লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

সরল ও দ্বিপদী অসমতা

মোট প্রশ্ন১,১৬১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

সরল ও দ্বিপদী অসমতা

PrepBank · পাতা ১ / ১২ · ১–১০০ / ১,১৬১

১.
a < b এবং c < 0 হলে নিচের কোনটি সত্য? 
  1. ক
    ক) ac > bc
  2. খ
    খ) ac < bc
  3. গ
    গ) c/a < c/b
  4. ঘ
    ঘ) a/c < b/c
ব্যাখ্যা
a < b এবং c < 0 
এখানে c একটি ঋণাত্মক সংখ্যা 
ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়।
ac > bc
২.
5 - (x/2) ≤ 3 এর সমাধান কোনটি?
  1. ক
    x < 4
  2. খ
    x ≥ 3
  3. গ
    x < 6
  4. ঘ
    x ≥ 4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 - (x/2) ≤ 3 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
5 - (x/2) ≤ 3
⇒ 5 - (x/2) - 5 ≤ 3 - 5  ; [উভয় পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে] 
⇒ - (x/2) ≤ - 2
⇒ x/2 ≥ 2   ; [এখন উভয় পক্ষকে - 2 দিয়ে গুণ করে (ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়)] 
∴ x ≥ 4

৩.
Ιx - 3Ι < 5 হলে-
  1. ক
    2 < x < 8
  2. খ
    - 2 < x < 8
  3. গ
    - 8 < x < - 2
  4. ঘ
    - 4 < x < - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: Ιx - 3Ι < 5 হলে-

সমাধান: 
Ιx - 3Ι < 5
বা, - 5 < x - 3 < 5
বা, - 5 + 3 < x - 3 + 3 < 5 + 3
∴ - 2 < x < 8
৪.
x2 - 13x + 42 < 0 হলে -
  1. ক
    6 < x < 8
  2. খ
    7 < x < 9
  3. গ
    5 < x < 9
  4. ঘ
    6 < x < 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 13x + 42 < 0 হলে -

সমাধান: 
x2 - 13x + 42 < 0
x2 - 6x - 7x + 42< 0
x(x - 6) - 7 (x - 6) < 0
∴ (x - 7)(x - 6) < 0

x2 - 13x + 42 < 0 সত্য হবে যদি x - 6< 0 এবং x - 7 > 0 হয়।
এখন, x - 6 < 0 এবং x - 7 > 0
অর্থাৎ,  x < 6 এবং x > 7
6 এর চেয়ে ছোট এবং 7 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x2 - 13x + 42 < 0 সত্য হবে যদি x - 6 > 0 এবং x - 7 < 0 হয়।
এখন,  x - 6 > 0 এবং x - 7 < 0
অর্থাৎ x > 6 এবং x <7
x এর মান 6 এর চেয়ে বড় এবং 7 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 6 < x < 7
৫.
|x - 4| ≤ 10 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    10
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x - 4| ≤ 10 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
|x - 4| ≤ 10
⇒ - 10 ≤ x - 4 ≤ 10
⇒ - 10 + 4 ≤ x - 4 + 4 ≤ 10 + 4 ; [উভয় পাশে 4 যোগ করি] 
⇒ - 6 ≤ x ≤ 14

সুতরাং x এর সম্ভাব্য মানের সীমা, x ∈ [- 6, 14]
∴ x এর সর্বোচ্চ মান হলো 14

৬.
- 5 < x < 3 এর পরম মান কত?
  1. ক
    |x + 2| < 4
  2. খ
    |x + 1| < 3
  3. গ
    |x - 1| < 4
  4. ঘ
    |x + 1| < 4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 5 < x < 3 এর পরম মান কত?

সমাধান: 
- 5 < x < 3
বা, - 5 + 1 < x + 1 < 3 + 1
বা, - 4 < x + 1 < 4
∴ |x + 1| < 4

৭.
1/।2x - 5। > 1/3 অসমতাটির সমাধান কত? 
  1. ক
    ক) 1 < x < 4
  2. খ
    খ) 3 < x < 5
  3. গ
    গ) 2 < x < 3
  4. ঘ
    ঘ) 4 < x < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1/।2x - 5। > 1/3 অসমতাটির সমাধান কত?  

সমাধান: 
1/।2x - 5। > 1/3
।2x - 5। < 3
- 3 < 2x - 5 < 3 
- 3 + 5 < 2x - 5 + 5 < 3 + 5
2 < 2x < 8
2/2 < 2x/2 < 8/2
1 < x < 4
৮.
|x - 1| ≤ 6 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m ≤ 4x + 3 ≤ n হবে?
  1. ক
    m = - 20 এবং n = 28
  2. খ
    m = -19 এবং n = 30
  3. গ
    m = -16 এবং n = 32
  4. ঘ
    m = - 17 এবং n = 31
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x - 1| ≤ 6 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m ≤ 4x + 3 ≤ n হবে?

সমাধান:
⇒ |x - 1| ≤ 6
⇒ - 6 ≤ x - 1 ≤ 6
⇒ - 6 + 1 ≤ x ≤ 6 + 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 7
⇒ - 5 × 4 ≤ 4x  ≤ 7 × 4
⇒ - 20 ≤ 4x ≤ 28
⇒ - 20 + 3 ≤ 4x + 3 ≤ 28 + 3
⇒ - 17 ≤ 4x + 3 ≤ 31 ....... (1)

এখন, (1) নং কে m ≤ 4x + 3 ≤ n এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = - 17 এবং n = 31।

৯.
6x2 - 13x + 6 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?
  1. ক
    বাস্তব ও সমান
  2. খ
    বাস্তব, অসমান ও মূলদ
  3. গ
    অবাস্তব
  4. ঘ
    বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
ব্যাখ্যা
6x2 - 13x + 6 = 0 
6x2 - 9x - 4x + 6 = 0 
3x(2x - 3) - 2(2x - 3) = 0
(2x - 3)(3x - 2) = 0
x = 2/3 , 3/2
সুতরাং, মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
১০.
বাস্তব সংখ্যায় 1/(3x - 7) < 1/5 অসমতাটির সমাধান-
  1. ক
    ক) 3 < x
  2. খ
    খ) 6 < x
  3. গ
    গ) 4 < x
  4. ঘ
    ঘ) 5 < x
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় 1/(3x - 7) < 1/5 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:  
1/(3x - 7) < 1/5
বা, 3x - 7 > 5
বা, 3x > 7 + 5
বা, 3x > 12
x > 4

অসমতাটির সমাধান: x > 4
অন্যভাবে, 4 < x
১১.
নিচের কোন চিহ্ন দিয়ে অসমতা প্রকাশ করা হয়?
  1. ক
    >
  2. খ
    <
  3. গ
    =
  4. ঘ
    ক ও খ
ব্যাখ্যা
অসমতা (Inequalities): 
- অসমতা এক ধরনের গাণিতিক বাক্যের প্রকাশ যা সংখ্যা, পরিমাপ বা গাণিতিক বাক্যের ক্রমের সম্পর্ক নির্দেশ করে। 
- গাণিতিকভাবে অসমতাকে ‘<’ ‘>’ ‘≥’ ‘≤’ ইত্যাদি সম্পর্ক প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
- অসমতার সমাধান নির্দিষ্ট কোন সংখ্যা বা মানের জন্য স্থির না থেকে সমাধানের ব্যাপ্তি নির্দেশ করে। অর্থাৎ নির্দিষ্ট সেটে বা অঞ্চলে বিদ্যমান সকল মানের জন্য অসমতা সিদ্ধ হয়।
- বীজগণিতীয় চলরাশি একাধিক মাত্রা পরিগ্রহ করে বলে বীজগণিতীয় অসমতার ক্ষেত্রে ক্ষুদ্রতর বা বৃহত্তর চিহ্নের সাথে সমান চিহ্ন জুড়ে দিয়ে বৃহত্তর সমান বোঝাতে "≥" চিহ্ন এবং ক্ষুদ্রতর বা সমান বোঝাতে "≤" চিহ্ন ব্যবহৃত হয় এরূপ অসমতাকে অপ্রকৃত অসমতা এবং "<" বা ">" চিহ্ন যুক্ত অসমতাকে প্রকৃত অসমতা বলে।
১২.
-5 < x < 3 অসমতাটি পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে কোনটি পাওয়া যায়?
  1. ক
    ক) |x + 1| < 4
  2. খ
    খ) |x + 1| ≤ 4
  3. গ
    গ) |x - 1| < 4
  4. ঘ
    ঘ) |x - 1| ≤ 4
ব্যাখ্যা

