লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

মোট প্রশ্ন৩,২১১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ৪ / ৩২ · ৩০১–৪০০ / ৩,২১১

৩০১.
তলের প্রান্তকে কী বলে?
  1. ক
    ক) বিন্দু
  2. খ
    খ) কোণ
  3. গ
    গ) বৃত্ত
  4. ঘ
    ঘ) রেখা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তলের প্রান্তকে কী বলে?

সঠিক উত্তর: রেখা

ইউক্লিড তার 'এলিমেন্টস' গ্রন্থের প্রথম খন্ডে বিন্দু, রেখা ও তলের সংজ্ঞা দিয়েছেন। 
নিচে ইউক্লিডের বর্ণনা গুলো দেয়া হলো:

১) যার কোন অংশ নেই তাই বিন্দু।
২) যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ বা উচ্চতা নেই তাই রেখা।
৩) রেখার প্রান্ত বিন্দু।
৪) যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে কিন্তু উচ্চতা নেই, তাই তল।
৫) তলের প্রান্ত রেখা।

উৎস: গণিত (এস এস সি প্রোগ্রাম), বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।
৩০২.
90° + x°  কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?
  1. ক
    ক) x°
  2. খ
    খ) 180 - x°
  3. গ
    গ) x° - 90°
  4. ঘ
    ঘ) 90° - x°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 90° + x° কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?

সমাধান: 
সম্পূরক কোণের ক্ষেত্রে কোণদ্বয়ের সমষ্টি  180°
90° + x° কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - (90° + x°)
= 90° - x°
৩০৩.
(- 3, - 5) বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত?
  1. ক
    প্রথম
  2. খ
    তৃতীয়
  3. গ
    চতুর্থ
  4. ঘ
    দ্বিতীয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (- 3, - 5) বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত?

সমাধান:
একটি সমতল কার্তেসীয় তলে:

প্রথম চতুর্ভাগ: x > 0, y > 0
দ্বিতীয় চতুর্ভাগ: x < 0, y > 0
তৃতীয় চতুর্ভাগ: x < 0, y < 0
চতুর্থ চতুর্ভাগ: x > 0, y < 0

দেওয়া বিন্দু (- 3, - 5) এ:
x < 0
y < 0

∴ এটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। 

৩০৪.
একটি বৃত্তের ব্যাস 56 সে.মি., তার ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    1230 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    2464 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    3014 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 56 সে.মি., তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = 56 সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 28 সে.মি.

আমরা জানি,
 বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr2 বর্গ একক
= (22/7) × 282 বর্গ সে.মি.
= 2464 বর্গ সে.মি.
৩০৫.
দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে কী কোণ উৎপন্ন করে?
  1. ক
    পূরক কোণ
  2. খ
    সম্পূরক কোণ
  3. গ
    সন্নিহিত কোণ
  4. ঘ
    একান্তর কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে কী কোণ উৎপন্ন করে? 

সমাধান: 
- দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয় একান্তর কোণ। 

এখানে,
AB, CD সমান্তরাল রেখাদ্বয়কে EF তির্যক রেখাটি ছেদ করার ফলে EF রেখার বিপরীত পাশে অবস্থিত ∠APQ ও ∠PQD কোণদ্বয় পরস্পর একান্তর কোণ। 
আবার, ∠BPQ ও∠CQP কোণদ্বয়ও একান্তর কোণ। 

অপরদিকে, 
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।
৩০৬.
একটি ত্রিভুজের একটি কোণের মান অপর দুই কোণের সমষ্টির সমান হলে, অপর দুই কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণের মান অপর দুই কোণের সমষ্টির সমান হলে, অপর দুই কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
বা, 90° + 2 কোণ = 180°
বা, 2 কোণ = 180° - 90°
বা, 2 কোণ = 90°
বা, কোণ = 90°/2
∴ কোণ = 45°

৩০৭.
চিত্রে ABC সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৭√৩ বর্গ সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাস কত?
  1. ক
    ১২ সে.মি.
  2. খ
    ১0 সে.মি.
  3. গ
    ১8 সে.মি.
  4. ঘ
    8 সে.মি.
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল √৩/৪ a২ = ২৭√৩
বা, a২ = ২৭×৪
∴ a = ৬√৩ সে.মি.

বৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে, ব্যাস = ২R এবং
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
a/sinA = ২R
বা, ২R = ৬√৩/sin৬০°
= ৬√৩/((√৩)/২)
= ৬√৩ × 2/√৩
= ১২ সে.মি.
৩০৮.
১১০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি? 
  1. ক
    ৩০°
  2. খ
    ৬০°
  3. গ
    ৭০°
  4. ঘ
    ৯০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১১০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 

∴ ১১০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ১১০)°
= ৭০° ।

৩০৯.
বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 60 বর্গ মি. এবং দৈর্ঘ্য 5 মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    6 মি.
  2. খ
    6.5 মি.
  3. গ
    7 মি.
  4. ঘ
    8.5 মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 60 বর্গ মি. এবং দৈর্ঘ্য 5 মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 60 বর্গ মি.
সুতরাং  প্রস্থ = 60/5 = 12 মি.

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = √(122 + 52) = √169 = 13

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 13/2 = 6.5 মি.
৩১০.
বহিঃস্থ কোন বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে কতগুলো স্পর্শক আঁকা সম্ভব? 
  1. ক
    ক) ১টি
  2. খ
    খ) ২টি
  3. গ
    গ) ৩টি
  4. ঘ
    ঘ) ৪টি
ব্যাখ্যা
বহিঃস্থ কোন বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে ২টি স্পর্শক আঁকা সম্ভব।  

 
এখানে 
P বহিঃস্থ বিন্দু। 
PA ও PB দুটি স্পর্শক
৩১১.
১৮ সে.মি. ব্যাস ও ১২ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত? 
  1. ক
    ৬ সে.মি.
  2. খ
    ১৫ সে.মি.
  3. গ
    ৩০ সে.মি.
  4. ঘ
    ২১ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৮ সে.মি. ব্যাস ও ১২ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান। 

এখানে, 
১ম বৃত্তের ব্যাস = ১৮ সে.মি.
 ∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৮/২ সে.মি.
= ৯ সে.মি.

আবার,
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১২ সে.মি. 

