রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

আমরা জানি, বৃত্তের সমীকরণ,(x - g)² + (y - f)² = r² যেখানে (g, f) বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক।
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ (x - 4)² + (y + 3)² = 100 এ কেন্দ্রীয় স্থানাংক(4, -3).

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 28 সে.মি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 28 সে.মি.

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= {(22/7) × 28} + (2 × 28)
= (22 × 4) + 56
= 88 + 56
= 144 সে.মি । 

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণ অপেক্ষা 132° কম হলে কোণটির মান কত?

সমাধান:
মনে করি,
কোণটির মান = ক 

প্রশ্নমতে,
(180° - ক) - ক = 132°
⇒ 180° - 2ক = 132°
⇒ 2ক = 180° - 132°
⇒ 2ক = 48°
⇒ ক = 48°/2
⇒ ক = 24°

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 30° বেশি হলে, কোণটি কত? 

সমাধান: 
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 
ধরি, 
কোণটি = x
∴ পূরক কোণ = 90° - x 

শর্তমতে, 
x = 90° - x + 30° 
বা, x + x = 120°
বা, 2x = 120°
বা, x = 120°/2
∴ x = 60° 

∴ কোণটির মান = 60° ।

এখানে d₂ = 5d₁
আমরা জানি,
a₁ = π/4×d₁²
এবং a₂ = π/4×d₂² = π/4×(5d₁)² = 25×π/4×d₁² = 25a₁

প্রশ্ন: ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 
∴ ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০° । 

ব্যাস 2r হলে, পরিধি = 2Πr
আবার, বৃত্তের ব্যাস 20r হলে, পরিধি হবে 20Πr
∴ 20Πr/2Πr = 10
অর্থ্যাৎ, 10 গুণ বৃদ্ধি পেয়েছে।

প্রশ্ন: 11 সে.মি.ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত উক্ত বৃত্তের কোন জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.? 

সমাধান:
 
দেয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = 11 সে.মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব (d) = 5 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
জ্যা-এর অর্ধেক = √(r² - d²)
= √(11² - 5²)
= √(121 - 25)
= √96
= √(16 × 6)
= 4√6 সে.মি.

∴ জ্যা-এর সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = 2 × 4√6
= 8√6 সে.মি.

চিত্রে, y = 45° + 180° [অনুরূপ কোণ + সরলকোণ]
= 225°
z = 180° - 32° [যেহেতু, z + 32° = 180°]
= 148°
এবং x = 32° [অনুরূপ কোণ]
সুতরাং y - z - x = 225° - 148° - 32°
= 45°

ধরি,
ভূমি = a,
লম্ব = b
∴ 1/2 × a × b = 30
বা, ab = 60
আবার,
a - b = 7
বা, (a - b)² = 7² = 49
বা, a² + b² - 2ab = 49
বা, a² + b² = 49 + 2.60
                 = 169
∴ অতিভূজ = √(a² + b²)
= √169
= 13 সেঃমিঃ

প্রশ্ন: ΔABC-এ, ∠A = 40°, ∠C = 80° এবং BC || DE হলে, ∠BDE = ?


সমাধান:
BC || DE এবং AC ছেদক।
∴ ∠AED = ∠C = 80°

বহিস্থ কোণ অন্তঃস্থের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ ∠BDE = ∠A + ∠AED
⇒ ∠BDE = 80° + 40°
∴ ∠BDE = 120°

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের ২টি কোণের অনুপাত ৩ : ৫ এবং তৃতীয় কোণ ৪৪° 

প্রশ্নমতে, ৩ক + ৫ক + ৪৪° = ১৮০°
বা, ৮ক = ১৮০° - ৪৪°
বা, ক = ১৩৬/৮ = ১৭

∴ ছোট কোণের মান = ৩ × ১৭ = ৫১°

বর্গের ক্ষেত্রফল = ১৬ বর্গ সে. মি.
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪ সে. মি.
বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ = ৪√২ সে. মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ২√২ সে. মি.
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = Π(২√২)^২= ৮Π ব্যাসার্ধ

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির পার্থক্য 90 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r 
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নানুসারে,
2πr - 2r = 90
⇒ 2r(π - 1) = 90
⇒ r = 90/{2(π - 1)}
⇒ r = 45/{22/7) - 1}
⇒ r = 45/(15/7) 
∴ r = 21 সে.মি.

