১,৬০১.
৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রী?
ব্যাখ্যা
সম্পূরক কোনদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০°
৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০°-৯০° = ৯০°
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান
রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান
PrepBank · পাতা ১৭ / ৩২ · ১,৬০১–১,৭০০ / ৩,২১১
১,৬০২.
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১২ বার ঘুরে। চাকাটি ৭২০° ঘুরতে কতক্ষণ লাগবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১২ বার ঘুরে। চাকাটি ৭২০° ঘুরতে কতক্ষণ লাগবে?
সমাধান:
৩৬০° যেতে ১ বার ঘোরে
৭২০° যেতে ২ বার ঘোরে
একটি গাড়ির চাকা,
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ১২ বার
১২ বার ঘোরতে সময় লাগে ৬০ সেকেন্ড
১ বার ঘোরতে সময় লাগে ৬০/১২ = ৫ সেকেন্ড
∴ ২ বার ঘোরতে সময় লাগে = (৫ × ২) সেকেন্ড
= ১০ সেকেন্ড
সমাধান:
৩৬০° যেতে ১ বার ঘোরে
৭২০° যেতে ২ বার ঘোরে
একটি গাড়ির চাকা,
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ১২ বার
১২ বার ঘোরতে সময় লাগে ৬০ সেকেন্ড
১ বার ঘোরতে সময় লাগে ৬০/১২ = ৫ সেকেন্ড
∴ ২ বার ঘোরতে সময় লাগে = (৫ × ২) সেকেন্ড
= ১০ সেকেন্ড
১,৬০৩.
৫৫° কোণের পূরক কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫৫° কোণের পূরক কোণ কত?
সমাধান:
যখন দুটি কোণের সমষ্টি ৯০˚ বা এক সমকোণ হয়, তখন একটি কোণকে অপর কোণের পূরক কোণ বলা হয়।
অতএব, একটি কোণ ৫৫° হলে, পূরক কোণ = ৯০˚ - ৫৫° = ৩৫°
সমাধান:
যখন দুটি কোণের সমষ্টি ৯০˚ বা এক সমকোণ হয়, তখন একটি কোণকে অপর কোণের পূরক কোণ বলা হয়।
অতএব, একটি কোণ ৫৫° হলে, পূরক কোণ = ৯০˚ - ৫৫° = ৩৫°
১,৬০৪.
২৬ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৬ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = ২৬ সে.মি. ; যা কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণ)২
= (১/২) × ২৬ × ২৬
= ১৩ × ২৬
= ৩৩৮ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = ২৬ সে.মি. ; যা কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণ)২
= (১/২) × ২৬ × ২৬
= ১৩ × ২৬
= ৩৩৮ বর্গ সে.মি.
১,৬০৫.
একই রেখায় অবস্থিত কয়েকটি বিন্দুকে কী বলা হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একই রেখায় অবস্থিত কয়েকটি বিন্দুকে কী বলা হয়?
সমাধান:
- একই সরলরেখার ওপর অবস্থিত একাধিক বিন্দুকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়।
- তারা একই সরলরেখায় অবস্থান করে এবং তাদের মধ্যে রেখা আঁকার জন্য প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে।
চিত্রে P, Q, R সমরেখ বিন্দু।
সমাধান:
- একই সরলরেখার ওপর অবস্থিত একাধিক বিন্দুকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়।
- তারা একই সরলরেখায় অবস্থান করে এবং তাদের মধ্যে রেখা আঁকার জন্য প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে।
চিত্রে P, Q, R সমরেখ বিন্দু।
১,৬০৬.
কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-
সমাধান:
ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ x + y + z = b + c + a + c + a + b
= 2 (a + b + c)
= 2 × 180°
= 360°
∴ কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রী
সমাধান:
ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ x + y + z = b + c + a + c + a + b
= 2 (a + b + c)
= 2 × 180°
= 360°
∴ কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রী
১,৬০৭.
125° কোণের সম্পূরক কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 125° কোণের সম্পূরক কোণ কত?
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে একটি অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
125° কোণের সম্পূরক কোণ = (180° - 125° ) = 55°
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে একটি অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
125° কোণের সম্পূরক কোণ = (180° - 125° ) = 55°
১,৬০৮.
একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৪ : ৬। ত্রিভুজটি কী ধরণের?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৪ : ৬। ত্রিভুজটি কী ধরণের?
সমাধান:
২ক + ৪ক + ৬ক = ১৮০°
⇒ ১২ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৫°
৬ক = ৬ × ১৫° = ৯০° । সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।
সমাধান:
২ক + ৪ক + ৬ক = ১৮০°
⇒ ১২ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৫°
৬ক = ৬ × ১৫° = ৯০° । সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।
১,৬০৯.
2 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তে অন্তঃস্থ একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে। বর্গক্ষেত্র দ্বারা বৃত্তের অনধিকৃত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তে অন্তঃস্থ একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে। বর্গক্ষেত্র দ্বারা বৃত্তের অনধিকৃত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
মনেকরি
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 2 সে.মি
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = π × 22 বর্গ সে.মি
=4π বর্গ সে.মি
আবার
ABCD এ AC = 4 সে.মি.
আমরা জানি
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AB2 + AB2 = AC2
⇒ 2AB2 = 42
⇒ 2AB2 = 16
∴ AB2 = 8
∴ বর্গক্ষেত্রের বহিঃস্থ এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = 4π - 8 বর্গ সে.মি
সমাধান:
মনেকরি
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 2 সে.মি
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = π × 22 বর্গ সে.মি
=4π বর্গ সে.মি
আবার
ABCD এ AC = 4 সে.মি.
আমরা জানি
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AB2 + AB2 = AC2
⇒ 2AB2 = 42
⇒ 2AB2 = 16
∴ AB2 = 8
∴ বর্গক্ষেত্রের বহিঃস্থ এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = 4π - 8 বর্গ সে.মি
১,৬১০.
একটি বৃত্তে একই চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ 120° হলে, উক্ত চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তে একই চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ 120° হলে, উক্ত চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।
∴ কেন্দ্রস্থ কোণ = 120° হলে,
বৃত্তস্থ কোণ = 120°/2 = 60°
১,৬১১.
বৃত্তের যে কোন সংযোজক রেখাংশকে বৃত্তের কি বলে?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের জ্যা - এর সংজ্ঞা থেকে প্রশ্নটি প্রণীত।
১,৬১২.
