সূচক ও লগারিদম

প্রশ্ন: log₈x = 25 এবং log₂y = 5 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
log₈x = 25 এবং log₂y=5
⇒ x = 8²⁵ এবং y = 2⁵
⇒ x = (2³)²⁵ এবং y = 2⁵ 
⇒ x = 2⁷⁵ এবং y = 2⁵ 
⇒ x = (2⁵)¹⁵ এবং y = 2⁵
 x = y¹⁵

3^{2x - 3} = 27^{3x + 6}
বা, 3^{2x - 3} = (3³)^{3x + 6}
বা, 3^{2x - 3} = 3^{9x + 18}
বা, 2x - 3 = 9x + 18
বা, 7x = -21
∴ x = -3

∫x^-1 dx
=∫1/x dx
= ln |x| + c

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: log₁₆x = 0.25 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
log₁₆x = 0.25 
∴ x = 16^0.25
বা, x = (2⁴)^1/4
∴ x = 2 

প্রশ্ন: যদি 3^2√x + 3^2√x + 3^2√x = 9^{√(x + 1)} হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
3^2√x + 3^2√x + 3^2√x = 9^{√(x + 1)} 
⇒ 3^2√x(1 + 1 + 1) = (3²)^{√(x + 1)}
⇒ 3^2√x × 3 = 3^{2√(x + 1)}
⇒ 3^{2√x + 1} = 3^{2√(x + 1)}
⇒ 2√x + 1 = 2√(x + 1)
⇒ (2√x + 1)² = {2√(x + 1)}²  ; [বর্গ করে পাই]
⇒ 4x + 4√x + 1 = 4(x + 1)
⇒ 4x + 4√x + 1 = 4x + 4
⇒ 4√x = 3
⇒ √x = 3/4
⇒ (√x)² = (3/4)²    ; [বর্গ করে পাই]
∴ x = 9/16

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + ...... ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + ...... প্রথম দশ পদের সমষ্টি
= log3¹ + log3² + log3³ + ...... প্রথম দশ পদের সমষ্টি
= log(3¹)+ log(3²)+ log(3³)+ ......... + log(3¹⁰)
= 1 log3 + 2 log3 + 3 log3 + ...... + 10 log3
= log3 (1 + 2 + 3 + ...... + 10)
= log3 {10(10 + 1)/2}  [স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2]
= log3 (5 × 11)
= log3 × 55
= 55 log3

প্রশ্ন: 4^x + 4^{1 - x} = 4 হলে, x = কত?

সমাধান:
4^x + 4^{1 - x} = 4
⇒ 4^x + 4¹/4^x = 4
⇒ 4^x + 4/4^x = 4    [4¹ = 4]

মনে করি, 4^x = y
সুতরাং,
y + 4/y = 4
⇒ (y² + 4)/y = 4 
⇒ y² + 4 = 4y
⇒ y² - 4y + 4 = 0
⇒ y² - 2.y.2 + 2² = 0
⇒ (y - 2)² = 0
⇒ y - 2 = 0
⇒ y = 2
⇒ 4^x = 2            [y = 4x  বসিয়ে]
⇒ (2²)^x = 2¹      [2¹ = 2]
⇒ 2^2x = 2¹
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

প্রশ্ন: 5.2ⁿ - 4.2^{n - 2} = ?

সমাধান:
5.2ⁿ - 4.2^{n - 2}
= 5.2ⁿ - 2².2^{n - 2}
= 5.2ⁿ - 2^{2 + n - 2}
= 5.2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (5 - 1)
= 2ⁿ . 4
= 2ⁿ . 2²
= 2^{n + 2}

z^c = x
(y^b)^c = x [z = y^b]
(x^a)^bc = x
x^abc = x¹
abc = 1

প্রশ্ন: log₃(1/81) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(1/81)
= log₃(3^-4)
= - 4 log₃3
= - 4 × 1
= - 4

প্রশ্ন: (3²)^{x - 1} = 81 হলে x = কত?

সমাধান:
(3²)^{x - 1} = 81
⇒ 3^{2(x - 1)} = 3⁴
⇒ 3^{2x - 2} = 3⁴
⇒ 2x - 2 = 4
⇒ 2x = 4 + 2
⇒ 2x = 6
⇒ x = 6/2
∴ x = 3

