সূচক ও লগারিদম

PrepBank · পাতা ২ / ৩২ · ১০১–২০০ / ৩,১৭২

১০১.

প্রদত্ত

ক
10
খ
5
গ
4ⁿ
ঘ
20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত

সমাধান:

১০২.

যদি log(x/y) + log(y/x) = log(x + y) হয়, তবে-

ক
x - y = 1
খ
x + y = 1
গ
x = y - 1
ঘ
x = y
ঙ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log(x/y) + log(y/x) = log(x + y) হয়, তবে-

সমাধান:
log(x/y) + log(y/x) = log(x + y)
⇒ log{(x/y) × (y/x)} = log(x + y)
⇒ log(1) = log(x + y)
∴ x + y = 1

১০৩.

প্রশ্ন:

ক
216
খ
125
গ
243
ঘ
81

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১০৪.

x^{- 4} = 0.0001 হলে, x এর মান কত?

ক
1
খ
10
গ
100
ঘ
1000

ব্যাখ্যা

x^{- 4} = 0.0001
or, 1/x⁴ = 1/10000
or, x⁴ = 10000
or, x⁴ = 10⁴
∴ x = 10

১০৫.

32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) 6
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

log₂32
= log₂2⁵
= 5 × log₂2
= 5 × 1
= 5

১০৬.

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১০৭.

ক
0
খ
2
গ
- 3
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১০৮.

log_√216 এর মান কত?

ক
4
খ
8
গ
2√2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√2 16 এর মান কত?

সমাধান:
log_√2 16
= log_√2 2⁴
= log_√2 {(√2)²}⁴
= log_√2 (√2)⁸
= 8 log_√2 √2
= 8 × 1 [ log_a a = 1]
= 8

১০৯.

8^x + 8^x + 8^x + 8^x এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 5^3x+2
খ
খ) 2^3x+2
গ
গ) 3^3x+2
ঘ
ঘ) 1^3x+2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8^x + 8^x + 8^x + 8^x এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
8^x+ 8^x + 8^x+ 8^x
= 8^x (1+1+1+1)
= 4.8^x
= 2².2^3x
= 2^3x+2

১১০.

যদি 3^x+2=243 হয় তবে 3^x-2 এর মান-

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

3^x+2 = 243
⇒ 3^x.3² = 243
⇒ 3^x = 27
⇒ 3^x = 3³
∴ x = 3
∴ 3^x-2 = 3^3-2 = 3¹ = 3

১১১.

a এর মান কত হলে, 72 ⋅ 3^{3a - 5} = 2³ হবে?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে, 72 ⋅ 3^{3a - 5} = 2³ হবে?

সমাধান:
72 ⋅ 3^{3a - 5} = 2³
⇒ 72 ⋅ 3^{3a - 5} = 8
⇒ 3^{3a - 5} = 8/72
⇒ 3^{3a - 5} = 1/9
⇒ 3^{3a - 5} = 1/3²
⇒ 3^{3a - 5} = 3^{- 2}
⇒ 3a - 5 = - 2
⇒ 3a = - 2 + 5
⇒ 3a = 3
⇒ a = 3/3
∴ a = 1

১১২.

4^{x + 3} = 16^{x + 1} হলে x এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
-1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{x + 3} = 16^{x + 1} হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^{x + 3} = 16^{x + 1}
বা, 2^{2(x + 3)} = 2^{4(x + 1)}
বা, 2x + 6 = 4x + 4
বা, 2x = 2
∴ x =1

১১৩.

সমাধান করুন: x^y = y^x, x = 2y (x ≠ 0, y ≠ 0)

ক
(x, y) = (4, 1)
খ
(x, y) = (6, 3)
গ
(x, y) = (2, 6)
ঘ
(x, y) = (4, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান করুন: x^y = y^x, x = 2y (x ≠ 0, y ≠ 0)

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x^y = y^x, x = 2y (x ≠ 0, y ≠ 0)

এখন, x^y = y^x
বা, (2y)^y = y^2y
বা, 2^y. y^y = y^2y
বা, 2^y = y^2y/y^y
বা, 2^y = y^y
∴ y = 2

∴ x = 2y = 2 . 2 = 4

∴ (x, y) = (4, 2)

১১৪.

ক
- 1
খ
1
গ
- 2
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
(4/5)³ (4/5)^{- 6} = (4/5)^{2x - 1}
⇒ (4/5)^{3 - 6} = (4/5)^{2x - 1}
⇒ (4/5)^{- 3} = (4/5)^{2x - 1}
⇒ - 3 = 2x - 1
⇒ 2x = - 3 + 1
⇒ x = -2/2
∴ x = - 1

১১৫.

log_(0.04)x = -1.5 হলে x = ?