-5, 3 এর গড় = (-5 + 3)/2 = -1
এখন,
-5 < x < 3
বা, -5 + 1 < x + 1 < 3 + 1 [সকলপক্ষে -(-1) যোগ করে]
বা, -4 < x + 1 < 4
∴ |x + 1| < 4

১৩.
যদি |x - 1| = 2x হয়, তাহলে x এর মান কত?
  1. ক
    3, 1
  2. খ
    1, 2
  3. গ
    - 1, 1/3
  4. ঘ
    6, 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি |x - 1| = 2x হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
|x - 1|2 = (2x)2
বা, (x - 1)2 = (2x)2
বা, x2 - 2.x.1 + 12 = 4x2
বা, 4x2 - x2 + 2x - 1 = 0
বা, 3x2 + 2x - 1 = 0
বা, 3x2 + 3x - x - 1 = 0
বা, 3x(x + 1) - 1(x + 1) = 0
বা, (x + 1)(3x - 1) = 0
∴ x = - 1, 1/3
১৪.
যদি 0 ≤ x ≤ 4 এবং y < 6 হয় তাহলে নিচের কোনটি xy এর মান হতে পারে না?
  1. ক
    -2
  2. খ
    0
  3. গ
    6
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
y < 6 তাই y এর মান সকল ঋণাত্মক সংখ্যা এবং 6 এর চেয়ে ছোট এবং x এর মান 0, 1, 2, 3, 4, 5
তাই এই শর্তে উপরের তিনটি সংখ্যাই সম্ভব তাই 24 হওয়া সম্ভব নয়
১৫.
a ≠ 0 এবং a ধনাত্মক হলে a (x + b) < c অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    x > (c/a) - b
  2. খ
    x > b/a
  3. গ
    x < (c/a) - b
  4. ঘ
    x < a/b
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a ≠ 0 এবং a ধনাত্মক হলে a (x + b) < c অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা = a (x + b) < c
বা, {a (x + b)}/a < c/a
বা, x + b < c/a
বা, x < (c/a) - b
১৬.
নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে? 
  1. ক
    b2 - 4ac < 0
  2. খ
    b2 - 4ac > 0
  3. গ
    b2 - 4ac = 0
  4. ঘ
    b2 - 4ac পূর্ণবর্গ হলে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে? 

সমাধান: 
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি: 
1. যদি b2 - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে। 
2. যদি b2 - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে। 
3. যদি b2 - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে। 
4.  যদি b2 - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।
১৭.
যদি xyz < 0 এবং z < 0 হয় , তাহলে কোন শর্ত টি সঠিক হবে?
  1. ক
    xy > 0
  2. খ
    xy < 0
  3. গ
    xy < z
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি xyz < 0 এবং z < 0 হয় , তাহলে কোন শর্ত টি সঠিক হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, xyz < 0 
এর থেকে বোঝা যায় যে x, y ও z এর গুনফল xyz ঋণাত্মক হবে।
আবার,
যেহেতু z < 0 তাই  xy ও z এর গুনফল xyz ঋণাত্মক হওয়ার জন্য xy কে অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে। 
কারণ, ( ধনাত্মক × ঋণাত্মক ) = ঋণাত্মক  

সুতরাং সঠিক শর্ত টি হবে xy > 0
১৮.
2a + 7 >15 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    {a ∈ R: a > 5}
  2. খ
    {a ∈ R: a > 4}
  3. গ
    {a ∈ R: a > (1/2)}
  4. ঘ
    {a ∈ R: a > 8}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a + 7 >15 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
2a + 7 > 15
⇒ 2a + 7 - 7 > 15 - 7
⇒ 2a > 8
⇒ 2a/2 > 8/2
⇒ a > 4

∴ নির্ণেয় সমাধান: a > 4
সুতরাং, সমাধান সেট, S = {a ∈ R: a > 4}
১৯.
- 9 < x < 11 এর পরম মান কত?
  1. ক
    |x - 2| < 7
  2. খ
    |x - 1| < 10
  3. গ
    |x - 3| < 5
  4. ঘ
    |x - 2| < 11
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 9 < x < 11 এর পরম মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 9 + 11)/2
= 2/2
= 1

এখন,
- 9 < x < 11
⇒ - 9 - 1 < x - 1 < 11 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
⇒ - 10 < x - 1 < 10
⇒ |x - 1| < 10

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 1| < 10
২০.
| x - 3 | < 5 হলে -
  1. ক
    ক) 2 < x < 8
  2. খ
    খ) -2 < x < 8
  3. গ
    গ) -8 < x < -2
  4. ঘ
    ঘ) -4 < x < -2
ব্যাখ্যা

অঋণাত্মক ধরে, x - 3 < 5
∴ x < 8
ঋণাত্মক ধরে, - (x - 3) < 5
বা, x - 3 > -5
∴ x > -2
অর্থাৎ, -2 < x < 8

২১.
|3x - 4| < 5 এর সমাধান কোনটি?
  1. ক
    3 < x < (1/3)
  2. খ
    x < 3
  3. গ
    (- 1/3) < x < 3
  4. ঘ
    x > (- 1/3)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |3x - 4| < 5 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ |3x - 4| < 5
⇒ -5 < 3x - 4 < 5
⇒ -5 + 4 < 3x < 5 + 4
⇒ - 1 < 3x < 9
⇒ - 1/3 < x < 9/3
⇒ - 1/3 < x < 3

∴ সমাধান হলো -1/3 < x < 3

২২.
- 3 < x < 11 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে? 
  1. ক
    |x + 4| < 7
  2. খ
    |x + 2| < 6
  3. গ
    |x - 4| < 7
  4. ঘ
    |x + 1| > 8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 3 < x < 11 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = {11 + (- 3)}/2
= 8/2
= 4

এখন,
- 3 < x < 11
⇒ - 3 - 4 < x - 4 < 11 - 4
⇒ - 7 < x - 4 < 7
⇒ |x - 4| < 7

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 4| < 7

২৩.
|x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    - 11
  3. গ
    8
  4. ঘ
    - 5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 8
= - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
= - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
= - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বোচ্চ মান 5

২৪.
কোনো একটি বাস্তব সংখ্যা a এর পরম মান |a| কে কোনটি প্রকাশ করে?
  1. ক
    ক) √(a2)
  2. খ
    খ) ±√(a2)
  3. গ
    গ) −√(a2)
  4. ঘ
    ঘ) ±a
ব্যাখ্যা
a এর পরম মান সবসময়ই ধনাত্বক হবে কখনোই ঋণাত্বক হতে পারবে না। যেহেতু + বা - চিহ্ন বর্জিত বর্গমূলচিহ্ন শুধুমাত্র ধনাত্বক বর্গমূলকে নির্দেশ করে সুতরাং |a| = √a2
২৫.
|x - 2| ≤ 5 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    - 3
  2. খ
    3
  3. গ
    - 7
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x - 2| ≤ 5 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, |x| ≤ a হলে, -a ≤ x ≤ a

প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
|x - 2| ≤ 5
⇒ -5 ≤ x - 2 ≤ 5
⇒ -5 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 5 + 2 (প্রতিটি পদের সাথে 2 যোগ করে)
⇒ -3 ≤ x ≤ 7

