৭০১.
বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির অনুপাত -
ব্যাখ্যা
বৃত্তের পরিধি 2πr এবং ব্যাস 2r
∴ ব্যাস : পরিধি = 2r : 2πr = 2r/2πr = 1/π = 1/(22/7) = 7/22।
[বি:দ্র: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত 22/7]
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান
রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান
PrepBank · পাতা ৮ / ৩২ · ৭০১–৮০০ / ৩,২১১
৭০২.
নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ?
ব্যাখ্যা
শুধু x + y = 0 সমীকরণটিতে x - এর ঘাত = y - এর ঘাত = 1
৭০৩.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 75° হলে বিপরীত কোণটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 75° হলে বিপরীত কোণটি কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোণ বা 180°।
∴ বিপরীত কোণ = (180° - 75°)
= 105°
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোণ বা 180°।
∴ বিপরীত কোণ = (180° - 75°)
= 105°
৭০৪.
(3, - 2) এবং (7, 6) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (3, - 2) এবং (7, 6) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x1, y1) এবং (x2, y2) দিয়ে অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
এখানে,
(x1, y1) = (3, - 2) এবং (x2, y2) = (7, 6)
∴ ঢাল, m = {6 - (- 2)}/(7 - 3)
= (6 + 2)/(7 - 3)
= 8/4
= 2
∴ সরলরেখার ঢাল = 2
৭০৫.
একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি হবে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি হবে-
সমাধান:
AB সরলরেখার সাথে OC রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে ∠AOC ও ∠BOC দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়।
∠AOC + ∠BOC = 180°
৭০৬.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল 36π হলে, ঐ বৃত্তের পরিধি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল 36π হলে, ঐ বৃত্তের পরিধি কত?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, ক্ষেত্রফল = πr2
প্রশ্নমতে,
πr2 = 36π
⇒ r2 = 36
∴ r = 6
∴ বৃত্তটির পরিসীমা = 2π × 6
= 12π
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, ক্ষেত্রফল = πr2
প্রশ্নমতে,
πr2 = 36π
⇒ r2 = 36
∴ r = 6
∴ বৃত্তটির পরিসীমা = 2π × 6
= 12π
৭০৭.
প্রদত্ত চিত্রে AB ও CD পরস্পর সমান্তরাল হলে, x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে AB ও CD পরস্পর সমান্তরাল হলে, x এর মান কত?
সমাধান:
এখানে,
∠AOF + ∠BOF = ∠AOB
⇒ ∠AOF + 50° = 180°
⇒ ∠AOF = 180° - 50°
∴ ∠AOF = 130°
আবার,
∠AOF = ∠CPO [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠x = 130°
[অনুরূপ কোণ: যদি দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি তির্যক রেখা ছেদ করে, তখন যে কোণগুলো একই পাশে এবং একই অবস্থানে গঠিত হয়, তাদের অনুরূপ কোণ বলে।]
সমাধান:
এখানে,
∠AOF + ∠BOF = ∠AOB
⇒ ∠AOF + 50° = 180°
⇒ ∠AOF = 180° - 50°
∴ ∠AOF = 130°
আবার,
∠AOF = ∠CPO [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠x = 130°
[অনুরূপ কোণ: যদি দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি তির্যক রেখা ছেদ করে, তখন যে কোণগুলো একই পাশে এবং একই অবস্থানে গঠিত হয়, তাদের অনুরূপ কোণ বলে।]
৭০৮.
এক সরল কোণ অপেক্ষায় বড় কিন্তু চার সমকোণ অপেক্ষায় ছোট কোণকে কী বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক সরল কোণ অপেক্ষায় বড় কিন্তু চার সমকোণ অপেক্ষায় ছোট কোণকে কী বলে?
সমাধান:
যখন কোনো কোণ এক সরল কোণের চেয়ে বড়, কিন্তু চারটি সমকোণের চেয়ে ছোট হয়, তখন এই কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
অর্থাৎ,
১৮০° < প্রবৃদ্ধ কোণ < ৩৬০°
সমাধান:
যখন কোনো কোণ এক সরল কোণের চেয়ে বড়, কিন্তু চারটি সমকোণের চেয়ে ছোট হয়, তখন এই কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
অর্থাৎ,
১৮০° < প্রবৃদ্ধ কোণ < ৩৬০°
৭০৯.
60° + x কোণের সম্পূরক কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 60° + x কোণের সম্পূরক কোণ কত?
সমাধান:
দুটি সন্নিহত কোণের সমষ্টি 180° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।
∴ 60° + x কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - (60° + x)
= 180° - 60° - x
= 120° - x
সমাধান:
দুটি সন্নিহত কোণের সমষ্টি 180° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।
∴ 60° + x কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - (60° + x)
= 180° - 60° - x
= 120° - x
৭১০.
একটি বৃত্তের পরিধির উপর কতগুলো বিন্দু থাকতে পারে?
ব্যাখ্যা
একটি বৃত্তের পরিধির উপর অসংখ্য বিন্দু থাকে।
বৃত্তের কেন্দ্রে শুধু একটি বিন্দু থাকে।
বৃত্তের কেন্দ্রে শুধু একটি বিন্দু থাকে।
৭১১.
৫ সেঃমিঃ ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ব্যাস = ১০ cm
যা বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০/√২
∴ বর্গের বাহুর ক্ষেত্রফল = (১০/√২)2
= ১০০/২
= ৫০ বর্গসেঃমিঃ
৭১২.
নিচের কোন সমীকরণটি সরলরেখা প্রকাশ করে না?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন সমীকরণটি সরলরেখা প্রকাশ করে না?
সমাধান:
y = 4x - 1, 3y + 2x - 6 = 0 এবং, y - 5x + 2 = 0
সমীকরণ তিনটিতে xy সংবলিত পদ নেই।
কিন্তু y(2 - x) = 3 বা 2x - xy = 3 এই সমীকরনে আছে তাই এটি সরলরেখা হবে না।
সমাধান:
y = 4x - 1, 3y + 2x - 6 = 0 এবং, y - 5x + 2 = 0
সমীকরণ তিনটিতে xy সংবলিত পদ নেই।
কিন্তু y(2 - x) = 3 বা 2x - xy = 3 এই সমীকরনে আছে তাই এটি সরলরেখা হবে না।
৭১৩.
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি কত?
সমাধান:
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°
∠ABC + ∠ADC = দুই সমকোণ
∠BAD + ∠BCD = দুই সমকোণ ।
সমাধান:
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°
∠ABC + ∠ADC = দুই সমকোণ
∠BAD + ∠BCD = দুই সমকোণ ।
৭১৪.
70 ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 70 ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = 70/2 ফুট = 35 ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr2
= π × 35 × 35
= (22/7) × (35 × 35)
= 3850 বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 3850 বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 5√154 = 5√154 ফুট
সমাধান:
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = 70/2 ফুট = 35 ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr2
= π × 35 × 35
= (22/7) × (35 × 35)
= 3850 বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 3850 বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 5√154 = 5√154 ফুট
৭১৫.
