সূচক ও লগারিদম

PrepBank · পাতা ১০ / ৩২ · ৯০১–১,০০০ / ৩,১৭২

৯০১.

81 এর √3 ভিত্তিক লগ কত?

ক
8
খ
3
গ
4
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 81 এর √3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
log_√381
= log_√3(3)⁴
= log_√3{(√3)²}⁴
= log_√3(√3)⁸
= 8 × log_√3(√3)
= 8 × 1
= 8

৯০২.

যদি (125)^2/3 + (49)^1/2 = 3k হয় তবে k = কত?

ক
12
খ
10.67
গ
7
ঘ
12.33

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (125)^2/3 + (49)^1/2 = 3k হয় তবে k = কত?

সমাধান:
(125)^2/3 + (49)^1/2 = 3k
⇒ (5³)^2/3 + (7²)^1/2 = 3k
⇒ 5^{{3 × (2/3)}} + 7^{{2 × (1/2)}} = 3k
⇒ 5² + 7 = 3k
⇒ 25 + 7 = 3k
⇒ 32 = 3k
∴ k = 32/3
∴ k = 10.67

৯০৩.

3^{x - 3} = 9a^{x - 5} হলে x এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

3^{x - 3} = 9a^{x - 5}
⇒ 3^{x - 3}/9 = a^{x - 5}
⇒ 3^{x - 3}/3² = a^{x - 5}
⇒ 3^{x - 5} = a^{x - 5}
⇒ 3^{x - 5}/a^{x - 5}= 1
⇒ (3/a)^{x - 5} = (3/a)⁰
⇒ x - 5 = 0
∴ x = 5

৯০৪.

log₈x = 25 এবং log₂y = 5 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
x³ = y¹¹
খ
x = y¹⁵
গ
x = y⁵
ঘ
x³ = y²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₈x = 25 এবং log₂y = 5 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
log₈x = 25 এবং log₂y=5
⇒ x = 8²⁵এবং y = 2⁵
⇒ x = (2³)²⁵ এবং y = 2⁵
⇒ x = 2⁷⁵ এবং y = 2⁵
⇒ x = (2⁵)¹⁵ এবং y = 2⁵
x = y¹⁵

৯০৫.

3^{2x - 3} = 27^{3x + 6} হলে, x = ?

ক
ক) -3
খ
খ) 0
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

3^{2x - 3} = 27^{3x + 6}
বা, 3^{2x - 3} = (3³)^{3x + 6}
বা, 3^{2x - 3} = 3^{9x + 18}বা, 2x - 3 = 9x + 18
বা, 7x = -21
∴ x = -3

৯০৬.

∫x^-1dx = কত?

ক
ক) ∞
খ
খ) lnx
গ
গ) x°
ঘ
ঘ) ln |x|

ব্যাখ্যা

∫x^-1dx
=∫1/x dx
= ln |x| + c

৯০৭.

log₄256 + log₃81 এর মান কত?

ক
ক) 7
খ
খ) 8
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₄256 + log₃81 এর মান কত?

সমাধান:
log₄256 + log₃81
= log₄4⁴ + log₃3⁴
= 4 log₄4 + 4 log₃3
= 4 × 1 + 4 × 1
= 4 + 4
= 8

৯০৮.

25^{2x - 3} = 125^{2x + 1} হলে, x এর মান কত?

ক
- 9/2
খ
- 7/2
গ
- 3
ঘ
5/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 25^{2x - 3} = 125^{2x + 1} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
25^{2x - 3} = 125^{2x + 1}
বা, (5²)^{2x - 3} = (5³)^{2x + 1}
বা, 5^{4x - 6} = 5^{6x + 3}
বা, 4x - 6 = 6x + 3
বা, 2x = - 9
∴ x = - 9/2

৯০৯.

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯১০.

ক
2
খ
3
গ
5
ঘ
- 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯১১.

256 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
7
খ
- 6
গ
8
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 256 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₂256
= log₂2⁸
= 8log₂2
= 8 × 1 [log_aa = 1]
= 8

৯১২.

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
সমাধান:

৯১৩.

log₁₆x = 0.25 হলে, x এর মান কত?

