লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

সরল ও দ্বিপদী অসমতা

মোট প্রশ্ন১,১৬১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

সরল ও দ্বিপদী অসমতা

PrepBank · পাতা ৫ / ১২ · ৪০১–৫০০ / ১,১৬১

৪০১.
x > y এবং z < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক? 
  1. ক
    ক) xz > yz
  2. খ
    খ) x/z > y/z
  3. গ
    গ) z/x < z/y
  4. ঘ
    ঘ) xz < yz
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x > y এবং z < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
x > y ...…..... (1)
z < 0 ............ (2)

(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা।

(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz
৪০২.
মকবুল ও শাহিদের কাছে কিছু চকলেট আছে। মকবুল যদি শাহিদকে 5 টি চকলেট দেয় তাহলে তাদের চকলেট সংখ্যা সমান হয় এবং শাহিদ যদি মকবুলকে 10 টি চকলেট দেয় তাহলে মকবুলের চকলেট সংখ্যা শাহিদের চকলেট সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। মকবুলের কাছে কয়টি চকলেট আছে?
  1. ক
    80 টি
  2. খ
    65 টি
  3. গ
    50 টি
  4. ঘ
    60 টি 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: মকবুল ও শাহিদের কাছে কিছু চকলেট আছে। মকবুল যদি শাহিদকে 5 টি চকলেট দেয় তাহলে তাদের চকলেট সংখ্যা সমান হয় এবং শাহিদ যদি মকবুলকে 10 টি চকলেট দেয় তাহলে মকবুলের চকলেট সংখ্যা শাহিদের চকলেট সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। মকবুলের কাছে কয়টি চকলেট আছে?

সমাধান:
ধরি,
মকবুলের কাছে চকলেট আছে = a টি
এবং, শাহিদের কাছে চকলেট আছে = b টি

প্রশ্নমতে,
a - 5 = b + 5
∴ b = a - 10 ...... (1)

আবার,
a + 10 = 2(b - 10)
⇒ a + 10 = 2(a - 10 - 10)   [যেহেতু b = a - 10]
⇒ a + 10 = 2(a - 20)
⇒ a + 10 = 2a + 40
∴ a = 50 টি

৪০৩.
|x - 4| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 5x - 3 < n হবে?
  1. ক
    m = 2, n = 6
  2. খ
    m = 10, n = 30
  3. গ
    m = 5, n = 25
  4. ঘ
    m = 7, n = 27
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x - 4| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 5x - 3 < n হবে?

সমাধান:
|x - 4| < 2
বা, - 2 < x - 4 < 2
বা, - 2 + 4 < x - 4 + 4 < 2 + 4
বা, 2 < x < 6
বা, 2 × 5 < 5x < 6 × 5
বা, 10 < 5x < 30
বা, 10 - 3 < 5x - 3 < 30 - 3
∴ 7 < 5x - 3 < 27

m < 5x - 3 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = 7 এবং n = 27

৪০৪.
  1. ক
    m < 1
  2. খ
    m > 1
  3. গ
    m = 1
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান: 
৪০৫.
।2x - 5। < 8 এর সমাধান -
  1. ক
    ক) - 2 < x < 8
  2. খ
    খ) - 3/2 < x < 7
  3. গ
    গ) - 3/2 < x < 13/2
  4. ঘ
    ঘ) উপরের কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
।2x - 5। < 8
⇒ - 8 < 2x - 5 < 8
⇒ - 8 + 5 < 2x < 8 + 5
⇒ - 3 < 2x < 13
⇒ - 3/2 < 2x/2 < 13/2
⇒ - 3/2 < x < 13/2
৪০৬.
x2 - 8x + 15 < 0 হলে, x এর মান কোনটি?
  1. ক
    ক) 3 < x < 4
  2. খ
    খ) 2 < x < 5
  3. গ
    গ) 2 < x < 3
  4. ঘ
    ঘ) 3 < x < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : x2 - 8x + 15 < 0 হলে, x এর মান কোনটি?
সমাধান : 
    x2 - 8x + 15 < 0
বা, x2 - 5x - 3x + 15 < 0
বা, x(x - 5) - 3 (x - 5) < 0
∴ (x - 3)(x - 5) < 0

x2 - 8x + 15 < 0 সত্য হবে যদি x - 3 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 3 < 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ,  x < 3 এবং x > 5
3 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x2 - 8x + 15 < 0 সত্য হবে যদি x - 3 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন,  x - 3 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x > 3 এবং x < 5
x এর মান 3 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে।

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 3 < x < 5
৪০৭.
(x - 3)(x - 4) < 0 এর সমাধান কত?
  1. ক
    - 1 < x < 3
  2. খ
    - 2 < x < 5
  3. গ
    3 < x < 4
  4. ঘ
    2 < x < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - 3)(x - 4) < 0 এর সমাধান কত?

সমাধান:
(x - 3)(x - 4) < 0 সত্য হবে, যদি x - 3 < 0 এবং x - 4 > 0 হয়।

এখন,
x - 3 < 0 এবং x - 4 > 0
⇒ x < 3 এবং x > 4
3 এর চেয়ে ছোট এবং 4 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
(x - 3)(x - 4) < 0 সত্য হবে, যদি x - 3 > 0 এবং x - 4 < 0 হয়।

এখন,  
x - 3 > 0 এবং x - 4 < 0
⇒ x > 3 এবং x < 4
x এর মান 3 এর চেয়ে বড় এবং 4 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

∴ নির্ণেয় সমাধান: 3 < x < 4
৪০৮.
বাস্তব সংখ্যায় ।2a + 3। < 7 অসমতাটির সমাধান-
  1. ক
    4 < a < - 3
  2. খ
    - 3 < a < 4
  3. গ
    - 5 < a < 2
  4. ঘ
    3 > a > - 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় ।2a + 3। < 7 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
।2a + 3। < 7
⇒ - 7 < 2a + 3 < 7
⇒ - 7 – 3 < 2a + 3 – 3 < 7 – 3
⇒ - 10 < 2a < 4
⇒ (- 10/2) < (2a/2) < (4/2)
⇒ - 5 < a < 2
৪০৯.
x2 - 9 ≤ 0 এর সমাধান কোনটি?
  1. ক
    - 3 ≤ x ≤ 3
  2. খ
    - 3 ≤ x < 3
  3. গ
    - 3 < x ≤ 3
  4. ঘ
    - 3 < x < 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 9 ≤ 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x2 - 9 ≤ 0
⇒ x2 ≤ 9
⇒ x ≤ ± 3
∴ - 3 ≤ x ≤ 3

x এর মান বর্গমূল করলে + 3 অপেক্ষা ছোট বা সমান এবং - 3 থেকে বড় বা সমান।
৪১০.
1/|2x - 1| > 1 এর সমাধান -
  1. ক
    ক) (0, 1)
  2. খ
    খ) [0, 1]
  3. গ
    গ) (0, 1/2) ∪ (1/2, 1)
  4. ঘ
    ঘ) [0, 1/2), ∪ (1/2, 1]
ব্যাখ্যা
1/|2x - 1| > 1
বা, |2x - 1| < 1 এবং x ≠ 1/2
বা, -1 < 2x-1 < 1 এবং x ≠ 1/2
বা, 0 < 2x < 2 এবং x ≠ 1/2
বা, 0 < x < 1 এবং x ≠ 1/2
বা, x = (0, 1/2) ∪ (1/2, 1)
৪১১.
7x + 2 < 3x + 18 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    S = {x ∈ R : x > 4}
  2. খ
    S = {x ∈ R : x < 4}
  3. গ
    S = {x ∈ R : x > 5}
  4. ঘ
    S = {x ∈ R : x < 5}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7x + 2 < 3x + 18 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
7x + 2 < 3x + 18
⇒ 7x + 2 - 3x < 3x + 18 - 3x
⇒ 4x + 2 < 18
⇒ 4x + 2 - 2 < 18 - 2
⇒ 4x < 16
⇒ 4x/4 < 16/4
⇒ x < 4