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (৯ + ১২) সে.মি. 
= ২১ সে.মি.। 

সুতরাং, বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ২১ সে.মি.।

৩১২.
৫৫°কোণের সম্পূরক কোণের পরিমাণ হবে-
  1. ক
    ক) ১২৫°
  2. খ
    খ) ৩০৫°
  3. গ
    গ) ১৩৫°
  4. ঘ
    ঘ) ৩৫°
ব্যাখ্যা
সম্পূরক কোণের পরিমাণ ১৮০° হয়।
∴ ৫৫° এর সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৫৫)° = ১২৫°
৩১৩.
প্রদত্ত চিত্রে ∠AOD একটি-
  1. ক
    ক) সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    খ) স্থূলকোণ
  3. গ
    গ) সমকোণ
  4. ঘ
    ঘ) বিপ্রতীপ কোণ
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত চিত্রে ∠AOD একটি-
 
 
স্থূলকোণ: এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
চিত্রে ∠AOC সূক্ষ্মকোণ এবং ∠AOD স্থূলকোণ। ∠AOB এক সমকোণ।
৩১৪.
রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে?
  1. ক
    একটি
  2. খ
    তিনটি
  3. গ
    পাঁচটি
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে?

সমাধান:
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই।

রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।
৩১৫.
প্রদত্ত চিত্রে ∠AEF = কত ডিগ্রি? 
  1. ক
    ক) 50°
  2. খ
    খ) 100°
  3. গ
    গ) 25°
  4. ঘ
    ঘ) 75°
ব্যাখ্যা
সমাধান: 
 
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে।
প্রদত্ত চিত্রে AB ও CD পরস্পর সমান্তরাল 
PQ তাদের ছেদক। 
∠AEF ও ∠EFD পরস্পর একান্তর 
∠AEF = ∠EFD = 50°
৩১৬.
একটি সরল রেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি কত হবে?
  1. ক
    ক) ৯০°
  2. খ
    খ) ১২০°
  3. গ
    গ) ১৬০°
  4. ঘ
    ঘ) ১৮০°
ব্যাখ্যা
একটি সরল রেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন করে তাদের সমষ্টি ১৮০°।
৩১৭.
51° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?
  1. ক
    ক) 43°
  2. খ
    খ) 86°
  3. গ
    গ) 129°
  4. ঘ
    ঘ) 153°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 51° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?

সমাধান: 
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
51° কোণের সম্পূরক কোণ = (180 - 51)° = 129°
129° এক-তৃতীয়াংশ = 129°/3 = 43°
৩১৮.
১২ মিটার ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তকলা কেন্দ্রে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    π বর্গমিটার
  2. খ
    ৬π বর্গমিটার
  3. গ
    ৩৬π বর্গমিটার
  4. ঘ
    ২১৬π বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২ মিটার ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তকলা কেন্দ্রে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস ১২ মিটার
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ৬ মিটার
বৃত্তকলা দ্বারা বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = ৬০°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 

প্রদত্ত বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল =
 
৩১৯.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 16π বর্গ একক হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?
  1. ক
    4 একক
  2. খ
    6 একক
  3. গ
    8 একক
  4. ঘ
    12 একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 16π বর্গ একক হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, ক্ষেত্রফল = πr2

প্রশ্নমতে,
πr2 = 16π
⇒ r2 = 16
∴ r = 4

এখন,
ব্যাস = ব্যাসার্ধ × 2 = 4 × 2 = 8 একক
৩২০.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?
  1. ক
    ক) ৫৫
  2. খ
    খ) ৬৫
  3. গ
    গ) ৭৫
  4. ঘ
    ঘ) ৪৫
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে
ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০

ধরি,
কোণ গুলো যথাক্রমে ৬x°, ৮x° ও ১০x°

প্রশ্নমতে,
৬x° + ৮x° + ১০x° = ১৮০°
বা, ২৪x° = ১৮০°
বা, x = ৭.৫

ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ = (৭.৫ × ১০)°
                                     = ৭৫°
৩২১.
দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র যদি স্পর্শকের একই পাশে অবস্থান করে তবে তাকে কী বলে?
  1. ক
    বিপ্রতীপ স্পর্শক
  2. খ
    কার্যকর স্পর্শক
  3. গ
    সরল সাধারণ স্পর্শক
  4. ঘ
    তির্যক সাধারণ স্পর্শক
ব্যাখ্যা
একটি সরলরেখা যদি দুইটি বৃত্তের স্পর্শক হয় তবে তাকে বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক বলে।
ক) সরল সাধারণ স্পর্শক: দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র যদি স্পর্শকের একই পাশে অবস্থান করে তবে তাকে সরল সাধারণ স্পর্শক বলে।
খ) তির্যক সাধারণ স্পর্শক: দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র যদি স্পর্শকের বিপরীত পাশে অবস্থান করে তবে তাকে তির্যক সাধারণ স্পর্শক বলে।
৩২২.
একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত হচ্ছে 4 : 6 : 8. কোণগুলোর মান হচ্ছে—
  1. ক
    35°, 45°, 25°
  2. খ
    30°, 60°, 90°
  3. গ
    40°, 60°, 80°
  4. ঘ
    60°, 45°, 75°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন :  একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত হচ্ছে 4 : 6 : 8. কোণগুলোর মান হচ্ছে—

সমাধান :
মনেকরি,
কোণগুলো 4x, 6x, 8x ডিগ্রি

∴ 4x + 6x + 8x = 180°
বা, 18x = 180°
∴ x = 10°

১ম কোণ = 4x = 4 × 10° = 40°
২য় কোণ = 6x = 6 × 10° = 60° 
৩য় কোণ = 4x = 8 × 10° = 80°
৩২৩.
বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ৪
  2. খ
    ৮
  3. গ
    ১২
  4. ঘ
    ১৬
ব্যাখ্যা
[প্রশ্নটিতে ভাষাগত ইস্যু থাকতে পারে। চারগুণ বৃদ্ধি বলতে যা আছে তার সাথে চারগুণ পরিমাণ যোগ করা বুঝাতে পারে। নিচের দুটি প্রশ্ন ভালোভাবে লক্ষ করুন।]

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস =  (2r + 8r) = 10r
∴ ব্যাসার্ধ =10r/2 = 5r  

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(5r)2 =25πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 25πr2 - πr2 = 24πr2

∴ 24 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

=======================

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস চারগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান: 
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ব্যাস = 2r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 8r
∴ ব্যাসার্ধ = 8r/2 = 4r 

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)2 = 16πr2
 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল 16 গুণ  হবে।
৩২৪.
একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে সর্বচ্চ কতটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?
  1. ক
    ক) ১ টি
  2. খ
    খ) ২টি
  3. গ
    গ) ৩ টি
  4. ঘ
    ঘ) অসংখ্য
৩২৫.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭০° হলে বিপরীত কোণটির মান কত?
  1. ক
    ক) ২০°
  2. খ
    খ) ২০০°
  3. গ
    গ) ১১০°
  4. ঘ
    ঘ) ২৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭০° হলে বিপরীত কোণটির মান কত?