ABCD সামান্তরিকের ∠B = 75° হলে, ∠A এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের ∠B = 75° হলে, ∠A এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের সন্নিহিত দুই কোণের যোগফল ১৮০° এবং কর্ণ বরাবর বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
অর্থাৎ ABCD সামন্তরিকে A ও B কোণের যোগফল ১৮০° এবং B ও D কোণ পরস্পর সমান।
∴ B + C = 180°
বা, 75° + C = 180°
বা, C = 180° - 75°
∴ C = 105°
সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের সন্নিহিত দুই কোণের যোগফল ১৮০° এবং কর্ণ বরাবর বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
অর্থাৎ ABCD সামন্তরিকে A ও B কোণের যোগফল ১৮০° এবং B ও D কোণ পরস্পর সমান।
∴ B + C = 180°
বা, 75° + C = 180°
বা, C = 180° - 75°
∴ C = 105°
৭১৬.
একই চাপের উপর দন্ডায়মান পরিধিস্থ কোণ ৪০° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একই চাপের উপর দন্ডায়মান পরিধিস্থ কোণ ৪০° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে-
সমাধান:
একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের অর্ধেক।
তাহলে, পরিধিস্থ কোণ ৪০° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে = ৪০° × ২ = ৮০°
সমাধান:
একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের অর্ধেক।
তাহলে, পরিধিস্থ কোণ ৪০° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে = ৪০° × ২ = ৮০°
৭১৭.
56 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 56 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ABCD বর্গের পরিসীমা = 56 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 56/4 = 14 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 14√2
∴ ব্যাসার্ধ = 14√2/2 = 7√2
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π(7√2)2
= π × 49 × 2
= 98π বর্গমিটার
সমাধান:
ABCD বর্গের পরিসীমা = 56 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 56/4 = 14 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 14√2
∴ ব্যাসার্ধ = 14√2/2 = 7√2
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π(7√2)2
= π × 49 × 2
= 98π বর্গমিটার
৭১৮.
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-
সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
৭১৯.
একটি বৃত্তের পরিধি 26πcm হলে, ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
ধরি ব্যাসার্ধ = r
∴ পরিধি 2πr = 26π
∴ r = 13 cm
∴ ক্ষেত্রফল = πr2
= 169π
৭২০.
বৃত্তের বহি:স্থ কোন বিন্দু হতে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের বহি:স্থ কোন বিন্দু হতে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?
সমাধান:
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে 2 টি স্পর্শক আঁকা যাবে।
সমাধান:
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে 2 টি স্পর্শক আঁকা যাবে।
৭২১.
3 সেমি ও 2 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট এককেন্দ্রিক দুইটি বৃত্তক্ষেত্রের পরিধিদ্বয়ের মাঝের অংশের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
3 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × 32 = 9π বর্গ সেমি
2 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × 22 = 4π বর্গ সেমি
পরিধিদ্বয়ের মাঝের অংশের ক্ষেত্রফল = 9π - 4π = 5π বর্গ সেমি
------------------------------------------------------------------
বিকল্প পদ্ধতিঃ
পরিধিদ্বয়ের মাঝের অংশের ক্ষেত্রফল = π(32 - 22) = 5π বর্গ সেমি
2 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × 22 = 4π বর্গ সেমি
পরিধিদ্বয়ের মাঝের অংশের ক্ষেত্রফল = 9π - 4π = 5π বর্গ সেমি
------------------------------------------------------------------
বিকল্প পদ্ধতিঃ
পরিধিদ্বয়ের মাঝের অংশের ক্ষেত্রফল = π(32 - 22) = 5π বর্গ সেমি
৭২২.
২৬০° পরিমাণের কোণকে কি কোণ বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৬০° পরিমাপের কোণকে কি কোণ বলে?
সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle ): দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
২৬০° হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle ): দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
২৬০° হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
৭২৩.
একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৪° বেশি হলে, কোণটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৪° বেশি হলে, কোণটি কত?
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
ধরি,
কোণটি x,
∴ তার পূরক কোণ = 90° - x
শর্তমতে,
x = 90° - x + 24°
বা, x + x = 114°
বা, 2x = 114°
বা, x = 114°/2
∴ x = 57° ।
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
ধরি,
কোণটি x,
∴ তার পূরক কোণ = 90° - x
শর্তমতে,
x = 90° - x + 24°
বা, x + x = 114°
বা, 2x = 114°
বা, x = 114°/2
∴ x = 57° ।
৭২৪.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 14cm। একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান।বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্নমতে,
πr² = a²
⇒ π×14² = a²
∴ a = 24.81 cm
৭২৫.
একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr২ বর্গ একক।
∴ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π.1২ = π বর্গ একক।
৭২৬.
কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 180 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 180 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr
প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 180
⇒ 2r(π - 1) = 180
⇒ r = 180/{2(π - 1)}
⇒ r = 90/{(22/7) - 1}
⇒ r = 90/{(22 - 7)/7}
⇒ r = 90/(15/7)
⇒ r = (90 × 7)/15
⇒ r = 6 × 7
∴ r = 42 সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 42 সে.মি.
৭২৭.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের OC, AB জ্যা এর উপর লম্ব এবং AC = 7 সে.মি. হলে AB এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের OC, AB জ্যা এর উপর লম্ব এবং AC = 7 সে.মি. হলে AB এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
AC = 7 সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, AB = (7 × 2) = 14 সে.মি
সমাধান:
দেওয়া আছে,
AC = 7 সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, AB = (7 × 2) = 14 সে.মি
৭২৮.
৩টি সমান্তরাল রেখা পরস্পরকে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩টি সমান্তরাল রেখা পরস্পরকে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?
সমাধান:
সমান্তরাল রেখা সবসময় পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।
অর্থাৎ নির্দিষ্ট কোনো বিন্দু নেই যেখানে সমান্তরাল রেখাসমূহ পরস্পরকে ছেদ করে।
সমাধান:
সমান্তরাল রেখা সবসময় পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।
অর্থাৎ নির্দিষ্ট কোনো বিন্দু নেই যেখানে সমান্তরাল রেখাসমূহ পরস্পরকে ছেদ করে।
৭২৯.
সরল কোণের পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সরল কোণের পরিমাণ কত?
সমাধান:
- এক সরল কোণ ১৮০ ডিগ্রি।
- দুইটি বিপরীত রশ্মি এক বিন্দুতে মিলিত হলে, ঐ বিন্দুতে ১৮০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন হয়।
- ১৮০ ডিগ্রি কোণকে এক সরল কোণ বলে।
সমাধান:
- এক সরল কোণ ১৮০ ডিগ্রি।
- দুইটি বিপরীত রশ্মি এক বিন্দুতে মিলিত হলে, ঐ বিন্দুতে ১৮০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন হয়।
- ১৮০ ডিগ্রি কোণকে এক সরল কোণ বলে।
৭৩০.