ক
25
খ
125
গ
250
ঘ
625

ব্যাখ্যা

log_(0.04)x = -1.5
বা, x = (0.04)^-1.5
= (4/100)^-(3/2)
= (100/4)^3/2
= (25)^3/2
= (25)^3/2
= 5³
= 125

১১৬.

a^m. aⁿ = a^{m + n} কখন হবে?

ক
ক) m ধনাত্মক হলে
খ
খ) n ধনাত্মক হলে
গ
গ) m ও n ধনাত্মক হলে
ঘ
ঘ) m ধনাত্মক ও n ঋণাত্মক হলে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a^m. aⁿ = a^{m + n} কখন হবে?

সমাধান:
⇒ m ও n ধনাত্বক সংখ্যার ক্ষেত্রে, a^m. aⁿ = a^{m + n}
⇒ a ≠ 0 হলে, ‍a⁰ = 1
⇒ a ≠ 0 এবং n স্বাভাবিক সংখ্যা হলে, ‍a^{- n} = 1/aⁿ

১১৭.

log₄5 × log₅6 × log₆7 × log₇8 × log₈9 =?

ক
1
খ
log₂3
গ
log₃2
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₄5 × log₅6 × log₆7 × log₇8 × log₈9 =?

সমাধান:
log₄5 × log₅6 × log₆7 × log₇8 × log₈9
= log₄6 × log₆7 × log₇8 × log₈9 [আমরা জানি, log_aM = log_ab × log_bM]
= log₄7 × log₇8 × log₈9
= log₄8 × log₈9
= log₄9
= log₂9 × log₄2
= log₂3² × log₄4^1/2
= 2 × (1/2) log₂3
= log₂3

১১৮.

36.2^3x-8 = 3² হলে x এর মান কত?

ক
ক) 7/3
খ
খ) 3
গ
গ) 8/3
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

36.2^3x-8= 3²
⇒ 36.2^3x-8 = 9
⇒ 2^3x-8 = ¼ =2^-2
⇒ 3x-8 = -2
⇒ 3x = 6
∴ x = 2

১১৯.

9^{a + 1} = 243 হলে, a = কত?

ক
1/5
খ
3/2
গ
3/5
ঘ
2/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9^{a + 1} = 243 হলে, a = কত?

সমাধান:
9^{a + 1} = 243
⇒ (3²)^{a + 1} = 3⁵
⇒ 3^{2a + 2} = 3⁵
⇒ 2a + 2 = 5
⇒ 2a = 5 - 2
⇒ 2a = 3
∴ a = 3/2

১২০.

6√6 এর 6 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
1/2
খ
3/2
গ
5/2
ঘ
√6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6√6 এর 6 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₆6√6 = x
⇒ 6^x = 6√6
⇒ 6^x = 6¹ × 6^1/2
⇒ 6^x = 6¹ ^{+ (1/2)}
⇒ 6^x = 6^3/2
⇒ x = 3/2

১২১.

যদি (36)^{3x + 3} = 6^{3x + 9} হয় তবে x = কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (36)^{3x + 3} = 6^{3x + 9} হয় তবে x = কত?

সমাধান:
(36)^{3x + 3} = 6^{3x + 9}
⇒ (6²)^{3x + 3} = 6^{3x + 9}
⇒ (6)^{6x + 6} = 6^{3x + 9}
⇒ 6x + 6 = 3x + 9
⇒ 6x - 3x = 9 - 6
⇒ 3x = 3
∴ x = 1

১২২.

(a^l/a^m)ⁿ × (a^m/aⁿ)^l × (aⁿ/a^l)^m = কত?

ক
0
খ
1
গ
a
ঘ
1/a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a^l/a^m)ⁿ × (a^m/aⁿ)^l × (aⁿ/a^l)^m = কত?

সমাধান:
(a^l/a^m)ⁿ × (a^m/aⁿ)^l × (aⁿ/a^l)^m
= (a^{l - m})ⁿ × (a^{m - n})^l × (a^{n - l})^m
= a^{(l - m)n} × a^{(m - n)l} × a^{(n - l)m}
= a^{ln - mn} × a^{lm - ln} × a^{mn- lm}
= a^{ln - mn + lm - ln + mn- lm}
= a⁰
= 1

১২৩.

(81)(√3)^2a = 1 হয়, তবে a এর মান কত?

ক
2
খ
- 2
গ
3
ঘ
- 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (81)(√3)^2a = 1 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
(81)(√3)^2a = 1
⇒ (3⁴)(3)^{{2a × (1/2)}}= 1
⇒ 3^4+a = 1
⇒ 3^4+a = 3⁰
⇒ 4 + a = 0
∴ a = - 4

১২৪.

log₁₀x + log₁₀(10x) = 3 হলে, x এর মান কত?

