লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

মোট প্রশ্ন৩,২১১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ২৯ / ৩২ · ২,৮০১–২,৯০০ / ৩,২১১

২,৮০১.
সাইকেলের চাকার পাশাপাশি দুইটি শলার মধ্য ১২° কোণ হলে চাকাতে কয়টি শলা রয়েছে?
  1. ক
    ৩০টি
  2. খ
    ২৪টি
  3. গ
    ২৭টি
  4. ঘ
    ২৯টি
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, একটি চাকা = ৩৬০°
∴ যেকোনো ২ টি শলার মধ্যে কোণ ১২° হলে মোট শলা আছে = ৩৬০°/১২° = ৩০টি।
২,৮০২.
দু’টি বৃত্তের পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ সেঃমিঃ এবং একটি বৃত্তের ব্যাস ১২ সেঃমিঃ হলে অপর বৃত্তের ব্যাস কত?
  1. ক
    ক) ৪ সেঃমিঃ
  2. খ
    খ) ৮ সেঃমিঃ
  3. গ
    গ) ৫ সেঃমিঃ
  4. ঘ
    ঘ) ৬ সেঃমিঃ
ব্যাখ্যা
১ম বৃত্তের, ব্যাস = ১২ সেঃমিঃ
ব্যাসার্ধ, r1 = ৬ সেঃমিঃ
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব C1 C2 = ১০ সেঃমিঃ
∴ ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r2 = C1 C2 - r2
= ১০ সেঃমিঃ - ৬ সেঃমিঃ
= ৪ সেঃমিঃ
∴ ব্যাস = ৮ সেঃমিঃ
২,৮০৩.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে?
  1. ক
    ১৯%
  2. খ
    ৩৬%
  3. গ
    ২০%
  4. ঘ
    ৪০%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr২

২০% কমলে নতুন ব্যাসার্ধ হবে = r - r এর ২০%
= r - ০.২r
= ০.৮r

ক্ষেত্রফল হবে = π(০.৮r)২ 
= ০.৬৪πr২

∴ ক্ষেত্রফল কমে = πr২ - ০.৬৪πr২
= ০.৩৬πr২

∴ ক্ষেত্রফল ৩৬% কমে।
২,৮০৪.
(x - 4)² + (y + 3)² = 100 বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক কত?
  1. ক
    ক) (0, 0)
  2. খ
    খ) (4, -3)
  3. গ
    গ) (-4, 3)
  4. ঘ
    ঘ) (10, 10)
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, বৃত্তের সমীকরণ,(x - g)² + (y - f)² = r² যেখানে (g, f) বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক।
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ (x - 4)² + (y + 3)² = 100 এ কেন্দ্রীয় স্থানাংক(4, -3).

২,৮০৫.
একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 28 সে.মি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?
  1. ক
    144 সে.মি 
  2. খ
    108 সে.মি 
  3. গ
    88 সে.মি 
  4. ঘ
    188 সে.মি 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 28 সে.মি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 28 সে.মি.

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= {(22/7) × 28} + (2 × 28)
= (22 × 4) + 56
= 88 + 56
= 144 সে.মি । 

২,৮০৬.
কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১০৮° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে -
  1. ক
    ৫৪°
  2. খ
    ৭২°
  3. গ
    ১৮°
  4. ঘ
    ১০৮°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১০৮° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে -

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ তার কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১০৮° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে = ১০৮°/২
= ৫৪°
২,৮০৭.
একটি কোণ তার সম্পূরক কোণ অপেক্ষা 132° কম হলে কোণটির মান কত?
  1. ক
    24°
  2. খ
    48°
  3. গ
    78°
  4. ঘ
    156°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণ অপেক্ষা 132° কম হলে কোণটির মান কত?

সমাধান:
মনে করি,
কোণটির মান = ক 

প্রশ্নমতে,
(180° - ক) - ক = 132°
⇒ 180° - 2ক = 132°
⇒ 2ক = 180° - 132°
⇒ 2ক = 48°
⇒ ক = 48°/2
⇒ ক = 24°

২,৮০৮.
৩৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?
  1. ক
    ৩৭°
  2. খ
    ৫৩°
  3. গ
    ১২৭°
  4. ঘ
    ১৪৩°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।

তাই ৩৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মানও হবে ৩৭° অর্থাৎ সমান। 
২,৮০৯.
একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 30° বেশি হলে, কোণটি কত? 
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 30° বেশি হলে, কোণটি কত? 

সমাধান: 
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 
ধরি, 
কোণটি = x
∴ পূরক কোণ = 90° - x 

শর্তমতে, 
x = 90° - x + 30° 
বা, x + x = 120°
বা, 2x = 120°
বা, x = 120°/2
∴ x = 60° 

∴ কোণটির মান = 60° ।

২,৮১০.
দুইটি বৃত্ত বহি:স্থভাবে স্পর্শ করে। একটির ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. ও অপরটির ব্যাস 8 সে.মি. হলে বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরুত্ব কত?
  1. ক
    14 সে. মি.
  2. খ
    12 সে. মি.
  3. গ
    20 সে. মি.
  4. ঘ
    10 সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত বহি:স্থভাবে স্পর্শ করে। একটির ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. ও অপরটির ব্যাস 8 সে.মি. হলে বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরুত্ব কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6 সে. মি. 
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাস = 8 সে. মি.
∴ দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8/2 সে. মি.
= 4 সে.মি.

বৃত্ত দুটি কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ + দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= (6 + 4) সে. মি.
= 10 সে. মি.
২,৮১১.
বৃত্তের ব্যাস 5 গুন বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ক) 9
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 25
  4. ঘ
    ঘ) 30
ব্যাখ্যা

এখানে d2 = 5d1
আমরা জানি,
a1 = π/4×d12
এবং a2 = π/4×d22 = π/4×(5d1)2 = 25×π/4×d12 = 25a1

২,৮১২.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে দুটি বহিস্থকোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 180°
  2. খ
    খ) 240°
  3. গ
    গ) 250°
  4. ঘ
    ঘ) 270°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে দুটি বহিস্থকোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

চিত্রানুসারে,
∠ACF = ∠A + ∠B ................. (1)
∠ABE = ∠A + ∠C ................. (2)

(1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
∠ACF + ∠ABE = ∠A + ∠B + ∠A + ∠C
= ∠A + 180° [তিন কোণের সমষ্টি = 180°]
= 60° + 180°
= 240°
২,৮১৩.
একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাস ১৪ মিটার হলে, অর্ধবৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত হবে ?
  1. ক
    ৭৭ বর্গ মিটার
  2. খ
    ৭৮ বর্গ মিটার
  3. গ
    ৮২ বর্গ মিটার
  4. ঘ
    ৫৬ বর্গ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাস ১৪ মিটার হলে, অর্ধবৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত হবে ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অর্ধবৃত্তের ব্যাস d = ১৪ মিটার
অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ r  = (১৪ ÷ ২)  মিটার
= ৭ মিটার

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
∴ অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2/২
= {(২২/৭) × ৭২} ÷ ২
= ১৫৪ ÷ ২
= ৭৭