নিচের চিত্রের আলোকে x + y = কত?
ব্যাখ্যা
x = ১৮০ – ১০৫ = ৭৫
y = ১৮০ - (৭৫ + ৫৫) = ৫০
x + y = ৭৫ + ৫০ = ১২৫
y = ১৮০ - (৭৫ + ৫৫) = ৫০
x + y = ৭৫ + ৫০ = ১২৫
৭৩১.
ঘড়ির ঘন্টা এবং মিনিটের কাটা পরস্পরের সঙ্গে 30 ডিগ্রী কোণ করে কত বার?
ব্যাখ্যা
একটি ঘড়ি ১২টি অংশে বিভক্ত এবং সাধারণত ঘড়ি একটি বৃত্ত যা ৩৬০° হয়।
ঘন্টার কাঁটা 1 ঘন্টা এবং ঘড়িতে মিনিট কাঁটা 5 মিনিটকে প্রতিনিধিত্ব করে।
ঘন্টার কাঁটা এবং মিনিট কাঁটা ১১টা থেকে ১২টা পযন্ত ১ বার এবং ১২টা থেকে ১টা পর্যন্ত ১বার এবং ১টা থেকে ১১টা পযন্ত ২০বার 30° কোণ উৎপন্ন করে। এইভাবে, ১২ ঘন্টায় ২২ বার এবং দিনে ৪৪ বার 30° কোণ তৈরি করে।
ঘন্টার কাঁটা এবং মিনিট কাঁটা ১১টা থেকে ১২টা পযন্ত ১ বার এবং ১২টা থেকে ১টা পর্যন্ত ১বার এবং ১টা থেকে ১১টা পযন্ত ২০বার 30° কোণ উৎপন্ন করে। এইভাবে, ১২ ঘন্টায় ২২ বার এবং দিনে ৪৪ বার 30° কোণ তৈরি করে।
৭৩২.
৪৩ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪৩ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ,
৪৩ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৪৩ ডিগ্রি।
সমাধান:
আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ,
৪৩ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৪৩ ডিগ্রি।
৭৩৩.
(০, ০) কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল 100π হলে বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে,
ক্ষেত্রফল πr2 = 100π
বা, r2 = 100
∴ r = 10
∴ বৃত্তের সমীকরণ,
x2 + y2 = 102
বা, x2 + y2 = 100
৭৩৪.
স্থুলকোণী ত্রিভূজের স্থুলকোণ ছাড়া অন্য দু’টি কোণ-
ব্যাখ্যা
স্থুলকোণী ত্রিভূজের স্থুলকোণ ছাড়া অন্য দু’টি কোণ সুক্ষকোণ।
৭৩৫.
যদি কোন বৃত্তের ক্ষেত্রফল 7π হয়, তাহলে তার পরিধি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের ক্ষেত্রফল 7π হয়, তাহলে তার পরিধি কত?
সমাধান,
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল =πr2
প্রশ্নমতে,
বা, πr2 = 7π
বা, r2 = 7
বা, r = √7
∴ পরিধি = 2πr
= 2√7π
সমাধান,
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল =πr2
প্রশ্নমতে,
বা, πr2 = 7π
বা, r2 = 7
বা, r = √7
∴ পরিধি = 2πr
= 2√7π
৭৩৬.
যদি একটি ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৪৫° ও ৬৫° হয়, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৪৫° ও ৬৫° হয়, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ কত হবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
এখানে,
ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৪৫° ও ৬৫°
ত্রিভুজের তৃতীয় অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - ( ৪৫° + ৬৫° )
= ১৮০° - ১১০°
= ৭০°
আবার,
বহিঃস্থ কোণ এবং তার সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণের যোগফল ১৮০° হয়।
∴ বহিঃস্থ কোণ + সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ + ৭০° = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ৭০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ = ১১০°
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
এখানে,
ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৪৫° ও ৬৫°
ত্রিভুজের তৃতীয় অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - ( ৪৫° + ৬৫° )
= ১৮০° - ১১০°
= ৭০°
আবার,
বহিঃস্থ কোণ এবং তার সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণের যোগফল ১৮০° হয়।
∴ বহিঃস্থ কোণ + সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ + ৭০° = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ৭০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ = ১১০°
৭৩৭.
রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা-
সমাধান:
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।
সমাধান:
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।
৭৩৮.
যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে কী বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে কী বলে?
সমাধান:
রেখা : যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে রেখা বলে।
অন্য অপশনগুলো-
বিন্দু : যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা কিছুই নাই শুধু অবস্থান আছে, তাকে বিন্দু।
বক্রতা : বক্রতা হলো একটি জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য যা কোনো বক্ররেখার মাপের সাথে সম্পর্কিত। বক্রতা ছোট হলে, বক্ররেখাটি মসৃণ হবে এবং অনেক দীর্ঘ হবে। বক্রতা বড় হলে, এটি দ্রুত বাঁকানো হয়। যেমন : একটি সোজা রেখার বক্রতা শূন্য (০) হবে, আর একটি ছোট ব্যাসার্ধের বৃত্তের বক্রতা বড় হবে।
তল : যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাকে তল বলে।
৭৩৯.
কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে কেন্দ্র হতে ৩ সেমি দূরবর্তী জ্যা’র দৈর্ঘ্য হবে -
ব্যাখ্যা
কেন্দ্রগামী জ্যা বা ব্যাস = ১০ সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি.
জ্যা এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য = √{(ব্যাসার্ধ2) - (কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব)2}
= √{(৫2) - (৩)2}
= √১৬ = ৪
∴জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২ × ৪ = ৮
জ্যা এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য = √{(ব্যাসার্ধ2) - (কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব)2}
= √{(৫2) - (৩)2}
= √১৬ = ৪
∴জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২ × ৪ = ৮
৭৪০.
নিচের চিত্রে b এর মান কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের চিত্রে b এর মান কোনটি?
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে পাই,
b = বিপ্রতীপ কোণ
এখন,
b = 180° - 60°
∴ b = 120°
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে পাই,
b = বিপ্রতীপ কোণ
এখন,
b = 180° - 60°
∴ b = 120°
৭৪১.
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ 35° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 35° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 70°।
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 35° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 70°।
৭৪২.
x এর সম্পূরক কোণের মান তার পূরক কোণের তিনগুণ হলে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x এর সম্পূরক কোণের মান তার পূরক কোণের তিনগুণ হলে x এর মান কত?
সমাধান:
x এর সম্পূরক কোণ = 180° - x
x এর পুরক কোণ = 90° - x
প্রশ্নমতে,
180° - x = 3(90° - x)
⇒ 180° - x = 270° - 3x
⇒ 2x = 90°
∴ x = 45°
সমাধান:
x এর সম্পূরক কোণ = 180° - x
x এর পুরক কোণ = 90° - x
প্রশ্নমতে,
180° - x = 3(90° - x)
⇒ 180° - x = 270° - 3x
⇒ 2x = 90°
∴ x = 45°
৭৪৩.
দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখার সংখ্যা হবে কয়টি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখার সংখ্যা হবে কয়টি?
সমাধান:
(১) দুইটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যায় ।
(২) যেসব বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করে, তাদেরকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়।
(৩) একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্যই তার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব।
(৪) প্রান্তবিন্দুদ্বয় ছাড়া রেখাংশের যেকোনো বিন্দুকে ঐ রেখাংশের অন্তঃস্থ বিন্দু বলা হয়।
৭৪৪.
একটি চাকার ব্যাসার্ধ ৩৫ সে. মি. চাকাটি একবার ঘুরলে কতটুকু পথ অতিক্রম করবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাসার্ধ ৩৫ সে. মি. চাকাটি একবার ঘুরলে কতটুকু পথ অতিক্রম করবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাসার্ধ r = ৩৫ সে. মি
চাকার ব্যাস, ২r = (৩৫ × ২) = ৭০ সে. মি.
আমরা জানি,
একটি চাকা একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।
∴ চাকার পরিধি = ২πr = ২r × π = ৭০ × (২২/৭) = ২২০ সে. মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাসার্ধ r = ৩৫ সে. মি
চাকার ব্যাস, ২r = (৩৫ × ২) = ৭০ সে. মি.
আমরা জানি,
একটি চাকা একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।
∴ চাকার পরিধি = ২πr = ২r × π = ৭০ × (২২/৭) = ২২০ সে. মি.
৭৪৫.
একটি সরলরেখার মধ্যবিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করলে, উক্ত সরলরেখাটি হবে ঐ বৃত্তের -
ব্যাখ্যা
উপরের প্রশ্নটিতে পর্যাপ্ত ডেটা নাই। তাই উপর্যুক্ত প্রশ্নের সঠিক উত্তর নাই।
একটি সরলরেখার মধ্যবিন্দুকে কেন্দ্র করে এবং ঐ সরলরেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটির উপর দিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করলে, উক্ত সরলরেখাটি হবে ঐ বৃত্তের ব্যাস।
একটি সরলরেখার মধ্যবিন্দুকে কেন্দ্র করে এবং ঐ সরলরেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটির উপর দিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করলে, উক্ত সরলরেখাটি হবে ঐ বৃত্তের ব্যাস।
৭৪৬.
১৭ সে. মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৮ সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৭ সে. মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৮ সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ১৭ সে. মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব, d = ৮ সে. মি.
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য,
AB = ২√(r২ - d২)
= ২√(১৭২ - ৮২)
= ২√(২৮৯ - ৬৪)
= ২√২২৫
= ২ × ১৫
= ৩০
∴ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ৩০ সে. মি.।
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ১৭ সে. মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব, d = ৮ সে. মি.
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য,
AB = ২√(r২ - d২)
= ২√(১৭২ - ৮২)
= ২√(২৮৯ - ৬৪)
= ২√২২৫
= ২ × ১৫
= ৩০
∴ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ৩০ সে. মি.।
৭৪৭.
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে নতুন ব্যাস = (3 × 2r) = 6r
∴ নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 = 3r
∴ নতুন ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)2
= 9 × πr2
= 9 × পূর্বের ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল
অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল 9 গুণ হবে।
৭৪৮.
দুটি পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?
সমাধান:
ধরি,
দুটি পূরক কোণ যথাক্রমে 13x এবং 5x
আমরা জানি,
দুটি পূরক কোণের যোগফল 90°
প্রশ্নমতে,
⇒ 13x + 5x = 90°
⇒ 18x = 90°
⇒ x = 90°/18
⇒ x = 5°
∴ বৃহত্তম কোণ = 13x = 13 × 5° = 65°
সমাধান:
ধরি,
দুটি পূরক কোণ যথাক্রমে 13x এবং 5x
আমরা জানি,
দুটি পূরক কোণের যোগফল 90°
প্রশ্নমতে,
⇒ 13x + 5x = 90°
⇒ 18x = 90°
⇒ x = 90°/18
⇒ x = 5°
∴ বৃহত্তম কোণ = 13x = 13 × 5° = 65°
৭৪৯.
কোনো বৃত্তের ব্যাস চারগুণ করলে ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাস চারগুণ করলে ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
আবার,
ব্যাস চারগুণ করলে বৃত্তের নতুন ব্যাস হবে = 2r × 4 = 8r
∴ বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = 8r/2 = 4r
∴ বৃত্তের নতুন ক্ষেত্রফল হবে = π(4r)2 = 16πr2
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 16πr2 - πr2 = 15πr2
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
আবার,
ব্যাস চারগুণ করলে বৃত্তের নতুন ব্যাস হবে = 2r × 4 = 8r
∴ বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = 8r/2 = 4r
∴ বৃত্তের নতুন ক্ষেত্রফল হবে = π(4r)2 = 16πr2
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 16πr2 - πr2 = 15πr2
৭৫০.
একটি বৃত্তের ব্যাস 26 সে.মি. হলে, এর পরিধি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 26 সে.মি. হলে, এর পরিধি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস, d = 26 সে.মি.
ব্যাসার্ধ, r = d/2 = 26/2 = 13 সে.মি
আমরা জানি,
পরিধি = 2πr
= 2 × 3.1416 × 13
= 26 × 3.1416
= 81.68 সে.মি. (প্রায়)
৭৫১.
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-
সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
৭৫২.
একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের এক-পঞ্চমাংশ হলে, কোণটির মান বের করুন।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের এক পঞ্চমাংশ হলে কোণটির মান বের করুন।
সমাধান:
দুটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
ধরি, কোণটি = x
∴ অপর কোণটি = 180° - x
প্রশ্নমতে,
x = (1/5) × (180° - x)
⇒ 5x = 180° - x
⇒ 6x = 180°
⇒ x = 180°/6
∴ x = 30°
৭৫৩.
একটি বৃত্তে একই চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ 150° হলে, উক্ত চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তে একই চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ 150° হলে, উক্ত চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
তাই একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ 150° হলে বৃত্তস্থ কোণের মান হবে 75°
সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
তাই একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ 150° হলে বৃত্তস্থ কোণের মান হবে 75°
৭৫৪.
51° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 51° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
51° কোণের সম্পূরক কোণ = (180 - 51)° = 129°
129° এক-তৃতীয়াংশ = 129°/3 = 43°
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
51° কোণের সম্পূরক কোণ = (180 - 51)° = 129°
129° এক-তৃতীয়াংশ = 129°/3 = 43°
৭৫৫.
একটি গাড়ীর চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। চাকাটি এক সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। চাকাটি এক সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে?
