রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ২৩ / ৩২ · ২,২০১–২,৩০০ / ৩,২১১

২,২০১.

ABC সমবাহু ত্রিভুজ হলে, ∠ACD এর এক-তৃতীয়াংশের মান কত?

ক
45°
খ
35°
গ
40°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC সমবাহু ত্রিভুজ হলে, ∠ACD এর এক-তৃতীয়াংশের মান কত?

সমাধান:
∠ACD = 180° - 60° = 120°
∠ACD এর এক-তৃতীয়াংশ = 120°/3 = 40°

২,২০২.

বৃত্তের কোন বিন্দুতে কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

ক
ক) ১টি
খ
খ) ২টি
গ
গ) ৩টি
ঘ
ঘ) ৪টি

ব্যাখ্যা

বৃত্তের কোন বিন্দুতে একটি মাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।

২,২০৩.

y = 2 এবং x = 2y - 1 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

ক
(1, 2)
খ
(4, 2)
গ
(5, 2)
ঘ
(3, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y = 2 এবং x = 2y - 1 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

সমাধান:
১ম সমীকরণ হতে পাই,
y = 2

২য় সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,
x = 2 × 2 - 1 = 4 - 1 = 3

∴ সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 2).

২,২০৪.

দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৫ : ৩ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

ক
২৫ : ৩
খ
২৫ : ৯
গ
১ : ৩
ঘ
৫০ : ১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৫ : ৩ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ যথাক্রমে ৫ক এবং ৩ক

∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৫ক)^২ : π(৩ক)^২
= ২৫πক^২ : ৯πক^২
= ২৫ : ৯

২,২০৫.

দুইটি সরল রেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ বিন্দুতে কয়টি কোণ তৈরি হয়?

ক
১ টি
খ
২ টি
গ
৩ টি
ঘ
৪ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সরল রেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ বিন্দুতে কয়টি কোণ তৈরি হয়?

সমাধান;
PR ও QS দুইটি সরলরেখা পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করলে এদের দ্বারা গঠিত কোণগুলো হলো-
∠POQ, ∠POS, ∠QOR, ∠ROS

২,২০৬.

2x + 3y + 4 = 0 সরলরেখার y অক্ষের ছেদাংশ কত?

ক
0
খ
3
গ
- 2/3
ঘ
- 4/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 3y + 4 = 0 সরলরেখার y অক্ষের ছেদাংশ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c যেখানে, সরলরেখার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
2x + 3y + 4 = 0
বা, 3y = - 2x - 4
বা, y = (- 2/3)x + (- 4/3).................(১)

(১) নং সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
প্রদত্ত সরলরেখার,
y অক্ষের ছেদাংশ, c = - 4/3

২,২০৭.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল নয়গুণ বৃদ্ধি করলে ব্যাসার্ধ কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) তিনগুণ
খ
খ) ছয়গুণ
গ
গ) নয়গুণ
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল নয়গুণ বৃদ্ধি করলে ব্যাসার্ধ তিনগুণ বৃদ্ধি পাবে।

২,২০৮.

বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা-কে কী বলা হয়?

ক
ব্যাসার্ধ
খ
পরিধি
গ
চাপ
ঘ
ব্যাস

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা-কে কী বলা হয়?

সমাধান:
- বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা-কে ব্যাস বলা হয়। ব্যাস বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায় এবং বৃত্তকে দুটি সমান অর্ধবৃত্তে বিভক্ত করে।

• ব্যাস (Diameter):
- ব্যাস হলো একটি বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা। এটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত দুটি বিন্দুর মধ্যে সবচেয়ে দীর্ঘতম সংযোজক রেখাংশ।
- একটি বৃত্তে অসংখ্য জ্যা থাকতে পারে, কিন্তু ব্যাস হলো সেই নির্দিষ্ট জ্যা যা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে।
- ব্যাসের দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের (radius) দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ হয়। অর্থাৎ, ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ।
- ব্যাস বৃত্তটিকে দুটি সমান অংশে ভাগ করে, যাদেরকে অর্ধবৃত্ত (semicircle) বলা হয়।

• জ্যা (Chord) হলো বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ। ব্যাস একটি বিশেষ ধরনের জ্যা।

• ব্যাসার্ধ (Radius) হলো বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্ব।

• চাপ (Arc) হলো বৃত্তের পরিধির একটি অংশ।

• পরিধি:
- পরিধি হলো কোনো বৃত্তের বাইরের সম্পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য। অর্থাৎ, একটি বৃত্তের একপ্রান্ত থেকে শুরু করে পুরো বৃত্তাকার পথে ঘুরে আবার সেই একই প্রান্তে ফিরে এলে যে দূরত্ব অতিক্রম করা হয়, তাকেই ঐ বৃত্তের পরিধি বলা হয়। একে ইংরেজিতে Circumference বলা হয়।

২,২০৯.

নিম্নের চিত্রে y° এর মান কত?

ক
15°
খ
30°
গ
45°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিম্নের চিত্রে y° এর মান কত?

সমাধান:
x° + 2x° = 180°
বা, 3x° = 180°
বা, x° = 60°

আবার,
x° = 60° = 2y°
বা, y° = 60°/2
∴ y° = 30°

২,২১০.

একটি গাড়ীর চাকা প্রতি মিনিটে 12 বার ঘুরে। চাকাটি 1 সেকেন্ড কত ডিগ্রী ঘুরে?

ক
ক) 72°
খ
খ) 108°
গ
গ) 180°
ঘ
ঘ) 360°

ব্যাখ্যা

চাকাটি 60 সেকেন্ডে ঘুরে 12 বার।
∴ চাকাটি 1 সেকেন্ডে ঘুরে (12X1)/60 = 1/5 বার।
যেহেতু চাকাটি বৃত্তাকার সেহেতু চাকাটি 1 বার ঘুরে অতিক্রম করে 360 ডিগ্রি।
∴ 1/5 বার ঘুরে অতিক্রম করে 360 X (1/5) ডিগ্রি।
= 72 ডিগ্রি।

২,২১১.