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < 4

এবং সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x < 4}
৪১২.
যদি 7 - 2x ≤ 15, হয়, তাহলে x-এর মান কত? 
  1. ক
    (- ∞, 4]
  2. খ
    [- 4, ∞)
  3. গ
    [4, ∞)
  4. ঘ
     (- ∞, - 4]
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 7 - 2x ≤ 15, হয়, তাহলে x-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া অসমতা,
7 - 2x ≤ 15
⇒ - 2x ≤ 8  ; [দুই পাশ থেকে 7 বিয়োগ করে পাই]
∴ x ≥ - 4  ; [দুই পাশকে - 2 দিয়ে ভাগ করি (ভাগ করার সময় ঋণাত্মক সংখ্যা হওয়ায় অসমতার চিহ্ন উল্টে যাবে]

সুতরাং, সমাধান সেট x ∈ [- 4, ∞) 

৪১৩.
x2 - 7x + 12 < 0 অসমতাটির সমাধান কী?
  1. ক
    ক) 2 < x < 3
  2. খ
    খ) 1 < x < 4
  3. গ
    গ) 3 < x < 4
  4. ঘ
    ঘ) - 3 < x < 2
ব্যাখ্যা
x2 - 7x + 12 < 0
∴ (x - 3)(x - 4) < 0

x2 - 7x + 12 < 0 সত্য হবে যদি x - 3 < 0 এবং x - 4 > 0 হয়।
এখন, x - 3 < 0 এবং x - 4 > 0
অর্থাৎ,  x < 3 এবং x > 4
3 এর চেয়ে ছোট এবং 4 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x2 - 7x + 12 < 0 সত্য হবে যদি x - 3 > 0 এবং x - 4 < 0 হয়।
এখন,  x - 3 > 0 এবং x - 4 < 0
অর্থাৎ x > 3 এবং x < 4
x এর মান 3 এর চেয়ে বড় এবং4 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 3 < x < 4
৪১৪.
যদি P = 3/5, Q = 7/9 এবং R = 5/7 হয় তাহলে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?
  1. ক
    P < R < Q
  2. খ
    P < Q < R
  3. গ
    Q < R < P
  4. ঘ
    R < P < Q
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি P = 3/5, Q = 7/9 এবং R = 5/7 হয় তাহলে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

সমাধান: 
P = 3/5 = 0.60
Q = 7/9 = 0.78
R = 5/7 = 0.71

অর্থাৎ, P < R < Q
৪১৫.
।2x + 5। < 3 অসমতাটির সমাধান-
  1. ক
    - 1 < x < 4
  2. খ
    - 7 ≤ x ≤ 12
  3. গ
    7 ≤ x < 12
  4. ঘ
    - 4 < x < - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ।2x + 5। < 3 অসমতাটির সমাধান- 
 
সমাধান: 
।2x + 5। < 3
বা, - 3 < 2x + 5 < 3
বা, - 3 - 5 < 2x < 3 - 5
বা, - 8 < 2x < - 2
∴ - 4 < x < - 1
৪১৬.
যদি xy < 0, xz > 0 এবং z < 0 হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য হবে? 
  1. ক
    y < 0
  2. খ
    yz > 0
  3. গ
    y > 0
  4. ঘ
    কোনটিই নয় 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি xy < 0, xz > 0 এবং z < 0 হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
z < 0, সুতরাং z ঋণাত্মক। 

আবার,
xz > 0 ; সুতরাং x ও ঋণাত্মক। 

এবং 
xy < 0 হওয়ায় y অবশ্যই ধনাত্মক। 

সুতরাং, y > 0। 

৪১৭.
।x  - 2। < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 5x + 7 < n হবে? 
  1. ক
    ক) m = 3, n = 20 
  2. খ
    খ) m = 2, n = 32 
  3. গ
    গ) m = 1, n = 25 
  4. ঘ
    ঘ) m = 3, n = 7 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: । x  - 2। < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 5x + 7 < n হবে? 

সমাধান: 
। x  - 2। < 3
বা, - 3 < x - 2 < 3
বা,- 3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2
বা, - 1 < x < 5
বা, (- 1) × 5 < 5x < 25
বা, - 5 < 5x < 25
বা,- 5 + 7 < 5x + 7 < 25 + 7
    2< 5x + 7 < 32

  2 < 5x + 7 < 32 কে m < 5x + 7 < n এর সাথে তুলনা করলে আমরা পাই 
m = 2, n = 32 
৪১৮.
পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে - 3 < x < 1 অসমতাটি প্রকাশ করুন।
  1. ক
    |2x - 1| < 2
  2. খ
    |x - 1| < 2
  3. গ
    |x + 1| < 2
  4. ঘ
    |2x + 1| < 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে -3 < x < 1 অসমতাটি প্রকাশ করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, -3 < x < 1
এখানে, (-3 + 1)/2
= -2/2
= -1

এখন, প্রদত্ত অসমতার প্রত্যেক পক্ষ হতে -1 বিয়োগ করে পাই,
-3 < x < 1
⇒ -3 - (-1) < x - (-1) < 1 - (-1)
⇒ - 3 + 1 < x + 1 < 1 + 1
⇒ - 2 < x + 1 < 2
⇒ |x + 1| < 2
৪১৯.
অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    ক) 3 < x < 4
  2. খ
    খ) 1 < x < 4
  3. গ
    গ) 2 < x < 4
  4. ঘ
    ঘ) - 1 < x < 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
1/।2x - 5। > 1/3
⇒ ।2x - 5। < 3
⇒ - 3 < 2x - 5 < 3 
⇒ - 3 + 5 < 2x - 5 + 5 < 3 + 5
⇒ 2 < 2x < 8
⇒ 2/2 < 2x/2 < 8/2
∴ 1 < x < 4
৪২০.
2x2 + 5x + 3 < 0 এর সমাধান কোনটি?
  1. ক
    ক) - 3/2 < x < 1
  2. খ
    খ) - 3/2 < x < - 1
  3. গ
    গ) - 1/2 < x < - 1/3
  4. ঘ
    ঘ) - 3 < x < - 1
ব্যাখ্যা
2x2 + 5x + 3 < 0 
2x2 + 2x + 3x + 3 < 0
2x(x + 1) + 3 (x + 1) < 0
(x + 1)(2x + 3) < 0

2x2 + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি(x + 1)< 0 এবং (2x + 3)> 0 হয়।
এখন, x + 1 < 0 এবং 2x + 3 > 0
x < - 1 এবং x > - 3/2

- 1 এর চেয়ে ছোট এবং- 3/2 এর চেয়ে বড়
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে. 
সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ - 3/2 < x < - 1

আবার,
2x2 + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0 হয়।
এখন,  x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0
x > - 1 এবং x < - 3/2
x এর মান - 1 এর চেয়ে বড় এবং - 3/2 এর চেয়ে ছোট x এর কোন মান নাই।
 এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।
৪২১.
- 4 < x < 6 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করুন।
  1. ক
    |x - 1| < 5
  2. খ
    |x - 2| < 8
  3. গ
    |x - 3| < 7
  4. ঘ
    |x - 4| < 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 4 < x < 6 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করুন।

সমাধান:
এখানে,
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 4 + 6)/2
= 2/2
= 1

এখন,
- 4 < x < 6
⇒ - 4 - 1 < x - 1 < 6 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
⇒ - 5 < x - 1 < 5
⇒ |x - 1| < 5

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 1| < 5
৪২২.
x পূর্ণ সংখ্যা এবং  হলে x এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের পার্থক্য কত?
  1. ক
    11
  2. খ
    12
  3. গ
    13
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x পূর্ণ সংখ্যা এবং  হলে x এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের পার্থক্য কত? 