৩৭ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩৭ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ
৩৭ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৩৭ ডিগ্রি।
সমাধান:
আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ
৩৭ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৩৭ ডিগ্রি।
১,৬১৩.
৪৫° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪৫° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
∴ ৪৫° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৪৫°
= ৪৫°
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
∴ ৪৫° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৪৫°
= ৪৫°
১,৬১৪.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫০% হ্রাস পেলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫০% হ্রাস পেলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পাবে?
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = ১০০ একক
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (১০০)২ = ১০০০০π
ব্যাসার্ধ ৫০% কমানো হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = (১০০ - ৫০) একক = ৫০ একক
নতুন বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (৫০)২ = ২৫০০π
ক্ষেত্রফল হ্রাস পেয়েছে = ১০০০০π - ২৫০০π = ৭৫০০π
∴ ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস পেয়েছে = (৭৫০০π × ১০০) / ১০০০০π = ৭৫%
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = ১০০ একক
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (১০০)২ = ১০০০০π
ব্যাসার্ধ ৫০% কমানো হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = (১০০ - ৫০) একক = ৫০ একক
নতুন বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (৫০)২ = ২৫০০π
ক্ষেত্রফল হ্রাস পেয়েছে = ১০০০০π - ২৫০০π = ৭৫০০π
∴ ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস পেয়েছে = (৭৫০০π × ১০০) / ১০০০০π = ৭৫%
১,৬১৫.
রশ্মির প্রান্তবিন্দু কয়টি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রশ্মির প্রান্তবিন্দু কয়টি?
সমাধান:
• রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
সমাধান:
• রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
১,৬১৬.
2x - 3y + 4 = 0 সরলরেখাটির ঢাল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x - 3y + 4 = 0 সরলরেখাটির ঢাল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.
এখন,
2x - 3y + 4 = 0
বা, 3y = 2x + 4
বা, y = (2/3)x + 4/3
সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 2/3
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল 2/3
সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.
এখন,
2x - 3y + 4 = 0
বা, 3y = 2x + 4
বা, y = (2/3)x + 4/3
সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 2/3
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল 2/3
১,৬১৭.
যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হয় তবে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বাড়বে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হয় তবে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বাড়বে?
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2r
প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)2 = 4πr2
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = 4πr2 - πr2 = 3πr2
শতকরা বৃদ্ধি পেয়েছে = (3πr2/πr2) × 100 = 300%
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2r
প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)2 = 4πr2
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = 4πr2 - πr2 = 3πr2
শতকরা বৃদ্ধি পেয়েছে = (3πr2/πr2) × 100 = 300%
১,৬১৮.
দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ২ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে মিলিত হবে কত মিটার দূরে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ২ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে মিলিত হবে কত মিটার দূরে?
সমাধান:
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।
সমান্তরাল রেখা (Parallel Line):
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে।
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত:
• সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে।
• এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না।
• দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে।
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল।
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।
সমাধান:
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।
সমান্তরাল রেখা (Parallel Line):
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে।
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত:
• সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে।
• এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না।
• দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে।
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল।
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।
১,৬১৯.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৬১৬ বর্গ সে.মি. হলে, তার ব্যাস কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৬১৬ বর্গ সে.মি. হলে, তার ব্যাস কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = ৬১৬ বর্গ সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr২
⇒ ৬১৬ = πr২
⇒ r২ = ৬১৬/ π
⇒ r২ = ৬১৬/(২২/৭) [যেহেতু, π = ২২/৭]
⇒ r২ = (৬১৬ × ৭)/২২ = ১৯৬
⇒ r২ = ১৯৬
⇒ r = √১৯৬ = ১৪
∴ r = ১৪ সে.মি.
অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৪ সে.মি.
∴ ব্যাস = ২r = ২ × ১৪ = ২৮ সে.মি.
১,৬২০.
একটি কোণের পরিমাণ ৩৪০° হলে, কোণটি হলো-
ব্যাখ্যা
একটি কোণের পরিমাণ ৩৪০° হলে, কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle )
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle )
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ
১,৬২১.
বৃত্তের কোনাে বিন্দুতে ______ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
ব্যাখ্যা
1. বৃত্তের কোনাে বিন্দুতে একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
2. স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী।
3. বৃত্তের কোনাে বিন্দু দিয়ে ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।
4.. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনাে বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।
2. স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী।
3. বৃত্তের কোনাে বিন্দু দিয়ে ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।
4.. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনাে বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।
১,৬২২.
অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণের পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণের পরিমাণ কত?
সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী।
ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম কোণটি x হলে বৃহত্তম কোণটি হবে ২x
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ x + ২x + ৯০° = ১৮০°
বা, ৩x = ১৮০° - ৯০°
বা, ৩x = ৯০°
বা, x = ৯০°/৩
∴ x = ৩০°
অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩০°
∴ বৃহত্তম কোণ= ২x
= ২ × ৩০°
= ৬০° ।
সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী।
ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম কোণটি x হলে বৃহত্তম কোণটি হবে ২x
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ x + ২x + ৯০° = ১৮০°
বা, ৩x = ১৮০° - ৯০°
বা, ৩x = ৯০°
বা, x = ৯০°/৩
∴ x = ৩০°
অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩০°
∴ বৃহত্তম কোণ= ২x
= ২ × ৩০°
= ৬০° ।
১,৬২৩.
একটি সমকোণী ত্রিভুজ এর অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সেমি বড় ও লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সেমি ছোট। অতিভুজ এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, ভূমি = x cm
∴ লম্ব = (x - 2) cm এবং অতিভুজ = (x + 2) cm
প্রশ্নমতে,
(x + 2)² = (x - 2)² + x²
বা, x² + 4x + 4 = x² - 4x + 4 + x²
বা, x² - 8x = 0
বা, x(x - 8) = 0
কিন্তু x ≠ 0, ∴ x - 8 = 0 বা, x = 8 cm
∴ অতিভুজ = (8 + 2) cm = 10 cm
১,৬২৪.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 144π বর্গমিটার এবং পরিধি 24π মিটার। বৃত্তটির ব্যাস কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 144π বর্গমিটার এবং পরিধি 24π মিটার। বৃত্তটির ব্যাস কত?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
প্রশ্নমতে,
πr2 = 144π
⇒ r2 = 144
⇒ r = 12
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r = 2 × 12 = 24 মিটার
১,৬২৫.
চিত্রে, ∠BEF + ∠EFD = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
চিত্রে, ∠BEF + ∠EFD = ?