∴ নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 21 সে.মি.। 

x = 360° - 110°
= 250°
যা 180° থেকে বড় এবং 360° থেকে ছোট অর্থাৎ প্রবৃদ্ধকোণ

- আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক বা একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 60° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 120°।

প্রশ্ন: বিন্দুর সঞ্চারপথকে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
রেখা (line): 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়। 
অথবা, বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে। 
- সরলরেখাকে সংক্ষেপে রেখা বলে। 
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
- রেখা প্রধানত দুই প্রকার।
যথা- ক) সরলরেখা এবং খ) বক্ররেখা।

“বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোন জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।”
অর্থাৎ, অপর জ্যা-টি ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে। সুতরাং, এই জ্যা এর দৈর্ঘ্যও ৮ সে.মি.। আবার,
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
অন্যদিকে, জ্যা দুটি সমান্তরাল হতেও পারে আবার না ও হতে পারে।

১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πa²
∴ ব্যাসার্ধ = a
২য় বৃত্তের পরিধি = 2πb
∴ ব্যাসার্ধ = b
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = a + b

y - 2x + 3 = 0
বা, y = 2x - 3 কে y = mx + c সাথে তুলনা করে পাই, m = 2
∴ ঢাল = 2

প্রশ্ন: একটি চাকা মিনিটে 150 বার ঘোরে। 2 সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 মিনিট = 60 সেকেন্ড

∴ 60 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 150 বার
1 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 150/60 বার
= 5/2 বার

∴ 2 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = (5/2) × 2
= 5 বার

আবার, আমরা জানি,
চাকাটি 1 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360°
∴ চাকাটি 5 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360° × 5
= 1800°

অতএব, 2 সেকেন্ডে চাকাটি 1800° ঘুরবে।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, OA = 13 cm
কেন্দ্র O থেকে AB জ্যা এর লম্ব দূরত্ব, OD = 5 cm
∴ OD² + AD² = OA²
বা, AD² = OA² - OD² = 13² - 5² = 12²
∴ AD = 12 বা, AB = 2.AD = 24 cm

প্রশ্ন: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে কী উৎপন্ন হয়? 

সমাধান: 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়।

রেখার কিছু সাধারণ বৈশিষ্ট্য: 
• রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
• দুই দিকেই অসীম প্রসারিত করা যায়।
• রেখার নির্দিষ্ট কোনো দিক নেই। 
• রেখা প্রধানত দুই প্রকার। যথা- ক) সরলরেখা এবং খ) বক্ররেখা।

ব্যাসার্ধ = 6 একক
∴ ক্ষেত্রফল = π(6)² = 36π বর্গ একক

প্রশ্ন: যদি দুটি রেখা সমকোণে মিলিত হয়, তবে তারা কী নামে পরিচিত?

সমাধান:
 

- দুটি রেখা যদি সমকোণে (৯০° কোণে) মিলিত হয়, তবে তারা লম্ব রেখা নামে পরিচিত।
- লম্ব রেখা একে অপরকে নির্ভুলভাবে ৯০° কোণে ছেদ করে।
- লম্ব রেখাকে '⊥ 'প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেমন: রেখা L₁ রেখা L₂-এর ওপর লম্ব হলে লেখা হয় L₁ ⊥ L₂

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

সমাধান:

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে ৪টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যাবে।
AB, CD, EF, GH চারটি স্পর্শক। 

প্রশ্ন: 3 সেন্টিমিটার ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের মধ্যে একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কিত আছে। বর্গক্ষেত্রের বাইরে কিন্তু বৃত্তের ভেতরে যে অংশটি অবস্থিত, সেই আবৃত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

সমাধান:

প্রথমত,
ধরি, প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 3 সে.মি
∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 3² বর্গ সে.মি
= 9π বর্গ সে.মি

আবার
ABCD এ AC = 6 সে.মি.

আমরা জানি
AC² = AB² + BC²
⇒ AB² + AB² = AC²
⇒ 2AB² = 6²
⇒ 2AB² = 36
∴ AB² = 18

বর্গক্ষেত্রের বহিঃস্থ এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = 9π - 18 বর্গ সে.মি

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ২য় কোণের তিনগুন এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০° বড় হয় তবে ২য় কোণটি কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
ধরি,
২য় কোণ = ক
একটি কোণ = ৩ক
৩য় কোণ = ক + ৩০°

শর্তমতে,
ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০° - ৩০°
⇒ ক = ১৫০°/৫
∴ ক = ৩০°

∴ ২য় কোণ = ৩০° ।

ধরি, সরলরেখার দৈর্ঘ্য ৩ একক।
তবে এর এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১ বর্গ একক।
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩ × ৩) = ৯ বর্গ একক
∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের (৯ / ১) = ৯ গুণ

একটি রেখার প্রান্ত বিন্দুতে অপর একটি সরলরেখা মিলিত হলে যে দু’টি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।
এটি অনুসিদ্ধান্ত।