সমাধান:
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০ বার
∴ চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০/৬০ বার
= ২ বার
১ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = ৩৬০°
∴ ২ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = (৩৬০° × ২)
= ৭২০°
∴ চাকাটি এক সেকেন্ডে ঘুরবে = ৭২০°।
সমাধান:
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০ বার
∴ চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০/৬০ বার
= ২ বার
১ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = ৩৬০°
∴ ২ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = (৩৬০° × ২)
= ৭২০°
∴ চাকাটি এক সেকেন্ডে ঘুরবে = ৭২০°।
৭৫৬.
২৪ মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত আছে। বৃত্তের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৪ মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত আছে। বৃত্তের পরিসীমা কত?
সমাধান:
ধরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ 4a = 24
a = 6
বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ = √2a = 6√2
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6√2/2 = 3√2
∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π(3√2)
= 6√2π মি.
সমাধান:
ধরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ 4a = 24
a = 6
বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ = √2a = 6√2
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6√2/2 = 3√2
∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π(3√2)
= 6√2π মি.
৭৫৭.
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বলে -
ব্যাখ্যা
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।
পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।
পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
৭৫৮.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত = ৩ : ৪ : ৫
ধরি, কোণগুলো যথাক্রমে ৩ক, ৪ক, ৫ক
আমরা জানি,
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ ৩ক + ৪ক + ৫ক = ১৮০°
⇒ ১২ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০/১২
= ১৫°
অতএব, বৃহত্তম কোণটির মান = ৫ক
= (৫ × ১৫°)
= ৭৫°
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত = ৩ : ৪ : ৫
ধরি, কোণগুলো যথাক্রমে ৩ক, ৪ক, ৫ক
আমরা জানি,
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ ৩ক + ৪ক + ৫ক = ১৮০°
⇒ ১২ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০/১২
= ১৫°
অতএব, বৃহত্তম কোণটির মান = ৫ক
= (৫ × ১৫°)
= ৭৫°
৭৫৯.
নিচের কোন স্বীকার্যটি ভুল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন স্বীকার্যটি ভুল?
সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।
উৎস: গণিত, এস এস সি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়
৭৬০.
নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?
সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
এখানে,
৩ + ৮ = ১১ > ৮
৭ + ৬ = ১৩ > ১১
২০ + ৮ = ২৮ > ১৩
কিন্তু, ১২ + ১৪ = ২৬ < ২৮
∴ ১২, ১৪, ২৮ সে.মি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়।
সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
এখানে,
৩ + ৮ = ১১ > ৮
৭ + ৬ = ১৩ > ১১
২০ + ৮ = ২৮ > ১৩
কিন্তু, ১২ + ১৪ = ২৬ < ২৮
∴ ১২, ১৪, ২৮ সে.মি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়।
৭৬১.
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর _____ .
ব্যাখ্যা
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।
O বৃত্তের কেন্দ্র এবং বৃত্তের BCD চাপের ওপর দণ্ডায়মান ∠BAD ও ∠BED দুইটি বৃত্তস্থ কোণ ।
∠BAD =∠BED
O বৃত্তের কেন্দ্র এবং বৃত্তের BCD চাপের ওপর দণ্ডায়মান ∠BAD ও ∠BED দুইটি বৃত্তস্থ কোণ ।
∠BAD =∠BED
৭৬২.
দুটি পূরক কোণের একটি অপরটির 4/5 অংশ হলে বৃহত্তম কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের একটি অপরটির 4/5 অংশ হলে বৃহত্তম কোণটির মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°
∴ কোণদ্বয়ের অনুপাত 4/5 = 4 : 5
∴ বৃহত্তম কোণ = 90° × 5/9
= 50°
সমাধান:
আমরা জানি,
পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°
∴ কোণদ্বয়ের অনুপাত 4/5 = 4 : 5
∴ বৃহত্তম কোণ = 90° × 5/9
= 50°
৭৬৩.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের OB ব্যাসার্ধ, AC স্পর্শক বৃত্তটিকে B বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। ∠ABO = কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
যে কোন বিন্দুতে অংকিত স্পর্শক ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
৭৬৪.
বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 60° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 60° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত?
সমাধান:
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 60° হলে, বৃত্তস্থ কোণ 30°
সমাধান:
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 60° হলে, বৃত্তস্থ কোণ 30°
৭৬৫.
একটি চাকা ৪৪ কি.মি. পথ অতিক্রম করতে ১০০০ বার ঘুরলে চাকাটির ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
এখানে, ৪৪ = ৪৪ × ১০০০ মি.
আমরা জানি, পরিধি × ঘূর্ণন সংখ্যা = অতিক্রান্ত দূরত্ব
বা, 2πr × ১০০০ = ৪৪ ×১০০০
বা, 2πr = ৪৪
বা, r = ৪৪/2π
বা, r = ২২/π
বা, r = ২২/(২২/৭)
বা, r = ২২ × (৭/২২)
বা, r = ৭
৭৬৬.
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে বলে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে বলে-
সমাধান:
• এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ এবং এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
• দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের পূরক কোণ বলা হয়।
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলা হয়।
• যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।
সমাধান:
• এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ এবং এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
• দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের পূরক কোণ বলা হয়।
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলা হয়।
• যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।
৭৬৭.
A বৃত্তের ব্যাসার্ধ r এবং B বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3r/4। A এবং B বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
A বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
A বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
B বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3r/4
B বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r/4)2
= 9πr2/16
A এবং B বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = πr2 : 9πr2/16
= 1 : 9/16
= 16 : 9
A বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
A বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
B বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3r/4
B বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r/4)2
= 9πr2/16
A এবং B বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = πr2 : 9πr2/16
= 1 : 9/16
= 16 : 9
৭৬৮.
৯০° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯০° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ :
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।
আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ
৯০°কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৯০°
সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ :
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।
আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ
৯০°কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৯০°
৭৬৯.
বৃত্তের স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি?
সমাধান:
বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।
মনে করি,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের উপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
PT ⊥ OP এবং ∠OPT = 90°
৭৭০.
চিত্র হতে b = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্র হতে b = কত?
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে পাই,
সম্পূরক কোণের ক্ষেত্রে,
3a° + 2a° = 180°
⇒ 5a° = 180°
⇒ a° = 180°/5
∴ a° = 36°
আবার,
বিপ্রতীপ কোণের ক্ষেত্রে,
2a° = b + 40°
⇒ (2 × 36°) = b + 40°
⇒ b + 40° = 72°
⇒ b = 72° - 40°
∴ b = 32°
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে পাই,
সম্পূরক কোণের ক্ষেত্রে,
3a° + 2a° = 180°
⇒ 5a° = 180°
⇒ a° = 180°/5
∴ a° = 36°
আবার,
বিপ্রতীপ কোণের ক্ষেত্রে,
2a° = b + 40°
⇒ (2 × 36°) = b + 40°
⇒ b + 40° = 72°
⇒ b = 72° - 40°
∴ b = 32°
৭৭১.
একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ 16 সে.মি. হলে, অর্ধবৃত্তটির পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ 16 সে.মি. হলে, অর্ধবৃত্তটির পরিসীমা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = (2r + πr) সে.মি.
= r (2 + π) সে.মি.
= 16 (2 + 3.1416) সে.মি.
= 82.27 সে.মি.
∴ অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = 82.27 সে.মি.।
সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = (2r + πr) সে.মি.
= r (2 + π) সে.মি.
= 16 (2 + 3.1416) সে.মি.
= 82.27 সে.মি.
∴ অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = 82.27 সে.মি.।
৭৭২.
সাইকেলের চাকার পাশাপাশি দুইটি শলার মধ্য ১৫° কোণ হলে চাকাতে কয়টি শলা রয়েছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সাইকেলের চাকার পাশাপাশি দুইটি শলার মধ্য ১৫° কোণ হলে চাকাতে কয়টি শলা রয়েছে?
সমাধান:
আমরা জানি,
একটি চাকা = ৩৬০°
∴ যেকোনো ২ টি শলার মধ্যে কোণ ১৫° হলে,
মোট শলা আছে = ৩৬০°/১৫°
= ২৪ টি।
সমাধান:
আমরা জানি,
একটি চাকা = ৩৬০°
∴ যেকোনো ২ টি শলার মধ্যে কোণ ১৫° হলে,
মোট শলা আছে = ৩৬০°/১৫°
= ২৪ টি।
৭৭৩.
২৭৫° কোণকে কী কোণ বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৭৫° কোণকে কী কোণ বলে?
সমাধান:
→ ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
→ যে কোণের পরিমাণ ৯০° তাকে সমকোণ বলে।
→ ৯০° অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
→ ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
∴ ২৭৫° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
সমাধান:
→ ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
→ যে কোণের পরিমাণ ৯০° তাকে সমকোণ বলে।
→ ৯০° অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
→ ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
∴ ২৭৫° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
৭৭৪.
সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয় নিচের কোনটি দিয়ে?
ব্যাখ্যা
সমকোণী ত্রিভুজ আঁকতে হলে অবশ্যই অতিভুজ হবে অপর দুইটি বাহুর বর্গের সমষ্টির বর্গমূল। ২ঃ৩ঃ৫ দিয়ে যা সম্ভব নয়।
৭৭৫.
মূল বিন্দু হতে (-5, 5) এবং (5, k) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান হলে, k এর মান কত?
ব্যাখ্যা
(0, 0) হতে (-5, 5) এর দূরত্ব = √{(০+5)2+(0-5)2}
= √50
আবার, (0, 0) হতে (5, k) এর দূরত্ব = √{(0-5)2+(0-k)2}
= √(k2 + 25)
∴√(k2 + 25) = √50
বা, k2 = 25
বা, k = 5
৭৭৬.
(2, - 5) বিন্দুটি নিচের কোন সরল রেখার উপর অবস্থিত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (2, - 5) বিন্দুটি নিচের কোন সরল রেখার উপর অবস্থিত?
সমাধান:
x = 2, y = - 5 বসিয়ে,
অপশন (ক)- এ, 4x + 3y = 5
4(2) + 3(- 5) = 8 - 15 = - 7 ≠ 5
অপশন (খ)- এ, 2x - y + 1 = 0
2(2) - (- 5) + 1 = 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0
অপশন (গ)- এ, 2x + y = 1
2(2) + (- 5) = 4 - 5 = - 1 ≠ 1
অপশন (ঘ)- এ, 4x - 3y = 23
4(2) - 3(- 5) = 8 + 15 = 23
∴ 23 = 23 ;যা সত্য
অতএব, বিন্দুটি 4x - 3y = 23 রেখার উপর অবস্থিত।
৭৭৭.
কোন বৃত্তের 8 ইঞ্চি দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে 3 ইঞ্চি দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাস কত ইঞ্চি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : কোন বৃত্তের 8 ইঞ্চি দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে 3 ইঞ্চি দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাস কত ইঞ্চি?
সমাধান :
বৃত্তটির জ্যা AB = 8 ইঞ্চি; বৃত্তটির কেন্দ্র O হতে জ্যা AB এর উপর অঙ্কিত লম্ব OC = 3 ইঞ্চি; বৃত্তটির ব্যাসার্ধ OB = ?
বৃত্তের কেন্দ্র হতে যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং BC = 8/2 = 4 ইঞ্চি।
এখন OCB সমকোণী ত্রিভুজ হতে, OB = √(OC2 + BC2)
= √(32 + 42)
= √(9 + 16)
= √25
= 5 ইঞ্চি
সমাধান :
বৃত্তটির জ্যা AB = 8 ইঞ্চি; বৃত্তটির কেন্দ্র O হতে জ্যা AB এর উপর অঙ্কিত লম্ব OC = 3 ইঞ্চি; বৃত্তটির ব্যাসার্ধ OB = ?
বৃত্তের কেন্দ্র হতে যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং BC = 8/2 = 4 ইঞ্চি।
এখন OCB সমকোণী ত্রিভুজ হতে, OB = √(OC2 + BC2)
= √(32 + 42)
= √(9 + 16)
= √25
= 5 ইঞ্চি
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = ২× ৫ = ১০ ইঞ্চি
৭৭৮.
2r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের -
i. পরিধি 4πr একক
ii. ব্যাস 4r একক
iii. ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ একক
i. পরিধি 4πr একক
ii. ব্যাস 4r একক
iii. ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ একক
ব্যাখ্যা
এখানে, r1 = 2r
পরিধি = 2πr1 = 4πr
ব্যাস = 2r1 = 4r
ক্ষেত্রফল =πr²1 = 4πr2
৭৭৯.
একটি কোণের 4 গুণ 180° হলে কোণটির সম্পূরক কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণের 4 গুণ 180° হলে কোণটির সম্পূরক কোণের মান কত?
সমাধান:
দেওয়াআছে,
একটি কোণের 4 গুণ = 180°
এখন,
ধরি, কোণটি = x°
প্রশ্নমতে,
⇒ 4x = 180°
⇒ x = 180°/4
∴ x = 45°
আমরা জানি,
দুটি কোণের যোগফল যদি 180° হয়, তবে একটি কোণকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলা হয়।
সুতরাং, সম্পূরক কোণ = 180° - 45° = 135°
সমাধান:
দেওয়াআছে,
একটি কোণের 4 গুণ = 180°
এখন,
ধরি, কোণটি = x°
প্রশ্নমতে,
⇒ 4x = 180°
⇒ x = 180°/4
∴ x = 45°
আমরা জানি,
দুটি কোণের যোগফল যদি 180° হয়, তবে একটি কোণকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলা হয়।
সুতরাং, সম্পূরক কোণ = 180° - 45° = 135°
৭৮০.
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে 10 বার ঘুরে। চাকাটি 5 সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে 10 বার ঘুরে। চাকাটি 5 সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরে?
