সূচক ও লগারিদম

PrepBank · পাতা ২৯ / ৩২ · ২,৮০১–২,৯০০ / ৩,১৭২

২,৮০১.

log₂256 + log₂32 = কত?

ক
ক) 11
খ
খ) 12
গ
গ) 13
ঘ
ঘ) 14

ব্যাখ্যা

log₂256 + log₂32
= log₂2⁸ + log₂2⁵
= 8log₂2 + 5log₂2
= 8.1 + 5.1
= 13

২,৮০২.

log_pa = 3, log_pb = 5 এবং log_pc = 1 হলে, log_p(ab²/c³) = ?

ক
ক) 3
খ
খ) 13
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

log_p(ab²/c³)
= log_pa + log_pb² - log_pc³
= log_pa + 2log_pb - 3log_pc
= 3 + 2 × 5 - 3 × 1
= 3 + 10 - 3
= 10

২,৮০৩.

সরল করুনঃ (log √27 + log8 - log √1000) ÷ log1.2

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/3
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

(log √27 + log8 - log √1000) ÷ log1.2
= log(3³)^1/2 + log2³ - log(10³)^1/2 ÷ log12/10
= log3^3/2 + log2³ - log10^3/2 ÷ (log(2²x3) - log10)
= 3/2log3 + 3log2 – 3/2log10 ÷ (2log2+log3-1)
= (3/2(log3+2log2-1)) ÷ (2log2+log3-1)
= 3/2

২,৮০৪.

হলে x এর মান কত?

ক
8
খ
5
গ
4
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
হলে x এর মান কত?

সমাধান:

২,৮০৫.

ক
abcd
খ
0
গ
1
ঘ
1/abcd

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৮০৬.

যদি 9^x = (27)^y হয় তাহলে x/y এর মান কত?

ক
2/3
খ
3/2
গ
9/2
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
(3²)^x = (3³)^y
বা, 3^2x = 3^3y
বা, 2x = 3y
বা, x/y = 3/2

২,৮০৭.

4^{4x + 1} = 1/64 হলে, x² এর মান কত?

ক
ক) - 1
খ
খ) 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{4x + 1} = 1/64 হলে, x² এর মান কত?

সমাধান:
4^{4x + 1} = 1/64
4^{4x + 1}= 1/4³
4^{4x + 1}= 4^{- 3}
4x + 1 = - 3
4x = - 3 - 1
4x = - 4
x = - 1
x² = (- 1)²
x² = 1

২,৮০৮.

log3 + log9 + log27 + .......... ধারাটির প্রথম ৮ টি পদের সমষ্টি কত?

ক
216log3
খ
72log3
গ
36log3
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + .......... ধারাটির প্রথম ৮ তম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log3 + log9 + log27 + ..........
= log3 + log3² + log3³ + .........
= log3 + 2log3 + 3log3 +......
= (1 + 2 + 3 +.......)log3

এখন,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
৮ তম পদের সমষ্টি = 8(8 + 1)/2
= 36

সুতরাং, প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি প্রায় 36log3

২,৮০৯.

In₄64+In₂8 = কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 6
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

In₄64+In₂8
=In₄4³+In₂2³
= 3×1 + 3×1
= 6

২,৮১০.

log₂log₃log₃27³ এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

log₂log₃log₃27³
= log₂log₃log₃(3³)³
= log₂log₃log₃(3)⁹
= log₂log₃.9log₃3
= log₂log₃9
= log₂log₃3²
= log₂2log₃3
= log₂2
= 1

২,৮১১.

ক
0
খ
1
ঘ
abc

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৮১২.

32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

log‌₂32
= log‌₂2⁵
= 5

২,৮১৩.

5√5 × 5³ ÷5^-3/2 = 5^{a + 2} হলে, a = কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5√5 × 5³ ÷5^-3/2 = 5^{a + 2} হলে, a = কত?

সমাধান:

২,৮১৪.

ক
2
খ
1
গ
a^{m + n}
ঘ
m + n

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৮১৫.

√18 × √14 =?

ক
3√14
খ
12√7
গ
6√7
ঘ
3√63

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: √18 × √14 =?

সমাধান:
√18 × √14
= √(9 × 2) ×√(7 × 2)
= 3 × √2 × √7 × √2
= 3 × 2 × √7
= 6√7

২,৮১৬.

(5^{n + 2}+ 35 × 5^{n - 1})/(4 × 5ⁿ) এর মান কত?

ক
4
খ
5
গ
7
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (5^{n + 2}+ 35 × 5^{n - 1})/(4 × 5ⁿ) এর মান কত?

সমাধান:
(5ⁿ⁺² + 35 × 5^n-1)/(4 × 5ⁿ)
= (5ⁿ. 5²+ 7 × 5 × 5^{n - 1})/(4 × 5ⁿ)
= (5ⁿ. 25 + 7 × 5^{1 +n -1})/(4 × 5ⁿ)
= (5ⁿ. 25 + 7 × 5ⁿ)/(4 × 5ⁿ)
= 5ⁿ(25 + 7)/4 × 5ⁿ
= 32/4
= 8

২,৮১৭.

