রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: কয়টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যাবে? 

সমাধান: 
- জ্যামিতির মৌলিক নীতি অনুসারে, দুইটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যায়। 
- যেসব বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করে, তাদেরকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়। 
- একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্যই তার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব। 
- প্রান্তবিন্দুদ্বয় ছাড়া রেখাংশের যেকোনো বিন্দুকে ঐ রেখাংশের অন্তঃস্থ বিন্দু বলা হয়।

প্রশ্ন: একটি বিন্দুর চতুর্দিকের কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:

একটি বিন্দুর চতুর্দিকের মোট কোণের পরিমাণ চার সমকোণ।

অর্থাৎ কোণের পরিমাণ = ৪ × ৯০° = ৩৬০° 

• রেখার কোনো প্রান্তবিন্দু নাই।
• রশ্মির একটিমাত্র প্রান্তবিন্দু থাকে।
• রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
• একটি বিন্দু থেকে একাধিক রশ্মি আঁকা যায়।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16π মিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক 

শর্তমতে, 
2πr = 16π মিটার 
এবং, πr² = 64π বর্গ মিটার‌ 

এখন, 
πr²/2πr = 64π/16π 
বা, r/2 = 4 
∴ r = 8 

∴ বৃত্তের ব্যাস = (2 × 8) মিটার 
= 16 মিটার।

এখানে, বৃত্তের ব্যাস = ২r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২ বর্গ একক
৪ গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = ৪.২r একক
= ৮r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = ৮r/২ একক
= ৪r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(৪r)^২ বর্গ একক
= π × ১৬ × r² বর্গ একক
= ১৬ × বৃত্তের ক্ষেত্রফল

প্রশ্ন: 10 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান: 

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 10 সে.মি. 
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = 6 সে.মি.

এখন,
OAC সমকোণী ত্রিভুজে,
AC = √(OA² - OC²)
= √(10² - 6²)
= √(100 - 36)
= √64
= 8 সে.মি. 

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ জ্যা AB = 2 × AC 
= 2 × 8 সে.মি.
= 16 সে.মি.

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৩ : ৪ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি 
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

দেওয়া আছে,
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত = ২ : ৩ : ৩ : ৪
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ২ + ৩ + ৩ + ৪ = ১২

∴ প্রতিটি অনুপাতের মান = ৩৬০°/১২ = ৩০°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ২ × ৩০° = ৬০°

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r,
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2r
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = 4r²
∴ 4r² - πr² = 4 - π
বা, r²(4 - π) = 4 - π
বা, r² = 1
∴ r = 1

∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2r = 2×1 = 2

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 6² × 60°)/360°
= (π × 36 × 60°)/360°
= (π × 2160°)/360°
= 6π

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 6π বর্গসে.মি.

দুইটি কোণের পরিমাপ এর যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°

প্রশ্ন: x - 2y - 10= 0 এবং 2x + y - 3 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 2y - 10 = 0 এবং 2x + y - 3 = 0 

আমরা জানি,
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ, y = mx + c [যেখানে, m = ঢাল]

এখন,
প্রথম রেখার ঢাল:
x - 2y - 10 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 2y = x - 10
∴ y = (1/2)x - 5  
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল, m₁ = 1/2

আবার,
দ্বিতীয় রেখার ঢাল:
2x + y - 3 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ y = - 2x + 3  
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল, m₂ = - 2

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = m₁× m₂
= (1/2) × (- 2) = - 1  
এই দুটি রেখা পরস্পর লম্ব, কারণ তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1.

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (4r + r) = 5r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(5r)² =25πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 25πr² - πr² = 24πr²

∴ 24 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি চাকা ২.৬৪ কিলোমিটার পথ যেতে ৩০০ বার ঘুরে। চাকাটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
২.৬৪ কিলোমিটার = ২.৬৪ × ১০০০ = ২৬৪০ মিটার

চাকাটি ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ২৬৪০/৩০০ মিটার 
= ৮৮/১০ = ৪৪/৫ মিটার

∴ চাকাটির পরিধি = ৪৪/৫ মিটার

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = ২πr
⇒ ২πr = ৪৪/৫
⇒ r = ৪৪/(৫ × ২π)
⇒ r = ৪৪/{৫ × ২ × (২২/৭)}
⇒ r = ৪৪ × ৭/(৫ × ২ × ২২)
⇒ r = ৩০৮/(২২০)
⇒ r = ৭/৫
∴ r = ১.৪ মিটার

∴ চাকাটির ব্যাসার্ধ ১.৪ মিটার।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