নিচের চিত্রে ∠BOC = 60° হলে ∠BDC = ?

ক
30°
খ
45°
গ
60°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠BOC = 60° হলে ∠BDC = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
চিত্রে কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 60°

∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠BDC = 60°/2 = 30°

২,২১২.

বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
৪
খ
৮
গ
১২
ঘ
১৬

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ক্ষেত্রফল এর ব্যাস বা ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতে বৃদ্ধি পাবে।
সুতরাং বৃত্তের ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

২,২১৩.

বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
৩ গুণ
খ
৬ গুণ
গ
৯ গুণ
ঘ
১২ গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 6r) = 8r
∴ ব্যাসার্ধ =8r/2 = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)² =16πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr² - πr² = 15πr²
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

----------------
প্রশ্ন : বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
সমাধান :
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²

বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯ গুণ পাবে।

যেহেতু এটি জব সলিউশনের প্রশ্ন এবং অপশনে ১৫ গুণ ছিল না, তাই ৯ গুণকে সঠিক উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।

২,২১৪.

প্রদত্তচিত্রে ∠BAD = 60° হলে ∠BED = ?

ক
ক) 30°
খ
খ) 60°
গ
গ) 90°
ঘ
ঘ) 120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্তচিত্রে ∠BAD = 60° হলে ∠BED = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।

এখানে,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে BCD চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ∠BAD = ∠BED
অর্থাৎ ∠BAD = ∠BED = 60°

২,২১৫.

(x - 5)² + (y + 4)²= 144 বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক কত?

ক
(5, - 4)
খ
(- 5, 4)
গ
(0, 12)
ঘ
(0, 0)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 5)² + (y + 4)²= 144 বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের সমীকরণ,(x - g)² + (y - f)² = r² যেখানে (g, f) বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক।

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ (x - 5)² + (y + 4)²= 12²

কেন্দ্রীয় স্থানাংক (5, - 4)

২,২১৬.

দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৬ : ৮ হলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

ক
৯ : ১৬
খ
৪ : ৯
গ
২ : ৯
ঘ
৮ : ১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৬ : ৮ হলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৬ক ও ৮ক

ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৬ক)^২ : π(৮ক)^২
= ৩৬πক^২ : ৬৪πক^২
= ৯ : ১৬

২,২১৭.

বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে একটি বৃত্তে-

ক
একটি স্পর্শক আঁকা যাবে
খ
দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে
গ
তিনটি স্পর্শক আঁকা যাবে
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে একটি বৃত্তে-

সমাধান:
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

২,২১৮.

কোনটি সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করে না?

ক
ক) x = 0
খ
খ) X+y = 1
গ
গ) 2x+3y = 12
ঘ
ঘ) y = 1/x

ব্যাখ্যা

y = 1/x একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যা সরলরেখা নয়।

২,২১৯.

কোনো বৃত্তে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ-

ক
ক) এক সমকোণের অর্ধেক
খ
খ) এক সমকোণ
গ
গ) দুই সমকোণ
ঘ
ঘ) সরলকোণ

ব্যাখ্যা

বৃত্তের যে কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
সুতরাং, উৎপন্ন কোণটি এক সমকোণ বা ৯০ ডিগ্রি হবে।

২,২২০.

৭৫° এর সম্পূরক ও পূরক কোণের পার্থক্য কত?

ক
৮৫°
খ
৯০°
গ
৯৫°
ঘ
১০০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭৫° এর সম্পূরক ও পূরক কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
৭৫° এর সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৭৫)° = ১০৫°
৭৫° এর পূরক কোণ = (৯০ - ৭৫)° = ১৫°

পার্থক্য = ১০৫° - ১৫°
= ৯০°

২,২২১.

একটি গোল মুদ্রা টেবিলে রাখা হলো। এই মুদ্রার চারপাশে একই মুদ্রা কতটি রাখা যেতে পারে যেন তারা মাঝের মুদ্রাটিকে এবং তাদের দুপাশে রাখা দুটি মুদ্রাকে স্পর্শ করে?

ক
৪
খ
৬
গ
৮
ঘ
১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গোল মুদ্রা টেবিলে রাখা হলো। এই মুদ্রার চারপাশে একই মুদ্রা কতটি রাখা যেতে পারে যেন তারা মাঝের মুদ্রাটিকে এবং তাদের দুপাশে রাখা দুটি মুদ্রাকে স্পর্শ করে?

সমাধান:
সমআকৃতির বৃত্তের ক্ষেত্রে এখানে 6টি বৃত্ত বা মুদ্রা লাগবে।
চিত্র লক্ষ্য করুন।

২,২২২.

একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৪° বেশি হলে, কোণটির মান কত হবে?

ক
৩৩°
খ
৫৭°
গ
৬৬°
ঘ
৮৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৪° বেশি হলে, কোণটির মান কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = ক°
∴ কোণটির পূরক কোণ হবে = (৯০ - ক)°

শর্তমতে,
ক - (৯০ - ক) = ২৪
⇒ ক - ৯০ + ক = ২৪
⇒ ২ক = ২৪ + ৯০
⇒ ২ক = ১১৪
⇒ ক = ১১৪/২
∴ ক = ৫৭

∴ কোণটির মান ৫৭°

২,২২৩.

বৃত্তের ব্যাস 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে -

ক
ক) 4
খ
খ) 9
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে -

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস n গুন বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল n²গুন বৃদ্ধি পায়।
বৃত্তের ব্যাস 3 গুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল 9 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

২,২২৪.

৭২° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?

ক
২৮°
খ
৩২°
গ
৩৬°
ঘ
৪২°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭২° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
৭২° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৭২)° = ১০৮°
১০৮° কোন এর এক-তৃতীয়াংশ = ১০৮°/৩ = ৩৬°

২,২২৫.

কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলে?