ক
1/2
খ
4
গ
2
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₆x = 0.25 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₆x = 0.25
∴ x = 16^0.25
বা, x = (2⁴)^1/4
∴ x = 2

৯১৪.

যদি 3^2√x + 3^2√x + 3^2√x = 9^{√(x + 1)} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
1/2
খ
3/4
গ
9/4
ঘ
9/16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3^2√x + 3^2√x + 3^2√x = 9^{√(x + 1)} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
3^2√x + 3^2√x + 3^2√x = 9^{√(x + 1)}
⇒ 3^2√x(1 + 1 + 1) = (3²)^{√(x + 1)}
⇒ 3^2√x × 3 = 3^{2√(x + 1)}
⇒ 3^{2√x + 1} = 3^{2√(x + 1)}
⇒ 2√x + 1 = 2√(x + 1)
⇒ (2√x + 1)² = {2√(x + 1)}² ; [বর্গ করে পাই]
⇒ 4x + 4√x + 1 = 4(x + 1)
⇒ 4x + 4√x + 1 = 4x + 4
⇒ 4√x = 3
⇒ √x = 3/4
⇒ (√x)² = (3/4)² ; [বর্গ করে পাই]
∴ x = 9/16

৯১৫.

2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰ = ?

ক
2³²
খ
2³⁶
গ
4³²
ঘ
6³²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰ = ?

সমাধান:
2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰ + 2³⁰
= 2³⁰ (1 + 1 + 1 + 1)
= 2³⁰ . 4
= 230 . 2²
= 2^{30 + 2}
= 2³²

৯১৬.

log3 + log9 + log27 + ...... ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

ক
55 log3
খ
40 log2
গ
56 log3
ঘ
80 log3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + ...... ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + ...... প্রথম দশ পদের সমষ্টি
= log3¹ + log3² + log3³ + ...... প্রথম দশ পদের সমষ্টি
= log(3¹)+ log(3²)+ log(3³)+ ......... + log(3¹⁰)
= 1 log3 + 2 log3 + 3 log3 + ...... + 10 log3
= log3 (1 + 2 + 3 + ...... + 10)
= log3 {10(10 + 1)/2} [স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2]
= log3 (5 × 11)
= log3 × 55
= 55 log3

৯১৭.

log₂32 + log₂16 এর মান কত?

ক
8
খ
9
গ
7
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂32 + log₂16 এর মান কত?

সমাধান:
log₂32 + log₂16
= log₂2⁵ + log₂2⁴
= 5log₂2 + 4log₂2 [∵ log_amⁿ = nlog_am]
= (5 × 1) + (4 × 1) [∵ log_aa = 1]
= 5 + 4
= 9

৯১৮.

4^x + 4^{1 - x}= 4 হলে x = কত?

ক
1/4
খ
1/3
গ
1/2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^x + 4^{1 - x} = 4 হলে, x = কত?

সমাধান:
4^x + 4^{1 - x} = 4
⇒ 4^x + 4¹/4^x = 4
⇒ 4^x + 4/4^x = 4 [4¹ = 4]

মনে করি, 4^x = y
সুতরাং,
y + 4/y = 4
⇒ (y² + 4)/y = 4
⇒ y² + 4 = 4y
⇒ y² - 4y + 4 = 0
⇒ y² - 2.y.2 + 2² = 0
⇒ (y - 2)² = 0
⇒ y - 2 = 0
⇒ y = 2
⇒ 4^x = 2 [y = 4x বসিয়ে]
⇒ (2²)^x = 2¹ [2¹ = 2]
⇒ 2^2x = 2¹
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

৯১৯.

5.2ⁿ - 4.2^{n - 2} = ?

ক
2ⁿ
খ
2^{- n}
গ
2^{n + 2}
ঘ
2^{n - 2}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5.2ⁿ - 4.2^{n - 2} = ?

সমাধান:
5.2ⁿ - 4.2^{n - 2}
= 5.2ⁿ - 2².2^{n - 2}
= 5.2ⁿ - 2^{2 + n - 2}
= 5.2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (5 - 1)
= 2ⁿ . 4
= 2ⁿ . 2²
= 2^{n + 2}

৯২০.