অসমতাটি থেকে দেখা যায় যে, x এর মান -3 এর সমান বা বড় এবং 7 এর সমান বা ছোট।

∴ x এর সর্বনিম্ন মান - 3

২৬.
যদি a > b এবং a > c তাহলে কোনটি অবশ্যই 0 থেকে বড় হবে?
  1. ক
    ক) (b-c)/(b+c)
  2. খ
    খ) (c-b)/(a-b)
  3. গ
    গ) (b-c)/(b-a)
  4. ঘ
    ঘ) (b-a)/(c-a)
ব্যাখ্যা
a > b বা, 0 > b-a
a > c বা, 0 > c-a
সুতরাং, (b-a)/(c-a) > 0
২৭.
x < y < 0 হলে কোনটি বৃহত্তম-
  1. ক
    ক) x + y
  2. খ
    খ) x - y
  3. গ
    গ) x2 - y2
  4. ঘ
    ঘ) y2 - x2
ব্যাখ্যা

ধরি,
x = -5,
y = -2
∴ x2 - y2 = 25 - 4
= 21
এবং y2 - x2 = -21
x + y = -7,
x - y = -3
∴ x2 - y2 বৃহত্তম

২৮.
(a - 3)(b + 3) < 0 হলে নিচের কোনটি সত্য?
  1. ক
    a > 3, b < - 3
  2. খ
    a > 3, b > - 3
  3. গ
    a < 3, b < - 3
  4. ঘ
    a = 3, b = - 3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a - 3)(b + 3) < 0 হলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
অমিত সমীকরণটি বিশ্লেষণ করুন
(a - 3)(b + 3) <0 একটি ধনাত্মক ও একটি ঋণাত্মক হতে হবে।

সম্ভাব্য ক্ষেত্রে:
a - 3 > 0 
 ⇒  a > 3
 b + 3 <0 
 ⇒  b < - 3
a - 3 < 0 
 ⇒  a < 3
 b + 3 > 0 
 ⇒  b > - 3

অতএব,
a - 3 > 0, b + 3 < 0 
ধনাত্মক × ঋণাত্মক = ঋণাত্মক

∴ a > 3, b < - 3

২৯.
যদি b < 2 এবং 2x-3b = 0 তাহলে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য হবে?
  1. ক
    ক) x > -3
  2. খ
    খ) x > 2
  3. গ
    গ) x < 3
  4. ঘ
    ঘ) x = 2, 3
ব্যাখ্যা
b = 1, 0, -1, -2…….
2x-3(3×(-2)) = 0
X = -(9/2) (ইহা সবসময় ৩ অপেক্ষা ছোট)
৩০.
b2 − 4ac > 0 হলে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়- 
  1. ক
    শূন্য
  2. খ
    অবাস্তব
  3. গ
    বাস্তব ও সমান
  4. ঘ
    বাস্তব ও অসমান
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: b2 − 4ac > 0 হলে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়- 

সমাধান: 
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি-  
1. যদি b2 − 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে। 
2. যদি b2 − 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে। 
3. যদি b2 − 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে। 
4.  যদি b2 − 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

৩১.
{1/ Ι 2x - 5 Ι} > 1/3 এর সমাধান কোনটি? 
  1. ক
    ক) 1 < x < 6
  2. খ
    খ) 1 < x < 4
  3. গ
    গ) x < 1, x < 4
  4. ঘ
    ঘ) x > 1, x > 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {1/ Ι 2x - 5 Ι} > 1/3 এর সমাধান কোনটি? 

সমাধান: 
{1/ Ι 2x - 5 Ι} > 1/3
বা, Ι2x - 5 Ι < 3  
বা, - 3 < 2x - 5 < 3 
বা, - 3 + 5 < 2x - 5 + 5 < 3 + 5 
বা, 2 < 2x < 8 
বা, 1 < x < 4 

∴ নির্ণেয় সমাধান = 1 < x < 4
৩২.
-2x-3 > -7 অসমতাটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) {x∈R : x > 2 }
  2. খ
    খ) {x∈R : x < 2}
  3. গ
    গ) {x∈R : x > 3/2 }
  4. ঘ
    ঘ) {x∈R : x > 2/3}
ব্যাখ্যা

-2x-3 > -7
বা, -(2x +3) > -7
বা, 2x + 3 < 7
বা, 2x < 4
বা, x < 2
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান সেট = {x∈R : x < 2}

৩৩.
4x + 3 > 7x - 6 -এর সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    [5, -1/2)
  2. খ
    (- ∞, 3)
  3. গ
    (3, ∞]
  4. ঘ
    (3, ∞)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x + 3 > 7x - 6 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x + 3 > 7x - 6
⇒ 3 + 6 > 7x - 4x
⇒ 9 > 3x
⇒ 3x < 9
∴ x < 3

∴ সমাধান সেট (- ∞, 3)
৩৪.
(x + 2)(x - 3) < 0 হলে, এর সমাধান-
  1. ক
    3 > x > - 3
  2. খ
    - 2 < x < 3
  3. গ
    x < 3
  4. ঘ
    2 > x > - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + 2)(x - 3) < 0 হলে, এর সমাধান-
সমাধান:
(x + 2)(x - 3) < 0 হবে, যখন একটি ধনাত্মক  একটি ঋণাত্মক হবে।
অতএব, x + 2 ধনাত্মক ও x - 3 ঋণাত্মক হবে।

x + 2 > 0
∴ x > - 2

x - 3 < 0
∴ x < 3

∴ (x + 2)(x - 3) < 0 হলে, এর সমাধান সেট = - 2 < x < 3
৩৫.
1/( |(x - 1)| ) < 2 অসমতাটির সমাধান করুন।
  1. ক
    ক) (1/2, 3/2)
  2. খ
    খ) (- ∞, 1/2) ∪ (∞, 3/2)
  3. গ
    গ) (- ∞, 1) ∪ (∞, 2)
  4. ঘ
    ঘ) (∞, 2) ∪ (- ∞, 3/2)
ব্যাখ্যা

1/( |(x - 1)| ) < 2
ধনাত্মক হলে, 1/ (x - 1) < 2
x – 1 < 1/2
x < 3/2
ঋণাত্মক হলে,1/ - (x - 1) < 2
x – 1 > - 1/2
x > 1/2
(- ∞, 1/2) ∪ (∞, 3/2)

৩৬.
|x - 3| < 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 4 < n হবে?
  1. ক
    m = 2, n = 21
  2. খ
    m = 3, n = 26
  3. গ
    m = 1, n = 25
  4. ঘ
    m = 5, n = 24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x - 3| < 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 4 < n হবে?

সমাধান: 
|x - 3| < 4
⇒ - 4 < x - 3 < 4
⇒ - 4 + 3 < x - 3 + 3 < 4 + 3
⇒ -1 < x < 7
⇒ - 3 < 3x < 21
⇒ - 3 + 4 < 3x + 4 < 21 + 4
∴ 1 < 3x + 4 < 25

যেখানে, m < 3x + 4 < n
∴ m = 1 এবং n = 25
৩৭.
0 < x < 2 এবং y > 0 হলে নিচের কোনটি xy এর মান -
  1. ক
    ক) অর্নিণেয়
  2. খ
    খ) -2
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা

ধরি,
x = 1/2, y = 2
∴ xy = 1/2.2 = 1

৩৮.
  1. ক
    ক) m < 1
  2. খ
    খ) m = 1
  3. গ
    গ) m > 1
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
৩৯.
ax² + bx + c = 0 এবং a, b, c বাস্তব সংখ্যা। সমীকরণের b² -4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে মূলদ্বয় হবে -
  1. ক
    ক) বাস্তব, সমান ও মূলদ
  2. খ
    খ) বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
  3. গ
    গ) অবাস্তব ও সমান
  4. ঘ
    ঘ) অবাস্তব, অসমান ও মূলদ
ব্যাখ্যা
ax² + bx + c = 0 এবং a, b, c বাস্তব সংখ্যা। সমীকরণের b² -4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে মূলদ্বয় হবে - বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
৪০.
যদি 0<x<1 হয় তাহলে নিচের কোনটি অপর তিনটি হতে বড়?
  1. ক
    ক) 1/x
  2. খ
    খ) 1/x2
  3. গ
    গ) x2
  4. ঘ
    ঘ) x3
ব্যাখ্যা