ক
- 10
খ
3
গ
100
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀x + log₁₀(10x) = 3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀x + log₁₀(10x) = 3
⇒ log₁₀(x × 10x) = 3
⇒ 10x² = 10³
⇒ 10x² = 1000
⇒ x² = 1000/10
⇒ x² = 100
⇒ x = ± √100
∴ x = ± 10

কিন্তু log₁₀x এবং log₁₀(10x) উভয়ের জন্যই x > 0 হতে হবে।
অতএব x = - 10 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ x = 10

১২৫.

যদি 3^{(n + 4)} - 3^{(n + 2)} = 8 হয়, তবে n এর মান কত?

ক
ক) - 3
খ
খ) 2
গ
গ) - 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

3^{(n + 4)} - 3^{(n + 2)} = 8
⇒ 3ⁿ.3⁴ - 3ⁿ.3² = 8
⇒ 3ⁿ. 3² . 3² - 3ⁿ. 3² = 8
⇒ 3ⁿ. 3²(3² - 1) = 8
⇒ 3ⁿ.9. 8 = 8
⇒ 3ⁿ = 1/9
⇒ 3ⁿ = 1/3² = 3^{- 2}
∴ n = - 2

১২৬.

3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

ক
3/2
খ
1/2
গ
1/3
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
log₃3√3
= log₃3¹ · 3^1/2
= log₃3^{{1 + (1/2)}}
= log₃3^3/2
= (3/2)log₃3
= 3/2

১২৭.

যদি (a/b)^x-3 = (b/a)^x-5 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 5
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : যদি (a/b)^x-3 = (b/a)^x-5 হয়, তবে x এর মান কত?
সমাধান :
(a/b)^x-3 = (b/a)^x-5
or, x - 3 = 5 - x
or, x + x = 3 + 5
or, 2x = 8
or, x = 4

১২৮.

[2 - 3(2 - 3) ^{- 1}]^{- 1} × 5 এর মান কত?

ক
1/5
খ
5
গ
1
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: [2 - 3(2 - 3) ^{- 1}]^{- 1} × 5 এর মান কত?

সমাধান:
[2 - 3(2 - 3)^{- 1}]^{- 1} × 5
= [2 - 3( - 1)^{- 1}]^{- 1} × 5
= [2 - 3(1/ - 1)]^{- 1} × 5
= [2 + 3]^{- 1} × 5
= (5)^{- 1} × 5
= (1/5) × 5
= 1

১২৯.

(log√27 + log8 - log√1000) ÷ log1.2 = কত?

ক
2/3
খ
4/3
গ
3/2
ঘ
3/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (log√27 + log8 - log√1000) ÷ log1.2 = কত?

সমাধান:
(log√27 + log8 - log√1000) ÷ log1.2
= log(3³)^1/2 + log2³ - log(10³)^1/2 ÷ log(12/10)
= log3^3/2 + log2³ - log10^3/2 ÷ (log(2² × 3) - log10)
= (3/2)log3 + 3log2 – (3/2)log10 ÷ (2log2 + log3 - log10)
= {(3/2)(log3 + 2log2 - log10)} ÷ (2log2 + log3 - 1)
= {(3/2)(log3 + 2log2 - 1)} ÷ (2log2 + log3 - 1)
= 3/2

১৩০.

2^{2x + 1} = 512 হলে x এর মান কত?

ক
- 2
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{2x + 1} = 512 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
2^{2x + 1} = 512
⇒ 2^{2x + 1} = 2⁹
⇒ 2x + 1 = 9
⇒ 2x = 9 - 1
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
⇒ x = 4

১৩১.

a^{- 2} = 0.2 হলে a⁶ এর মান কত?

ক
625
খ
25
গ
√125
ঘ
125

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a^-2 = 0.2 হলে a⁶ এর মান কত ? √

সমাধান:
a^-2 = 0.2
⇒ 1/a² = 2/10
⇒ a² = 10/2
⇒ a² = 5
⇒ (a²)³ = (5)³
⇒ a⁶ = 125

১৩২.

ক
- 5/8
খ
- 2/3
গ
27
ঘ
3/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৩৩.

ক
a
খ
2
গ
1/a
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৩৪.

ক
64
খ
128
গ
256
ঘ
512

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৩৫.

4⁶¹ + 4⁶² + 4⁶³ + 4⁶⁴ নিচের কোনটি দ্বারা বিভাজ্য?

ক
11
খ
3
গ
17
ঘ
13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4⁶¹ + 4⁶² + 4⁶³ + 4⁶⁴ নিচের কোনটি দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
4⁶¹ + 4⁶² + 4⁶³ + 4⁶⁴
= 4⁶¹(1 + 4 + 4² + 4³)
= 4⁶¹(1 + 4 + 16 + 64)
= 4⁶¹ × 85
যেহেতু 85, 17 দ্বারা বিভাজ্য (85/17 = 5) সেহেতু 4⁶¹ × 85 সংখ্যাটি 17 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

১৩৬.

2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰ =?