2^2x+1 = 128 হলে x এর মান কত?

ক
2
খ
- 3
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^2x+1 = 128 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
2^2x+1 = 128
বা, 2^2x+1 = 2⁷
বা, 2x + 1 = 7
বা, 2x = 7 - 1
বা, 2x = 6
বা, x = 6/2
বা, x = 3

২,৮১৮.

(2^{- 1} + 5^{- 1})^{- 1} = ?

ক
2/5
খ
10/7
গ
5/2
ঘ
7/10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2^{- 1} + 5^{- 1})^{- 1} = ?

সমাধান:
(2^{- 1} + 5^{- 1})^{- 1}
= {(1/2) + (1/5)}^{- 1}
= {(5 + 2)/10}^{- 1}
= (7/10)^{- 1}
= 1/(7/10)
= 1 × 10/7
= 10/7

২,৮১৯.

17 . 2ⁿ- 2 . 2^{n - 1} = কত?

ক
2ⁿ
খ
2^{n - 1}
গ
2^{n + 3}
ঘ
2^{n + 4}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 17 . 2ⁿ- 2 . 2^{n - 1} = কত?

সমাধান:
17 . 2ⁿ- 2 . 2^{n - 1}
= 17 . 2ⁿ - 2^{1 + n - 1}
= 17 . 2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (17 - 1)
= 2ⁿ . 16
= 2ⁿ . 2⁴
= 2^{n + 4}

২,৮২০.

(৩^{- ২} + ৯^{- ১/২})^{- ১/২} = ?

ক
২/৩
খ
২
গ
৩
ঘ
৩/২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (৩^{- ২} + ৯^{- ১/২})^{- ১/২} = ?

সমাধান :
(৩^{- ২} + ৯^{- ১/২})^{- ১/২}
= (১/৩^২ + ১/৯^১/২)^{- ১/২}
= {(১/৯) + (১/√৯)}^{- ১/২}
= {(১/৯) + (১/৩)}^{- ১/২}
= {(১ + ৩)/৯}^{- ১/২}
= (৪/৯)^{- ১/২}
= (৯/৪)^১/২= √(৯/৪)
= ৩/২

২,৮২১.

3¹²+ 3¹² + 3¹²= কত?

ক
ক) 3¹³
খ
খ) 3³⁶
গ
গ) 3¹²
ঘ
ঘ) 3¹⁸

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3¹²+ 3¹² + 3¹²= কত?

সমাধান:
3¹² + 3¹² + 3¹²
= 3¹²(1 + 1 + 1)
= 3¹² .3
= 3¹² .3¹
= 3^{12 + 1}
= 3¹³

২,৮২২.

x = 2 + 2^1/3 + 2^2/3 হলে, x³- 6x² + 6x - 2 এর মান কত?

ক
1/2
খ
0
গ
3x
ঘ
2/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 2+ 2^1/3 + 2^2/3 হলে, x³- 6x² + 6x - 2 এর মান কত?

সমাধান:

২,৮২৩.

x^-4-0.0001=0 হলে, x² এর মান কত?

ক
ক) 100
খ
খ) 10
গ
গ) 1/10
ঘ
ঘ) 1/100

ব্যাখ্যা

x^-4-0.0001=0
⇒1/x⁴=1/10,000
⇒x=10
⇒x²=100

২,৮২৪.

343(√7)^2x = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
1
খ
- 2
গ
- 3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 343(√7)^2x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
343(√7)^2x = 1
⇒ (√7)^2x = 1/343
⇒ (√7)^2x = 1/7³
⇒ (√7)^2x = 1/(√7)⁶
⇒ (√7)^2x = (√7)^{- 6}
⇒ 2x = - 6
⇒ x = (- 6/2)
∴ x = - 3

২,৮২৫.

প্রশ্ন:

ক
1/x
খ
x⁵
গ
x
ঘ
x^{- 5}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৮২৬.

3^x + 3^x + 3^x এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 3^{x + 3}
খ
খ) 3^{x + 1}
গ
গ) 3^{2x + 2}
ঘ
ঘ) 3^x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^x + 3^x + 3^x এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
3^x + 3^x + 3^x
= 3^x . (1 + 1 + 1)
= 3^x . 3
= 3^{x + 1}

২,৮২৭.

p = 5 এবং q = 2 হলে, (p⁰+ q⁰)³ এর মান কত?

ক
7
খ
8
গ
0
ঘ
343

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p = 5 এবং q = 2 হলে, (p⁰+ q⁰)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = 5 এবং q=2

প্রদত্ত রাশি,
(p⁰ + q⁰)³
= (1 + 1)³ ;[a⁰ = 1]
= 2³
= 8

২,৮২৮.

