সূচক ও লগারিদম

PrepBank · পাতা ২৬ / ৩২ · ২,৫০১–২,৬০০ / ৩,১৭২

২,৫০১.

√(3^x) = 81 হলে x/2 এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: √(3^x) = 81 হলে x/2 এর মান কত?

সমাধান:
√(3^x) = 81
⇒ (3^x)^1/2 = 81
⇒ 3^x/2 = 3⁴
⇒ x/2 = 4

২,৫০২.

3³3^-5+ 3⁵3^-3 এর মান কত?

ক
80/9
খ
81/9
গ
82/9
ঘ
84/9

ব্যাখ্যা

3³3^-5 + 3⁵3^-3
3³(1/3⁵) + 3⁵ (1/3³)
(1/3² )+ 3²
(1/9) + 9
(1 + 81)/9
82/9

২,৫০৩.

এর মান কত?

ক
ক) x
খ
খ) y
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) z

২,৫০৪.

যদি x = y^a , y = z^b এবং z = x^c হয়, তখন abc এর মান হয় -

ক
4
খ
3
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : যদি x = y^a , y = z^b এবং z = x^c হয়, তখন abc এর মান হয় -

সমাধান :
দেয়া আছে,
x = y^a, y = z^b এবং z= x^c

এখন,
z = x^c
⇒ x^c = z
⇒ (y^a)^c = z
⇒ y^ac = z
⇒ (z^b)^ac = z
⇒ z^abc = z
⇒ z^abc = z¹
⇒ abc = 1

২,৫০৫.

log_x(5/2) = - 1/2 হলে x এর মান কত?

ক
25/4
খ
4/25
গ
√(5/2)
ঘ
√(2/5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(5/2) = - 1/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
x^{- 1/2} = 5/2
1/x^1/2 = 5/2
x^1/2 = 2/5
(x^1/2)² = (2/5)²
x = 4/25

২,৫০৬.

4^{x + 3} = 64 হলে, x এর মান কত?

ক
0
খ
- 1
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{x + 3} = 64 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 4^{x + 3} = 64
⇒ (2²)^{x + 3} = 2⁶
⇒ 2^{2x + 6} = 2⁶
⇒ 2x + 6 = 6
⇒ 2x = 6 - 6
⇒ 2x = 0
∴ x = 0

২,৫০৭.

৩^৪১ + ৩^৪২ + ৩^৪৩ = ?

ক
২(৩^৪২)
খ
৫(৩^৪৩)
গ
১৩(৩^৪১)
ঘ
৩(৩^৪২)
ঙ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩^৪১ + ৩^৪২ + ৩^৪৩ = ?

সমাধান:
৩^৪১ + ৩^৪২ + ৩^৪৩
= ৩^৪১(১ + ৩ + ৩^২)
= ৩^৪১ (১ + ৩ + ৯)
= ১৩(৩^৪১)

২,৫০৮.

64^-2/3 × (1/4)^-2= কত?

ক
2
খ
8
গ
1
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 64^-2/3 × (1/4)^-2= কত?

সমাধান:
64^-2/3 × (1/4)^-2= (4³)^-2/3 × (1/4)^-2
= (4)^-2 × (1/4)^-2
= (1/4)² × (1/4)^-2
= (1/4)^{2 - 2}
= (1/4)⁰
= 1

২,৫০৯.

x⁰ + y⁰ + z¹ এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2 + z
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) z

ব্যাখ্যা

x⁰ + y⁰ + z¹
= 1 + 1 + z
= 2 + z

২,৫১০.

4^x+1 = 32 হলে, x = ?

ক
2/3
খ
3/5
গ
1/8
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 32 হলে, x = ?

সমাধান:
4x + 1 = 32
বা, (2²)^{x + 1} = 2⁵
বা, 2^{2x + 2} = 2⁵
বা, 2x + 2 = 5
বা, 2x = 5 - 2
বা, 2x = 3
∴ x = 3/2

২,৫১১.

ক
0
খ
6
গ
2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৫১২.

log₂(1/32) এর মান কত?

ক
1
খ
- 5
গ
5
ঘ
1/5

ব্যাখ্যা

log₂(1/32)
= log₂ 1 - log₂ 32
= 0 - log₂2⁵
= - 5 log₂2
= - 5 × 1
= - 5

২,৫১৩.

1/log_ab × 1/log_bc × 1/log_ca =কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) abc

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/log_ab × 1/log_bc × 1/log_ca = কত?

সমাধান:
1/log_ab × 1/log_bc × 1/log_ca
= log_ba × log_cb × log_ac
= (log_ba × log_cb) × log_ac
= log_ca × log_ac
= 1

২,৫১৪.

p³ = q² = s⁶ হলে, log_s(pq) =?

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p³ = q² = s⁶ হলে, log_s(pq) =?

