অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: ৪০ গ্রাম লোহা ও সিসার মিশ্রণে লোহা ৬০%। মিশ্রণে কি পরিমাণ সিসা মিশালে সিসার পরিমাণ ৬০% হবে?

সমাধান:
লোহা ও সিসার মিশ্রণে লোহা ৬০% হলে,
সিসা হবে (১০০- ৬০)% = ৪০%

মনে করি,
মিশ্রণে সিসা মিশাতে হবে ক গ্রাম।

∴ লোহার পরিমাণ ৪০ এর ৬০%
 = ৪০ × (৬০/১০০) গ্রাম
= ২৪ গ্রাম
এবং,
সিসার পরিমাণ = ৪০ এর ৪০%
 = ৪০ × (৪০/১০০) গ্রাম
= ১৬ গ্রাম

প্রশ্নমতে,
 ২৪/(১৬ + ক) = ৪০/৬০
⇒ ২৪/(১৬ + ক) = ২/৩
 ⇒ ২ক + ৩২ = ৭২
 ⇒ ২ক = ৭২ - ৩২
 ⇒ ২ক = ৪০
 ⇒ ক = ৪০/২
∴ ক = ২০

∴ মিশ্রণে সিসা মিশাতে হবে ২০ গ্রাম।

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণের ওজন ৫৪ গ্রাম। এতে তামা ও দস্তার অনুপাত ৭ : ২। কত গ্রাম তামা যোগ করলে অনুপাত ৫ : ১ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, তামা ও দস্তার অনুপাত ৭ : ২

অনুপাত দুটির যোগফল = (৭ + ২) = ৯
∴ অনুপাতে তামার পরিমাণ = ৫৪ × (৭/৯) গ্রাম = ৪২ গ্রাম
∴ অনুপাতে দস্তার পরিমাণ = ৫৪ × (২/৯) গ্রাম = ১২ গ্রাম

ধরি, তামা মিশাতে হবে = ক গ্রাম

শর্তমতে,
(৪২ + ক)/১২ = ৫/১
⇒ ৪২ + ক = ৫ × ১২
⇒ ৪২ + ক = ৬০
⇒ ক = ৬০ - ৪২
∴ ক = ১৮

∴ ১৮ গ্রাম তামা যোগ করলে অনুপাত ৫ : ১ হবে।

প্রশ্ন: কোন কলেজের একটি শ্রেণিকক্ষে ছাত্র ও ছাত্রীদের অনুপাত ৩ : ৫ । যদি শ্রেণিকক্ষে ২ জন শিক্ষক এবং ১৪ জন কর্মচারীসহ মোট ১৪৪ জন লোক থাকে, তবে শ্রেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা কতজন?

সমাধান:
ছাত্র-ছাত্রীর অনুপাতের যোগফল = ৩ + ৫
= ৮

শ্রেণিকক্ষে মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = ১৪৪ - (২ + ১৪) জন
= ১২৮ জন।

∴ শ্রেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা = ১২৮ × (৫/৮) জন
= ৮০ জন।

প্রশ্ন: ৩, ৫, ১৫ এর সমানুপাতিক কোনটি?

সমাধান:
আমরা খুঁজছি এমন সংখ্যা ক, 
৩ : ৫ = ১৫ : ক
৩ × ক = ৫ × ১৫ [ক্রস-গুণ করি] 
৩ক = ৭৫
ক = ৭৫/৩
ক = ২৫ 

প্রশ্ন: যদি a : b = 3 : 5 এবং b : c = 5 : 6 হয়, তবে a : c = কত? 

