রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠B = 75° এবং ∠ACE = 150° হলে ∠A কোণের মান কত?

সমাধান:
একটি সরল রেখায় 180° থাকে।
 এখন
সরলরেখার সন্নিহিত কোণদ্বয়ের ∠ACE = 150°  হলে,
∠ACB = 180° - 150° = 30°

দেওয়া আছে,
∠B = ∠ABC = 75°
এবং ∠ACB = 30°
∴ ∠BAC = ∠A = 180° - (75° + 30°)
= 180° - 105°
= 75°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান যথাক্রমে x, (2x/3) ও (x/3)। ক্ষুদ্রতম কোণের মান রেডিয়ান এককে কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে,
x, (2x/3) ও (x/3)

এখন,
x + (2x/3) + (x/3) = 180°
⇒ (3x + 2x + x)/3 = 180°
⇒ 6x/3 = 180°
⇒ 2x = 180°
⇒ x = 180°/2
∴ x = 90°

সুতরাং তিনটি কোণের মান হবে যথাক্রমে,
x = 90°
2x/3 = (2 × 90°)/3 = 60°
এবং x/3 = 90°/3 = 30°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 30°

আমরা জানি,
1° = π/180 রেডিয়ান
∴ 30° = 30° × (π/180) রেডিয়ান
= π/6 রেডিয়ান

∴ ক্ষুদ্রতম কোণের মান = π/6 রেডিয়ান

প্রশ্ন: বৃত্তাকার একটি পুকুরের ব্যাসার্ধ একটি বৃত্তাকার বাগানের ব্যাসার্ধের তিনগুণ। পুকুরটির ক্ষেত্রফল বাগানটির ক্ষেত্রফলের চেয়ে কতগুণ বেশি?

সমাধান:
ধরি,
বাগানের ব্যাসার্ধ = r
পুকুরের ব্যাসার্ধ = 3r (প্রশ্নে বলা হয়েছে তিনগুণ)

আমরা জানি, 
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = π⋅(ব্যাসার্ধ)²

এখন, 
বাগানের ক্ষেত্রফল = πr²
পুকুরের ক্ষেত্রফল = π(3r)² = π⋅9r² = 9πr²

পুকুরটির ক্ষেত্রফল বাগানটির ক্ষেত্রফলের চেয়ে বেশি = 9πr² -πr² = 8πr²
অতএব, পুকুরের ক্ষেত্রফল বাগানের ক্ষেত্রফলের 8 গুণ বেশি

প্রশ্ন: 2x + 3y - 9 = 0 এবং mx - 6y + 12 = 0 রেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হলে, m এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, y = mx + c দ্বারা একটি সরলরেখা প্রকাশ করা হয়, যেখানে m হলো রেখার ঢাল এবং c হলো y-অক্ষের ছেদাংশ।

প্রথম রেখার ঢাল নির্ণয়:
2x + 3y - 9 = 0
⇒ 3y = - 2x + 9
⇒ y = (- 2/3)x + 3

অতএব, প্রথম রেখার ঢাল,
m₁ = - 2/3

দ্বিতীয় রেখার ঢাল নির্ণয়:
mx - 6y + 12 = 0
⇒ -6y = - mx - 12
⇒ y = (m/6)x + 2

অতএব, দ্বিতীয় রেখার ঢাল,
m₂ = m/6

সমান্তরাল রেখার শর্ত:
দুটি রেখা পরস্পর সমান্তরাল হলে তাদের ঢাল সমান হয়।
⇒ m₁ = m₂
⇒ - 2/3 = m/6
⇒ m =  (- 2/3) × 6
⇒ m = - 4

∴ m এর মান = - 4

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ। 

এখন, 
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৭৫° হলে, 
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৭৫° × ২) 
= ১৫০° 

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১৫০° ।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 75° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = 180° 
একটি কোণ 75° হলে, 
∴ অপর কোণটি হবে = (180 - 75)°
= 105°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ১৪ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস d = ১৪ সেমি
∴ বৃত্তের ব্যাষার্ধ r = ১৪ ÷ ২ সেমি
= ৭ সেমি