সমাধান:
p³ = s⁶
⇒ p = s^6/3
∴ p = s²

q² = s⁶
⇒ q = s^6/2
∴ q = s³

log_s(pq)
= log_s(s².s³)
= log_ss⁵
= 5log_ss
= 5

২,৫১৫.

3^x+3^x+3^x=?

ক
9^x
খ
3^{(x + 1)}
গ
9^1x
ঘ
None

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^x + 3^x + 3^x = ?

সমাধান:
3^x + 3^x + 3^x = 3 × 3^x
3 × 3^x =3¹× 3^x = 3 ^{x + 1}
∴ 3^x+ 3^x+ 3^x= 3 ^{x + 1}

২,৫১৬.

2^{x - 6} = 1/32 হলে x এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
- 1
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{x - 6} = 1/32 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
2^{x - 6} = 1/32
⇒ 2^{x - 6} = 1/2⁵
⇒ 2^{x - 6} = 2^{- 5}
⇒ x - 6 = - 5
⇒ x = - 5 + 6
⇒ x = 1

২,৫১৭.

ক
1
খ
1/2
গ
0
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৫১৮.

a^x = n হলে x = ?

ক
ক) n/a
খ
খ) ^a√n
গ
গ) log_an
ঘ
ঘ) log_na

ব্যাখ্যা

কোনো ব্যাখ্যা দেয়া হয়নি।

২,৫১৯.

ক
9/4
খ
125/8
গ
64/27
ঘ
72/25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৫২০.

5^(2x-6) = 7^(2x-6) হলে x এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, 5^(2x-6) = 7^(2x-6)
বা, 5^(2x-6)/7^(2x-6) = 1
বা, (5/7)^(2x-6) = 1
বা, (5/7)^(2x-6) = (5/7)⁰
বা, 2x - 6 = 0
বা, 2x = 6
বা, x = 6/2
বা, x = 3

২,৫২১.

2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3 = ?

ক
0
খ
- 1
গ
- 3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3 = ?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3
= log₁₀5² + log₁₀6² - log₁₀3²
= log₁₀25 + log₁₀36 - log₁₀9
= log₁₀(25 × 36) - log₁₀9
= log₁₀{(25 × 36)/9}
= log₁₀100
= log₁₀10²
= 2log₁₀10 ;[log_aa = 1]
= 2

২,৫২২.

log_mn × log_no × log_op × log_pq = ?

ক
ক) log_mq
খ
খ) log_qm
গ
গ) log_np
ঘ
ঘ) log_rq

ব্যাখ্যা

log_mn × log_no × log_op × log_pq
= (log_mn × log_no) × log_op × log_pq
= (log_mo × log_op) × log_pq
= log_mp × log_pq
= log_mq

২,৫২৩.

2^x + 2^x + 2^x + 2^x = কত?

ক
2^(x+6)
খ
2^(x+4)
গ
2^(x+3)
ঘ
2^(x+2)

ব্যাখ্যা

2^x + 2^x + 2^x + 2^x
= 4.2^x
= 2².2^x
= 2^(2+x)
= 2^(x+2)

২,৫২৪.

log_ax = 2, log_ay = 3 এবং log_az = 4 হলে, loga(xy²/z) এর মান কত?

ক
4
খ
2
গ
8
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_ax = 2, log_ay = 3 এবং log_az = 4 হলে, loga(xy²/z) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_ax = 2
∴ x = a²

আবার,
log_ay = 3
∴ y = a³

এবং
log_az = 4
∴ z = a⁴

প্রদত্ত রাশি,
log_a(xy²/z)
= log_a{a² × (a³)²/a⁴}
= log_a(a⁸/a⁴)
= log_aa⁴
= 4log_aa
= 4

২,৫২৫.

3.2ⁿ - 4.2^n-2 = কত?

ক
1
খ
2^{n +1}
গ
3
ঘ
2ⁿ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3.2ⁿ - 4.2^{n - 2} = কত?

সমাধান:
3 × 2ⁿ - 4 × 2^{n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2² × 2^{n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2^{2 + n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (3 - 1)
= 2ⁿ × 2¹
= 2^{n + 1}

২,৫২৬.

3^3y = 729 হলে 2^y এর মান কত?

ক
4
খ
8
গ
1/8
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^3y = 729 হলে 2^y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^3y = 729
⇒ 3^3y = 3⁶
⇒ 3y = 6
⇒ y = 6/3
⇒ y = 2

∴ 2^y = 2² = 4

২,৫২৭.

x⁰ = 1 হলে নিচের কোনটি সত্য নয়?

ক
x = 0
খ
x = 1/2
গ
x = 1
ঘ
x = - 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁰ = 1 হলে নিচের কোনটি সত্য নয়?

সমাধান:
শূন্য শক্তি: x⁰ = 1, (যখন, x ≠ 0 )

প্রমাণ:
1 = xⁿ/xⁿ= x^{n - n} = x⁰

২,৫২৮.