ক
2³²
খ
3³²
গ
4³²
ঘ
6³²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰ =?

সমাধান:
2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰
= 2³⁰ (1 + 1 + 1 + 1)
= 2³⁰ .4
= 2³⁰ .2²
= 2^{30 + 2}
= 2³² .

১৩৭.

ক
0
খ
1
গ
abc
ঘ
1/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৩৮.

log 2 + log 4 + log 8 + ....... ধারাটির প্রথম ৮ টি পদের সমষ্টি কত?

ক
14log2
খ
36log2
গ
55log2
ঘ
56log2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log 2 + log 4 + log 8 + ....... ধারাটির প্রথম ৮ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log 2 + log 4 + log 8 + ....... + প্রথম ৮ টি পদ
= log 2 + log 2² + log 2³ + ....... + প্রথম ৮ টি পদ
= log 2 + 2 log 2 + 3 log 2 + ....... + প্রথম ৮ টি পদ
= log 2 (1 + 2 + 3 + ............ + 8)
= log 2 [{8(8 + 1)}/2]
= log 2 (4 × 9)
= 36 log 2

১৩৯.

2^{11x- 33} = 3^{11x - 33}হলে x এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

2^{11x- 33} = 3^{11x - 33}
(2^{11x- 33}) /(3^{11x - 33}) = 1
(2/3)^{11x- 33} = (2/3)⁰
11x - 33 = 0
11x = 33
x = 33/11
x = 3

১৪০.

3^{x - 4} = 9a^{x - 6} হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 0
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{x - 4} = 9a^{x - 6} হলে x এর মান কত?

সমাধান:
3^{x - 4} = 9a^{x - 6}
3^{x - 4}/9 = a^{x - 6}
3^{x - 4}/3² = a^{x - 6}
3^{x - 4 - 2} = a^{x - 6}
3^{x - 6} = a^{x - 6}
3^{x - 6}/a^{x - 6}= 1
(3/a)^{x - 6} =(3/a)⁰
x - 6 = 0
x = 6

১৪১.

log ₁₀100 × log₅25 এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀100 × log₅ 25 এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀ 100 = log₁₀(10²) = 2
log₅ 25 = log₅(5²) = 2

∴ log₁₀100 × log₅ 25
= 2 × 2
= 4

১৪২.

log_2√520 = কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_2√520 = কত?

সমাধান:
log_2√520
= log_2√5(2√5)²
= 2 log_2√52√5
= 2 × 1
= 2

১৪৩.

log₂log_√ee² এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
1/2
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂log_√ee² এর মান কত?

সমাধান:
log₂log_√ee²
= log₂log_√e(√e)⁴
= log₂4 log_√e√e
= log₂4 × 1
= log₂2² × 1
= 2 log₂2
= 2 × 1
= 2

১৪৪.

36 × 2^{3x - 8} = 3² হলে x এর মান কত?

ক
8/3
খ
4
গ
2
ঘ
7/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 36 × 2^{3x - 8} = 3² হলে x এর মান কত?

সমাধান:
36 × 2^{3x - 8} = 3²
⇒ 36.2^{3x - 8} = 9
⇒ 2^{3x - 8} = 1/4 = 2^-2
⇒ 3x - 8 = -2
⇒ 3x = 6
∴ x = 2

১৪৫.

x^x√x = (x√x)^x হলে √x এর মান কত?

ক
ক) 3/2
খ
খ) 2/3
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x^x√x = (x√x)^x হলে √x এর মান কত?

সমাধান:
x^x√x = (x√x)^x
(x^x)^√x = (x¹.x^1/2)^x
(x^x)^√x = (x^3/2)^x
(x^x)^√x = (x^x)^3/2
√x = 3/2

১৪৬.

a^{- 3} - 0.001 = 0 হলে, a² এর মান কত?

ক
1/10
খ
10
গ
1/100
ঘ
100

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a^{- 3} - 0.001 = 0 হলে, a² এর মান কত?

সমাধান:
a^{- 3} - 0.001 = 0
⇒ 1/a³ = 1/1000
⇒ a³ = 1000
⇒ a³ = 10³
⇒ a = 10

∴ a²= 100

১৪৭.

যদি x = - 3 হয়, তা হলে 3x² এর মান কত?

ক
- 9
খ
9
গ
18
ঘ
27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = - 3 হয়, তা হলে 3x² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x = - 3

3x² = 3 × (- 3)²
= 3 × 9
= 27

১৪৮.

ক
ক) 8
খ
খ) 2
গ
গ) 15
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

2^{log₂3 + log₂5}= 2^{log₂(3 × 5)}= 2^log₂15= 15

[ সূত্রঃ a^log_ab = b ]

১৪৯.

9×2ⁿ-2×2^n-1=কত?