সমাধান:
চিত্রে, AB || CD এবং PQ ছেদক এদের যথাক্রমে E ও F বিন্দুুতে ছেদ করেছে।
সুতরাং,
ক) ∠PEB = অনুরূপ ∠EFD [সংজ্ঞানুসারে]
খ) ∠AEF = একান্তর ∠EFD
গ) ∠BEF + ∠EFD = দুই সমকোণ বা 180°
১,৬২৬.
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি কোনটি?
সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°
সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°
১,৬২৭.
অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির পাঁচগুণ হলে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির পাঁচগুণ হলে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?
সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী ।
ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি x হলে অপরটির 5x
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°
⇒ x + 5x + 90° = 180°
⇒ 6x = 180° - 90°
⇒ x = 90°/6
⇒ x = 15°
∴ বৃহত্তম কোণ = 5 × 15° = 75°
সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী ।
ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি x হলে অপরটির 5x
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°
⇒ x + 5x + 90° = 180°
⇒ 6x = 180° - 90°
⇒ x = 90°/6
⇒ x = 15°
∴ বৃহত্তম কোণ = 5 × 15° = 75°
১,৬২৮.
বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে এর পরিধি কতগুণ বৃদ্ধি পায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে এর পরিধি কতগুণ বৃদ্ধি পায়?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr
ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পাওয়ার পর নতুন ব্যাস = 2r + (2 × 2r) = 6r
∴ নতুন পরিধি = 2π × 6r/2
= 2π × 3r
= 2πr × 3
= 6πr
সুতরাং, পরিধি বৃদ্ধি পেয়েছে (6πr - 2πr) = 4πr
- যা 2πr এর দ্বিগুণ।
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr
ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পাওয়ার পর নতুন ব্যাস = 2r + (2 × 2r) = 6r
∴ নতুন পরিধি = 2π × 6r/2
= 2π × 3r
= 2πr × 3
= 6πr
সুতরাং, পরিধি বৃদ্ধি পেয়েছে (6πr - 2πr) = 4πr
- যা 2πr এর দ্বিগুণ।
১,৬২৯.
চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB = 12 সে.মি এবং ∠OCB = 90° হলে BC = ?
ব্যাখ্যা
কেন্দ্র O হতে ব্যাস ভিন্ন জ্যা AB এর উপর অংকিত লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করবে।
∴ BC = 1/2 × AB
= 1/2 × 12
= 6 cm.
১,৬৩০.
একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১ কিলোমিটার ৫০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১ কিলোমিটার ৫০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
সমাধান:
গাড়ীর চাকার পরিধি = ৫ মিটার
১ কিলোমিটার ৫০০ মিটার = (১০০০ + ৫০০) মিটার = ১৫০০ মিটার
৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১ বার
১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১/৫ বার
১৫০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১৫০০/৫ বার
= ৩০০ বার
সমাধান:
গাড়ীর চাকার পরিধি = ৫ মিটার
১ কিলোমিটার ৫০০ মিটার = (১০০০ + ৫০০) মিটার = ১৫০০ মিটার
৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১ বার
১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১/৫ বার
১৫০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১৫০০/৫ বার
= ৩০০ বার
১,৬৩১.
একটি অর্ধ-বৃত্ত আকারের জানালার ব্যাস 56 সে.মি. হলে তার পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অর্ধ-বৃত্ত আকারের জানালার ব্যাস 56 সে.মি. হলে তার পরিসীমা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= πr + 2r
= (22/7) × (56/2) + 56
= (88 + 56)
= 144 সে.মি. (প্রায়)
১,৬৩২.
৯০° কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯০° কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ (১৮০ - ৯০)° = ৯০°
১,৬৩৩.
একটি কোণের মান অপর কোণের মানের একতৃতীয়াংশের সমান ও পরস্পর সম্পূরক হলে, ছোট কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
অপর কোণ ক হলে,
একটি কোণ = ক/৩
∴ ক + ক/৩ = ১৮০°
বা, ৪ক/৩ = ১৮০°
বা, ৪ক = ৫৪০°
বা, ক = ৫৪০°/৪ = ১৩৫°
নির্ণেয় কোণ = ১৩৫°/৩ = ৪৫°
একটি কোণ = ক/৩
∴ ক + ক/৩ = ১৮০°
বা, ৪ক/৩ = ১৮০°
বা, ৪ক = ৫৪০°
বা, ক = ৫৪০°/৪ = ১৩৫°
নির্ণেয় কোণ = ১৩৫°/৩ = ৪৫°
১,৬৩৪.
একটি ΔABC এ BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো, যেখানে ∠A = 45° ∠B = 60° হলে, ∠ACD =?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ΔABC এ BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো, যেখানে ∠A = 45° ∠B = 60° হলে, ∠ACD =?
সমাধান:
ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∠ACD = ∠A + ∠B
= 45° + 60°
= 105°
সমাধান:
ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∠ACD = ∠A + ∠B
= 45° + 60°
= 105°
১,৬৩৫.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল 20π বর্গ একক হলে, বৃত্তের পরিধি কত?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
প্রশ্নমতে,
πr2 = 20π
∴ r = 2√5
বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
=2π. 2√5
= 4π√5
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
প্রশ্নমতে,
πr2 = 20π
∴ r = 2√5
বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
=2π. 2√5
= 4π√5
১,৬৩৬.
নিচের চিত্রে, ∠ECD = ?
ব্যাখ্যা
চিত্রে,
∠ECD = 180° - ∠BCD
= 180° - (180° - 80°)
= 80°
∠ECD = 180° - ∠BCD
= 180° - (180° - 80°)
= 80°
১,৬৩৭.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 8 মিটার এবং একটি বৃত্তচাপ 56° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θπr²)/360° = (56° × π × 64)/360° = 31.28 বর্গ মিটার।
১,৬৩৮.
বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক -
ব্যাখ্যা
বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক রম্বস, বর্গ বা ঘুড়ি হতেও পারে আবার নাও হতে পারে কিন্তু আয়ত অবশ্যই হবে।
কারণ বৃত্তে কোন সামান্তরিক অন্তর্লিখিত হলে ঐ সামান্তরিকের কর্ণ অবশ্যই বৃত্তের ব্যাস হবে।
বৃত্তের ব্যাস বৃত্তকে সমদ্বিখন্ডিত করে। অর্থাৎ দুইটি অর্ধবৃত্ত উৎপন্ন হয়। অর্ধ বৃত্তে উৎপন্ন কোণ সর্বদাই সমকোণ হয়।
সমকোণ হলেই তা আয়ত।
কারণ বৃত্তে কোন সামান্তরিক অন্তর্লিখিত হলে ঐ সামান্তরিকের কর্ণ অবশ্যই বৃত্তের ব্যাস হবে।
বৃত্তের ব্যাস বৃত্তকে সমদ্বিখন্ডিত করে। অর্থাৎ দুইটি অর্ধবৃত্ত উৎপন্ন হয়। অর্ধ বৃত্তে উৎপন্ন কোণ সর্বদাই সমকোণ হয়।
সমকোণ হলেই তা আয়ত।
১,৬৩৯.
কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অংকিত বৃত্তটির কেন্দ্রকে কী বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অংকিত বৃত্তটির কেন্দ্রকে কী বলে?
সমাধান:
অন্তঃকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
পরিকেন্দ্র:
- কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অংকিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং বৃত্তের কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র।
- ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
সমাধান:
অন্তঃকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
পরিকেন্দ্র:
- কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অংকিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং বৃত্তের কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র।
- ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
১,৬৪০.
বৃত্তের কোনো বিন্দুতে কতটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় (অনুসিদ্ধান্ত - ৮)
১,৬৪১.
স্থুলকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন কোণ দু’টির প্রত্যেকটি-
ব্যাখ্যা
স্থুলকোণী ত্রিভুজে স্থুলকোণটি থাকে বৃহত্তম বাহুর বিপরীতে।
∴ বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন কোণ দু’টি সর্বদা সুক্ষ্ম কোণ।
∴ বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন কোণ দু’টি সর্বদা সুক্ষ্ম কোণ।
১,৬৪২.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি -
ব্যাখ্যা
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০° বা দুই সমকোণ।
১,৬৪৩.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB স্পর্শক এবং OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। ∠P = 60° হলে ∠Q এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB স্পর্শক এবং OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। ∠P = 60° হলে ∠Q এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি, স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব হয়।
OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ হলে ∠OAB = 90°
∴ ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°
⇒ 90° + ∠Q + 60° = 180°
⇒ ∠Q + 150° = 180°
⇒ ∠Q = 180° - 150°
∴ ∠Q = 30°
১,৬৪৪.
যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে তাকে কী বলে ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে তাকে কী বলে ?
সমাধান:
বিন্দু : যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা কিছুই নাই শুধু অবস্থান আছে, তাকে বিন্দু।
রেখা : যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে রেখা বলে।
বক্রতা : বক্রতা হলো একটি জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য যা কোনো বক্ররেখার মাপের সাথে সম্পর্কিত। বক্রতা ছোট হলে, বক্ররেখাটি মসৃণ হবে এবং অনেক দীর্ঘ হবে। বক্রতা বড় হলে, এটি দ্রুত বাঁকানো হয়। যেমন : একটি সোজা রেখার বক্রতা শূন্য (০) হবে, আর একটি ছোট ব্যাসার্ধের বৃত্তের বক্রতা বড় হবে।
তল : যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাকে তল বলে।
সমাধান:
বিন্দু : যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা কিছুই নাই শুধু অবস্থান আছে, তাকে বিন্দু।
রেখা : যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে রেখা বলে।
বক্রতা : বক্রতা হলো একটি জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য যা কোনো বক্ররেখার মাপের সাথে সম্পর্কিত। বক্রতা ছোট হলে, বক্ররেখাটি মসৃণ হবে এবং অনেক দীর্ঘ হবে। বক্রতা বড় হলে, এটি দ্রুত বাঁকানো হয়। যেমন : একটি সোজা রেখার বক্রতা শূন্য (০) হবে, আর একটি ছোট ব্যাসার্ধের বৃত্তের বক্রতা বড় হবে।
তল : যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাকে তল বলে।
১,৬৪৫.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে D বিন্দু AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু হলে ∠ODB = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে D বিন্দু AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু হলে ∠ODB =?
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
চিত্রে, D, AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু।
অতএব, OD, AB এর উপর লম্ব।
∴ ∠ODB = এক সমকোণ = ৯০°
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
চিত্রে, D, AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু।
অতএব, OD, AB এর উপর লম্ব।
∴ ∠ODB = এক সমকোণ = ৯০°
১,৬৪৬.
4 সে.মি. ব্যাস ও 12 মি.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।
১ম বৃত্তের ব্যাস = 4সে. মি. = 40 মি.মি.
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 40/2 = 20 মি.মি.
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (20 - 12) মি.মি.
= 8 মি.মি.
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।
১ম বৃত্তের ব্যাস = 4সে. মি. = 40 মি.মি.
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 40/2 = 20 মি.মি.
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (20 - 12) মি.মি.
= 8 মি.মি.
১,৬৪৭.
২ সেমিঃ বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের অভ্যন্তরে অন্তঃবৃত্ত অঙ্কিত হলো। বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমিঃ?
ব্যাখ্যা
২ সেমিঃ বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের ক্ষেত্রফল = ২² = ৪
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = π১² = π
বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল = (৪ – π) বর্গ সেমিঃ
১,৬৪৮.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত ?
সমাধান:
এখানে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ৭ সেমি
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) a2 বর্গএকক
= (√৩/৪) (৭)২
= (১.৭৩২ × ৪৯) / ৪
= ৮৪.৮৬৮ ÷ ৪
= ২১.২২ বর্গ সেমি
সমাধান:
এখানে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ৭ সেমি
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) a2 বর্গএকক
= (√৩/৪) (৭)২
= (১.৭৩২ × ৪৯) / ৪
= ৮৪.৮৬৮ ÷ ৪
= ২১.২২ বর্গ সেমি
১,৬৪৯.
বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত-
সমাধান:
বৃত্তের পরিধি 2πr এবং ব্যাস 2r
∴ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত =পরিধি : ব্যাস
= 2πr : 2r
= 2πr/2r
= π/1
= (22/7)/1
= 22/7
সমাধান:
বৃত্তের পরিধি 2πr এবং ব্যাস 2r
∴ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত =পরিধি : ব্যাস
= 2πr : 2r
= 2πr/2r
= π/1
= (22/7)/1
= 22/7
১,৬৫০.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB এবং ∠AOB = 45° হলে ∠ABO = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB এবং ∠AOB = 45° হলে ∠ABO = কত?