ক
ক) 0
খ
খ) 2
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

√(y⁴/x⁴).√(z⁴/y⁴).√(x⁴/z⁴).
√{(y²/x²)²}.√{(z²/y²)²}.√{(x²/z²)²}
(y²/x²). (z²/y²) .(x²/z²)
= 1

২,৫২৯.

log_√8x = 10/3 হলে x এর মান কত?

ক
8
খ
32
গ
128
ঘ
81

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√8x = 10/3 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ log_√8x = 10/3
⇒ (√8)^10/3 = x ;[log_aN = x হলে, a^x = N]
⇒ {√(2³)}^10/3 = x
⇒ (2^3/2)^10/3 = x
⇒ 2⁵ = x
⇒ x = 32
∴ x = 32

২,৫৩০.

যদি log_n3 = a এবং log_n5 = b হয়, তবে log_n(75/9) = ?

ক
a + 2b
খ
b - 2a
গ
2b - a
ঘ
2a - b

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_n3 = a এবং log_n5 = b হয়, তবে log_n(75/9) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_n3 = a এবং log_n5 = b

প্রদত্ত রাশি,
log_n(75/9)
= log_n{(3 × 25)/9}
= log_n(25/3)
= log_n25 - log_n3
= log_n5² - log_n3
= 2log_n5 - log_n3
= 2b - a

২,৫৩১.

ক
8/3
খ
5/2
গ
2/5
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৫৩২.

log_x√2 = 1/6 হলে, x এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x√2 = 1/6 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x√2 = 1/6
⇒ x^1/6 = √2
⇒ x^{(1/3) × (1/2)} = 2^1/2
⇒ x^1/3 = 2
⇒ x = 2³
∴ x = 8

২,৫৩৩.

[2 - (3^{- 1}) ^{- 1}] ^{- 1} + 1 = কত?

ক
2
খ
0
গ
1
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: [2 - (3^{- 1}) ^{- 1}] ^{- 1} + 1 = কত?

সমাধান:
[2 - (3^{- 1})^{- 1}] ^{- 1} + 1
= [2 - (1/3)^{- 1}] ^{- 1} + 1
= [2 - 1/(1/3)]^{- 1}+ 1
= [2 - 3]^{- 1} + 1
= - 1 + 1
= 0

২,৫৩৪.

x^{- 5} - 0.00001 = 0 হলে, x³ এর মান কত?

ক
10000
খ
100
গ
10
ঘ
1000

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x^{- 5} - 0.00001 = 0 হলে, x³ এর মান কত?

সমাধান:
x^{- 5} - 0.00001 = 0
বা, 1/x⁵ = 0.00001
বা, 1/x⁵ = 1/100000
বা, (1/x)⁵ = (1/10)⁵
বা, 1/x = 1/10
বা, x = 10
বা, x³ = 10³
x³ = 1000

২,৫৩৫.

e^x = 5 হলে, x এর মান কত?

ক
1.96
খ
7.76
গ
0.23
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: e^x = 5 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
e^x = 5
⇒ loge^x= log5
⇒ x loge = log5
⇒ x ⋅ 1 = log5
⇒ x = log 5
∴ x = 1.61

২,৫৩৬.

প্রশ্ন:

ক
12
খ
22
গ
18
ঘ
28

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৫৩৭.

5^x+2 = 625 হলে 7^x-2 = ?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
7

ব্যাখ্যা

5^x+2 = 625
বা, 5^x+2 = 5⁴
বা, x + 2 = 4
বা, x - 2 = 0

∴ 7^x-2
= 7°
= 1

২,৫৩৮.

2^a = 3^b= 6^cহলে (c/a) + (c/b) = কত?

ক
ক) 6
খ
খ) 3
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^a = 3^b= 6^cহলে (c/a) + (c/b) = কত?

সমাধান:
2^a = 3^b = 6^c

এখানে
2^a = 6^c
2 = 6^c/a

3^b = 6^c
3 = 6^{c/b

এখন}6 = 2 × 3
6¹ = 6^c/a × 6^c/b
6^{(c/a) + (c/b)} = 6¹
(c/a) + (c/b) = 1

২,৫৩৯.

(log√14)/(log14) = কত?

ক
1
খ
1/2
গ
0
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (log√14)/(log14) = কত?

সমাধান:
log√14/log14
= log14^(1/2)/log(14)
= (1/2)log14/log14
= (1/2) × 1
= 1/2

২,৫৪০.

log₂32 + log₂8 এর মান কত?

ক
6
খ
8
গ
5
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂32 + log₂8 এর মান কত?

সমাধান:
log₂32 + log₂8
= log₂2⁵ + log₂2³
= 5 log₂2 + 3 log₂2
= (5 × 1) + (3 × 1)
= 5 + 3
= 8

২,৫৪১.