∴ অর্ধবৃত্তটির ক্ষেত্রফল ৭৭ বর্গ মিটার
২,৮১৪.
56 ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হবে?
  1. ক
    4264 বর্গফুট
  2. খ
    2644 বর্গফুট
  3. গ
    2464 বর্গফুট
  4. ঘ
    2484 বর্গফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 56 ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = 56/2 ফুট = 28 ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr2
= π × 28 × 28
= (22/7) × (28 × 28)
= 2464 বর্গফুট 

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2464 বর্গফুট।
২,৮১৫.
একটি চাকার ব্যাসার্ধ ২.১ মিটার। ৬০০ মিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
  1. ক
    ক) ২৩ বার
  2. খ
    খ) ৪৬ বার
  3. গ
    গ) ৯২ বার
  4. ঘ
    ঘ) ২৮৬ বার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাসার্ধ ২.১ মিটার। ৬০০ মিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাসার্ধ ২.১ মিটার
চাকার পরিধি  ২ × π × ২.১ মিটার
= ২ × (২২/৭) × ২.১ মিটার
= ২ × (২২/৭) × (২১/১০) মিটার
=৬৬/৫ মিটার
=১৩.২ মিটার

আমরা জানি,
চাকা প্রতি ঘুরায় তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

১৩.২ মিটার যায় ১ বারে
৬০০ মিটার যায় (৬০০/১৩.২) বারে
= ৪৫.৪৫ বার ≈ ৪৬ বার
২,৮১৬.
একটি গাড়ীর চাকা প্রতি মিনিটে ৭০ বার ঘুরলে ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?
  1. ক
    ৩৯০° 
  2. খ
    ৪২০° 
  3. গ
    ৪৭০° 
  4. ঘ
    ৪৯০° 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকা প্রতি মিনিটে ৭০ বার ঘুরলে ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ৭০ বার 
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ৭০/৬০ = ৭/৬ বার

এখন,
১ বার ঘুরলে ঘুরে = ৩৬০°
∴ ৭/৬ বার ঘুরলে ঘুরে = ৩৬০° × (৭/৬) = ৪২০° 
২,৮১৭.
BE ও CF, ΔABC এর দুইটি মধ্যমা এবং BC = 18 সে.মি. হলে EF এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 9 সে.মি. 
  2. খ
    খ) 10 সে.মি. 
  3. গ
    গ) 12 সে.মি. 
  4. ঘ
    ঘ) 8 সে.মি. 
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের যেকোনাে দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযােজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
BE ও CF, ΔABC এর দুইটি মধ্যমা এবং BC = 18 সে.মি. হলে EF = 9 সে.মি. 

২,৮১৮.
৩০° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?
  1. ক
    ৪৫°
  2. খ
    ৫০°
  3. গ
    ৫৪°
  4. ঘ
    ৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩০° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?

সমাধান:
৩০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৩০°
= ১৫০°

∴ ১৫০° কোণের এক-তৃতীয়াংশ = ১৫০°/৩
= ৫০°
২,৮১৯.
৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি? 
  1. ক
    ৯০° 
  2. খ
    ৬০°
  3. গ
    ০°
  4. ঘ
    ১৮০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 
∴ ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০° । 

২,৮২০.
বৃত্তের ব্যাস দশগুণ বৃদ্ধি পেলে পরিধি কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ক) ৫ গুণ
  2. খ
    খ) ১০ গুণ
  3. গ
    গ) ২০ গুণ
  4. ঘ
    ঘ) ৪০ গুণ
ব্যাখ্যা

ব্যাস 2r হলে, পরিধি = 2Πr
আবার, বৃত্তের ব্যাস 20r হলে, পরিধি হবে 20Πr
∴ 20Πr/2Πr = 10
অর্থ্যাৎ, 10 গুণ বৃদ্ধি পেয়েছে।

২,৮২১.
৫৫° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ৩৫°
  2. খ
    ৪৫°
  3. গ
    ৫৫°
  4. ঘ
    ১২৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫৫° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ ৫৫° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৫৫°
= ৩৫°
২,৮২২.
যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যায়?
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    অসংখ্য
  4. ঘ
    একটিও না
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যায়?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।
২,৮২৩.
11 সে.মি.ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত উক্ত বৃত্তের কোন জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
  1. ক
    16√6 সে.মি.
  2. খ
    8√6 সে.মি.
  3. গ
    4√6 সে.মি.
  4. ঘ
    12√6 সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 11 সে.মি.ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত উক্ত বৃত্তের কোন জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.? 

সমাধান:
 
দেয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = 11 সে.মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব (d) = 5 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
জ্যা-এর অর্ধেক = √(r2 - d2)
= √(112 - 52)
= √(121 - 25)
= √96
= √(16 × 6)
= 4√6 সে.মি.

∴ জ্যা-এর সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = 2 × 4√6
= 8√6 সে.মি.

২,৮২৪.
চিত্রে, AB || CD || EF নিচের কোনটি y - z - x এর মান?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা

চিত্রে, y = 45° + 180° [অনুরূপ কোণ + সরলকোণ]
= 225°
z = 180° - 32° [যেহেতু, z + 32° = 180°]
= 148°
এবং x = 32° [অনুরূপ কোণ]
সুতরাং y - z - x = 225° - 148° - 32°
= 45°

২,৮২৫.
একটি সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল 30 বর্গসেঃমিঃ ভূমি ও লম্বের অন্তর 7 সেঃমিঃ হলে অতিভূজের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 12 সেঃমিঃ
  2. খ
    খ) 13 সেঃমিঃ
  3. গ
    গ) 14 সেঃমিঃ
  4. ঘ
    ঘ) 15 সেঃমিঃ
ব্যাখ্যা

ধরি,
ভূমি = a,
লম্ব = b
∴ 1/2 × a × b = 30
বা, ab = 60
আবার,
a - b = 7
বা, (a - b)2 = 72 = 49
বা, a2 + b2 - 2ab = 49
বা, a2 + b2 = 49 + 2.60
                 = 169
∴ অতিভূজ = √(a2 + b2)
= √169
= 13 সেঃমিঃ

২,৮২৬.
৭০° এর সম্পূরক কোণ কত?
  1. ক
    ক) ২০°
  2. খ
    খ) ৩০°
  3. গ
    গ) ৬০°
  4. ঘ
    ঘ) ১১০°
ব্যাখ্যা
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০°হলে একটি অপরটির সম্পূরক কোণ বলে 
∴ ৭০° এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৭০°= ১১০°
২,৮২৭.
তলের মাত্রা কয়টি?
  1. ক
    ১টি
  2. খ
    ২টি
  3. গ
    ৩টি
  4. ঘ
    ৪টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তলের মাত্রা কয়টি?

