সরল ও দ্বিপদী অসমতা

(x - 5)> 2 ধনাত্মক হলে পাই,
x - 5 > 2
বা, x > 7 
(x - 5) >2 ঋণাত্মক হলে পাই,
- (x - 5) >2
বা, x < 3
∴ নির্ণেয় সমাধান x > 7 অথবা x < 3

x + y > 5
x - y > 3
∴ 2x > 8
বা, x > 4

প্রশ্ন: |2x + 5| < 7 অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
|2x + 5| < 7
(2x + 5) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (2x + 5) < 7
⇒ 2x + 5 - 5 < 7 - 5
⇒ 2x < 2
∴ x < 1

আবার,
(2x + 5) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় - (2x + 5) < 7
⇒ (2x + 5) > - 7
⇒ 2x + 5 - 5 > - 7 - 5
⇒ 2x > - 12
∴ x > - 6
​
∴ অসমতাটির সমাধান: - 6 < x < 1

প্রশ্ন: নিপার বয়স নিতুর বয়সের 1/4 অংশ। তন্দ্রা নিতুর চেয়ে 4 বছরের বড়। তাদের বয়সের সমষ্টি অনুর্ধ্ব 22 বছর হলে, তন্দ্রার বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।
 
সমাধান:
ধরি,
নিতুর বয়স = x বছর
নিপার বয়স = x/4 বছর
তন্দ্রার বয়স = x + 4 বছর

প্রশ্নমতে,
x + x + 4 + (x/4) ≤ 22
⇒ 2x + (x/4) ≤ 22 - 4
⇒ (8x + x)/4 ≤ 18
⇒ 9x ≤ 18 × 4
⇒ x ≤ 18 × (4/9)
⇒ x ≤ 8
⇒ x + 4 ≤ 8 + 4
∴ x + 4 ≤ 12

অতএব, তন্দ্রার বয়স ≤ 12 বছর

x² - 1 ধনাত্নক হলে,
⇒ x² - 1 < 3
⇒ x² < 4
⇒ x² - 2²<0
⇒(x + 2)(x - 2)<0
∴ (x + 2)এবং (x - 2) বিপরীত চিহ্নযুক্ত
∴ x > -2; x < 2 এর জন্য (x + 2)(x - 2) < 0 সত্য হয়।
আবার, x² - 1 ঋণাত্মক হলে,
⇒ -(x² - 1) < 3
⇒ x² < ± √2i
এটি বাদ দিতে হবে কারন এটি জটিল সংখ্যা(Complex number) 
∴ নির্ণেয় সমাধান: -2 < x < 2

প্রশ্ন: x² + px + 8 = 0 এর দুইটি মূল সমান এবং p > 0 হলে, p এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি মূল সমান হলে নিশ্চায়ক শূন্য হবে। 
∴ b² − 4ac = 0 
⇒ p² − 4 × 1 × 8 = 0 
⇒ p² = 32 
⇒ p = √32
∴ p = ± 4√2
p > 0 হওয়ায় − 4√2​ গ্রহণযোগ্য নয়।

∴ p = 4√2  । 

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |x + 3| ≤ 5 অসমতাটির সমাধান কী?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ x + 3 ≤ 5
⇒ - 5 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 5 - 3
⇒ - 8 ≤ x ≤ 2

∴ নির্ণেয় সমাধান: - 8 ≤ x ≤ 2

প্রশ্ন: । 2a - 7। < 5 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
। 2a - 7 । < 5
⇒ - 5 < 2a - 7 < 5
⇒ - 5 + 7 < 2a - 7 + 7< 5 +7
⇒ 2 < 2a < 12
⇒ 1 < a < 6

প্রশ্ন: |x - 3| ≤ 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m ≤ 2x - 1 ≤ n হবে?

সমাধান:
⇒ |x - 3| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x - 3 ≤ 4
⇒ - 4 + 3 ≤ x ≤ 4 + 3
⇒ - 1 ≤ x ≤ 7
⇒ - 1 × 2 ≤ 2x ≤ 7 × 2
⇒ - 2 ≤ 2x ≤ 14
⇒ - 2 - 1 ≤ 2x - 1 ≤ 14 - 1
⇒ - 3 ≤ 2x - 1 ≤ 13

এখন, m ≤ 2x - 1 ≤ n এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = - 3 এবং n = 13।

প্রশ্ন: | x + 1 | < 3 অসমতার সমাধান-

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
| x + 1 | < 3
⇒ - 3 < x + 1 < 3
⇒ - 3 - 1 < x + 1 - 1 < 3 - 1   ; [উভয় পাশ থেকে ১ বিয়োগ করি]
⇒ - 4 < x < 2

∴ অসমতার সমাধান সেট = (- 4, 2)

প্রশ্ন: |3x + 2| < 7 অসমতাটির সমাধান কী?