সমাধান:
এখানে,
- 1 ≤ (3x - 4)/7 ≤ 5
⇒ - 7 ≤ 3x - 4 ≤ 35
⇒ - 7 + 4 ≤ 3x - 4 + 4 ≤ 35 + 4
⇒ - 3 ≤ 3x ≤ 39
⇒ - 1 ≤ x ≤ 13
 
∴ x এর বৃহত্তম মান = 13
এবং ক্ষুদ্রতম মান = - 1
∴ পার্থক্য = 13 - (- 1) = 13 + 1 = 14

৪২৩.
ab < 0 এবং a < b হলে নিচের কোনটি ধনাত্মক?
  1. ক
    ক) a
  2. খ
    খ) ab2
  3. গ
    গ) a2b
  4. ঘ
    ঘ) ab
ব্যাখ্যা

যেহেতু, a < b এবং ab < 0
∴ a < 0 এবং b > 0
∴ a2b সর্বদা ধনাত্মক।

৪২৪.
|5 + 2x| < 7 হলে, কোনটি সত্য?
  1. ক
    - 6 < x < 1
  2. খ
    - 9 < x < 3
  3. গ
    - 2 < x < 9
  4. ঘ
    - 3 < x < - 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |5 + 2x| < 7 হলে, কোনটি সত্য?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা: |5 + 2x| < 7
⇒ - 7 < 5 + 2x < 7
⇒ - 7 - 5 < 5 + 2x - 5 < 7 - 5
⇒ - 12 < 2x < 2
⇒ - 12/2 < 2x/2 < 2/2
⇒ - 6 < x < 1

∴ - 6 < x < 1
৪২৫.
|2x - 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    {x ∈ R: - 3 < x < 4}
  2. খ
    {x ∈ R: - 4 < x < 3}
  3. গ
    {x ∈ R: - 3 < x < 3}
  4. ঘ
    {x ∈ R: - 6 < x < 8}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2x - 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
(2x - 1) ধনাত্মক ধরে,
2x - 1 < 7
বা, 2x < 7 + 1
বা, 2x < 8
বা, x < 4

আবার, (2x - 1) ঋণাত্মক ধরে,
- (2x - 1) < 7
বা, 2x - 1 > - 7 [উভয়পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করে চিহ্ন পরিবর্তন করা হয়েছে]
বা, 2x > - 7 + 1
বা, 2x > - 6
বা, x > - 3

∴ নির্ণেয় সমাধান: {x ∈ R: - 3 < x < 4}

৪২৬.
।2x - 11। ≤ 9 অসমতাটির সমধান কোনটি? 
  1. ক
    ক) 2 ≤ x ≤ 8
  2. খ
    খ) 1 ≤ x ≤ 10
  3. গ
    গ) 3 ≤ x ≤ 11
  4. ঘ
    ঘ) 2 ≤ x ≤ 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:।2x - 11। ≤ 9 অসমতাটির সমধান কোনটি? 

সমাধান: 
।2x - 11। ≤ 9
- 9 ≤ 2x - 11  ≤ 9
- 9 + 11 ≤ 2x - 11 + 11 ≤ 9 + 11
2 ≤ 2x ≤20
2/2 ≤ 2x/2 ≤ 20/2
1 ≤ x ≤ 10
৪২৭.
|4x + 7| < 15 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    5 > x > (- 2/5)
  2. খ
    (- 11/2) < x < 2
  3. গ
    6 > x > (- 4/9)
  4. ঘ
    (- 8/3) < x < 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |4x + 7| < 15 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|4x + 7| < 15
(4x + 7) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (4x + 7) < 15
⇒ 4x + 7 - 7 < 15 - 7
⇒ 4x < 8
∴ x < 2

আবার, (4x + 7) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় -(4x + 7) < 15
⇒ (4x + 7) > - 15
⇒ 4x + 7 - 7 > - 15 - 7
⇒ 4x > - 22
∴ x > - 11/2
∴ অসমতাটির সমাধান: (- 11/2) < x < 2
৪২৮.
3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি? 
  1. ক
    [1, ∞]
  2. খ
    ( - ∞, ∞)
  3. গ
    (1, ∞)
  4. ঘ
    [3/2, ∞)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি? 

সমাধান: 
 3x - 2 > 2x - 1
⇒ 3x - 2x > - 1 + 2
⇒ x > 1

সমাধান সেট = (1, ∞)
৪২৯.
x < (x/5) + x অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?
  1. ক
    x < 0
  2. খ
    x > 5
  3. গ
    x > 0
  4. ঘ
    x < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x < (x/5) + x অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
x < (x/5) + x
⇒ 5x < x + 5x  [5 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 5x < 6x
⇒ 6x > 5x
⇒ 6x - 5x > 5x - 5x
∴ x > 0
৪৩০.
|2x + 4| ≤ 12 এর সমাধান কী?
  1. ক
    (- 8/3, 3/7]
  2. খ
    [- 14/3, 2]
  3. গ
    (2, - 3]
  4. ঘ
    [- 8, 4]
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2x + 4| ≤ 12 এর সমাধান কী?

সমাধান:
|2x + 4| ≤ 12
⇒ - 12 ≤ 2x + 4 ≤ 12
⇒ - 12 - 4 ≤ 2x + 4 - 4 ≤ 12 - 4
⇒ - 16 ≤ 2x ≤ 8
⇒ - 16/2 ≤ 2x / 2 ≤ 8/2
⇒ - 8 ≤ x ≤ 4

ব্যবধি আকারে প্রকাশ করে পাই, [- 8, 4]
অর্থাৎ, x একটি সংখ্যা যা - 8 থেকে 4 এর মধ্যে বা সমান হতে পারে

৪৩১.
যদি {(2x + 3)/5} ≥ 3 হয়, তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে?
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    10
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা

 প্রশ্ন: যদি {(2x + 3)/5} ≥ 3 হয়, তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
{(2x + 3)/5} ≥ 3
 ⇒ 2x + 3 ≥ 15 
 ⇒ 2x ≥ 12 
∴ x ≥ 6

∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান = 6

৪৩২.
যদি a, b থেকে ছোট হয়, তাহলে 1/a, 1/b থেকে-
  1. ক
    বড় হয়
  2. খ
    ছোট হয়
  3. গ
    সমান হয়
  4. ঘ
    যেকোনোটিই হতে পারে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a, b থেকে ছোট হয়, তাহলে 1/a, 1/b থেকে-

সমাধান:
যদি a, b থেকে ছোট হয়, তাহলে 1/a, 1/b থেকে বড় হয়।

যেমন:
a = 2 এবং b = 3 হলে,
তাহলে, 1/a = 1/2 = 0.50
এবং 1/b = 1/3 = 0.33

∴ 1/a > 1/b
৪৩৩.
|x + 4| = 3 হলে x এর মান কত?
  1. ক
    2, -5
  2. খ
    -7, -1
  3. গ
    3, -8
  4. ঘ
    -1, 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x + 4| = 3 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
৪৩৪.
x = 1 - t এবং y = 2t + 1 হলে নিচের কোনটি x এবং y এর সম্পর্ক?
  1. ক
    ক) 3x + y = 2
  2. খ
    খ) 2x + y = 3
  3. গ
    গ) 2x - y = 3
  4. ঘ
    ঘ) 2x + y + 3 = 0
ব্যাখ্যা

এখানে, x = 1 - t বা, t = 1 - x আবার, y = 2t + 1 
বা, y = 2(1 - x) + 1
বা, y = 2 - 2x + 1
বা, y = 3 - 2x
∴ 2x + y = 3

৪৩৫.
। x - 3। < 5 এর সমাধান -
  1. ক
    ক)  - 2 > x > 8
  2. খ
    খ)   2 < x < 8
  3. গ
    গ)  - 2 < x < 8
  4. ঘ
    ঘ) x > 8
ব্যাখ্যা
।x - 3। < 5
বা, - 5 < x - 3 < 5
বা, - 5 + 3 < x < 5 + 3
বা, - 2 < x < 8
৪৩৬.
একটি কলমের দাম 5 টাকা এবং একটি ডায়েরির দাম 10 টাকা। রানা x টি কলম এবং (x + 2) টি ডায়েরি কিনল। মোট দাম অনূর্ধ্ব 80 টাকা হলে সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে?
  1. ক
    4
  2. খ
    7
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কলমের দাম 5 টাকা এবং একটি ডায়েরির দাম 10 টাকা। রানা x টি কলম এবং (x + 2) টি ডায়েরি কিনল। মোট দাম অনূর্ধ্ব 80 টাকা হলে সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে?