সমাধান:
বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা প্রত্যেকটিকে বস্তুর মাত্রা বলে।
সাধারন অর্থে কোন ত্রিমাত্রিক দৃশ্যমান অংশকে তল বলে।
তলের শুধু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল দ্বিমাত্রিক।
২,৮২৮.
৫ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গসেন্টিমিটার?
  1. ক
    ক) ৪০
  2. খ
    খ) ৫০
  3. গ
    গ) ৯৮
  4. ঘ
    ঘ) ১০০
ব্যাখ্যা
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২a এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= a²
শর্তমতে, √২a=৫X২
বা, ২a²= ১০০
বা, a²= ৫০
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গসেন্টিমিটার
২,৮২৯.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে. মি. এবং বৃত্তকলা কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে । বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    23.66 বর্গ সেন্টিমিটার
  2. খ
    25.66 বর্গ সেন্টিমিটার
  3. গ
    27 বর্গ সেন্টিমিটার
  4. ঘ
    30 বর্গ সেন্টিমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে. মি. এবং বৃত্তকলা কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে । বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে. মি.

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × πr2
= (60°/360°) × 3.1416 × 72
= (49/6) × 3.1416
= 25.656
= 25.66 বর্গ সে. মি.

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল প্রায় 25.66 বর্গ সেন্টিমিটার।
২,৮৩০.
13 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সে. মি. হলে কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব কত সে. মি?
  1. ক
    5 সে. মি
  2. খ
    7 সে. মি
  3. গ
    11 সে. মি
  4. ঘ
    17 সে. মি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 13 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সে. মি. হলে কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব কত সে. মি?

সমাধান:

এখানে,
OX = 13
XY = 24
XZ = XY/2 = 24/2 = 12

∴ OZ =√{(OX)2 - (XZ)2} 
= √(132 - 122)
= √(169 - 144)
= √25
= 5 সে.মি.
২,৮৩১.
নিম্নের চিত্রে, AC ⊥ BD; CE, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক এবং CF, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। ∠ECF =?
  1. ক
    ক) 40°
  2. খ
    খ) 50°
  3. গ
    গ) 60°
  4. ঘ
    ঘ) 90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিম্নের চিত্রে, AC ⊥ BD; CE, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক এবং CF, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। ∠ECF =?


সমাধান:

AC ⊥ BD
∠ACB = 90° ; ∠ACD = 90°

CE, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক এবং CF, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক।
∠ACE = 45°
 ∠ACF = 45°

∴ ∠ECF = 45° + 45°
= 90°
২,৮৩২.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr2/16 হলে, বৃত্তটির পরিধি কত?
  1. ক
    ক) 2πr
  2. খ
    খ) πr/2 
  3. গ
    গ) πr/4
  4. ঘ
    ঘ) 4πr
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr2/16 হলে, বৃত্তটির পরিধি কত? 

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = 2r1
∴ ব্যাসার্ধ = r1 
প্রশ্নমতে,
πr12 =  πr2/16
r12 =  (r/4)2
r1 = r/4

বৃত্তটির পরিধি = 2πr1
                       =2π(r/4)  
                       =πr/2 
২,৮৩৩.
θ সূক্ষ্মকোণ হলে, কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) - π < θ < π
  2. খ
    খ) - π/2 < θ < π/2
  3. গ
    গ) 0° < θ < π/2
  4. ঘ
    ঘ) π/2 < θ < π
ব্যাখ্যা
θ সূক্ষ্মকোণ হলে,  0° < θ < π/2 হয়।

২,৮৩৪.
১৬ সে.মি. ব্যাস ও ১০ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) ২৬ সে.মি.
  2. খ
    খ) ১৮ সে.মি.
  3. গ
    গ) ১৩ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৬ সে.মি. ব্যাস ও ১০ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।

এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৬/২ = ৮ সে.মি.

২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১০ সে.মি. 
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (৮ + ১০) সে.মি.
= ১৮ সে.মি.
২,৮৩৫.
একটি বৃত্তের ব্যাস ৪ ফুট হলে কেন্দ্র থেকে পরিধির দূরত্ব কত?
  1. ক
    ১ ফুট
  2. খ
    ২ ফুট
  3. গ
    ৩ ফুট
  4. ঘ
    ৪ ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ৪ ফুট হলে কেন্দ্র থেকে পরিধির দূরত্ব কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে
বৃত্তের ব্যাস ৪ ফুট
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে বলা বৃত্তের ব্যাসার্ধ 

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৪/২ = ২ ফুট
২,৮৩৬.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 9 গুণ বৃদ্ধি করলে ব্যাসার্ধ কত গুণ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ক) 3 গুণ
  2. খ
    খ) 6 গুণ
  3. গ
    গ) 9 গুণ
  4. ঘ
    ঘ) 18 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 9 গুণ বৃদ্ধি করলে ব্যাসার্ধ কত গুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের প্রাথমিক ক্ষেত্রফল 1 বর্গএকক
বৃত্তের পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল 1 x 9 বা, 9 বর্গএকক
প্রাথমিক ও পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r ও R হলে

প্রশ্নমতে,
1/9 = πr²/πR²
বা, r2/R2 = 1/9
∴ r : R = 1 : 3

∴ ব্যাসার্ধ 3 গুণ বাড়বে।
২,৮৩৭.
৪৮° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেকের মান কত?
  1. ক
    ৬৬°
  2. খ
    ৫৪°
  3. গ
    ৪২°
  4. ঘ
    ২১°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪৮° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেকের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সম্পূরক কোণের মান = ১৮০°
তাহলে, ৪৮° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৪৮°
= ১৩২°

∴ ৪৮° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেকের মান = ১৩২°/২
= ৬৬°
২,৮৩৮.
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহি:স্থভাবে স্পর্শ করে। একটির ব্যাসার্ধ 4 সে. মি. এবং অপরটির ব্যাস 6 সে. মি. হলে এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 7
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহি:স্থভাবে স্পর্শ করে। একটির ব্যাসার্ধ 4 সে. মি. এবং অপরটির ব্যাস 6 সে. মি. হলে এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 4 সে. মি. 
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাস = 6 সে. মি.
∴ দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6/2 সে. মি. = 3 সে.মি.

বৃত্ত দুটি কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ + দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= (4 + 3) সে. মি.
= 7 সে. মি.
২,৮৩৯.
একটি বৃত্তের ব্যাস 28 সে.মি., তার ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    154 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    44 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    308 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    616 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 28 সে.মি., তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস 28 সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 14 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr2 বর্গ একক
= (22/7) × 142 বর্গ সে.মি.
= 616 বর্গ সে.মি.
২,৮৪০.
সরলকোণের মান কত?
  1. ক
    ক) ৯০°
  2. খ
    খ) ১৮০°
  3. গ
    গ) ২৭০°
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬০°
ব্যাখ্যা
৯০° = এক সমকোণ
১৮০° বা দুই সমকোণ = এক সরলকোণ
১৮০° এর চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° এর চেয়ে ছোট কোণ = প্রবৃদ্ধ কোণ।
২,৮৪১.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহু ১২ সে.মি. হলে তার তিনটি কৌণিক বিন্দু ‍দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    ক) ৩০°
  2. খ
    খ) ৬০°
  3. গ
    গ) ৯০°
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহু ১২ সে.মি. হলে তার তিনটি কৌণিক বিন্দু ‍দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ। 
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহু ১২ সে.মি. হলে তার তিনটি কৌণিক বিন্দু ‍দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান ৯০°
২,৮৪২.
চিত্রে, ∠x =?
  1. ক
    ক) 80°
  2. খ
    খ) 100°
  3. গ
    গ) 120°
  4. ঘ
    ঘ) 140°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে, ∠x =?