সমাধান:
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোন ৭০° হলে, অপরটি = (১৮০ - ৭০) বা ১১০°
৩২৬.
4 : 30 মিনিটে ঘড়ির ঘণ্টার ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত? 
  1. ক
    ক) 30°
  2. খ
    খ) 45°
  3. গ
    গ) 60°
  4. ঘ
    ঘ) 75°
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = | (11 × M - H × 60 )/2 |°

নির্ণেয় কোণ = | ( 11 × 30 -  60 × 4)/2 |°
                   = ।330 - 240/2 |°     
                   = 90°/2
                   = 45°
৩২৭.
AOB একটি সরলরেখা, OC রেখা AB সরলরেখাকে O বিন্দুতে ছেদ করে, যার ∠AOC = (2x + 10)° এবং ∠BOC = (3x - 20)°। x এর মান কত?
  1. ক
    48°
  2. খ
    28°
  3. গ
    42°
  4. ঘ
    38°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: AOB একটি সরলরেখা, OC রেখা AB সরলরেখাকে O বিন্দুতে ছেদ করে, যার ∠AOC = (2x + 10)° এবং ∠BOC = (3x - 20)°। x এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্নমতে,
2x° + 10° + 3x° - 20° = 180°
⇒ 5x° = 180° + 10°
⇒ x° = (190/5)°
∴ x° = 38°
৩২৮.
ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ABC + ∠BAC = 140° হলে, ∠ACD এর মান কত?
  1. ক
    ক) 70°
  2. খ
    খ) 100°
  3. গ
    গ) 140°
  4. ঘ
    ঘ) 180°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ABC + ∠BAC = 140° হলে, ∠ACD এর মান কত?

সমাধান: 
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।I
ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠ABC + ∠BAC = ∠ACD
∠ABC + ∠BAC = 140°
∠ACD = 140°
৩২৯.
ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব? 
  1. ক
    ৩, ৫ এবং ৮
  2. খ
    ৫, ৭ এবং ১৫
  3. গ
    ৭, ৮ এবং ৯
  4. ঘ
    ৮, ৯ এবং ১৮
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। 

এখানে, 
ক) ৩ + ৫ = ৮ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয় 
খ) ৫ + ৭ < ১৫ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয় 
গ) ৭ + ৮ > ৯ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব
ঘ) ৮ + ৯ < ১৮ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়
৩৩০.
কোনো বৃত্তের পরিধি 44 সে.মি. হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    3 সে.মি.
  2. খ
    7 সে.মি.
  3. গ
    9.12 সে.মি.
  4. ঘ
    11 সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 44 সে.মি. হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিধি = 44 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
2πr = 44
⇒ r = 44/2π
⇒ r = 44/{2 × (22/7)}
⇒ r = (44 × 7)/(2 × 22)
⇒ r = 7 

∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 7 সে.মি.

৩৩১.
একটি চাকা মিনিটে ২০ বার ঘুরলে এক সেকেন্ডে কত ডিগ্রি অতিক্রম করবে?
  1. ক
    ৬০°
  2. খ
    ৯০°
  3. গ
    ১২০°
  4. ঘ
    ১৪০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চাকা মিনিটে ২০ বার ঘুরলে এক সেকেন্ডে কত ডিগ্রি অতিক্রম করবে?

সমাধান:
মিনিটে ২০ বার ঘুরলে,
১ সেকেন্ডে ঘুরে = ২০/৬০ = ১/৩ বার

এখন,
একটি চাকা ১ বার সম্পূর্ণ ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০°

∴ ১/৩ বার ঘুরলে অতিক্রম করবে = ৩৬০°/৩ = ১২০°
৩৩২.
6 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কোনো অর্ধবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    18 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    36 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    54 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    72 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কোনো অর্ধবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:

অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
তাহলে, অর্ধবৃত্তের ব্যাস = 2 × 6 = 12 সে.মি.

আমরা জানি, অর্ধবৃত্তের ভেতরে অবস্থিত বৃহত্তম ত্রিভুজটির ভূমি হবে অর্ধবৃত্তের ব্যাস এবং উচ্চতা হবে অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।

অতএব, ত্রিভুজটির ভূমি, b = 12 সে.মি.
ত্রিভুজটির উচ্চতা, h = 6 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × 12 × 6 বর্গ সে.মি.
= 6 × 6 বর্গ সে.মি.
= 36 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, বৃহত্তম ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 36 বর্গ সে.মি.

৩৩৩.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ শতকরা 20% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    44%
  2. খ
    45%
  3. গ
    20%
  4. ঘ
    50%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ শতকরা 20% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে, ক্ষেত্রফল =πr2 বর্গ একক
20% বৃদ্ধিতে, ব্যাসার্ধ = r + r এর 20% = r + 0.2r = 1.2r
ক্ষেত্রফল = π(1.2r)2 = 1.44πr2
∴ ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে,
= {(1.44πr2 - πr2)/πr2} × 100%
= (0.44 × 100)%
= 44%
৩৩৪.
2∠a = 186° হলে, ∠a কোন ধরনের কোণ?
  1. ক
    প্রবৃদ্ধ কোণ
  2. খ
    বিপ্রতীপ কোণ
  3. গ
    সূক্ষ্মকোণ
  4. ঘ
    স্থূলকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2∠a = 186° হলে, ∠a কোন ধরনের কোণ?

সমাধান:
এখন,
2∠a = 186°
⇒ ∠a = 186°/2
⇒ ∠a = 93°

এক সমকোণ (90°) অপেক্ষা বড় কিন্তু দুই সমকোণ (180°) অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
সুতরাং, ∠a একটি স্থূলকোণ।
৩৩৫.
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রী হলে এর প্রত্যেকটি কোণের নাম কী?
  1. ক
    ক) সম্পূরক কোণ
  2. খ
    খ) পূরক কোণ
  3. গ
    গ) সরল কোণ
  4. ঘ
    ঘ) স্থুলকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রী হলে এর প্রত্যেকটি কোণের নাম কী?

সমাধান: 
দুইটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
∴ ৪৫ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৪৫° = ৪৫°
৩৩৬.
দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৪ : ৬ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ২ : ৩
  2. খ
    ৪ : ৯
  3. গ
    ৯ : ১৬
  4. ঘ
    ৪ : ৩
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৪ : ৬ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ যথাক্রমে ৪ক এবং ৬ক

∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৪ক)২ : π(৬ক)২
= ১৬πক২ : ৩৬πক২
= ১৬ : ৩৬
= ৪ : ৯
৩৩৭.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 40° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?
  1. ক
    25°
  2. খ
    18°
  3. গ
    20°
  4. ঘ
    35°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 40° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
বৃহত্তর কোণ = (x + 40)°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি 90°

প্রশ্নমতে,
x + (x + 40) = 90
বা, 2x + 40 = 90
বা, 2x = 90 - 40
বা, 2x = 50
বা, x = 50/2
∴ x = 25
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো 25°।

৩৩৮.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ মিটার হলে অতিভুজের মান কত?
  1. ক
    ক) ৬ মিটার
  2. খ
    খ) ৫ মিটার
  3. গ
    গ) ৮ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৭ মিটার
ব্যাখ্যা