যদি 3^{x + 5} = 243 হয়, তবে 3^2x = কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 5} = 243 হয়, তবে 3^2x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^{x + 5} = 243
⇒ 3^{x + 5} = 3⁵
⇒ x + 5 = 5
⇒ x = 5 - 5
∴ x = 0

∴ 3^2x = 3^{2 × 0}
= 3⁰
= 1

২,৫৪২.

ক
1
খ
x² - y²
গ
x⁹ - y⁹
ঘ
x¹⁸ - y¹⁸

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৫৪৩.

যদি x = y^a, y = z^b এবং z = x^c হয় তাহলে abc এর মান কত?

ক
2
খ
0
গ
1
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = y^a, y = z^b এবং z = x^c হয় তাহলে abc এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = y^a, y = z^b এবং z = x^c

এখন,
x = y^a
⇒ x =(z^b)^a
⇒ x = z^ba
⇒ x = (x^c)^ba
⇒ x¹= x^abc
⇒ abc = 1

২,৫৪৪.

4^x + 4^x + 4^x + 4^x এর মান নিচের কোনটি?

ক
16^x
খ
4^4x
গ
2^{2x + 2}
ঘ
2^8x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^x + 4^x + 4^x + 4^x এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
4^x + 4^x + 4^x + 4^x
= 4^x(1 + 1 + 1 + 1)
=4^x × 4
= 4^{x + 1}
= (2²)^{x + 1}
= 2^{2x + 2}

২,৫৪৫.

log_ax = 1, log_ay = 2, log_az = 3 হলে, log_a(x³y²/z) এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_ax = 1, log_ay = 2, log_az = 3 হলে, log_a(x³y²/z) এর মান কত?

সমাধান:
log_a(x³y²/z)
= log_a(x³y²) - log_az [log_aM/N = log_aM - log_aN]
= log_ax³ + log_ay² - log_az [log_aMN = log_aM + log_aN]
= 3log_ax + 2log_ay - log_az
= 3 × 1 + 2 × 2 - 3
= 3 + 4 - 3
= 4

২,৫৪৬.

log₁₀2 = 0.301 হলে, log₂10 এর মান কত?

ক
1000/301
খ
699/301
গ
0.6990
ঘ
0.3010

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀2 = 0.301 হলে, log₂10 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
log_ab = 1/log_ba

∴ log₂10
= 1/ log₁₀2
= 1/0.3010
= (1 × 1000)/301
= 1000/301

২,৫৪৭.

যদি 3^{x + 4} = 81 হয়, তবে 3^2x = কত?

ক
0
খ
3
গ
1
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 4} = 81 হয়, তবে 3^2x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^{x + 4} = 81
⇒ 3^{x + 4}= 3⁴
⇒ x + 4 = 4
⇒ x = 4 - 4
∴ x = 0

∴ 3^2x = 3^{2 × 0}
= 3⁰
= 1

২,৫৪৮.

log_a (ab) = c হলে log_b (ab) = ?

ক
(c - 1)/c
খ
c/(c - 1)
গ
c/(c + 1)
ঘ
(c - 2)/c

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a (ab) = c হলে log_b (ab) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_a (ab) = c
⇒ log_a a + log_a b = c
⇒ 1 + log_a b = c
⇒ log_a b = c - 1
⇒ 1/log_b a = c - 1
⇒ logb a = 1/(c -1)

∴ log_b (ab)
= log_b a + log_b b
= {1/(c - 1)} + 1
= (1 + c - 1)/(c - 1)
= c/(c - 1)

২,৫৪৯.

যদি (a/b)^{x - 3}= (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{x - 3}= (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{x - 3}= (b/a)^{x - 5}
(a/b)^{x - 3}= (a/b)^{- (x - 5)}
x - 3 = - x + 5
x + x = 5 + 3
2x = 8
x = 4

২,৫৫০.

(- 2)⁷= কত?

ক
ক) 128
খ
খ) 64
গ
গ) - 64
ঘ
ঘ) - 128

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (- 2)⁷= কত?

সমাধান:
যেহেতু রাশির ঘাত বিজোড় তাই চিহ্নের কোনো পরিবর্তন হবে না।
(- 2)⁷
= - (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)
= -128

২,৫৫১.

x এর মান কত হলে (3/5)³ × (3/5)^{- 6} = (3/5)^{2x - 1} হবে?

ক
5
খ
- 4
গ
3
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে (3/5)³ × (3/5)^{- 6} = (3/5)^{2x - 1} হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ (3/5)³ × (3/5)^{- 6} = (3/5)^{2x - 1}
⇒ (3/5)^{3 - 6} = (3/5)^{2x - 1}
⇒ (3/5)^{- 3}= (3/5)^{2x - 1}
⇒ 2x - 1 = - 3
⇒ 2x = - 3 + 1
⇒ 2x = - 2
∴ x = - 1

২,৫৫২.

5^{2x + 1} = 125^{x - 1} হলে, x এর মান কত?

