সরল ও দ্বিপদী অসমতা

প্রশ্ন: মকবুল ও শাহিদের কাছে কিছু চকলেট আছে। মকবুল যদি শাহিদকে 5 টি চকলেট দেয় তাহলে তাদের চকলেট সংখ্যা সমান হয় এবং শাহিদ যদি মকবুলকে 10 টি চকলেট দেয় তাহলে মকবুলের চকলেট সংখ্যা শাহিদের চকলেট সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। মকবুলের কাছে কয়টি চকলেট আছে?

সমাধান:
ধরি,
মকবুলের কাছে চকলেট আছে = a টি
এবং, শাহিদের কাছে চকলেট আছে = b টি

প্রশ্নমতে,
a - 5 = b + 5
∴ b = a - 10 ...... (1)

আবার,
a + 10 = 2(b - 10)
⇒ a + 10 = 2(a - 10 - 10)   [যেহেতু b = a - 10]
⇒ a + 10 = 2(a - 20)
⇒ a + 10 = 2a + 40
∴ a = 50 টি

প্রশ্ন: |x - 4| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 5x - 3 < n হবে?

সমাধান:
|x - 4| < 2
বা, - 2 < x - 4 < 2
বা, - 2 + 4 < x - 4 + 4 < 2 + 4
বা, 2 < x < 6
বা, 2 × 5 < 5x < 6 × 5
বা, 10 < 5x < 30
বা, 10 - 3 < 5x - 3 < 30 - 3
∴ 7 < 5x - 3 < 27

m < 5x - 3 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = 7 এবং n = 27

প্রশ্ন: যদি 7 - 2x ≤ 15, হয়, তাহলে x-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া অসমতা,
7 - 2x ≤ 15
⇒ - 2x ≤ 8  ; [দুই পাশ থেকে 7 বিয়োগ করে পাই]
∴ x ≥ - 4  ; [দুই পাশকে - 2 দিয়ে ভাগ করি (ভাগ করার সময় ঋণাত্মক সংখ্যা হওয়ায় অসমতার চিহ্ন উল্টে যাবে]

সুতরাং, সমাধান সেট x ∈ [- 4, ∞) 

প্রশ্ন: যদি xy < 0, xz > 0 এবং z < 0 হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
z < 0, সুতরাং z ঋণাত্মক। 

আবার,
xz > 0 ; সুতরাং x ও ঋণাত্মক। 

এবং 
xy < 0 হওয়ায় y অবশ্যই ধনাত্মক। 

সুতরাং, y > 0। 

প্রশ্ন: x পূর্ণ সংখ্যা এবং  হলে x এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের পার্থক্য কত? 

সমাধান:
এখানে,
- 1 ≤ (3x - 4)/7 ≤ 5
⇒ - 7 ≤ 3x - 4 ≤ 35
⇒ - 7 + 4 ≤ 3x - 4 + 4 ≤ 35 + 4
⇒ - 3 ≤ 3x ≤ 39
⇒ - 1 ≤ x ≤ 13
 
∴ x এর বৃহত্তম মান = 13
এবং ক্ষুদ্রতম মান = - 1
∴ পার্থক্য = 13 - (- 1) = 13 + 1 = 14

যেহেতু, a < b এবং ab < 0
∴ a < 0 এবং b > 0
∴ a²b সর্বদা ধনাত্মক।

প্রশ্ন: |2x - 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
(2x - 1) ধনাত্মক ধরে,
2x - 1 < 7
বা, 2x < 7 + 1
বা, 2x < 8
বা, x < 4

আবার, (2x - 1) ঋণাত্মক ধরে,
- (2x - 1) < 7
বা, 2x - 1 > - 7 [উভয়পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করে চিহ্ন পরিবর্তন করা হয়েছে]
বা, 2x > - 7 + 1
বা, 2x > - 6
বা, x > - 3

∴ নির্ণেয় সমাধান: {x ∈ R: - 3 < x < 4}

প্রশ্ন: |2x + 4| ≤ 12 এর সমাধান কী?

