লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

মোট প্রশ্ন৩,২১১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ৩ / ৩২ · ২০১–৩০০ / ৩,২১১

২০১.
বৃত্তের দৈর্ঘ্যকে কী বলে?
  1. ক
    ক) জ্যা
  2. খ
    খ) ব্যস
  3. গ
    গ) পরিধি
  4. ঘ
    ঘ) বৃত্তচাপ
ব্যাখ্যা
বৃত্ত সম্পর্কে কিছু তথ্য: 
- বৃত্তের দৈর্ঘ্য কে পরিধি বলে।
- একটি বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলে।
- জ্যা যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামি হয় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- ব্যাসের অর্ধেক ব্যাসার্ধ।
- বৃত্তের পরিধির অংশকে চাপ বলে।
- বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের পরিধি = 2πr
২০২.
৫৩ ডিগ্রী কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
  1. ক
    ক) ৩৭ ডিগ্রী
  2. খ
    খ) ৫৩ ডিগ্রী
  3. গ
    গ) ১২৭ ডিগ্রী
  4. ঘ
    ঘ) ১৪৩ ডিগ্রী
  5. ঙ
    ঙ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান হয়। এখানে ৫৩ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ হবে ৫৩ ডিগ্রি।
২০৩.
৩৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
  1. ক
    ৩৭°
  2. খ
    ৫৩°
  3. গ
    ১২৭°
  4. ঘ
    ১৪৩°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ :
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ 
৩৭°কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৩৭°
২০৪.
নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ নয়?
  1. ক
    ১৯৩°
  2. খ
    ১৮৭°
  3. গ
    ২১০°
  4. ঘ
    ১৭৮°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ নয়?

সমাধান:
- ৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।

∴ ১৭৮° কোণটি প্রবৃদ্ধ কোণ নয়।
২০৫.
এক সরল কোণ কত ডিগ্রী?
  1. ক
    ৬০
  2. খ
    ৯০
  3. গ
    ১৫০
  4. ঘ
    ১৮০
ব্যাখ্যা
- এক সরল কোণ ১৮০ ডিগ্রী।
- দুইটি বিপরীত রশ্মি এক বিন্দুতে মিলিত হলে, ঐ বিন্দুতে ১৮০ ডিগ্রী কোণ উৎপন্ন হয়।
- ১৮০ ডিগ্রী কোণকে এক সরল কোণ বলে।
২০৬.
ABCD একটি রম্বস। এর ∠B = 120° হলে ∠D = কত?
  1. ক
    ক) 60°
  2. খ
    খ) 120°
  3. গ
    গ) 90°
  4. ঘ
    ঘ) 45°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABCD একটি রম্বস। এর ∠B = 120° হলে ∠D = কত?

সমাধান:


আমরা জানি,
রম্বসের সন্নিহিত বাহুর সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180⁰

তাহলে,
∠A + ∠B = 180°

অনুরূপভাবে,
∠A + ∠D = 180°
এখন
∠A + ∠B = ∠A + ∠D
∠B = ∠D = 120°


২০৭.
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে ১টি বৃত্তের উপর সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?
  1. ক
    ১
  2. খ
    ২
  3. গ
    ৩
  4. ঘ
    অসীম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে ১টি বৃত্তের উপর সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?

সমাধান:

চিত্রে দেখানো হয়েছে, একটি বহিস্থ বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে সর্বাধিক দুটি স্পর্শক আঁকতে পারা যায়।
 
২০৮.
একটি ত্রিভুজের দু’টি কোণের মান 45° ও 60° হলে ত্রিভুজটির অপর কোণের মান কত?
  1. ক
    55°
  2. খ
    65°
  3. গ
    75°
  4. ঘ
    85°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দু’টি কোণের মান 45° ও 60° হলে ত্রিভুজটির অপর কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180° 

অপর কোণের মান = 180° - (45° + 60°)
=180°  - 105° 
=75° 
২০৯.
প্রদত্ত চিত্রে x এর মান কত?  
  1. ক
    12
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজের একটি কোণ 70°
আরেকটি কোণ 60°
এবং তৃতীয় কোণ 8x + 2° 

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল = 180°
⇒ 70 + 60 + (8x + 2) = 180 
⇒ 132 + 8x = 180
⇒ 8x = 180 - 132
⇒ 8x = 48
⇒ x = 48/8
∴ x = 6

সুতরাং, প্রদত্ত চিত্রে x এর মান 6। 

২১০.
নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠QPR = 39° হলে, ∠QOR কোণের মান কত?
  1. ক
    51°
  2. খ
    78°
  3. গ
    81°
  4. ঘ
    141°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠QPR = 39° হলে, ∠QOR কোণের মান কত?
 

সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
চিত্রটিতে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠QOR, বৃত্তস্থ কোণ ∠QPR = 39°

∴ ∠QOR = (2 × 39°) = 78°
২১১.
বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) ২২ : ৭
  2. খ
    খ) ২৪ : ৭
  3. গ
    গ) ২১ : ৭
  4. ঘ
    ঘ) ৭ : ২১
ব্যাখ্যা

পরিধি/ব্যাস = ২πr/২r = π = ২২/৭
বাঁ, পরিধি : ব্যাস = ২২ : ৭

২১২.
অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান এক সরলকোণের -
  1. ক
    ক) অর্ধেক
  2. খ
    খ) এক-তৃতীয়াংশ
  3. গ
    গ) সমান
  4. ঘ
    ঘ) দুই-তৃতীয়াংশ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান এক সরলকোণের -

সমাধান : 
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমান এক সমকোণ অর্থাৎ ৯০ ডিগ্রী অর্থাৎ এক সরলকোণের অর্ধেক।
সুতরাং, অর্ধ বৃত্তস্থ কোন = ৯০°

 
 
২১৩.
কোন ত্রিভুজের কয়টি বহির্বৃত্ত আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    ২
  2. খ
    ৩
  3. গ
    ৪
  4. ঘ
    ১
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের কয়টি বহির্বৃত্ত আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

২১৪.
দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে। এদের একটির ব্যাস ১২ সেমি এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪ সেমি হলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সে.মি. হবে?
  1. ক
    ১৬ সেমি
  2. খ
    ১৪ সেমি
  3. গ
    ১২ সেমি
  4. ঘ
    ১০ সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে। এদের একটির ব্যাস ১২ সেমি এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪ সেমি হলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সে.মি. হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম বৃত্তের, ব্যাস = ১২ সে.মি.
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ =৬ সে.মি 
২য় বৃত্তের, ব্যাসার্ধ = ৪ সেমি

যেহেতু, বৃত্ত দুটি বহিঃস্পর্শ করে
∴ বৃত্ত দুইটি কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ + ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ব
= (৬ + 8) সেমি
= ১০ সেমি
২১৫.
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘুরে। ৫৪০ ডিগ্রি ঘুরতে চাকাটির কত সময় লাগবে? 
  1. ক
    ক) ৬ সেকেন্ড
  2. খ
    খ) ৫ সেকেন্ড
  3. গ
    গ) ৩ সেকেন্ড
  4. ঘ
    ঘ) ১ সেকেন্ড
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘুরে। ৫৪০ ডিগ্রি ঘুরতে চাকাটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৯০ × ৩৬০°

৯০ × ৩৬০° ঘুরে ৬০ সেকেন্ডে 
∴ ১° ঘুরে ৬০/(৯০ × ৩৬০) সেকেন্ডে
∴ ৫৪০° ঘুরে (৬০ × ৫৪০)/(৯০ × ৩৬০) সেকেন্ডে 
= ১ সেকেন্ড 
২১৬.
নিচের চিত্রে y এর মান কত?
  1. ক
    45°
  2. খ
    42°
  3. গ
    44°
  4. ঘ
    40°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের চিত্রে y এর মান কত?

সমাধান:
3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 36°
∴ 2x = 72°

∴ y + 30° = 72°
⇒ y = 72° - 30°
∴ y =  42°
২১৭.
মাহফুজ দুপুর ১২.০১ এ বাজারে যাচ্ছে, ঠিক তখন সূর্য তার মাথার সোজাসুজি অবস্থান করছে, সূর্যের সাপেক্ষে মাহফুজ এর উচ্চতা নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) ভূমি
  2. খ
    খ) অতিভুজ
  3. গ
    গ) লম্ব
  4. ঘ
    ঘ) কৌণিক অতিভুজ
ব্যাখ্যা
যেহেতু সূর্য মাহফুজের মাথার উপরে অর্থাৎ লম্বালম্বিভাবে। সুতরাং সূর্যের সাপেক্ষে মাহফুজ এর উচ্চতা হবে লম্ব।
২১৮.
সাইকেলের চাকার পাশাপাশি দুইটি শলার মধ্য ১৮° কোণ হলে চাকাতে কয়টি শলা রয়েছে?
  1. ক
    ক) ২০
  2. খ
    খ) ২৪
  3. গ
    গ) ২৮
  4. ঘ
    ঘ) ৩২
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, একটি চাকা = ৩৬০°
∴ যেকোনো ২ টি শলার মধ্যে কোণ ১৮° হলে মোট শলা আছে = ৩৬০°/১৮° = ২০ টি।

২১৯.
OAB সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং OA = OB হলে, ∠AOB এর মান কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    50°
  3. গ
    40°
  4. ঘ
    60°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: OAB সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং OA = OB হলে, ∠AOB এর মান কত?



সমাধান: 

∠OBA = ∠ECD = 180° - 110° = 70°
∴ ∠AOB = 180° - 70° - 70° = 40°
২২০.
একটি বৃত্তের ব্যাস 1/2 হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    π/4 বর্গ একক
  2. খ
    16 বর্গ একক
  3. গ
    π/16 বর্গ একক
  4. ঘ
    π/8 বর্গ একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 1/2 হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তটির ব্যাস d =1/2​ একক
ব্যাসার্ধ, r = d/​2=1​/4 একক

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π(1/4​)2
= π × (1/1 6​)
= π​/16

অতএব, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল হবে π/16 বর্গ একক ।
২২১.
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ ৭৫° হলে, পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?
  1. ক
    ৩৯.৫°
  2. খ
    ৩৫°
  3. গ
    ৩৭.৫°
  4. ঘ
    ১৫০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ ৭৫° হলে, পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ।

এখন,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৭৫° হলে,
পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ হবে = ৭৫°/২ = ৩৭.৫°

∴ পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৩৭.৫°
২২২.
৪৩ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
  1. ক
    ৪৭°
  2. খ
    ৪৩°
  3. গ
    ২১.৫°
  4. ঘ
    ৮৬°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪৩ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ বিন্দুতে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের যে কোনো একটি কোণকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে। বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান।

৪৩° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ হবে ৪৩°।
২২৩.
130° কোণটি হলো -
  1. ক
    ক) সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    খ) প্রবদ্ধকোণ
  3. গ
    গ) সমকোণ
  4. ঘ
    ঘ) স্থূলকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 130° কোণটি হলো -

সমাধান:
90° বা সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু 180° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
২২৪.
কোনো বৃত্তের 10 সেমি দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে 12 সেমি দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত সেন্টিমিটার?
  1. ক
    13
  2. খ
    14.5
  3. গ
    9
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের 10 সেমি দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে 12 সেমি দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত সেন্টিমিটার?

সমাধান: 
বৃত্তটির জ্যা AB = 10 সে.মি.;
বৃত্তটির কেন্দ্র O হতে জ্যা AB এর উপর অঙ্কিত লম্ব OC = 12 সে.মি.;
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ OB = ?
বৃত্তের কেন্দ্র হতে যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং BC = 10/2 = 5 সেমি।
এখন OCB সমকোণী ত্রিভুজ হতে, OB = √(OC2 + BC2)
= √(122 + 52)
= √(144 + 25)
= √169
= 13 সে.মি.
২২৫.
৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত?
  1. ক
    ৯০° 
  2. খ
    ৬০° 
  3. গ
    ৩০° 
  4. ঘ
    ১৮০° 
ব্যাখ্যা
৯০° এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৯০° = ৯০°
২২৬.
কোন বৃত্তের ব্যাস ৪ সে.মি হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    64π
  2. খ
    16π2
  3. গ
    16π
  4. ঘ
    64π2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাস ৪ সে.মি. হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
ব্যাস 2r = ৪ সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ r = 4 সে.মি.
∴ ক্ষেত্রফল = πr2
= π × 42
= 16π

২২৭.
315° কোণকে কী কোণ বলে?
  1. ক
    স্থূলকোণ
  2. খ
    প্রবৃদ্ধ কোণ
  3. গ
    পূরক কোণ
  4. ঘ
    কোনটিই নয় 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 315° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ 180° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু 360° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- তাই 315° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

২২৮.
একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত 2 : 3 : 5। ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের অর্ধেক কত? 
  1. ক
    ক) 90°
  2. খ
    খ) 45°
  3. গ
    গ) 30°
  4. ঘ
    ঘ) 50°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত 2 : 3 : 5। ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের অর্ধেক কত? 

সমাধান: 
ধরি 
কোণগুলো = 2x , 3x  5x

প্রশ্নমতে,
 2x + 3x + 5x = 180°
10x  = 180°
x = 18°

ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ =  5 × 18° = 90°

ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের অর্ধেক = 90°/2 = 45°
২২৯.
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৫৭° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ৩৩°
  2. খ
    ৫৭°
  3. গ
    ১১৪°
  4. ঘ
    ১২৩°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৫৭° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়।
সুতরাং পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৫৭° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে = ২ × ৫৭°
= ১১৪°
২৩০.
৫ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৩ সে.মি. দূরত্ব অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
  1. ক
    ক) ৪
  2. খ
    খ) ৮
  3. গ
    গ) ৭
  4. ঘ
    ঘ) ৫
ব্যাখ্যা

 অতিভূজ ৫ সে.মি. এবং লম্ব ৩ সে.মি. হলে,
ভূমি = √(৫২ - ৩২)= ৪ সে.মি.

∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ৪+৪ = ৮ সে.মি.

২৩১.
৬০° কোণের সম্পূরক কোণের এক চতুর্থাংশ কোণের পরিমান কত?
  1. ক
    ক) ২৫°
  2. খ
    খ) ৩০°
  3. গ
    গ) ৩৫°
  4. ঘ
    ঘ) ৪০°
ব্যাখ্যা

৬০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৬০° = ১২০°
∴ ১২০° কোণের এক চতুর্থাংশ = ১২০°/৪ = ৩০°

২৩২.
৪৫° কোণের সাথে সর্বনিম্ন কত যোগ করলে কোণটি প্রবৃদ্ধ কোণ হবে?
  1. ক
    ১৩৫°
  2. খ
    ১৪০°
  3. গ
    ৪৫°
  4. ঘ
    ১০৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪৫° কোণের সাথে সর্বনিম্ন কত যোগ করলে কোণটি প্রবৃদ্ধ কোণ হবে?

সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ: ১৮০ ডিগ্রি থেকে বেশি এবং ৩৬০ ডিগ্রি অপেক্ষা কম।

তাহলে,
৪৫° + ১৩৫° = ১৮০°, যা সরলকোণ কিন্তু প্রবৃদ্ধ কোণ নয়।

৪৫° + ১৪০° = ১৮৫°, যা প্রবৃদ্ধ কোণ।

৪৫° + ৪৫° = ৯০°, যা সমকোণ কিন্তু প্রবৃদ্ধ কোণ নয়।

৪৫° + ১০৫° = ১৫০°, যা প্রবৃদ্ধ কোণ নয়।
২৩৩.
P হল AB রেখার ওপর একটি বিন্দু এবং PQ হল একটি রশ্মি, যাতে ∠QPA = 7x এবং ∠QPB = 5x হয়। এখন, (8x - 10°) এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    118°
  2. খ
    110°
  3. গ
    140°
  4. ঘ
    102°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P হল AB রেখার ওপর একটি বিন্দু এবং PQ হল একটি রশ্মি, যাতে ∠QPA = 7x এবং ∠QPB = 5x হয়। এখন, (8x - 10°) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

∠QPA এবং ∠QPB একটি সরলরেখা AB এর উপর অবস্থিত। অতএব, তাদের যোগফল অবশ্যই 180° (একটি সরল রেখার বৈশিষ্ট্য়) সমান হতে হবে।
∠QPA + ∠QPB = 180°
⇒ 7x + 5x = 180
⇒ 12x = 180
⇒ x = 180/12
∴ x = 15°

এখন প্রদত্ত রাশি (8x - 10°)-তে x = 15° এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই:
= 8 × 15° - 10° = 120° - 10° = 110°
সুতরাং, (8x - 10°) এর মান হল 110°

  
২৩৪.
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভূজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি কত?
  1. ক
    60°
  2. খ
    120°
  3. গ
    180°
  4. ঘ
    360°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভূজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য:
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
২৩৫.
বৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুতে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?
  1. ক
    চারটি
  2. খ
    তিনটি
  3. গ
    দুইটি
  4. ঘ
    একটি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুতে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?

সমাধান: 
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
 

২৩৬.
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব ____.
  1. ক
    ক) সমান
  2. খ
    খ) দ্বিগুন
  3. গ
    গ) তিনগুন
  4. ঘ
    ঘ) অর্ধেক
ব্যাখ্যা
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।  (উপপাদ্য)
২৩৭.
অর্ধবৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    90°
  2. খ
    120°
  3. গ
    150°
  4. ঘ
    180°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্রে 360° কোণ উৎপন্ন হয়।

∴ অর্ধবৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ = 360° ÷ 2
= 180°
২৩৮.
নিচের কোন তথ্যটি সঠিক?
  1. ক
    রেখার দৈর্ঘ্য আছে
  2. খ
    রেখার প্রস্থ আছে
  3. গ
    রেখার উচ্চতা আছে
  4. ঘ
    রেখার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন তথ্যটি সঠিক?

সমাধান:
রেখা: বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে।
বৈশিষ্ট্য:
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নেই।
- রেখা একমাত্রিক এবং উভয়দিকে সীমাহীন।
- রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই।
প্রকারভেদ: রেখা দুই প্রকার। যথা: সরলরেখা এবং বক্ররেখা।

২৩৯.
যে সমকোণী ত্রিভুজে সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের অন্তর ২০°, তার ক্ষুদ্রতম কোণ কত ডিগ্রী ? 
  1. ক
    ক) ৩৫° 
  2. খ
    খ) ৪৫° 
  3. গ
    গ) ৫৫° 
  4. ঘ
    ঘ) ৬৫° 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যে সমকোণী ত্রিভুজে সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের অন্তর ২০°, তার ক্ষুদ্রতম কোণ কত ডিগ্রী ? 