ক
ক) 2ⁿ⁺³
খ
খ) 2^n-3
গ
গ) 2ⁿ
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

9×2ⁿ-2×2^n-1
=9×2ⁿ-2×2ⁿ/2
=2ⁿ(9-1)
=2ⁿ.2³
=2ⁿ⁺³

১৫০.

5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) -2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) -3

ব্যাখ্যা

5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1
বা, 25.5^x = 1
বা, 5².5^x = 1
বা, 5^(x+2) = 5⁰
বা, x + 2 = 0
∴ x = -2

১৫১.

(4)^1/a = (8)^1/b হলে, b/a এর মান কত?

ক
3/2
খ
3/4
গ
1/2
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (4)^1/a = (8)^1/b হলে, b/a এর মান কত?

সমাধান:
(4)^1/a = (8)^1/b
⇒ (2²)^1/a = (2³)^1/b
⇒ (2)^2/a = (2)³^/b
⇒ 2/a = 3/b
∴ a/b = 3/2

১৫২.

log3 + log9 + log27 + log81 + ................ ধারাটির প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
111log3
খ
120log3
গ
144log3
ঘ
169log3
ঙ
210log3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + log81 + ................ ধারাটির প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + log81 +............... + ধারাটির প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি
= log3¹ + log3² + log3³ + log3⁴ +............... + প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি
= 1log3 + 2log3 + 3log3 + 4log3 + ............... + প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি
= log3 (1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 15)
= log3 {15(15+ 1)/2}
= log3 (15 × 8)
= log3 × 120
= 120log3

১৫৩.

ক
2
খ
2√2
গ
√2
ঘ
1/√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৫৪.

27^{x + 3} = 81^{2x + 1} হলে, x এর মান কত?

ক
-1
খ
-2
গ
1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 27^{x + 3} = 81^{2x + 1} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
বা, 27^{x + 3} = 81^{2x + 1}
বা, 3^{3(x + 3)} = 3^{4(2x + 1)}
বা, 3^{3x + 9} = 3^{8x + 4}
বা, 3x + 9 = 8x + 4
বা, 5x = 5
∴ x = 1

১৫৫.

log₁₀25 + 2log₁₀6 - log₁₀9 =?

ক
2
খ
100
গ
37
ঘ
4.6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀25 + 2log₁₀6 - log₁₀9 =?

log₁₀25 + 2log₁₀6 - log₁₀9
= log₁₀25 + log₁₀6²- log₁₀9
= log₁₀ {(25 × 36)/9}
= log₁₀100
= log₁₀10²
= 2log₁₀10
= 2 × 1
= 2

১৫৬.

16^{(2a + 3)} = 4^{(3a + 6)} হয়, তবে a এর মান কত?

ক
1
খ
- 1
গ
0
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16^{(2a + 3)} = 4^{(3a + 6)} হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
16^{(2a + 3)} = 4^{(3a + 6)}
⇒ (4²)^{2a + 3} = 4^{3a + 6}
⇒ 4^{4a + 6} = 4^{3a + 6}
⇒ 4a + 6 = 3a + 6
⇒ 4a - 3a = 6 - 6
∴ a = 0

১৫৭.

log₄(1/16) এর মান-

ক
- 1
খ
- 2
গ
- 4
ঘ
- 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₄(1/16) এর মান-

সমাধান:
log₄(1/16)
= log₄(1/4²)
= log₄(4^{- 2})
= - 2log₄4
= - 2 × 1
= - 2

১৫৮.

যদি log₁₀5 = a, তবে log₁₀(50) এর মান কত?

ক
1
খ
a
গ
a + 1
ঘ
a - 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 = a, তবে log₁₀(50) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀5 = a

এখন,
log₁₀(50)
= log₁₀(5 × 10)
= log₁₀5 + log₁₀10
= a + 1

১৫৯.

log₅(x - 4) + log₅3 = log₅(x + 2) - 1 হলে, x এর মান কত?

ক
15
খ
28/7
গ
35/8
ঘ
31/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₅(x - 4) + log₅3 = log₅(x + 2) - 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₅(x - 4) + log₅3 = log₅(x + 2) - 1
⇒ log₅{(x - 4) × 3} = log₅(x + 2) - log₅5 [log_aM + log_aN = log_a(MN) এবং log_aa = 1]
⇒ log₅(3x - 12) = log₅{(x + 2)/5} [log_aM - log_aN = log_a(M/N)]
⇒ 3x - 12 = (x + 2)/5
⇒ 5(3x - 12) = x + 2
⇒ 15x - 60 = x + 2
⇒ 15x - x = 2 + 60
⇒ 14x = 62
⇒ x = 62/14
∴ x = 31/7

১৬০.

27^{x + 1} = 243 হলে x এর মান নিচের কোনটি?

