রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

কোণগুলোর অনুপাত ৩ঃ৩ঃ৪ সুতরাং, ২টি কোণ পরস্পর সমান ফলে সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
∴ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু

প্রশ্ন: একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষা ১৮ ডিগ্রি বেশি হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান:
মনে করি, কোণটির মান = ক ডিগ্রি
∴ পূরক কোণ = (৯০ − ক) ডিগ্রি

প্রশ্নমতে,
ক = (৯০ − ক) + ১৮
⇒ ক + ক = ৯০ + ১৮
⇒ ২ক = ১০৮
⇒ ক = ১০৮ ÷ ২
⇒ ক = ৫৪

∴ কোণটির মান = ৫৪°

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?
সমাধান:
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- যে কোণের পরিমাপ ৩৬০° (চার সমকোণ) এর সমান, তাকে পূর্ণকোণ (Complete Angle) বলে।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে।
- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে।

• ২৬০° কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: 5x - 2y = 10 রেখাটি y- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাংক-

সমাধান: 
প্রদত্তরেখা 5x - 2y = 10
y -অক্ষের ছেদবিন্দুতে x = 0
∴ - 2y = 10
⇒ 2y = - 10
⇒ y = - (10/2)
∴ y = - 5
∴ y- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাং = (0, - 5)

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম কতটি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান: 

- একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম দুইটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
কারণ, ত্রিভুজের বাহু অবশ্যই বৃত্তের দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে উহা ছেদক হবে।

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ ব্যাসার্ধ = 3r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²
∴ ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রদত্ত চিত্রে PQ = PR সুতরাং PQR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∠PQR = ∠PRQ = 55°
∠LRN = 90° হলে ∠NRQ = 90°
সুতরাং ∠NRP = ∠NRQ - ∠PRQ = 90° - 55° = 35°

ধরি,
ΔABC এর বাহুর দৈর্ঘ্য AB = BC = AC = a
এবং দেওয়া আছে, ত্রিভুজের পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ, R = ৬ সেঃমিঃ
∴ ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে, a/SinA = 2R
বা, a = 2RSinA
∴ a = ২.৬(Sin৬০°)
= ১২ × (√(৩)/২)
= ৬√৩
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = {√(৩)/৪}a²
= {√(৩)/৪}(৬√৩)²
= {√(৩)/৪} × ১০৮
= ২৭√৩

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের ৭ গুণ হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি কোণ = ক
তাহলে, সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ক

শর্তমতে,
ক = ৭(১৮০° - ক)
বা, ক = ১২৬০° - ৭ক
বা, ক + ৭ক = ১২৬০°
বা, ৮ক = ১২৬০°
বা, ক = ১৫৭.৫°

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য ৩০ সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, বৃত্তের ব্যাস = ২r
এবং বৃত্তের পরিধি = ২πr

প্রশ্নমতে,
২πr - ২r = ৩০
⇒ ২r(π - 1) = ৩০
⇒ ২r{(২২/৭) - 1} = ৩০
⇒ ২r{(২২ - ৭)/৭} = ৩০
⇒ ২r(১৫/৭) = ৩০
⇒ r = (৩০ × ৭)/(২ × ১৫)
⇒ r = ২১০/৩০
∴ r = ৭

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সেমি।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তস্থ বর্গের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 সে.মি. হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
বৃত্তস্থ বর্গের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = 2 সে.মি.
যদি একটি বর্গ বৃত্তস্থ হয়, তবে বৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ 

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √(2² + 2²)
= √(4 + 4)
= √8
= 2√2 সে.মি.
অতএব, বৃত্তের ব্যাস = 2√2 সে.মি.

এখন, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = (2√2)/2 = √2 সে.মি.

আমরা জানি, 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π × (√2)² = 2π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 75° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ: যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।

∴ 75° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = 75°

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
-অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সরলকোণের অর্ধেক।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান ৯০°

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৪৫° ও ৫৫° হয়, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
এখানে,
ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৪৫° ও ৫৫°
ত্রিভুজের তৃতীয় অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - (৪৫° + ৫৫°)
= ১৮০° - ১০০°
= ৮০°

আবার,
বহিঃস্থ কোণ এবং তার সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণের যোগফল ১৮০° হয়।
∴ বহিঃস্থ কোণ + সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ + ৮০° = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ  = ১৮০° - ৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ  = ১০০°

অন্যভাবে বলা যায়,
ত্রিভুজের কোনো বহিঃস্থ কোণ = দুটি বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টির সমান।
যেহেতু,
ত্রিভুজটির দুটি অন্তঃস্থ কোণ = ৪৫° + ৫৫°
= ১০০° 
∴ ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ = ১০০°

প্রশ্ন: একটি দড়িকে বৃত্তাকারে বাঁকালে তার ব্যাসার্ধ হয় ২১ সে.মি.। এখন যদি দড়িটি দিয়ে একটি আয়তক্ষেত্র বানানো হয়, যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ১, তাহলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ২১ সেমি
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ২১
= ১৩২ সেমি