ক
3
খ
- 5
গ
10
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^{2x + 1} = 125^{x - 1} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5^{2x + 1} = 125^{x - 1}⇒ 5^{2x + 1} = (5³)^{x - 1}⇒ 5^{2x + 1} = 5^{3x - 3}⇒ 2x + 1 = 3x - 3
⇒ 2x - 3x = - 3 - 1
⇒ - x = - 4
∴ x = 4

২,৫৫৩.

4^{(x + 1)} = 64 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 2
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

4^{(x + 1)} = 64
or, (2²)^{(x + 1)} = 2⁶
or, 2^{(2x + 2)} = 2⁶
or, 2x + 2 = 6
or, 2x = 4
or, x = 2

২,৫৫৪.

9^{x + 1} = 243 হলে x এর মান কত?

ক
1/2
খ
2/3
গ
3/2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9^{x + 1} = 243 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
9^{x + 1} = 243
⇒ (3²)^{x + 1} = 3⁵
⇒ 3^{2x + 2} = 3⁵
∴ 2x + 2 = 5
⇒ 2x = 5 - 2
⇒ 2x = 3
∴ x = 3/2

২,৫৫৫.

log₁₀ (0.000001) এর মান কত?

ক
4
খ
- 6
গ
3
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀ (0.000001) এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀ (0.000001)
= log₁₀(1/1000000)
= log₁₀ (10^{- 6})
= - 6 log₁₀10
= - 6 × 1
= - 6

২,৫৫৬.

9 × 3^{a - 1} = 27^a হলে a এর মান কত?

ক
1/2
খ
1/3
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9 × 3^{a - 1} = 27^a হলে a এর মান কত?

সমাধান:
9 · 3^{a - 1} = 27^a
⇒ 3² · 3^{a - 1} = (3³)^a
⇒ 3^{2 + a - 1} = 3^3a
⇒ 2 + a - 1 = 3a
⇒ a + 1 = 3a
⇒ 3a - a = 1
⇒ 2a = 1
∴ a = 1/2

২,৫৫৭.

2^{2x + 2} = 16^{x + 3} হলে, x এর মান কত?

ক
- 4
খ
3
গ
- 5
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{2x + 2} = 16^{x + 3} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
2^{2x + 2} = 16^{x + 3}
⇒ 2^{2x + 2} = 2^{4x + 12}
⇒ 2x + 2 = 4x + 12
⇒ 4x - 2x = 2 - 12
⇒ 2x = - 10
∴ x = - 5

২,৫৫৮.

(4x)⁰ - 5(x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

ক
4
খ
1
গ
- 4
ঘ
20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (4x)⁰ - 5(x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(4x)⁰ - 5(x)⁰
= 1 - 5 × 1
= 1 - 5
= - 4

২,৫৫৯.

যদি (3/5)^x = 27/125 হয়, তবে x^x এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 9
গ
গ) 27
ঘ
ঘ) 81

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (3/5)^x = 27/125 হয়, তবে x^x এর মান কত?

সমাধান:
(3/5)^x = 27/125
(3/5)^x = (3/5)³
x = 3

x^x= 3³ = 27

২,৫৬০.

যদি 8^{x + 1} = 32 হয় তবে, x এর মান কত?

ক
2/3
খ
3/2
গ
1
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 8^{x + 1} = 32 হয় তবে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
8^{x + 1} = 32
⇒ 2³⁽^{x + 1)} = 2⁵
⇒ 3x + 3 = 5
⇒ 3x = 5 - 3
⇒ 3x = 2
∴ x = 2/3

২,৫৬১.

0.25 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) 2
খ
খ) - 2
গ
গ) - 4
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.25 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
0.25 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম =log₂(0.25)
= log₂(25/100)
= log₂(1/4)
= log₂(1/2²)
= log₂2^-2
= - 2log₂2
= - 2 .1
= - 2

২,৫৬২.

যদি log₄[log₃(log₂b)] = 0, তাহলে b এর মান কত?

ক
4
খ
8
গ
12
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₄[log₃(log₂b)] = 0, তাহলে b এর মান কত?

সমাধান:
log₄[log₃(log₂b)] = 0
⇒ log₃(log₂b) = 4⁰ [সূত্র: log_bM = c ⇒ M = b^c]
⇒ log₃(log₂b) = 1
⇒ log₂b = 3¹ [সূত্র: log_bM = c ⇒ M = b^c]
⇒ log₂b = 3
⇒ b = 2³ [সূত্র: log_bM = c ⇒ M = b^c]
⇒ b = 8
∴ b = 8

২,৫৬৩.

ক
ক) 2
খ
খ) 1/2
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 1/16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৫৬৪.

72.2^{(5x - 8)} = 3² হলে x = কত?

ক
ক) 0
খ
খ) -1
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 72.2^{(5x - 8)} = 3² হলে x = কত?