অতিভুজ = √(৩²+৪²)
= √(৯+১৬)
= √২৫
= ৫ মিটার

৩৩৯.
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের -
  1. ক
    দ্বিগুণ
  2. খ
    সমান
  3. গ
    এক-তৃতীয়াংশ
  4. ঘ
    অসমান
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের -

 সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:

- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
৩৪০.
চিত্রে ∠ACB = 60°, ∠BAC = 2∠ABC এবং AB || CE হলে, ∠ACE এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 120°
  2. খ
    খ) 40°
  3. গ
    গ) 80°
  4. ঘ
    ঘ) 60°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে ∠ACB = 60°, ∠BAC = 2∠ABC এবং AB || CE হলে, ∠ACE এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
∠ABC = x
∴ ∠BAC = 2x

শর্তমতে,
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
⇒ 2x + x + 60° = 180°
⇒ 3x = 120°
⇒ x = 40°

∴ ∠BAC = 2x = 2 × 40° = 80° 

যেহেতু  AB || CE 
 ∠BAC = ∠ACE = 80° [অনুরূপ কোণ]
৩৪১.
দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৩ : ২ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে? 
  1. ক
    ৯ : ৪
  2. খ
    ২ : ৩
  3. গ
    ৪ : ৯
  4. ঘ
    ২ : ৯
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৩ : ২ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি, 
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ ৩x একক এবং ২x একক 
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৩x)২ : π(২x)২
= ৯πx২ : ৪πx২
= ৯ : ৪

∴ বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে = ৯ : ৪  ।
৩৪২.

PQ || SR, PQ = PR এবং∠PRQ = 55° হলে, ∠LRS এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    55°
  2. খ
    110°
  3. গ
    75°
  4. ঘ
    125°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 
PQ || SR, PQ = PR এবং∠PRQ = 55° হলে, ∠LRS এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
সমাধান:
PQ = PR হলে
∠PRQ = ∠PQR = 55°
আবার,
PQ ।। SR, QL এদের ছেদক
∠PQR = ∠LRS পরস্পর অনুরূপ কোণ
∠PQR = ∠LRS = 55°
৩৪৩.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?
  1. ক
    ক) ৩০°
  2. খ
    খ) ৪৫°
  3. গ
    গ) ৬০°
  4. ঘ
    ঘ) ৭৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০
কোণগুলি হল ৬ক, ৮ক, ১০ক

প্রশ্নমতে,
৬ক + ৮ক + ১০ক = ১৮০
⇒ ২৪ক = ১৮০
∴ ক = ৭.৫

ক্ষুদ্রতম কোণ = ৬ক
= ৬ × ৭.৫
= ৪৫°
৩৪৪.
(0, 0) এবং (7, 21) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত? 
  1. ক
    - 2
  2. খ
    0
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (0, 0) এবং (7, 21) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুইটি হলো (x1, y1) = (0, 0)
এবং (x2, y2) = (7, 21)

আমরা জানি,
সরলরেখার ঢাল, m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
= (21 - 0)/(7 - 0)
= 21/7
= 3
সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো 3।

৩৪৫.
ABCD রম্বসের AB এবং CD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে যেখানে AC = 6 সে.মি, BD = 8 সে.মি তবে, AB = ?
  1. ক
    ক) 6 সে.মি
  2. খ
    খ) 5 সে.মি
  3. গ
    গ) 4 সে.মি
  4. ঘ
    ঘ) 3 সে.মি
ব্যাখ্যা

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে
∴ < AOB = 90°

আবার,
OA = 1/2 AC
= 1/2 × 6 = 3cm,
OB = 1/2 BD
= 1/2 × 8 = 4

∴ AB = √(OA2 + OB2)
= √(32 + 42)
= √25
= 5cm

৩৪৬.
৩০° কোণের পূরক কোণের অর্ধেক কত?
  1. ক
    ক) ২০°
  2. খ
    খ) ৩০°
  3. গ
    গ) ৪০°
  4. ঘ
    ঘ) ৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩০° কোণের পূরক কোণের অর্ধেক কত?

সমাধান:
যখন দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ হয়, তখন একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ ৩০° কোণের পূরক কোণ =  ৯০° - ৩০°
= ৬০°

৩০° কোণের পূরক কোণের অর্ধেক =  ৬০°/২
= ৩০°
৩৪৭.
৮ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৭২ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ১২৮ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ১৪৪ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ২৫৬ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৮ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাস = ব্যাসার্ধ × ২
= ৮ × ২
= ১৬ সে.মি.

বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস = ১৬ সে.মি.

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (কর্ণ)২
∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × (১৬)২
= ১/২ × ২৫৬
= ১২৮ বর্গ সে.মি.

৩৪৮.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ অপর একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ হলে প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের কত গুণ হবে?
  1. ক
    ২
  2. খ
    ৪
  3. গ
    ৮
  4. ঘ
    ১৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ অপর একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ হলে প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের কত গুণ হবে?

সমাধান: 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 

ব্যাসার্ধ তিন গুণ হলে, ব্যাসার্ধ = 2r
∴ ক্ষেত্রফল = π(2r)2 = 4πr2 

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 4πr2/πr2 = 4 গুণ
৩৪৯.
দুটি রেখা 2x + y = 2 এবং y = kx - 3 পরস্পর লম্ব হলে, k এর মান কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    -1/2
  3. গ
    2
  4. ঘ
    -2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি রেখা 2x + y = 2 এবং y = kx - 3 পরস্পর লম্ব হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
দুটি রেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালগুলির গুণফল হয় -1।
প্রথম রেখার ঢাল m1 = -2
দ্বিতীয় রেখার ঢাল m2 = k

সুতরাং,
m1​ × m2 ​= -1
(-2) × k = -1
⇒ k = 1/2

∴ k-এর মান = 1/2

৩৫০.
বৃত্তের কোনাে বিন্দুতে কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?
  1. ক
    ক) ১টি
  2. খ
    খ) ২টি
  3. গ
    গ) ৩টি
  4. ঘ
    ঘ) ৪টি
ব্যাখ্যা
1. বৃত্তের কোনাে বিন্দুতে একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
2. স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী। 
3. বৃত্তের কোনাে বিন্দু দিয়ে ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।
4.. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনাে বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।
৩৫১.
দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয় এবং স্পরশবিন্দু কখন সমরেখ হবে?
  1. ক
    ক) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে
  2. খ
    খ) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে
  3. গ
    গ) ক ও খ
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ এবং বহিঃস্পর্শ করলে , উভয় ক্ষেত্রেই দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয় এবং স্পরশবিন্দু সমরেখ হবে।
৩৫২.
115° কোণের সম্পূরক কোণ কত?
  1. ক
    ক) 55°
  2. খ
    খ) 65°
  3. গ
    গ) 45°
  4. ঘ
    ঘ) 75°
ব্যাখ্যা
সম্পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি =180°