আবার,
ধরি, আয়তক্ষেত্রের
দৈর্ঘ্য = ৩ক এবং প্রস্থ = ক

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(৩ক + ক) = ৮ক

প্রশ্ন অনুসারে,
⇒ ৮ক = ১৩২
∴ ক = ১৩২ ÷ ৮ = ১৬.৫
∴ প্রস্থ = ক = ১৬.৫ সে.মি.
তাহলে,
দৈর্ঘ্য = ৩ক = ৩ × ১৬.৫ = ৪৯.৫ সে.মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= ৪৯.৫ × ১৬.৫
= ৮১৬.৭৫ বর্গ সে.মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৮১৬.৭৫ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল 81π বর্গ সে.মি. হলে, বৃত্তের পরিসীমা কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 81π বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 81π
⇒ r² = 81 = 9²
⇒ r = 9

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π × 9
= 18π সে.মি.

প্রশ্ন: 24 সে.মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 সে.মি.
∴ ABCD বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 24/4
= 6 সে.মি.

আমরা জানি, কোনো বৃত্তে বর্গ অন্তর্লিখিত থাকলে বর্গের কর্ণই হয় বৃত্তের ব্যাস।
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ = বাহু√2 
= 6√2 সে.মি.

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = (6√2) / 2 = 3√2 সে.মি.

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = πr²
= π × (3√2)²
= π × 9 × 2
= 18π বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, ১০² = ৮² + ভূমি²
∴ ভূমি = ৬ মিটার
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা = (১/২) × ৬ × ৮ = ২৪ বর্গ মিটার

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)× লম্ব × ভূমি = (1/2)× 0.0001 × 0.0002 = 1x10^-8

প্রশ্ন: বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে একটি বৃত্তে কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?

সমাধান:
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

প্রশ্ন: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে কী উৎপন্ন হয়? 

সমাধান: 
রেখা (line): 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়। 
- অথবা বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে। 
- সরলরেখাকে সংক্ষেপে রেখা বলে। 
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই। 
- রেখা প্রধানত দুই প্রকার। 
যথা- ক) সরলরেখা এবং খ) বক্ররেখা।

প্রশ্ন: ১০০° কোণটি হলো-

সমাধান:
স্থুলকোণ: ৯০° থেকে বড় এবং ১৮০° থেকে ছোট কোণকে স্থুলকোণ বলে।

∴ ১০০° কোণটি হলো স্থুলকোণ।

প্রশ্ন: রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে?

সমাধান: 
রশ্মি (Ray): 
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রেখা (Line): 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই। 

রেখাংশ: 
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।

ধরি, ব্যাসার্ধ ১০০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(১০০)² = ১০০০০π
ব্যাসার্ধ ১০% কমালে = ৯০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(৯০)² = ৮১০০π
ক্ষেত্রফল হ্রাস = (১০০০০π - ৮১০০π) বা ১৯০০π
ক্ষেত্রফল শতকরা কমবে = (১৯০০/১০০০০) x ১০০ = ১৯%

৩ এবং ৪ এর ল.সা.গু = ১২
তাহলে, ১ বার বেশি ঘুরবে = ১২ মিটার গেলে
∴ ১০০ বার বেশি ঘুরবে = ১২ × ১০ = ১২০০ মিটার = ১.২ কি.মি. পথ গেলে

প্রশ্ন: 96 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 96 মিটার
∴ ABCD বর্গক্ষেত্রের বাহু = 96/4 = 24 মিটার

বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হলে,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস

এখন, কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2
= 24√2 মিটার

∴ ব্যাসার্ধ = (24√2)/2
= 12√2 মিটার

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π(12√2)²
= π × 144 × 2
= 288π বর্গমিটার

∠x + ∠2x = 180° (সরল কোণ)
∴ ∠x = 60°
2y = x = 60° ( পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ)
∴ y = 30°

মনে করি, O হতে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য OC সেমি।
আমরা জানি কেন্দ্র O হতে জ্যা AB এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য OC উক্ত জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে।
তাই C হচ্ছে জ্যা AB এর মধ্যবিন্দু ।
AC = BC = (৮/২) মিটার = ৪ মিটার ।
OAC ত্রিভুজে, OC² + AC² = OA²
বা, OC² + ৪^২ = ৫^২
বা, OC² = ৯
বা, OC = ৩
কেন্দ্র O হতে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ৩ সেমি।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 15 সে. মি. এবং কেন্দ্রীয় কোণ 120° হলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r =15 সে. মি.
এবং কেন্দ্রীয় কোণ, θ = 120°

আমরা জানি,
বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল ​= (θ/360°) ​× πr²
= (120°/360°) ​× π × (15)²
 = (1/3)​ × π ​× 225
= 75π বর্গ সে. মি. (প্রায়)