ক
2
খ
2/3
গ
3/4
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 27^{x + 1} = 243 হলে x এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
27^{x + 1} = 243
(3³)^{x + 1} = 3⁵
3^{3x + 3} = 3⁵
3x + 3 = 5
3x = 5 - 3
3x = 2
x = 2/3

১৬১.

a⁶ × a^{- 8} × a × a³ × a^{- 2} = কত?

ক
0
খ
1
গ
a^{- 2}
ঘ
a²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a⁶ × a^{- 8} × a × a³ × a^{- 2} = কত?

সমাধান:
a⁶ × a^{- 8} × a × a³ × a^{- 2}
= a^{6 - 8 + 1 + 3 - 2}
= a⁰
= 1

১৬২.

(17)^3.5 × (17)^x = 17⁸ হলে x এর মান কত?

ক
ক) 5.3
খ
খ) 2.5
গ
গ) 5.5
ঘ
ঘ) 4.5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (17)^3.5 × (17)^x = 17⁸ হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(17)^3.5 × (17)^x = 17⁸
⇒ (17)^{3.5 + x} = 17⁸
⇒ 3.5 + x = 8
⇒ x = 8 - 3.5
∴ x = 4.5

১৬৩.

ক
x²
খ
x⁵
গ
x
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৬৪.

যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে x^{a + b} = কত?

ক
0
খ
x
গ
1
ঘ
x + 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে x^{a + b} = কত?

সমাধান:
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b)
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b)
⇒ log1 = log(a + b)
∴ a + b = 1

এখন,
x^{a + b}
= x¹
= x

১৬৫.

log₃3 + log₃3² + log₃3³ + ........ + log₃3ⁿ = কত?

ক
{n(n + 1)}/2
খ
{n(n + 1)}/3
গ
3n
ঘ
3n + 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃3 + log₃3² + log₃3³ + ........ + log₃3ⁿ = কত?

সমাধান:
log₃3 + log₃3² + log₃3³ + ........ + log₃3ⁿ
= log₃3 + 2log₃3 + 3log₃3 + ........ + nlog₃3
= 1 + 2 + 3 + ........ + n [log_aa = 1]
= n(n+1)/2

১৬৬.

হলে, x এর মান কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হলে, x এর মান কত?

সমাধান:

১৬৭.

(a/b)^{m - 2} = (b/a)^{m - 4}হলে, m²/2 এর মান কত?

ক
ক) 2.5
খ
খ) 3.0
গ
গ) 4.5
ঘ
ঘ) 5.0

ব্যাখ্যা

(a/b)^{m - 2}= (b/a)^{m - 4}
(a/b)^{m - 2} = (a/b)^{- (m - 4)}
m - 2 = - (m - 4)
m - 2 = 4 - m
m + m = 4 + 2
2m = 6
m = 3

m² = 3²/2 = 9/2= 4.5

১৬৮.

যদি log_√8x = 16/3 হয় তবে x এর মান কত?

ক
8
খ
32
গ
128
ঘ
256

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_√8x = 16/3 হয় তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log_√8x = 16/3
⇒ x = (√8)^16/3
⇒ x = (√2³)^16/3
⇒ x = 2^{3/2 × 16/3}
⇒ x = 2⁸
∴ x = 256

১৬৯.

প্রশ্ন:

ক
0
খ
- 2r
গ
1
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৭০.

ক
8
খ
81
গ
125
ঘ
243

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

⇒ log_√27 x = 10/3
⇒ x = (√27)^10/3[log_a M = n ⇒ aⁿ = M]
⇒ x = (√3³)^10/3⇒ x = (3^3/2)^10/3⇒ x = 3^10/2⇒ x = 3⁵∴ x = 243

১৭১.

1/32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) 1/5
খ
খ) 5
গ
গ) - 4
ঘ
ঘ) - 5

ব্যাখ্যা

1/32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম
= log₂(1/32)
= log₂(1/2⁵)
=log₂(1/2)⁵
= log₂2^{- 5}
= - 5log₂2
= - 5

১৭২.

log₁₀ 2 + log₁₀ 5 - 1 =?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀ 2 + log₁₀ 5 - 1 =?

সমাধান:
log₁₀ 2 + log₁₀ 5 - 1
= log₁₀(2 × 5) - 1
= log₁₀10 - 1
= 1 - 1
= 0

১৭৩.

ক
1
খ
a
গ
a³
ঘ
a^1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
∛.∛a³
= ∛(a³) ^1/3
= ∛a^3/3
= ∛a
= a^1/3

১৭৪.

(2a^-1 + 3b^-1)^-1 এর মান কত?

ক
ab/(2b + 3a)
খ
2ab/(2b + 3a)
গ
2b/(2b + 3a)
ঘ
2a/(2b + 3a)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2a^-1 + 3b^-1)^-1 এর মান কত?