0<x<1 অর্থাৎ, স্পষ্টতই x একটি ধনাত্মক দশমিক সংখ্যা।
তাই, x = 0.1 ধরে পাই,
ক) 1/x = 1/0.1 = 10
খ) 1/x2 = 1/(0.1)2 = 100
গ) x2 = (0.1)2 = 0.01
ঘ) x3 = (0.1)3 = 0.001
সুতরাং উপরের অপশনগুলো থেকে এটাই স্পষ্ট যে 1/x2 হলো সবচেয়ে বড় সংখ্যা।

৪১.
x > y এবং xy < 0 হলে নিচের কোনটি অবশ্যই ধনাত্মক?
  1. ক
    ক) y - x
  2. খ
    খ) x - y
  3. গ
    গ) y
  4. ঘ
    ঘ) x/y
ব্যাখ্যা

যেহেতু x > y এবং xy < 0
∴ x > 0 এবং y < 0
∴ x - y সর্বদা ধনাত্মক।

৪২.
- 3x + 15 < 3 অসমতার সমাধান নিচের কোনটি?
  1. ক
    x > 4
  2. খ
    x < 4
  3. গ
    x > - 4
  4. ঘ
    x > 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 3x + 15 < 3 অসমতার সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
- 3x + 15 < 3
বা, - 3x < 3 - 15
বা, - 3x < - 12
বা, 3x > 12
∴ x > 4
৪৩.
|2x + 3| ≤ 9 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2x + 3| ≤ 9 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|2x + 3| ≤ 9
= - 9 ≤ 2x + 3 ≤ 9
= - 9 - 3 ≤ 2x + 3 - 3 ≤ 9 - 3
= - 12 ≤ 2x ≤ 6
= - 6 ≤ x ≤ 3

∴ x এর সর্বোচ্চ মান 3

৪৪.
x>y এবং z<0 হলে, কোন শর্তটি সঠিক হবে?
  1. ক
    ক) xz>yz
  2. খ
    খ) x/z>y/z
  3. গ
    গ) z/x<z/y
  4. ঘ
    ঘ) xz<yz
ব্যাখ্যা

x>y এবং z<0, z এর মান ঋণাত্মক।
x ও y এর মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যাই হোক না কেন- x > y
⇒ zx < zy [যেহেতু z ঋণাত্মক]
⇒ x/z < y/z [যেহেতু z ঋণাত্মক]

৪৫.
2x - 1 > 3x - 2 এর সমাধান কোনটি?
  1. ক
    (- ∞, 1)
  2. খ
    (- 1, ∞)
  3. গ
    [1, ∞)
  4. ঘ
    [- ∞, 1]
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x - 1 > 3x - 2 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2x - 1 > 3x - 2
⇒ 2x - 1 - 3x + 1 > 3x - 2 - 3x + 1
⇒ - x > - 1
⇒ x < 1
 
∴ নির্ণেয় সমাধান = (- ∞, 1)

৪৬.
অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    1 < x < 4
  2. খ
    - 1 < x < 4
  3. গ
    2 < x < 4
  4. ঘ
    1 < x < 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
1/।2x - 5। > 1/3
⇒ ।2x - 5। < 3
⇒ - 3 < 2x - 5 < 3 
⇒ - 3 + 5 < 2x - 5 + 5 < 3 + 5
⇒ 2 < 2x < 8
⇒ 2/2 < 2x/2 < 8/2
∴ 1 < x < 4
৪৭.
|x - 3| < 5 অসমতার সমাধান নিচের কোনটি?
  1. ক
    2 < x < 8
  2. খ
    - 2 < x < 8
  3. গ
    - 8 < x < - 2
  4. ঘ
    - 4 < x < - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x - 3| < 5 অসমতার সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
|x - 3| < 5 

x - 3 অঋণাত্মক ধরে,
x - 3 < 5
∴ x < 8

x - 3 ঋণাত্মক ধরে,
- (x - 3) < 5
বা, x - 3 > - 5
∴ x > - 2

∴ - 2 < x < 8
৪৮.
যদি 2x - 1 ≥ - 3 হয়, তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    x ≤ - 1
  2. খ
    x ≤ - 2
  3. গ
    x ≥ - 2
  4. ঘ
    x ≥ - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 2x - 1 ≥ - 3 হয়, তাহলে নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
2x - 1 ≥ - 3
⇒ 2x ≥ - 3 + 1
⇒ 2x ≥ - 2
∴ x ≥ - 1
৪৯.
x ≤ x/3 + 4 এর সমাধান হলো- 
  1. ক
    ক) x ≤12
  2. খ
    খ) x ≤ 4
  3. গ
    গ) x ≥ 6
  4. ঘ
    ঘ) x ≤ 6
ব্যাখ্যা
x ≤ x/3 + 4 
⇒x - x/3 ≤x/3 + 4 - x/3   
⇒(3x - x)/3 ≤ 4
⇒2x/3 ≤ 4
⇒(2x/3) ×(3/2)≤ (4 ×3)/2
 ∴ x≤6
৫০.
।x - 3। ≤ 5 অসমতাটির সমাধান সেট হবে ________
  1. ক
    -2 ≤ x ≤ - 8
  2. খ
    2 ≤ x ≤ 8
  3. গ
    -2 ≥ x ≥ 8
  4. ঘ
    -2 ≤ x ≤ 8
ব্যাখ্যা

এখানে, 
।x - 3। ≤ 5 
বা,- 5 ≤ x - 3 ≤ 5
বা,- 5 + 3 ≤ x - 3 + 3 ≤ 5 + 3
∴, - 2 ≤ x ≤ 8 

৫১.
- 5 < a < 9 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?
  1. ক
    |a - 4| < 6
  2. খ
    |a - 3| < 8
  3. গ
    |a - 1| < 5
  4. ঘ
    |a - 2| < 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 5 < a < 9 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (9 - 5)/2
= 4/2
= 2

এখন,
- 5 < a < 9
⇒ - 5 - 2 < a - 2 < 9 - 2 
⇒ - 7 < a - 2 < 7
⇒ |a - 2| < 7

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |a - 2| < 7
৫২.
- 5 ≤ 2x - 1 < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    (2, 4)
  2. খ
    (- 2, 4)
  3. গ
    [1, 3)
  4. ঘ
    [- 2, 4)
ব্যাখ্যা
শ্ন: - 5 ≤ 2x - 1 < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
- 5 ≤ 2x - 1 < 7
⇒ - 5 + 1 ≤ 2x - 1 + 1 < 7 + 1
⇒ - 4 ≤ 2x < 8
⇒ (- 4/2) ≤ (2x/2) < (8/2)
⇒ - 2 ≤ x < 4

∴ অসমতাটির সমাধান: [- 2, 4)
৫৩.
x2 - x - 6 < 0 এর সমাধান সেট -
  1. ক
    ক) -2 ≤ x ≤ 3
  2. খ
    খ) -2 < x < 3
  3. গ
    গ) x < -2 অথবা, x > 3
  4. ঘ
    ঘ) x ≤ -2 অথবা, x ≥ 3
ব্যাখ্যা

x2 - x - 6 < 0
বা, x2 - 3x + 2x - 6 < 0
বা, x(x-3) + 2(x-3) < 0
(x-3)(x+2) < 0
সংখ্যা রেখা অনুসারে, -2 < x < 3

৫৪.
।2x - 9। < 7 হলে, অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    2 < x < 7
  2. খ
    1 < x < 8
  3. গ
    2 < x < 8
  4. ঘ
    1 < x < 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ।2x - 9। < 7 হলে, অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
2x - 9 < 7
⇒ 2x < 7 + 9
⇒ 2x < 16
⇒ x < 16/2
∴ x < 8