সমাধান: 
a : b = 3 : 5 = 12 : 20
b : c = 5 : 6 = 20 : 24
সুতরাং, a : b : c = 12 : 20 : 24
∴ a : c = 12 : 24
= 1 : 2

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে লাল, হলুদ এবং নীল মার্বেলের সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ : ৭। যদি ১০ টি লাল মার্বেল, ১৫ টি হলুদ মার্বেল এবং কিছু সংখ্যক নীল মার্বেল যোগ করা হয়, তাহলে অনুপাতটি ৩ : ৪ : ৫ হয়। কতটি নীল মার্বেল যোগ করা হয়েছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
অনুপাত ৪ : ৫ : ৭
ধরি, লাল মার্বেল = ৪k টি, হলুদ মার্বেল = ৫k টি এবং নীল মার্বেল = ৭k টি

এখন, 
যোগ করার পর মার্বেলের সংখ্যা হয়,লাল = ৪k + ১০, হলুদ = ৫k + ১৫ এবং নীল = ৭k + x  ; [x = যোগকৃত নীল মার্বেল] 

প্রশ্নমতে, 
(৪k + ১০) : (৫k + ১৫) : (৭k + x) = ৩ : ৪ : ৫

প্রথম দুটি অংশের অনুপাত থেকে পাই, 
⇒ (৪k + ১০)/(৫k + ১৫) = ৩/৪
⇒ ৪(৪k + ১০) = ৩(৫k + ১৫)
⇒ ১৬k + ৪০ = ১৫k + ৪৫
⇒ ১৬k - ১৫k = ৪৫ - ৪০
∴ k = ৫

আবার, 
k = ৫ এর মান দ্বিতীয় ও তৃতীয় অংশের বসিয়ে পাই,
⇒ (৫k + ১৫)/(৭k + x) = ৪/৫
⇒ (৫ × ৫ + ১৫)/(৭ × ৫ + x) = ৪/৫
⇒ ৪০/(৩৫ + x) = ৪/৫
⇒ ৪০ × ৫ = ৪(৩৫ + x)
⇒ ২০০ = ১৪০ + ৪x
⇒ ৪x = ৬০
∴ x = ১৫

সুতরাং, যোগ করা নীল মার্বেলের সংখ্যা = ১৫টি

ধরি, চিনি ও দুধের মোট পরিমাণ অর্থাৎ ক্ষীরের পরিমাণ = ক কেজি
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪
∴ ক্ষীরে চিনির পরিমাণ = ক এর (১/৪)
বা, ২ = ক এর (১/৪)
বা, ক = (৪×১)/১ = ৮ কেজি
∴ ক্ষীরের পরিমাণ = ৮ কেজি

গয়নায়, সোনা ও তামার অনুপাত = ৪ঃ১
∴ অনুপাতের সমষ্টি = ৫
∴ সোনার পরিমাণ = ২০×(৪/৫) = ১৬ গ্রাম,
তামার পরিমান = ৪ গ্রাম
ধরি,
নতুন a গ্রাম সোনা মিশাতে হবে,
∴ (১৬ + a)/৪ = ৬/১
বা, ১৬ + a = ২৪
∴ a = ৮

প্রশ্ন: করিম সাহেব ও তার স্ত্রীর পুরস্কারের ১০০০ টাকা ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করলেন। স্ত্রী তার অংশের টাকা নিজের, তার মা এবং তার মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করলে স্ত্রীর মা কত টাকা পাবে?

সমাধান: 
করিম সাহেব ও তার স্ত্রীর পুরস্কারের টাকার অনুপাতদ্বয়ের সমষ্টি = ( ১ + ৪) = ৫
∴ স্ত্রীর অংশ = ১০০০ × (৪/৫) টাকা
= ৮০০ টাকা 

আবার, 
স্ত্রী নিজের, তার মা এবং তার মেয়ের মধ্যে ভাগকৃত অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ( ২ + ১ + ১) = ৪
∴ স্ত্রীর মার অংশ = ৮০০ × (১/৪) টাকা
= ২০০ টাকা

∴ স্ত্রীর মা পাবে = ২০০ টাকা।

ধরি, চিনি ও দুধের মোট পরিমাণ অর্থাৎ ক্ষীরের পরিমাণ = ক কেজি
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪
∴ ক্ষীরে চিনির পরিমাণ = ক এর (১/৪)
বা, ২ = ক এর (১/৪)
বা, ক = (৪×১)/১ = ৮ কেজি
∴ ক্ষীরের পরিমাণ = ৮ কেজি