(3.2ⁿ – 8.2^n-2) ÷ (2ⁿ - 2^n-1)
(3.2ⁿ – 2³.2^n-2) ÷ (2ⁿ - 2ⁿ .2^-1)
(3.2ⁿ – 2^3+n-2) ÷ (2ⁿ (1 - 2^-1))
(3.2ⁿ – 2¹⁺ⁿ) ÷ (2ⁿ (1 – 1/2))
(3.2ⁿ – 2¹ 2ⁿ) ÷ (2ⁿ (1 – 1/2))
(2ⁿ (3 – 2)) ÷ (2ⁿ (1 – 1/2))
(2ⁿ .1)÷ (2ⁿ .1/2)
1 ÷ 1/2 = 2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: log_x1/256 = - 8 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x1/256 = - 8
বা, x^{- 8} = 1/256
বা, 1/x⁸ = 1/256
বা, x⁸ = 256
বা, x⁸ = 2⁸
∴ x = 2

প্রশ্ন: 5^{(2x - 3)} = 125^{(x + 1)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5^{(2x - 3)} = 125^{(x + 1)} 
⇒ 5^{(2x - 3)} = 5^{3(x + 1)}
⇒ 5^{(2x - 3)} = 5^{(3x + 3)}
⇒ 2x - 3 = 3x + 3
⇒ 2x - 3x = 3 + 3
⇒ - x = 6
∴ x = - 6

প্রশ্ন: 9√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
9√3 এর 3 ভিত্তিক লগ
log₃(9√3)
= log₃(9 × √3)
= log₃(9) + log₃(√3) [log_b(mn) = log_bm + log_bn]
= log₃(3²) + log₃(3^1/2)
= 2 × log₃(3) + (1/2) × log₃(3)
= 2 × 1 + (1/2) × 1
= 2 + 1/2
= 5/2

log_√5625 = log_√5(√5)⁸
= 8log_√5√5
= 8.1
= 8

প্রশ্ন: log₉(3/243) এর মান কত?

সমাধান:
log₉(3/243)
= log₉(1/81)
= log₉(1/3⁴)
= log₉(3^-4)
= - 4 . log₉3  [log_aMⁿ = n.log_aM]
= - 4 . log₉(√9)
= - 4 . log₉9^(1/2)
= - 4 . 1/2 . log₉9
= - 2 . 1  [log_aa = 1]
= - 2

(a^p+q ÷ a^2r) × (a^q+r ÷ a^2p) × (a^r+p ÷ a^2q)
= a^{(p+q - 2r)} × a^{(q+r - 2p)} × a^{(r+p - 2q)}
= a⁰
= 1

(x^x)⁰+(y^y)⁰ 
=1+1
=2

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্নমতে,
50⁷ × 20⁷ = 10⁸ × 10^x
বা, (50×20)⁷ = 10^x+8
বা, (1000)⁷ = 10^x+8
বা, (10³)⁷ = 10^x+8
বা, 10²¹ = 10^x+8
বা, x + 8 = 21
∴ x = 13

x^-3 - 0.001 = 0
⇒ x^-3 = 0.001
⇒ (1/x)³ = 1/1000
⇒ (1/x)³ = (1/10)³
⇒ x³ = 10³
∴ x = 10
∴ x² = 10² = 100

p^m × pⁿ × p^-r 
= p^m+n-r

625(√5)^2x = 1
বা, (√5)^2x = 1/625
বা, (√5)^2x = 1/(5 × 5 × 5 × 5)
বা, (√5)^2x = 1/(√5)⁸
বা, (√5)^2x = (√5)^-8
বা, 2x = -8
বা, x = -4

[8-10(8-10)^-1]^-1 এর মান 
=[8-10(-2)^-1]^-1
=[8+10/2]^-1
=[13]^-1
=1/13

প্রশ্ন: যদি (a/b)^a/b = a^{(a/b) - 1} এবং a = 2b হয়, তবে b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 2b
এবং,
⇒ (a/b)^a/b = a^{(a/b) - 1}
⇒ (2b/b)^(2b/b) = (2b)^{(2b/b) - 1}
⇒ 2² = (2b)^{(2 - 1)}
⇒ 4 = 2b
∴ b = 2

³√x⁴ = 4
বা, (³√x⁴)³ = (4)³ [উভয় পক্ষকে ঘন করে]
বা, x⁴ = 64
∴ x² = √64 = 8

log₂[ log₃ ( log₂x)] = 1
⇒ log₃(log₂x) = 2¹ = 2
⇒ log₂x = 3² = 9
⇒ x = 2⁹ = 512

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি 5^{(x - y)} = 25 এবং 5^{(x + y)} = 3125 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5^{(x - y)} = 25
⇒ 5^{(x - y)} = 5²
⇒ x - y = 2 .......................... (1)

এবং 5^{(x + y)} = 3125
⇒ 5^{(x + y)} = 5⁵
⇒ x + y = 5 .......................... (2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(x - y) + (x + y) = 2 + 5
⇒ 2x = 7
⇒ x = 7/2 
∴ x = 3.5

প্রশ্ন:

সমাধান: