সরল ও দ্বিপদী অসমতা

প্রশ্ন: s ≤ (s/2) + 3 এর সমাধান কত?

সমাধান:
s ≤ (s/2) + 3
⇒ 2s ≤ 2{(s/2) + 3}
⇒ 2s ≤ s + 6
⇒ 2s - s ≤ s + 6 - s
⇒ s ≤ 6

প্রশ্ন: শামীম 3 টাকা দরে x টি কলম এবং 6 টাকা দরে (x + 2) টি খাতা কিনেছে। মোট ক্রয়মূল্য অনুর্দ্ধ 93 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে? 

সমাধান: 
x টি কলমের ক্রয়মূল্য = 3x টাকা
আবার, (x + 2) টি খাতার ক্রয়মূল্য = 6(x + 2) টাকা 

প্রশ্নমতে,
3x + 6(x + 2) ≤ 93 
বা, 3x + 6x + 12 ≤ 93 
বা, 9x + 12 ≤ 93 
বা, 9x + 12 - 12 ≤ 93 - 12  [উভয়পক্ষ হতে 12 বিয়োগ করে] 
বা, 9x ≤ 81 
বা, 9x/9 ≤ 81/9  [উভয়পক্ষকে 9 দ্বারা ভাগ করে] 
∴ x ≤ 9 

∴ শামীম সর্বাধিক 9 টি কলম কিনেছে।

-5 < x-3 <5
বা, -5 + 7 < x - 3 + 7 < 5 + 7
বা, 2 < x + 4 < 12
সুতরাং, a = 2, b = 12

প্রশ্ন: 7 - 2x ≤ 3x + 12 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
7 - 2x ≤ 3x + 12
x-সম্বন্ধীয় পদগুলোকে একপাশে এবং ধ্রুবক পদগুলোকে অন্যপাশে নিয়ে যাই। 
- 2x - 3x ≤ 12 - 7
⇒ - 5x ≤ 5
উভয় পাশকে - 5 দিয়ে ভাগ করি (ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে)।
∴ x ≥ - 1

(x - 2) (x - 3) < 0 হবে যদি,
(x - 2) > 0 এবং (x - 3) < 0 হয়।
x - 2 > 0
x >2
আবার, x - 3 < 0
x < 3
∴ 2 < x < 3

প্রশ্ন: |5x + 2| ≤ 8 এর সমাধান হবে নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
|5x + 2| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ 5x + 2 ≤ 8
⇒ - 8 - 2 ≤ 5x ≤ 8 - 2
⇒ - 10 ≤ 5x ≤ 6
⇒ - 2 ≤ x ≤ (6/5)

প্রশ্ন: |x + 1| ≤ 4 হলে, a এবং b এর কোন মানের জন্য a ≤ 3x - 2 ≤ b হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
|x + 1| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 1 ≤ 4
⇒ - 4 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 4 - 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 3
⇒ - 15 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 15 - 2 ≤ 3x - 2 ≤ 9 - 2
⇒ - 17 ≤ 3x - 2 ≤ 7
যেখানে, a ≤ 3x - 2 ≤ b
∴ a = - 17 এবং b = 7

প্রশ্ন: |x + 1| < 5 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 2x - 3 < n হবে?

সমাধান:
|x + 1| < 5
⇒ - 5 < x + 1 < 5
⇒ - 5 - 1 < x + 1 - 1 < 5 - 1
⇒ - 6 < x < 4
⇒ - 12 < 2x < 8
⇒ - 12 - 3 < 2x - 3 < 8 - 3
∴ - 15 < 2x - 3 < 5

∴ m = - 15 এবং n = 5

প্রশ্ন: x² - 3x + 2 < 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
x² - 3x + 2 < 0
⇒ x² - x - 2x + 2 < 0
⇒ x(x - 1) - 2(x - 1) < 0
⇒ (x - 1)(x - 2) < 0

∴ অসমতাটির সমাধান: 1 < x < 2

x² - 5x + 6 ≥ 0
বা, x² - 3x - 2x + 6 ≥ 0
বা, x(x - 3) - 2(x - 3) ≥ 0
(x - 3)(x - 2) ≥ 0