যদি 2^x = (64)^1/3, তাহলে x সমান -

ক
ক) 4
খ
খ) 2
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^x = (64)^1/3, তাহলে x সমান -

সমাধানঃ
2^x = (64) ^1/3⇒ 2^x = (2⁶)^1/3⇒ 2^x = 2²⇒ x = 2

৯২১.

ক
145
খ
243
গ
169
ঘ
281

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯২২.

2logx - log (2x - 1) = 0 হলে, x কত?

ক
ক) -1
খ
খ) 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2logx - log (2x - 1) = 0 হলে, x কত?

সমাধান:
2logx - log (2x - 1) = 0
বা, 2logx = log (2x - 1)
বা, logx² = log (2x - 1)
বা, x² = 2x - 1
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1

৯২৩.

log 7 = 0.8451 এবং log 2 = 0.3010 হলে, log 14 এর মান কত?

ক
0.5441
খ
1.1461
গ
0.2544
ঘ
1.2544

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log 7 = 0.8451 এবং log 2 = 0.3010 হলে, log 14 এর মান কত?

সমাধান:
log 14 = log(7 × 2)
= log 7 + log 2
= 0.8451 + 0.3010
= 1.1461

৯২৪.

log₃log₂log₃x = 0 হলে x = কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 3
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃log₂log₃x = 0 হলে x = কত?

সমাধান:
log₃log₂log₃x = 0
(log₂log₃x) = 3⁰
log₂log₃x = 1
log₃x = 2¹
log₃x = 2
x = 3²
x = 9

৯২৫.

x^a= y, y^b= z ও z^c = x হলে abc এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) xyz

ব্যাখ্যা

z^c = x
(y^b)^c = x [z = y^b]
(x^a)^bc= x
x^abc= x¹
abc = 1

৯২৬.

log₃(1/81) এর মান কত?

ক
- 3
খ
- 2
গ
- 4
ঘ
- 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃(1/81) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(1/81)
= log₃(3^-4)
= - 4 log₃3
= - 4 × 1
= - 4

৯২৭.

(3²)^{x - 1} = 81 হলে x = কত?

ক
3
খ
5
গ
1/2
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3²)^{x - 1} = 81 হলে x = কত?

সমাধান:
(3²)^{x - 1} = 81
⇒ 3^{2(x - 1)} = 3⁴
⇒ 3^{2x - 2} = 3⁴
⇒ 2x - 2 = 4
⇒ 2x = 4 + 2
⇒ 2x = 6
⇒ x = 6/2
∴ x = 3

৯২৮.

(16)^{2x + 3} = (4)^{3x + 5} হলে, x এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
- 1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (16)^{2x + 3} = (4)^{3x + 5} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(16)^{2x + 3} = (4)^{3x + 5}
⇒ (4²)^{2x + 3} = (4)^{3x + 5}
⇒ 4^{4x + 6}=4^{3x + 5}
⇒ 4x + 6 = 3x + 5
⇒ 4x - 3x = 5 - 6
∴ x = - 1

৯২৯.

(3.2ⁿ – 8.2^n-2) ÷ (2ⁿ - 2^n-1)

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

(3.2ⁿ – 8.2^n-2) ÷ (2ⁿ - 2^n-1)
(3.2ⁿ – 2³.2^n-2) ÷ (2ⁿ - 2ⁿ .2^-1)
(3.2ⁿ – 2^3+n-2) ÷ (2ⁿ (1 - 2^-1))
(3.2ⁿ – 2¹⁺ⁿ) ÷ (2ⁿ (1 – 1/2))
(3.2ⁿ – 2¹ 2ⁿ) ÷ (2ⁿ (1 – 1/2))
(2ⁿ (3 – 2)) ÷ (2ⁿ (1 – 1/2))
(2ⁿ .1)÷ (2ⁿ .1/2)
1 ÷ 1/2 = 2

৯৩০.