সমাধান: 
এক সরলকোণ = ১৮০°

∠x + 40° = 180°
⇒ ∠x  = 180° - 40°
= 140°
২,৮৪৩.
ΔABC-এ, ∠A = 40°, ∠C = 80° এবং BC || DE হলে, ∠BDE = ?
  1. ক
    40°
  2. খ
    100°
  3. গ
    120°
  4. ঘ
    140°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC-এ, ∠A = 40°, ∠C = 80° এবং BC || DE হলে, ∠BDE = ?


সমাধান:
BC || DE এবং AC ছেদক।
∴ ∠AED = ∠C = 80°

বহিস্থ কোণ অন্তঃস্থের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ ∠BDE = ∠A + ∠AED
⇒ ∠BDE = 80° + 40°
∴ ∠BDE = 120°

২,৮৪৪.
দুইটি ভিন্ন বিন্দুর জন্য কতটি সরলরেখা আছে, যাতে উভয় বিন্দু অবস্থিত?
  1. ক
    ক) একটি
  2. খ
    খ) দুইটি
  3. গ
    গ) তিনটি
  4. ঘ
    ঘ) চারটি
ব্যাখ্যা
-  দুইটি ভিন্ন বিন্দুর জন্য একটি ও কেবল একটি সরলরেখা আছে, যাতে উভয় বিন্দু অবস্থিত।
- একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন তিনটি ভিন্ন বিন্দুর জন্য একটি ও কেবল একটি সমতল আছে, যাতে বিন্দু তিনটি অবস্থিত।
- কোনো সমতলের দুইটি ভিন্ন বিন্দু দিয়ে যায় এমন সরলরেখা ঐ সমতলে অবস্থিত।
২,৮৪৫.
একটি বিন্দু দিয়ে কতটি সরলরেখা টানা যায়? 
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    অসংখ্য
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বিন্দু দিয়ে কতটি সরলরেখা টানা যায়? 

সমাধান: 
বিন্দু (Point): 
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই।
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন। 
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়।

বিন্দুর শ্রেণিবিভাগ: 
- বিন্দুকে সাধারণত ৩ শ্রেণিতে ভাগ করা হয়েছে।
যথা- i. সমরেখ বিন্দু, ii. অসমরেখ বিন্দু ও iii. সমবিন্দু। 

সাধারণ বিন্দু: 
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে।
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না। 
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়। 
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
২,৮৪৬.
একটি সরল রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করলে কয়টি সমকোণ পাওয়া যায়?
  1. ক
    ক) ১ টি
  2. খ
    খ) ২ টি
  3. গ
    গ) ৩টি
  4. ঘ
    ঘ) ৪ টি
ব্যাখ্যা

একটি সরল রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করলে ২ টি সমকোণ পাওয়া যায়।
২,৮৪৭.
যখন দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করে, তখন ছেদ স্থলে কী উৎপন্ন হয়? 
  1. ক
    রশ্মি
  2. খ
    রেখা
  3. গ
    বিন্দু
  4. ঘ
    স্থান
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যখন দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করে, তখন ছেদ স্থলে কী উৎপন্ন হয়? 

সমাধান: 
রেখা (line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ স্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়।
- অথবা বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে।
- সরলরেখাকে সংক্ষেপে রেখা বলে।
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
- রেখা প্রধানত দুই প্রকার।
যথা- ক) সরলরেখা ও খ) বক্ররেখা।
২,৮৪৮.
একটি ত্রিভুজের ২টি কোণের অনুপাত ৩ : ৫। তৃতীয় কোণটি ৪৪° হলে ছোট কোণটির পরিমাণ কত?
  1. ক
    ক) ৪৮°
  2. খ
    খ) ৪৫°
  3. গ
    গ) ৫১°
  4. ঘ
    ঘ) ৮০°
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের ২টি কোণের অনুপাত ৩ : ৫ এবং তৃতীয় কোণ ৪৪° 

প্রশ্নমতে, ৩ক + ৫ক + ৪৪° = ১৮০°
বা, ৮ক = ১৮০° - ৪৪°
বা, ক = ১৩৬/৮ = ১৭

∴ ছোট কোণের মান = ৩ × ১৭ = ৫১°

২,৮৪৯.
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 60° হলে, বৃত্তস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    ক) 60°
  2. খ
    খ) 30°
  3. গ
    গ) 45°
  4. ঘ
    ঘ) 120°
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ 60° হলে, বৃত্তস্থ কোণের মান 30°।
২,৮৫০.
৪৫° কোণের সম্পূরক কোণ কত?
  1. ক
    ক) ৪৫°
  2. খ
    খ) ৬০°
  3. গ
    গ) ৭৫°
  4. ঘ
    ঘ) ১৩৫°
ব্যাখ্যা
৪৫° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৪৫° = ১৩৫°
২,৮৫১.

উপরের চিত্রে, ∠A = ?
  1. ক
    180° - ∠A
  2. খ
    180° - ∠B
  3. গ
    180° - ∠C
  4. ঘ
    90° - ∠A
ব্যাখ্যা

∠A + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° - ∠A
⇒ ∠A = 180° - ∠C
২,৮৫২.
বৃত্তঃস্থ ABCD বর্গের ক্ষেত্রফল ১৬ বর্গ সে. মি. হলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.?
  1. ক
    ক) ২Π
  2. খ
    খ) ৪Π
  3. গ
    গ) ৮Π
  4. ঘ
    ঘ) ৬Π
ব্যাখ্যা

বর্গের ক্ষেত্রফল = ১৬ বর্গ সে. মি.
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪ সে. মি.
বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ = ৪√২ সে. মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ২√২ সে. মি.
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = Π(২√২)২= ৮Π ব্যাসার্ধ

২,৮৫৩.
একটি মােটর সাইকেলের পিছনের চাকা প্রতি মিনিটে ৬০ বার ঘােরে এবং প্রতিবার ঘুরলে ১২০ সেন্টিমিটার পথ অতিক্রম করে। এক ঘন্টায় চাকাটি কত মিটার পথ অতিক্রম করবে?
  1. ক
    ক) ৪৩২০০০ মি.
  2. খ
    খ) ৪৩২০০ মি.
  3. গ
    গ) ৪৩২০ মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৪৩২ মি.
  5. ঙ
    ঙ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
60×120×60 = 3600×120 = 432000 c.m. = 4320 m.
২,৮৫৪.
নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
  1. ক
    y2 = 2a(x - 2)
  2. খ
    x2 + (y - 2)2 = 25
  3. গ
    y2 = 2x + 5
  4. ঘ
    ax2 + bx + c = 0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?