ক
লম্বকেন্দ্র
খ
ভরকেন্দ্র
গ
পরিকেন্দ্র
ঘ
অন্তকেন্দ্র

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলে?

সমাধান:
পরিকেন্দ্র: কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র।

লম্বকেন্দ্র: শীর্ষ বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের মিলিত বিন্দু কে ঐ ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র বলে।

ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।

অন্তকেন্দ্র: ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদ বিন্দুকে ঐ ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র বলে।

২,২২৬.

দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ : ৫, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

ক
ক) ৫ : ৩
খ
খ) ৬ : ১০
গ
গ) ৯ : ২৫
ঘ
ঘ) ৯ : ১০

ব্যাখ্যা

ধরি
বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৩x ও ৫x
বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৩x)^২ : π(৫x)^২
= ৯ : ২৫

২,২২৭.

সরল কোণের মান কত?

ক
৯০°
খ
১৮০°
গ
২৭০°
ঘ
৩৬০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সরল কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
- এক সরল কোণ ১৮০ ডিগ্রি।
- দুইটি বিপরীত রশ্মি এক বিন্দুতে মিলিত হলে, ঐ বিন্দুতে ১৮০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন হয়।
- ১৮০ ডিগ্রি কোণকে এক সরল কোণ বলে।

২,২২৮.

একটি কোণ ৮৫° হলে, এর সম্পূরক কোণের মান কত?

ক
৯৫°
খ
৫°
গ
১০৫°
ঘ
৮৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণ ৮৫° হলে, এর সম্পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ ৮৫° কোণের সম্পূরক কোণ (১৮০ - ৮৫)°
= ৯৫°

২,২২৯.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও পরিধি যথাক্রমে ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার ও ১৩২ সেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

ক
২৮ সে.মি.
খ
৪৪ সে.মি.
গ
৩৮ সে.মি
ঘ
৪২ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও পরিধি যথাক্রমে ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার ও ১৩২ সেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসই হচ্ছে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr = 132
বা, 2r = 132/π
= 132/(22/7)
= 132 × (7/22)
= 42 সে.মি.

২,২৩০.

দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্ত হলো-

ক
তাদের সমান ব্যাসার্ধ থাকে
খ
তাদের এক কেন্দ্র থাকে
গ
তাদের সমান ক্ষেত্রফল থাকে
ঘ
তাদের সমান পরিধি থাকে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্ত হলো-

সমাধান:
দুই বা ততোধিক বৃত্তের কেন্দ্র যদি একই অবস্থানে অবস্থিত হয় তাহলে তাদের সমকেন্দ্রিক বৃত্ত বলে।
∴ দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের মানে হলো তাদের এক কেন্দ্র থাকে।

২,২৩১.

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ____ টি।

ক
১ টি
খ
২ টি
গ
৩ টি
ঘ
৪ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ____ টি।

সমাধান:

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ৪ টি।

২,২৩২.

২৮° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?

ক
ক) ৬০°
খ
খ) ৪০°
গ
গ) ৭৬°
ঘ
ঘ) ৩১°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৮° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?

সমাধান:
২৮° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ২৮° = ১৫২°
১৫২° কোণের অর্ধেক = ১৫২°/২ = ৭৬°

২,২৩৩.

দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয়-

ক
সন্নিহিত কোণ
খ
পূরক কোণ
গ
একান্তর কোণ
ঘ
সম্পূরক কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয়-

সমাধান:
• দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয় একান্তর কোণ।

এখানে AB, CD সমান্তরাল রেখাদ্বয়কে EF তির্যক রেখাটি ছেদ করেছে ফলে EF রেখার বিপরীত পাশে অবস্থিত ∠APQ, ∠PQD কোণদ্বয় একান্তর কোণ।
আবার, ∠BPQ, ∠CQP কোণদ্বয় একান্তর কোণ।

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।

২,২৩৪.

বৃত্তের কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের কত ভাগ?

ক
দ্বিগুণ
খ
অর্ধেক
গ
সমান
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের কত ভাগ?

সমাধান:
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

২,২৩৫.

একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থকোণগুলো তৈরি হয়, সেই তিনটি বহিঃস্থকোণের যোগফল কত ডিগ্রি হবে?

ক
90°
খ
180°
গ
270°
ঘ
360°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থকোণগুলো তৈরি হয়, সেই তিনটি বহিঃস্থকোণের যোগফল কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
যে কোনো ত্রিভুজে, একটি কোণ এবং তার বহিঃস্থকোণ সমষ্টি = 180°।

ধরি, ত্রিভুজের তিনটি কোণ হলো A, B, C
তাহলে তাদের বহিঃস্থকোণগুলো হবে 180° - A, 180° - B এবং 180° - C।

∴ তাদের সমষ্টি = (180 - A) + (180 - B) + (180 - C)
= 540 - (A + B + C)

যেহেতু ত্রিভুজের কোণগুলোর সমষ্টি = 180°
⇒ 540 - (A + B + C) = 180°
⇒ A + B + C = 540° - 180°
∴ A + B + C = 360°

∴ তিনটি বহিঃস্থকোণের সমষ্টি = 360°।

২,২৩৬.

একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সে.মি. ও ১৩৮৬ বর্গসে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক
২১ সে.মি.
খ
৩৫ সে.মি.
গ
৪২ সে.মি.
ঘ
৫৬ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সে.মি. ও ১৩৮৬ বর্গসে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল/পরিধি = πr²/২πr
⇒ πr²/২πr = ১৩৮৬/১৩২
⇒ r/২ = ১৩৮৬/১৩২
⇒ r = (১৩৮৬ × ২)/১৩২
⇒ r = ২৭৭২/১৩২
⇒ r = ২১ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো ব্যাস।

∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= (২ × ২১)
= ৪২ সে.মি.

২,২৩৭.

কোনটি সঠিক নয়?