-(2x - 9) < 7
⇒ 2x - 9 > - 7
⇒ 2x > 9 - 7
⇒ 2x > 2
∴ x > 1

অসমতাটির সমাধান 1 < x < 8
৫৫.
12 - 8x ≤ 28 হয়, তাহলে -
  1. ক
    x ≥ - 2
  2. খ
    x ≥ 2
  3. গ
    x ≤ - 2
  4. ঘ
    x ≤ 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 - 8x ≤ 28 হয়, তাহলে -

সমাধান:
12 - 8x ≤ 28
⇒ 12 - (8x) - 12 ≤ 28 - 12 [উভয় পক্ষ থেকে 12 বিয়োগ করে]
⇒ - 8x ≤ 16
⇒ - 8x/(- 8) ≥ 16/(- 8) [উভয় পক্ষকে - 8 দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x ≥ - 2
৫৬.
x/y > 0 হলে নিচের কোনটি সত্য?
  1. ক
    ক) xy < 0
  2. খ
    খ) xy > 0
  3. গ
    গ) x2y2 < 0
  4. ঘ
    ঘ) x-y > 0
ব্যাখ্যা

x/y > 0 হলে,
x > 0, y > 0 অথবা, x < 0, y < 0
∴ xy > 0

৫৭.
।2p - 4। < 6 অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    - 1 < p < 5
  2. খ
    - 1 < p < 6
  3. গ
    - 2 < p < 3
  4. ঘ
    - 2 < p < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ।2p - 4। < 6 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
।2p - 4। < 6
⇒ - 6 < 2p - 4 < 6
⇒ - 6 + 4 < 2p - 4 + 4 < 6 + 4
⇒ - 2 < 2p < 10
⇒ - 2/2 < 2p/2 < 10/2
⇒ - 1 < p < 5
৫৮.
হানিফের বয়স আরাফের বয়সের 1/2 অংশ। জিদনি আরাফের চেয়ে 3 বছরের বড়। তাদের বয়সের সমষ্টি অনূর্ধ্ব 25 বছর হলে, জিদনির বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।
  1. ক
    জিদনির বয়স ≤ 11.8 বছর
  2. খ
    জিদনির বয়স ≤ 15.5 বছর
  3. গ
    জিদনির বয়স ≤ 25 বছর
  4. ঘ
    জিদনির বয়স ≤ 12.8 বছর
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হানিফের বয়স আরাফের বয়সের 1/2 অংশ। জিদনি আরাফের চেয়ে 3 বছরের বড়। তাদের বয়সের সমষ্টি অনূর্ধ্ব 25 বছর হলে, জিদনির বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

সমাধান:
ধরি, আরাফের বয়স y বছর 
হানিফের বয়স y/2 বছর 
জিদনির বয়স y + 3 বছর

প্রশ্নমতে, 
y + (y/2) + (y + 3) ≤ 25
⇒ 2y + (y/2) + 3 ≤ 25 
⇒ (4y + y + 6)/2 ≤ 25
⇒ 5y + 6 ≤ 25 × 2 
⇒ 5y ≤ 50 - 6
⇒ y ≤ 44/5
⇒ y ≤ 8.8
⇒ y + 3 ≤ 8.8 + 3 
∴ y + 3 ≤ 11.8

অতএব, জিদনির বয়স ≤ 11.8 বছর

৫৯.
x2 - 9 < 0 হলে, কোনটি সঠিক?     
  1. ক
    ক) x < - 3
  2. খ
    খ) x > 3
  3. গ
    গ) x < - 3 অথবা x > 3
  4. ঘ
    ঘ) - 3 < x < 3
ব্যাখ্যা
x2 - 9 < 0
⇒ (x - 3)(x + 3) < 0
(x - 3)(x + 3) < 0 সত্য হবে যদি x - 3 < 0 বা x < 3 হয় এবং x + 3 > 0 বা x > - 3 হয়
অর্থাৎ (x - 3)(x + 3) < 0 সত্য হবে যদি - 3 < x < 3 হয়।
৬০.
x2 - x - 6 ≤ 0 হলে কোনটি সত্য?
  1. ক
    ক) -2 < x < 3
  2. খ
    খ) -2 ≤ x ≤ 3
  3. গ
    গ) 2 ≤ x ≤ 3
  4. ঘ
    ঘ) 2 > x < 3
ব্যাখ্যা

x2 - x - 6 ≤ 0
বা, x2 - 3x + 2x - 6 ≤ 0
বা, x(x - 3) + 2(x - 3) ≤ 0
বা, (x - 3)(x + 2) ≤ 0



চিত্র থেকে পাই সমাধান সেট -2 ≤ x ≤ 3

৬১.
- 8 < 3 - x < - 2 এর পরমমানে প্রকাশিত রূপ কোনটি?
  1. ক
    ।8 - x। < 3
  2. খ
    ।8 - x। > 3
  3. গ
    ।x - 8। < 3
  4. ঘ
    ।x - 5। > 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 8 < 3 - x < - 2 এর পরমমানে প্রকাশিত রূপ কোনটি?

সমাধান: 
- 8 < 3 - x < - 2
বা, - 8 + 5 < 3 - x + 5 < - 2 + 5
বা, -3 < 8 - x < 3
∴ ।8 - x। < 3
৬২.
|3x + 4| ≤ 10 এর সমাধান কী?
  1. ক
    [- 14/3, 2/5)
  2. খ
    (2, - 3]
  3. গ
    [- 14/3, 2]
  4. ঘ
    (- 7/3, 3/7]
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |3x + 4| ≤ 10 এর সমাধান কী?

সমাধান:
|3x + 4| ≤ 10
⇒ - 10 ≤ 3x + 4 ≤ 10
⇒ - 10 - 4 ≤ 3x + 4 - 4 ≤ 10 - 4
⇒ - 14 ≤ 3x ≤ 6
⇒ - 14/3 ≤ 3x / 3 ≤ 6/3
⇒ - 14/3 ≤ x ≤ 2

ব্যবধি আকারে প্রকাশ করে পাই, [- 14/3, 2]
অর্থাৎ, x একটি সংখ্যা যা - 14/3 থেকে 2 এর মধ্যে বা সমান হতে পারে।

৬৩.
3x - 2 > 2x -1 অসমতাটির সমাধান কোনটি? ‌
  1. ক
    x > -1
  2. খ
    x < 3
  3. গ
    x < -2
  4. ঘ
    x > 1
ব্যাখ্যা

3x - 2 > 2x -1
বা, 3x - 2 + 2 > 2x - 1 + 2
বা, 3x > 2x + 1
বা, 3x-2x > 2x + 1 - 2x
বা, x > 1

৬৪.
x2 - 4x + 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?
  1. ক
    বাস্তব, সমান ও অমুলদ
  2. খ
    অবাস্তব ও সমান
  3. গ
    বাস্তব ও সমান
  4. ঘ
    বাস্তব, মুলদ ও অসমান
ব্যাখ্যা
b2 - 4ac
= (-4)2 - 4 × 1 × 4
= 16 - 16
= 0


নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b2 - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b2 - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b2 - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b2 - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।
৬৫.
Aও B দুটি পূর্ণ সংখ্যা, A > B এবং AB < 0 হলে কোনটি ঋণাত্মক হবে?
  1. ক
    ক) A
  2. খ
    খ) A - B
  3. গ
    গ) B
  4. ঘ
    ঘ) A²
ব্যাখ্যা
AB এর মান শূন্য এর থেকে ছোট অর্থাৎ ঋণাত্মক। তা হলে A ও B এর মধ্যে যেকোনো একটি ঋণাত্মক।কিন্তু শর্তানুসারে A > B। সুতরাং B অবশ্যই ঋণাত্মক।
৬৬.
x2 - 3x - 10 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    ক) (-∞, -1) U (4, +∞)
  2. খ
    খ) (-∞, -2) U (5, +∞)
  3. গ
    গ) (∞, 2) U (5, +∞)
  4. ঘ
    ঘ) (-5, -∞) U (∞, 2)
ব্যাখ্যা

x2 - 3x - 10 > 0
(x - 5)(x + 2) > 0
দুইটি রাশির গুনফল তখনই ধনাত্মক বা শূন্য অপেক্ষা বড় হবে যদি উভয়ই ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়।
∴ নির্ণেয় সমাধান = (-∞, -2) ∪ (5, +∞)