সমাধান:
72 . 2^{(5x - 8)} = 3²
⇒ 2^{(5x - 8)} = 9/72
⇒ 2^{(5x - 8)} = 1/8
⇒ 2^{(5x - 8)} = 1/2³
⇒ 2^{(5x - 8)}= 2^-3
⇒ 5x - 8 = - 3
⇒ 5x = - 3 + 8
⇒ 5x = 5
∴ x = 1

২,৫৬৫.

{(x^p/x^q)^p+q} {(x^q/x^r)^q+r} {(x^r/x^p)^r+p} = কত?

ক
ক) x
খ
খ) x^p+q+r
গ
গ) x^2p+2q+2r
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

{(x^p/x^q)^p+q} {(x^q/x^r)^q+r} {(x^r/x^p)^r+p}
= (x^p-q)^p+q (x^q-r)^q+r (x^r-p)^r+p
= x^p2-q2 × x^q2-r2 × x^r2-p2
= x^{p2-q2+q2-r2+r2-p2}
= x⁰
= 1

২,৫৬৬.

Log_√381 + Log₅5√5 এর মান কত?

ক
19/2
খ
17/√3
গ
19/√2
ঘ
17/√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Log_√381 + Log₅5√5 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
Log_√381 + Log55√5
= Log_√3(√3)⁸ + Log₅(5¹ × 5^1/2) ; [3⁴ = 81, (√3)⁸ = 81]
= 8Log_√3√3 + Log₅5^{(1 + 1/2)} ; [Log_aa = 1]
= 8 + (3/2)
= (16 + 3)/2
= 19/2

২,৫৬৭.

যদি (36)^{2x + 3} = 6^{3x + 7} হয় তবে x = কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (36)^{2x + 3} = 6^{3x + 7} হয় তবে x = কত?

সমাধান:
(36)^{2x + 3} = 5^{3x + 7}
⇒ (6²)^{2x + 3} = 5^{3x + 7}
⇒ 6^{4x + 6}= 5^{3x + 7}
⇒ 4x + 6 = 3x + 7
⇒ 4x - 3x = 7 - 6
∴ x = 1

২,৫৬৮.

যদি log_√27a = 4/3 হয়, তাহলে a এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
6
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_√27a = 4/3 হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
log_√27a = 4/3
⇒ a = (√27)^4/3
⇒ a = 3^{(3/2) · (4/3)}
⇒ a = 3²∴ a = 9

২,৫৬৯.

4^{x + 4}= 32 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) - 1
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) - 3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:4^{x + 4} = 32 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^{x + 4} = 32
(2²)^{x + 4} = 2⁵
2^{2x + 8} = 2⁵
2x + 8 = 5
2x = 5 - 8
2x = - 3
x = - 3/2

২,৫৭০.

32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম = log₂32
= log₂2⁵
= 5 log₂2 [log_aa = 1]
= 5 × 1
= 5

২,৫৭১.

log_x√343 = 3/2 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 7√7
খ
খ) 7
গ
গ) √7
ঘ
ঘ) 7²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(√343) = 3/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(√343) = 3/2
বা, x^3/2 = (√343)
বা, (x^3/2)² = (√343)²[বর্গ করে]
বা, x³ = 343
বা, x³ = 7³
∴ x = 7

২,৫৭২.

যদি 5^a = 3125 হয়,তাহলে 3^{(a - 5)} এর মান কত?

ক
9
খ
1
গ
3
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5^a = 3125 হয়,তাহলে 3^{(a - 5)} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 5^a = 3125
⇒ 5^a = 5⁵
⇒ a = 5

প্রদত্ত রাশি,
=3^{(a - 5)}
= 3^{(5 - 5)}
= 3⁰
= 1

২,৫৭৩.

15/(3^-1) = 9^{n - 1} × 5^{n - 1} হলে, n = ?

ক
ক) 2
খ
খ) -1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

বা, 15/(3^-1) = 9^{n - 1} × 5^{n - 1}
বা, (3 × 5)/(3^-1) = (9 × 5)^{n - 1}
বা 3^{1 + 1} × 5 = (45)^{n - 1}
বা, 3² × 5 = (45)^{n - 1}
বা, (45)^{n - 1} = 45 = (45)¹
বা, n - 1 = 1
∴ n = 2

২,৫৭৪.

a^1/x = b^1/y = c^1/z এবং abc=1হয়, তাহলে x+y+z=?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

ধরি, a^1/x = b^1/y = c^1/z = k
a = K^x, b = K^y, c = K^z
abc = K^x K^y K^z = K^x+y+z
দেওয়া আছে, abc = 1
K^x+y+z = 1
K^x+y+z = k⁰
x+y+z = 0

২,৫৭৫.

a^x = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 0
গ
গ) অনির্ণেয়
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a^x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
a^x = 1
⇒ a^x = a⁰
∴ x = 0

২,৫৭৬.