(1/2)(loga + logb) এর সমান log(a + b)/2 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
a = 0
খ
b = √a
গ
a = b/2
ঘ
a = b

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/2)(loga + logb) এর সমান log(a + b)/2 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
⇒ (1/2)log(ab) = log(a + b)/2
⇒ log(ab)^1/2= log(a + b)/2
⇒ (ab)^1/2= (a + b)/2
⇒ ab = {(a + b)/2}²
⇒ ab = (a² + 2ab + b²)/4
⇒ a² + 2ab + b² - 4ab = 0
⇒ a²− 2ab + b² =0
⇒ (a − b)² = 0
⇒ a − b = 0
⇒ a = b

৯৩১.

(3^x+2 - 27.3^x-1)/(2.3^x+4÷ 9^-1) এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3^x+2 - 27.3^x-1)/(2.3^x+4÷ 9^-1) এর মান কত?

সমাধান:
( 3^x+2 - 27.3^x-1) / ( 2.3^x+4 ÷ 9^-1 )
= ( 3^x+2- 3³.3^x-1 ) / ( 2.3^x+4 ÷ 3^-2 )
= ( 3^x+2- 3^3+x-1 ) / ( 2.3^x+4+2 )
= ( 3^x+2- 3^x+2) / ( 2.3^x+6 )
= 0 / ( 2.3^x+6)
= 0

৯৩২.

5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

ক
1
খ
3/2
গ
2/3
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
= log₅5√5
= log₅(5 × 5^1/2)
= log₅5^3/2
=(3/2)log₅5
= (3/2).1
= 3/2

৯৩৩.

log₁₀(x + 3) = log₁₀x + log₁₀3 হলে x = কত?

ক
ক) 2/3
খ
খ) 3/2
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀(x + 3) = log₁₀x + log₁₀3 হলে x = কত?

সমাধান:
log₁₀(x + 3) = log₁₀x + log₁₀3
বা, log₁₀(x + 3) = log₁₀(x × 3)
বা, log₁₀(x + 3) = log₁₀3x
বা, x + 3 = 3x
বা, 2x = 3
∴ x = 3/2

৯৩৪.

ক
1
খ
অসংজ্ঞায়িত
গ
3abc
ঘ
a + b

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯৩৫.

যদি log_xy = 100 এবং log₂x = 1 হয়, তাহলে y এর মান-

ক
2¹⁰
খ
2¹⁰⁰
গ
2¹⁰⁰⁰
ঘ
2¹⁰⁰⁰⁰

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_xy = 100 এবং log₂x = 1 হয়, তাহলে y এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₂x = 1
∴ x = 2

এখন,
log_xy = 100
⇒ y = x¹⁰⁰ = (2)¹⁰⁰
∴ y = 2¹⁰⁰

৯৩৬.

a⁵ × a × a^-6 × a² × a^-2 = কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a⁵ × a × a^-6 × a² × a^-2 = কত?

সমাধান:
a⁵ × a × a^-6 × a² × a^-2
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ভিত্তি একই বলে সূচকের গুণনবিধি অনুযায়ী,
= a^{5 + 1 - 6 + 2 - 2}
= a^{8 - 8}
= a⁰
= 1

৯৩৭.

2^{n + 5}- 2^{n + 2}= 7 হলে n এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) - 2
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{n + 5}- 2^{n + 2}= 7 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
2^{n + 5} - 2^{n + 2} = 7
2^{n + 2 + 3} - 2^{n + 2} = 7
2^{n + 2} . 2³ - 2^{n + 2} = 7
2^{n + 2} (8 - 1) = 7
2^{n + 2} . 7 = 7
2^{n + 2} = 1
2^{n + 2} =2⁰
n + 2 = 0
n = - 2

৯৩৮.

নিচের কোনটি (√5 - √3) এর সমান?

ক
2/(√3 + √5)
খ
1/(2√5 + √3)
গ
(1/√5) + (1/√3)
ঘ
√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (√5 - √3) এর সমান?

সমাধান:
(√5 - √3)
= {(√5 - √3)(√5 + √3)}/(√5 + √3)
= (5 - 3)/(√5 + √3)
= 2/(√5 + √3)

৯৩৯.

3√3 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
√3
খ
2/3
গ
1/9
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:

৯৪০.

log_x(1/8) = - 2 হলে x = কত?

