রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

কোন বস্তু কণা বৃত্তাকার পথে ঘুরে আসলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে পরিধি 2πr
অর্থাৎ, 3 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি = 2.π.3 = 6π
অর্ধেক পথ ঘুরলে অর্ধ-পরিসীমা বা 6π/2 = 3π দূরত্ব অতিক্রম করে।

ΔABC এ, AB = AC
∴ ∠ABC = ∠ACB
বা, y = 4x

এখন, 4x + 8y = 180°
বা, 4x + 8.4x = 180°
বা, 4x + 32x = 180°
বা, 36x = 180°
∴ x = 5°
∴ y = 4x = 4.5° = 20°

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৪ ডিগ্রি বেশি হলে কোণটির মান কত হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
কোণটির মান = ক
তাহলে, এর পূরক কোণ হবে = ৯০° - ক

প্রশ্নমতে, 
ক - ২৪° = ৯০° - ক
⇒ ক + ক = ৯০° + ২৪°
⇒ ২ক = ৯০° + ২৪°
⇒ ক = ১১৪°/২
∴ ক = ৫৭° 

∴ কোণটির মান = ৫৭° ।

প্রশ্ন: ২৬৯° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- তাই ২৬৯° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

প্রশ্ন: রেখা'র ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি বর্ণনা নিম্নরূপ: 
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

বৃত্তের ব্যাস = 2r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক
3 গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = 3.2r একক
= 6r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 একক
= 3r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r)² বর্গ একক
= 9πr² বর্গ একক
= 9 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল
অর্থ্যাৎ, বৃত্তের ক্ষেত্রফল 9 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে এবং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব ৫ সে.মি.। বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সে.মি. হলে, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে, অর্থাৎ ছোট বৃত্তটি বড় বৃত্তের ভিতরে আছে এবং তারা একটি বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = ৫ সে.মি.
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, R = ১৪ সে.মি.
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ? সে.মি.

অন্তঃস্থ স্পর্শের ক্ষেত্রে, কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হলো, 
দূরত্ব = বড় ব্যাসার্ধ - ছোট ব্যাসার্ধ
৫ = R - r
⇒ ১৪ - r = ৫
⇒ r = ১৪ - ৫
∴ r = ৯ সে.মি.

সুতরাং, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৯ সে.মি.। 

প্রশ্ন: ৪ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = ব্যাসার্ধ × ২ = (৪ × ২) = ৮ সেমি

আমরা জানি,
বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ × ক সে.মি.

প্রশ্নমতে,
√২ × ক = ৮
⇒ ক = ৮/√২

∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (৮/√২)^২বর্গ সেমি
= ৬৪/২ বর্গ সেমি
= ৩২ বর্গ সেমি

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২০° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক°
বৃহত্তর কোণ = (ক + ২০)°

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = ৯০°

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ২০) = ৯০
বা, ২ক + ২০ = ৯০
বা, ২ক = ৯০ - ২০
বা, ২ক = ৭০
বা, ক = ৭০/২
∴ ক = ৩৫

অতএব, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো ৩৫°

∠A ও ∠B পরস্পর পূরক হলে, ∠A + ∠B = 90°
বা, ∠B + ∠B = 90° [যেহেতু ∠A = ∠B]
বা, 2∠B = 90°
বা, ∠B = 45°

ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য x মি
প্রশ্নমতে,
x² / (x²/4)
= x² × (4/x²)
= 4

অর্থ্যাৎ, একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের ৪ গুণ।

বর্গের ক্ষেত্রফল = ৯৮ বর্গমিঃ
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯৮
= ৭√২
∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৭√২ × √২
= ১৪ মিঃ
= বৃত্তের ব্যাস

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠POR = 150° যেখানে O বৃত্তের কেন্দ্র, তাহলে ∠PQR কত?