3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

ক
ক) √3
খ
খ) 2/3
গ
গ) 3²
ঘ
ঘ) 3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ
=log₃3√3
=log₃3 +log₃√3
= 1 + log₃3^1/2
= 1 + (1/2)log₃3
= 1 + (1/2)
= (2 + 1)/2
= 3/2

২,৮২৯.

ক
30
খ
25
গ
40
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৮৩০.

x⁴ ÷ x⁴ × x³ মান কত?

ক
1
খ
x
গ
x³
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴ ÷ x⁴ × x³ মান কত?

সমাধান:
x⁴ ÷ x⁴ × x³
= x^{4 - 4 + 3}
= x³

২,৮৩১.

log_√27a = 8/3 হলে a এর মান কত?

ক
9
খ
27
গ
54
ঘ
81

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√27a = 8/3 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
log_√27a = 8/3
⇒ a = (√27)^8/3⇒ a = (√3³)^8/3
⇒ a = 3^{{(3/2) × (8/3)}}
⇒ a = 3⁴
∴ a = 81

২,৮৩২.

যদি log₂(log⁡₃x) = 2 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
9
খ
27
গ
81
ঘ
243

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন যদি log₂(log⁡₃x) = 2 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log₂log₃x = 2
⇒ log₃x = 2² [log₂X = 2 হলে X = 2²]
⇒ log₃x = 4
⇒ x = 3⁴
∴ x = 81

২,৮৩৩.

{(4^x - 9)/(2^x - 3)} - 3 এর মান কত?

ক
2^x - 3
খ
2^x + 3
গ
2^x
ঘ
3^x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(4^x - 9)/(2^x - 3)} - 3 এর মান কত?

সমাধান:
(4^x - 9)/(2^x - 3) - 3
= {(2^x)² - 3²}/(2^x - 3) - 3
= (2^x + 3)(2^x - 3)/(2^x- 3) - 3
= 2^x + 3 - 3
= 2^x

২,৮৩৪.

(625)^1/2 - (4096)^1/3 = 3a হলে, a = ?

ক
ক) -3
খ
খ) -(1/3)
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 1/3

ব্যাখ্যা

(625)^1/2 - (4096)^1/3
= (25²)^1/2 - (16³)^1/3
= 25 - 16
= 9
এখন, (625)^1/2 - (4096)^1/3 = 3a
বা, 9 = 3a
∴ a = 3

২,৮৩৫.

[3 - (4^{- 1})^{- 1}]^{- 1} = কত?

ক
1
খ
- 1
গ
1/2
ঘ
- 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: [3 - (4^{- 1})^{- 1}]^{- 1} = কত?

সমাধান:
[3 - (4^{- 1})^{- 1}]^{- 1}
= [3 - (1/4)^{- 1}]^{- 1}
= [3 - 4]^{- 1}
= [- 1]^{- 1}
= - 1/1
= - 1

২,৮৩৬.

8^3x+2 = 4^x-1 হলে, x এর মান কত?

ক
- 6/7
খ
4/7
গ
- 8/5
ঘ
- 8/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8^3x+2 = 4^x-1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
8^3x+2 = 4^x-1
বা, 2^3(3x+2) = 2^2(x-1)
বা, 9x + 6 = 2x - 2
বা, 9x - 2x = - 2 - 6
বা, 7x = - 8
∴ x = - 8/7

২,৮৩৭.

4^x + 4^{1 - x} = 4 হলে, x = কত?

ক
1/4
খ
1/3
গ
1/2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^x + 4^{1 - x} = 4 হলে, x = কত?

সমাধান:
4^x + 4^{1 - x} = 4
⇒ 4^x + 4¹/4^x = 4
⇒ 4^x + 4/4^x = 4 [4¹ = 4]

মনে করি, 4^x = y
সুতরাং,
y + 4/y = 4
বা, (y² + 4)/y = 4
বা, y² + 4 = 4y
বা, y² - 4y + 4 = 0
বা, y² - 2.y.2 + 2² = 0
বা, (y - 2)² = 0
বা, y - 2 = 0
বা, y = 2
বা, 4^x = 2 [y = 4x বসিয়ে]
বা, (2²)^x = 2¹ [2¹ = 2]
বা, 2^2x = 2¹
বা, 2x = 1
∴ x = 1/2

২,৮৩৮.

3log2 + log5 = ?

ক
ক) log 30
খ
খ) log 40
গ
গ) 3 log 7
ঘ
ঘ) log 13
ঙ
ঙ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

3log2 + log5
= log2³ + log5
= log8 + log5
= log(8 × 5)
= log 40

২,৮৩৯.

1600 এর লগ 4 হলে লগের ভিত্তি কত?

ক
2√10
খ
2√5
গ
4√2
ঘ
4√8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1600 এর লগ 4 হলে লগের ভিত্তি কত?