সমাধান:
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB, OA রেখা AB এর উপর লম্ব এবং ∠AOB = 45°
এখন △ AOB এ
∠AOB + ∠ABO + ∠OAB = 180°
⇒ 45° + ∠ABO + 90° = 180°
⇒ ∠ABO = 180° - 135°
∴ ∠ABO = 45°
সমাধান:
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB, OA রেখা AB এর উপর লম্ব এবং ∠AOB = 45°
এখন △ AOB এ
∠AOB + ∠ABO + ∠OAB = 180°
⇒ 45° + ∠ABO + 90° = 180°
⇒ ∠ABO = 180° - 135°
∴ ∠ABO = 45°
১,৬৫১.
বৃত্তের ব্যাস 14 সেন্টিমিটার হলে, বৃত্তের পরিধি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস 14 সেন্টিমিটার হলে, বৃত্তের পরিধি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = 14 সেন্টিমিটার
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
∴ প্রদত্ত বৃত্তের পরিধি = 2πr সেন্টিমিটার
= 2 × (22/7) × 7 সেন্টিমিটার
= 44 সেন্টিমিটার।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = 14 সেন্টিমিটার
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
∴ প্রদত্ত বৃত্তের পরিধি = 2πr সেন্টিমিটার
= 2 × (22/7) × 7 সেন্টিমিটার
= 44 সেন্টিমিটার।
১,৬৫২.
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ২ সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কোন কোণ বলে?
ব্যাখ্যা
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।
১,৬৫৩.
অর্ধ গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48π বর্গমিটার হলে, ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অর্ধ গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48π বর্গমিটার হলে, ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
অর্ধ গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে, পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 3πr2
3πr2 = 48π
⇒ r2 = 16
⇒ r = 4
সুতরাং ব্যাসার্ধ 4 মিটার।
সমাধান:
অর্ধ গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে, পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 3πr2
3πr2 = 48π
⇒ r2 = 16
⇒ r = 4
সুতরাং ব্যাসার্ধ 4 মিটার।
১,৬৫৪.
বৃত্তের কেন্দ্র (-1, 2) এবং ব্যাসার্ধ 3 সে.মি. হলে বৃত্তটির সমীকরণ কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র (-1, 2) এবং ব্যাসার্ধ 3 সে.মি. হলে বৃত্তটির সমীকরণ কোনটি?
সমাধান:
বৃত্তের কেন্দ্র (h, k) = (-1, 2)
ব্যাসার্ধ r = 3 সে.মি.
বৃত্তের কেন্দ্র () এবং ব্যাসার্ধ r সে.মি. বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
{x - (- 1)}2 + (y - 2)2 = 32
(x + 1)2 + y2 - 2.y.2 + 22 = 9
x2 + 2x.1 + 12 + y2 - 4y + 4 - 9 = 0
x2 + 2x + 1 + y2 - 4y - 5 = 0
x2 +y2 + 2x - 4y - 4 = 0
সমাধান:
বৃত্তের কেন্দ্র (h, k) = (-1, 2)
ব্যাসার্ধ r = 3 সে.মি.
বৃত্তের কেন্দ্র () এবং ব্যাসার্ধ r সে.মি. বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
{x - (- 1)}2 + (y - 2)2 = 32
(x + 1)2 + y2 - 2.y.2 + 22 = 9
x2 + 2x.1 + 12 + y2 - 4y + 4 - 9 = 0
x2 + 2x + 1 + y2 - 4y - 5 = 0
x2 +y2 + 2x - 4y - 4 = 0
১,৬৫৫.
৮ সে.মি. ও ১২ সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮ সে.মি. ও ১২ সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৮ সে.মি.
আবার,
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১২ সে.মি.
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (৮ + ১২) সে.মি.
= ২০ সে.মি.।
১,৬৫৬.
একটি বৃত্তের ব্যাস তিন গুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার ব্যাস বা ব্যসার্ধের বর্গের সমানুপাত বাড়ে।
১,৬৫৭.
দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত 4 : 5 হলে, বৃত্তদুটির পরিধির অনুপাত কত ?
ব্যাখ্যা
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ 4x এবং 5x
∴ বৃত্তদুটির পরিধির অনুপাত = 2π(4x) : 2π(5x)
= 4 : 5
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ 4x এবং 5x
∴ বৃত্তদুটির পরিধির অনুপাত = 2π(4x) : 2π(5x)
= 4 : 5
১,৬৫৮.
ΔABC এ ∠A = 50°, ∠B = 65° হলে ΔABC কি ধরণের ত্রিভুজ?
ব্যাখ্যা
ΔABC এ -
∠A + ∠B + ∠C = 180°
বা, 50° + 65° + ∠C = 180°
বা, ∠C = 180° - 115°
∴ ∠C = 65°
আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোনদ্বয় সমান।
সুতরাং, ΔABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
১,৬৫৯.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = ৫ সে.মি. হলে, OF = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = ৫ সে.মি. হলে, OF = কত?
সমাধান:
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = ৫ সে.মি. হলে OF = ৫ সে.মি. হবে।
সমাধান:
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = ৫ সে.মি. হলে OF = ৫ সে.মি. হবে।
১,৬৬০.
১৩ সে: মি: ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সে: মি: দুরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৩ সে: মি: ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সে: মি: দুরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ১৩ সে. মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব, d = ৫ সে. মি.
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য,
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = ২√(r২ - d২)
= ২√(১৩২ - ৫২)
= ২√(১৬৯ - ২৫)
= ২√১৪৪
= ২ × ১২
= ২৪
সুতরাং, জ্যার দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি.
১,৬৬১.
বৃত্তের দুটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করলে ছেদবিন্দুর অবস্থান কোথায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের দুটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করলে ছেদবিন্দুর অবস্থান কোথায়?
সমাধান:
বৃত্তের দুটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করলে ছেদবিন্দুর অবস্থান বৃত্তের কেন্দ্রে।
সমাধান:
বৃত্তের দুটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করলে ছেদবিন্দুর অবস্থান বৃত্তের কেন্দ্রে।
১,৬৬২.
একটি চাকার ব্যাস 126 সেমি। চাকাটি 200 বার ঘুরলে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাস 126 সেমি। চাকাটি 200 বার ঘুরলে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
সমাধান:
আমরা জনাই,
চাকা এক বার ঘুরলে পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × (126/2
= 396 সেমি
1 বার ঘুরলে যায় 396 সেমি
200 বার ঘুরলে যায় (396 × 200) সেমি
= 79200 সেমি
= 792 মিটার
সমাধান:
আমরা জনাই,
চাকা এক বার ঘুরলে পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × (126/2
= 396 সেমি
1 বার ঘুরলে যায় 396 সেমি
200 বার ঘুরলে যায় (396 × 200) সেমি
= 79200 সেমি
= 792 মিটার
১,৬৬৩.