সমাধান:
|3x + 2| < 7
⇒ - 7 < 3x + 2 < 7  [পরম মান এর নিয়মানুযায়ী]
⇒ - 7 - 2 < 3x + 2 - 2 < 7 - 2  [উভয়পাশে 2 বিয়োগ করে]
⇒ - 9 < 3x < 5
⇒ (- 9/3) < (3x / 3) < (5/3)  [উভয়পাশে 3 দ্বারা ভাগ করে]
⇒ - 3 < x < (5/3) 

।2x - 1। < 1
বা, -1 < 2x - 1 < 1
বা, -1 + 1 < 2x - 1 + 1 < 1 + 1
বা, 0 < 2x < 2
∴ 0 < x < 1

x > y...….....(1)
z < 0............(2)
(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা
(1)নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz

প্রশ্ন: |3x - 2| < 37 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
|3x - 2| < 37

(3x - 2) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (3x - 2) < 37 
3x - 2 + 2 < 37 + 2
3x < 39
 x < 13

আবার,
(3x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায়, - (3x - 2) < 37
(3x - 2) > - 37
3x - 2 + 2 > - 37 + 2
3x > - 35
x > - 35/3

∴ নির্ণেয় অসমতা:  - 35/3 < x < 13

প্রশ্ন: 6 < x < 18 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (6 + 18) / 2 = 24/2 = 12

এখন,
6 < x < 18
⇒ 6 - 12 < x - 12 < 18 - 12
⇒ -6 < x - 12 < 6
∴ |x - 12| < 6

3x-2 > 2x-1
⇒ 3x - 2x > 2-1
⇒ x > 1
বুঝা যাচ্ছে সমধান হচ্ছে, x, 1 এর চেয়ে বড় যেকোনো সংখ্যা। অর্থাৎ, ২ থেকে অসীম পর্যন্ত যেকোনো সংখ্যা। এখন এটা আমাদেরকে সংকেত দিয়ে প্রকাশ করতে হবে।
(12, ∞) এটা আমাদের সমধানকে আংশিকভাবে সিদ্ধ করে কিন্তু এটা পূর্ণাঙ্গ সমধানের প্রকাশ নয়।

২টা অপশন আমাদের সম্ভাব্য উত্তর, [1,∞), (1,∞)
[1,∞) - এটার মানে হচ্ছে ১ থেকে অসীম পর্যন্ত। [ দেয়ার কারণে ১ সমাধানে ধরতে হবে।
(1,∞) - এটার মানে হচ্ছে ২ থেকে অসীম পর্যন্ত। ( দেয়ার কারণে ১ সমাধানে ধরা হবে না।
∴ সমাধান সেট (1, ∞)

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 4 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 5x + 2 ≤ q হবে?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 4
 ⇒ - 4 ≤ x + 3 ≤ 4
⇒ - 7 ≤ x ≤ 1
⇒ - 35 ≤ 5x ≤ 5
⇒ - 33 ≤ 5x + 2 ≤ 7

∴ p = - 33 এবং q = 7

প্রশ্ন: |x + 2| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 2| < 7
⇒ - 7 < x + 2 < 7
⇒ (- 7 - 2) < (x + 2 - 2) < (7 - 2) [উভয়পক্ষে (- 2) যোগ করে]
⇒ - 9 < x < 5

∴ অসমতাটির সমাধান, S = {x ∈ R: - 9 < x < 5}

প্রশ্ন: |2 - 8x| ≤ 6 এর সমাধান-

সমাধান:
|2 - 8x| ≤ 6
⇒ - 6 ≤ 2 - 8x ≤ 6
⇒ - 6 - 2 ≤ - 8x ≤ 6 - 2
⇒ - 8 ≤ - 8x ≤ 4
⇒ - 8/(- 8) ≥ x ≥ 4/(- 8)
⇒ 1 ≥ x ≥ - 1/2
⇒ - (1/2) ≤ x ≤ 1

প্রশ্ন: |2x + 4| ≤ 10 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|2x + 4| ≤ 10
⇒ - 10 ≤ 2x + 4 ≤ 10
⇒ - 10 - 4 ≤ 2x + 4 - 4 ≤ 10 - 4
⇒ - 14 ≤ 2x ≤ 6
⇒ - 14/2 ≤ x ≤ 6/2
⇒ - 7 ≤ x ≤ 3

∴ x এর সর্বোচ্চ মান = 3

প্রশ্ন: (- x/0.3) ≤ 20, অসমতাটির সমাধান সেট কী হবে? 

সমাধান:

এখানে, 
-x/0.3 ≤ 20
⇒ x ≥ (0.3) (2)
⇒ x ≥ -6

সুতরাং, সমাধান সেটটি হবে, {x : x ≥ -6}

"দ্রষ্টব্য:
- কোনো অসমতার উভয় পাশে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করার সময় অসমতার চিহ্ন উল্টে দিতে হবে।
- সমাধান সেটে অবশ্যই সেকেন্ড ব্র্যাকেট {} ব্যবহার করতে হবে - তাই অপশন (ক) সঠিক হবে না। "