সরলরেখা থেকে পাই
x ≤ 2 অথবা x ≥ 3

অপশন থেকে সরাসরি উত্তর পাওয়া যায়। যেমন-
৩৪ এর ক্ষেত্রে স্থান বিনিময় করলে ৪৩ পাওয়া যায়।
সুতরাং, ৪৩-৩৪ = ৯ (উত্তর)

প্রশ্ন: যদি 2x - 7 ≤ 11 হয়, তাহলে-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 2x - 7 ≤ 11
⇒ 2x − 7 + 7 ≤ 11 + 7 ; [উভয় পাশে 7 যোগ করে] 
⇒ 2x ≤ 18
⇒ x ≤ 18/2 ; [উভয় পাশে 2 দিয়ে ভাগ করে] 
∴ x ≤ 9

ক ও গ উভয়ই সঠিক হতে পারে।
তবে, ক) xy > -2 সব ক্ষেত্রে সঠিক নাও হতে পারে। যেমন, x = 10 এবং y = - 0.5
অন্যদিকে, গ) -x < 2y অপশনটি x এবং y এর সকল মানের জন্য সত্য হবে।
সঠিক উত্তরঃ গ) -x < 2y

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় বাংলা ১ম ও ২য় পত্রে রমা পেয়েছে যথাক্রমে 5x এবং 6x নম্বর এবং কুমকুম পেয়েছে 4x এবং 84 নম্বর। কোনো পত্রে কেউ 40 এর নিচে পায়নি। বাংলা বিষয়ে কুমকুম হয়েছে প্রথম এবং রমা হয়েছে দ্বিতীয়। x এর মান সম্ভাব্য অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

সমাধান: 
রমা পেয়েছে মোট (5x + 6x = 11x) নম্বর
এবং কুমকুম পেয়েছে মোট (4x + 84) নম্বর।  

প্রশ্নমতে,
5x + 6x < 4x + 84
⇒ 5x + 6x - 4x < 84
⇒ 7x < 84
⇒ x < 84/7
∴ x < 12

কিন্তু, 4x ≥ 40   ; [প্রাপ্ত সর্বনিম্ন নম্বর 40]
x ≥ 10
⇒ 10 ≤ x 

∴ 10 ≤ x < 12

প্রশ্ন: 5 - 2x ≥ 3x + 1 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5 - 2x ≥ 3x + 1
⇒ - 2x - 3x ≥ - 5 + 1
⇒ - 5x ≥ - 4
⇒ 5x ≤ 4 [অসমতার উভয়পক্ষে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হয় ]
∴ x ≤ 4/5

x + y ≥ 9......(1)
x - y ≥ 5.......(2)
(1) নং (2) নং দ্বারা পাই,
2x ≥ 14
∴ x ≥ 7

প্রশ্ন: (x/3) + (x/4) + (x/5) > 47/60 এর সমাধান- 

সমাধান:
 (x/3) + (x/4) + (x/5) > 47/60
⇒ (20x + 15x + 12x)/60 > 47/60 
⇒ 47x > 47
⇒ x > 1

∴নির্ণেয় সমাধান: x > 1

প্রশ্ন: a² - 6a + 8 < 0 হলে এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
a² - 6a + 8 < 0
⇒ a² - 4a - 2a + 8 < 0
⇒ a(a - 4) - 2(a - 4) < 0
⇒ (a - 4)(a - 2) < 0
হয়, a - 4 < 0 ⇒ a < 4
অথবা, a - 2 < 0 ⇒ a < 2

∴ নির্ণেয় সমাধান : 2 < a < 4

ab < 0 হলে,
a < 0,
b > 0
অথবা,
a > 0,
b < 0
কিন্তু a > b
∴ a > 0,
b < 0

প্রশ্ন: x² + 6x - 27 < 0 অসমতাটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
⇒ x² + 6x - 27 < 0

এখন, 
⇒ x² + 9x - 3x - 27 = 0
⇒ x(x + 9) - 3(x + 9) = 0
⇒ (x + 9)(x - 3) = 0
হয়, (x + 9) = 0
∴ x = - 9

এবং, (x - 3) = 0
∴ x = 3

অসমতাটি হলো  x² + 6x - 27 < 0 যেহেতু এটি একটি দ্বিঘাত অসমতা, এর সমাধানটি মূল দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী অঞ্চলে অবস্থিত হবে। অর্থাৎ, x এর মান - 9 এবং 3 এর মধ্যে থাকবে।  