সমাধান:
60 সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে 10 বার
1 সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে 10/60 বার
5 সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে 10 × 5/60 বার
= 5/6 বার
গাড়ির চাকা 1 বার ঘুরে অতিক্রম করে = 360 ডিগ্রি
গাড়ির চাকা 5/6 বার ঘুরে অতিক্রম করে =(360 × 5)/6 ডিগ্রি
= 300 ডিগ্রি
সমাধান:
60 সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে 10 বার
1 সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে 10/60 বার
5 সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে 10 × 5/60 বার
= 5/6 বার
গাড়ির চাকা 1 বার ঘুরে অতিক্রম করে = 360 ডিগ্রি
গাড়ির চাকা 5/6 বার ঘুরে অতিক্রম করে =(360 × 5)/6 ডিগ্রি
= 300 ডিগ্রি
৭৮১.
কোন বৃত্তের পরিসীমার অর্ধেক 3π সে.মি. হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের পরিসীমার অর্ধেক 3π হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিসীমার অর্ধেক = 3π সে.মি.
∴ বৃত্তের পরিসীমা = (2 × 3π)
বা, 2πr = 6π
বা, r = 6π/2π
∴ r = 3 সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π(3)2
= 9π বর্গসে.মি.।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিসীমার অর্ধেক = 3π সে.মি.
∴ বৃত্তের পরিসীমা = (2 × 3π)
বা, 2πr = 6π
বা, r = 6π/2π
∴ r = 3 সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π(3)2
= 9π বর্গসে.মি.।
৭৮২.
৬৫° কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
যদি দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হয়, তবে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৬৫)°
= ১১৫°
৭৮৩.
(5,6) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করলে, বৃত্তটির ব্যাস কত একক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (5,6) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করলে, বৃত্তটির ব্যাস কত একক?
সমাধান:
কেন্দ্র (5,6) বিশিষ্ট একটি বৃত্ত যদি y-অক্ষকে স্পর্শ করে (অর্থাৎ x = 0), তাহলে কেন্দ্র থেকে y-অক্ষ পর্যন্ত অনুভূমিক দূরত্বই বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
কেন্দ্রের X-সমন্বয় = 5 = দূরত্ব = |5| = 5 একক
তাহলে ব্যাসার্ধ = 5 একক
⇒ ব্যাস = 2 × 5 একক
⇒ ব্যাস = 10 একক
∴ বৃত্তটির ব্যাস = 10 একক
৭৮৪.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π একক হলে, বৃত্তের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π একক হলে, বৃত্তের পরিসীমা কত?
সমাধান:
প্রশ্নমতে,
πr2 = 64π
⇒ r2 = 64
⇒ r = 8
∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π × 8
= 16π
সমাধান:
প্রশ্নমতে,
πr2 = 64π
⇒ r2 = 64
⇒ r = 8
∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π × 8
= 16π
৭৮৫.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অন্য দুটি কোণের সমষ্টি কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অন্য দুটি কোণের সমষ্টি কত হবে?
সমাধান:
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90°।
সমাধান:
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90°।
৭৮৬.
সমকেন্দ্রিক দুইটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে ১৬ সে.মি. ও ১২ সে.মি.। বৃত্তদ্বয়ের পরিধির মধ্যবর্তী এলাকার ক্ষেত্রফল কত ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকেন্দ্রিক দুইটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে ১৬ সে.মি. ও ১২ সে.মি.। বৃত্তদ্বয়ের পরিধির মধ্যবর্তী এলাকার ক্ষেত্রফল কত ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকেন্দ্রিক দুইটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে ১৬ সে.মি. ও ১২ সে.মি.
∴ বৃহত্তর বৃত্তের ব্যাসার্ধ r= ১৬/২ সে.মি.
= ৮ সেমি
∴ বৃহত্তর বৃত্তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ সেন্টিমিটার
= ৩.১৪১৬ × ৮২ বর্গ সেন্টিমিটার
= ২০১.০৬২৪ বর্গ সেন্টিমিটার
∴ ক্ষুদ্রতর বৃত্তের ব্যাসার্ধ r1 = ১২/২ সে.মি.
= ৬ সেমি
∴ ক্ষুদ্রতর বৃত্তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = πr1² বর্গ সেন্টিমিটার
= ৩.১৪১৬ × ৬২ বর্গ সেন্টিমিটার
= ১১৩.০৯৭৬ বর্গ সেন্টিমিটার
∴ বৃত্তদ্বয়ের মধ্যবর্তী এলাকার ক্ষেত্রফল = (২০১.০৬২৪ - ১১৩.০৯৭৬) বর্গ সেন্টিমিটার (প্রায়)
= ৮৭.৯৬৪৮ বর্গ সেন্টিমিটার (প্রায়)
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকেন্দ্রিক দুইটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে ১৬ সে.মি. ও ১২ সে.মি.
∴ বৃহত্তর বৃত্তের ব্যাসার্ধ r= ১৬/২ সে.মি.
= ৮ সেমি
∴ বৃহত্তর বৃত্তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ সেন্টিমিটার
= ৩.১৪১৬ × ৮২ বর্গ সেন্টিমিটার
= ২০১.০৬২৪ বর্গ সেন্টিমিটার
∴ ক্ষুদ্রতর বৃত্তের ব্যাসার্ধ r1 = ১২/২ সে.মি.
= ৬ সেমি
∴ ক্ষুদ্রতর বৃত্তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = πr1² বর্গ সেন্টিমিটার
= ৩.১৪১৬ × ৬২ বর্গ সেন্টিমিটার
= ১১৩.০৯৭৬ বর্গ সেন্টিমিটার
∴ বৃত্তদ্বয়ের মধ্যবর্তী এলাকার ক্ষেত্রফল = (২০১.০৬২৪ - ১১৩.০৯৭৬) বর্গ সেন্টিমিটার (প্রায়)
= ৮৭.৯৬৪৮ বর্গ সেন্টিমিটার (প্রায়)
৭৮৭.
ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠A = 55° এবং ∠B = 90° হলে, ∠ACD = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠A = 55° এবং ∠B = 90° হলে, ∠ACD = কত?
সমাধান:
গুরুত্বপূর্ণ কিছু অনুসিদ্ধান্ত:
১। ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২। ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর ।
ΔABC এ
∠ACD = ∠BAC + ∠ABC
= 55° + 90°
= 145°
সমাধান:
গুরুত্বপূর্ণ কিছু অনুসিদ্ধান্ত:
১। ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২। ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর ।
ΔABC এ
∠ACD = ∠BAC + ∠ABC
= 55° + 90°
= 145°
৭৮৮.
2 সে. মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু এবং বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বর্গক্ষেত্রের বহিঃস্থ এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?
সমাধান:
মনেকরি
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 2 সে.মি
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = π × 22 বর্গ সে.মি
=4π বর্গ সে.মি
আবার
ABCD এ AC = 4 সে.মি.