২৬০° পরিমাপের কোণকে কি কোণ বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৬০° পরিমাপের কোণকে কি কোণ বলে?
সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle ): দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
২৬০° হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle ): দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
২৬০° হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
১,৬৬৪.
ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। CE, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। AB ।। CE এবং ∠ECD = 65° হলে ∠ACB এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। CE, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। AB ।। CE এবং ∠ECD = 65° হলে ∠ACB এর মান কত?
সমাধান:
যেহেতু CE, ∠ACD কে সমদ্বিখণ্ডিত, তাই ∠ECD = ∠ECA = 65°
∴ একান্তর ∠ECA = একান্তর ∠BAC = 65°
আবার, ∠ECD = অনুরূপ ∠ABC = 65° [যেহেতু AB ।। CE ]
∴ ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
⇒ 65° + 65° + ∠ACB = 180°
⇒ ∠ACB = 180° - 130°
∴ ∠ACB = 50°
১,৬৬৫.
দুইটি বৃত্ত একটি বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব হবে -
ব্যাখ্যা
যেহেতু বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ + অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
যেহেতু বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ - অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ + অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
যেহেতু বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ - অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
১,৬৬৬.
একটি চাকার ব্যাসার্ধ ৪ মিটার। ৩ কিলোমিটার পথ যেতে চাকাটি কত বার ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
চাকার ব্যাসার্ধ = ৪মিটার
একটি চাকা একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।
পরিধি = ২πr
= ২ x π X ৪ মিটার
= ২৫.১৩২৮
তাহলে চাকা ঘুরবে = (৩০০০/২৫.১৩২৮) বার =১১৯বার
একটি চাকা একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।
পরিধি = ২πr
= ২ x π X ৪ মিটার
= ২৫.১৩২৮
তাহলে চাকা ঘুরবে = (৩০০০/২৫.১৩২৮) বার =১১৯বার
১,৬৬৭.
x এর সম্পূরক কোণের মান তার পূরক কোণের তিনগুণ হলে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x এর সম্পূরক কোণের মান তার পূরক কোণের তিনগুণ হলে x এর মান কত?
সমাধান:
x এর সম্পূরক কোণ = 180° - x
x এর পুরক কোণ = 90° - x
প্রশ্নমতে,
180° - x = 3(90° - x)
⇒ 180° - x = 270° - 3x
⇒ 2x = 90°
∴ x = 45°
সমাধান:
x এর সম্পূরক কোণ = 180° - x
x এর পুরক কোণ = 90° - x
প্রশ্নমতে,
180° - x = 3(90° - x)
⇒ 180° - x = 270° - 3x
⇒ 2x = 90°
∴ x = 45°
১,৬৬৮.
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১৫° হলে ক্ষুদ্রতম কোনটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১৫° হলে ক্ষুদ্রতম কোনটির মান কত?
সমাধান:
যেহেতু এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ , এর একটি কোণ ৯০° হবে, এবং অন্য দুটি কোণ হবে সূক্ষ্মকোণ হবে।
দেওয়া আছে,
সূক্ষ্মকোণগুলির মধ্যে পার্থক্য ১৫° ।
তাহলে সূক্ষ্মকোণ দুটিকে ”ক” এবং ”ক +১৫” হিসেবে ধরতে পারি।
প্রশ্নমতে,
ক + ক + ১৫ + ৯০ = ১৮০
⇒ ২ক + ১০৫ = ১৮০
⇒ ২ক = ১৮০ - ১০৫
⇒ ২ক = ৭৫
⇒ ক = ৭৫ ÷ ২
∴ ক = ৩৭.৫°
১,৬৬৯.
দুইটি রেখা সমান্তরাল হওয়ার জন্য নিচের কোন শর্তটি আবশ্যক নয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি রেখা সমান্তরাল হওয়ার জন্য নিচের কোন শর্তটি আবশ্যক নয়?
সমাধান:
সমান্তরাল রেখা (Parallel Line):
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে।
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত:
i. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে।
ii. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না।
iii. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে।
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল।
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।
সমাধান:
সমান্তরাল রেখা (Parallel Line):
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে।
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত:
i. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে।
ii. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না।
iii. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে।
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল।
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।
১,৬৭০.
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে। ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে। ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে?
সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৯০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৯০/৬০ বার
= ৩/২ বার
= ১.৫ বার
এখন,
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে =৩৬০ ডিগ্রি
∴ গাড়ির চাকা ১.৫ বার ঘুরে অতিক্রম করে =(৩৬০× ৩)/২ ডিগ্রি
=৫৪০ ডিগ্রি।
সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৯০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৯০/৬০ বার
= ৩/২ বার
= ১.৫ বার
এখন,
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে =৩৬০ ডিগ্রি
∴ গাড়ির চাকা ১.৫ বার ঘুরে অতিক্রম করে =(৩৬০× ৩)/২ ডিগ্রি
=৫৪০ ডিগ্রি।
১,৬৭১.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৪ গুণ বৃদ্ধি করলে ব্যাসার্ধ কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৪ গুণ বৃদ্ধি করলে ব্যাসার্ধ কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের প্রাথমিক ক্ষেত্রফল ১ বর্গএকক
বৃত্তের পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল ১ × ৪ বা ৪ বর্গএকক
প্রাথমিক ও পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r ও R হলে
১/৪ = πr²/ πR²
r/R = ১/২
r : R = ১ : ২
ব্যাসার্ধ ২ গুণ বাড়বে।
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের প্রাথমিক ক্ষেত্রফল ১ বর্গএকক
বৃত্তের পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল ১ × ৪ বা ৪ বর্গএকক
প্রাথমিক ও পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r ও R হলে
১/৪ = πr²/ πR²
r/R = ১/২
r : R = ১ : ২
ব্যাসার্ধ ২ গুণ বাড়বে।
১,৬৭২.