সমাধান:
ধরি, ভিত্তি = a

প্রশ্নমতে,
log_a 1600 = 4
⇒ a⁴ = 1600
⇒ a⁴ = (40)²
⇒ a⁴ = (4 × 10)²
⇒ a⁴= {(2√10)²}²
⇒ a⁴ = (2√10)⁴
⇒ a = 2√10

অর্থাৎ 1600 এর লগ 4 হলে লগের ভিত্তি হবে 2√10

২,৮৪০.

যদি e^x = 2 এবং e^y = 3, তাহলে e^{3x - 2y} = ?

ক
9/8
খ
8/9
গ
1
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি e^x = 2 এবং e^y = 3, তাহলে e^{3x - 2y} = ?

সমাধান:
এখানে,
e^{3x - 2y}
= e^3x e^-2y
= (e^x)³ (e^y)^-2
= 2³. 3^-2
= 8/9

২,৮৪১.

a√(0.25) = 9 হলে, a এর মান কত?

ক
12
খ
15
গ
18
ঘ
21

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a√(0.25) = 9 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
a√(0.25) = 9
⇒ a√(25/100) = 9
⇒ a√(5/10)² = 9
⇒ a × (5/10) = 9
⇒ a = 9 × (10/5)
∴ a = 18

২,৮৪২.

প্রশ্ন:

ক
144
খ
212
গ
188
ঘ
320

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৮৪৩.

9. 2ⁿ - 2 . 2^{n - 1} = কত?

ক
ক) 2^{2n + 3}
খ
খ) 2ⁿ
গ
গ) 2^{n + 3}
ঘ
ঘ) 2^{n - 3}

ব্যাখ্যা

9. 2ⁿ - 2 . 2^{n - 1}
= 9. 2ⁿ - 2 . 2ⁿ .2 ^{- 1}
= 9. 2ⁿ - 2 . 2ⁿ .(1/2)
= 9. 2ⁿ - 2ⁿ
=2ⁿ ( 9 - 1)
= 2ⁿ .8
= 2ⁿ . 2³
= 2^{n + 3}

২,৮৪৪.

x এর মান কত হলে (3/5)³ × (3/5)^{- 6} = (3/5)^{2x - 1} হবে?

ক
ক) 1
খ
খ) - 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে (3/5)³ × (3/5)^{- 6} = (3/5)^{2x - 1} হবে?

সমাধান:
(3/5)³ × (3/5)^{- 6} = (3/5)^{2x - 1}
(3/5)^{3 - 6} = (3/5)^{2x - 1}
(3/5)^{- 3} = (3/5)^{2x - 1}
- 3 = 2x - 1
2x - 1 = - 3
2x = - 3 + 1
2x = - 2
x = - 1

২,৮৪৫.

a/b = 49 হলে log₇a - log₇b = কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 2
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a/b = 49 হলে log₇a - log₇b = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a/b = 49

এখন,
log₇a - log₇b
= log₇(a/b)
= log₇49
= log₇7²
= 2log₇7
= 2 × 1
= 2

২,৮৪৬.

(8x)⁰ + 8x⁰ এর মান নিচের কোনটি?

ক
2
খ
3
গ
5
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (8x)⁰ + 8x⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(8x)⁰ + 8x⁰
= 1 + (8 × 1) [∴ a⁰ = 1]
= 1 + 8
= 9

২,৮৪৭.

(- x)⁴ × (- x)⁶ × x⁰ = কত?

ক
x¹⁰
খ
x¹¹
গ
x²⁵
ঘ
x²⁴

ব্যাখ্যা

এখানে, (- x)⁴ × (- x)⁶ × x⁰
= x⁴ × x⁶ × x⁰
= x^(4+6+0)
= x¹⁰

২,৮৪৮.

log_2√5400 এর মান কত?

ক
4
খ
5
গ
25
ঘ
49

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_2√5400 এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
log_2√5400 = x
বা, (2√5)^x = 400
বা, (2√5)^x = {(2√5)²}²
বা, (2√5)^x = (2√5)⁴
∴ x = 4

২,৮৪৯.

(125)^{(2x - 3)/3} = (1/5)^{3x - 6} হলে, x = ?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 5/9
ঘ
ঘ) 9/5

ব্যাখ্যা

(125)^{(2x - 3)/3} = (1/5)^{3x - 6}
বা, (5³)^{(2x - 3)/3} = (5^-1)^{3x - 6}
বা, 5^{2x - 3} = 5^{-3x + 6}
বা, 2x - 3 = -3x + 6
বা, 5x = 9
∴ x = 9/5

২,৮৫০.

যদি log₆(x² + x) - log₆(x + 1) = 2 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
18
খ
24
গ
36
ঘ
48

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₆(x² + x) - log₆(x + 1) = 2 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log₆(x²+ x) - log₆(x + 1) = 2
⇒ log₆{(x²+ x)/(x + 1)} = 2
⇒ log₆{x(x + 1)/(x +1)} = 2
⇒ log₆x = 2
⇒ x = 6²
⇒ x = 36

২,৮৫১.

b এর a ভিত্তিক লগারিদমকে log_ab দ্বারা সুচিত করা হয় যখন -

ক
ক) a > 0, a ≠ 0 এবং b ≠ 0
খ
খ) a > 0, a ≠ 1 এবং b ≠ 1
গ
গ) a > 1, a ≠ 1 এবং b ≠ 0
ঘ
ঘ) a > 0, a ≠ 1 এবং b ≠ 0

ব্যাখ্যা

b এর a ভিত্তিক লগারিদমকে log_ab দ্বারা সুচিত করা হয় যখন a > 0, a ≠ 1 এবং b ≠ 0

২,৮৫২.

2⁴ ÷ 2⁴ × 2³ এর মান কত?

ক
ক) 1/8
খ
খ) 32
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2⁴ ÷ 2⁴ × 2³ এর মান কত?

সমাধান:
2⁴ ÷ 2⁴ × 2³
= 2^{4 - 4 + 3}
= 2³
= 8

২,৮৫৩.

log₁₀₂₄2 = ?

ক
512
খ
1
গ
0.1
ঘ
1/100

ব্যাখ্যা

log₁₀₂₄2
= log₁₀₂₄(1024)^1/10
= 1/10log₁₀₂₄1024
= 0.1log₁₀₂₄1024
= 0.1 × 1
= 0.1

২,৮৫৪.

{(9^x - 100)/(3^x + 10)} + 10 = ?

ক
9^x
খ
3^{x + 1}
গ
1
ঘ
3^x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(9^x - 100)/(3^x + 10)} + 10 = ?

সমাধান:
{(9x - 100)/(3x + 10)} + 10
= {(3^x)² - (10)²/(3^x + 10)} + 10
= [{(3^x + 10)(3^x - 10)}/(3^x + 10)] + 10
= (3^x - 10) + 10
= 3^x - 10 + 10
= 3^x

২,৮৫৫.

নিচের প্রশ্নটি সমাধান করুন।

ক
x
খ
x^-2
গ
x³
ঘ
1/x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৮৫৬.

যদি log₂x + log₂(x - 2) = 3 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₂x + log₂(x - 2) = 3 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₂x + log₂(x - 2) = 3
⇒ log₂[x(x - 2)] = 3
⇒ x(x - 2) = 2³ = 8
⇒ x² - 2x = 8
⇒ x² - 2x - 8 = 0
⇒ x² - 4x + 2x - 8 = 0
⇒ x(x - 4) + 2(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(x + 2) = 0

হয়,
(x - 4) = 0
∴ x = 4

অথবা,
(x + 2) = 0
∴ x = - 2 [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ নির্ণয়ে x এর মান 4

২,৮৫৭.

ক
x
খ
1/x
গ
2x
ঘ
x^-2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৮৫৮.

যদি 4^{(a - b)} = 64 এবং 4^{(a + b)} = 1024 হলে, b এর মান কত?

ক
1
খ
3
গ
5
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 4^{(a - b)} = 64 এবং 4^{(a + b)} = 1024 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4^{(a - b)} = 64
⇒ 4^{(a - b)} = 4³
∴ a - b = 3 ........................(1)

আবার,
4^{(a + b)} = 1024
⇒ 4^{(a + b)} = 4⁵
∴ a + b = 5 .......................(2)

(2) - (1) হতে পাই,
⇒ a + b - a + b = 5 - 3
⇒ 2b = 2
∴ b = 1

২,৮৫৯.

9³ × 81² ÷ 27³ = 3^?

ক
5
খ
4
গ
7
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9³ × 81² ÷ 27³ = 3^?

সমাধান:

ধরি,

9³ × 81² ÷ 27³ = 3^a

⇒ (3²)³ × (3⁴)² ÷ (3³)³ = 3^a

⇒ 3⁶ × 3⁸ ÷ 3⁹ = 3^a

⇒ 3^{6 + 8 - 9} = 3^a

⇒ 3⁵ = 3^a

∴ a = 5

২,৮৬০.

(64)^-1/2 - (32)^{- 4/5} = কত?

ক
1/16
খ
1/4
গ
3/2
ঘ
1/8
ঙ
4/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (64)^-1/2 - (32)^{- 4/5} = কত?

সমাধান:
(64)^{- 1/2} - (32)^{- 4/5}
= (8²)^{- 1/2} - (2⁵)^{- 4/5}
= (8)^{- 1}- (2)^{- 4}
= (1/8) - (1/2⁴)
= (1/8) - (1/16)
= (2 - 1)/16
= 1/16

২,৮৬১.

2^-3 এর মান কত?