সমাধান: 
(a, b) কেন্দ্র ও r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x - a)2 + (y - b)2 = r2

x2 + (y - 2)2 = 25 সমীকরণটি বৃত্তের সমীকরণের অনুরূপ। 
x2 + (y - 2)2 = 25 
⇒ (x - 0)2 + (y - 2)2 = (5)2

অতএব, বৃত্তটির কেন্দ্র = (0, 2) ও ব্যাসার্ধ = 5
২,৮৫৫.
একটি বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির পার্থক্য 90 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    21 সে.মি.
  2. খ
    14 সে.মি.
  3. গ
    42 সে.মি.
  4. ঘ
    33 সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির পার্থক্য 90 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r 
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নানুসারে,
2πr - 2r = 90
⇒ 2r(π - 1) = 90
⇒ r = 90/{2(π - 1)}
⇒ r = 45/{22/7) - 1}
⇒ r = 45/(15/7) 
∴ r = 21 সে.মি.

∴ নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 21 সে.মি.। 

২,৮৫৬.
চিত্রে ∠x কোন প্রকারের কোণ?

  1. ক
    সরলকোণ
  2. খ
    সমকোণ
  3. গ
    স্থুলকোণ
  4. ঘ
    প্রবৃদ্ধকোণ
ব্যাখ্যা

x = 360° - 110°
= 250°
যা 180° থেকে বড় এবং 360° থেকে ছোট অর্থাৎ প্রবৃদ্ধকোণ

২,৮৫৭.
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 60° হলে উহার কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    ক) 140°
  2. খ
    খ) 60°
  3. গ
    গ) 120°
  4. ঘ
    ঘ) 90°
ব্যাখ্যা

- আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক বা একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 60° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 120°।

২,৮৫৮.
বিন্দুর সঞ্চারপথকে কী বলা হয়? 
  1. ক
    কোণ 
  2. খ
    রেখা 
  3. গ
    বৃত্ত 
  4. ঘ
    রেখাংশ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বিন্দুর সঞ্চারপথকে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
রেখা (line): 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়। 
অথবা, বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে। 
- সরলরেখাকে সংক্ষেপে রেখা বলে। 
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
- রেখা প্রধানত দুই প্রকার।
যথা- ক) সরলরেখা এবং খ) বক্ররেখা।

২,৮৫৯.
কোন বৃত্তের একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি.। অপর একটি জ্যা এর উপর কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা-কে ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যে ছেদ করে। জ্যা দুইটির ক্ষেত্রে নিচের কোনটি অবশ্যই সঠিক?
  1. ক
    ক) জ্যা- দুটি সমান্তরাল
  2. খ
    খ) জ্যা-দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী
  3. গ
    গ) জ্যা-দুইটি কখনো পরস্পরকে ছেদ করতে পারবে না
  4. ঘ
    ঘ) জ্যা-দুইটি সমান নয়
ব্যাখ্যা

“বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোন জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।”
অর্থাৎ, অপর জ্যা-টি ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে। সুতরাং, এই জ্যা এর দৈর্ঘ্যও ৮ সে.মি.। আবার,
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
অন্যদিকে, জ্যা দুটি সমান্তরাল হতেও পারে আবার না ও হতে পারে।

২,৮৬০.
৩৫ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি কত?
  1. ক
    ১৪০ সে.মি.
  2. খ
    ১১০ সে.মি.
  3. গ
    ২২০ সে.মি.
  4. ঘ
    ৪৪০ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩৫ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৩৫ সে.মি.

∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ৩৫
= ২ × ২২ × ৫
= ২২০ সে.মি.

∴ বৃত্তের পরিধি ২২০ সে.মি.।
২,৮৬১.
কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ৯০° হলে, বৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ৪৫°
  2. খ
    ১০৫°
  3. গ
    ৫০°
  4. ঘ
    ১৮০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ৯০° হলে, বৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ তার কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৯০° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে = ৯০°/২
= ৪৫°
২,৮৬২.
πa2 ক্ষেত্রফল এবং 2πb পরিধি বিশিষ্ট দু'টি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। বৃত্ত দু'টির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) a - b
  2. খ
    খ) b - a
  3. গ
    গ) a + b
  4. ঘ
    ঘ) (a + b)/2
ব্যাখ্যা

১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πa2
∴ ব্যাসার্ধ = a
২য় বৃত্তের পরিধি = 2πb
∴ ব্যাসার্ধ = b
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = a + b

২,৮৬৩.
৮ সেমি ব্যাস বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ১৬√২ বর্গ সেমি
  2. খ
    খ) ১৬ বর্গ সেমি
  3. গ
    গ) ৩২ বর্গ সেমি
  4. ঘ
    ঘ) ৬৪ বর্গ সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- ৮ সেমি ব্যাস বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান-
বৃত্তের ব্যাস = বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ
∴ বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৮ সেমি

প্রশ্নমতে,
√২ × বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮/√২ = ৪√২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৪√২)২ = ৩২ বর্গ সেমি
২,৮৬৪.
2 সে.মি বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের অভ্যন্তরে অন্তঃবৃত্ত অঙ্কিত হলো। বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি? 
  1. ক
    ক) 2 - π
  2. খ
    খ) 4 - π2
  3. গ
    গ) 4 - π
  4. ঘ
    ঘ) π - 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 সে.মি বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের অভ্যন্তরে অন্তঃবৃত্ত অঙ্কিত হলো। বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি? 

সমাধান: 

এখানে, 
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 2 সে.মি। 
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল a2 = 22 বর্গ সে.মি 
= 4 বর্গ সে.মি 
আবার, 
বর্গের অভ্যন্তরস্থ অন্তর বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = a/2 সে.মি 
= 2/2 সে.মি 
= 1 সে.মি
আমরা জানি, 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ সে.মি  
= π × (1)2 বর্গ সে.মি  
= π বর্গ সে.মি

∴ বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল = (বর্গের ক্ষেত্রফল - বৃত্তের ক্ষেত্রফল) 
= (4 - π) বর্গ সে.মি। 
২,৮৬৫.
একটি সুষম দশভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ হবে-
  1. ক
    সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    প্রবৃদ্ধকোণ
  3. গ
    সমকোণ
  4. ঘ
    স্থূল কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম দশভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ হবে-

সমাধান:
বহুভুজের একটি বহিস্থ কোণ = ৩৬০/বাহু সংখ্যা,
এখানে বহিস্থ কোণ = ৩৬০/১০ = ৩৬
তাহলে অন্তস্থ কোণ হবে ১৮০ - ৩৬ = ১৪৪ (যেহেতু ১টি অন্তস্থ + ১টি বহিস্থ = ১৮০)
এখন ১৪৪ ডিগ্রি কোণ হলো স্থূল কোণ ।
২,৮৬৬.
y - 2x + 3 = 0 রেখার ঢাল কত?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

y - 2x + 3 = 0
বা, y = 2x - 3 কে y = mx + c সাথে তুলনা করে পাই, m = 2
∴ ঢাল = 2

২,৮৬৭.
একটি ফ্যান প্রতি মিনিটে 120 বার ঘুরলে 4 সেকেন্ডে ফ্যানটি কত ডিগ্রি ঘুরে?
  1. ক
    720°
  2. খ
    1200°
  3. গ
    2160°
  4. ঘ
    2880°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ফ্যান প্রতি মিনিটে 120 বার ঘুরলে 4 সেকেন্ডে ফ্যানটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
ফ্যানটি 1 মিনিট বা 60 সেকেন্ডে ঘুরে = 120 বার
ফ্যানটি 1 সেকেন্ডে ঘুরে = 120/60 = 2 বার
ফ্যানটি 4 সেকেন্ডে ঘুরে = (2 × 4) = 8 বার

ফ্যানটি 1 বার ঘুরলে ঘুরে = 360°
∴ 8 বার ঘুরলে ঘুরে = (360° × 8) = 2880°

অতএব, ফ্যানটি 4 সেকেন্ডে 2880° ঘুরে।
২,৮৬৮.
৬৫° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ২৫°
  2. খ
    ৫৫°
  3. গ
    ১১৫°
  4. ঘ
    ১৫৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬৫° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ ৬৫° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৬৫°
= ২৫°
২,৮৬৯.
অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    60°
  2. খ
    70°
  3. গ
    90°
  4. ঘ
    120°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ। 
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সরলকোণের অর্ধেক।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান ৯০°
২,৮৭০.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফল -
  1. ক
    ১২০°
  2. খ
    ১৮০°
  3. গ
    ৩৬০°
  4. ঘ
    ১৫০°
ব্যাখ্যা
বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্যঃ
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ = ১৮০°


উপরোক্ত চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABCD বৃত্তে 
∠ABC এর বিপরীত কোণ ∠ADC
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°
∠DAB এর বিপরীত কোণ ∠DCB
∴ ∠DAB + ∠DCB = 180°
২,৮৭১.
৮ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা কত?
  1. ক
    ২৪√৩ সে.মি.
  2. খ
    ১৮√৩ সে.মি.
  3. গ
    ২৮√৩ সে.মি.
  4. ঘ
    ৩৬√৩ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান: 

বৃত্তের অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = √3 × বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= 8√3 cm

পরিসীমা = 3a
= 3 × 8√3
= 24√3 cm
২,৮৭২.
একটি চাকা মিনিটে 150 বার ঘোরে। 2 সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?
  1. ক
    900° 
  2. খ
    720°
  3. গ
    1800°
  4. ঘ
    2160°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকা মিনিটে 150 বার ঘোরে। 2 সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 মিনিট = 60 সেকেন্ড

∴ 60 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 150 বার
1 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 150/60 বার
= 5/2 বার

∴ 2 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = (5/2) × 2
= 5 বার

আবার, আমরা জানি,
চাকাটি 1 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360°
∴ চাকাটি 5 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360° × 5
= 1800°

অতএব, 2 সেকেন্ডে চাকাটি 1800° ঘুরবে।

২,৮৭৩.
একটি বৃত্তের ব্যাস 26cm এর কেন্দ্র থেকে যে জ্যা এর লম্ব দূরত্ব 5cm, তার দৈর্ঘ্য কত সেঃমিঃ?
  1. ক
    ক) 20
  2. খ
    খ) 22
  3. গ
    গ) 24
  4. ঘ
    ঘ) 26
ব্যাখ্যা


বৃত্তের ব্যাসার্ধ, OA = 13 cm
কেন্দ্র O থেকে AB জ্যা এর লম্ব দূরত্ব, OD = 5 cm
∴ OD2 + AD2 = OA2
বা, AD2 = OA2 - OD2 = 132 - 52 = 122
∴ AD = 12 বা, AB = 2.AD = 24 cm

২,৮৭৪.
দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে কী উৎপন্ন হয়?
  1. ক
    রশ্মি
  2. খ
    রেখাংশ
  3. গ
    রেখা
  4. ঘ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে কী উৎপন্ন হয়? 

সমাধান: 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়।

রেখার কিছু সাধারণ বৈশিষ্ট্য: 
• রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
• দুই দিকেই অসীম প্রসারিত করা যায়।
• রেখার নির্দিষ্ট কোনো দিক নেই। 
• রেখা প্রধানত দুই প্রকার। যথা- ক) সরলরেখা এবং খ) বক্ররেখা।

২,৮৭৫.
- 520° কোন চতুর্ভাগে বিদ্যমান?
  1. ক
    প্রথম
  2. খ
    দ্বিতীয়
  3. গ
    তৃতীয়
  4. ঘ
    চতুর্থ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: -520° কোন চতুর্ভাগে বিদ্যমান? 

সমাধান: 


-520° = -450° - 70° = -5 × 90° - 70° । -520° একটি ঋণাত্মক কোণ এবং -520° কোণটি উৎপন্ন করতে কোনো রশ্মিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে একবার সম্পূর্ণ ঘুরে একই দিকে আরো এক সমকোণ বা 90° এবং 70° ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে আসতে হয়েছে (উপরের চিত্র)। সুতরাং, -540° কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করছে।
২,৮৭৬.
নিচের কোন দুইটি পরস্পর পূরক কোণ? 
  1. ক
    ১২০° ও ৬০°
  2. খ
    ৯০° ও ৯০°
  3. গ
    ৪১° ও ৪৯°
  4. ঘ
    ৩৩° ও ৬৬°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি পরস্পর পূরক কোণ? 

সমাধান:
পূরক কোণ:
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে,  কোণ দুইটি একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ ৪১° ও ৪৯° পরস্পর পূরক কোণ।
২,৮৭৭.
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 36 বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 6π বর্গ একক
  2. খ
    খ) 12π বর্গ একক
  3. গ
    গ) 36π বর্গ একক
  4. ঘ
    ঘ) 48π বর্গ একক
ব্যাখ্যা

ব্যাসার্ধ = 6 একক
∴ ক্ষেত্রফল = π(6)2 = 36π বর্গ একক

২,৮৭৮.
যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে বলে-
  1. ক
    সরল কোণ
  2. খ
    সন্নিহিত কোণ
  3. গ
    সমকোণ
  4. ঘ
    বিপ্রতীপ কোণ
ব্যাখ্যা
• সন্নিহিত কোণ:
- যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে।
- এরূপ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণও বলা হয়।
২,৮৭৯.
অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ কত? 
  1. ক
    ক) ৩০°
  2. খ
    খ) ৬০°
  3. গ
    গ) ৯০°
  4. ঘ
    ঘ) ১২০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ কত? 

সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী। 
ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম কোনটি x হলে বৃহত্তম কোণটি হবে ২x

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
∴ x + ২x + ৯০° = ১৮০° 
বা, ৩x = ১৮০° - ৯০° 
বা, ৩x = ৯০° 
বা, x = ৯০°/৩ 
∴ x = ৩০°
অর্থাৎ ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩০° 

∴ বৃহত্তম কোণ= ২x 
= ২ × ৩০° 
= ৬০°
২,৮৮০.
কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য 20 সেমি, কেন্দ্র দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য 16 হলে, কেন্দ্র হতে দূরবর্তী জ্যা এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য কত হবে?
  1. ক
    ক) 6 সেমি
  2. খ
    খ) 12 সেমি
  3. গ
    গ) 10 সেমি
  4. ঘ
    ঘ) 8 সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য 20 সেমি, কেন্দ্র দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য 16 হলে, কেন্দ্র হতে দূরবর্তী জ্যা এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান-

বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা হচ্ছে বৃত্তের ব্যাস।
∴ ব্যাসার্ধ, OA = 20/2 = 10 সেমি

আবার, বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্ব-দ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
অর্থাৎ AD = AC/2 = 16/2 = 8 সেমি

পিথাগোরাসের সূত্র মতে, OD = √(102 - 82)
= √(100 - 64)
= √36
= 6 সেমি
২,৮৮১.
৫৬ ফুট ব্যাসের বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের দৈর্ঘ্য কত হবে?
  1. ক
    ২৮ ফুট
  2. খ
    ৩৬.৮ ফুট
  3. গ
    ৪৯.৬ ফুট
  4. ঘ
    ৪৪ ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫৬ ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো একদিকের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান: 
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাস = ৫৬ ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ r = ৫৬/২ ফুট
= ২৮ ফুট

বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গফুট
= π(২৮)২ বর্গফুট
= (২২/৭) × ২৮ × ২৮ বর্গফুট
= ২৪৬৪ বর্গফুট

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৪৬৪ বর্গফুট
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৪৬৪
= ৪৯.৬৩ ফুট
২,৮৮২.
যদি দুটি রেখা সমকোণে মিলিত হয়, তবে তারা কী নামে পরিচিত?
  1. ক
    বক্র রেখা
  2. খ
    সমান্তরাল রেখা
  3. গ
    লম্ব রেখা
  4. ঘ
    সরলরেখা
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি দুটি রেখা সমকোণে মিলিত হয়, তবে তারা কী নামে পরিচিত?

সমাধান:
 

- দুটি রেখা যদি সমকোণে (৯০° কোণে) মিলিত হয়, তবে তারা লম্ব রেখা নামে পরিচিত।
- লম্ব রেখা একে অপরকে নির্ভুলভাবে ৯০° কোণে ছেদ করে।
- লম্ব রেখাকে '⊥ 'প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেমন: রেখা L1 রেখা L2-এর ওপর লম্ব হলে লেখা হয় L1 ⊥ L2

২,৮৮৩.
x এর সম্পূরক কোণ, তার পূরক কোণের দ্বিগুণের থেকে ১০° বেশি হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    ২৫°
  2. খ
    ৮°
  3. গ
    ১০°
  4. ঘ
    ১৮°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x এর সম্পূরক কোণ, তার পূরক কোণের দ্বিগুণের থেকে ১০° বেশি হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
x এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x
x এর পূরক কোণ = ৯০° - x

প্রশ্নমতে,
১৮০° - x = ২(৯০° - x) + ১০°
বা, ১৮০° - x = ১৮০° - ২x + ১০°
∴ x = ১০°
২,৮৮৪.
কোন বৃত্তের ওপর অংকিত স্পর্শক ব্যাসার্ধের উপর কি?
  1. ক
    ক) ভূমি
  2. খ
    খ) লম্ব
  3. গ
    গ) পরিধি
  4. ঘ
    ঘ) বিন্দু
ব্যাখ্যা
কোন বৃত্তের ওপর অংকিত স্পর্শক ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
২,৮৮৫.
ΔABC ত্রিভুজের ∠B এর পরিমাণ ৪৮° এবং AB = AC হয়, তাহলে ∠A এর মান কত?
  1. ক
    64°
  2. খ
    74°
  3. গ
    84°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC ত্রিভুজের ∠B এর পরিমাণ ৪৮° এবং AB = AC হয়, তাহলে ∠A এর মান কত?

সমাধান:

চিত্রে, ∠B = ৪৮° এবং AB = AC 
∴ ∠B = ∠C = ৪৮°
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°

প্রশ্নমতে,
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 48° + 48° = 180°
⇒ ∠A + 96° = 180°
⇒ ∠A = 180° - 96° = 84°
∴ ∠A = 84°
২,৮৮৬.
২√৩ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল-
  1. ক
    ৯√৩ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ১০√২ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ১১√৩ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ১২√২ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২√৩ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল-

সমাধান:

ধরি,
∆ABC এর বাহুর দৈর্ঘ্য AB = BC = AC = a
এবং দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ, R = ২√৩ সে.মি।।
∴ ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে, a/SinA = 2R
⇒ a = 2RSinA
⇒ a = ২ × ২√৩ × (Sin60°)
⇒ a = ৪√৩ × (√৩/২)
∴ a = ৬

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = {√(৩)/৪}a২
= {√(৩)/৪}(৬)২
= {√(৩)/৪} x ৩৬
= ৯√৩
২,৮৮৭.
চিত্রে y এর মান কোনটি?
  1. ক
    ক) 100°
  2. খ
    খ) 120°
  3. গ
    গ) 140°
  4. ঘ
    ঘ) 110°
ব্যাখ্যা
P + 60° = 180°
Or, P = 120° (যেহেতু P ও y অনুরূপ কোণ)
সুতরাং y = 120°
২,৮৮৮.
কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের একটি ১০৫° হলে অপর কোণটি কত ডিগ্রি হবে?
  1. ক
    ১৫°
  2. খ
    ৫৫°
  3. গ
    ৭৫°
  4. ঘ
    ৯৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের একটি ১০৫° হলে অপর কোণটি কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = ১৮০°

দেওয়া আছে,
একটি কোণ = ১০৫°

∴ অপর কোণটি = ১৮০° - ১০৫°
= ৭৫°
২,৮৮৯.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ক) ৭৫°
  2. খ
    খ) ৬৫°
  3. গ
    গ) ৫০°
  4. ঘ
    ঘ) ৪৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০
কোণগুলো হল ৬ক, ৮ক, ১০ক

প্রশ্নমতে,
৬ক + ৮ক + ১০ক = ১৮০
⇒ ২৪ক = ১৮০
∴ ক = ৭.৫

ক্ষুদ্রতম কোণ = ৬ক
= ৬ × ৭.৫
= ৪৫°
২,৮৯০.
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?
  1. ক
    ২ টি
  2. খ
    ৪ টি
  3. গ
    ৬ টি
  4. ঘ
    কোনো স্পর্শক আঁকা সম্ভব নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

সমাধান:

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে ৪টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যাবে।
AB, CD, EF, GH চারটি স্পর্শক। 

২,৮৯১.
সকাল ৬ টা ৩০ মিনিটের সময় ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত? 
  1. ক
    ক) 15°
  2. খ
    খ) 20°
  3. গ
    গ) 30°
  4. ঘ
    ঘ) 45°
ব্যাখ্যা
ঘড়ির সময় =  সকাল ৬ টা ৩০ মিনিট

মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ:
= │(11M - 60H)/2│
= │(11 × 30 - 60 × 6)/2│
= │330 - 360)/2│
= │- 30/2│
= 15°
২,৮৯২.
একটি বৃত্তের একটি চাপের উপর অঙ্কিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের কত অংশ?
  1. ক
    ক) অর্ধেক
  2. খ
    খ) সমান
  3. গ
    গ) দ্বিগুণ
  4. ঘ
    ঘ) চারগুণ
ব্যাখ্যা
একটি বৃত্তের একটি চাপের উপর অঙ্কিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ (উপপাদ্য)
২,৮৯৩.
৩টি বিন্দু একই সরলরেখায় থাকলে তাদের নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?
  1. ক
    ০
  2. খ
    ১
  3. গ
    ২
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
তিনটি বিন্দু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হলে, বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় থাকবে।
অর্থাৎ
তিনটি বিন্দু একই রেখায় থাকলে তাদের নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয়।