সুতরাং, সমাধান সেট =  (- 9, 3)

বিকল্প সমাধান:
যদি x = - 10 হয়, তাহলে (- 10)² + 6(- 10) - 27  = 100 - 60 - 27 = 13 > 0
যদি x = 0 হয়, তাহলে (0)² + 6(0) - 27  = 0 - 0 - 27 = - 27 < 0
যদি x = 4 হয়, তাহলে (4)² + 6(4) - 27  = 16 + 24 - 27 = 13 > 0

সুতরাং, সমাধান সেটটি (-9, 3) এর মধ্যে অবস্থিত।

প্রশ্ন: |x - 2| < 5 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
|x - 2| < 5
⇒ 5 < x - 2 < 5
দুই পাশে 2 যোগ করা
⇒ - 5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2
∴ - 3 < x < 7

প্রশ্ন: |x - 2| < 3 হলে, a এবং b এর কোন মানের জন্য a < 2x + 7 < b হবে?

সমাধান:
|x - 2| < 3
বা, - 3 < x - 2 < 3
বা, - 3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2
বা, - 1 < x < 5
বা, - 2 < 2x < 10
বা, - 2 + 7 < 2x + 7 < 10 + 7
∴ 5 < 2x + 7 < 17

a < 2x + 7 < b এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ a = 5 এবং b = 17

প্রশ্ন: |3x + 4| < 10 এর সমাধান কী?

সমাধান:
|3x + 4| < 10
⇒ - 10 < 3x + 4 < 10
⇒ - 10 - 4 < 3x < 10 - 4
⇒ - 14 < 3x < 6
⇒ - 14/3 < x < 2

x > y এবং z ঋণাত্মক সংখ্যা হওয়ায় xz < yz হবে।

প্রশ্ন: x² - 6x + 8 < 0 হলে -

সমাধান:
x² - 6x + 8 < 0
x² - 4x - 2x + 8 < 0
x(x - 4) - 2(x - 4) < 0
∴ (x - 4)(x - 2) < 0

x² - 6x + 8 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 4 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 4 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 4
2 এর চেয়ে ছোট এবং 4 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 6x + 8 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 4 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 4 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 4
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 4 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 4

b² - 4ac = 0 হলে মূল দুইটি বাস্তব এবং সমান এবং মূলদ
b² - 4ac পূর্ণ বর্গ হলে বাস্তব এবং অসমান এবং অমূলদ
b² - 4ac < 0 হলে মূল দুইটি জটিল সংখ্যা
b² - 4ac > 0 হলে মূল দুইটি বাস্তব এবং অসমান

x² + x - 2 < 0
বা, x² + 2x - x - 2 < 0
বা, x(x + 2) - 1(x + 2) < 0
বা, (x + 2)(x - 1) < 0
∴ -2 < x < 1

x−11 < 4x+1
বা, x-11-x-1 < 4x+1-x-1
বা, -12 <3x
বা, x > -4

প্রশ্ন: |x - 4| < 7 এর সমাধান হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
|x - 4| < 7
⇒ - 7 < x - 4 < 7
⇒ - 7 + 4 < x - 4 +4 < 7 + 4
⇒ - 3 < x < 11

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় 1/(3x - 5) < 1/3 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
1/(3x - 5) < 1/3
⇒ {1/(3x - 5)} - (1/3) < (1/3) - (1/3)
⇒ (3 - 3x - 5)/{3(3x - 5)} < 0
⇒ (8 - 3x)/(9x - 15) < 0
⇒ (8 - 3x) (9x - 15)} / {(9x - 15) (9x - 15)} < 0
⇒ {(8 - 3x) (9x - 15)} / {(9x - 15)²} < 0
⇒ (8 - 3x) (9x - 15) < 0
⇒ - 3(3x - 8) (3x - 5) < 0
⇒ (3x - 8) (3x - 5) > 0

∴ x =  x < 5/3 অথবা x > 8/3

∴ নির্ণেয় সমাধান: – ∞ < x < 5/3 অথবা 8/3 < x < ∞

[অপশনে যেহেতু  – ∞ < x < 5/3 অথবা 8/3 < x < ∞ নেই, সেহেতু 8/3 < x < ∞ অধিক গ্রহণযোগ্য উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।]