আমরা জানি
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AB2 + AB2 = AC2
⇒ 2AB2 = 42
⇒ 2AB2 =16
∴ AB2 = 8
বর্গক্ষেত্রের বহিঃস্থ এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = 4π - 8 বর্গ সে.মি
সমাধান:
মনেকরি
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 2 সে.মি
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = π × 22 বর্গ সে.মি
=4π বর্গ সে.মি
আবার
ABCD এ AC = 4 সে.মি.
আমরা জানি
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AB2 + AB2 = AC2
⇒ 2AB2 = 42
⇒ 2AB2 =16
∴ AB2 = 8
বর্গক্ষেত্রের বহিঃস্থ এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = 4π - 8 বর্গ সে.মি
৭৮৯.
একটি সরল রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করলে কয়টি সমকোণ পাওয়া যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সরল রেখার উপর একটি লম্ব অঙ্কন করলে কয়টি সমকোণ পাওয়া যায়?
সমাধান:
একটি সরল রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করলে ২টি সমকোণ পাওয়া যায়।
সমাধান:
একটি সরল রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করলে ২টি সমকোণ পাওয়া যায়।
৭৯০.
একটি ত্রিভুজের তিন কোণ অপর একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমান হলে, ত্রিভুজদ্বয় কীরূপ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন কোণ অপর একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমান হলে, ত্রিভুজদ্বয় কীরূপ হবে?
সমাধান:
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ অপর ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী।
সমাধান:
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ অপর ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী।
৭৯১.
একটি চাকার পরিধি ৪ মিটার। ১৬ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ৪ মিটার। ১৬ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
১৬ কিলোমিটার = ১৬০০০ মিটার
৪ মিটার গেলে ঘুরে = ১ বার
∴ ১ মিটার গেলে ঘুরে = ১/৪ বার
∴ ১৬০০০ মিটার গেলে ঘুরে = (১ × ১৬০০০)/৪ বার
= ৪০০০ বার
সমাধান:
আমরা জানি,
১৬ কিলোমিটার = ১৬০০০ মিটার
৪ মিটার গেলে ঘুরে = ১ বার
∴ ১ মিটার গেলে ঘুরে = ১/৪ বার
∴ ১৬০০০ মিটার গেলে ঘুরে = (১ × ১৬০০০)/৪ বার
= ৪০০০ বার
৭৯২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 12° হলে ত্রিভুজের কোণ তিনটির মান কত কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 12° হলে ত্রিভুজের কোণ তিনটির মান কত কত ডিগ্রি?
সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ = 90°
এবং অন্য দুটি কোণের যোগফল = 90°
ধরি, ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্মকোণ = x°
তাহলে বৃহত্তর সূক্ষ্মকোণ = (x + 12)°
প্রশ্নমতে,
⇒ x + (x + 12) = 90
⇒ 2x + 12 = 90
⇒ 2x = 78
∴ x = 39
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = 39°
বৃহত্তর কোণ = 39° + 12° = 51°
সমকোণ = 90°
সুতরাং, ত্রিভুজের কোণ তিনটির মান 39°, 51° এবং 90°।
৭৯৩.
কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে একইভাবে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে একইভাবে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-
সমাধান:
আমরা জানি,
যে কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
চিত্র হতে, x + y + z = 180° = এক সরলকোণ
প্রাপ্ত বহি:স্থ কোণগুলো যথাক্রমে (180° - x), (180° - y), (180° - z)
∴ বহি:স্থ কোণ তিনটির যোগফল = (180° - x) + (180° - y) + (180° - z)
= 540° - (x + y +z)
= 540° - 180°
= 360°
সমাধান:
আমরা জানি,
যে কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
চিত্র হতে, x + y + z = 180° = এক সরলকোণ
প্রাপ্ত বহি:স্থ কোণগুলো যথাক্রমে (180° - x), (180° - y), (180° - z)
∴ বহি:স্থ কোণ তিনটির যোগফল = (180° - x) + (180° - y) + (180° - z)
= 540° - (x + y +z)
= 540° - 180°
= 360°
৭৯৪.
একটি সমকোণী ত্রিভুজ এর সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৬° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, সূক্ষ্মকোণদ্বয় যথাক্রমে x ও x - 6 ডিগ্রী
প্রশ্নমতে,
x + (x - 6) = 90
বা, 2x - 6 = 90
বা, 2x = 96
বা, x = 48
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণের মান = 48 - 6 = 42 ডিগ্রী।
৭৯৫.
2x + 3y + 4 = 0, রেখার ঢাল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x + 3y + 4 = 0, রেখার ঢাল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.
এখন,
2x + 3y + 4 = 0
বা, 3y = - 2x - 4
বা, y = (- 2/3)x - 4/3
সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = - 2/3
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল = - 2/3
সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.
এখন,
2x + 3y + 4 = 0
বা, 3y = - 2x - 4
বা, y = (- 2/3)x - 4/3
সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = - 2/3
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল = - 2/3
৭৯৬.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 3 : 2। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 3 : 2। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত নিচের কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত = 3 : 2
ধরি,
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 3r
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
∴ প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)2 = π × 9r2 = 9πr2
∴ দ্বিতীয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)2 = π × 4r2 = 4πr2
∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 9πr2 : 4πr2 = 9 : 4
৭৯৭.
একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৫ : ৭।
ধরি, কোণগুলো যথাক্রমে ৩ক, ৫ক এবং ৭ক।
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = ১৮০°
⇒ ৩ক + ৫ক + ৭ক = ১৮০°
⇒ ১৫ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০°/১৫
⇒ ক = ১২°
ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩ক = ৩ × ১২° = ৩৬°
মধ্যম কোণ = ৫ক = ৫ × ১২° = ৬০°
বৃহত্তম কোণ = ৭ক = ৭ × ১২° = ৮৪°
∴ বৃহত্তম কোণটির মান = ৮৪°
৭৯৮.
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা ৬ সে. মি. হলে, এর পরিধি কত সে. মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা ৬ সে. মি. হলে, এর পরিধি কত সে. মি.?
সমাধান:
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা/ ব্যাস = ৬ সে. মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ১২/২ = ৩ সে. মি.
বৃত্তের পরিধি = 2πr
= ২ × ৩.১৪১৬ × ৩ সে. মি.
= ১৮.৮৪ সে. মি.
সমাধান:
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা/ ব্যাস = ৬ সে. মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ১২/২ = ৩ সে. মি.
বৃত্তের পরিধি = 2πr
= ২ × ৩.১৪১৬ × ৩ সে. মি.
= ১৮.৮৪ সে. মি.
৭৯৯.
চিত্রে α + β + γ = কত?
ব্যাখ্যা
α + β + γ
= (১৮০° - C) + (১৮০° - B) + (১৮০° - A)
= ৫৪০° - (A + B + C)
= ৫৪০° - ১৮০°
= ৩৬০°
৮০০.
৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০°
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০°