এ বিষয়টি পরিষ্কার করার জন্য একটি সমস্যা সমাধান করা যাক -
নবম - দশম শ্রেণির উচ্চতর গনিত বইয়ের একাদশ অধ্যায় ( স্থানাঙ্ক জ্যামিতি ) এর অনুশীলনী ১১.৩ এর ৩ নাম্বার সমস্যা সমাধান:

সমস্যা: দেখাও যে, A (0, - 3), B (4, - 2) ও C (16, 1) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
সমাধান:
A (0, - 3), B (4, - 2) ও C (16, 1) বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে বা একই সরলরেখায় থাকবে যদি তাদের নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয়।
A (0, - 3), B (4, - 2) ও C (16, 1) বিন্দু তিনটি নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= 1/2{0×(- 2) + 4×1 + 16(- 3) - 4(- 3) - 16(- 2) + 0×1} = 0
যেহেতু প্রদত্ত বিন্দু তিনটি নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য তাইA (0, - 3), B (4, - 2) ও C (16, 1) বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে।

একই সরলরেখায় তিনটি বিন্দু থাকলে কোনো ত্রিভুজ গঠিত হবে না। অর্থাৎ
একই সরলরেখায় তিনটি বিন্দু থাকলে তাদের নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য।
২,৮৯৪.
নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠QPR = 41° হলে, ∠QOR কোণের মান কত?
  1. ক
    82°
  2. খ
    41°
  3. গ
    139°
  4. ঘ
    49°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠QPR = 41° হলে, ∠QOR কোণের মান কত?
 

সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
চিত্রটিতে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠QOR, বৃত্তস্থ কোণ ∠QPR = 41°

∴∠QOR = (2 × 41°) = 82°
২,৮৯৫.
অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ কত? 
  1. ক
    ৩০°
  2. খ
    ৬০°
  3. গ
    ৯০°
  4. ঘ
    ১২০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী 
ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম কোণটি x হলে বৃহত্তম কোণটি হবে ২x 

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
∴ x + ২x + ৯০° = ১৮০° 
বা, ৩x = ১৮০° - ৯০° 
বা, ৩x = ৯০° 
বা, x = ৯০°/৩ 
∴ x = ৩০° 
অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩০° 

∴ বৃহত্তম কোণ= ২x
= ২ × ৩০°
= ৬০° ।
২,৮৯৬.
বৃত্তের কেন্দ্র হতে ২৪ সে. মি. দীর্ঘ জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ৫ সে. মি. হলে, বৃত্তটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ২৪ সে. মি.
  2. খ
    ৩৯ সে. মি.
  3. গ
    ২৬ সে. মি.
  4. ঘ
    ১৩ সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র হতে ২৪ সে. মি. দীর্ঘ জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ৫ সে. মি. হলে, বৃত্তটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরা যাক, বৃত্তের কেন্দ্র O এবং AB হচ্ছে জ্যা, যেখানে AB = 24 সেন্টিমিটার। এছাড়া, OP হচ্ছে AB জ্যার উপর অঙ্কিত লম্ব এবং OP = 5 সেন্টিমিটার।
এখন, OP হচ্ছে বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর লম্ব, এবং এটি AB জ্যার মাঝামাঝি অবস্থানে থাকবে।
তাহলে, P বিন্দু হবে AB-এর মাঝে। তাই, AP = PB = 24/2 = 12 সে. মি. ।
তাহলে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়,
⇒ OA২ = OP২ + AP২
⇒ OA২ = ৫২ + ১২২
⇒ OA২ = ২৫ + ১৪৪
⇒ OA২ = ১৬৯
⇒ OA = √১৬৯
∴ OA = ১৩

∴ ব্যাসের দৈর্ঘ্য = ২ × ব্যাসার্ধ = ২ × ১৩ = ২৬ সে. মি. ।
২,৮৯৭.
3 সেন্টিমিটার ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের মধ্যে একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কিত আছে। বর্গক্ষেত্রের বাইরে কিন্তু বৃত্তের ভেতরে যে অংশটি অবস্থিত, সেই আবৃত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার? 
  1. ক
    9π - 7 বর্গ সে.মি
  2. খ
    9π - 4 বর্গ সে.মি
  3. গ
    9π - 18 বর্গ সে.মি
  4. ঘ
    9π - 5 বর্গ সে.মি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 সেন্টিমিটার ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের মধ্যে একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কিত আছে। বর্গক্ষেত্রের বাইরে কিন্তু বৃত্তের ভেতরে যে অংশটি অবস্থিত, সেই আবৃত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

 



সমাধান:

প্রথমত,
ধরি, প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 3 সে.মি
∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = πr2
= π × 32 বর্গ সে.মি
= 9π বর্গ সে.মি

আবার
ABCD এ AC = 6 সে.মি.

আমরা জানি
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AB2 + AB2 = AC2
⇒ 2AB2 = 62
⇒ 2AB2 = 36
∴ AB2 = 18

বর্গক্ষেত্রের বহিঃস্থ এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = 9π - 18 বর্গ সে.মি

২,৮৯৮.
একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ২য় কোণের তিনগুন এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০° বড় হয় তবে ২য় কোণটি কত ডিগ্রি? 
  1. ক
    ৩০°
  2. খ
    ২৮°
  3. গ
    ৩২°
  4. ঘ
    ৪৫°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ২য় কোণের তিনগুন এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০° বড় হয় তবে ২য় কোণটি কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
ধরি,
২য় কোণ = ক
একটি কোণ = ৩ক
৩য় কোণ = ক + ৩০°

শর্তমতে,
ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০° - ৩০°
⇒ ক = ১৫০°/৫
∴ ক = ৩০°

∴ ২য় কোণ = ৩০° ।

২,৮৯৯.
একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?
  1. ক
    ক) ৪ গুণ
  2. খ
    খ) ১৫ গুণ
  3. গ
    গ) ৮ গুণ
  4. ঘ
    ঘ) ৯ গুণ
ব্যাখ্যা

ধরি, সরলরেখার দৈর্ঘ্য ৩ একক।
তবে এর এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১ বর্গ একক।
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩ × ৩) = ৯ বর্গ একক
∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের (৯ / ১) = ৯ গুণ

 
২,৯০০.
একটি রেখার প্রান্ত বিন্দুতে অপর একটি সরলরেখা মিলিত হলে যে দু’টি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি-
  1. ক
    ১২০°
  2. খ
    ১৮০°
  3. গ
    ১৫০°
  4. ঘ
    ১৬০°
ব্যাখ্যা

একটি রেখার প্রান্ত বিন্দুতে অপর একটি সরলরেখা মিলিত হলে যে দু’টি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।
এটি অনুসিদ্ধান্ত।