সমাধান:
কেন্দ্রীয় কোণ প্রধান বৃত্তীয় কোণের দ্বিগুণ।
এবং বৃত্তীয় চতুর্ভুজে বিপরীত কোণগুলির সমষ্টি 180° 

 এখন, 
∠POR = 2 × ∠PSR
⇒ ∠PSR = 150°/2 = 75°

আবার,
 ∠PQR + ∠PSR = 180°
⇒ ∠PQR + 75° = 180°
⇒ ∠PQR = 180° - 75°
∴ ∠PQR = 105°

∴ সঠিক উত্তর 105°

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের পার্থক্য 30° হলে তাদের মান কত?

সমাধান:
দুটি কোণ সম্পূরক হলে তাদের যোগফল হয় 180°।
ধরা যাক, কোণ দুটি x এবং y এবং x < y। 

তাহলে,
x + y = 180°
আবার,
y - x = 30°
 ⇒ y = x + 30°

প্রথম সমীকরণে y = x + 30° বসিয়ে পাই:
x + (x + 30°) = 180°
⇒ 2x + 30° = 180°
⇒ 2x = 150°
⇒ x = 75°

অতএব,
y = x + 30° = 75° + 30° = 105°

∴ (x, y) = (75°, 105°)

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 90 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 90
⇒ 2r(π - 1) = 90
⇒ r = 90/{2(π - 1)}
⇒ r = 45/{(22/7) - 1}
⇒ r = 45/{(22 - 7)/7}
⇒ r = 45/(15/7)
⇒ r = (45 × 7)/15
⇒ r = 21

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 21 সে.মি.

প্রশ্ন: a₁x + b₁y + c₁ = 0 এবং a₂x + b₂y + c₂ = 0 সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত কী?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a₁x + b₁y + c₁ = 0 ................... (১)
a₂x + b₂y + c₂ = 0 ................... (২) 

(১) নং সরলরেখার ঢাল = - (a₁/b₁)
(২) নং সরলরেখার ঢাল = - (a₂/b₂) 

দুইটি সরলরেখা লম্ব হওয়ার শর্ত,
ঢালদ্বয়ের গুণফল = - 1 
⇒ {- (a₁/b₁)} × {- (a₂/b₂)} = - 1
⇒ (a₁a₂)/(b₁b₂) = - 1
⇒ a₁a₂ = - b₁b₂
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ = 0

প্রশ্ন: দুটি রেখা 3x - 2y + 4 = 0 ও 6x - 4y + k = 0 সমান্তরাল হলে k এর মান কী হতে পারে?

সমাধান:
প্রদত্ত দুটি রেখা হলো;
(1) 3x - 2y + 4 = 0
(2) 6x - 4y + k = 0

দুটি রেখা সমান্তরাল হবে তখনই, যখন তাদের ঢাল (slope) সমান হয়।
রেখা Ax + By + C = 0 এর ঢাল হলো m = - A/B

এখন দুই রেখার ঢাল বের করি
প্রথম রেখার জন্য,
m₁ = (- 3)/(- 2) = 3/2
​দ্বিতীয় রেখার জন্য,
m₂ = (- 6)/(- 4) = 3/2

অতএব, m₁ = m₂
অর্থাৎ দুই রেখার ঢাল সমান, তাই তারা সমান্তরাল হবে।
এখন k এর মানের ওপর ঢাল নির্ভর করে না, কারণ k কেবলমাত্র ধ্রুবক, যা রেখার অবস্থান পরিবর্তন করে কিন্তু ঢাল পরিবর্তন করে না।

∴ যেকোনো মান হতে পারে।
∴ সঠিক উত্তর : (ঘ)

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = (1/4) πd²
এই সূত্র থেকে দেখা যায় যে ৪ গুণ ব্যাস বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

সমকোণী ‍ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
১৩² = ১২² + ৫²
১৬৯ = ১৬৯
ইহা একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

এখানে,
AB = 16
∴ AD = (1/2) AB = 8 cm
CD = 6 c.m,
ব্যসার্ধ AC = ?
∴ AC² = AD² + CD²
= 8² + 6²
= 64 + 36
= 100
AC² = 100
∴ AC = 10
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(10)²
= 100π