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= (২২/৭) × (৭)^২
= ২২ × ৭
= ১৫৪ বর্গ সেমি

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৫৪ বর্গ সেমি

প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 240 সে.মি. হয় তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 240
⇒ 2r(π - 1) = 240
⇒ r = (240/2)/{(22/7) - 1}
⇒ r = 120/{(22 - 7)/7}
⇒ r = (120 × 7)/15
∴ r = 56

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 56 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১০ সে.মি.। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে উৎপন্ন একটি ৭২° কোণ দ্বারা গঠিত চাপের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = ১০ সে.মি.
কেন্দ্রে কোণ, θ = ৭২°

আমরা জানি,
চাপের দৈর্ঘ্য = (θ/৩৬০°) × ২πr
= (৭২°/৩৬০°) × ২π × ১০
= (১/৫) × ২০π
= ৪π সে.মি.

সুতরাং, চাপের দৈর্ঘ্য ৪π সে.মি.।

প্রশ্ন: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে কী উৎপন্ন হয়?

সমাধান:
রেখা (line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ স্থলে ১টি রেখা উৎপন্ন হয়।
- অথবা বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে।
- সরলরেখাকে সংক্ষেপে রেখা বলে।
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।

- রেখা প্রধানত দুই প্রকার। যথা-
ক) সরলরেখা
খ) বক্ররেখা।

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2Πr
প্রশ্নমতে, 2Πr = 23
=> r = 23/2Π
∴ r = 3.66

প্রশ্ন: একটি রেখা A(- 2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় যার ঢাল 1/2 । রেখাটি যদি আবারও (3, k) বিন্দু দিয়ে যায় তবে k এর মান কত? 

সমাধান: 
(-2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ- 
(y - 3) = m(x + 2)
বা, y - 3 = 1/2 × (x + 2)  [∴ ঢাল, m = 1/2]
বা, 2y - 6 = x + 2
বা, - 6 - 2 = x - 2y
বা, - 8 = x - 2y
বা, x - 2y + 8 = 0 

আবার, 
রেখাটি (3, k) বিন্দুগামী,
3 - 2k + 8 = 0
বা, - 2k + 11 = 0 
বা, -2k = - 11
বা, k = -11/-2
∴ k = 11/2

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ABC + ∠BAC = 135° হলে, ∠ACD এর মান কত?

সমাধান:
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।


∆ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে,
∠ABC+ ∠BAC = ∠ACD
এখানে, ∠ABC+ ∠BAC = 135°
∴ ∠ACD = 135°

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের পরিসীমার অর্ধেক 4π হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিসীমার অর্ধেক = 4π
∴ বৃত্তের পরিসীমা = (2 × 4π)
বা, 2πr = 8π
বা, r = 8π/2π
∴ r = 4
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π(4)²
= 16π

ত্রিভুজের ৩ কোণের যোগফল = 180°
২ টি কোণ 45° + 45° = 90° অপর কোণটি হবে 90°
ত্রিভুজটি সমকোণী
আমরা জানি যে, কোনো ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হলে কোণ সংশ্লিষ্ট দুটি বাহু পরস্পর সমান হয়।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 5 : 7 হলে, বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হলো 180°।
ধরি, কোণ তিনটি হলো যথাক্রমে 3x, 5x এবং 7x।
শর্তমতে,
3x + 5x + 7x = 180°
⇒ 15x = 180°
⇒ x = 180°/15
⇒ x = 12°
সুতরাং, বৃহত্তম কোণটি হলো 7x
∴ বৃহত্তম কোণ = 7 × 12° = 84°

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৩.৫ মিটার দূরত্বে থেকে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরত্বে গিয়ে মিলিত হবে? 

সমাধান: 
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।

সমান্তরাল রেখা (Parallel Line): 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত: 
১। সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
২। এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
৩। দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 

- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৩৫° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৩৫° হলে,

∴ অপর কোণটি হবে = (১৮০ - ৩৫)°
= ১৪৫°

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ?