সমাধান: 
কলমের দাম = 5x টাকা
এবং ডায়েরির দাম = 10(x + ২)  টাকা

∴ মোট দাম = 5x + 10(x + ২)
= 5x + 10x + 20
= 15x + 20

প্রশ্নমতে, 
15x + 20 ≤ 80
⇒ 15x ≤ 80 - 20
⇒ 15x ≤ 60
⇒ x ≤ 60/15
∴ x ≤ 4

সুতরাং x-এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান 4

অতএব, সর্বাধিক 4টি কলম কিনেছে। 

৪৩৭.
2x2 - 5x + 3 < 0 এর সমাধান -
  1. ক
    1 ≤ x ≤ 3/2
  2. খ
    x < 1 অথবা x > 3/2
  3. গ
    1 < x < 3/2
  4. ঘ
    -1 < x < -(3/2)
ব্যাখ্যা
2x2 - 5x + 3 < 0
বা, 2x2 - 3x - 2x + 3 < 0
বা, x(2x-3) - 1(2x-3) < 0
বা, (2x-3)(x-1) < 0


সংখ্যারেখা থেকে পাই,
1 < x < 3/2
৪৩৮.
− 10 < 3x + 2 ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    (- 4, 3]
  2. খ
    [- 4, 5)
  3. গ
    (- 2, 3]
  4. ঘ
    [- 2, 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: − 10 < 3x + 2 ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
− 10 < 3x + 2 ≤ 11
= - 10 - 2 < 3x + 2 - 2 ≤ 11 - 2
= - 12 < 3x ≤ 9
= (- 12/3) < (3x/3) ≤ (9/3)
= - 4 < x ≤ 3

∴ অসমতাটির সমাধান (- 4, 3]
৪৩৯.
3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    [1, ∞)
  2. খ
    [1/2, ∞)
  3. গ
    (1, ∞)
  4. ঘ
    [-1, ∞)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3x - 2 > 2x - 1
⇒ 3x - 2x > 2 - 1
∴ x > 1

∴ সমাধান সেট (1, ∞) .

a ও b বাস্তব সংখ্যা এবং a < b হলে
• (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} কে খোলা ব্যবধি (open interval) বলে।
• [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} কে বদ্ধ ব্যবধি (closed interval) বলে।
• (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} এবং [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} কে যথাক্রমে খোলা-বদ্ধ ও বদ্ধ-খোলা ব্যবধি বলে।
৪৪০.
x2 - 16 ≤ 0 এর সমাধান কোনটি?
  1. ক
    - 4 < x < 4
  2. খ
    - 4 < x ≤ 4
  3. গ
    - 4 ≤ x < 4
  4. ঘ
    - 4 ≤ x ≤ 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 16 ≤ 0 এর সমাধান কোনটি? 

সমাধান: 
x2 - 16 ≤ 0 
⇒ x2 ≤ 16
⇒ x ≤ ± 4
∴ - 4 ≤ x ≤ 4 

x এর মান বর্গমূল করলে + 4 অপেক্ষা ছোট বা সমান এবং - 4 থেকে বড় বা সমান।
৪৪১.
x2 - 7x + 10 < 0 অসমতাটির সমাধান কী?
  1. ক
    ক) 2 < x < 5
  2. খ
    খ) - 2 < x < 5
  3. গ
    গ) - 5 < x < 2
  4. ঘ
    ঘ) 3 < x < 7
ব্যাখ্যা
x2 - 7x + 10 < 0
x2 - 2x - 5x + 10 < 0
x(x - 2) - 5 (x - 2 ) < 0
∴ (x - 2)(x - 5) < 0

x2 - 7x + 10 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 2< 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 5
2 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x2 - 7x + 10 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 5
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 5
৪৪২.
বাস্তব সংখ্যায় ∣3x+2∣ ≤ 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    - 3 ≤ x ≤ 2
  2. খ
    - (7/3) ≤ x ≤ 1
  3. গ
    - 2 ≤ x ≤ 5
  4. ঘ
    - (5/3) ≤ x ≤ 3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় ∣3x+2∣ ≤ 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|3x + 2| ≤ 5 
⇒ - 5 ≤ 3x + 2 ≤ 5 
⇒ - 5 - 2 ≤ 3x + 2 - 2 ≤ 5 - 2 
⇒ - 7 ≤ 3x ≤ 3 
⇒ - (7/3) ≤ x ≤ 1

৪৪৩.
x > y এবং z < 0, হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) xz > yz
  2. খ
    খ) z/x < z/y
  3. গ
    গ) x/z > y/z
  4. ঘ
    ঘ) xz < yz
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x > y এবং z < 0, হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x > y ...…..... (1)
z < 0 ............ (2)
(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা।
(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz
৪৪৪.
|x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    - 15
  3. গ
    - 24
  4. ঘ
    - 11
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

 সমাধান:
|x + 3| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
⇒ - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
⇒ - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 11

৪৪৫.
নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে? 
  1. ক
    b2 - 4ac > 0
  2. খ
    b2 - 4ac < 0
  3. গ
    b2 - 4ac = 0
  4. ঘ
    b2 - 4ac একটি পূর্ণবর্গ হলে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে? 

সমাধান: 
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি: 
1. যদি b2 - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b2 - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b2 - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b2 - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।
৪৪৬.
সমাধান করুনঃ |3 - x| > 7
  1. ক
    ক) x > - 4 অথবা x > 10
  2. খ
    খ) x < - 4 অথবা x < 10
  3. গ
    গ) x < - 4 অথবা x > - 10
  4. ঘ
    ঘ) x < - 4 অথবা x > 10
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ সমাধান করুনঃ |3 - x| > 7

সমাধানঃ
এখন, (3 - x) > 0 হলে প্রদত্ত অসমতা, 3 - x > 7
বা, - x > 7 - 3
বা,  - x > 4
বা, x < - 4   [ -1 দ্বারা গুণ করে ]

আবার, (3 - x) < 0 হলে প্রদত্ত অসমতা, – (3 - x ) > 7
বা, 3 − x < - 7  [ -1 দ্বারা গুণ করে]
বা, - x < - 7 - 3
বা, - x < - 10
বা, x > 10

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < - 4 অথবা x > 10
৪৪৭.
5x - 3 ≤ 12 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    x ≤ 3
  2. খ
    x ≥ 2
  3. গ
    x ≥ 3
  4. ঘ
    x ≤ 5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5x - 3 ≤ 12 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 5x - 3 ≤ 12
⇒ 5x - 3 + 3 ≤ 12 + 3
⇒ 5x ≤ 15
⇒ x ≤ 15/5
∴ x ≤ 3

৪৪৮.
x, y এবং z তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা। যদি x < y < z এবং y > 2 হয় তবে নিচের কোনটি অবশ্যই ভুল?
  1. ক
    xy - z > 0
  2. খ
    xyz > 0
  3. গ
    y - xz > 0
  4. ঘ
    ক ও গ উভয়ই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x, y এবং z তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা। যদি x < y < z এবং y > 2 হয় তবে নিচের কোনটি অবশ্যই ভুল?

সমাধান:
x < y < z
ধরি, x = 2, y = 3 এবং z = 4
তাহলে,
ক) xy - z > 0 ⇒ 2 × 3 - 4 > 0 ⇒ 2 > 0; যা সঠিক।
খ) xyz > 0 ⇒ 2 × 3 × 4 > 0 ⇒ 24 > 0; যা সঠিক।
গ) y - xz > 0 ⇒ 3 - 2 × 4 > 0 ⇒ - 5 > 0; যা অবশ্যই ভুল। [- 5 < 0]
৪৪৯.
যদি -2 <= x <= 2 and 3 <= y <= 8 তবে কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) 1 <= y-x <= 10
  2. খ
    খ) 1 <= y-x <= 5
  3. গ
    গ) 5 <= y-x <= 6
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

এখানে -2<= x <=2……. (1)
and 3<= y <=8………..(2)
(2)-(1) হতে পাই, 5 <= y - x <= 6.