সমাধান:
ধরি একটি কোণ ক , অপরটি ক + ২০

ক + ক + ২০ + ৯০ = ১৮০ 

⇒ ২ ক = ৭০ 
⇒ ক = ৩৫° 

অতএব, ক্ষুদ্রতম কোণ ৩৫°
২৪০.
ADBC বৃত্তে AB এবং CD দুটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করলে কোনটি সত্য?
  1. ক
    ক) PB = PD
  2. খ
    খ) PC = PD
  3. গ
    গ) PB = PC
  4. ঘ
    ঘ) PB = PA
ব্যাখ্যা

PB = PD কারন দুইটি সমান জ্যা পরস্পর ছেদ করলে প্রথমটির খন্ডিত অংশ অপরটির খন্ডিত অংশের সমান হয়।
২৪১.
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব-
  1. ক
    ক) দ্বিগুণ
  2. খ
    খ) সমান
  3. গ
    গ) সমান নয়
  4. ঘ
    ঘ) অর্ধেক
ব্যাখ্যা
বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী।
বৃত্তের কোনো বিন্দু দিয়ে ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।
 বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।
২৪২.
একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের তিন-পঞ্চমাংশ। কোণটির সম্পূরক কোণ কত?
  1. ক
    45°
  2. খ
    67°
  3. গ
    22.5°
  4. ঘ
    112.5°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের তিন-পঞ্চমাংশ। কোণটির সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণটি = x
∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = 180 - x

প্রশ্নমতে,
x = (3/5) × (180 - x)
⇒ 5x = 540 - 3x
⇒ 8x = 540
⇒ x = 67.5°

∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = 180 - 67.5 = 112.5°
২৪৩.
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?
  1. ক
    1টি
  2. খ
    2টি
  3. গ
    3টি
  4. ঘ
    4টি
ব্যাখ্যা
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করলে 4টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যাবে।
২৪৪.
দুইটি কোণ পরস্পর সম্পূরক কোণ হলে, কোণ দুইটির সমষ্টি কত?
  1. ক
    ৯০ ডিগ্রী
  2. খ
    ১২০ ডিগ্রী
  3. গ
    ১৮০ ডিগ্রী
  4. ঘ
    ৩৬০ ডিগ্রী
ব্যাখ্যা
দুইটি কোণ পরস্পর সম্পূরক কোণ হলে, কোণ দুইটির সমষ্টি দুই সমকোণ।
অর্থাৎ কোণ দুইটির সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রী। 
২৪৫.
একটি কোণ এবং তার সম্পূরক কোণের অনুপাত 3 : 7। সম্পূরক কোণটি কত ডিগ্রি?
  1. ক
    108° 
  2. খ
    54°
  3. গ
    72°
  4. ঘ
    126°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণ এবং তার সম্পূরক কোণের অনুপাত 3 : 7। সম্পূরক কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
একটি কোণ এবং তার সম্পূরক কোণের অনুপাত 3 : 7।
ধরি,

কোণটি = 3k ডিগ্রি
সম্পূরক কোণ = 7k ডিগ্রি

সম্পূরক কোণের সংজ্ঞা অনুসারে দুটি কোণের যোগফল ১৮০°।
⇒ 3k + 7k = 180°
⇒ 10k = 180°
∴ k = 18°

সুতরাং, সম্পূরক কোণ = 7k = 7 ×  18° = 126°

অতএব, সম্পূরক কোণটি 126°।

২৪৬.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু। P বিন্দু হতে বৃত্তটিতে সর্বোচ্চ কতটি স্পর্শক আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    4টি
  2. খ
    3টি
  3. গ
    2টি
  4. ঘ
    1টি
ব্যাখ্যা
চিত্রে, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে বহিঃস্থ P বিন্দু হতে PA, PB 2টি স্পর্শক আঁকা সম্ভব হয়েছে।

২৪৭.

উপর্যুক্ত চিত্রে, AB ΙΙ CD এবং EF ছেদক হলে θ কোণের পূরক কোণ কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    75°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
উপর্যুক্ত চিত্রে, AB ΙΙ CD এবং EF ছেদক হলে θ কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠BOF = 120°
CGF = θ 

যেহেতু, AB ΙΙ CD এবং EF এদের ছেদক,
∴ ∠BOF ও ∠EGC পরস্পর একান্তর কোণ। 
অর্থাৎ ∠BOF = ∠EGC = 120°

আবার,
∠EGC ও ∠DGF পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। 
∴ ∠EGC = ∠DGF = 120°

এখন,
∠DGF + ∠CGF = 180°
⇒ 120° + θ = 180°
⇒ θ = 180° - 120°
⇒ θ = 60°

আমরা জানি,
θ কোণের পূরক কোণ = 90° - θ 
= 90° - 60° = 30°

২৪৮.
চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC একটি-


  1. ক
    সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    সম্পূরক কোণ
  3. গ
    প্রবৃদ্ধ কোণ
  4. ঘ
    পূরক কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC একটি-



সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ:
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ।

সম্পূরক কোণ:
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল দুই সমকোণ হলে কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ।

সূক্ষ্মকোণ:
এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলা হয়। 

পূরক কোণ:
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ।
২৪৯.
একটি সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণ ছাড়া দুটি কোণের মধ্যে পার্থক্য ১০°। ঐ দুটি কোণের মধ্যে বৃহত্তম কোণটির মান কত? 
  1. ক
    ৫০°
  2. খ
    ৬০°
  3. গ
    ৩০°
  4. ঘ
    ৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণ ছাড়া দুটি কোণের মধ্যে পার্থক্য ১০°। ঐ দুটি কোণের মধ্যে বৃহত্তম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
ধরি,
অপর দুইটি কোণের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণ = ক°
∴ বৃহত্তম কোণ = (ক + ১০)°

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১০) + ৯০ = ১৮০
⇒ ২ক + ১০০ = ১৮০
⇒ ২ক = ১৮০ - ১০০
⇒ ২ক = ৮০
⇒ ক = ৮০/২
∴ ক = ৪০

∴ বৃহত্তম কোণ = (৪০ + ১০)°
= ৫০°
২৫০.
দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 11 : 7 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত? 
  1. ক
    110, 70
  2. খ
    120, 60
  3. গ
    100, 80
  4. ঘ
    150, 30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 11 : 7 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সম্পূরক কোণের সমষ্টি = 180° 
ধরি, 
১ম কোণ = 11x 
২য় কোণ = 7x  

শর্তমতে, 
11x + 7x = 180° 
বা, 18x = 180° 
বা, x = 180°/18 
∴ x = 10° 
১ম কোণ = 11 × 10° = 110° 
২য় কোণ = 7 × 10° = 70° 

∴ কোণ দুটির পরিমাণ = 110, 70  । 
২৫১.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ A হলে এর বিপরীত কোনটির পরিমাণ কত?
  1. ক
    ক) ৯০° - A
  2. খ
    খ) ৯০° + A
  3. গ
    গ) ১৮০° - A
  4. ঘ
    ঘ) ১৮০° + A
ব্যাখ্যা

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুটি কোণের সমষ্টি = 180°
∴ একটি কোণ A হলে, অপরটি = 180° - A

২৫২.
নিচের কোন স্বীকার্যটি ভুল?
  1. ক
    দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
  2. খ
    যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
  3. গ
    সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
  4. ঘ
    যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে অসংখ্য বৃত্ত আঁকা যায়।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন স্বীকার্যটি ভুল?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।
২৫৩.
চিত্রে ∠ABC = 45°, AB = AC এবং AB||EC হলে, ∠ACE এর মান কত?
  1. ক
    ক) 45°
  2. খ
    খ) 60°
  3. গ
    গ) 90°
  4. ঘ
    ঘ) 120°
ব্যাখ্যা

যেহেতু AB = AC সেহেতু △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
সুতরাং, ∠ABC = ∠ACB = 45°
আবার, যেহেতু AB∥EC সেহেতু ∠ABC = ∠ECD = 45°
চিত্র হতে, ∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠ECD)
= 180° - (45° + 45°)
= 180° - 90°
= 90°

২৫৪.
বৃত্তের বাইরে অবস্থিত কোনো একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    একটিও না
  4. ঘ
    অসংখ্য
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের বাইরে অবস্থিত কোনো একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?