ক
ক) 2
খ
খ) √2
গ
গ) 2√2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(1/8) = - 2 হলে x = কত?

সমাধান:
log_x(1/8) = - 2
x ^{- 2} = 1/8
1/x² = 1/8
x² = 8
x = √8
x = √(4 × 2)
x = 2√2

৯৪১.

যদি log_x2 = x, log_x5 = y হয়, তবে log_x50 = কত?

ক
ক) x + 2y
খ
খ) x - 2y
গ
গ) (x + y)2
ঘ
ঘ) xy²

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
log_x2 = x
log_x5 = y

log_x50
= log_x(2 × 5²)
= log_x2 + log_x5²
= log_x2 + 2log_x5
= x + 2y

৯৪২.

a⁰ = ? [যেখানে a এর মান শূন্য নয়]

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

a⁰ = 1

৯৪৩.

log2+ log4 + log8 + .............. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

ক
36log2
খ
96log2
গ
210log2
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log2+ log4 + log8 + .............. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log21 + log2² + log2³ +............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 + ............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log2(1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 10)
= log2{10(10 + 1)/2}
= log2(5 × 11)
= log2 × 55
= 55log2

৯৪৪.

log_x3 + log_x9 + log_x27 + log_x81 = 10 হলে, x এর মান কত?

ক
30
খ
12
গ
9
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x3 + log_x9 + log_x27 + log_x81 = 10 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x3 + log_x9 + log_x27 + log_x81 = 10
⇒ log_x(3 × 9 × 27 × 81) = 10
⇒ log_x(3 × 3² × 3³ × 3⁴) = 10
⇒ log_x3^(1+2+3+4) = 10
⇒ log_x3¹⁰ = 10
⇒ 10log_x3 = 10
⇒ log_x3 = 1
⇒ x¹ = 3
∴ x = 3

৯৪৫.

log_x1/256 = - 8 হলে x এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x1/256 = - 8 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x1/256 = - 8
বা, x^{- 8} = 1/256
বা, 1/x⁸ = 1/256
বা, x⁸ = 256
বা, x⁸ = 2⁸
∴ x = 2

৯৪৬.

3√a = 6√3 হলে, a এর মান কত?

ক
2√3
খ
6
গ
8
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3√a = 6√3 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
3√a = 6√3
⇒ √a = (6√3)/3
⇒ √a = 2√3
⇒ (√a)² = (2√3)²
⇒ a = 4 × 3
∴ a = 12

৯৪৭.

যদি (64)^{2x + 3} = (16)^{2x + 4}হয়, তবে x এর মান কত?

ক
- 1/2
খ
1
গ
1/3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (64)^{2x + 3} = (16)^{2x + 4}হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(64)^{2x + 3} = (16)^{2x + 4}
⇒ (4³)^{(2x + 3)} = (4²)^{(2x + 4)}
⇒ 4^{(6x + 9)} = 4^{(4x + 8)}
⇒ 6x + 9 = 4x + 8
⇒ 6x - 4x = 8 - 9
⇒ 2x = - 1
⇒ x = - 1/2

৯৪৮.

5^{(2x - 3)} = 125^{(x + 1)} হলে, x এর মান কত?

ক
খ
4
গ
3/2
ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^{(2x - 3)} = 125^{(x + 1)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5^{(2x - 3)}= 125^{(x + 1)}
⇒ 5^{(2x - 3)} = 5^{3(x + 1)}
⇒ 5^{(2x - 3)} = 5^{(3x + 3)}
⇒ 2x - 3 = 3x + 3
⇒ 2x - 3x = 3 + 3
⇒ - x = 6
∴ x = - 6

৯৪৯.

যদি (49)^{2x + 3} = 7^{3x + 6} হয় তবে x = কত?

ক
0
খ
1
গ
- 1
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (49)^{2x + 3} = 7^{3x + 6} হয় তবে x = কত?

সমাধান:
(49)^{2x + 3} = 7^{3x + 6}
⇒ (7²)^{2x + 3} = 7^{3x + 6}
⇒ 7^{4x + 6} = 7^{3x + 6}
⇒ 4x + 6 = 3x + 6
⇒ 4x - 3x = 6 - 6
∴ x = 0

৯৫০.