৬৭.
|1 - 2x| < 7 এর সমাধান নিচের কোনটি?
  1. ক
    - 3 > x > 4
  2. খ
    - 2 < x < 2
  3. গ
    - 3 < x < 4
  4. ঘ
    - 3 < x < 1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |1 - 2x| < 7 এর সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
|1 - 2x| < 7
⇒ - 7 < 1 - 2x < 7
⇒ - 7 - 1 < 1 - 1 - 2x < 7 - 1
⇒ - 8 < - 2x < 6
⇒ - 4 < - x < 3
⇒ 4 > x > - 3
∴ - 3 < x < 4

৬৮.
- 1 ≤ 3 - 2x ≤ 3 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    ক) 1 ≤ x ≤ 2
  2. খ
    খ) 0 ≤ x ≤ 2
  3. গ
    গ) - 2 ≤ x ≤ 2
  4. ঘ
    ঘ) - 2 ≤ x ≤ 0
ব্যাখ্যা
- 1 ≤ 3 - 2x ≤ 3 
- 1 - 3 ≤ 3 - 2x - 3 ≤ 3 - 3
- 4 ≤ - 2x ≤ 0 
- 4/2 ≤ - 2x /2 ≤ 0/2
- 2 ≤ - x ≤ 0
(- 2) (- 1 ) ≥ (- x )(- 1) ≥ 0 (- 1)
2 ≥ x ≥ 0
0 ≤ x ≤ 2
৬৯.
15x - x2 - 56 > 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    7 < x < 8
  2. খ
    x < 8 অথবা x > 7
  3. গ
    x > 8 অথবা x < 7
  4. ঘ
    x > 8 এবং x < 7
ব্যাখ্যা
15x - x2 - 56 > 0
⇒ - x2 + 15x - 56 > 0
⇒ - (x2 - 15x + 56) > 0
⇒ x2 - 15x + 56 < 0
⇒ x2 - 8x - 7x + 56 < 0
⇒ x(x - 8) - 7(x - 8) < 0
⇒ (x - 8)(x - 7) < 0
(x - 8)(x - 7) < 0 সত্য হবে যদি x - 8 < 0 ⇒ x < 8 এবং x - 7 > 0 ⇒ x > 7 অর্থাৎ 7 < x < 8 হয়।
৭০.
9x - x2 - 20 > 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    2 < x < 4
  2. খ
    1 < x < 4
  3. গ
    2 < x < 5
  4. ঘ
    4 < x < 5
ব্যাখ্যা
9x - x2 - 20 > 0
বা, - x2 + 9x - 20 > 0
বা, - (x2 - 9x + 20) > 0 
বা, x2 - 9x + 20 < 0
বা, x2 - 4x - 5x + 20 < 0
∴ (x - 4)(x - 5) < 0 

x2 - 9x + 20 < 0 সত্য হবে যদি x - 4 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 4 < 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ,  x < 4 এবং x > 5
4 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x2 - 9x + 20 < 0  সত্য হবে যদি x - 4 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন,  x - 4 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x > 4 এবং x < 5
x এর মান 4 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 4 < x < 5
৭১.
|x + 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি? 
  1. ক
    8 < x < - 6
  2. খ
    - 8 < x < 6
  3. গ
    6 < x < - 8
  4. ঘ
    - 8 ≤ x ≤ 6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 1| < 7
⇒ - 7 < x + 1 < 7
⇒ - 7 - 1 < x + 1 - 1 < 7 - 1  [উভয়পক্ষে - 1 যোগ করে]
⇒ - 8 < x < 6 

∴ অসমতাটির সমাধান, S = {x ∈ R: - 8 < x < 6}

৭২.
x2 - 5x + 6 < 0 হলে-
  1. ক
    1 < x < 6
  2. খ
    - 3 < x < - 2
  3. গ
    x < 2
  4. ঘ
    2 < x < 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  x2 - 5x + 6 < 0 হলে-

সমাধান:
x2 - 5x + 6 < 0
বা, x2 - 2x - 3x + 6 < 0
বা, x(x - 2) - 3(x - 6) < 0
∴ (x - 2)(x - 3) < 0

x2 - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x2 - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 3
৭৩.
|x + 4| ≤ 7 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?
  1. ক
    11
  2. খ
    7
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 4| ≤ 7 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত: |x + 4| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ x + 4 ≤ 7
⇒ - 7 - 4 ≤ x ≤ 7 - 4
⇒ - 11 ≤ x ≤ 3

∴ x এর সর্বোচ্চ মান = 3

৭৪.
x+y > 7 এবং x-y > 3, x এর কোন মানের জন্য সত্য?
  1. ক
    ক) x > 5
  2. খ
    খ) x < 5
  3. গ
    গ) x = -5
  4. ঘ
    ঘ) x < -5
ব্যাখ্যা
১ম এবং ২য় অসমতা যোগ করে 2x > 10
∴ x > 5
৭৫.
4x-7 < 2x+13 হলে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য হবে?
  1. ক
    ক) x < 7
  2. খ
    খ) x < 10
  3. গ
    গ) x > 9
  4. ঘ
    ঘ) x > 11
ব্যাখ্যা

4x-7 < 2x+13
⇒ 4x-7-2x+7 < 2x+13-2x+7
⇒ 2x < 20
∴ x < 10

৭৬.
|x + 1| ≤ 4 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 3x - 2 ≤ q হবে?
  1. ক
    p = 7 এবং q = 17
  2. খ
    p = - 10 এবং q = 6
  3. গ
    p = - 17 এবং q = 7
  4. ঘ
    কোনটিই নয় 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 1| ≤ 4 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 3x - 2 ≤ q হবে?

সমাধান:
|x + 1| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 1 ≤ 4
⇒ - 4 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 4 - 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 3
⇒ - 15 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 15 - 2 ≤ 3x - 2 ≤ 9 - 2
⇒ - 17 ≤ 3x - 2 ≤ 7 ......... (1)

যেখানে,
(1) এর সাথে p ≤ 3x - 2 ≤ q তুলনা করে পাই, 
∴ p = - 17 এবং q = 7

৭৭.
যদি x > 2 ও y > - 1 হয়, তবে কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) xy > - 2
  2. খ
    খ) - x < 2y
  3. গ
    গ) xy < - 2
  4. ঘ
    ঘ) - x >2y
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x > 2 ও y > - 1 হয়, তবে কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
x এবং y এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য ভিন্ন ভিন্ন অপশন সত্য হতে পার, কিন্তু অপশন (খ) সবসময় সঠিক হবে।

এখন ভিন্ন ভিন্ন মানের শুদ্ধিপরীক্ষা:

⇒ x = 10 এবং y = 20 ধরে, 

ক) 200 > - 2, যা সঠিক।
খ) - 10 < 40, যা সঠিক।
গ) 200 < - 2, যা সঠিক নয়।
ঘ) - 10 > 40, যা সঠিক নয়।

⇒ x = 20 এবং y = 10 ধরে,

ক) 200 > - 2, যা সঠিক।
খ) - 20 < 20, যা সঠিক।
গ) 200 < - 2, যা সঠিক নয়।
ঘ) - 20 > 20, যা সঠিক নয়।

⇒ x = 10 এবং y = - 0.5 ধরে, 

ক) - 5 > - 2, যা সঠিক নয়।
খ) - 10 < - 1, যা সঠিক।
গ) - 5 < - 2, যা সঠিক।
ঘ) - 10 > - 1, যা সঠিক নয়।

⇒ x = 10 এবং y = 0 ধরে,

ক) 0 > - 2, যা সঠিক।
খ) - 10 < 0, যা সঠিক।
গ) 0 < - 2, যা সঠিক নয়।
ঘ) - 10 > 0, যা সঠিক নয়।

উপর্যুক্ত পর্যালোচনা থেকে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, অপশন (খ) সকল ক্ষেত্রেই সঠিক।

তাই সর্বাধিক গ্রহণযোগ্য উত্তর: খ) - x < 2y
৭৮.
|5x - 7| ≤ 8 এর সমাধান কী?
  1. ক
    [1/5, 8)
  2. খ
    [- 1/5, 3]
  3. গ
    (- 3, 12/5]
  4. ঘ
    [13/5, 5]
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |5x - 7| ≤ 8 এর সমাধান কী?

সমাধান:
|5x - 7| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ 5x - 7 ≤ 8
⇒ - 8 + 7 ≤ 5x - 7 + 7 ≤ 8 + 7
⇒ - 1 ≤ 5x ≤ 15
⇒ - 1/5 ≤ 5x / 5 ≤ 15/5
⇒ - 1/5 ≤ x ≤ 3

ব্যবধি আকারে প্রকাশ করলে পাই, [-1/5, 3]।
অর্থাৎ, x একটি সংখ্যা যা -1/5 থেকে 3 এর মধ্যে বা সমান হতে পারে।

সঠিক উত্তর: খ) [- 1/5, 3]

৭৯.
- 7 < x < 3 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করলে কোনটি হয়?
  1. ক
    |x - 2| < 7
  2. খ
    |x + 3| < 4
  3. গ
    |x + 2| < 5
  4. ঘ
    |x - 4| < 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 7 < x < 3 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করলে কোনটি হয়?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 7 + 3)/2
= (- 4)/2
= - 2

এখন,
- 7 < x < 3
⇒ - 7 - (- 2) < x - (- 2) < 3 - (- 2) [উভয়পক্ষ থেকে - 2 বিয়োগ করে]
⇒ - 7 + 2 < x + 2 < 3 + 2
⇒ - 5 < x + 2 < 5
⇒ |x + 2| < 5

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করলে হয়: |x + 2| < 5
৮০.
|x−2| < 5 হলে, পূর্ণ সংখ্যায় x এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    ক) - 7
  2. খ
    খ) - 5
  3. গ
    গ) - 3
  4. ঘ
    ঘ) - 2
ব্যাখ্যা

|x−2| < 5
⇒ - 5 < x - 2 < 5
⇒ - 5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2
⇒ - 3 < x < 7
যেহেতু, x এর মান -3 এর থেকে বড় তাই পূর্ণ সংখ্যায় x এর সর্বনিম্ন মান হবে -2.

৮১.
∣x - 3∣< 5 এর সমাধান হবে নিচের কোনটি?
  1. ক
    - 2 < x < 8
  2. খ
    - 5 < x < 5
  3. গ
    - 5 < x < 2
  4. ঘ
    2 < x < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∣x - 3∣< 5 এর সমাধান হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
∣x - 3∣< 5
⇒ - 5 < x - 3 < 5
⇒ - 2 < x < 8 
৮২.
4p + 6 ≥ 2p - 8 হলে p এর মান কত?
  1. ক
    p ≥ - 3
  2. খ
    p ≥ - 7
  3. গ
    p ≥ 4
  4. ঘ
    p ≥ - 6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4p + 6 ≥ 2p - 8 হলে p এর মান কত?

সমাধান:
4p + 6 ≥ 2p - 8
⇒ 4p - 2p + 6 ≥ - 8
⇒ 2p + 6 ≥ - 8
⇒ 2p ≥ - 8 - 6
⇒ 2p ≥ - 14
⇒ p ≥ - 7

৮৩.
|3x - 6| < 9 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    - 2 < x < 3
  2. খ
    - 3 < x < - 9
  3. গ
    - 1 < x < 5
  4. ঘ
    - 5 < x < 1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |3x - 6| < 9 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
|3x - 6| < 9
⇒ - 9 < 3x - 6 < 9
⇒ - 9 + 6 < 3x < 9 + 6
⇒ - 3 < 3x < 15
⇒ - 1 < x < 5

৮৪.
- 8 < x < 2 অসমতাটির পরমমানে প্রকাশ নিচের কোনটি?
  1. ক
    ।x + 2। < 5
  2. খ
    ।x - 2। < 5
  3. গ
    ।x + 3। < 7
  4. ঘ
    ।x + 3। < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 8 < x < 2 অসমতাটির পরমমানে প্রকাশ নিচের কোনটি?

সমাধান: - 8 < a < 2
⇒ - 8 + 3 < x + 3 < 2 + 3
⇒ - 5 < x + 3 < 5
∴ ।x + 3। < 5
৮৫.
x2 - 2x - 15 < 0 হলে সমাধান সেট কোনটি-
  1. ক
    ক) (-3, ∞) ∪ (5, ∞)
  2. খ
    খ) (-3, 5)
  3. গ
    গ) [-3, 5]
  4. ঘ
    ঘ) [-3,∞] ∪ [5, ∞]
ব্যাখ্যা
x2 - 2x - 15 < 0
বা, x2 - 5x + 3x - 15 < 0
বা, x(x + 5) + 3(x - 5) < 0
বা, (x - 5)(x + 3) < 0



সংখ্যারেখা হতে পাই,
নির্ণেয় সমাধান = (-3, 5)
৮৬.
বাস্তব সংখ্যায় |3x + 3| < 6 অসমতাটির সমাধান-
  1. ক
    - 3 < x < 3
  2. খ
    - 7 < x < 5
  3. গ
    - 5 < x < 1
  4. ঘ
    - 3 < x < 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |3x + 3| < 6 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
|3x + 3| < 6
⇒ - 6 < 3x + 3 < 6
⇒ - 6 - 3 < 3x + 3 - 3 < 6 - 3
⇒ - 9 < 3x < 3
⇒ (- 9/3) < (3x/3) < (3/3)
⇒ - 3 < x < 1
৮৭.
|x - 5| ≤ 4 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    1
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x - 5| ≤ 4 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|x - 5| ≤ 4
বা, - 4 ≤ x - 5 ≤ 4
বা, - 4 + 5 ≤ x - 5 + 5 ≤ 4 + 5
বা, 1 ≤ x ≤ 9

x এর সর্বনিম্ন মান 1
৮৮.
যদি 2x - 1 ≥ - 3 হয়, তাহলে x এর সমাধান কোনটি হবে?
  1. ক
    x ≤ - 1
  2. খ
    x ≥ - 1
  3. গ
    x ≥ - 3
  4. ঘ
    x ≤ 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 2x - 1 ≥ - 3 হয়, তাহলে x এর সমাধান কোনটি হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি,
2x - 1 ≥ - 3
⇒ 2x ≥ - 3 + 1 
⇒ 2x ≥ - 2
⇒ x ≥ - (2/2)
⇒ x ≥ - 1
৮৯.
|x - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?
  1. ক
    m = 1, n = 10
  2. খ
    m = 2, n = 20
  3. গ
    m = 3, n = 30
  4. ঘ
    m = 4, n = 40
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?

সমাধান:
|x - 2| < 3
বা, - 3 < x - 2 < 3
বা, - 3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2
বা, - 1 < x < 5
বা, - 3 < 3x < 15
বা, - 3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5
∴ 2 < 3x + 5 < 20

m < 3x + 5 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = 2 এবং n = 20
৯০.
|1 - 4a| < 1 এর সমাধান কোনটি?
  1. ক
    0 < a < 1
  2. খ
    0 < a < 1/2
  3. গ
    0 < a < 5
  4. ঘ
    1 < a < 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |1 - 4a| < 1 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|1 - 4a| < 1
⇒ - 1 < 1 - 4a < 1
⇒ - 1 - 1 < 1 - 4a - 1 < 1 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে (- 1) বিয়োগ করে]
⇒ - 2 < - 4a < 0
⇒ (- 2)/(- 4) > (- 4a)/(- 4) > 0/(- 4) [উভয়পক্ষকে (- 4) দ্বারা ভাগ করে, (-) দ্বারা ভাগ করলে চিহ্ন পরিবর্তন হয়]
⇒ (1/2) > a > 0
⇒ 0 < a < (1/2)

∴ |1 - 4a| < 1 এর সমাধান: 0 < a < 1/2
৯১.
5x - 6 ≤ - 1 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    {x ∈ R: x ≥ 2}
  2. খ
    {x ∈ R: x ≤ 1}
  3. গ
    {x ∈ R: x > 3}
  4. ঘ
    {x ∈ R: x < 4}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5x - 6 ≤ - 1 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
5x - 6 ≤ - 1
⇒ 5x - 6 + 6 ≤ - 1 + 6
⇒ 5x ≤ 5
⇒ 5x/5 ≤ 5/5
⇒ x ≤ 1

∴ নির্ণেয় সমাধান: x ≤ 1
এবং সমাধান সেট, S = {x ∈ R: x ≤ 1}
৯২.
সমাধান করুন: | 2 - 6x | ≤ 4
  1. ক
    ক) 1/3 ≤ x ≤ 1
  2. খ
    খ) - 1/3 ≤ x ≤ 1
  3. গ
    গ) - 1/3 ≤ x ≤ 2
  4. ঘ
    ঘ) 1/3 ≤ x ≤ 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমাধান করুন: | 2 - 6x | ≤ 4

সমাধান: 
| 2 - 6x | ≤ 4
⇒ - 4 ≤ 2 - 6x ≤ 4
⇒ - 4 - 2 ≤ 2 - 6x - 2 ≤ 4 - 2
⇒ - 6 ≤ - 6x ≤ 2
⇒ - 6/6 ≤ - 6x/6 ≤ 2/6 
⇒ - 1 ≤ - x ≤ 1/3
⇒ 1 ≥ x ≥ - 1/3
⇒ - 1/3 ≤ x ≤ 1
৯৩.
2x - 4 < 10 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    {X ∈ R : x < 7}
  2. খ
    {X ∈ R : x < 9}
  3. গ
    {X ∈ R : x < 10}
  4. ঘ
    {X ∈ R : x > 6}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x - 4 < 10 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
2x - 4 < 10
⇒ 2x - 4 + 4 < 10 + 4
⇒ 2x < 14
⇒ (2x/2) < (14/2)
⇒ x < 7
∴ নির্ণেয় সমাধান: x < 7

সুতরাং, সমাধান সেট, S = {X ∈ R : x < 7}
৯৪.
x এর কোন মানের জন্য x < x3 < x2 সত্য হয়?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    -(1/2)
  3. গ
    2
  4. ঘ
    -2
ব্যাখ্যা

x = -(1/2) হলে,
x2 = 1/4
এবং x3 = -(1/8)
∴ x < x3 < x2

৯৫.
যদি a > b > c হয় তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    2a > b + c
  2. খ
    b + c < a
  3. গ
    4 - b > a - c
  4. ঘ
     b + c = 2a 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a > b > c হয় তাহলে নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a > b > c

তাহলে, a > b এবং a > c

এখন, দুইটি অসমতা কে যোগ করে পাই,
a + a > b + c
বা, 2a > b + c
৯৬.
একজন ছাত্র 5 টাকা দরে x টি পেনসিল এবং 8 টাকা দরে (x + 4) টি খাতা কিনেছে। মোট মূল্য অনূর্ধ্ব 97 টাকা হলে, সর্বাধিক কয়টি পেনসিল কিনেছে?
  1. ক
    5 টি
  2. খ
    6 টি
  3. গ
    8 টি
  4. ঘ
    9 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন ছাত্র 5 টাকা দরে x টি পেনসিল এবং 8 টাকা দরে (x + 4) টি খাতা কিনেছে। মোট মূল্য অনূর্ধ্ব 97 টাকা হলে, সর্বাধিক কয়টি পেনসিল কিনেছে?

সমাধান:
x টি পেনসিলের দাম 5x টাকা
এবং (x + 4) টি খাতার দাম 8(x + 4) টাকা।

প্রশ্নমতে,
5x + 8(x + 4) ≤ 97
⇒ 5x + 8x + 32 ≤ 97
⇒ 13x ≤ 65
⇒ x ≤ 65/13
∴ x ≤ 5

∴ ছাত্রটি সর্বাধিক 5 টি পেনসিল কিনেছে।
৯৭.
(1/|1 - 2a|) ≥ 5 এর সমাধান কোনটি?
  1. ক
    (1/5) ≤ a ≤ (2/5)
  2. খ
    (3/5) ≤ a ≤ (4/5)
  3. গ
    (2/5) ≤ a ≤ (3/5)
  4. ঘ
    a ≤ (2/5) বা a ≥ (3/5)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/|1 - 2a| ≥ 5 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
1/|1 - 2a| ≥ 5
⇒ |1 - 2a| ≤ 1/5

ধনাত্মক ক্ষেত্রে: 1 - 2a ≤ 1/5
⇒ - 2a ≤ 1/5 - 1
⇒ - 2a ≤ - 4/5
⇒ 2a ≥ 4/5
⇒ a ≥ 2/5

ঋণাত্মক ক্ষেত্রে: (1 - 2a) ≥ - 1/5
⇒ 1 - 2a ≥ - 1/5
⇒ - 2a ≥ - 6/5
⇒ 2a ≤ 6/5
⇒ a ≤ 3/5

∴ নির্ণেয় সমাধান: 2/5 ≤ a ≤ 3/5

৯৮.
8 ≥ 2 - 2a অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    a ≥ - 2
  2. খ
    a ≥ - 4
  3. গ
    a ≥ - 3
  4. ঘ
    a ≥ - 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 ≥ 2 - 2a অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
8 ≥ 2 - 2a
⇒ 8 - 2 ≥ 2 - 2a - 2
⇒ 6 ≥ - 2a
⇒ - 6 ≤ 2a   [ উভয় পক্ষে - 1 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 2a ≥ - 6
⇒ a ≥ (- 6/2)
⇒ a ≥ - 3
৯৯.
সাদিক 3 টাকা দরে x টি কলম এবং 6 টাকা দরে (x + 2) টি খাতা কিনেছে। মোট ক্রয়মূল্য অনুর্ধ্ব 93 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে তা নির্ণয় করুন।
  1. ক
    7 টি
  2. খ
    8 টি
  3. গ
    9 টি
  4. ঘ
    10 টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সাদিক 3 টাকা দরে x টি কলম এবং 6 টাকা দরে (x + 2) টি খাতা কিনেছে। মোট ক্রয়মূল্য অনুর্ধ্ব 93 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে তা নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
x টি কলমের ক্রয়মূল্য 3x টাকা 
আবার,
(x + 2) টি খাতার ক্রয়মূল্য 6(x + 2) টাকা 

প্রশ্নমতে,
3x + 6(x + 2) ≤ 93 
বা, 3x + 6x + 12 ≤ 93
বা, 9x + 12 ≤ 93
বা, 9x + 12 - 12 ≤ 93 - 12 [উভয় পক্ষ হতে 12 বিয়োগ করে] 
বা, 9x ≤ 81
∴ ‍x ≤ 9

∴ ‍নির্ণেয় সাদিক সর্বাধিক 9 টি কলম কিনেছে। 

১০০.
7x - 4 > - 18 এবং x বাস্তব সংখ্যা হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    x ∈ (- 2, 4)
  2. খ
    x ∈ (- 1, ∞)
  3. গ
    x ∈ (- 2, ∞)
  4. ঘ
    x ∈ (- 4, 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7x - 4 > - 18 এবং x বাস্তব সংখ্যা হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
7x - 4 > - 18
⇒ 7x > - 18 + 4
⇒ 7x > - 14
⇒ x > - (14/7)
∴ x > - 2


∴ নির্ণয় মান: x ∈ (- 2, ∞)