সমাধান:
|2x + 4| ≤ 12
⇒ - 12 ≤ 2x + 4 ≤ 12
⇒ - 12 - 4 ≤ 2x + 4 - 4 ≤ 12 - 4
⇒ - 16 ≤ 2x ≤ 8
⇒ - 16/2 ≤ 2x / 2 ≤ 8/2
⇒ - 8 ≤ x ≤ 4

ব্যবধি আকারে প্রকাশ করে পাই, [- 8, 4]
অর্থাৎ, x একটি সংখ্যা যা - 8 থেকে 4 এর মধ্যে বা সমান হতে পারে

 প্রশ্ন: যদি {(2x + 3)/5} ≥ 3 হয়, তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
{(2x + 3)/5} ≥ 3
 ⇒ 2x + 3 ≥ 15 
 ⇒ 2x ≥ 12 
∴ x ≥ 6

∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান = 6

এখানে, x = 1 - t বা, t = 1 - x আবার, y = 2t + 1 
বা, y = 2(1 - x) + 1
বা, y = 2 - 2x + 1
বা, y = 3 - 2x
∴ 2x + y = 3

প্রশ্ন: একটি কলমের দাম 5 টাকা এবং একটি ডায়েরির দাম 10 টাকা। রানা x টি কলম এবং (x + 2) টি ডায়েরি কিনল। মোট দাম অনূর্ধ্ব 80 টাকা হলে সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে?

সমাধান: 
কলমের দাম = 5x টাকা
এবং ডায়েরির দাম = 10(x + ২)  টাকা

∴ মোট দাম = 5x + 10(x + ২)
= 5x + 10x + 20
= 15x + 20

প্রশ্নমতে, 
15x + 20 ≤ 80
⇒ 15x ≤ 80 - 20
⇒ 15x ≤ 60
⇒ x ≤ 60/15
∴ x ≤ 4

সুতরাং x-এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান 4

অতএব, সর্বাধিক 4টি কলম কিনেছে। 

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় ∣3x+2∣ ≤ 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|3x + 2| ≤ 5 
⇒ - 5 ≤ 3x + 2 ≤ 5 
⇒ - 5 - 2 ≤ 3x + 2 - 2 ≤ 5 - 2 
⇒ - 7 ≤ 3x ≤ 3 
⇒ - (7/3) ≤ x ≤ 1

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

 সমাধান:
|x + 3| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
⇒ - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
⇒ - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 11

প্রশ্ন: 5x - 3 ≤ 12 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 5x - 3 ≤ 12
⇒ 5x - 3 + 3 ≤ 12 + 3
⇒ 5x ≤ 15
⇒ x ≤ 15/5
∴ x ≤ 3

এখানে -2<= x <=2……. (1)
and 3<= y <=8………..(2)
(2)-(1) হতে পাই, 5 <= y - x <= 6.

প্রশ্ন: - 8 < 3 - x < - 2 কে পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করুন:

সমাধান: 
দেওয়া অসমতা, 
- 8 < 3 - x < - 2
⇒ - 8 < 3 - x < - 2
⇒ - 8 - 3 < - x < - 2 - 3
⇒ - 11 < - x < - 5
⇒ 11 > x > 5  ; [সবদিকে - 1 দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যাবে] 
⇒ 5 < x < 11
⇒ 5 - 8 < x - 8 < 11 - 8 ; [এই ব্যবধানের মধ্যবিন্দু হলো = (5 + 11)/2 = 8] 
⇒ - 3 < x - 8 < 3
∴ |x - 8| < 3

প্রশ্ন: - 1 < x < 5 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
⇒ - 1 < x < 5
⇒ - 1 - 2 < x - 2 < 5 - 2
⇒ - 3 < x - 2 < 3
⇒ |x - 2| < 3

∴ সমাধান: |x - 2| < 3

-3 ≤ x ≤ 3.......(1)
-4 ≤ y ≤ 4.......(2)
(1) নং + (2) নং দ্বারা পাই
-7 ≤ x + y ≤ 7

প্রশ্ন: a ≤ (a/2) + 3 এর সমাধান কত?

সমাধান:
a ≤ (a/2) + 3
⇒ 2a ≤ 2{(a/2) + 3}
⇒ 2a ≤ a + 6
⇒ 2a - a ≤ a + 6 - a
⇒ a ≤ 6

প্রশ্ন: 1/।1 - 2a। ≥ 5 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
1/।1 - 2a। ≥ 5
⇒ 1 - 2a ≤ 1/5
ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
1 - 2a ≤ 1/5
⇒ 1 - 2a - 1 ≤ - 1 + (1/5)
⇒ - 2x ≤ (- 5 + 1)/5
⇒ - 2a ≤ - 4/5
⇒ 2a ≥ 4/5
⇒ a ≥ 2/5
⇒ 2/5 ≤ a

 ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
- (1 - 2a) ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2a ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2a + 1 ≤ 1 + (1/5)
⇒ 2a ≤ (5 + 1)/5
⇒ 2a ≤ 6/5
⇒ a ≤ 3/5

নির্ণেয় সমাধান = (2/5) ≤ a ≤ (3/5)