27√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

ক
2/3
খ
2/7
গ
5/6
ঘ
7/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 27√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
27√3 এর 3 ভিত্তিক লগ হলো,
log₃ 27√3
= log₃ (3³ × 3^1/2)
= log₃ 3^{{3 + (1/2)}}
= {3 + (1/2)} log₃3
= (6 + 1)/2 ;[ log₃ 3 = 1 ]
= 7/2

২,৫৭৭.

8^{2x + 3} = 2^{3x + 6} হলে x = কত?

ক
1
খ
- 1
গ
2
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8^{2x + 3} = 2^{3x + 6} হলে x = কত?

সমাধান:
8^{2x + 3} = 2^{3x + 6}
বা, (2³)^{(2x + 3)} = 2^{3x + 6}
বা, 2^{6x + 9} = 2^{3x + 6}
বা, 6x + 9 = 3x + 6
বা, 6x - 3x = 6 - 9
বা, 3x = - 3
বা, x = - 3/3
∴ x = - 1

২,৫৭৮.

7^{- x} = 1/2401 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7^{- x} = 1/2401 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
7^{- x} = 1/2401
⇒ 7^-x = 1/7⁴
⇒ 7^{- x} = 7^{- 4}
∴ - x = - 4
∴ x = 4

২,৫৭৯.

log₁₀x² = - 4 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
0.01
খ
1
গ
0.1
ঘ
0.0001

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₁₀x² = - 4 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀x² = - 4
⇒ x² = 10^{- 4}
⇒ x² = 1/10⁴
⇒ x² = 1/10000
⇒ x = √0.0001
∴ x = 0.01

২,৫৮০.

log₈x = 25 এবং log₂y = 5 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
x = y⁵
খ
x³ = y²
গ
x³ = y
ঘ
x = y¹⁵

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₈x = 25 এবং log₂y = 5 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
log₈x = 25 এবং log₂y=5
⇒ x = 8²⁵এবং y = 2⁵
⇒ x = (2³)²⁵ এবং y = 2⁵
⇒ x = 2⁷⁵ এবং y = 2⁵
⇒ x = (2⁵)¹⁵ এবং y = 2⁵
x = y¹⁵

২,৫৮১.

ক
1/2
খ
2/3
গ
3/4
ঘ
4/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৫৮২.

ক
ক) 3
খ
খ) 9
গ
গ) - 3
ঘ
ঘ) - 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
(- 27)1/3
= {(- 3)³}^1/3
= - 3

২,৫৮৩.

8x^{- 2} = 2/25 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
2
খ
8
গ
20
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 8x^{- 2} = 2/25 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
8x^{- 2}= 2/25
⇒ x^{- 2} = 2/(25 × 8)
⇒ x^{- 2} = 1/(25 × 4)
⇒ x^{- 2} = 1/100
⇒ 1/x² = 1/100
⇒ x² = 100 = 10²
∴ x = 10

২,৫৮৪.

যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে m^{(a + b)} = ?

ক
m
খ
m²
গ
1
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে m^{(a + b)} = ?

সমাধান:
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b)
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b)
⇒ log1 = log(a + b)
⇒ a + b = 1

এখন,
m^{(a + b)}
= m¹
= m

২,৫৮৫.

a = 7 - 4√3 হলে, a^1/2 + a^-1/2 = কত?

ক
2√3
খ
1/2√3
গ
4
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 7 - 4√3 হলে, a^1/2 + a^-1/2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 7 - 4√3
⇒ 1/a = 1/(7 - 4√3)
⇒ 1/a = {1/(7 - 4√3)} × {(7 + 4√3)/(7 + 4√3)}
⇒ 1/a = (7 + 4√3)/{7²- (4√3)²}
⇒ 1/a = (7 + 4√3)/(49 - 48)
⇒ 1/a = 7 + 4√3

এখন, a^1/2 + a^-1/2 = √a + (1/√a)
⇒ {√a + (1/√a)}²= (√a)² + 2 · √a · (1/√a) + (1/√a)²
⇒ {√a + (1/√a)}² = a+ 2 + (1/a)
⇒ {√a + (1/√a)}² = 7 - 4√3 + 7 + 4√3 + 2
⇒ {√a + (1/√a)}² = 16
∴ √a + (1/√a) = 4

২,৫৮৬.

যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তাহলে-

ক
a - b = 1
খ
a = b
গ
a + b = 1
ঘ
a² - b² = 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তাহলে-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b)
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b)
⇒ log(a + b) = lag 1
∴ a + b = 1

২,৫৮৭.

(10x²)⁰ = ?

ক
ক) 2
খ
খ) 12
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

(10x²)⁰= (10x²)⁰ = 1 [As, a⁰ = 1]

২,৫৮৮.

(49)^{2a + 3} = 7^{3a + 6} হয়, তবে a = কত?

ক
ক) 1
খ
খ) - 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

(49)^{2a + 3} = 7^{3a + 6}
(7²)^{2a + 3} =7^{3a + 6}
7^{4a + 6} = 7^{3a + 6}
4a + 6 = 3a + 6
4a - 3a = 6 - 6
a = 0

২,৫৮৯.