সমাধান:
- বৃত্তের বাইরে অবস্থিত কোনো একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
২৫৫.
∠A এবং ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠A = 145° হলে ∠B এর মান কত?
  1. ক
    15° 
  2. খ
    24° 
  3. গ
    35° 
  4. ঘ
    55° 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠A এবং ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠A = 145° হলে ∠B এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সম্পূরক কোণের সমষ্টি = 180°
∴ ∠A + ∠B = 180°
⇒ 145° + ∠B = 180°
⇒ ∠B =180° - 145°
∴ ∠B = 35°
২৫৬.
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ক) ৪
  2. খ
    খ) ৯
  3. গ
    গ) ১২
  4. ঘ
    ঘ) ১৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 6r) = 8r
∴ ব্যাসার্ধ =8r/2 = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)2 =16πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr2 - πr2 = 15πr2
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

----------------
প্রশ্ন : বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
সমাধান : 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r   
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r   
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)2 = 9πr2  
 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯ গুণ  পাবে।
 
যেহেতু এটি জব সলিউশনের প্রশ্ন এবং অপশনে ১৫ গুণ ছিল না,  তাই ৯ গুণকে সঠিক উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।
২৫৭.
কোনো বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 12 মিটার হলে, কেন্দ্র থেকে 3 মিটার দূরবর্তী জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত হবে?
  1. ক
    ক) 2√27 মিটার
  2. খ
    খ) 27 মিটার
  3. গ
    গ) √27 মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 16 মিটার
ব্যাখ্যা


EC² = OC² - OE²
⇒ EC = √(6² - 3²)
⇒ EC = √27
∴ BC = 2√27 মিটার

২৫৮.
বৃত্তের যে কোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে বৃত্তের কী বলা হয়?
  1. ক
    জ্যা
  2. খ
    ব্যাস
  3. গ
    পরিধি
  4. ঘ
    ব্যাসার্ধ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের যে কোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে বৃত্তের কী বলা হয়?

সমাধান:
- একটি বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলে।
- জ্যা যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামি হয় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- ব্যাসের অর্ধেক ব্যাসার্ধ।
- বৃত্তের পরিধির অংশকে চাপ বলে।
২৫৯.
নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরন?
  1. ক
    ক) y2 = ax
  2. খ
    খ) x2 + y2 = 16
  3. গ
    গ) ax2 + bx + c = 0
  4. ঘ
    ঘ) y2 = 2x+7
ব্যাখ্যা
x2 + y2 = 16
⇒ (x - 0)2 + (y - 0)2 = 42
যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যসার্ধ 4; এটাই বৃত্তের সমীকরণ।
২৬০.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমবে?
  1. ক
    ৪০%
  2. খ
    ২৫%
  3. গ
    ৩৬%
  4. ঘ
    ৩০%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল, πr২
 
২০% কমলে নতুন ব্যাসার্ধ হবে = r - r এর ২০%
= r - ০.২r
= ০.৮r
 
ক্ষেত্রফল হবে = π(০.৮r)২ 
= ০.৬৪πr২
 
∴ ক্ষেত্রফল কমে = πr২ - ০.৬৪πr২
= ০.৩৬πr২
 
∴ ক্ষেত্রফল ৩৬% কমে।
২৬১.
রেখার প্রান্ত বিন্দুর সংখ্যা কতটি?
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    অসংখ্য
  4. ঘ
    প্রান্ত বিন্দু নেই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রেখার প্রান্ত বিন্দুর সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
রেখা (line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ স্থলে ১টি রেখা উৎপন্ন হয়।
- অথবা বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে।
- সরলরেখাকে সংক্ষেপে রেখা বলে।
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
- রেখার প্রান্তবিন্দু নেই।
- রেখা প্রধানত দুই প্রকার। যথা-
ক) সরলরেখা ও
খ) বক্ররেখা।
২৬২.
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে, তবে উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত % কমবে?
  1. ক
    ক) ১০%
  2. খ
    খ) ২০%
  3. গ
    গ) ৩৬%
  4. ঘ
    ঘ) ৪০%
ব্যাখ্যা

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক,
ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ একক।
ব্যাসার্ধ 20% কমে = r - r এর  20% = 0.8r একক
তাহলে ক্ষেত্রফল = π (0.8r)2 = 0.64πr2 বর্গ একক
ক্ষেত্রফল কমবে = πr2–0.64πr2 = 0.36πr2 বর্গ একক
ক্ষেত্রফল কমার হার = 0.36 x 100 = 36%

শর্টকাট পদ্ধতি:
[- 20 - 20 + (20X20)/100]% = - 36%
সুতরাং বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬% হ্রাস পাবে।

২৬৩.
যদি দুটি রেখা সমকোণে মিলিত হয়, তবে তারা কী নামে পরিচিত?
  1. ক
    সমান্তরাল রেখা
  2. খ
    ছেদকারী রেখা
  3. গ
    লম্ব রেখা
  4. ঘ
    মিলিত রেখা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি দুটি রেখা সমকোণে মিলিত হয়, তবে তারা কী নামে পরিচিত?