প্রদত্ত চিত্রে PQ ।। SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 60° হলে ∠LRS এর মান নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে PQ ।। SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 60° হলে ∠LRS এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
PQ = PR হলে
∠PRQ = ∠PQR = 60°
আবার,
PQ ।। SR, QL এদের ছেদক
∠PQR = ∠LRS পরস্পর অনুরূপ কোণ
∠PQR = ∠LRS = 60°
সমাধান:
PQ = PR হলে
∠PRQ = ∠PQR = 60°
আবার,
PQ ।। SR, QL এদের ছেদক
∠PQR = ∠LRS পরস্পর অনুরূপ কোণ
∠PQR = ∠LRS = 60°
১,৬৭৩.
একটি রেখার কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে?
ব্যাখ্যা
রেখা অসীম, এর কোন প্রান্ত বিন্দু নেই। তবে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু ২ টি এবং রশ্মির প্রান্ত বিন্দু ১ টি।
১,৬৭৪.
২৬০° কোণটি হলো -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৬০° কোণটি হলো -
সমাধান:
৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।
∴ ২৬০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
সমাধান:
৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।
∴ ২৬০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
১,৬৭৫.
ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ABC + ∠BAC = 130° হলে, ∠ACD এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ABC + ∠BAC = 130° হলে, ∠ACD এর মান কত?
সমাধান:
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।I
ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠ABC + ∠BAC = ∠ACD
∠ABC + ∠BAC = 130°
∠ACD = 130°
সমাধান:
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।I
ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠ABC + ∠BAC = ∠ACD
∠ABC + ∠BAC = 130°
∠ACD = 130°
১,৬৭৬.
৯.৮ মি. ব্যাসের বৃত্তাকার একটি বাগানের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
বাগানের ক্ষেত্রফল = (π/4)×d² = (π/4)×9.8² = 75.39 বর্গমিটার।
১,৬৭৭.
∠x হলো ∠y এর দ্বিগুণ। ∠x ও ∠y পরস্পর সম্পূরক হলে ∠x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠x হলো ∠y এর দ্বিগুণ। ∠x ও ∠y পরস্পর সম্পূরক হলে ∠x এর মান কত?
সমাধান:
∠y = ∠x/2
শর্তমতে,
∠x + ∠y = 180°
বা, ∠x + (∠x/2) = 180°
বা, (3∠x)/2 = 180°
বা, ∠x = (180° × 2)/3
∴ ∠x = 120°
১,৬৭৮.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের পরিসীমা 18π মিটার, RSTO এর পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের পরিসীমা 18π মিটার, RSTO এর পরিসীমা কত?
সমাধান:
বৃত্তের পরিসীমা = 2πr = 18π
⇒ r = 18π/2π
⇒ r = 9
RSTO এর পরিসীমা = {(60°/360°) 18π} + 9 + 9
= 18π/6 + 18
= 3π + 18
সমাধান:
বৃত্তের পরিসীমা = 2πr = 18π
⇒ r = 18π/2π
⇒ r = 9
RSTO এর পরিসীমা = {(60°/360°) 18π} + 9 + 9
= 18π/6 + 18
= 3π + 18
১,৬৭৯.
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ২ সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে?
ব্যাখ্যা
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০ ডিগ্রি হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
আবার, দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
১,৬৮০.
একটি ট্রাপিজিয়ামের কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ : ৬। দ্বিতীয় বৃহত্তম কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ : ৬। দ্বিতীয় বৃহত্তম কোণের মান কত?
সমাধানঃ
ধরি, ট্রাপিজিয়ামের কোণগুলো:
৩ক, ৪ক, ৫ক, ৬ক
ট্রাপিজিয়ামের কোণগুলোর যোগফল = ৩৬০°
তাহলে সমীকরণ,
৩ক + ৪ক + ৫ক + ৬ক = ৩৬০
⇒ ১৮ক = ৩৬০
∴ ক = ৩৬০/১৮ = ২০°
দ্বিতীয় বৃহত্তম কোণের মান = ৫ × ২০° = ১০০°
∴ দ্বিতীয় বৃহত্তম কোণের মান = ১০০°
১,৬৮১.
চিত্রে ∠ADC = কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে ∠ADC = কত ডিগ্রি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
এবং ∠ABC = 70°
∴ ∠ADC = 180° - 70° [যেহেতু সম্পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°]
= 110°
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
এবং ∠ABC = 70°
∴ ∠ADC = 180° - 70° [যেহেতু সম্পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°]
= 110°
১,৬৮২.
কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২ গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ r যদি ২ গুণ বৃদ্ধি পায় তবে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে ৪ গুণ।
১,৬৮৩.
5 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 13 সেমি দূরের কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত সেমি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 13 সেমি দূরের কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত সেমি?
সমাধান:
OA ⊥ AB
∴ স্পর্শক AB = √(OB2 - OA2)
= √(132 - 52)
= √(169 - 25)
= √(144)
= 12 সেমি
সমাধান:
OA ⊥ AB
∴ স্পর্শক AB = √(OB2 - OA2)
= √(132 - 52)
= √(169 - 25)
= √(144)
= 12 সেমি
১,৬৮৪.
একটি বৃত্তের মধ্যে 4 বর্গ ফুট ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গ অংকন করা হলো বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
বর্গের ক্ষেত্রফল = 4 বর্গফুট
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2 ফুট
∴বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 2√2 ফুট = বৃত্তের ব্যাস
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = √2 ফুট
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(√2)2
= 2π
১,৬৮৫.
∠M = 2y + 10° এবং ∠N = 3y + 20° পরস্পর সম্পূরক কোণ, হলে ∠N এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠M = 2y + 10° এবং ∠N = 3y + 20° পরস্পর সম্পূরক কোণ, হলে ∠N এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠M = 2y + 10° এবং ∠N = 3y + 20°
সম্পূরক কোণের ক্ষেত্রে
∠M + ∠N = 180°
প্রশ্নমতে,
∠M + ∠N = 180°
⇒ (2y + 10°) + (3y + 20°) =180°
⇒ 5y + 30° = 180°
⇒ 5y = 180° - 30°
⇒ 5y = 150°
∴ y = 30°
∴ ∠N = 3y + 20° = (3 × 30°) + 20° = 90° + 20° = 110°
সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠M = 2y + 10° এবং ∠N = 3y + 20°
সম্পূরক কোণের ক্ষেত্রে
∠M + ∠N = 180°
প্রশ্নমতে,
∠M + ∠N = 180°
⇒ (2y + 10°) + (3y + 20°) =180°
⇒ 5y + 30° = 180°
⇒ 5y = 180° - 30°
⇒ 5y = 150°
∴ y = 30°
∴ ∠N = 3y + 20° = (3 × 30°) + 20° = 90° + 20° = 110°
১,৬৮৬.
বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সর্বদা নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সর্বদা নিচের কোনটি?
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা
১,৬৮৭.
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠A = 125° হলে ∠B = কত?
ব্যাখ্যা
∠A = 125° ∠B = 180° - 125° = 55°
১,৬৮৮.
প্রদত্ত চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ ।। MR হলে, ∠MRN এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ ।। MR হলে, ∠MRN এর মান কত?
সমাধান:
PQ ।। MR হলে
∠PQR = ∠MRL = 55° [অনুরুপ কোণগুলো সমান]
∠LRN = ∠MRL + ∠MRN
90° = 55° + ∠MRN
∠MRN = 90° - 55°
∠MRN = 35°
সমাধান:
PQ ।। MR হলে
∠PQR = ∠MRL = 55° [অনুরুপ কোণগুলো সমান]
∠LRN = ∠MRL + ∠MRN
90° = 55° + ∠MRN
∠MRN = 90° - 55°
∠MRN = 35°
১,৬৮৯.
PQ ও RS সরলরেখাদ্বয় 'O' বিন্দুতে ছেদ করলে নিচের কোন গাণিতিক বাক্যটি সঠিক হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: PQ ও RS সরলরেখাদ্বয় 'O' বিন্দুতে ছেদ করলে নিচের কোন গাণিতিক বাক্যটি সঠিক হবে?
সমাধান:
দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।
∠POS = ∠QOR এবং ∠POR = ∠QOS
সমাধান:
দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।
∠POS = ∠QOR এবং ∠POR = ∠QOS
১,৬৯০.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৮৫° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৮৫° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৮৫° হলে,
∴ অপর কোণটি হবে = (১৮০ - ৮৫)°
= ৯৫°
১,৬৯১.
যদি কোনো সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু ও একটি সাধারণ রশ্মি থাকে, তবে কোণদ্বয় একে অপরের -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি কোনো সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু ও একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় উক্ত সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে।
সমাধান :
চিত্রে, একই শীর্ষবিন্দু O-তে দুইটি কোণ ∠AOC এবং ∠BOC। কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মি OC এর বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। ∠AOC এবং ∠BOC কোণদ্বয় পরস্পর সন্নিহিত কোণ।
১,৬৯২.
5 একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির কত শতাংশ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির কত শতাংশ?
সমাধান:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (5)2 = 25π
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির = (25π/10π) × 100 = 250 শতাংশ
সমাধান:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (5)2 = 25π
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির = (25π/10π) × 100 = 250 শতাংশ
১,৬৯৩.
একটি ত্রিভুজের যে কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের যে কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের হবে?
সমাধান:
ধরি,
বড় কোণ = x
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x
শর্তমতে,
x + x = 180°
বা, 2x = 180°
বা, x = 180°/2
∴ x = 90°
অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী।
সমাধান:
ধরি,
বড় কোণ = x
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x
শর্তমতে,
x + x = 180°
বা, 2x = 180°
বা, x = 180°/2
∴ x = 90°
অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী।
১,৬৯৪.
৬০° এর পূরক কোণ কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ৬০° কোণের পূরক কোণ কত?
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
৬০° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৬০° = ৩০°
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
৬০° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৬০° = ৩০°
১,৬৯৫.
৩ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি চাপের দৈর্ঘ্য π মিটার হলে। উক্ত চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি চাপের দৈর্ঘ্য π মিটার হলে। উক্ত চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ কত?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৩ মিটার
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, s = π মিটার
আমরা জানি,
s = rθ
বা, θ = s/r
= π/৩ রেডিয়ান
= ৬০°
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৩ মিটার
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, s = π মিটার
আমরা জানি,
s = rθ
বা, θ = s/r
= π/৩ রেডিয়ান
= ৬০°
১,৬৯৬.
বৃত্তের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্যকে বলা হয়-
ব্যাখ্যা
বৃত্ত সম্পর্কে কিছু তথ্য:
- বৃত্তের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্যকে পরিধি বলা হয়।
- একটি বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলে।
- জ্যা যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামি হয় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- ব্যাসের অর্ধেক ব্যাসার্ধ।
- বৃত্তের পরিধির অংশকে চাপ বলে।
- বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের পরিধি = 2πr
- বৃত্তের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্যকে পরিধি বলা হয়।
- একটি বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলে।
- জ্যা যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামি হয় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- ব্যাসের অর্ধেক ব্যাসার্ধ।
- বৃত্তের পরিধির অংশকে চাপ বলে।
- বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের পরিধি = 2πr
১,৬৯৭.
বৃত্তের ব্যাস ২৫% বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ব্যাস = d + d এর 25% = 1.25d
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = (π/4) × (1.25d)² - (π/4) × d²
= (π/4)d² (1.5625 - 1)
= .5625 × (π/4)d²
= 56.25% × (π/4)d²
১,৬৯৮.
সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তার দুই-তৃতীয়াংশ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তার দুই-তৃতীয়াংশ কত?
সমাধান:
সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60°
ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরিত অন্তস্থ দুইটি কোণের সমষ্টির সমান।
সুতরাং,
সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় এর মান হবে 60° + 60° = 120°
120° এর দুই-তৃতীয়াংশ = 120° × (2/3) = 240°/3 = 80°
১,৬৯৯.
ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। উহার AB ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। উহার AB ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?
সমাধান:
ধরি, AB ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় x এবং y
x = 180° - 60°
∴ x = 120°
y = = 180° - 60°
∴ y = 120°
∴ x + y = 120° + 120°
= 240°
সমাধান:
ধরি, AB ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় x এবং y
x = 180° - 60°
∴ x = 120°
y = = 180° - 60°
∴ y = 120°
∴ x + y = 120° + 120°
= 240°
১,৭০০.
একটি বৃত্তের ব্যাস 5 গুণ বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 5 গুণ বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 10r) = 12r
∴ ব্যাসার্ধ = 12r/2 = 6r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(6r)2 = 36πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 36πr2 - πr2 = 35πr2
∴ 35 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 10r) = 12r
∴ ব্যাসার্ধ = 12r/2 = 6r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(6r)2 = 36πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 36πr2 - πr2 = 35πr2
∴ 35 গুণ বৃদ্ধি পাবে।