রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৮ সে. মি. ও ৩ সে. মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।

মনে করি,
A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, AC = ৮ সে. মি
B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, BC = ৩ সে. মি.
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, AB = AC - BC
= (৮ - ৩) সে. মি.
= ৫ সে. মি.

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৫ সে. মি.

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

∴ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৬৫° × ২
= ১৩০°

∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১৩০°।

প্রশ্ন: কোনটি সরলরেখার সমীকরণ হিসেবে গণ্য হয় না?

সমাধান: 
সরলরেখার সমীকরণ (মূল বিন্দুগামী) y = mx 
দুই অক্ষকে ছেদ করে এমন সরল রেখার সমীকরণ = x/a + y/b = 1 

অপশনগুলোর মধ্যে (গ) অপশনটি সরল রেখা নয়। 
কারণ, x = 1/y এই সমীকরণটির ঘাত হচ্ছে ২ ।
তাই উক্ত সমীকরণটি কোনো সরলরেখার সমীকরণ নয়।
.............................
............................................
অন্যভাবে বলা যায়,
সরলরেখার সমীকরণ একঘাত বিশিষ্ট সমীকরণ যেখানে xy সমন্বিত কোনো পদ নেই।
x = 1/y
∴ xy = 1
প্রদত্ত সমীকরণে xy সমন্বিত পদ থাকায় সমীকরণটি সরলরেখার সমীকরণ নয়।

অপশন আলোচনা:
এখন, দেওয়া বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

ক) x + y = 5 → এটি একটি রৈখিক সমীকরণ, কারণ x এবং y-এর ঘাত ১ এবং কোনো ভগ্নাংশ নেই। এটি সরলরেখার সমীকরণ।

খ) y = 3 → এটি একটি অনুভূমিক সরলরেখার সমীকরণ, যা y-অক্ষ বরাবর চলমান। এটি সরলরেখার সমীকরণ।

গ) x = 1/y → এখানে x এবং y-এর মধ্যে ভগ্নাংশ সম্পর্ক আছে, অর্থাৎ এটি রৈখিক নয়। এটি একটি অরৈখিক (non-linear) সমীকরণ। এটি সরলরেখার সমীকরণ নয়।

ঘ) 2x - 7y = 4 → এটি একটি রৈখিক সমীকরণ, কারণ x এবং y-এর ঘাত ১ এবং ভগ্নাংশ নেই। এটি সরলরেখার সমীকরণ।

প্রশ্ন: একটি রেখার কতটি প্রান্তবিন্দু থাকে? 

সমাধান:
- রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই। 
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের পরিধি = 2πr সেন্টিমিটার
= 2 × 22/7 × 35 সেন্টিমিটার
= 220 সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 80° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = 180° 
একটি কোণ 80° হলে, 
অপর কোণটি হবে = (180 - 80)° 
= 100° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = 100° ।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²; এখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π × ৪^২ : π × ৩^২
= ১৬ : ৯

প্রশ্ন: প্রদত্ত রেখার ঢাল কত? 
6x + 3y + 9 = 0

সমাধান: 
6x + 3y + 9 সমীকরণের ঢাল বের করতে, প্রথমে একে y = mx + c আকারে রূপান্তর করতে হবে, যেখানে m হলো রেখার ঢাল।

দেওয়া সমীকরণ, 
6x + 3y + 9 = 0
⇒ 3y = - 6x - 9 
∴ y = - 2x - 3  ; [3 দ্বারা ভাগ করে পাই] 

এখন, এই সমীকরণটি y = mx + c আকারে রূপান্তরিত হয়েছে, যেখানে m = - 2

 সুতরাং, রেখার ঢাল হলো m = - 2

আমরা জানি, বহিঃস্থ কোণ (∠ACD) = বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি (∠A + ∠B)

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দু কয়টি? 

সমাধান: 
 - রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই। 
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি। 

ধরি, আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা = h
বৃত্তের ব্যাস = 4a তাহলে ব্যাসার্ধ = 4a/2 = 2a
সুতরাং,
4a × h = 4Πa²
∴ h = Πa

প্রশ্ন: রেখা'র ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি বর্ণনা নিম্নরূপ:
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

আমরা জানি, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
মনে করি, ∠B + ∠C = 78°
∴ ∠A = 180° - 78° = 102°

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা PQ = 6 সে.মি. এবং OR ⊥ PQ হলে, ∠QOS কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান: 
ΔPOQ- এ OQ = OP
অতএব, ΔPOQ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
দেওয়া আছে,
∠OQP = 30° এবং ∠OPQ = 30°

∴ ∠QOP = 180° - (30° + 30°) = 120°

এবং চিত্রে দেখা যাচ্ছে, S, O, P একই সরলরেখায় অবস্থিত
অর্থাৎ,
∠QOS = 180° - ∠QOP 
= 180° - 120°
= 60°
∴ ∠QOS = 60°

প্রশ্ন: 616 বর্গমিটার ক্ষেত্রফল এবং 88 মিটার পরিধি বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস বের করুন।

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² 

প্রশ্নমতে,
বৃত্তের পরিধি = 88 মিটার
⇒ 2πr = 88
⇒ 2 × (22/7) × r = 88
⇒ (44/7) × r = 88
⇒ r/7 = 2
⇒ r = 7 × 2
⇒ r = 14 মিটার।

বৃত্তটির ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
= 2 × 14
= 28 মিটার।

অতএব, বৃত্তটির ব্যাস হলো 28 মিটার।

এখানে,
12² + 35²
= 144 + 1225
= (37)²
∴ ত্রিভূজটি সমকোণী।

বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের চতুর্থাংশের সমান। কোণটির মান কত? 

