সূচক ও লগারিদম

প্রশ্ন: log_√381 এর মান কত? 

সমাধান: 
log_√381
= log_√33⁴
= log_√3(√3)^{2 × 4}
= log_√3(√3)⁸
= 8log_√3√3
= 8 . 1
= 8

log₁₀(1/70)
= log₁₀1 − log₁₀70
= − log₁₀(7×10) [যেহেতু, log₁₀1 = 0]
= − (log₁₀7 + log₁₀10)
= − (a + 1) [যেহেতু, log₁₀7 = a]

∴ log₁₀(1/70) = - (a + 1)

প্রশ্ন: log₂(64) + log₄(16) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(64) + log₄(16)
= log₂(2⁶) + log₄(4²)
= 6 × log₂2 + 2 × log₄4
= 6 × 1 + 2 × 1
= 6 + 2 
= 8

প্রশ্ন: log_√55 - log_√327 + log_√216 এর মান কত?

সমাধান:
= log_√55 - log_√327 + log_√216
= log_√5(√5)² - log_√3(√3)⁶ + log_√2(√2)⁸
= 2log_√5√5 - 6log_√3√3 + 8log_√2√2
= 2 - 6 + 8
= 4

প্রশ্ন: যদি (49)^{x + 2} = 7^{3x + 4} হয়, তবে x-এর মান কত?

সমাধান:
(49)^{x + 2} = 7 ^{3x + 4}
⇒ (7²)^{x + 2} = 7 ^{3x + 4}
⇒ 2x + 4 = 3x + 4
⇒ 2x - 3x = 4 - 4
⇒ - x = 0
⇒ x = 0

প্রশ্ন: 5log3 - log9 = ?

সমাধান:
5log3 - log9
= 5log3 - log3²
= 5log3 - 2log3
= 3log3
= log3³
= log27

প্রশ্ন: log₃(1/81) = কত? 

সমাধান: 
log₃(1/81)
= log₃(1/3⁴)
= log₃3^{- 4} [∵ 1/a⁴ = a^{- 4}]
= - 4 × log₃3
= - 4 × 1 [∵ log_aa = 1]
= - 4

প্রশ্ন:

সমাধান:

log₅25√5 = log₅5².5¹/²
= log₅5²⁺¹/²
= log₅5⁵/²
= 5/2 log₅5
= 5/2 ×1
= 5/2

প্রশ্ন: x⁴ ÷ x⁶ × x² = ?

সমাধান:
x⁴ ÷ x⁶ × x²
= x^{4 - 6} × x² (ভাগ থাকলে পাওয়ার বিয়োগ হয়)
= x^-2 × x²
= x^{-2 + 2} (গুণ থাকলে পাওয়ার যোগ হয়)
= x⁰ 
= 1

a⁰ = 1
∴ n = 0

প্রশ্ন: 2^{x - 4} = 4b^{x - 6} এবং b > 0, b ≠ 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
2^{x - 4} = 4b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4} = 2² × b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4}/2² = b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4 - 2} = b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 6} = b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 6}/b^{x - 6} = 1
⇒ (2/b)^{x - 6} = (2/b)⁰ [∵ (2/b)⁰ = 1]
⇒ x - 6 = 0
∴ x = 6

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে, 72 × 2^{- 2a} = 9 হবে?

সমাধান:
72 × 2^{- 2a} = 9
⇒ 72 × 2^{- 2a} = 9
⇒ 2^{- 2a} = 9/72
⇒ 2^{- 2a} = 1/8
⇒ 2^{- 2a} = 1/2³
⇒ 2^{- 2a} = 2^{- 3}
⇒ - 2a = - 3
⇒ 2a = 3
∴ a = 3/2

প্রশ্ন: 3^{log₃4 + log₃5} এর মান কত?

সমাধান:
3^{log₃4 + log₃5}
= 3^{log₃(4 × 5)}
= 3^log₃(20)
= 20 
আমরা জানি, a^{log_ab = b}

প্রশ্ন: log_y(1/64) = - 3 হলে y এর মান কত?

সমাধান:
log_y(1/64) = - 3
⇒ y^{- 3} = 1/64 [log_b(a) = c হলে b^c = a]
⇒ y^{- 3} = 1/4³
⇒ y^{- 3}= 4^{- 3}
∴ y = 4

প্রশ্ন:

সমাধান:

দেওয়া আছে,
4^x+1 = 32
⇒ (2²)^x+1 = 2⁵
⇒ 2^2x+2 = 2⁵
⇒ 2x + 2 = 5
⇒ 2x = 3
∴ x = 3/2

প্রশ্ন:

সমাধান:

³√{³√(x³)}
= ³√(x^{3 × 1/3})
= x^1/3

দেওয়া আছে, x = 5^m+1 এবং y = 5^m-1
এখন, log₅x/y
= log₅5^m+1/5^m-1
= log₅5^m+1-m+1
= log₅5²
= 2log₅5
= 2 × 1
= 2

প্রশ্ন: যদি log⁡_ab = 2 এবং log⁡_ac = 3 হয়, তবে log⁡_a(b²c) এর মান কত?