৪৫০.
- 8 < 3 - x < - 2 কে পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করুন:
  1. ক
    |8 - x| > - 3
  2. খ
    |x - 8| < 3
  3. গ
    |3 - x| > - 8
  4. ঘ
    |3 - x| < - 2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 8 < 3 - x < - 2 কে পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করুন:

সমাধান: 
দেওয়া অসমতা, 
- 8 < 3 - x < - 2
⇒ - 8 < 3 - x < - 2
⇒ - 8 - 3 < - x < - 2 - 3
⇒ - 11 < - x < - 5
⇒ 11 > x > 5  ; [সবদিকে - 1 দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যাবে] 
⇒ 5 < x < 11
⇒ 5 - 8 < x - 8 < 11 - 8 ; [এই ব্যবধানের মধ্যবিন্দু হলো = (5 + 11)/2 = 8] 
⇒ - 3 < x - 8 < 3
∴ |x - 8| < 3

৪৫১.
। 3x + 2 । < 7 অসমতাটির সমাধান কত ? 
  1. ক
    ক) - 2 < x < (2/3) 
  2. খ
    খ) 3 < x < (- 5/3) 
  3. গ
    গ) - 3 < x < (5/3) 
  4. ঘ
    ঘ) - 2 < x < (1/5) 
ব্যাখ্যা
। 3x + 2 । < 7
- 7 < 3x + 2  < 7
- 7 - 2 < 3x + 2 - 2 < 7 - 2
- 9 < 3x < 5 
(- 9/3) < (3x/3) < (5/3)
- 3 < x < (5/3) 
৪৫২.
- 1 < x < 5 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-
  1. ক
    |x - 2| < 3
  2. খ
    |x + 2| < 3
  3. গ
    |x - 3| < 2
  4. ঘ
    |x + 3| < 2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 1 < x < 5 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
⇒ - 1 < x < 5
⇒ - 1 - 2 < x - 2 < 5 - 2
⇒ - 3 < x - 2 < 3
⇒ |x - 2| < 3

∴ সমাধান: |x - 2| < 3

৪৫৩.
Ιx - 2Ι ≤ 5 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    - 3
  3. গ
    - 1/2
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: Ιx - 2Ι ≤ 5 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
Ιx - 2Ι ≤ 5
বা, - 5 ≤ x - 2 ≤ 5 
বা, - 5 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 5 + 2 
বা, - 3 ≤ x ≤ 7 
∴ x -এর সর্বনিম্ন মান = - 3
৪৫৪.
-3 ≤ x ≤ 3 এবং -4 ≤ y ≤ 4 হলে, নিচের কোনটি x + y এর মান হতে পারে?
  1. ক
    ক) -10
  2. খ
    খ) -8
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা

-3 ≤ x ≤ 3.......(1)
-4 ≤ y ≤ 4.......(2)
(1) নং + (2) নং দ্বারা পাই
-7 ≤ x + y ≤ 7

৪৫৫.
a ≤ (a/2) + 3 এর সমাধান কত?
  1. ক
    a ≤ 2
  2. খ
    a ≤ 1
  3. গ
    a ≤ 6
  4. ঘ
    a ≤ 3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a ≤ (a/2) + 3 এর সমাধান কত?

সমাধান:
a ≤ (a/2) + 3
⇒ 2a ≤ 2{(a/2) + 3}
⇒ 2a ≤ a + 6
⇒ 2a - a ≤ a + 6 - a
⇒ a ≤ 6

৪৫৬.
For which values of x is the value of (x2 - 6x + 8) negative ?
  1. ক
    ক) 2 < x < 4
  2. খ
    খ) x < 4
  3. গ
    গ) 8 > x > 6
  4. ঘ
    ঘ) x > 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: For which values of x is the value of (x2 - 6x + 8) negative ?

সমাধান: 
x2 - 6x + 8 < 0
x2 - 4x - 2x + 8 < 0
x(x - 4) - 2(x - 4) < 0
(x - 4)(x - 2) < 0

x2 - 6x + 8 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 4 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 4 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 4
2 এর চেয়ে ছোট এবং 4 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x2 - 6x + 8  < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 4 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 4 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 4
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 4 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 4
৪৫৭.
{1/।1 - 2a।} ≥ 5 এর সমাধান কোনটি?
  1. ক
    - 2 ≤ a ≤ 1
  2. খ
    - 2 ≤ a ≤ 5
  3. গ
    - 3 ≤ a ≤ 2
  4. ঘ
    (2/5) ≤ a ≤ (3/5)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/।1 - 2a। ≥ 5 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
1/।1 - 2a। ≥ 5
⇒ 1 - 2a ≤ 1/5
ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
1 - 2a ≤ 1/5
⇒ 1 - 2a - 1 ≤ - 1 + (1/5)
⇒ - 2x ≤ (- 5 + 1)/5
⇒ - 2a ≤ - 4/5
⇒ 2a ≥ 4/5
⇒ a ≥ 2/5
⇒ 2/5 ≤ a

 ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
- (1 - 2a) ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2a ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2a + 1 ≤ 1 + (1/5)
⇒ 2a ≤ (5 + 1)/5
⇒ 2a ≤ 6/5
⇒ a ≤ 3/5

নির্ণেয় সমাধান = (2/5) ≤ a ≤ (3/5)

৪৫৮.
- 5 <x<7 রাশি এর পরম মান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি পাওয়া যাবে?
  1. ক
    ক) |x - 1|< 6
  2. খ
    খ) |x - 1|< 8
  3. গ
    গ) |x - 2|< 6
  4. ঘ
    ঘ) |x - 1|< 10
ব্যাখ্যা

(- 5 + 7)/2 = 1
∴ - 5 - 1<x - 1<7 - 1
⇒ -6 <x -1<6
∴ |x -1|<6

৪৫৯.
যদি x² = 68 হয়, তাহলে কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) -9 < x < -8
  2. খ
    খ) -8 < x < -7
  3. গ
    গ) -8 < x < 8
  4. ঘ
    ঘ) 9 < x < 10
ব্যাখ্যা
x² = 68
x = ±8.24
x এর মান ধনাত্মক 8.24 থেকে ঋনাত্মক 8.24 পর্যন্ত। সেই অনুযায়ী এর সঠিক মান হয় -9 < x < -8.
৪৬০.
2(x + 3) ≥ 10 অসমতাটির সমাধান সেট কত?
  1. ক
    (- ∞, 2]
  2. খ
    [2, 5]
  3. গ
    [2, ∞)
  4. ঘ
    (- ∞, ∞) 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2(x + 3) ≥ 10 অসমতাটির সমাধান সেট কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2(x + 3) ≥ 10
⇒ x + 3 ≥ 10/2
⇒ x + 3 ≥ 5
⇒ x + 3 - 3 ≥ 5 - 3 ; [উভয় পাশ থেকে 3 বিয়োগ করি]
∴ x ≥ 2

সমাধান সেট = [2, ∞)

৪৬১.
পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে 1 < x < 11 অসমতাটি প্রকাশ করলে কোনটি পাওয়া যায়?
  1. ক
    |x + 6| < 5
  2. খ
    |x + 4| < 6
  3. গ
    |x - 5| < 6
  4. ঘ
    |x - 6| < 5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে 1 < x < 11 অসমতাটি প্রকাশ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 < x < 11

এখানে,
1 < x < 11 অসমতাটি মধ্যবিন্দু = (1 + 11)/2
= 12/2
= 6

এখন, প্রদত্ত অসমতার প্রত্যেক পক্ষ হতে 6 বিয়োগ করে পাই,
1 < x < 11
⇒ 1 - 6 < x - 6 < 11 - 6
⇒ - 5 < x - 6 < 5
⇒ |x - 6| < 5

৪৬২.
1/।1 - 2x। ≥ 5  এর সমাধান হলো-
  1. ক
    ক) (2/3) ≤ x ≤ (5/3)
  2. খ
    খ) (1/5) ≤ x ≤ (2/5)
  3. গ
    গ) (2/5) ≤ x ≤ (3/5)
  4. ঘ
    ঘ) (1/3) ≤ x ≤ (5/3)
ব্যাখ্যা
1/।1 - 2x। ≥ 5
।1 - 2x। ≤ 1/5

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
1 - 2x ≤ 1/5
1 - 2x - 1 ≤ - 1 + 1/5
- 2x ≤ (- 5 + 1)/5
- 2x ≤ - 4/5
2x ≥ 4/5
x ≥ 2/5
2/5 ≤ x

ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই, 
- (1 - 2x) ≤ 1/5
- 1 + 2x ≤ 1/5 
- 1 + 2x + 1 ≤ 1 + 1/5
2x ≤ (5 + 1)/5
2x ≤ 6/5
x ≤ 3/5
নির্ণেয় সমাধান = (2/5) ≤ x ≤ (3/5)
৪৬৩.
∣x - 6∣ > 7 এর সমাধান হলো-
  1. ক
    x > 11 অথবা x < - 3
  2. খ
    x > 13 অথবা x < - 1
  3. গ
    - 1 < x < 15
  4. ঘ
    x < 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∣x - 6∣ > 7 এর সমাধান হলো-