সমাধান:

- দুটি রেখা যদি সমকোণে (৯০° কোণে) মিলিত হয়, তবে তারা লম্ব রেখা নামে পরিচিত।
- লম্ব রেখা একে অপরকে নির্ভুলভাবে ৯০° কোণে ছেদ করে।
২৬৪.
বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা-কে কী বলা হয়? 
  1. ক
    ব্যাসার্ধ 
  2. খ
    বৃত্তচাপ
  3. গ
    পরিধি 
  4. ঘ
    ব্যাস
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা-কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি। 

২৬৫.
দুইটি চাকার পরিধি যথাক্রমে 31.416 সে. মি. এবং 94.248 সে. মি. হলে তাদের ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) 1 : 4
  2. খ
    খ) 1 : 2
  3. গ
    গ) 1 : 3
  4. ঘ
    ঘ) 2 : 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : দুইটি চাকার পরিধি যথাক্রমে 31.416 সে. মি. এবং 94.248 সে. মি. হলে তাদের ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
 
সমাধান : 
 
ধরি,
একটি চাকার ব্যাসার্ধ r1 
অপর চাকার ব্যাসার্ধ r2 

প্রশ্নমতে, 
2πr1/2πr2 = 31.416/94.248
বা, r1/r2 = 1/3
বা, r1 : r2 = 1 : 3
 
২৬৬.
C1 এবং C2 কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 13 সে.মি এবং ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ 8 সে.মি হলে ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    ক) 5 সে.মি
  2. খ
    খ) 6 সে.মি
  3. গ
    গ) 7 সে.মি
  4. ঘ
    ঘ) 8 সে.মি
ব্যাখ্যা

বৃত্তদ্বয় বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে আছে
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের সমষ্টি
∴ ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 13 - ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ
                              = 13 - 8
                              = 5 cm

২৬৭.
দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ, একটিকে অপরটির কি বলে?
  1. ক
    সন্নিহিত কোণ
  2. খ
    পূরক কোণ
  3. গ
    সম্পূরক কোণ
  4. ঘ
    বিপ্রতীপ কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ, একটিকে অপরটির কি বলে?

সমাধান: 
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
যেমন:-
52° কোণের সম্পূরক কোণ = (180 - 52)° = 128°
২৬৮.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধকে যদি r থেকে বৃদ্ধি করে (r + n) করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। r-এর মান কত? 
  1. ক
    n + √2
  2. খ
    √{2(n + 1)}
  3. গ
    √(2n)
  4. ঘ
    n /(√2 - 1)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধকে যদি r থেকে বৃদ্ধি করে (r + n) করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। r-এর মান কত? 

সমাধান: 
ব্যাসার্ধ r হলে ক্ষেত্রফল = πr2
এবং ব্যাসার্ধ (r + n) হলে ক্ষেত্রফল = π(r + n)2

প্রশ্নমতে, 
2 × πr2 = π (r + n)2
বা, 2r2 = (r + n)2
বা, √2 r = r + n 
বা, √2 r - r = n 
বা, r (√2 - 1) = n 
∴ r = n/(√2 - 1)

২৬৯.
একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের এক-পঞ্চমাংশ। কোণটির মান কত?
  1. ক
    ১০°
  2. খ
    ১৫°
  3. গ
    ৩০°
  4. ঘ
    ৪৫°
ব্যাখ্যা
কোণটি ক হলে, তার পূরক কোণ = ৯০° - ক
ক = (৯০° - ক)/৫
৫ক = ৯০° - ক
৬ক = ৯০°
ক = ১৫°
২৭০.
নিচের কোনটি y-অক্ষের সমান্তরাল রেখা নির্দেশ করে-
  1. ক
    ক) x = 4
  2. খ
    খ) y = 4
  3. গ
    গ) x+y = 4
  4. ঘ
    ঘ) x-y = 4
২৭১.
AB ও CD সমান্তরাল এবং PQ এদের ছেদক হলে, ∠AOE = কত ডিগ্রি?
  1. ক
    37°
  2. খ
    53°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: AB ও CD সমান্তরাল এবং PQ এদের ছেদক হলে, ∠AOE = কত ডিগ্রি?


সমাধান:
এখানে, ∠AOP এবং ∠AOE পরস্পর সরলরৈখিক যুগল কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, এদের সমষ্টি ১ সরল কোণ হবে।

আমরা জানি,
১ সরল কোণ = 180°
⇒ ∠AOP + ∠AOE = 180°
⇒ ∠AOE = 180° - ∠AOP
= 180° - 127°
= 53°

২৭২.

উপরের চিত্রে, ∠PQS = 90 ডিগ্রী, OR⟂PQ এবং OR = 12 সে.মি হলে, QOS ত্রিভুজের পরিসীমা কত?
  1. ক
    12 সেমি
  2. খ
    24 সেমি
  3. গ
    48 সেমি
  4. ঘ
    72 সেমি
ব্যাখ্যা

Sin30° = OR/OQ
1/2 = 12/OQ
OQ = 24
OQ = OS = 24 এবং ∠PQS = 90 ডিগ্রী হওয়ায়, ∠OQS = ∠OSQ = 60 ডিগ্রী
QOS ত্রিভুজটি সমবাহু।
সুতরাং, পরিসীমা = 24 × 3 = 72 সেমি।

২৭৩.
বৃত্তের দুইটি জ্যা এর মধ্যে কেন্দ্রের নিকটবর্তী জ্যা অপর জ্যা অপেক্ষায়-
  1. ক
    দ্বিগুণ
  2. খ
    সমান
  3. গ
    ক্ষুদ্রতম
  4. ঘ
    বৃহত্তম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের দুইটি জ্যা এর মধ্যে কেন্দ্রের নিকটবর্তী জ্যা অপর জ্যা অপেক্ষায়-

সমাধান:
বৃত্তের ২টি জ্যা এর মধ্যে কেন্দ্রের নিকটবর্তী জ্যা অপর জ্যা অপেক্ষায় বৃহত্তম।
২৭৪.
দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৩ : ২ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ক) ২ : ৩
  2. খ
    খ) ৩ : ৪
  3. গ
    গ) ৯ : ৪
  4. ঘ
    ঘ) ৯ : ৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৩ : ২ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ ৩x একক এবং ২x একক
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৩x)২ : π(২x)২
= ৯πx২ : ৪πx২
= ৯ : ৪
২৭৫.
149° কোণটি হলো-
  1. ক
    সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    স্থূলকোণ
  3. গ
    প্রবৃদ্ধকোণ
  4. ঘ
    পূরক কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 149° কোণটি হলো- 

সমাধান: 
আমরা জানি,
এক সমকোণ অর্থাৎ 90° থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ অর্থাৎ 180° থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে। 
সুতরাং, 149° কোণটি হলো স্থূলকোণ। 

উল্লেখ্য, 
দুই সমকোণ অর্থাৎ 180° থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ অর্থাৎ 360° থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধকোণ বলে। 
২৭৬.
চিত্রে a এর মান কত?
  1. ক
    ক) 60°
  2. খ
    খ) 72°
  3. গ
    গ) 30°
  4. ঘ
    ঘ) 45°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে a এর মান কত?