সমাধান:
(2a^-1 + 3b^-1)^-1
= {2(1/a) + 3(1/b)}^-1 [যেহেতু a^-n = (1/aⁿ)]
= {(2/a) + (3/b)}^-1
= {(2b + 3a)/ab}^-1
= ab/(2b + 3a)

১৭৫.

y^y√y= (y√y)^yহয়, তবে y√y এর মান কত?

ক
ক) 9/4
খ
খ) 16/3
গ
গ) 27/8
ঘ
ঘ) 24/9

ব্যাখ্যা

y^y√y = (y√y)^y
(y^y)^√y = (y y^1/2)^y
(y^y)^√y = (y^3/2)^y
(y^y)^√y = (y^y)^3/2
√y = 3/2
(√y)² = (3/2)²
y = 9/4

সুতরাং,

y√y = (3/2)(9/4)

= 27/8

১৭৬.

2log₅25 + 3log₇343 + 4log₆36 এর মান কত?

ক
12
খ
21
গ
24
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2log₅25 + 3log₇343 + 4log₆36 এর মান কত?

সমাধান:
= 2log₅25 + 3log₇343 + 4log₆36
= 2log₅(5²) + 3log₇(7³) + 4log₆(6²)
= 2 × 2log₅5 + 3 × 3log₇7 + 4 × 2log₆6
= 4log₅5 + 9log₇7 + 8log₆6
= 4 × 1 + 9 × 1 + 8 × 1 [ log_aa = 1]
= 4 + 9 + 8
= 21

১৭৭.

ক
6/17
খ
11/6
গ
9/5
ঘ
14/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৭৮.

3√3 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) 2/3
খ
খ) 3/2
গ
গ) 4/5
ঘ
ঘ) 5/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
3√3 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম = log₃3√3
= log₃3^{(1 + 1/2)}
= log₃3^3/2
= (3/2) × log₃3
= (3/2) × 1
= 3/2

১৭৯.

(15² - 4²)/(16² - 4²) = কত?

ক
0.88
খ
209/240
গ
15/16
ঘ
0.74

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (15² - 4²)/(16² - 4²) = কত?

সমাধান:
(15² - 4²)/(16² - 4²)
=(15 + 4)(15 - 4)/(16 + 4)(16 - 4)
= (19 × 11)/(20 × 12)
= 209/240

১৮০.

(3^{- 1} + 7^{- 1})^{- 1} = কত?

ক
ক) 2.1
খ
খ) 21
গ
গ) 10/21
ঘ
ঘ) .21

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3^{- 1} + 7^{- 1})^{- 1} = কত?

সমাধান:
(3^{- 1} + 7^{- 1}) ^{- 1}
= {(1/3) + (1/7)}^{- 1}
= {(7 + 3)/21}^{- 1}
= (10/21)^{- 1}
= 1/(10/21)
= 21/10
= 2.1

১৮১.

log₂₅125 = কত?

ক
1/5
খ
3/2
গ
2/5
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂₅125 = কত?

সমাধান:
ধরি,
log₂₅125 = a
⇒ (25)^a = 125
⇒ 5^2a= 5³
⇒ 2a = 3
∴ a = 3/2

১৮২.

= কত?

ক
a^1/2
খ
a^1/3
গ
a^1/4
ঘ
a^1/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
= কত?

সমাধান:

= {(a³)^1/3}^1/3
= a^1/3

১৮৩.

log₄[log₄(log₄x)] = 1 হলে x এর মান কত?

ক
4⁶⁴
খ
4¹²⁸
গ
4²⁵⁶
ঘ
4⁵¹²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₄[log₄(log₄x)] = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log₄[log₄(log₄x)] = 1
⇒ log₄(log₄x) = 4¹
⇒ log₄(log₄x) = 4
⇒ log₄x = 4⁴
⇒ log₄x = 256
⇒ x = 4²⁵⁶

১৮৪.

ক
ক) 2n+12n+1
খ
খ) 2n−12n-1
গ
গ) -2
ঘ
ঘ) 4

১৮৫.

32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 5
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

log₂32
= log₂2⁵
= 5 × log₂2
= 5 × 1
= 5

১৮৬.

2.3^x + 8.3^x + 17.3^x= 1হলে, x এর মান কত?

ক
ক) - 2
খ
খ) - 3
গ
গ) - 4
ঘ
ঘ) - 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2.3^x + 8.3^x + 17.3^x= 1হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
2.3^x + 8.3^x+ 17.3^x = 1
3^x(2 + 8 + 17) = 1
বা, 27.3^x = 1
বা, 3³.3^x = 1
বা, 3^{x + 3} = 3⁰
বা, x + 3 = 0
∴ x = - 3

১৮৭.

log₃(√27) + log₃√(1/3) = কত?

ক
1
খ
0
গ
3
ঘ
- 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃(√27) + log₃√(1/3) = কত?