সমাধান:
∣x - 6∣ > 7

এখন,
(x - 6) ধনাত্মক হলে,
x - 6 > 7
⇒ x > 7 + 6
⇒ x > 13

আবার,
(x - 6) ঋণাত্মক হলে,
- (x - 6) > 7
⇒ x - 6 < - 7
⇒ x < - 7 + 6
∴ x < - 1

∴ নির্ণেয় সমাধান: x > 13 অথবা x < - 1.
৪৬৪.
পুত্রের বয়স মায়ের বয়সের এক তৃতীয়াংশ। পিতা মায়ের চেয়ে 6 বছরের বড়। তিনজনের বয়সের সমষ্টি অনুর্ধ্ব 90 বছর। পিতার বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।
  1. ক
    ক) পিতার বয়স ≤ 38 বছর 
  2. খ
    খ) পিতার বয়স ≤ 40 বছর 
  3. গ
    গ) পিতার বয়স ≤ 42 বছর 
  4. ঘ
    ঘ) পিতার বয়স ≤ 46 বছর 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পুত্রের বয়স মায়ের বয়সের এক তৃতীয়াংশ। পিতা মায়ের চেয়ে 6 বছরের বড়। তিনজনের বয়সের সমষ্টি অনুর্ধ্ব 90 বছর। পিতার বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।


সমাধানঃ 
মনেকরি
পিতার বয়স = x বছর 
মাতার বয়স = (x - 6) বছর 
পুত্রের বয়স =  (x - 6)/3 বছর 

প্রশ্নমতে 
x + x - 6 + (x - 6)/3 ≤ 90
(3x + 3x - 18 + x - 6)/3 ≤ 90
(7x - 24)/3 ≤ 90
7x - 24 ≤ 270
7x - 24 + 24 ≤  270 + 24
7x ≤ 294
7x/7  ≤ 294/7
x ≤ 42 

পিতার বয়স ≤ 42 বছর
৪৬৫.
x2 - 5x + 6 < 0 হলে -
  1. ক
    ক) x < 2
  2. খ
    খ) 2 < x < 3
  3. গ
    গ) - 3 < x < - 2
  4. ঘ
    ঘ) x < 3
ব্যাখ্যা
x2 - 5x + 6 < 0
∴ (x - 2)(x - 3) < 0

x2 - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x2 - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 3
৪৬৬.
4 - 3x > 10 অসমতার সমাধান কোনটি?
  1. ক
    x > 2
  2. খ
    x ≤ 4
  3. গ
    x < - 2
  4. ঘ
    x ≥ - 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 - 3x > 10 অসমতার সমাধান কোনটি? 

সমাধান: 
প্রদত্ত অসমতা টি হলো
= 4 - 3x > 10
= - 3x > 10 - 4 
= - 3x > 6 
= 3x < - 6 [ অসমতার উভয়পক্ষকে - 1 দ্বারা গুন করে ]
= x < - (6/3)
= x < - 2
৪৬৭.
x2 - 13x + 42 < 0 হলে -
  1. ক
    ক) 5 < x < 7
  2. খ
    খ) 4 < x < 6
  3. গ
    গ) 6 < x < 7
  4. ঘ
    ঘ) 2 < x < 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 13x + 42 < 0 হলে -

সমাধান: 
x2 - 13x + 42 < 0
x2 - 6x - 7x + 42< 0
x(x - 6) - 7 (x - 6) < 0
∴ (x - 6)(x - 7) < 0

x2 - 13x + 42 < 0 সত্য হবে যদি x - 6 < 0 এবং x - 7 > 0 হয়।
এখন, x - 6 < 0 এবং x - 7 > 0
অর্থাৎ,  x < 6 এবং x > 7
6 এর চেয়ে ছোট এবং 7 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x2 - 13x + 42 < 0 সত্য হবে যদি x - 6 > 0 এবং x - 7 < 0 হয়।
এখন,  x - 6 > 0 এবং x - 7 < 0
অর্থাৎ x > 6 এবং x <7
x এর মান 6 এর চেয়ে বড় এবং7 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 6 < x < 7
৪৬৮.
|x - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?
  1. ক
    m = 1, n = 10
  2. খ
    m = 4, n = 40
  3. গ
    m = 3, n = 30
  4. ঘ
    m = 2, n = 20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?

সমাধান: 
|x - 2| < 3
⇒ -3 < x - 2 < 3
⇒ -3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2
⇒ -1 < x < 5
⇒ -3 < 3x < 15
⇒ -3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5
∴ 2 < 3x + 5 < 20

যেখানে, m < 3x + 5 < n
∴ m = 2 এবং n = 20
 
৪৬৯.
x > y এবং z < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    xz > yz
  2. খ
    x/z > y/z
  3. গ
    z/x < z/y
  4. ঘ
    xz < yz
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x > y এবং z < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x > y 
= 1/x < 1/y 
= z/x < z/y   [উভয় পক্ষে z দ্বারা গুণ করে] 
= xz < yz
৪৭০.
বাস্তব সংখ্যায় {1/(3x - 5)} < (1/3) অসমতাটির সমাধান-
  1. ক
    - ∞ < x < 5/3
  2. খ
    8/3 < x < ∞
  3. গ
    - ∞ < x < 5/2 অথবা 8/3 < x < ∞
  4. ঘ
    - ∞ < x < 5/2 এবং 8/3 < x < ∞
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় 1/(3x - 5) < 1/3 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
1/(3x - 5) < 1/3
⇒ {1/(3x - 5)} - (1/3) < (1/3) - (1/3)
⇒ (3 - 3x - 5)/{3(3x - 5)} < 0
⇒ (8 - 3x)/(9x - 15) < 0
⇒ (8 - 3x) (9x - 15)} / {(9x - 15) (9x - 15)} < 0
⇒ {(8 - 3x) (9x - 15)} / {(9x - 15)2} < 0
⇒ (8 - 3x) (9x - 15) < 0
⇒ - 3(3x - 8) (3x - 5) < 0
⇒ (3x - 8) (3x - 5) > 0

∴ x =  x < 5/3 অথবা x > 8/3

∴ নির্ণেয় সমাধান: – ∞ < x < 5/3 অথবা 8/3 < x < ∞

[অপশনে যেহেতু  – ∞ < x < 5/3 অথবা 8/3 < x < ∞ নেই, সেহেতু 8/3 < x < ∞ অধিক গ্রহণযোগ্য উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।]
৪৭১.
পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন।
- 3 < x < 2
  1. ক
    |x + 1| < 5
  2. খ
    |x - 1| < 5
  3. গ
    |2x - 1| < 5
  4. ঘ
    |2x + 1| < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন।
- 3 < x < 2

সমাধান:
- 3 < x < 2
- 3 ও 2 এর গড় = (- 3 + 2)/2 = - 1/2

∴ - 3 + 1/2 < x + 1/2 < 2 + 1/2
⇒ - 5/2 < (2x + 1)/2 < 5/2
⇒ - 5 < 2x + 1 < 5
∴ |2x + 1| < 5
৪৭২.
x > y এবং z < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    xz > yz
  2. খ
    (x/z) > (y/z)
  3. গ
    (z/x) < (z/y)
  4. ঘ
    xz < yz
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x > y এবং z < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x > y ...…..... (1)
z < 0 ............ (2)
(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা।
(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz
৪৭৩.
6 - 2x ≥ 3x + 16 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    (- ∞, - 2)
  2. খ
    (- ∞, - 2]
  3. গ
    (- ∞, - 3)
  4. ঘ
    (- ∞, - 3]
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 - 2x ≥ 3x + 16 অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
6 - 2x ≥ 3x + 16
⇒ - 2x - 3x ≥ 16 - 6
⇒ - 5x ≥ 10
⇒ x ≤ - 2 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2]

(- ∞, - 2] বলতে বোঝায় যে, - 2 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

৪৭৪.
অসমতা সমাধান করুন: x2 - 5x + 6 < 0
  1. ক
    4 < x < 5
  2. খ
    3 < x < 8
  3. গ
    5 < x < 6
  4. ঘ
    2 < x < 3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: অসমতা সমাধান করুন: x2 - 5x + 6 < 0

সমাধান:

সমাধান:
x2 - 5x + 6 < 0
বা, x2 - 2x - 3x + 6 < 0
বা, x(x - 2) - 3(x - 6) < 0
∴ (x - 2)(x - 3) < 0

x2 - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x2 - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 3