(- 5 + 7)/2 = 1
∴ - 5 - 1<x - 1<7 - 1
⇒ -6 <x -1<6
∴ |x -1|<6

প্রশ্ন: 2(x + 3) ≥ 10 অসমতাটির সমাধান সেট কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2(x + 3) ≥ 10
⇒ x + 3 ≥ 10/2
⇒ x + 3 ≥ 5
⇒ x + 3 - 3 ≥ 5 - 3 ; [উভয় পাশ থেকে 3 বিয়োগ করি]
∴ x ≥ 2

সমাধান সেট = [2, ∞)

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে 1 < x < 11 অসমতাটি প্রকাশ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 < x < 11

এখানে,
1 < x < 11 অসমতাটি মধ্যবিন্দু = (1 + 11)/2
= 12/2
= 6

এখন, প্রদত্ত অসমতার প্রত্যেক পক্ষ হতে 6 বিয়োগ করে পাই,
1 < x < 11
⇒ 1 - 6 < x - 6 < 11 - 6
⇒ - 5 < x - 6 < 5
⇒ |x - 6| < 5

প্রশ্ন: 6 - 2x ≥ 3x + 16 অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
6 - 2x ≥ 3x + 16
⇒ - 2x - 3x ≥ 16 - 6
⇒ - 5x ≥ 10
⇒ x ≤ - 2 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2]

(- ∞, - 2] বলতে বোঝায় যে, - 2 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: অসমতা সমাধান করুন: x² - 5x + 6 < 0

সমাধান:

সমাধান:
x² - 5x + 6 < 0
বা, x² - 2x - 3x + 6 < 0
বা, x(x - 2) - 3(x - 6) < 0
∴ (x - 2)(x - 3) < 0

x² - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 3

প্রশ্ন: x - 11 < 4x + 1 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
x - 11 < 4x + 1
⇒ - 11 - 1 < 4x - x
⇒ - 12 < 3x
⇒ - 4 < x
∴ x > - 4

প্রশ্ন: 3x - 5 < 13 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 3x - 5 < 13
⇒ 3x < 13 + 5
⇒ 3x < 18
⇒ x < 18/3
∴ x < 6

প্রশ্ন: - 3 < x < 11 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে? 

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = {11 + (- 3)}/2
= 8/2
= 4

এখন,
- 3 < x < 11
⇒ - 3 - 4 < x - 4 < 11 - 4
⇒ - 7 < x - 4 < 7
⇒ |x - 4| < 7

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 4| < 7

প্রশ্ন: |x + 2| = |x - 1| হলে x -এর মান কত? 

সমাধান: 
|x + 2| = |x - 1|
বা,  |x + 2|² = |x - 1|²    [|a|² = a²]
বা, (x + 2)² = (x - 1)² 
বা, x² + 4x + 4 = x² - 2x + 1 
বা, 6x = - 3 
বা, x = - 3/6 
∴ x = - 1/2 

প্রশ্ন: x - 9 > 3x + 1 এর সমাধান কত? 

সমাধান: 
x - 9 > 3x + 1
বা, x - 9 - 3x > 3x + 1 - 3x
বা, - 2x - 9 > 1
বা, - 2x - 9 + 9 > 1 + 9
বা, - 2x > 10
বা, - 2x/2 > 10/2
বা, - x > 5
বা, (- x)(- 1) < 5(- 1)
   x < - 5 

প্রশ্ন: |x - 2| ≤ 6 হলে, x-এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|x - 2| ≤ 6
বা, - 6 ≤ x - 2 ≤ 6 
বা, - 6 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 6 + 2
বা, - 4 ≤ x ≤ 8 

∴ x -এর সর্বোচ্চ মান = 8

প্রশ্ন: m বাস্তব সংখ্যা এবং 5m - 2 > - 12  হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
5m - 2 > - 12
⇒ 5m > - 12 + 2
⇒ 5m > - 10
⇒ m > - (10/5)
∴ m > - 2

∴ সঠিক উত্তর: m ∈ (- 2, ∞)

প্রশ্ন: a, b, c তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা। যদি a > b > c এবং b < 5 হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই ভুল?

সমাধান:
a > b > c এবং b < 5 
 ধরি, a = 4, b = 3 এবং c = 2 

ক) a - b > 0
⇒ 4 - 3 > 0 ⇒ 1 > 0 ; যা সঠিক।

খ) abc > 0
⇒ 4 × 3 × 2 = 24 > 0 ; যা সঠিক।

গ) a - c < 0
⇒ 4 - 2 < 0 ⇒ 2 < 0 ; যা ভুল। যেহেতু a > c, তাই a - c এর মান সবসময় ধনাত্মক হবে। এই উক্তিটি অবশ্যই ভুল।

ঘ) a + b > c
⇒ 4 + 3 > 2 ⇒ 7 > 2 ; যা সঠিক।