সমাধান:

চিত্রে, b = 3c এবং a = 2b  [বিপ্রতীপ কোণ বলে]

এখানে,
a + 6c + 3c = 180°
⇒ a + 2b + b = 180°
⇒ a + a + (a/2) = 180°
⇒ 2a + 2a + a = 360°
⇒ 5a = 360°
⇒ a = 360°/5
⇒ a = 72°
২৭৭.
একটি বৃত্তের ব্যাস ২০ হলে পরিধি কত?
  1. ক
    ২০π
  2. খ
    ৩০π
  3. গ
    ৪০π
  4. ঘ
    ১০π
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ২০ হলে পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের পরিধির সূত্র:
C = π × d

যেখানে d হলো ব্যাস।
এখানে d = 20
C = π × 20 = 20π

∴ বৃত্তের পরিধি হবে ২০π একক।

২৭৮.
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা কোনটি -
  1. ক
    ক) ব্যাস
  2. খ
    খ) ব্যাসার্ধ
  3. গ
    গ) চাপ
  4. ঘ
    ঘ) পরিধি
ব্যাখ্যা
ব্যাস -ই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
২৭৯.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৫ ডিগ্রি। সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণের মান কত?
  1. ক
    ৪৮°
  2. খ
    ৪৭.৫°
  3. গ
    ৪৫°
  4. ঘ
    ৪৫.৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৫ ডিগ্রি। সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ ক
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ ক + ৫
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°

ক + ক + ৫ + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২ক + ৯৫° = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০° - ৯৫°
⇒ ২ক = ৮৫°
∴ ক = ৪২.৫°

সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ =  ৪২.৫° + ৫° = ৪৭.৫°
২৮০.
চিত্রে, x এর মান কত? 
  1. ক
    10° 
  2. খ
    15° 
  3. গ
    18° 
  4. ঘ
    34° 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে, x এর মান কত? 


সমাধান: 
3x + 2x = 90 
⇒ 5x = 90 
⇒ x = 90/5 
= 18° 
২৮১.
দুইটি চাকার পরিধি যথাক্রমে ৩১.৪১৬ সে. মি. এবং ৬২.৮৩২ সে. মি. হলে তাদের ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) ৩ : ৪
  2. খ
    খ) ৪ : ৫
  3. গ
    গ) ১ : ২
  4. ঘ
    ঘ) ২ : ৩
ব্যাখ্যা
ধরি,
একটি চাকার ব্যাসার্ধ r1 
অপর চাকার ব্যাসার্ধ r2 

প্রশ্নমতে, 
2πr1/2πr2 = 31.416/62.832
r1/r2 = 1/2
r1 : r2 = 1 :  2
২৮২.
একটি বৃত্তের ব্যাস 26 সে.মি. হলে তার পরিধি কত?
  1. ক
    81.68 (প্রায়)
  2. খ
    163.36 (প্রায়)
  3. গ
    40.84 (প্রায়)
  4. ঘ
    136.36 (প্রায়)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 26 সে.মি. হলে এর পরিধি কত?

সমাধান : 
বৃত্তের ব্যাস = 26 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ  r = 26/2 = 13সে.মি. 
বৃত্তের পরিধি =2πr সে.মি.
= 2 × π × 13
= 26π সে.মি
= 26 × 3.1416 সে.মি.
= 81.68 সে.মি. (প্রায়)

২৮৩.
150° কোণটি হলো-
  1. ক
    পূরক কোণ
  2. খ
    প্রবৃদ্ধ কোণ
  3. গ
    সূক্ষ্মকোণ
  4. ঘ
    স্থূলকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 150° কোণটি হলো-

সমাধান:
• স্থূলকোণ: 90° অপেক্ষা বড় কিন্তু 180° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।

• সূক্ষ্মকোণ: এক সমকোণ বা 90° অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।

• প্রবৃদ্ধ কোণ: দুই সমকোণ বা 180° অপেক্ষা বড় কিন্তু চার সমকোণ বা 360° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

• পূরক কোণ: দুইটি কোণের সমষ্টি যখন 90° অথবা এক সমকোণ হয় তখন একটি কোণকে অপর কোণটির পূরক কোণ বলে।
২৮৪.
রেখা 3x - 4y = 12 এর ঢাল কত?
  1. ক
    3/4
  2. খ
    - 3/4
  3. গ
    4/3
  4. ঘ
    - 4/3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রেখা 3x - 4y = 12 এর ঢাল কত? 

সমাধান:
রেখার ঢাল m বের করতে রেখাকে y = mx + c আকারে আনতে হবে।

প্রদত্ত সমীকরণ:
3x - 4y = 12
⇒ - 4y = -3x + 12 [উভয় পাশে ৪ দিয়ে ভাগ করে:]
⇒ y = 3/4x - 3

এখান থেকে ঢাল m = 3/4

∴ রেখাটির ঢাল = 3/4 

২৮৫.
বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি ____ .
  1. ক
    ক) আয়তক্ষেত্র
  2. খ
    খ) বর্গ
  3. গ
    গ) রম্বস
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
১. বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।
২.বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র।
২৮৬.
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
  1. ক
    ক) ৩০°
  2. খ
    খ) ৪৫°
  3. গ
    গ) ৬০°
  4. ঘ
    ঘ) ১৩৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি 
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
দেয়া আছে,
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮
ক্ষুদ্রতম কোণ = (৩৬০ এর ১/৮)° = ৪৫°
২৮৭.
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত একটি জ্যার দৈর্ঘ্য 24 সে. মি. হলে, বৃত্তের ব্যাস কত?
  1. ক
    12 সে. মি.
  2. খ
    26 সে. মি.
  3. গ
    48 সে. মি.
  4. ঘ
    13 সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত একটি জ্যার দৈর্ঘ্য 24 সে. মি. হলে, বৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান:
জ্যা এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য, x = 24/2=12 সে. মি.
দেওয়া আছে,
লম্ব, d = 5 সে. মি.

ধরি, ব্যাসার্ধ = r
পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে,
⇒ r2 = x2 + d2
⇒ r2 = 122 + 52
⇒ r2 = 144 + 25
⇒ r2 = 169
⇒ r = √169 
⇒ r = 13
∴ ব্যাসার্ধ = 13 সে. মি.

∴ ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ = 2 × 13 = 26 সে. মি.
২৮৮.
দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে এবং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব ৪ সে.মি.। বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১১ সে.মি. হলে, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? 
  1. ক
    ১৫ সে.মি.
  2. খ
    ৭ সে.মি.
  3. গ
    ১৭ সে.মি.
  4. ঘ
    কোনটিই নয় 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে এবং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব ৪ সে.মি.। বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১১ সে.মি. হলে, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে।
অর্থাৎ ছোট বৃত্তটি বড় বৃত্তের ভিতরে আছে এবং তারা ভিতর থেকে একবিন্দুতে স্পর্শ করছে।

দেওয়া আছে, 
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = ৪ সে.মি.
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ (R) = ১১ সে.মি.