সমাধান:
আমরা জানি, log_a(m) + log_a(n) = log_a(mn) হয়।
সুতরাং, log₃(√27) + log₃(√(1/3)
= log₃√(27 × 1/3)
= log₃(√9)
= log₃(3)
= 1

১৮৮.

log_x5 = -1/3 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 125
খ
খ) 1/125
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) 1/25

ব্যাখ্যা

log_x5 = -1/3
বা, x^-(1/3) = 5
বা, (x^-(1/3))^-3 = 5^-3
বা, x = 1/5³ = 1/125

১৮৯.

ক
11
খ
2
গ
3
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৯০.

log₇(7²/49) এর মান কত?

ক
ক) log7
খ
খ) 0
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) log49

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₇(7²/49) এর মান কত?

সমাধান:
log₇(49/49)
= log₇(1)
= 0

১৯১.

2^6x/2⁶ + 2⁶ =64(1/64) হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

2^6x/2⁶ + 2⁶ =64(1/64)
⇒2^6x/2⁶ + 2⁶ =4097/64
⇒2^6x-6 =(4097/64) - 2⁶
⇒2^6x-6 =(4097 - 4096)/64
⇒2^6x-6 = 1/64
⇒2^6x-6.64 = 1
⇒2^6x-6.2⁶ = 1
⇒2^6x-6+6 = 1
⇒2^6x = 2⁰
⇒6x = 0
⇒x = 0

১৯২.

2^{2a + 1} = 128 হলে, a এর মান কত?

ক
3
খ
6
গ
7
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{2a + 1} = 128 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
2^{2a + 1} = 128
⇒ 2^{2a + 1} = 2⁷
⇒ 2a + 1 = 7
⇒ 2a = 7 - 1
⇒ 2a = 6
∴ a = 3

১৯৩.

ক
- 5/4
খ
- 4/5
গ
4/5
ঘ
5/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

বা, (3^1/2)^{2x + 1} = {(3^1/2)^1/3}^{x - 1}
বা, 3^{(2x + 1)/2} = 3^{(x - 1)/6}
বা, (2x + 1)/2 = (x - 1)/6
বা, 6(2x + 1) = 2(x - 1)
বা, 12x + 6 = 2x - 2
বা, 12x - 2x = - 2 - 6
বা, 10x = - 8
বা, x = - 8/10
∴ x = - 4/5

১৯৪.

a^m .aⁿ = a^{(m + n)} কখন হবে?

ক
m ধনাত্মক ও n ঋণাত্মক হলে
খ
m ধনাত্মক হলে
গ
n ধনাত্মক হলে
ঘ
m ও n ধনাত্মক হলে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a^m. aⁿ = a^{(m + n)}কখন হবে?

সমাধান:
m ও n ধনাত্মক হলে
a^m. aⁿ = a^{(m + n)}

১৯৫.

{(9^x - 4)/(3^x - 2)} - 2 এর মান কত?

ক
2^x
খ
5^x
গ
3^x
ঘ
7^x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(9^x - 4)/(3^x - 2)} - 2 এর মান কত?

সমাধান:
{(9^x - 4)/(3^x - 2)} - 2
= {(3²)^x - (2)²}/(3^x - 2) - 2
= = {(3^x)² - (2)²}/(3^x - 2) - 2
= (3^x + 2)(3^x - 2)/(3^x - 2) - 2
= 3^x + 2 - 2
= 3^x

১৯৬.

ক
x^1/3
খ
x²
গ
x¹⁰
ঘ
x⁶

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৯৭.

log₁₀(0.0001) = কত?

ক
2
খ
- 4
গ
3
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀(0.0001) = কত?

সমাধান:
ধরি,
log₁₀(0.0001) = p
⇒ 10^p=0.0001
⇒ 10^p = 1/10000
⇒ 10^p = 10^-4
∴ p = - 4

১৯৮.

4^x + 4^x + 4^x + 4^x এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 2^{x + 2}
খ
খ) 2^{2x + 2}
গ
গ) 2^{2x + 1}
ঘ
ঘ) 2^4x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^x + 4^x + 4^x +4^x এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
4^x + 4^x + 4^x+ 4^x
= 4^x(1 + 1+ 1 + 1)
= 4^x.4
= 4^{x + 1}
= (2²)^{x + 1}
= 2^{2x + 2}

১৯৯.

49√7 এর 7 ভিত্তিক লগ কত?

ক
7/2
খ
5/2
গ
1
ঘ
7/√7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 49√7 এর 7 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
49√7 এর 7 ভিত্তিক লগ
= log₇49√7
= log₇₍7².7^1/2)
= log₇7^5/2
= (5/2) log₇7
= (5/2) × 1
= 5/2

২০০.

log_√3 81 এর মান কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 6
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√3 81 এর মান কত?

সমাধান:
log_√3 81
= log_√3 (√3)⁸
= 8 log_√3(√3)
= 8 × 1
= 8