৪৭৫.
5(3 - 2y) ≤ 3(4 - 3y) হলে-
  1. ক
    y ≥ 1
  2. খ
    y ≥ 2
  3. গ
    y ≥ 3
  4. ঘ
    y ≥ 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 (3 - 2y) ≤ 3 (4 - 3y) হলে-

সমাধান: 
5 (3 - 2y) ≤ 3 (4 - 3y)
⇒ 15 - 10y ≤ 12 - 9y 
⇒ 15 - 12 ≤ 10y - 9y 
⇒ 3 ≤ y
∴ y ≥ 3
৪৭৬.
x > y এবং z < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    xz > yz
  2. খ
    x/z > y/z
  3. গ
    z/x < z/y
  4. ঘ
    xz < yz
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x > y এবং z < 0, হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x > y ...…..... (1)
z < 0 ............ (2)
(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা।
(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz
৪৭৭.
x - 11 < 4x + 1 হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    x < - 4
  2. খ
    x > 4
  3. গ
    x < 4
  4. ঘ
    x > - 4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 11 < 4x + 1 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
x - 11 < 4x + 1
⇒ - 11 - 1 < 4x - x
⇒ - 12 < 3x
⇒ - 4 < x
∴ x > - 4

৪৭৮.
3x - 5 < 13 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    x > 6
  2. খ
    x < 6
  3. গ
    x > 5
  4. ঘ
    x < 18
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 5 < 13 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 3x - 5 < 13
⇒ 3x < 13 + 5
⇒ 3x < 18
⇒ x < 18/3
∴ x < 6

৪৭৯.
x2 - 17x + 72 < 0 অসমতাটির সমাধান হলো-
  1. ক
    ক) 7 < x < 9
  2. খ
    খ) 8 < x < 10
  3. গ
    গ) 8 < x < 9
  4. ঘ
    ঘ) 5 < x < 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 17x + 72 < 0 অসমতাটির সমাধান হলো-

সমাধান: 
x2 - 17x + 72 < 0 
x2 - 8x - 9x + 72 < 0 
x(x - 8) - 9(x - 8) < 0 
(x - 8)(x - 9) < 0

অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 8 > 0 এবং x - 9 < 0 হয়।
x - 8 > 0
বা, x > 8

x - 9 < 0
বা, x < 9
x > 8 এবং x < 9অর্থাৎ x এর মান 8 এর চেয়ে বড় এবং 9 এর চেয়ে ছোট হবে।
অসমতাটি সত্য হবে যদি 8 < x <9 হয়।
অসমতাটির সমাধানঃ 8 < x < 9

আবার,
অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 8 < 0 এবং x - 9 >0 হয়।
x - 8 < 0
বা, x < 8

x - 9 > 0
বা, x > 9
x < 8 এবং x > 9 অর্থাৎ  8 এর চেয়ে ছোট এবং 9 এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা পাওয়া অসম্ভব।
সুতরাং অসমতাটির সমাধানঃ 8 < x < 9
৪৮০.
- 3 < x < 11 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে? 
  1. ক
     |x - 4| < 7
  2. খ
    |x + 2| < 6
  3. গ
    |x + 4| < 6
  4. ঘ
    |x + 1| > 8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 3 < x < 11 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে? 

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = {11 + (- 3)}/2
= 8/2
= 4

এখন,
- 3 < x < 11
⇒ - 3 - 4 < x - 4 < 11 - 4
⇒ - 7 < x - 4 < 7
⇒ |x - 4| < 7

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 4| < 7

৪৮১.
|2x - 3| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    - 2 < x < 3
  2. খ
    - 4 < x < 6
  3. গ
    - 2 < x < 5
  4. ঘ
    - 2 < x < 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |2x - 3| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
(2x - 3) অঋণাত্মক হলে, 
2x - 3 < 7 
⇒ 2x - 3 + 3 < 7 + 3
⇒ 2x < 10
⇒ x < 5

আবার, (2x - 3) ঋণাত্মক হলে, 
- (2x - 3) < 7 
⇒ (2x - 3) > - 7
⇒ 2x - 3 + 3 > - 7 + 3
⇒ 2x >- 4
⇒ x > - 2

∴ নির্ণেয় অসমতা  - 2 < x < 5
৪৮২.
- 7 < x < - 1 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করলে কোনটি হয়?
  1. ক
    |x + 6| < 3
  2. খ
    |x + 1| < 7
  3. গ
    |x + 7| < 3
  4. ঘ
    |x + 4| < 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 7 < x < - 1 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করলে কোনটি হয়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
- 7 < x < -1
⇒ - 3 < x + 4 < 3   [ উভয়পাশে 4 যোগ করে পাই]
⇒ |x + 4| < 3
৪৮৩.
|x - 4| ≤ 5 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 2x + 3 ≤ q হবে?
  1. ক
     p = - 2 এবং q = 25
  2. খ
     p = 1 এবং q = 21
  3. গ
     p = - 3 এবং q = 22
  4. ঘ
     p = 4 এবং q = 19
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x - 4| ≤ 5 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 2x + 3 ≤ q হবে?

সমাধান:
|x - 4| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ x - 4 ≤ 5
⇒ - 5 + 4 ≤ x - 4 + 4 ≤ 5 + 4
⇒ - 1 ≤ x ≤ 9
⇒ - 2 ≤ 2x ≤ 18
⇒ - 2 + 3 ≤ 2x + 3 ≤ 18 + 3
⇒ 1 ≤ 2x + 3 ≤ 21

যেখানে, p ≤ 2x + 3 ≤ q
∴ p = 1 এবং q = 21
৪৮৪.
3x + 2 > 4x - 5 এর সমাধান সেট কত?
  1. ক
    S = {x ∈ R : x < 7}
  2. খ
    S = {x ∈ R : x > 7}
  3. গ
    S = {x ∈ R : x = 8}
  4. ঘ
    S = {x ∈ R : x < 11}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x + 2 > 4x - 5 এর সমাধান সেট কত?

সমাধান:
3x + 2 > 4x - 5
⇒ 3x + 2 + 5 > 4x - 5 + 5 [উভয় পক্ষে 5 যোগ করে পাই]
⇒ 3x + 7 > 4x
⇒ 3x + 7 - 3x > 4x - 3x [উভয় পক্ষে (-3x) যোগ করে পাই]
⇒ x < 7

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট: S = {x ∈ R: x < 7}
৪৮৫.
1 - 2x ≤ 3 এর সমাধান - 
  1. ক
    ক) x ≥ - 1
  2. খ
    খ) x ≥ 1
  3. গ
    গ) x ≥ - 2
  4. ঘ
    ঘ) x ≥ 2
ব্যাখ্যা
1 - 2x ≤ 3 
বা, - 2x ≤ 3 - 1 
বা, - 2x ≤ 2 
বা, 2x ≥ - 2 [ উভয়পক্ষকে - 1 দ্বারা গুণ করে]
বা, x ≥ - 2/2
∴ x ≥ - 1
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধানঃ x ≥ - 1

৪৮৬.
|x + 2| = |x - 1| হলে x -এর মান কত? 
  1. ক
    - 1
  2. খ
    2
  3. গ
    - 1/2
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 2| = |x - 1| হলে x -এর মান কত? 

সমাধান: 
|x + 2| = |x - 1|
বা,  |x + 2|2 = |x - 1|2    [|a|2 = a2]
বা, (x + 2)2 = (x - 1)2 
বা, x2 + 4x + 4 = x2 - 2x + 1 
বা, 6x = - 3 
বা, x = - 3/6 
∴ x = - 1/2 

৪৮৭.
|x - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?
  1. ক
    m = 4, n = 40
  2. খ
    m = 3, n = 30
  3. গ
    m = 2, n = 20
  4. ঘ
    m = 1, n = 10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?