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চারটি কোণ যথাক্রমে x, 3x, 4x, 4x হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 360°

শর্তমতে,
x + 3x + 4x + 4x = 360°
⇒ 12x = 360°
⇒ x = 360°/12
∴ x = 30°

∴ বৃহত্তম কোণের মান = 4 × 30°
= 120°

প্রশ্নমতে,
πr² = ২৫.79
বা, r = ২.৮৬৫ মি.
∴ পরিধি = ২πr = ২π×২.৮৬৫ = ১৮.০০১ মি. বা ১৮ মি. প্রায়

(x-4)² + (y+3)² = 100
(x-(4))² + (y- (-3))² = 10²
কেন্দ্র (4, -3) {বৃত্তের সমীকরন (x-a)² + (y-b)² = C²}

চিত্র থেকে পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে বৃত্তের ব্যাসার্ধ -
OB = √(12²+5²)
= √(144+25)
= √169
= 13

প্রশ্ন: নিচের কোনটি স্থূলকোণ? 

সমাধান:
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- ৯০° < কোণ < ১৮০° হলে সেটি স্থূলকোণ।

∴ ১২৫° কোণ স্থূলকোণ।

প্রশ্ন: দুটি টায়ারের ব্যাসার্ধের অনুপাত 1 : 2। ছোট টায়ারের (বৃত্তাকার) ক্ষেত্রফল ২০০ বর্গ সে. মি. হলে বড় টায়ারের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.?

সমাধান:
টায়ারের ক্ষেত্রফল বলতে এখানে বৃত্তাকার পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বোঝানো হয়েছে,

আমরা জানি, 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ধরি, ছোট টায়ারের ব্যাসার্ধ = r সে. মি.
বড় টায়ারের ব্যাসার্ধ = 2r সে. মি. (অনুপাত 1 : 2)।

∴ ছোট টায়ারের ক্ষেত্রফল, πr² = 200 বর্গ সে. মি.

∴ বড় টায়ারের ক্ষেত্রফল = πr² = π(2r)² = 4πr² = 4 × 200 = 800 বর্গ সে. মি.

সুতরাং, বড় টায়ারের ক্ষেত্রফল 800 বর্গ সে. মি.।

প্রশ্ন: একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরল রেখার দৈর্ঘ্য x একক
সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ x² বর্গএকক

সরল রেখার অর্ধেক = x/2 একক
সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গ (x/2)² বর্গএকক
= x²/4 বর্গএকক

এখন,
x²/(x²/4)
= (x² × 4)/x²
= 4

অর্থ্যাৎ, একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের 4 গুণ।

y = - x সমীকরণ x, y এর ঘাত (power) এক যা একাধিক সরলরেখা।

প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ৩৪° ও ৫৬°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°

ধরি,
৩য় কোণটি ‘ক’

প্রশ্নমতে,
⇒ ৩৪° + ৫৬° + ক = ১৮০°
⇒ ৯০° + ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০° - ৯০°
∴ ক = ৯০°

অর্থাৎ তৃতীয় কোণ ৯০°, যা একটি সমকোণ।
সুতরাং, ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রী?

সমাধান: 
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। 
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান। 
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান। 
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ১.২৫ মিটার। ২ কিলোমিটার ৫০০ মিটার পথ চলতে চাকার মোট ঘূর্ণনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
এখানে,
চাকার পরিধি = ১.২৫ মিটার
দূরত্ব = ২ কিমি ৫০০ মিটার
= ২০০০ + ৫০০= ২৫০০ মিটার

১.২৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরবে = ১ বার
∴ ১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরবে = (১/১.২৫) বার
∴ ২৫০০ মিটার যেতে চাকা ঘুরবে = (২৫০০ ÷ ১.২৫) বার
= (২৫০০ × ১০০)/১২৫
= ২০০০ বার

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৩.৫ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরে গিয়ে মিলিত হবে? 

সমাধান: 
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।