৮
⇒ ২য় রাশি = √৪৮
∴ ২য় রাশি/মধ্য সমানুপাতিক = ৪√৩

প্রশ্ন: ক, খ ও গ ৪৮০ টাকা মূলধন নিয়ে ব্যবসা শুরু করল। ক ও খ-এর মূলধন সমান, কিন্তু গ-এর মূলধন ৬০ টাকা কম। মোট ৯৬ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে? 

সমাধান:
ধরি, ক ও খ এর মূলধন = x টাকা
∴ গ এর মূলধন = (x - ৬০) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + x + (x - ৬০) = ৪৮০
⇒ ৩x - ৬০ = ৪৮০
⇒ ৩x = ৪৮০ + ৬০
⇒ ৩x = ৫৪০
⇒ x = ৫৪০/৩
∴ x = ১৮০

ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত:
= ১৮০ : ১৮০ : (১৮০ - ৬০)
= ১৮০ : ১৮০ : ১২০
= ৩ : ৩ : ২

অনুপাতটির রাশিগুলোর সমষ্টি = ৩ + ৩ + ২ = ৮
মোট লাভ = ৯৬ টাকা
∴ গ এর লাভ = (২/৮) × ৯৬ টাকা
= ২৪ টাকা
সুতরাং, গ ২৪ টাকা লাভ পাবে।

প্রশ্ন: ৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ । ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ১ : ২ হবে?

সমাধান:
এসিড : পানি = ২ : ৩
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = [৬০ × (২/৫)] = ২৪ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = [৬০ × (৩/৫)] = ৩৬ লিটার

ধরি,
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ১ : ২

প্রশ্নমতে,
২৪ : (৩৬ + x) = ১ : ২
বা, ২৪/(৩৬ + x) = ১/২
বা, ৪৮ = ৩৬ + x
বা, x = ৪৮ - ৩৬
বা, x = ১২
∴ x = ১২

∴ ১২ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

প্রশ্ন: ৩ : ৭ এর সমতুল্য অনুপাত কোনটি?

সমাধান: 
সমতুল অনুপাত: কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশিকে শূন্য (০) ব্যতীত কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। এরূপ অনুপাতকে সমতুল অনুপাত বলা হয়।

এখন, 
৩ : ৭ = ৩/৭ = (৩ × ৩)/(৭ × ৩) = ৯/২১ = ৯ : ২১ 

সুতরাং, ৩ : ৭ এর সমতুল্য অনুপাত ৯ : ২১

অন্য অপশনগুলো ভুল। 

প্রশ্ন: ২৫ : ৩৬ এর ব্যস্তানুপাত কত?

সমাধান: 
ব্যস্তানুপাত মানে বিপরীত অনুপাত।
∴ ২৫ : ৩৬ এর ব্যস্তানুপাত বা বিপরীত অনুপাত হবে = ৩৬ : ২৫
 

প্রশ্ন: চিনি ও পানির মিশ্রণে পানি ও চিনির অনুপাত ৮ : ৩ । আরও ২ কেজি চিনি মেশালে মিশ্রণে পানি ও চিনির অনুপাত হয় ২ : ১ । মূল মিশ্রণে চিনির পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
​ধরি, 
মূল মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৮x কেজি
​এবং মূল মিশ্রণে চিনির পরিমাণ = ৩x কেজি 

শর্তমতে, 
৮x/(৩x + ২) = ২/১
বা, ৮x = ২ (৩x + ২)
বা, ৮x = ৬x + ৪
বা, ৮x - ৬x = ৪
বা, ২x = ৪
বা, x = ৪/২
∴ x = ২

∴ মূল মিশ্রণে চিনির পরিমাণ = ৩x কেজি 
= (৩ × ২) কেজি 
= ৬ কেজি।

প্রশ্ন: ৬, ৪ ও ১২ এর ৪র্থ সমানুপাতি কোনটি?

সমাধান: 
১ম রাশি = ৬
২য় রাশি = ৪ 
৩য় রাশি = ১২
৪র্থ রাশি = ? 

আমরা জানি,
১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি 
বা, ৬ × ৪র্থ রাশি = ৪ × ১২
বা, ৪র্থ রাশি = (৪ × ১২)/৬
 বা, ৪র্থ রাশি = ৪৮/৬

∴ ৪র্থ রাশি = ৮

প্রশ্ন: ক, খ ও গ ২৮০ টাকা নিয়ে কারবার শুরু করল। ক ও খ এর মূলধন সমান কিন্তু গ এর মূলধন ২০ টাকা কম। মোট ৫৬ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
ক ও খ এর মূলধন = x টাকা 
∴ গ এর মূলধন = (x - ২০) টাকা 

প্রশ্নমতে, 
x + x + (x - ২০) = ২৮০ 
বা, x + x + x - ২০ = ২৮০ 
বা, ৩x = ২৮০ + ২০ 
বা, ৩x = ৩০০ 
বা, x = ৩০০/৩ 
∴ x = ১০০ 

ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত = x : x : (x - ২০) 
= ১০০ : ১০০ : (১০০ - ২০) 
= ১০০ : ১০০ : ৮০ 
= ৫ : ৫ : ৪ 
∴ অনুপাতটির রাশিগুলোর সমষ্টি = (৫ + ৫ + ৪)
= ১৪ 

∴ গ লাভ পাবে = {৫৬ × (৪/১৪)} টাকা 
= ১৬ টাকা ।

প্রশ্ন: x + y = 10 এবং x – y = 4 হলে x : y = কত?

সমাধান:
দুইটি সমীকরণ:
x + y = 10.........(i)
x - y = 4..........(ii)  

(i) ও (ii) যোগ করে:
x + y + x - y = 10 + 4
⇒ 2x = 14
⇒ x = 7

x এর মান (i) এ বসিয়ে পাই:
7 + y = 10
⇒ y = 10 - 7
⇒ y = 3

অনুপাত:
x : y = 7 : 3

মোট কাপড় ৩০ মিটার
অনুপাতের রাশি গুলোর যোগফল = (৫ + ৩ + ২) = ১০ মিটার
∴ তানিয়ার অংশ = ( ৩০ এর ২/১০) = ৬ মিটার
∴ মারিয়ার অংশ = (৩০ এর ৩/১০) = ৯ মিটার
∴ তানিয়া থেকে মারিয়া (৯ - ৬) = ৩ মিটার কাপড় বেশি পেল।

প্রশ্ন: মামুনের বয়স ৪ বছর ও তার বোনের বয়স ৬ মাস হলে, তাদের বয়সের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মামুনের বয়স = ৪ বছর
তার বোনের বয়স = ৬ মাস

এখন, প্রথমে দুজনের বয়সকে একই এককে (মাসে) রূপান্তর করে পাই,
মামুনের বয়স = ৪ বছর = ৪ × ১২ = ৪৮ মাস ; [১ বছর = ১২ মাস] 
এবং বোনের বয়স = ৬ মাস

এখন অনুপাত = মামুন : বোন
= ৪৮ মাস : ৬ মাস
= ৪৮ : ৬
= ৮ : ১ ; [৬ দিয়ে ভাগ করে] 

সুতরাং, মামুন ও তার বোনের বয়সের অনুপাত = ৮ : ১

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি : বৃত্তের ব্যাস
= 2πr/2r
= π
= ২২/৭

Let the numbers be 2x, 3x, 5x and 7x respectively
Then their LCM = (2×3×5×7)x = 210x. [∴ 2, 3, 5, 7 are prime numbers]
So, 210x = 630 or x = 3
∴ The numbers are 6, 9, 15 and 21
Required difference = 21 - 6 = 15

শফিক, রফিক এবং অনিকের বেতন যথাক্রমে ৭x, ৫x, ৩x টাকা
শর্তমতে, 
৫x - ৩x = ৭২০০
বা, ২x = ৭২০০
∴ x = ৩৬০০ টাকা
∴ শফিকের বেতন = ২৫,২০০ টাকা

প্রশ্ন: রফিক ও করিমের আয়ের অনুপাত ৫ : ২। রফিকের আয়, করিমের আয়ের চেয়ে ১৮০০ টাকা বেশি হলে, করিমের আয় কত?

সমাধান:
ধরি,
রফিক ও করিমের আয় যথাক্রমে = ৫ক ও ২ক

∴ তাদের আয়ের পার্থক্য = ৫ক - ২ক = ৩ক

প্রশ্নমতে,
৩ক = ১৮০০
বা, ক = ১৮০০/৩
∴ ক = ৬০০ টাকা

∴ করিমের আয় = ২ক
= ২ × ৬০০ = ১২০০ টাকা

সঞ্চয় = ৫০০০ - ৪৫০০ = ৫০০ টাকা।
∴ ব্যয় ∶ সঞ্চয় = ৪৫০০ ∶ ৫০০ = ৯ ∶ ১

প্রশ্ন: ৪৮ লিটার তেলের মিশ্রণে ডিজেল ও পেট্রোলের অনুপাত ৩ : ৫। মিশ্রণে আর কত লিটার ডিজেল যোগ করলে নতুন অনুপাত ৫ : ৬ হবে?
 
সমাধান:
ডিজেল ও পেট্রোলের অনুপাত ৩ : ৫
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ৫ = ৮

∴ ডিজেল পরিমাণ = ৪৮ এর ৩/৮
 = ১৮ লিটার 
∴ পেট্রলের পরিমাণ = ৪৮ এর ৫/৮
= ৩০ লিটার 

ধরি,
ক লিটার ডিজেল মিশাতে হবে।

প্রশ্নমতে,
(১৮ + ক) : ৩০ = ৫:৬ 
বা, ৬ (১৮ + ক)  = ৫ × ৩০
বা, ১০৮ + ৬ ক = ১৫০
বা, ৬ ক = ৪২
বা, ক = ৭ 

∴ মিশ্রণে আর ৭  লিটার ডিজেল যোগ করলে নতুন অনুপাত ৫ : ৬ হবে।

দেওয়া আছে,
এসিডঃপানি = ৭ঃ৩
অনুপাতের রাশিদ্বরের যোগফল = ৭ + ৩ = ১০
এসিডের পরিমাণ = ( ৩০ × ৭/১০ ) = ২১ লিটার
পানির পরিমাণ = ( ৩০ × ৩/১০ ) = ৯ লিটার
নতুন মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ ঠিক থাকবে আর পানির পরিমাণ বৃদ্ধি পাবে।
ধরি, ক পরিমাণ পানি মিশ্রিত করতে হবে।
∴ ২১ঃক = ৩ঃ৭
⇒ ক = ( ২১ × ৭ )/৩ = ৪৯
পানি মিশ্রিত করতে হবে ( ৪৯ - ৯ ) = ৪০ লিটার।