সমাধান: 
|x - 2| < 3
⇒ -3 < x - 2 < 3
⇒ -3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2
⇒ -1 < x < 5
⇒ -3 < 3x < 15
⇒ -3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5
∴ 2 < 3x + 5 < 20

যেখানে, m < 3x+5 < n
∴ m = 2 এবং n = 20
৪৮৮.
x2 - 5x + 6 < 0 হলে- 
  1. ক
    x < 3
  2. খ
    2 < x < 3
  3. গ
    - 3 < x < 3
  4. ঘ
    2 > x > 3
ব্যাখ্যা
x2 - 5x + 6 < 0
বা, (x - 2)(x - 3) < 0
অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < হয়।           
x - 2 > 0
বা, x > 2
x - 3 < 0
বা, x < 3
x > 2 এবং x < 3 অর্থাৎ x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট হবে।
অসমতাটি সত্য হবে যদি 2 < x < 3 হয়।
অসমতাটির সমাধানঃ 2 < x < 3
আবার, অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > হয়।
x - 2 < 0
বা, x < 2
x - 3 > 0
বা, x > 3
x < 2 এবং x > 3 অর্থাৎ  2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা পাওয়া অসম্ভব।
সুতরাং অসমতাটির সমাধানঃ 2 < x < 3
৪৮৯.
x - 9 > 3x + 1 এর সমাধান কত? 
  1. ক
    ক) x < - 8 
  2. খ
    খ) x < - 10 
  3. গ
    গ) x < - 7
  4. ঘ
    ঘ) x < - 5 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 9 > 3x + 1 এর সমাধান কত? 

সমাধান: 
x - 9 > 3x + 1
বা, x - 9 - 3x > 3x + 1 - 3x
বা, - 2x - 9 > 1
বা, - 2x - 9 + 9 > 1 + 9
বা, - 2x > 10
বা, - 2x/2 > 10/2
বা, - x > 5
বা, (- x)(- 1) < 5(- 1)
   x < - 5 

৪৯০.
|x - 2| ≤ 6 হলে, x-এর সর্বোচ্চ মান কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    8
  3. গ
    6
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x - 2| ≤ 6 হলে, x-এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|x - 2| ≤ 6
বা, - 6 ≤ x - 2 ≤ 6 
বা, - 6 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 6 + 2
বা, - 4 ≤ x ≤ 8 

∴ x -এর সর্বোচ্চ মান = 8

৪৯১.
5x - x2 - 6 > 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) x > 3, x < 2
  2. খ
    খ) 2 > x > 3
  3. গ
    গ) x < 2
  4. ঘ
    ঘ) 2 < x < 3
ব্যাখ্যা
5x - x2 - 6 > 0
বা, - x2 + 5x - 6 > 0
বা, - ( x2 - 5x + 6) > 0
বা, x2 - 5x + 6 < 0
∴ (x - 2)(x - 3) < 0
5x - x2 - 6 > 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।
আবার, 5x - x2 - 6 > 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  
সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 3
৪৯২.
m বাস্তব সংখ্যা এবং 5m - 2 > - 12  হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    m ∈ (2, ∞)
  2. খ
    m ∈ (2, - 2)
  3. গ
    m ∈ (- 2, ∞)
  4. ঘ
    m ∈ (- 3, ∞)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m বাস্তব সংখ্যা এবং 5m - 2 > - 12  হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
5m - 2 > - 12
⇒ 5m > - 12 + 2
⇒ 5m > - 10
⇒ m > - (10/5)
∴ m > - 2

∴ সঠিক উত্তর: m ∈ (- 2, ∞)

৪৯৩.
4x + 4 > 16 এর সমাধান সেট -
  1. ক
    ক) { x ∈ R : x < 3 }
  2. খ
    খ) { x ∈ R : x > - 3 }
  3. গ
    গ) { x ∈ R : x > 3 }
  4. ঘ
    ঘ) { x ∈ R : x < - 3 }
ব্যাখ্যা
4x + 4 > 16 
⇒ 4x > 16 - 4
⇒ 4x > 12
⇒ x > 3
নির্ণেয় সমাধান সেট = { x ∈ R : x > 3 }
৪৯৪.
|y - 3| ≤ 7 হলে, y এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    - 4
  4. ঘ
    - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |y - 3| ≤ 7 হলে, y এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|y - 3| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ y - 3 ≤ 7
⇒ - 7 + 3 ≤ y - 3  + 3 ≤ 7 + 3
⇒ - 4 ≤ y ≤ 10

∴ y এর সর্বনিম্ন মান = - 4
৪৯৫.
|x - 4| < 5 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 5x + 7 < n হবে?
  1. ক
    m = 2 এবং n = 52
  2. খ
    m = 3 এবং n = 60
  3. গ
    m = 4 এবং n = 40
  4. ঘ
    m = 1 এবং n = 30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x - 4| < 5 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 5x + 7 < n হবে?

সমাধান:
|x - 4| < 5
⇒ - 5 < x - 4 < 5
⇒ - 5 + 4 < x - 4 + 4 < 5 + 4
⇒ - 1 < x < 9
⇒ - 5 < 5x < 45
⇒ - 5 + 7 < 5x + 7 < 45 + 7
∴ 2 < 5x + 7 < 52

m < 5x + 7 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = 2 এবং n = 52
৪৯৬.
Ιx - 2Ι > 1-এর সমাধান সেট-
  1. ক
    {x : x > 3} ∪ {x : x <-1}
  2. খ
    {x : x > 3} ∪ {x : x <1}
  3. গ
    {x : x > 3}
  4. ঘ
    {x : 1 < x < 3}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: Ιx - 2Ι > 1-এর সমাধান সেট-

সমাধান:
দেওয়া আছে, |x - 2| > 1

এখন,
|x - 2| > 1 হলে:
x - 2 > 1 অথবা x - 2 < -1
⇒ x > 1 + 2 অথবা x < - 1 + 2
⇒ x > 3 অথবা x < 1
তাহলে সমাধান সেট হবে: {x : x > 3} ∪ {x : x < 1}
৪৯৭.
|2x - 3| < 7 এর সমাধান কোনটি?
  1. ক
    - 2 < x < 5
  2. খ
    2 < x < 5
  3. গ
    1 < x < 5
  4. ঘ
    3 < x < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |2x - 3| < 7 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|2x - 3| < 7
⇒ - 7 < 2x - 3 < 7
⇒ - 7 + 3 < 2x < 7 + 3
⇒ - 4 < 2x < 10
∴ - 2 < x < 5
৪৯৮.
a, b, c তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা। যদি a > b > c এবং b < 5 হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই ভুল?
  1. ক
    a - b > 0
  2. খ
    abc > 0
  3. গ
    a - c < 0
  4. ঘ
    a + b > c
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a, b, c তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা। যদি a > b > c এবং b < 5 হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই ভুল?

সমাধান:
a > b > c এবং b < 5 
 ধরি, a = 4, b = 3 এবং c = 2 

ক) a - b > 0
⇒ 4 - 3 > 0 ⇒ 1 > 0 ; যা সঠিক।

খ) abc > 0
⇒ 4 × 3 × 2 = 24 > 0 ; যা সঠিক।

গ) a - c < 0
⇒ 4 - 2 < 0 ⇒ 2 < 0 ; যা ভুল। যেহেতু a > c, তাই a - c এর মান সবসময় ধনাত্মক হবে। এই উক্তিটি অবশ্যই ভুল।

ঘ) a + b > c
⇒ 4 + 3 > 2 ⇒ 7 > 2 ; যা সঠিক।

৪৯৯.
8 < x < 16 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?
  1. ক
    |x - 10| < 4
  2. খ
    |x - 12| < 5
  3. গ
    |x - 14| < 6
  4. ঘ
    |x - 12| < 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 < x < 16 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (8 + 16)/2
= 24/2
= 12

এখন,
8 < x < 16
⇒ 8 - 12 < x - 12 < 16 - 12 [উভয়পক্ষ থেকে 12 বিয়োগ করে]
⇒ - 4 < x - 12 < 4
⇒ |x - 12| < 4

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 12| < 4
৫০০.
5x - 2 < 2x + 13 এর সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    ( - ∞, 5)
  2. খ
    ( - ∞, 5]
  3. গ
    [3, ∞)
  4. ঘ
    (3, ∞)
ব্যাখ্যা
5x - 2 < 2x + 13
বা, 5x - 2x < 13 + 2
বা, 3x < 15
বা, x < 5
x এর মান 5 এর চেয়ে ছোট যে কোন সংখ্যা হতে পারে।
কিন্তু x এর মান 5 বা 5 এর চেয়ে বড় হতে পারে না।
কারণ  এর মান 5 বা 5 এর চেয়ে বড় হলে প্রদত্ত অসমতাটি সিদ্ধ হয় না।
সুতরাং সমাধান সেট = ( - ∞, 5)