সমাধান: 

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে ৪টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যাবে।
চিত্রে AB, CD, EF ও GH চারটি স্পর্শক।

প্রশ্ন: r বছর পূর্বে একজন লোকের বয়স ছিল s বছর। t বছর পর তার বয়স কত হবে?
​
সমাধান:
r বছর পূর্বে লোকটির বয়স ছিল s বছর। 
∴ লোকটির বর্তমান বয়স (r + s) বছর।
​
​অতএব,
​ t বছর পর লোকটির বয়স হবে (r + s + t) বছর। r বছর পূর্বে একজন লোকের বয়স ছিল s বছর। t বছর পর তার বয়স কত হবে?
​
সমাধান:
r বছর পূর্বে লোকটির বয়স ছিল s বছর। 
∴ লোকটির বর্তমান বয়স (r + s) বছর।
​
​অতএব,
​ t বছর পর লোকটির বয়স হবে (r + s + t) বছর।

প্রশ্ন: ৫০ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৭ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = ৭ সে.মি.
ব্যাস = ৫০ সে.মি.
ব্যাসার্ধ OB = ৫০/২ = ২৫ সে.মি.

AB জ্যা এর অর্ধাংশ = BC
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব = OC

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
OB² = OC² + BC²
⇒ BC² = OB² - OC²
⇒ BC = √(OB² - OC²)
⇒ BC = √{(২৫)^২ - (৭)^২}
⇒ BC = √(৬২৫ - ৪৯)
⇒ BC = √৫৭৬
⇒ BC = ২৪

∴ জ্যা AB এর দৈর্ঘ্য = BC × ২ = ২৪ × ২ = ৪৮ সে.মি.

আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক বা একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

প্রদত্ত কোনদ্বয়ের সমষ্টি = (৩৫ + ৫৫) বা ৯০°
তাহলে, অপর কোনটিও ৯০ কারন ত্রিভুজের তিনকোনের সমষ্টি ১৮০°
যার এককোন সমকোন তাকে সমকোনী ত্রিভুজ বলে।

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের ২/৩ অংশের সমান। কোণটির মান কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সন্নিহিত কোণের যোগফল দুই সমকোণের সমান বা ১৮০° হলে, একটি কোণকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

ধরি, কোণটির মান = x°
∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x°

প্রশ্নমতে,
x° = (২/৩) × (১৮০° - x°)
বা, ৩x° = ২ × (১৮০° - x°)
বা, ৩x° = ৩৬০° - ২x°
বা, ৩x° + ২x° = ৩৬০°
বা, ৫x° = ৩৬০°
বা, x° = ৩৬০°/৫
∴ x° = ৭২°

∴ কোণটির মান ৭২°।

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি পরস্পর পূরক কোণ? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে,  কোণ দুইটি একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 
৪৩° + ৪৭° = ৯০°
∴ ৪৩° ও ৪৭° পরস্পর পূরক কোণ। 

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজটির A + C = ১৮০°
∴ ∠A = ১৮০° - ∠C
= ১৮০° - ৭০°
= ১১০°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার বাগানের পরিধি ৩৫২ মিটার হলে বাগানটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তাকার বাগানের পরিসীমা = ৩৫২ মিটার 

প্রশ্নমতে,
২πr = ৩৫২
⇒ πr = ৩৫২/২
 ⇒ πr = ১৭৬
 ⇒ r = ১৭৬/π 
 ⇒ r = ১৭৬/(২২/৭) 
 ⇒ r = (১৭৬ × ৭)/২২ 
 ⇒ r = ৫৬

∴ বাগানটির ক্ষেত্রফল = πr^২ 
= (২২/৭) × (৫৬)^২ 
= (২২/৭) × ৫৬ × ৫৬ 
= ৯৮৫৬ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: এক সরলকোণের মান কত?

সমাধান: 

দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে সরলকোণ বলে। চিত্রে ∠BAC হচ্ছে এক সরলকোণ। সরলকোণের পরিমাপ দুই সমকোণ বা ১৮০°।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 88 সে.মি. হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিধি = 88 সে.মি. 

প্রশ্নমতে,
2πr = 88
⇒ r = 88/2π
⇒ r = 88/{2 × (22/7)}
⇒ r = (88 × 7)/(2 × 22)
⇒ r = 14

অর্থাৎ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 14 সে.মি.

আমরা জানি,
সম্পূরক কোণের পরিমাণ = 180°
সুতরাং 80° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক = 1/2 (180°- 80°)
= 1/2 × 100°
= 50°