∴ x > 0, y < 0
∴ xy < 0
∴ xy = - 1/4 < 0
∴ উত্তরঃ (ক)

x = 7, y = 2 হলে,
1/7 < 1/2
বা, 1/x < 1/y
বা, x > y
∴ x - y > 0

প্রশ্ন: 5x + 7 > 22 এর সমাধান সেট -

সমাধান:
5x + 7 > 22
⇒ 5x > 22 - 7
⇒ 5x > 15
∴ x > 3

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = {x ∈ R : x > 3}

|x - 4| ≤ 5
বা, -5 ≤ x - 4 ≤ 5
বা, -5 + 4 ≤ x - 4 + 4 ≤ 5 + 4
∴ -1 ≤ x ≤ 9

x²−3x + 2
= x² - 2x - x + 2
= x(x-2) - 1 (x-2)
= (x-2)(x-1)
মূল দুটি ২ অথবা ১

x² - 5x + 6<0
⇒(x-3)(x-2)<0
(x - 3)(x - 2) এর যে কোন একটির মান ঋণাত্মক হলে অসমতা টি সত্য হবে। 
x<2 এবং x>3 এর ক্ষেত্রে (x-3)(x-2) এর মান ধনাত্মক হয় এবং 2<x<3 এর ক্ষেত্রে (x-3)(x-2) এর মান ঋণাত্মক হয়।

∴ নির্ণেয় অসমতা = 2 < x < 3

সমাধান:
3x + 2 > x - 4
⇒ 3x - x > - 4 - 2
⇒ 2x > - 6
⇒ x > - 3

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান সেট হলো (- 3, ∞)।

(- 3, ∞) বলতে বোঝায় যে, - $3$এর চেয়ে বড় সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: 7x - 9 ≤ 3x + 11 অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
7x - 9 ≤ 3x + 11
⇒ 7x - 3x ≤ 11 + 9
⇒ 4x ≤ 20
⇒ x ≤ 5 

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, 5]

(- ∞, 5] বলতে বোঝায় যে, 5 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: |3x + 4| ≤ 10 এর সমাধান কী?

সমাধান:
|3x + 4| ≤ 10
⇒ - 10 ≤ 3x + 4 ≤ 10
⇒ - 10 - 4 ≤ 3x + 4 - 4 ≤ 10 - 4
⇒ - 14 ≤ 3x ≤ 6
⇒ - 14/3 ≤ 3x / 3 ≤ 6/3
⇒ - 14/3 ≤ x ≤ 2

ব্যবধি আকারে প্রকাশ করে পাই, [- 14/3, 2]
অর্থাৎ, x একটি সংখ্যা যা - 14/3 থেকে 2 এর মধ্যে বা সমান হতে পারে।

প্রশ্ন: |1 - 2x| < 1 এর সমাধান-

সমাধান:
|1 - 2x| < 1
বা, - 1 < 1 - 2x < 1
বা, - 1 - 1 < 1 - 1 - 2x < 1 - 1
বা, - 2 < - 2x < 0
বা, - 1 < - x < 0
বা, 1 > x > 0
∴ 0 < x < 1

প্রশ্ন: - 1 < x < 8 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
সীমার মধ্যবিন্দু = (- 1 + 8)/2 = 7/2

দেওয়া আছে,
⇒  -1 < x < 8
⇒ - 1 - 7/2 < x - 7/2 < 8 - 7/2
⇒ - 9/2 < x - 7/2 < 9/2
⇒ - 9/2 < (2x - 7)/2 < 9/2
⇒ - 9 < 2x - 7 < 9
∴ |2x - 7| < 9 [আমরা জানি, -a < X < a হলে |X| < a লেখা যায়]

প্রশ্ন: x² - 4 ≤ 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধানঃ
x² - 4 ≤ 0
⇒ x² ≤ 4
⇒ x ≤ ± 2
∴ - 2 ≤ x ≤ 2

প্রশ্ন: x - [x - {x - (x + 1)}] এর মান কত?

সমাধান:
x - [x - {x - (x + 1)}]
= x - {x - (x - x - 1)}
= x - (x + 1)
= x - x - 1
= - 1

x > y...….....(1)
z < 0............(2)
(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা
(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz.

প্রশ্ন: 5(x + 1) ≤ 2(x + 7) অসমতাটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
5(x + 1) ≤ 2(x + 7)
⇒ 5x + 5 ≤ 2x + 14
⇒ 5x - 2x ≤ 14 - 5
⇒ 3x ≤ 9
⇒ x ≤ 3

∴ সমাধান সেট = {x ∈ R : x ≤ 3}

প্রশ্ন: a > b এবং c < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a > b
c < 0 (অর্থাৎ c একটি ঋণাত্মক সংখ্যা)।
একটি অসমতার উভয় পক্ষকে যখন একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, তখন অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়।
a > b 
উভয় পক্ষকে c দ্বারা গুণ করে পাই,
⇒ a × c < b × c

∴ প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী সঠিক অসমতাটি হলো,
ac < bc

প্রশ্ন: p > q এবং r < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p > q  ........... (1)
r < 0...............(2)

আমরা জানি, 
কোনো অসমতার উভয় পক্ষে কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়। 

'>' চিহ্ন হবে '<' এবং '<' চিহ্ন হবে '>'

(2) নং হতে, r অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা।

(1) নং কে r দ্বারা গুন করলে, pr < qr