115° কোণের সম্পূরক কোণ =180°-115°=65°
৩৫৩.
একটি গাড়ির চাকার পরিধি ১০ মিটার। ১ কিলোমিটার ৫০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
  1. ক
    ক) ৩৫০ বার
  2. খ
    খ) ২৫০ বার
  3. গ
    গ) ১৫০ বার
  4. ঘ
    ঘ) ৫০ বার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ১০ মিটার। ১ কিলোমিটার ৫০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
 ১ কিলোমিটার ৫০০ মিটার  = ১০০০ + ৫০০ মিটার
= ১৫০০ মিটার
দেয়া আছে, একটি গাড়ির চাকার পরিধি ১০ মিটার

অর্থাৎ, ১০ মিটার পথ যেতে চাকাটি ঘুরবে ১ বার
১ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরবে ১/১০ বার
∴ ১৫০০ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরবে = ১৫০০/১০ বার
= ১৫০ বার
৩৫৪.
3 সে.মি ও 2 সে.মি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) 3 সে.মি.
  2. খ
    খ) 2 সে.মি.
  3. গ
    গ) 1 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 5 সে.মি.
ব্যাখ্যা
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হয় এদের ব্যাসার্ধদ্বয়ের অন্তরের সমান।
৩৫৫.
৪ টা ১৫ মিনিটে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত?
  1. ক
    ৩৭.৫°
  2. খ
    ৩৩.৫°
  3. গ
    ২৭.৫°
  4. ঘ
    ৪৭.৫°
ব্যাখ্যা
মধ্যবর্তী কোণের মান = |(১১× ১৫ - ৬০×৪)/২|°
= ৩৭.৫°
৩৫৬.
একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?
  1. ক
    ৬০°
  2. খ
    ৯০°
  3. গ
    ১২০°
  4. ঘ
    ১৭০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান বা ১৮০° হলে, একটি কোণকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

ধরি,
কোণটির মান = x°
∴  কোণটির সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x°

প্রশ্নমতে,
x° = (১৮০° - x°)/২
⇒  ২x° = ১৮০° - x°
⇒  ২x° + x° = ১৮০°
⇒  ৩x° = ১৮০°
⇒  x° = ১৮০°/৩
⇒  x° = ৬০°
৩৫৭.
একটি রেগুলার পলিগণের প্রতিটি অন্তঃস্থকোণের পরিমাণ ১৫০°, পলিগণটির বাহুর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) ১৫ টি
  2. খ
    খ) ১২ টি
  3. গ
    গ) ৫ টি
  4. ঘ
    ঘ) ৩ টি
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/(১৮০° - অন্তঃস্থকোণ)
বা, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/(১৮০° - ১৫০°) = ১২ টি।

৩৫৮.
কোন বৃত্তের পরিসীমার দ্বিগুণ 4π একক হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 4π বর্গএকক
  2. খ
    খ) 8π বর্গএকক
  3. গ
    গ) 2π বর্গএকক
  4. ঘ
    ঘ) π বর্গএকক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের পরিসীমার দ্বিগুণ 4π হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?


 সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিসীমার দ্বিগুণ 4π
∴ বৃত্তের পরিসীমা = 4π/2 = 2π
বা, 2πr = 2π
বা, r = 2π/2π
∴ r = 1

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π(1)2
= π
৩৫৯.
এক সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কী কোণ বলে? 
  1. ক
    সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    সম্পূরক কোণ
  3. গ
    প্রবৃদ্ধ কোণ
  4. ঘ
    স্থূলকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে। 

অন্যদিকে,
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড়, কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়। 
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
৩৬০.
3x2 + 4y2 = 12 সমীকরণটির লেখচিত্র কেমন হবে?
  1. ক
    ক) বৃত্ত
  2. খ
    খ) উপবৃত্ত
  3. গ
    গ) অধিবৃত্ত
  4. ঘ
    ঘ) পরাবৃত্ত
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
উপবৃত্তের সমীকরণ, (x2/a2 ) + (y2/b2) = 1

এখানে, প্রদত্ত সমীকরণটি,
3x2 + 4y2 = 12
⇒ 3x2/12 + 4y2/12 = 1 [উভয়পক্ষকে 12 দ্বারা ভাগ]
⇒  x2/4 + y2/3 = 1
⇒ (x2/22) + {y2/(√3)2} = 1, যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
৩৬১.
প্রদত্ত চিত্রের আলোকে 'X' এর মান কত?
  1. ক
    70°
  2. খ
    40°
  3. গ
    90°
  4. ঘ
    110°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে 'X' এর মান কত?


সমাধান:
এখানে,
∠AOC + ∠AOD = 180°
⇒ 110° + ∠AOD = 180°
⇒ ∠AOD = 180° - 110°
∴ X = 70°

৩৬২.
ΔABC-এ B = 6x, C = 5x এবং A:B = 7:6 হলে A = ?
  1. ক
    ক) 90°
  2. খ
    খ) 80°
  3. গ
    গ) 70°
  4. ঘ
    ঘ) 60°
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
B = 6x,
C = 5x
A:B = 7:6
বা, A/B = 7/6
বা, A = 7/6 B
= 7/6 × 6x
= 7x
ΔABC-এ,
A + B + C = 180°
বা, 6x + 5x + 7x = 180°
বা, 18x = 180°
∴ x = 10°

৩৬৩.
দুইটি সরলরেখা পরস্পরের উপর সমাপতিত হলে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?
  1. ক
    ১টি
  2. খ
    ২টি
  3. গ
    অসংখ্য
  4. ঘ
    কোনো বিন্দুতে মিলিত হয় না
ব্যাখ্যা
- দুইটি সরলরেখা সমান্তরাল হলে কোন বিন্দুতে ছেদ করবে না। 
- দুইটি সরলরেখা আড়াআড়ি ভাবে সর্বোচ্চ ১ টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
- দুইটি সরলরেখা পরস্পরের উপর সমাপতিত হলে উক্ত রেখা দুইটি অসংখ্য বিন্দুতে মিলিত হয়।
৩৬৪.
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১৫° হলে ক্ষুদ্রতম কোনটির মান কত ?
  1. ক
    ৪৭.৫°
  2. খ
    ৪২.৫°
  3. গ
    ৩৭.৫°
  4. ঘ
    ৪৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১৫° হলে ক্ষুদ্রতম কোনটির মান কত ?