সমাধান:
x/y = 1/2
2x =y
y = 2x

যা y = mx এর অনুরূপ 
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y = mx

x/y = 1/2 মূলবিন্দুগামী সরলরেখা।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের মধ্যমার ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক নয়?

সমাধান:
কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির মধ্যবিন্দুর  সংযোগ সরলরেখাকে মধ্যমা বলা হয়।

• ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা থাকে। 
• এগুলো সমবিন্দু।
• মধ্যমা পরস্পরকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।
• যে কোনো মধ্যমা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলকে সমান দুইভাগে বিভক্ত করে।
• মধ্যমা তিনটি সমান হলে সমবাহু ত্রিভুজ গঠিত হয়।

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 8r
∴ ব্যাসার্ধ = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)² = 16πr²
∴ 16 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
∠AOC + ∠AOD = 180°
⇒ 130° + x = 180°
⇒ x = 180° - 130°
∴ x = 50°

মনেকরি, ২য় কোণটি = x°, ১ম কোণটি = 3x°
∴ ৩য় কোণটি = x + 20
∴ x° + 3x° + x° + 20° = 180°
বা, 5x° = 160°
∴ x = 160/5 = 32°
সুতরাং বৃহত্তম কোণ = 3 × 32° = 96°

প্রশ্ন: ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্য নয় কোনটি?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

সুতরাং, ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্য নয় - গ)  দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র দুইটি সরলরেখা আঁকা যায়।

∠PEB = 180° - 120° = 60°
∠EFD = অনুরূপ ∠PEB = 60°

মনে করি, একটি কোণ x
সুতরাং তার পূরক কোণ (90 - x)

প্রশ্নমতে, x = 2(90-x) / 3
বা, 3x= 180 - 2x
বা, 5x= 180
বা, x= 36

সুতরাং কোণটি 36°
কোণটির পূরক কোণ
= 90 - 36 
= 54°

মনে করি,
কোণটির পরিমান = x°;
তাহলে এর পূরক কোণ হবে = (90 - x)°
শর্তমতে,
x = 2(90 - x)° + 30°
বা, x = 180° - 2x + 30°
বা, x + 2x = 180° + 30°
বা, 3x = 210°
∴ x = 70°

প্রশ্ন: দুইটি সমান্তরাল রেখা পরস্পরকে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান: 

 
সমান্তরাল রেখা পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভেতরে একটি বৃত্ত এমনভাবে আঁকা হয়েছে যে বৃত্তটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুকেই স্পর্শ করে। ত্রিভুজটির দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ সেমি ও ২৪ সেমি। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান: 

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ,
r = (a + b - c)/2 
যেখানে a ও b হলো কোণটির সংলগ্ন বাহু, আর c হলো অতিভুজ

দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে, 
10 সে.মি. এবং 24 সে.মি.

অতিভুজ, c = √(a² + b²)
= √(10² + 24²)
= √(100 + 576)
= √676
= 26 সে.মি.

সমকোণী ত্রিভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ,
r = (a + b - c)/2
= (10 + 24 - 26)/2
= 8/2
= 4 সে.মি.

সুতরাং, অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো 4 সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 616 বর্গ সেমি। বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ সেমি।
প্রশ্নমতে,
πr² = 616
⇒ (22/7) × r² = 616
⇒ r² = (616 × 7) / 22
⇒ r² = 28 × 7
⇒ r² = 196

বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (ব্যাসার্ধ)²
= r²
= 196 বর্গ সেমি।

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল 196 বর্গ সেমি।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি 38π। এই বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 38π  
⇒ r = 38π/2π  
∴ r = 19

∴ বৃত্তের ব্যাস, d = 2r  
= 2 × 19  
= 38

বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণই বৃত্তের ব্যাস হবে।  
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = a  
∴ কর্ণ = a√2  
⇒ a√2 = 38  
⇒ a = 38/√2  
⇒ a = (38 × √2)/(√2 × √2)  
⇒ a = (38√2)/2  
∴ a = 19√2

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a  
= 4 × 19√2  
= 76√2

অতএব, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 76√2