ক
ক) 1/9
খ
খ) 1/8
গ
গ) 1/27
ঘ
ঘ) √2

ব্যাখ্যা

2^-3
= 1/2³
= 1/8

২,৮৬২.

log₂√6 + log₂√(2/3) = কত?

ক
7
খ
4
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂√6 + log₂√(2/3) = কত?

সমাধান:
log₂√6 + log₂√(2/3)
= log₂{√6 × √(2/3)}
= log₂ √(6 × 2/3)
= log₂ √(12/3)
= log₂ √4
= log₂ 2
= 1

২,৮৬৩.

ক
ক) 0
খ
খ) 2
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৮৬৪.

243 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
10
খ
12
গ
8
ঘ
3√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 243 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
243 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম
= log_√3243
= log_√33⁵
= 5 × log_√33
= 5 × log_√3(√3)²
= 2 × 5 × log_√3√3
= 2 × 5 × 1 ; [log_aa = 1]
= 10

২,৮৬৫.

log₂(3/192) এর মান কত?

ক
1
খ
- 3
গ
4
ঘ
- 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(3/192) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(3/192)
= log₂(1/64)
= log₂(1/2⁶)
= log₂(2^-6)
= - 6 . log₂2 [log_aMⁿ = n.log_aM]
= - 6 . 1
= - 6

২,৮৬৬.

3logx + 3logy = log8 হলে xy =?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : 3logx + 3logy = log 8 হলে xy =?

সমাধান :
দেয়া আছে,
3log x + 3log y = log8
বা, logx³ + logy³ = log2³
বা, logx³y³ = log2³
বা, (xy)³ = 2³
বা, xy= 2

২,৮৬৭.

(x/2)^a+1 = 1 হলে, a এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) -1

ব্যাখ্যা

(x/2)^a+1 = 1
(x/2)^a+1 = (x/2)⁰
a+1 = 0
a = -1

২,৮৬৮.

ক
2
খ
4
গ
5
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৮৬৯.

36√6 এর 6 ভিত্তিক লগ কত?

ক
1/7
খ
5/2
গ
3/4
ঘ
4/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 36√6 এর 6 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
36√6 এর 6 ভিত্তিক লগ
= log₆36√6
= log₆(6².6^1/2)
= log₆6^5/2
= (5/2)log₆6
= 5/2

২,৮৭০.

400 এর 4 ভিত্তিক লগ কত?

ক
2√5
খ
20
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 400 এর 4 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
ধরি,
ভিত্তি = a
∴ log_a400 = 4
⇒ a⁴ = 400
⇒ a⁴ = (2√5)⁴
∴ a = 2√5

২,৮৭১.

প্রশ্ন:

ক
40
খ
50
গ
60
ঘ
65

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৮৭২.

5^{n + 2} + 35 × 5^{n - 1} / 4 × 5ⁿ এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 4
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^{n + 2} + 35 × 5^{n - 1} / 4 × 5ⁿ এর মান কত?

সমাধান:
5^{n + 2} + 35 × 5^{n - 1}/ 4 × 5ⁿ
5ⁿ.5² + 5 × 7 × 5^{n - 1}/4 × 5ⁿ
25 .5ⁿ + 7 × 5^{n - 1 + 1} /4 × 5ⁿ
25 .5ⁿ + 7 × 5ⁿ/4 × 5ⁿ
5ⁿ(25 + 7)/4 × 5ⁿ
32/4
= 8

২,৮৭৩.

log_√2¹⁶ = কত?

ক
4
খ
6
গ
8
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√216 = কত?

সমাধান:
log_√216
= log_√22⁴
= log_√2(√2)⁸
= 8 log_√2√2
= 8 × 1
= 8

২,৮৭৪.

log₂(8√2) এর মান নির্ণয় কর।

ক
2√2
খ
2
গ
3√2
ঘ
3.5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(8√2) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
log₂(8√2)
= log₂ (2³ × 2^1/2)
= log₂ (2^{3 + 1/2})
= log₂ (2^{(6 + 1)/2})
= log₂2^7/2
= 7/2
= 3.5

∴ log_⁡2(8√2) = 3.5

২,৮৭৫.

5^{3a - 7} = 3^{3a - 7} হলে, a এর মান কত?

ক
3/5
খ
3
গ
7/3
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^{3a - 7} = 3^{3a - 7} হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
5^{3a - 7} = 3^{3a - 7}
⇒ 5^{3a - 7}/3^{3a - 7} = 1
⇒ (5/3)^{3a - 7} = (5/3)⁰
⇒ 3a - 7 = 0
⇒ 3a = 7
∴ a = 7/3

২,৮৭৬.