প্রশ্ন: ১৬ : ৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোনো সরল অনুপাতের পূর্ব রাশির বর্গমূলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশির বর্গমূলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে প্রদত্ত অনুপাতের দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়।

∴ ১৬ : ৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত = √১৬ : √৯ = ৪ : ৩

প্রশ্ন: দুইটি কলমের মূল্যের অনুপাত ৩:৪। দ্বিতীয় কলমটির মূল্য ১২৮ টাকা হলে, প্রথম কলমটির মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দ্বিতীয় কলমের মূল্য = ১২৮ টাকা।

এখন,
প্রথম কলমের মূল্য = দ্বিতীয় কলমের মূল্যের ৩/৪ গুণ।

∴ প্রথম কলমের মূল্য = (১২৮ এর ৩/৪) টাকা 
= ৯৬ টাকা।

∴ প্রথম কলমের মূল্য = ৯৬ টাকা।

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ৪০% ছাত্র। ছাত্রদের ৩০% এবং ছাত্রীদের ২০% ডিবেটিং ক্লাবে যােগ দিলে মােট ছাত্রছাত্রীর কত শতাংশ ডিবেটিং ক্লাবে যােগ দিল?

সমাধান:
ধরি, মোট ছাত্র-ছাত্রী = ১০০ জন
৪০% ছাত্র হলে, ছাত্রী = ৬০%

ছাত্র যোগ দেয় = ৪০ × ৩০% = ৪০ × (৩০/১০০) = ১২ জন
ছাত্রী অংশ নেয় = ৬০ × ২০% = ৬০ × (২০/১০০) =  ১২ জন

∴ ডিবেটিং ক্লাবে মোট  ছাত্র-ছাত্রী যোগ দেয় = ১২ + ১২ = ২৪%

সেলিম ও আবুলের অনুপাতদ্বয়ের যোগফল (৪ + ১) = ৫
সুতরাং, সেলিম পায় (৪০০০ × ৪)/৫ টাকা = ৩২০০ টাকা

সেলিম এবং তার ছেলে ও মেয়ের অনুপাতত্রয়ের সমষ্টি (৩ + ৩ + ২) = ৮
সুতরাং, মেয়ে পায় (৩২০০ × ২)/৮ = ৮০০ টাকা

প্রশ্ন: ৪ : ৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
৪ : ৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত = √৪ : √৯ 
= ২ : ৩

প্রশ্ন: ৩০ কে ৫ : ৩ অনুপাতে বৃদ্ধি করলে নতুন সংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
নতুন সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
ক : ৩০ = ৫ : ৩
বা, ক/৩০ = ৫/৩
বা, ক = (৩০ × ৫)/৩
∴ ক = ৫০

∴ নতুন সংখ্যা = ৫০

অনুপাত দুটির যোগফল = ৩ +২ = ৫ গ্রাম
সোনার পরিমান ১৫ গ্রাম, তামার পরিমান ১০ গ্রাম
ধরি, সোনা মিশাতে হবে x গ্রাম, তাহলে,
(১৫ + x )/১০ = ৫/১
১৫ + x = ৫০
x = ৩৫

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ১ এবং পার্থক্য ১০। ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
∴ বড় সংখ্যাটি = ক + ১০

প্রশ্নমতে,
(ক + ১০)/ক = ৩/১
বা, ক + ১০ = ৩ক
বা, ২ক = ১০
বা, ক = ৫

সুতরাং ছোট সংখ্যাটি হলো = ৫

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ১২ ও ২৭ হলে, মধ্য সমানুপাতী নির্ণয় করুন।

সমাধান:
এখানে, ১ম রাশি = ১২ এবং ৩য় রাশি = ২৭

আমরা জানি,
১ম রাশি × ৩য় রাশি = (২য় রাশি)^২
বা, ১২ × ২৭ = (২য় রাশি)^২
বা, (২য় রাশি)^২ = ৩২৪
বা, ২য় রাশি = √৩২৪
∴ ২য় রাশি = ১৮