ক
যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু
খ
তলের প্রান্ত হলো রেখা
গ
যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল
ঘ
রেখার প্রান্ত বিন্দু আছে

ব্যাখ্যা

ইউক্লিডের স্বীকার্য (Euclid's Postulates)
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

সূত্র- ৮ম শ্রেণির গণিত বই।

২,২৩৮.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৮π হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ক
৩√২
খ
২√৩
গ
৫√২
ঘ
৫√৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৮π হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২

শর্তমতে,
πr^২ = ১৮π
বা, r^২ = ১৮
বা, r = √১৮
বা, r = √(৯ × ২)
∴ r = ৩√২

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৩√২ ।

২,২৩৯.

বিন্দুর মাত্রা কয়টি?

ক
এক
খ
শূন্য
গ
তিন
ঘ
দুই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বিন্দুর মাত্রা কয়টি?

সমাধান:
বিন্দুর সংজ্ঞা:
বিন্দু হলো একটি মৌলিক জ্যামিতিক ধারণা যা স্থান, দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল বা আয়তন ছাড়াই শুধুমাত্র অবস্থান নির্দেশ করে।

বিন্দুর মাত্রা:
বিন্দুর কোন মাত্রা নেই। এটি শুধুমাত্র একটি অবস্থান নির্দেশ করে এবং এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ বা উচ্চতা নেই।

২,২৪০.

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD একটি অন্তস্থ চতুর্ভুজ, যার একটি কোণ ∠BAD = 100°। ∠BAD এর বিপরীত কোণ ∠BCD। BC বাহুর C বিন্দুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠ECD/2 =?

ক
60°
খ
40°
গ
50°
ঘ
80°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD একটি অন্তস্থ চতুর্ভুজ, যার একটি কোণ ∠BAD = 100°। ∠BAD এর বিপরীত কোণ ∠BCD। BC বাহুর C বিন্দুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠ECD/2 = ?

সমাধান:
তথ্য অনুসারে চিত্র অংঙ্কন করে পাই,

অন্তস্থ চতুর্ভুজ : একটি অন্তস্থ চতুর্ভুজ হলো এমন একটি চতুর্ভুজ, যার চারটি শীর্ষবিন্দু একই বৃত্তের উপর অবস্থিত। অর্থাৎ, চতুর্ভুজটি একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের মধ্যে আঁকা যায়, যেখানে বৃত্তটি চতুর্ভুজের চারটি কোণ স্পর্শ করে।

অন্তস্থ চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য:
১. বিপরীত কোণের সমষ্টি 180° হয়। ∠BAD + ∠BCD = 180° এবং ∠ABC + ∠AD = 180°
২. একটি বাহুর বিপরীত কোণের বহিঃস্থ কোণ তার সংলগ্ন বিপরীত কোণের সমান হয়।
৩. যদি একটি চতুর্ভুজ অন্তস্থ হয়, তবে তার সকল শীর্ষবিন্দু একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের পরিধিতে অবস্থান করবে।
৪. পৃথক পৃথক দুই জোড়া কোণ পরস্পর সম্পূরক হয়।

বৈশিষ্ট হতে দেখা যায়,
∠BAD + ∠BCD=180°
⇒ 100°+ ∠BCD=180°
⇒ ∠BCD= 180° - 100°
∴ ∠BCD= 80°

আবার,
∠BCD + ∠ECD = 180°
⇒ 80° + ∠ECD = 180°
⇒ ∠ECD = 180° - 80°
⇒ ∠ECD = 100°

∴ ∠ECD / 2 = 100° ÷ 2
= 50°

২,২৪১.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৮π হলে, বৃত্তের পরিসীমা কত?

ক
১২√৩π
খ
৮π
গ
৮√৩π
ঘ
৬√২π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৮π হলে, বৃত্তের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A = πr২

প্রশ্নমতে,
πr^২ = ১৮π
⇒ r^২ = ১৮
∴ r = √১৮ = ৩√২

∴ বৃত্তের পরিসীমা = ২πr
= ২ × π × ৩√২
= ৬√২π

২,২৪২.

একটি কোণের মান একটি সমবাহু ত্রিভুজের একবাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তার এক-চতুর্থাংশের সমান হলে, উক্ত কোণের পূরক কোণ কত?

ক
৪৫°
খ
৬০°
গ
৩০°
ঘ
৭৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণের মান একটি সমবাহু ত্রিভুজের একবাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তার এক-চতুর্থাংশের সমান হলে, উক্ত কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি কোণের মান ৬০°
এক বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ = ১২০°

১২০ এর এক-চতুর্থাংশ = ১২০/৪ = ৩০°

৩০° এর পূরক কোণ = ৯০ - ৩০ = ৬০°

২,২৪৩.

১০ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ কত সেন্টিমিটার?

ক
ক) ২০
খ
খ) ৪০
গ
গ) ৯৮
ঘ
ঘ) ১০০

ব্যাখ্যা

বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।

২,২৪৪.

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে x এর মান কত?

ক
ক) 128°
খ
খ) 104°
গ
গ) 74°
ঘ
ঘ) 52°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে x এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে,
বৃত্তস্থ কোণ ∠BAD = (1/2) ∠BOD
= (1/2) × 104°
∴ ∠BAD = 52°

∠BAD এবং ∠BCD বা x হলো বৃত্তস্থ চর্তুভূজের বিপরীত কোণ।
তাহলে, ∠BAD + ∠BCD = 180°
⇒ 52° + x = 180°
⇒ x = 180° - 52°
∴ x = 128°

২,২৪৫.

একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে 90 বার ঘুরলে, এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে?

ক
180
খ
270
গ
540
ঘ
360

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে 90 বার ঘুরলে, এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে?

সমাধান:
একবার পূর্ণ ঘূর্ণন = 360°
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে 90 বার ঘুরে,

প্রতি মিনিটে মোট ডিগ্রী ঘুরবে = 90 × 360°
1 সেকেন্ডে চাকা ঘুরবে = (90 × 360°)/60 [এখন 1 মিনিট = 60 সেকেন্ড]
= 540°

২,২৪৬.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৬ বর্গমিটার ও পরিধি ৮ মিটার হলে ব্যাসার্ধ কত মিটার হবে?