ক
2
খ
3
গ
5
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৫৯০.

(x^a/x^b)^{(a + b)} (x^b/x^c)^{(b + c)} (x^c/x^a)^{(c + a)} = কত?

ক
0
খ
1
গ
- 1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x^a/x^b)^{(a + b)} (x^b/x^c)^{(b + c)} (x^c/x^a)^{(c + a)} = কত?

সমাধান:

২,৫৯১.

3.27^x = 9^{x + 4} এ x এর মান কত?

ক
ক) -7
খ
খ) 1/7
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 2/7

ব্যাখ্যা

3.27^x = 9^{x + 4}
3.(3³)^x = (3²)^{x + 4}
3. 3^3x= 3^{2x + 8}
3^{3x + 1}= 3^{2x + 8}
3x + 1 = 2x + 8
3x - 2x = 8 - 1
x = 7

২,৫৯২.

729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
4
খ
5
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম = log₃729
= log₃3⁶
= 6 log₃3
= 6 × 1
= 6

২,৫৯৩.

2^log₂(x) = 8 হলে, x -এর মান কত?

ক
16
খ
4
গ
8
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^log₂(x) = 8 হলে, x -এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 2^log2(x) = 8
⇒ 2^log2(x) = 2³
⇒ log₂(x) = 3
⇒ x = 2³
∴ x = 8

২,৫৯৪.

e^2Inx = y হলে, y এর মান= কত?

ক
Inx
খ
In2x
গ
x²
ঘ
2x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: e^2Inx = y হলে, y এর মান= কত?

সমাধান:
e^2lnx = y
_elnx² = y
x² = y
y = x²

২,৫৯৫.

এর মান কত?

ক
ক) a
খ
খ) 1
গ
গ) 1/a
ঘ
ঘ) - a

ব্যাখ্যা

এর মান কত?

সমাধান:
(a^{p + q}/a^2r) × (a^{q + r}/a^2p) × (a^{r + p}/a^2q)
= a^{p + q - 2r} × a ^{q + r - 2p} × a^{r + p - 2q}
= a^{p + q - 2r + q + r - 2p + r + p - 2q}
= a^{2p + 2q - 2r + 2r - 2p - 2q}
= a⁰
= 1

২,৫৯৬.

x + z = 2y এবং b² = ac হলে a^{y - z} . b^{z - x} . c^{x - y} = ?

ক
ক) 1
খ
খ) - 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + z = 2y এবং b² = ac হলে a^{y - z} . b^{z - x} . c^{x - y} = ?

সমাধান:
x + z = 2y
⇒ x + z = y + y
⇒ x - y = y - z

∴ a^{y - z} . b^{z - x} . c^{x - y}
= a^{x - y} . b^{z - x} . c^{x - y}
= (ac)^{x - y} . b^{z - x}
= (b²)^{x - y} . b^{z - x}
= b^{2x - 2y + z - x}
= b^{x + z - 2y}
= b^{2y - 2y}
= b⁰
= 1

২,৫৯৭.

৭২৯ এর ৩ ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) ৩
খ
খ) ৪
গ
গ) ৫
ঘ
ঘ) ৬

ব্যাখ্যা

log_৩৭২৯
= log_৩৩^৬
= ৬log_৩৩
= ৬ × ১
= ৬

২,৫৯৮.

2^x + 2^x + 2^x+ 2^x এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 4.2^x
খ
খ) 2^{x + 4}
গ
গ) 2^{2x + 2}
ঘ
ঘ) 2^{x + 2}

ব্যাখ্যা

2^x + 2^x + 2^x+ 2^x
= 2^x(1 + 1 + 1 + 1)
= 2^x. 4
= 2^x. 2²
= 2^{x + 2}
= 4.2^x

সঠিক উত্তর: ক) 4.2^x
যেহেতু এটিই সর্বশেষ ফলাফল; তাই 4.2^x সমাধান হিসাবে অধিক গ্রহণযোগ্য।

২,৫৯৯.

যদি log_a400 = 4 হলে a এর মান কত?

ক
- 2√5
খ
5√5
গ
√5
ঘ
2√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_a400 = 4 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a400 = 4
⇒ a⁴ = 400
⇒ a⁴ = (2√5)⁴
∴ a = 2√5

২,৬০০.

log(a/b) + logb - loga = log(a + b) হলে,নিচের কোনটি সঠিক?

ক
a - b = 1
খ
a = b
গ
a + b = 1
ঘ
ab = 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log(a/b) + logb - loga = log(a + b) হলে,নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান;
log (a/b) + logb - loga = log(a + b)
⇒ log(a/b) + log(b/a) = log (a + b)
⇒ log {(a/b) × (b/a )} = log (a + b)
⇒ log1 = log(a + b)
∴ a + b = 1