∴ নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতী = ১৮

এই অঙ্ক গুলো শর্টকাট নিয়মে খুব দ্রুত করা যায়,
সোনা মেশাতে হবে = (দ্বিতীয় অনুপাতের পরিবর্তিত রাশি - প্রথম অনুপাতের রাশি)/(প্রথম অনুপাতের রাশিদ্বয়ের যোগফল) × মোট পরিমাণ
= (৭-৫)/(৫+৩) × ৪০
= ২/৮ × ৪০
= ১০ গ্রাম।

এসিডঃপানি = ৭ঃ৩
অনুপাতের রাশিদ্বরের যোগফল = ৭ + ৩ = ১০
এসিডের পরিমাণ = ( ৩০ × ৭/১০ ) = ২১ লিটার
পানির পরিমাণ = ( ৩০ × ৩/১০ ) = ৯ লিটার
নতুন মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ ঠিক থাকবে আর পানির পরিমাণ বৃদ্ধি পাবে।
ধরি, ক পরিমাণ পানি মিশ্রিত করতে হবে।
∴ ২১ঃক = ৩ঃ৭
⇒ ক = ( ২১ × ৭ )/৩ = ৪৯
পানি মিশ্রিত করতে হবে ( ৪৯ - ৯ ) = ৪০ লিটার।
  

প্রশ্ন: একটি আলমারি ও একটি টেলিভিশনের দামের অনুপাত ৫ : ৪ । যদি টেলিভিশনের থেকে আলমারির দাম ৮০০০ টাকা বেশি হয় তাহলে টেলিভিশনের দাম কত?

সমাধান:
ধরি,
আলমারির দাম = ৫ক টাকা 
টেলিভিশনের দাম = ৪ক টাকা 

প্রশ্নমতে,
৫ক - ৪ক = ৮০০০
বা, ক = ৮০০০

∴ টেলিভিশনের দাম = (৪ × ৮০০০) টাকা = ৩২০০০ টাকা 

প্রশ্ন: দুইজন ছাত্রের গণিতে প্রাপ্ত নম্বর এর অনুপাত ৩ : ১। প্রথম ছাত্র ৫ নম্বর কম ও দ্বিতীয় ছাত্র ১০ নম্বর বেশি পেলে তাদের অনুপাত হবে ২ : ১। তাদের প্রাপ্ত নম্বরের পার্থক্য কত?

সমাধান:
ধরি,
তাদের নম্বর যথাক্রমে ৩ক ও ক

প্রশ্নমতে,
৩ক - ৫ : ক + ১০ = ২ : ১
বা, ৩ক - ৫ = ২ক + ২০
বা, ৩ক - ২ক = ২০ + ৫
∴ ক = ২৫

প্রথম ছাত্রের নম্বর = (২৫ × ৩) = ৭৫
দ্বিতীয় ছাত্রের নম্বর = ২৫
নম্বরের পার্থক্য = ৭৫ - ২৫ = ৫০

ধরি,
সংখ্যা তিনটি ৩a, ৫a, ৬a
∴ (৫a)^২ - (৩a)^২ = ৪০০
বা, ২৫a^২ - ৯a^২ = ৪০০
বা, ১৬a^২ = ৪০০
বা, a^২ = ২৫
∴ a = ৫
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৬a
= ৬×৫
= ৩০

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৩ + ৭ + ১০ = ২০
১ম টুকরার সাইজ = ৬০ এর ৩/২০ = ৯ মিটার
২য় টুকরার সাইজ = ৬০ এর ৭/২০ = ২১ মিটার
৩য় টুকরার সাইজ = ৬০ এর ১০/২০ = ৩০ মিটার

টিপুর বয়স=ক বছর 
টিপুর বোনের বয়স= খ বছর 
টিপুর বাবার বয়স =গ বছর 

সমানুপাতীর সূত্রানুসারে 
ক : খ = খ : গ 
ক/খ = খ /গ 
খ^২ = ক × গ 
খ = √(১২ X ৪৮) 

টিপুর বোনের বয়স = ২৪ বছর