সমাধান:
লগারিদমের নিয়ম অনুসারে, 
log⁡_a(MN) = log⁡_aM + log_⁡aN
log_⁡a(b^x) = xlog_⁡ab

এখন,
log_⁡a(b²c) = log_⁡a(b²) + log_⁡a(c)
= 2log_a​(b) + log⁡_a(c)
= 2 × 2 + 3 [মান বসিয়ে]
= 4 + 3
= 7

∴ log⁡_a(b²c) এর মান = 7

প্রশ্ন: 6log5 - log 25 = কত?

সমাধান:
6log5 - log25
= 6log5 - log5²
= 6log5 - 2log5
= (6 - 2)log5
= 4log5
= log5⁴
= log625

প্রশ্ন: 5^{2x - 1} = 125^{x + 2} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5^{2x - 1} = 125^{x + 2}
⇒ 5^{2x - 1} = (5³)^{x + 2}
⇒ 5^{2x - 1} = 5^{3(x + 2)}
⇒ 5^{2x - 1} = 5^{3x + 6}
⇒ 2x - 1 = 3x + 6
⇒ 2x - 3x = 6 + 1
⇒ - x = 7
∴ x = - 7

প্রশ্ন: 729 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
729 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম = log_√3729
= log_√33⁶
= 6log_√33
= 6log_√3(√3)²
= 6 × 2 × log_√3√3
= 12log_√3^√3
= 12 × 1
= 12

দেওয়া আছে,
x + 2^1/3 + 2^2/3 = 0
বা, x = -(2^1/3 + 2^2/3) .......... (1)
বা, x³ = -(2^1/3 + 2^2/3)³
বা, x³ = -[(2^1/3)+ (2^2/3) + 3.2^1/3.2^2/3(2^1/3 + 2^2/3)]
বা, x³ = -[2 + 4 + 3.2^3/3(-x)] [(1) নং হতে]
বা, x³ = -(6 - 6x)
বা, x³ = -6 + 6x
∴ x³ + 6 = 6x

loga+loga²+loga³+ ……. + loga7
= 1.loga + 2.loga + 3.loga + .... + 7 loga
= log (1+2+3+ .... +7)
= loga {(7+1)7/2}
= log a.28
= 28 log a

প্রশ্ন: যদি 6⁴ ÷ (36)³ × 216 = 6^{(x - 5)} হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
6⁴ ÷ (36)³ × 216 = 6^{(x - 5)}
⇒ 6⁴ ÷ (6²)³ × 6³ = 6^{(x - 5)}
⇒ 6^{(4 - 6 + 3)} = 6^{(x - 5)}   ; [ভাগের ক্ষেত্রে পাওয়ার বিয়োগ হয়]
⇒ 6^{(7 - 6)} = 6^{(x - 5)}
⇒ x - 5 = 1
⇒ x = 1 + 5
∴ x = 6

(x²)⁰
= x^2×0
= x⁰
= 1

a^x = b^y
⇒ loga^x = logb^y
⇒ x log a = y log b
⇒ log a / log b = y/x

প্রশ্ন: (81) × (√3)^2x = 1 হলে, x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
81 × (√3)^2x = 1
⇒ 3⁴ × (3^1/2)^2x = 1
⇒ 3⁴ × 3^x = 1
⇒ 3^{x + 4} = 3⁰
⇒  x + 4 = 0
⇒ x = - 4

log₃√x = -1 
বা, √x = 3^-1
বা, √x = 1/3
∴ x = 1/9

প্রশ্ন: যদি log₂[log₃(log₂x)] = 1 হয়, তাহলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₂[log₃(log₂x)] = 1
⇒ log₃(log₂x) = 2¹ = 2
⇒ log₂x = 3² = 9
⇒ x = 2⁹ = 512
∴ x = 512

প্রশ্ন: 3^{p + 3} = 81 হলে, 10^{p - 3} = কত?

সমাধান:
3^{p + 3} = 81
বা, 3^{p + 3} = 3⁴
বা, p + 3 = 4
বা, p = 4 - 3
∴ p = 1

তাহলে,
10^{p - 3} = 10^{1 - 3} = 10^{- 2} = 1/10² = 1/100

{(x^1/a)^{(a²-b²)/(a-b)}}^a/(a+b)
{(x^1/a)^{(a+b)(a-b)/(a-b)}}^a/(a+b)
(x^1/a)^{(a+b)a)/(a+b)}
x^a/a = x

5¹² + 5¹³ = 5¹² + 5¹².5¹ = 5¹²(1 + 5) = 6.(5¹²)

^{প্রশ্ন:} a^a√a = (a√a)^a হলে, a এর মান কত? 

সমাধান: 
a^a√a = (a√a)^a
⇒ (a^a)^√a = (a.a^1/2)^a
⇒ (a^a)^√a = {a^{1 + (1/2)}}^a
⇒ (a^a)^√a = (a^3/2)^a
⇒ (a^a)^√a = (a^a)^3/2
⇒ √a = 3/2
⇒ (√a)² = (3/2)² 
∴ a = 9/4

দেওয়া আছে, a³ = 343
বা, a³ = 7³
বা, a = 7

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5) হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান: 
log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - log₁₀10 = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀{5 × (5x + 1)/10} = log₁₀(x + 5)
⇒ (5x + 1)/2 = x + 5
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 5x - 2x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3