সমাধান:
যেহেতু এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ , এর একটি কোণ ৯০° হবে, এবং অন্য দুটি কোণ হবে সূক্ষ্মকোণ হবে।

দেওয়া আছে,
সূক্ষ্মকোণগুলির মধ্যে পার্থক্য ১৫° ।
তাহলে সূক্ষ্মকোণ দুটিকে ”ক” এবং ”ক +১৫”  হিসেবে ধরতে পারি।

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ১৫ + ৯০ = ১৮০
⇒ ২ক + ১০৫ = ১৮০
⇒ ২ক = ১৮০ - ১০৫
⇒ ২ক = ৭৫
⇒ ক = ৭৫ ÷ ২
∴ ক = ৩৭.৫°
৩৬৫.
নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য এবং প্রান্তবিন্দু আছে কোনটির?
  1. ক
    রেখা
  2. খ
    রেখাংশ
  3. গ
    রশ্মি
  4. ঘ
    কোনোটিরই নেই
ব্যাখ্যা

রেখা (Line): বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে। একটি রেখার নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য ও প্রান্তবিন্দু নেই।

রেখাংশ (Segment of line): রেখাংশের নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে। রেখাংশের দুইটি প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রশ্মি (Ray): একটি রশ্মির নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই। একটি রশ্মির মাত্র একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।

৩৬৬.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB স্পর্শক এবং OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। ∠X = 45° হলে ∠Y এর মান কত?
  1. ক
    45°
  2. খ
    35°
  3. গ
    25°
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB স্পর্শক এবং OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। ∠X = 45° হলে ∠Y এর মান কত?


সমাধান:
OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ হলে ∠A = 90°
∴ ∠A + ∠B  + ∠O = 180°
∴ 90° + Y + 45° = 180°
⇒ Y + 135° = 180°
⇒ Y = 180° - 135° 
∴ Y = 45°
৩৬৭.
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত হবে?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    55°
  4. ঘ
    65°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
চার কোণের অনুপাত = 1 : 2 : 2 : 3
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = 1 + 2 + 2 + 3 = 8
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণ = (1/8) × 360°
= 45°
৩৬৮.
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের কতগুণ?
  1. ক
    অর্ধেক
  2. খ
    সমান
  3. গ
    দ্বিগুণ
  4. ঘ
    চারগুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের কতগুণ?

সমাধান:
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
৩৬৯.
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের -
  1. ক
    সমান
  2. খ
    অসমান
  3. গ
    দ্বিগুণ
  4. ঘ
    এক-তৃতীয়াংশ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের -

সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:

- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
৩৭০.
একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 20° কম হলে কোণটির মান কত?
  1. ক
    70°
  2. খ
    67°
  3. গ
    35°
  4. ঘ
    20°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 20° কম হলে কোণটির মান কত?

সমাধান:
মনে করি,
কোণটির মান = ক 

প্রশ্নমতে,
(90 - ক) - ক = 20°
⇒ 90° - 2ক = 20°
⇒ 2ক = 90° - 20°
⇒ 2ক = 70°
⇒ ক = 70°/2
⇒ ক = 35°
৩৭১.
চিত্রে AB||CD এবং EF ছেদক হলে ∠x + ∠y = ?
  1. ক
    ক) 90°
  2. খ
    খ) 120°
  3. গ
    গ) 180°
  4. ঘ
    ঘ) 270°
ব্যাখ্যা

চিত্রে AB||CD এবং EF ছেদক ফলে ∠BAC = ∠DCF = x
আবার,
∠BAE + ∠BAC = এক সরলকোণ = 180°
∴ y + x = 180° 
⇒ ∠x + ∠y = 180°

৩৭২.
৫৫° কোণের পূরক কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ক) ৩৫°
  2. খ
    খ) ১৩৫°
  3. গ
    গ) ৩০৫°
  4. ঘ
    ঘ) ১২৫°
ব্যাখ্যা
৫৫° এর পূরক কোণের মান = ৯০° - ৫৫° = ৩৫°
৩৭৩.

a° এর মান কত?
  1. ক
    66°
  2. খ
    60°
  3. গ
    68°
  4. ঘ
    72°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

a° এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
b° = 3c° [একান্তর কোণ বলে]
এবং, a° = 2b° [একান্তর কোণ বলে]
⇒ a° = 2 × 3c° = 6c°

∴ 3c° = a°/2
∴ a° + 6c° + 3c° = 180° [সরলকোণ বলে]
⇒ a° + a° + (a°/2) = 180°
⇒ (2a° + 2a° + a°)/2 = 180°
⇒ 5a°/2 = 180°
⇒ 5a° = 360°
∴ a° = 72°
৩৭৪.
দুইটি সম্পূরক কোণের অনুপাত ২০ : ১৬ হলে, কোণ দুইটি কত?
  1. ক
    ১২০°, ৬০° 
  2. খ
    ১১০°, ৭০° 
  3. গ
    ১০০°, ৮০° 
  4. ঘ
    ১৪০°, ৪০° 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সম্পূরক কোণের অনুপাত ২০ : ১৬ হলে, কোণ দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, অনুপাতের সাধারণ রাশি = x
তাহলে একটি কোণ = ২০x
অপর কোণ = ১৬x

আমরা জানি,
দুটি কোণ সম্পূরক হবে যদি তাদের সমষ্টি ১৮০∘ হয়।
শর্তমতে,
২০x + ১৬x = ১৮০°
৩৬x = ১৮০°
x = ১৮০°/৩৬
x = ৫°
∴ একটি কোণ = ২০ × ৫° = ১০০°
অপর কোণ = ১৬ × ৫° = ৮০° 
৩৭৫.
একটি সুষম সপ্তভূজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) ৭২০°
  2. খ
    খ) ৯০০°
  3. গ
    গ) ১০৮০°
  4. ঘ
    ঘ) ১২৬০°
ব্যাখ্যা

সপ্তভূজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (n - ২) × ১৮০
                                                          = (৭ - ২) × ১৮০°
                                                          = ৯০০°

৩৭৬.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 8° হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?
  1. ক
    ক) 41°
  2. খ
    খ) 39°
  3. গ
    গ) 49°
  4. ঘ
    ঘ) 82°
ব্যাখ্যা

মনে করি,
একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90 - ক)
শর্তমতে,
ক - (90 - ক) = 8
বা, ক - 90 + ক = 8
বা, 2ক = 98
বা, ক = 49
সুতরাং অপর কোণটি = 90 - ক
= 90 - 49
= 41°

৩৭৭.
৩০° কোণের পূরক কোণের অর্ধেক কত?
  1. ক
    ২০°
  2. খ
    ২৫°
  3. গ
    ৩০°
  4. ঘ
    ৩২°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩০° কোণের পূরক কোণের অর্ধেক কত?

সমাধান:
যখন দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ হয়, তখন একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ ৩০° কোণের পূরক কোণ =  ৯০° - ৩০°
= ৬০°

৩০° কোণের পূরক কোণের অর্ধেক =  ৬০°/২
= ৩০°
৩৭৮.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?
  1. ক
    ৭৫°
  2. খ
    ৫০°
  3. গ
    ৬০°
  4. ঘ
    ৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
একটি কোণ ৯০° হলে, 
অপর কোনটি হবে = (১৮০° - ৯০°) 
= ৯০° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = ৯০°। 
৩৭৯.
দুইটি সমান্তরাল রেখা কয়টা বিন্দুতে ছেদ করে?
  1. ক
    ২ টি
  2. খ
    ৪ টি
  3. গ
    অসংখ্য
  4. ঘ
    শূন্য
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সমান্তরাল রেখা কয়টা বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দুইটি সমান্তরাল রেখা কখনোই একে অপরকে ছেদ করে না।

সমান্তরাল রেখা এমন দুটি রেখা, যা একে অপরকে কখনোই ছেদ করে না এবং সবসময় একই দিকে চলতে থাকে। এর মানে হল যে, এই রেখাগুলির মধ্যে কোন সংযোগ বা ছেদের স্থান থাকে না।

অতএব, দুটি সমান্তরাল রেখা ০ (শূন্য) বিন্দুতে ছেদ করে।
৩৮০.
দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে। এদের একটির ব্যাস ১০ সে.মি. এবং ২য় টির ব্যাসার্ধ ৪ সে.মি হলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সে.মি. হবে?
  1. ক
    ৬ সে.মি
  2. খ
    ৯ সে.মি 
  3. গ
    ১০ সে.মি
  4. ঘ
    ১২ সে.মি 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে। এদের একটির ব্যাস ১০ সে.মি. এবং ২য় টির ব্যাসার্ধ ৪ সে.মি হলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সে.মি. হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম বৃত্তের ব্যাস = ১০ সে.মি
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ  = ১০/২ = ৫ সে.মি
২য় বৃত্তের, ব্যাসার্ধ = ৪ সে.মি

বহিঃস্পর্শ করে এখন দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ + ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= (৫ + ৪) সে.মি
= ৯ সে.মি

৩৮১.
৩০ সেমি ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৯ সেমি দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ২০ সেমি
  2. খ
    ২২ সেমি
  3. গ
    ২৪ সেমি
  4. ঘ
    ৩০ সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩০ সেমি ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৯ সেমি দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = ৯ সেমি
ব্যাস = ৩০ সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ OB = ৩০ ÷ ২ = ১৫ সে.মি.

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
জ্যা এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য CB = √ {(ব্যাসার্ধ)২ - (কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব)২}
= √{(১৫)২ - (৯)২}
= √(২২৫ - ৮১)
= √১৪৪
= ১২

∴ জ্যা AB এর দৈর্ঘ্য = ১২ × ২ = ২৪ সেমি
৩৮২.
বৃত্তের কেন্দ্র হতে ২৪ সেমি দীর্ঘ জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ৫সেমি হলে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হবে-
  1. ক
    ক) ১৩ সেমি
  2. খ
    খ) ১৪ সেমি
  3. গ
    গ) ১২ সেমি
  4. ঘ
    ঘ) ১৫ সেমি
ব্যাখ্যা

AB = ২৪ সেমি
∴ AD = ১২ সেমি
AF2 = AD2 + FD2
= ১২২ + ৫২
= ১৪৪ + ২৫
= ১৬৯
∴ AF = ১৩ সেমি
৩৮৩.
৮ সে.মি. এবং ১২ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পর যুক্ত। তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্বের অর্ধেক দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি বর্গের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    ১০০
  2. খ
    ২৫
  3. গ
    ২৮.৮৮
  4. ঘ
    ১৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮ সে.মি. এবং ১২ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পর যুক্ত। তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্বের অর্ধেক দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি বর্গের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৮/২ = ৪ সে.মি.
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১২/২ = ৬ সে.মি.

মধ্যবর্তী দূরত্ব = (৪ + ৬) = ১০ সে.মি.

∴ বর্গের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ১০/২ = ৫ সে.মি.

ক্ষেত্রফল = (৫)২ = ২৫ বর্গ সে.মি.
৩৮৪.
১২৫° কোণের সম্পূরক কোণ কত?
  1. ক
    ক) ৩৫°
  2. খ
    খ) ২৩৫°
  3. গ
    গ) ১৪৫°
  4. ঘ
    ঘ) ৫৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২৫° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান :
সম্পূরক কোনের ক্ষেত্রে কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
সুতরাং,  ১২৫° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ১২৫° = ৫৫°
৩৮৫.
কোনো বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৬০° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ কত?
  1. ক
    ১১০°
  2. খ
    ১২০°
  3. গ
    ৩০°
  4. ঘ
    ৯০°
ব্যাখ্যা
কোনো বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৬০° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ কত? 

ত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ =পরিধিস্থ কোণ × ২ = ৬০°× ২ = ১২০°
৩৮৬.
একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার তিন ভাগের একভাগের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?
  1. ক
    ৩
  2. খ
    ৬
  3. গ
    ৯
  4. ঘ
    ১
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার তিন ভাগের একভাগের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?

সমাধান:
ধরি, সরলরেখার দৈর্ঘ্য = a
ক্ষেত্রফল = a2

আবার, সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের দৈর্ঘ্য = a/3
ক্ষেত্রফল = (a/3)2 = a2/9

∴ a2/(a2/9) = a2 ×(9/a2) = 9 গুণ।
৩৮৭.
সমকোণী ত্রিভূজের একটি কোণ ৩০° (সমকোণ ব্যতীত) হলে অপরটি কত?
  1. ক
    ৬০°
  2. খ
    ৩০°
  3. গ
    ৯০°
  4. ঘ
    ১২০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভূজের একটি কোণ ৩০° (সমকোণ ব্যতীত) হলে অপরটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ। 

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বলে সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুই কোণের সমষ্টি = ৯০°
একটি কোণ ৩০° হলে, অপরটি = ৯০° - ৩০° = ৬০°
৩৮৮.
বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কোনটি?
  1. ক
    ক) 7/22
  2. খ
    খ) 22/7
  3. গ
    গ) 1/22
  4. ঘ
    ঘ) 3/22
ব্যাখ্যা
বৃত্তের পরিধি 2πr এবং ব্যাস 2r

∴  বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত  = পরিধি : ব্যাস
                                                       = 2πr : 2r 
                                                       = 2πr/2r
                                                       = π/1
                                                       = (22/7) /1
                                                       = 22/7
৩৮৯.
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 9 সে.মি. হলে বড় বৃত্তটির পরিধি কত?
  1. ক
    32
  2. খ
    45
  3. গ
    64
  4. ঘ
    88
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 9 সে.মি. হলে বড় বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সে.মি.
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = 9 সে.মি.

বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (9 + 5)সে.মি. = 14 সে.মি.

∴ বড় বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × 14
= 88 সে.মি.