সমাধান:
ধরি,
কোণটির মান = a°
এর পূরক কোণ = 90° - a°

প্রশ্নমতে,
a° = (90° - a°)/4
⇒ 4a° = 90° - a°
⇒ 5a° = 90°
∴ a° = 90°/5 = 18°

প্রশ্ন: ABC ত্রিভূজের ∠B = 90 ডিগ্রী এবং ∠A : ∠C = 3 : 6 হলে কোণ দুটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ABC ত্রিভুজে ∠B = 90° (সমকোণী ত্রিভুজ) ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° 
সুতরাং ∠A + ∠C + 90° = 180°
⇒ ∠A + ∠C = 90°

প্রশ্নমতে,
∠A : ∠C = 3 : 6
⇒ ∠A/∠C = 3/6 = 1/2 
⇒ ∠A = (1/2) × ∠C

এখন ∠A + ∠C = 90° বসিয়ে:
(1/2)∠C + ∠C = 90°
⇒ (1/2 + 1)∠C = 90°
⇒ (3/2)∠C = 90°
⇒ ∠C = 90° × (2/3) = 60°

তাহলে, ∠A = 90° - 60° = 30° 

অতএব কোণ দুটির (∠A ও ∠C-এর) অনুপাত = 30° : 60° 

প্রশ্ন: 40 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 40 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (40/4) = 10 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 10√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (10√2)/2 = 5√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (5√2)² বর্গ মিটার
= (π × 25 × 2) বর্গ মিটার
= 50π বর্গ মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল 50π বর্গমিটার।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ হবে- 

সমাধান: 
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষ বিন্দু দিয়ে যাবে। 
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ। 
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান। 
- অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ। 
- বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক। 

প্রশ্ন: যদি একটি কোণ ২৪° বাড়ানো হয়, তাহলে নতুন কোণটি তার আগের পূরক কোণের সমান হয়। আসল কোণ কত?

সমাধান:
ধরি, আসল কোণ = x
তাহলে তার পূরক কোণ = ৯০° - x

প্রশ্নানুসারে, 
আসল কোণকে ২৪° বাড়ালে নতুন কোণ = আগের পূরক কোণের সমান হয়
অর্থাৎ,
⇒ x + ২৪° = ৯০° - x
⇒ x + x = ৯০° - ২৪°
⇒ ২x = ৬৬°
⇒ x = ৬৬°/২ 
∴ x = ৩৩°

সুতরাং, আসল কোণটি ৩৩° ছিল।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3

ধরি 
১ম বাহু = x
২য় বাহু = 2√2x
৩য় বাহু = 3x

এখন 
⇒ (3x)² = (2√2x)² + x²
⇒ 9x² = 8x² + x²
⇒ 9x² = 9x²

প্রদত্ত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। 
সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°

প্রশ্ন: একটি পিজ্জা বৃত্তাকার এবং এর ব্যাস 28 সে.মি.। পিজ্জাটিকে 7টি সমান অংশে ভাগ করা হলে প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
পিজ্জার ব্যাস = 28 সে.মি.
∴ পিজ্জার ব্যাসার্ধ, r = 28/2 = 14 সে.মি.
পিজ্জাটি বৃত্তাকার, তাই এর মোট ক্ষেত্রফল = πr2
= π × (14)2
= (22/7) × 14 × 14
= 22 × 28
= 616 বর্গসে.মি.

এখন, পিজ্জাটিকে 7টি সমান অংশে ভাগ করা হলে,
প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল/7​
= 616/7 বর্গসে.মি.
= 88 বর্গসে.মি.

∴ প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল 88 বর্গসে.মি.

ধরি, একটি কোন X
অপর কোন ৯০-X
সুতরাং ৯০-X-X=২
কারণ এখানে সমকোণী ত্রিভুজের বাকি কোন দুটির সমষ্টি ৯০°
২X=৮৮
X=৪৪
৯০-৪৪=৪৬

প্রশ্ন: ৫৬° এর সম্পূরক ও পূরক কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান: 
৫৬° এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৫৬° = ১২৪°
৫৬° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৫৬° = ৩৪°

∴ কোণের পার্থক্য = ১২৪° - ৩৪° = ৯০°

প্রশ্ন: ৭ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস =  ৭ সে.মি.

বৃত্তের ভেতরে বর্গক্ষেত্র অংকিত হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হচ্ছে ঐ বৃত্তটির ব্যাস।
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৭ সে.মি.
⇒ a√২ = ৭
∴ a  = ৭/√২

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = a^২ = (৭/√২)^২ = ৪৯/২ = ২৪.৫ বর্গ সে.মি.

∴ অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪.৫ বর্গ সে.মি.।