অন্তঃস্থ স্পর্শের ক্ষেত্রে, 
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = বড় ব্যাসার্ধ - ছোট ব্যাসার্ধ
∴ ৪ = ১১ - r
⇒ r = ১১ - ৪
⇒ r = ৭ সেমি

সুতরাং, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৭ সে.মি.

২৮৯.
যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. হয়, তবে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    6 sq. cm.
  2. খ
    9π sq. cm.
  3. গ
    16π sq. cm.
  4. ঘ
    16π2 sq. cm.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. হয়, তবে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4 সে.মি.

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π × 42
= 16π sq. cm.

২৯০.
কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১১০° হলে, ঐ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ১১০°
  2. খ
    ৫৫°
  3. গ
    ৬০°
  4. ঘ
    ২২০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১১০° হলে, ঐ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কেন্দ্রস্থ কোণ, বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ অথবা বৃত্তস্থ কোণ, কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১১০° হলে, ঐ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ = ১১০° ÷ ২
= ৫৫° 
২৯১.
2 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অর্ধপরিধি এবং ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) 1 : 3
  2. খ
    খ) 1 : 4
  3. গ
    গ) 1 : 2
  4. ঘ
    ঘ) 2 : 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অর্ধপরিধি এবং ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ২ মিটার

তাহলে,
অর্ধপরিধি : ক্ষেত্রফল = πr : πr2
= 1 : r
= 1 : 2
২৯২.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ২১% বৃদ্ধি পেলে তার ব্যসার্ধ শতকরা কত বৃদ্ধি পায়?
  1. ক
    ক) ১২%
  2. খ
    খ) ৯%
  3. গ
    গ) ৮%
  4. ঘ
    ঘ) ১০%
ব্যাখ্যা
মনে করি,
বৃত্তের ব্যসার্ধ = ১০০ একক
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (১০০)2
= ১০০০০π বর্গ একক

২১% বৃদ্ধিতে ক্ষেত্রফল 
= ১০০০০π × ১২১/১০০
= ১২১০০π
= π(১১০)2

∴ পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ = ১১০ একক

∴ ব্যাসার্ধের শতকরা বৃদ্ধি
= ১১০ - ১০০
= ১০%
২৯৩.
একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 24 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 526 বর্গ মিটার
  2. খ
    খ) 636 বর্গ মিটার
  3. গ
    গ) 616 বর্গ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 528 বর্গ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 24 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
রাস্তাবাদে বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = 24/2 মিটার
                                                  =  12 মিটার

রাস্তাসহ মাঠের ব্যাসার্ধ = (12 + 2)মিটার
                                   = 14 মিটার

অতএব, রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = πr2 মিটার
                                                = (22/7) × 142 মিটার
                                                = 616 বর্গ মিটার
২৯৪.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৪°। ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
  1. ক
    ৪৩°
  2. খ
    ৪২°
  3. গ
    ৩৬°
  4. ঘ
    ৪৮°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৪°। ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান: 
ক্ষুদ্রতম কোণ = x
বৃহত্তম কোণ = x + ৪°

প্রশ্নমতে,
x + x + ৪°  + ৯০° = ১৮০°
২x + ৪° = ১৮০° - ৯০°
২x = ৯০° - ৪°
২x = ৮৬°
x  = ৮৬°/২
x  = ৪৩°
২৯৫.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ৪ : ৫। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ৫ : ৪
  2. খ
    ১৬ : ২৫
  3. গ
    ৪ : ২৫
  4. ঘ
    ১৬ : ৫
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ৪ : ৫। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
১ম বৃত্তের, ব্যাস, = ৪
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ r1 = ২
১ম বৃত্তের, ক্ষেত্রফল = π২২ 
= ৪π

২য় বৃত্তের, ব্যাস, r = ৫
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ r2 = ৫/২
২য় বৃত্তের, ক্ষেত্রফল = π(৫/২)২
= ২৫/৪

∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, ৪π : ২৫π/৪
= ৪ : ২৫/৪
= ১৬ : ২৫

২৯৬.
চিত্রে x এর মান কত ডিগ্রি?
  1. ক
    15
  2. খ
    18
  3. গ
    20
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে x এর মান কত ডিগ্রি?

সমাধান:
∠A + ∠C = 180° - 90°
⇒ 2x + 3x = 90°
⇒ 5x = 90°
∴ x = 18°
২৯৭.
একটি বৃত্তের ব্যাস r/2 হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    2πr2
  2. খ
    πr2/8
  3. গ
    πr2/4
  4. ঘ
    πr2/16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস r/2 হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের ব্যাস = r/2
∴ ব্যাসার্ধ = r/4 

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(r/4)2
= πr2/16
২৯৮.
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সংখ্যা কতটি?
  1. ক
    ক) 1 টি
  2. খ
    খ) 2 টি
  3. গ
    গ) 3 টি
  4. ঘ
    ঘ) 4 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সংখ্যা কতটি?

সমাধান: 
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে 2 টি স্পর্শক আঁকা যাবে।
২৯৯.
একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে কতটি বিন্দুতে স্পর্শ করে?
  1. ক
    ক) ১টি
  2. খ
    খ) ২টি
  3. গ
    গ) ৩টি
  4. ঘ
    ঘ) ৪টি
ব্যাখ্যা
একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে। 
একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে।

৩০০.
কোনো গাড়ির চাকার ব্যাস 38 সে.মি. হলে, দুইবার ঘুরে চাকাটি কত সে.মি. দূরত্ব অতিক্রম করবে?
  1. ক
    ক) 36π সে.মি.
  2. খ
    খ) 76π সে.মি.
  3. গ
    গ) 60π সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 76 সে.মি.
ব্যাখ্যা
গাড়ির চাকার ব্যাস 38 সে.মি. হলে, ব্যাসার্ধ = 38/2 = 19
অতএব, পরিধি = 2 × π × ব্যাসার্ধ = 2 × π × 19 = 38π 
চাকাটি একবার ঘুরলে অতিক্রম করে 38π সে.মি. দুরত্বের পথ
চাকাটি দুইবার ঘুরলে অতিক্রম করে 2 × 38π সে.মি. বা 76π সে.মি. দুরত্বের পথ
---------------------------------------------------------------------------
বিকল্প পদ্ধতিঃ
দুইবার ঘুরে চাকাটি অতিক্রম করবে
= 2 × পরিধি
= 2 × (π × ব্যাস) [ পরিধি = π × ব্যাস ]
= 2 × (π × 38)
= 76π  সে.মি.