৩৯০.
বৃত্তের কেন্দ্র হতে ২৪ সেঃমিঃ দীর্ঘ জ্যা এর উপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য ৫ সেঃমিঃ হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ-
  1. ক
    ক) ১৩
  2. খ
    খ) ১৪
  3. গ
    গ) ১৫
  4. ঘ
    ঘ) ১৬
ব্যাখ্যা

এখানে,
জ্যা AB = ২৪ সেঃমিঃ
∴ AC = ১/২ × AB
= ১/২ × ২৪
= ১২ সেঃমিঃ
কেন্দ্র O হতে অংকিত লম্ব OC = ৫
∴ ব্যাসার্ধ OA = √(AC)2 + (OC)2
= √(১২2 + ৫2)
= ১৩

৩৯১.
দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত?
  1. ক
    110°, 70°
  2. খ
    120°, 60°
  3. গ
    100°, 80°
  4. ঘ
    130°, 50°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি 180°।
ধরি, কোণ দুটি হলো 13x এবং 5x।
শর্তমতে,
13x + 5x = 180°
⇒ 18x = 180°
⇒ x = 180° / 18
⇒ x = 10°
∴ প্রথম কোণটি = 13x = 13 × 10° = 130°
এবং দ্বিতীয় কোণটি = 5x = 5 × 10° = 50°
সুতরাং, কোণ দুটির পরিমাণ হলো 130° এবং 50°।

• দুটি কোণের সমষ্টি 180° হলে তাদেরকে সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles) বলা হয়।

৩৯২.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 81π বর্গমিটার, পরিধি 18π মিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত?
  1. ক
    15 মিটার
  2. খ
    18 মিটার
  3. গ
    9 মিটার
  4. ঘ
    36 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 81π বর্গমিটার, পরিধি 18π মিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

শর্তমতে,
2πr = 18π মিটার
এবং, πr2 = 81π বর্গমিটার‌।
এখন
πr2/2πr = 81π/18π
বা, r/2 = 4.5
∴ r = 9

∴ বৃত্তের ব্যাস = 2 × 9 = 18 মিটার
৩৯৩.
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমান কত? 
  1. ক
    ক) ৩০°
  2. খ
    খ) ৪৫°
  3. গ
    গ) ৬০°
  4. ঘ
    ঘ) ৯০°
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমান এক সমকোণ অর্থাৎ ৯০ ডিগ্রী অর্থাৎ এক সরলকোণের অর্ধেক।
৩৯৪.
12 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    220 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    288 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    350 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    410 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ, r = 12 সে.মি.
তাহলে, ব্যাস = 2r = (12 × 2) = 24 [যা বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান]
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণ)2
= (1/2) × (24)2
= 576/2
= 288 বর্গ সে.মি.
∴ ক্ষেত্রফল = 288 বর্গ সে.মি.

৩৯৫.
দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের একটির বিপরীত কোণকে অপরটির কি বলা হয়?
  1. ক
    ক) সন্নিহিত কোণ
  2. খ
    খ) পূরক কোণ
  3. গ
    গ) সমপূরক কোণ
  4. ঘ
    ঘ) বিপ্রতীপ কোণ
ব্যাখ্যা
- দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়, এদের যেকোনো একটিকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে, বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে উৎপন্ন বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান হয়।
৩৯৬.
২০ মিটার বাহু বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের মধ্যে একটি বৃত্ত অন্তর্লিখিত হলে, বর্গক্ষেত্রের ভিতরে বৃত্ত বহির্ভূত অংশের ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ক) ৩০০
  2. খ
    খ) ৩১৪
  3. গ
    গ) ৮০
  4. ঘ
    ঘ) ৮৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২০ মিটার বাহু বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের মধ্যে একটি বৃত্ত অন্তর্লিখিত হলে, বর্গক্ষেত্রের ভিতরে বৃত্ত বহির্ভূত অংশের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:


দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ২০ মিটার
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২০ × ২০ বর্গমিটার = ৪০০ বর্গমিটার

যেহেতু বৃত্তটি বর্গক্ষেত্রের ভেতরে অন্তর্লিখিত হয়েছে, সেহেতু বৃত্তটির ব্যাস ২০ মিটার,
তাহলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ১০ মিটার।
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল π × ১০২ বর্গমিটার = ৩.১৪ × ১০০ বর্গমিটার = ৩১৪ বর্গমিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ভেতরে বৃত্ত বহির্ভূত অংশের ক্ষেত্রফল =
(৪০০ - ৩১৪) বর্গমিটার
= ৮৬ বর্গমিটার
৩৯৭.
বৃত্তের স্পর্শক বৃত্তের ব্যাসার্ধের সাথে কী পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে?
  1. ক
    2π
  2. খ
    π/4
  3. গ
    4π
  4. ঘ
    π/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের স্পর্শক বৃত্তের ব্যাসার্ধের সাথে কী পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে?

সমাধান:

আমরা জানি,
বৃত্তের যেকোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব। 
বৃত্তেরস্পর্শক বৃত্তের ব্যাসার্ধের সাথে π/2 কোণ উৎপন্ন করে। 
৩৯৮.
৪ টা ২৫ মিনিটের সময় ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মাধবর্তী কোণ কত? 
  1. ক
    ২৫°
  2. খ
    ৩৫°
  3. গ
    ১৭.৫°
  4. ঘ
    ১৫.৫°
ব্যাখ্যা
মধ্যবর্তী কোণ = । (11 M - 60 H) / 2 ।°
= । (১১ × ২৫ - ৬০ × ৪) / ২।°
= । ২৭৫ - ২৪০ / ২।°
= । ৩৫/ ২।°
= ১৭.৫°
৩৯৯.
যদি একটি ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৫০° ও ৬৫° হয়, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ কত হবে?
  1. ক
    ১৩০°
  2. খ
    ১২৫°
  3. গ
    ১২০°
  4. ঘ
    ১১৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৫০° ও ৬৫° হয়, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

এখানে,
ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৫০° ও ৬৫°
ত্রিভুজের তৃতীয় অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - (৫০° + ৬৫°)
= ১৮০° - ১১৫°
= ৬৫°

আবার,
বহিঃস্থ কোণ এবং তার সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণের যোগফল ১৮০° হয়।
∴ বহিঃস্থ কোণ + সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ + ৬৫° = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ৬৫°
⇒ বহিঃস্থ কোণ = ১১৫°
৪০০.
x - y = 0 এবং 2x + y - 3 = 0 রেখা দু’টির ছেদবিন্দুর স্থানাংক-
  1. ক
    ক) (1, 1)
  2. খ
    খ) (-1, 1)
  3. গ
    গ) (1, -1)
  4. ঘ
    ঘ) (0, 0)
ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রেখাদ্বয়,
x - y = 0.......(1)
এবং
2x + y - 3 = 0......(2)
(1) নং থেকে পাই x = y
(2) নং থেকে পাই 2x + y - 3 = 0
বা, 2x + x - 3 = 0
3x = 3
∴ x = 1
∴ y = 1
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাংক (1, 1)