ক
8
খ
13
গ
12
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
প্রশ্ন:

২,৮৭৭.

log₃²⁴³ + log₃²⁷ + log₃⁸¹ এর মান কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 9
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

log₃²⁴³ + log₃²⁷ + log₃⁸¹
= log₃^3⁵ + log₃^3³ + log₃^3⁴
= 5 log₃³ + 3 log₃³ + 4 log₃³
= 5 × 1 + 3 × 1 + 4 × 1 [log_a^a = 1]
= 5 + 3 + 4
= 12

২,৮৭৮.

log 11 + log 121 + log 1331 + ............... ধারাটির প্রথম এগারোটি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 35 log 11
খ
খ) 46 log 11
গ
গ) 55 log 11
ঘ
ঘ) 66 log 11

ব্যাখ্যা

log 11 + log 121 + log 1331 + .........
= log11 + log11² + log11³ + .........
= log11 + 2log11 + 3log11 + .........
= (1 + 2 + 3 + ......... ) × log11
∴ ১ম ১১টি পদের সমষ্টি = [{11(11+1)}/2] × log11
= 66 log11

২,৮৭৯.

1024 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 8
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

log₂1024
= log₂2¹⁰
= 10 log₂2
= 10.1
= 10

২,৮৮০.

যদি log_a2 = a এবং log_a5 = b হয় তবে log_a50 = কত?

ক
ক) a + b
খ
খ) a - 2b
গ
গ) a + 2b
ঘ
ঘ) a² + b²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_a2 = a এবং log_a5 = b হয় তবে log_a50 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_a2 = a এবং log_a5 = b

প্রদত্তরাশি = log_a50
= log_a(2 × 5²)
= log_a2 + log_a5²
= log_a2 + 2log_a5
= a + 2b

২,৮৮১.

12^{log₁₂15 + log₁₂12} = কত?

ক
27
খ
23
গ
120
ঘ
180

ব্যাখ্যা

12^{log₁₂15 + log₁₂12}
= 12^{log₁₂(15 × 12)}
= 12^log₁₂180[ a^log_ab = b ]
= 180

২,৮৮২.

2log₂x - log₂(x - 2) = 3 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

ক
1
খ
2
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2log₂x - log₂(x - 2) = 3 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
2log₂x - log₂(x - 2) = 3
বা, log₂x² - log₂(x - 2) = 3
বা, log₂{x²/(x - 2)} = 3
বা, {x²/(x - 2)} = 2³
বা, {x²/(x - 2)} = 8
বা, x² = 8(x - 2)
বা, x² - 8x + 16 = 0
বা, x² - 2.x.4 + 4² = 0
বা, (x - 4)² = 0
বা, x - 4 = 0
∴ x = 4

২,৮৮৩.

a² = 9, b² = 16 হলে (a + b) = কত?

ক
7
খ
15
গ
12
ঘ
13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² = 9, b² = 16 হলে (a + b) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² = 9 = 3²
∴ a = 3

এবং,
b² = 16 = 4²
∴ b = 4

এখন,
∴ a + b = 3 + 4 = 7

২,৮৮৪.

log_√8x = 2/3 হলে x এর মান কত?

ক
4
খ
6
গ
3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√8x = 2/3 হলে x এর মান কত ?

সমাধান:
log_√8x =2/3
⇒ x = (√8)^2/3
⇒ x = {(2³)^1/2}^2/3
⇒ x = (2^3/2)^2/3
⇒ x = 2¹
∴ x = 2

২,৮৮৫.

log₂128 এর মান কত?

ক
6
খ
7
গ
8
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂128 এর মান কত?

সমাধান:
log₂128
= log₂2⁷
= 7log₂2
= 7 × 1
= 7

২,৮৮৬.

ক
ক) 9/16
খ
খ) 16/9
গ
গ) 81/256
ঘ
ঘ) 256/81

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৮৮৭.

ক
8
খ
16
গ
4
ঘ
64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৮৮৮.

3^{p + q} = 243 এবং 3^{p - q} = 27 হলে, √p এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
1/4
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{p + q} = 243 এবং 3^{p - q} = 27 হলে, √p এর মান কত?

সমাধান:
3^{p + q} = 243
⇒ 3^{p + q} = 3⁵
⇒ p + q = 5

আবার,
3^{p - q} = 27
⇒ 3^{p - q} = 3³
⇒ p - q = 3

তাহলে, p + q + p - q = 5 + 3
⇒ 2p = 8
⇒ p = 4
∴ √p = 2

২,৮৮৯.

3 × 27^a = 9^a+4 হলে, a = কত?

ক
3
খ
- 5
গ
7
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 × 27^a = 9^a+4 হলে, a = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3 × 27^a = 9^a+4
⇒ 3 × (3³)^a = (3²)^{a + 4}
⇒ 3^{3a + 1} = 3^{2a + 8}
⇒ 3a + 1 = 2a + 8
⇒ 3a - 2a = 8 - 1
∴ a = 7

২,৮৯০.