ক
২ মিটার
খ
৪ মিটার
গ
৮ মিটার
ঘ
৬ মিটার

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = 2πr
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
সুতরাং শর্তমতে, 2πr = ৮ মিটার এবং πr² = ১৬ বর্গমিটার‌।
সুতরাং πr²/2πr = ১৬/৮
বা, r/২ = ২
বা, r = ৪

২,২৪৭.

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কোনটি ?

ক
ক) ২২ : ৭
খ
খ) ৭ : ২২
গ
গ) ২২ : ৬
ঘ
ঘ) ২২ : ৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
সমাধান:
বৃত্তের পরিধি 2πr এবং ব্যাস 2r

∴ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত = ব্যাস : পরিধি
= 2πr : 2r
= 2πr/2r
= π/1
= (22/7)/1
= 22/7

২,২৪৮.

দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী কোণ বলে?

ক
প্রবৃদ্ধ কোণ
খ
স্থূলকোণ
গ
সূক্ষ্মকোণ
ঘ
সম্পূরক কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান:
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle) বলে।

অন্যদিকে,
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড়, কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- দুইটি কোনের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

২,২৪৯.

যদি কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 120 সে.মি. হয় তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ক
28 সে.মি.
খ
36 সে.মি.
গ
14 সে.মি.
ঘ
24 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 120 সে.মি. হয় তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 120
⇒ 2r(π - 1) = 120
⇒ r = (120/2)/{(22/7) - 1}
⇒ r = 60/{(22 - 7)/7}
⇒ r = (60 × 7)/15
∴ r = 28

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 28 সে.মি.

২,২৫০.

ABCD বৃত্তস্থ চর্তুভুজে ∠A = 110° হলে, C কোণের পূরক কোণের মান কত ডিগ্রী?

ক
ক) 110°
খ
খ) 55°
গ
গ) 70°
ঘ
ঘ) 20°

ব্যাখ্যা

ABCD বৃত্তস্থ চর্তুভূজে A + C = 180°
∴ C = 180° - A = 70°
∴ ∠C কোণের পূরক কোণ = 90° - 70° = 20°

২,২৫১.

দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৭ : ৫। এদের পরিসীমার অনুপাত কত?

ক
৪৯ : ২৫
খ
৭ : ৫
গ
৫ : ৭
ঘ
২৫ : ৪৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৭ : ৫। এদের পরিসীমার অনুপাত কত?

সমাধান:
ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে পরিসীমার এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর সমান।
কারণ,
পরিসীমা = ২π× ব্যাসার্ধ
অর্থাৎ পরিসীমা ব্যসার্ধের বা ব্যাসের সমানুপাতিক।
∴ পরিসীমার অনুপাত = ৭ : ৫

২,২৫২.

(4, 10) এবং (8, 26) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

ক
- 2
খ
1
গ
4
ঘ
- 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (4, 10) এবং (8, 26) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুইটি হলো (x₁, y₁) = (4, 10)
এবং (x₂, y₂) = (8, 26)।

আমরা জানি,
সরলরেখার ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (26 - 10)/(8 - 4)
= 16/4
= 4
সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো 4।

২,২৫৩.

একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের এক তৃতীয়াংশের সমান। কোণটির মান কত?

ক
45°
খ
22.5°
গ
30°
ঘ
35.5°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের এক তৃতীয়াংশের সমান। কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণের মান = x
∴ পূরক কোণ = 90° - x

শর্তমতে,
x = (90° - x)/3
⇒ 3x = 90° - x
⇒ 4x = 90°
∴ x = 22.5°

২,২৫৪.

কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণ এর একটি ৫৫°। অপর কোণটি কত হবে?

ক
১২৫°
খ
১১০°
গ
৭৫°
ঘ
১১৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণ এর একটি ৫৫°। অপর কোণটি কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = ১৮০°
সুতরাং, ৫৫° + নির্ণেয় কোণ = ১৮০°
∴ নির্ণেয় কোণ = ১৮০° - ৫৫° = ১২৫°

২,২৫৫.

৫০√৫ মি. দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখায় ৫ বর্গ মি. ক্ষেত্রফলের কয়টি বর্গক্ষেত্র পাশাপাশি বসানো যাবে?

ক
৫টি
খ
৪৫টি
গ
২৫টি
ঘ
৫০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫০√৫ মি. দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখায় ৫ বর্গ মি. ক্ষেত্রফলের কয়টি বর্গক্ষেত্র পাশাপাশি বসানো যাবে?

সমাধান:
বর্গের ক্ষেত্রফল = ৫ বর্গ মি.
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = √৫ বর্গ মি.

মোট বর্গ বসানো যাবে = ৫০√৫/√৫ টি
= ৫০টি

২,২৫৬.

একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫° ও ৫৫° । ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

ক
ক) সমদ্বিবাহু
খ
খ) সমবাহু
গ
গ) স্থূলকোণী
ঘ
ঘ) সমকোণী

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫° ও ৫৫° । ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
বা, ৩৫° + ৫৫° + তৃতীয় কোণ = ১৮০°
বা, তৃতীয় কোণ = ১৮০° - ৯০°
∴ তৃতীয় কোণ = ৯০°

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।

২,২৫৭.

নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?

ক
ক) ১০০ ডিগ্রি
খ
খ) ১৮০ ডিগ্রি
গ
গ) ২২০ ডিগ্রি
ঘ
ঘ) ৯০ ডিগ্রি

ব্যাখ্যা

প্রবৃদ্ধ কোণঃ যে কোণের পরিমাণ ১৮০ ডিগ্রি থেকে বেশি এবং ৩৬০ ডিগ্রি অপেক্ষা কম তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

উৎস : গণিত (এস এস সি প্রোগ্রাম), বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

২,২৫৮.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC কোণের মান কত?

ক
74°
খ
64°
গ
53°
ঘ
86°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ ∠BAC = (1/2) ∠BOC
= (1/2) × 106°
= 53°

২,২৫৯.

কোন সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২০° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

ক
৩৫°
খ
৪০°
গ
৪৫°
ঘ
৫৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২০° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সূক্ষ্মকোণ = ক
∴ অপর সূক্ষ্মকোণ = ক - ২০°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের যোগফল ৯০° হয়।
প্রশ্নমতে,
ক + (ক - ২০°) = ৯০°
⇒ ২ক - ২০° = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° + ২০°
⇒ ২ক = ১১০°
⇒ ক = ১১০°/২
⇒ ক = ৫৫°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণটির মান = ৫৫° - ২০° = ৩৫°

২,২৬০.

একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১.৫ কি.মি. পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

ক
২০০
খ
২৫০
গ
৩০০
ঘ
৩৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১.৫ কি.মি. পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
গাড়ীর চাকার পরিধি = ৫ মিটার

১.৫ কি.মি. = (১০০০ ×১.৫) মিটার = ১৫০০ মিটার

৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১ বার
১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১/৫ বার
১৫০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১৫০০/৫ বার
= ৩০০ বার

২,২৬১.

4x² + 4y² = 100 বৃত্তের ক্ষেত্রফল-

ক
ক) 5π
খ
খ) 105
গ
গ) 25π
ঘ
ঘ) 100π

ব্যাখ্যা

বৃত্তের সমীকরণ,
4x² + 4y² = 100
বা, x² + y² = 25
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × 5²= 25π

২,২৬২.

৩৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পূরক কোণ-

ক
১৪৩°
খ
৩৭°
গ
১৩৫°
ঘ
৫৩°

ব্যাখ্যা

৩৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ = ৩৭°
∴ ৩৭° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৭°
= ৫৩°

২,২৬৩.

দুইটি রেখাংশ যে বিন্দুতে মিলিত হয় তা -

ক
ক) প্রান্ত বিন্দু
খ
খ) চলমান বিন্দু
গ
গ) শীর্ষ বিন্দু
ঘ
ঘ) পাদবিন্দু

ব্যাখ্যা

দুইটি রেখাংশ যে বিন্দুতে মিলিত হয় তা শীর্ষ বিন্দু।

২,২৬৪.

4x - 8y - 9 = 0 সরলরেখার ঢাল কত?

ক
1/2
খ
- 1/3
গ
2
ঘ
- 3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x - 8y - 9 = 0 সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x - 8y - 9 = 0 ......... (১)

আমরা জানি,
সরলরেখার সমীকরণ, y = mx + c.......... (২)
যেখানে, m = ঢাল
এখন, (১) হতে পাই,
⇒ - 8y = - 4x + 9
⇒ y = (4/8)x - (9/8)
⇒ y = (1/2)x - (9/8)
(২) নং এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = 1/2

সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো, 1/2

২,২৬৫.

যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাংক কত?

ক
(4, 5)
খ
(4, - 5)
গ
(- 4, - 5)
ঘ
(2, - 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাংক কত?

সমাধান:
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো x²+ y² - 2gx - 2fy + c = 0, যেখানে (g, f) হলো কেন্দ্র এবং c হলো একটি ধ্রুবক।

প্রশ্নমতে,
- 2g = - 8
বা, 2g = 8
∴ g = 4

এবং, - 2f = 10
∴ f = - 5

∴ বৃত্তের কেন্দ্র (4, - 5)।

২,২৬৬.

বৃত্তের স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি?

ক
ক) 45°
খ
খ) 90°
গ
গ) 180°
ঘ
ঘ) 120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের ওপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
PT ⊥ OP এবং ∠OPT = 90°

২,২৬৭.

বৃত্তের ব্যাস দুইগুণ বৃদ্ধি পেলে, ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) 2 গুণ
খ
খ) 4 গুণ
গ
গ) 8 গুণ
ঘ
ঘ) 16 গুণ

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস দুইগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 4r
∴ব্যাসার্ধ = 2r
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(2r)² = 4πr²
∴ 4 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

২,২৬৮.

৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

ক
০°
খ
৯০°
গ
৩০°
ঘ
১৮০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০° ।

২,২৬৯.

দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16 : 25 হলে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের অনুপাত কত হবে?

ক
5 : 4
খ
2 : 3
গ
4 : 5
ঘ
3 : 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16 : 25 হলে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে x ও y

প্রশ্নমতে,
πx² : πy² = 16 : 25
⇒ x² : y² = 16 : 25
∴ x : y = 4 : 5

২,২৭০.

কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে একইভাবে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-

ক
১৮০^০
খ
২৭০^০
গ
৩৬০^০
ঘ
৫৪০^০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে একইভাবে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-

সমাধান:

আমরা জানি,
যে কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
চিত্র হতে, x + y + z = 180° = এক সরলকোণ

প্রাপ্ত বহি:স্থ কোণগুলো যথাক্রমে (180° - x), (180° - y), (180° - z)
∴ বহি:স্থ কোণ তিনটির যোগফল = (180° - x) + (180° - y) + (180° - z)
= 540° - (x + y +z)
= 540° - 180°
= 360°

২,২৭১.

একটি বিন্দু দিয়ে কতটি সরলরেখা টানা যায়?

ক
ক) ১টি
খ
খ) ২টি
গ
গ) অসংখ্য
ঘ
ঘ) একটিও নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বিন্দু দিয়ে কতটি সরলরেখা টানা যায়?

সমাধান:
বিন্দু (Point):
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই।
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন।
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়।

বিন্দুর শ্রেণিবিভাগ:
- বিন্দুকে সাধারণত ৩ শ্রেণিতে ভাগ করা হয়েছে। যথা-
i. সমরেখ বিন্দু
ii. অসমরেখ বিন্দু
iii. সমবিন্দু।

সাধারণ বিন্দু:
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে।
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না।
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়।
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।

২,২৭২.

একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 1 বর্গ একক
খ
খ) 2 বর্গ একক
গ
গ) π বর্গ একক
ঘ
ঘ) 2π বর্গ একক

ব্যাখ্যা

একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π×r² = π×1² = π বর্গ একক।

২,২৭৩.

দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে?

ক
সন্নিহিত কোণ
খ
সরলকোণ
গ
পূরককোণ
ঘ
সম্পূরক কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে?

সমাধান:
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।

২,২৭৪.

60° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক নিচের কোনটি?

ক
30°
খ
120°
গ
50°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সম্পূরক কোণের পরিমাণ = 180°
সুতরাং 60° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক = 1/2 (180°-60°) = 1/2 × 120° = 60°

২,২৭৫.

একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের দুই-তৃতীয়াংশের সমান। কোণটির মান কত?

ক
২০°
খ
৩০°
গ
৩৬°
ঘ
৪৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের দুই-তৃতীয়াংশের সমান। কোণটির মান কত?

সমাধান:
একটি কোণ ক হলে,
কোণটির পূরক কোণ = (৯০° - ক)

এখন,
ক = (৯০° - ক) × (২/৩)
⇒ ক = (১৮০° - ২ক)/৩
⇒ ৩ক = ১৮০° - ২ক
⇒ ৩ক + ২ক = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০°/৫
⇒ ক = ৩৬°

২,২৭৬.

বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) 4
খ
খ) 9
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 6r) = 8r
∴ ব্যাসার্ধ =8r/2 = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)² =16πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr² - πr² = 15πr²
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

----------------

প্রশ্ন : বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান :

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²

বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯ গুণ পাবে।

যেহেতু এটি জব সলিউশনের প্রশ্ন এবং অপশনে ১৫ গুণ ছিল না, তাই ৯ গুণকে সঠিক উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।

২,২৭৭.

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় কতটি সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায়?

ক
২
খ
১
গ
৪
ঘ
৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় কতটি সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায়?

সমাধান:
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ৪ টি।

২,২৭৮.

বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) ৪
খ
খ) ১৬
গ
গ) ১২
ঘ
ঘ) ৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাস, d একক হলে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = d/2 একক

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গএকক
= π(d/2)² বর্গএকক
= (πd²)/4 বর্গএকক

বৃত্তের ব্যাস ৩গুণ হলে,
ব্যাস হবে 3d একক
ব্যাসার্ধ হবে (3d)/2 একক

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π{(3d)/2}² বর্গএকক
= (9πd²)/4 বর্গএকক

এখন,
{(9πd²)/4} ÷ {(πd²)/4}
= 9

∴বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে

২,২৭৯.

কোনো বৃত্তের অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ক
3 সে.মি.
খ
4 সে.মি.
গ
6 সে.মি.
ঘ
10 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বৃত্তের অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = 6 সে.মি.

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (2/3) × ত্রিভুজটির উচ্চতা
= (2/3) × 6
= 4 সে.মি.

নোট:
বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = সমবাহু ত্রিভুজের বাহু/√3

২,২৮০.

৫ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
৬০
খ
৭০
গ
৪০
ঘ
৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
কর্ণের দৈর্ঘ্য = x√২ সে.মি.

∴ x√২ = ১০
⇒ x = ১০/√২

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১০/√২)^২
= ১০০/২
= ৫০ বর্গসে.মি.

২,২৮১.

ঘড়িতে যখন সাড়ে চারটা বাজে, ঘণ্টার কাঁটা মিনিটের কাঁটার মধ্যকার কোণটি হলো-

ক
ক) ৯০°
খ
খ) ৪৫°
গ
গ) ৬০°
ঘ
ঘ) ৮০°

ব্যাখ্যা

মধ্যকার কোণ = । (11 M - 60 H) / 2 ।°
= । (১১ × ৩০ - ৬০ × ৪) / ২।°
= । ৩৩০ - ২৪০/ ২।°
= । ৯০/২।°
= ৪৫°

২,২৮২.

77 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ক
35 সে.মি.
খ
42 সে.মি.
গ
49 সে.মি.
ঘ
54 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 77 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বর্গক্ষেত্রের বাহু = 77 সে.মি.

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= (4 × 77) সে.মি.
= 308 সে.মি.

প্রশ্নমতে, বৃত্তের পরিসীমা (পরিধি) = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা
⇒ 2πr = 308
⇒ r = 308/(2π)
⇒ r = 154/π
⇒ r = 154/(22/7)
⇒ r = (154 × 7)/22
⇒ r = 7 × 7
⇒ r = 49 সে.মি.

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ 49 সে.মি.

২,২৮৩.

কোনো বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে, কেন্দ্র থেকে 4 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 2√5 সে.মি.
খ
খ) √5 সে.মি.
গ
গ) 8√5 সে.মি.
ঘ
ঘ) 4√5 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে, কেন্দ্র থেকে 4 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা = বৃত্তের ব্যাস = AB = 12 সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ = OB = OC = 12/2 = 6 সে.মি.
কেন্দ্র থেকে 4 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা CD এর উপর OE লম্ব। OE = 4 সে.মি.
চিত্র থেকে,
EC² = OC² - OE²
EC = √(6²- 4²) = √(36 - 16) = √20 = 2√5 সে.মি.
∴ CD = 2EC = 2 × 2√5 = 4√5 সে.মি.

দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য = 4√5 সে.মি.

২,২৮৪.

বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১০৮ বর্গ মিটার এবং প্রস্থ ৯ মিটার হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ক
৬.৫ মিটার
খ
৯ মিটার
গ
৭.৫ মিটার
ঘ
৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১০৮ বর্গ মিটার এবং প্রস্থ ৯ মিটার হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১০৮ বর্গ মি.
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৯ মি.
দৈর্ঘ্য = ১০৮/৯ মি.
= ১২ মি.

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
বৃত্তের ব্যাস = √(৯^২ + ১২^২)
= √(৮১ + ১৪৪)
= √২২৫
= ১৫

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৫/২ মি.
= ৭.৫ মি.

২,২৮৫.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
2 গুণ
খ
3 গুণ
গ
4 গুণ
ঘ
5 গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
মনে করি,
ব্যাসার্ধ = r,
ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে নতুন ব্যাসার্ধ = 2r
নতুন ক্ষেত্রফল = π(2r)²
= π × 4r²
= 4πr²

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 4πr² - πr²
= 3πr²

∴ ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল 3 গুণ বৃদ্ধি পাবে

২,২৮৬.

অতিভুজের বিপরীত থাকে -

ক
ক) সরলকোণ
খ
খ) সমকোণ
গ
গ) সূক্ষ্মকোণ
ঘ
ঘ) স্থূলকোণ

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে। সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু অতিভুজ।

২,২৮৭.

5 সে. মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 13 সে. মি. দূরের কোনো বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

ক
15 সে. মি.
খ
12 সে. মি.
গ
11 সে. মি.
ঘ
10 সে. মি.
ঙ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 সে. মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 13 সে. মি. দূরের কোনো বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে,
OP² = OQ² + PQ²

এখানে,
OP = 13 সেমি এবং OQ = 5 সেমি

এখন,
⇒ PQ² = OP² - OQ²
⇒ PQ² = 13² - 5²
⇒ PQ² = 169 - 25
⇒ PQ² = 144
⇒ PQ = √144
∴ PQ = 12

∴ অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 12 সে. মি.

২,২৮৮.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC কোণের মান কত?

ক
52°
খ
76°
গ
208°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 104°
এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC

আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ ∠BAC = (1/2) × ∠BOC
= (1/2) × 104°
= 52°

২,২৮৯.

বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা’ কে কী বলা হয়?

ক
পরিধি
খ
ব্যাসার্ধ
গ
বৃত্তচাপ
ঘ
ব্যাস

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা’ কে কী বলা হয়?

সমাধান:
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস (Diameter) বলে।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

২,২৯০.

AB ও CD রেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। ∠AOC = 4x - 16 এবং ∠BOC = 2(x + 20) হলে, x এর মান কত?

ক
24°
খ
26°
গ
28°
ঘ
30°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: AB ও CD রেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। ∠AOC = 4x - 16 এবং ∠BOC = 2(x + 20) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:

∠AOC + ∠BOC = 180°
⇒ 4x - 16 + 2(x + 20) = 180°
⇒ 4x - 16 + 2x + 40 = 180°
⇒ 6x + 24 = 180°
⇒ 6x = 180 - 24 = 156
⇒ x = 26°

২,২৯১.

কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ক
12 সেমি
খ
14 সেমি
গ
18 সেমি
ঘ
24 সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, বৃত্তের ব্যাস = 2r
এবং বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 60
⇒ 2r(π - 1) = 60
⇒ 2r{(22/7) - 1} = 60
⇒ 2r{(22 - 7)/7} = 60
⇒ 2r(15/7) = 60
⇒ r = (60 × 7)/(2 × 15)
⇒ r = 420/30
∴ r = 14

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ 14 সেমি।

২,২৯২.

4 সে.মি এবং 5 সে.মি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে তাহলে বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব-

ক
ক) 1 সে.মি
খ
খ) 9 সে.মি
গ
গ) 9/2 সে.মি
ঘ
ঘ) 3 সে.মি

ব্যাখ্যা

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব c₁c₂ = 4 + 5
= 9 সে.মি

২,২৯৩.

একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

ক
ক) ৬টি
খ
খ) ৯টি
গ
গ) ৭টি
ঘ
ঘ) ১০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

সমাধান :

একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যুনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

২,২৯৪.

৩২° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?

ক
১৪৮°
খ
৬৪°
গ
২১২°
ঘ
৫৮°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩২° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।

∴ ৩২° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৩২)°
= ১৪৮° ।

২,২৯৫.

বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভূজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি কত?

ক
180°
খ
360°
গ
120°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভূজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

২,২৯৬.

একটি বৃত্তে কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-

ক
দ্বিগুণ
খ
সমান
গ
অর্ধেক
ঘ
অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-

সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

২,২৯৭.

কোনো চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1:2:2:3 হলে উহার ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত?

ক
ক) 60°
খ
খ) 55°
গ
গ) 45°
ঘ
ঘ) 35°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
এখানে কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = 1 + 2 + 2 + 3
= 8
সুতরাং,
ক্ষুদ্রতম কোণ = 1/8 × 360°
= 45°

২,২৯৮.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = ৫ সে.মি. হলে OF= কত?

ক
ক) ১৫ সে.মি.
খ
খ) ২.৫ সে.মি.
গ
গ) ১০ সে.মি.
ঘ
ঘ) ৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = ৫ সে.মি. হলে OF= কত?

সমাধান:

বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = ৫ সে.মি. হলে OF =৫ সে.মি. হবে।

২,২৯৯.

একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের যোগফল ১০০° এবং উক্ত দুটি কোণের বিয়োগফল ৮০°। তৃতীয় কোণের মান হচ্ছে -

ক
ক) ৮০°
খ
খ) ৯০°
গ
গ) ৭০°
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি ১৮০°। যদি দুই কোনের সমষ্টি ১০০° হয় তাহলে তৃতীয় কোনটি অবশ্যই (১৮০-১০০)বা ৮০°।

২,৩০০.

AB || CD হলে, ∠BCA = ?

ক
40°
খ
50°
গ
90°
ঘ
130°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

AB || CD হলে, ∠BCA = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠BAC = 40^° এবং ∠ABC = 90°

এখন,
∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC
= 180° - 40° - 90°= 180° - 130°= 50°