যদি log_x324 = 4 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
3√2
খ
4√2
গ
5√2
ঘ
√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_x324 = 4 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x324 = 4
⇒ x⁴ = 324
⇒ x⁴ = 81 × 4
⇒ x⁴= 3⁴ × 2²
⇒ x⁴ = 3⁴ × (√2)⁴
⇒ x⁴ = (3√2)⁴
⇒ x = 3√2
∴ x = 3√2

২,৮৯১.

3log2 + log5 =?

ক
3log5
খ
log40
গ
log80
ঘ
5log8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3log2 + log5 =?

সমাধান:
3log2 + log5
= log2³ + log5
= log8 + log5
= log(8 × 5)
= log40

২,৮৯২.

4^(log₄3 ⁺ ^log₄6) এর মান কত?

ক
1
খ
9
গ
18
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^log₄3 ⁺ ^log₄6 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, log_bM + log_bN = log_b(M × N)

অতএব, প্রদত্ত রাশি, 4^log₄3 ⁺ ^log₄6= 4^{log₄(3 × 6)}= 4^log₄18
= 18 [ আমরা জানি, a^log_ax = x]

∴ নির্ণেয় মান 18

২,৮৯৩.

log₁₀m = a এবং log₁₀n = b হলে, log₁₀(m^an^b) = কত হবে?

ক
a² - b²
খ
a² + b²
গ
ab
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀m = a এবং log₁₀n = b হলে, log₁₀(m^an^b) = কত হবে?

সমাধান:

২,৮৯৪.

log2 + log4 + log8 + log16 + ................ ধারাটির প্রথম সতেরটি পদের সমষ্টি কত?

ক
210log2
খ
94log2
গ
234log2
ঘ
153log2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + log16 + ................ ধারাটির প্রথম সতেরটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + log16 +............... + প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি
= log2¹ + log2² + log2³ + log2⁴ +............... + প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 + 4log2 + ............... + প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি
= log2 (1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 17)
= log2 {17(17+ 1)/2}
= log2 (17 × 9)
= log2 × 153
= 153log2

২,৮৯৫.

log₁₀125 + log₁₀8 = x হলে x এর মান কত?

ক
ক) - 3
খ
খ) - 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

log₁₀125 + log₁₀8 = x
log₁₀(125 × 8) = x
log₁₀1000 = x
10^x = 1000
10^x = 10³
x = 3

২,৮৯৬.

4^x+1 = 32 হলে, x এর মান কত?

ক
1/3
খ
1/2
গ
3/2
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^x+1 = 32 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
4^x+1 = 32
বা, (2²)^x+1 = 2⁵
বা, 2^2x+2 = 2⁵
বা, 2x + 2 = 5
বা, 2x = 5 - 2
বা, 2x = 3
∴ x = 3/2

২,৮৯৭.

(a/b)^{(x - 7)} = (b/a)^{(x - 9)} হলে, x এর মান কত?

ক
6
খ
8
গ
10
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a/b)^{(x - 7)} = (b/a)^{(x - 9)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{(x - 7)} = (b/a)^{(x - 9)}
(a/b)^{(x - 7)} = (a/b)^{-(x - 9)}
x - 7 = -(x - 9)
x - 7 = - x + 9
x + x = 9 + 7
2x = 16
x = 8

২,৮৯৮.

8^x+ 8^x + 8^x+ 8^xএর মান কোনটি?

ক
2^{2x + 2}
খ
8^4x
গ
32^x
ঘ
2^{3x + 2}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8^x+ 8^x + 8^x+ 8^xএর মান কোনটি?

সমাধান:
8^x + 8^x + 8^x + 8^x
= 8^x(1 + 1 + 1 + 1)
= 8^x × 4
= (2³)^x × 2²
= 2^{3x + 2}

২,৮৯৯.

a^x = b², b^y = c এবং c^z = a হলে xyz এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a^x = b², b^y = c এবং c^z = a হলে xyz এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a^x = b², b^y = c
এবং c^z = a
⇒ (b^y)^z = a ; [c এর মান বসিয়ে]
⇒ b^yz = a
⇒ b^xyz = a^x ; [ঘাতে x দ্বারা গুণ করে]
⇒ b^xyz = b² ; [a এর মান বসিয়ে]
∴ xyz = 2

২,৯০০.

x এর কোন মানের জন্য 72 × 3^{3x - 5} = 2³ × 2⁰ হবে?

ক
0
খ
2
গ
1
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর কোন মানের জন্য 72 × 3^{3x - 5} = 2³ × 2⁰ হবে?

সমাধান:
72 × 3^{3x - 5} = 2³ × 2⁰
⇒ 72 × 3^{3x - 5} = 8 × 1
⇒ 72 × 3^{3x - 5} = 8
⇒ 9 × 3^{3x - 5} = 1
⇒ 3² × 3^{3x - 5} = 1
⇒ 3^{2 + 3x - 5}= 1
⇒ 3^{3x - 3} = 3⁰
⇒ 3x - 3 = 0
⇒ 3x = 3
∴ x = 1