9√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

ক
2/5
খ
3/2
গ
5/2
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
9√3 এর 3 ভিত্তিক লগ
log₃(9√3)
= log₃(9 × √3)
= log₃(9) + log₃(√3) [log_b(mn) = log_bm + log_bn]
= log₃(3²) + log₃(3^1/2)
= 2 × log₃(3) + (1/2) × log₃(3)
= 2 × 1 + (1/2) × 1
= 2 + 1/2
= 5/2

৯৫১.

15ax²/5x এর মান কত?

ক
ক) 5a
খ
খ) 3x²
গ
গ) 3ax
ঘ
ঘ) 5x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 15ax²/5x এর মান কত?

সমাধান:
15ax²/5x
= 3ax

৯৫২.

2log₁₀3 + 2log₁₀2 এর মান কোনটি?

ক
log₁₀24
খ
log₁₀32
গ
4log₁₀6
ঘ
log₁₀36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2log₁₀3 + 2log₁₀2 এর মান কোনটি?

সমাধান:
2log₁₀3 + 2log₁₀2
= log₁₀3² + log₁₀2²
= log₁₀9 + log₁₀4
= log₁₀(9 × 4)
= log₁₀36

৯৫৩.

log_√5625 = ?

ক
ক) 8
খ
খ) 6
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

log_√5625 = log_√5(√5)⁸
= 8log_√5√5
= 8.1
= 8

৯৫৪.

log₂(log₃81) এর মান কত?

ক
- 2
খ
3
গ
- 4
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(log₃81) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(log₃81)
= log₂(log₃3⁴)
= log₂(4log₃3)
= log₂4
= log₂2²
= 2log₂2
= 2 × 1
= 2

৯৫৫.

(256)^0.16 × (256)^0.09 = ?

ক
4
খ
16
গ
64
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (256)^0.16 × (256)^0.09 = ?

সমাধান:
(256)^0.16 × (256)^0.09
= 256^{0.16 + 0.09}
= 256^.25
= 256^25/100
= 256^1/4
= (4⁴)^1/4
= 4 ^{4 × (1/4)}
= 4¹
= 4

৯৫৬.

log₉(3/243) এর মান কত?

ক
- 4
খ
- 2
গ
1/2
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₉(3/243) এর মান কত?

সমাধান:
log₉(3/243)
= log₉(1/81)
= log₉(1/3⁴)
= log₉(3^-4)
= - 4 . log₉3 [log_aMⁿ = n.log_aM]
= - 4 . log₉(√9)
= - 4 . log₉9^(1/2)
= - 4 . 1/2 . log₉9
= - 2 . 1 [log_aa = 1]
= - 2

৯৫৭.

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) a

ব্যাখ্যা

(a^p+q ÷ a^2r) × (a^q+r ÷ a^2p) × (a^r+p ÷ a^2q)
= a^{(p+q - 2r)} × a^{(q+r - 2p)} × a^{(r+p - 2q)}
= a⁰
= 1

৯৫৮.

যদি x,y বাস্তব সংখ্যা এবং x≠0,y≠0 হয়, তবে (x^x)⁰+(y^y)⁰ এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) x+y
গ
গ) xy
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

(x^x)⁰+(y^y)⁰
=1+1
=2

৯৫৯.

4log₁₀2 + log₁₀5 - 3log₁₀5 =?

ক
log₁₀(25/16)
খ
log₁₀(16/25)
গ
log₁₀(9/25)
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4log₁₀2 + log₁₀5 - 3log₁₀5 =?

সমাধান:
4log₁₀2 + log₁₀5 - 3log₁₀5
= log₁₀2⁴ + log₁₀5 - log₁₀5³
= log₁₀16 +log₁₀5 -log₁₀125
= log₁₀( 16 × 5 ) - log₁₀125
= log₁₀80 - log₁₀125
= log₁₀ 80/125
= log₁₀16/25

৯৬০.

log₂√6 + log₂√(2/3) = কত?

ক
1
খ
2
গ
√3
ঘ
2/√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂√6 + log₂√(2/3) = কত?

সমাধান:
log₂√6 + log₂√(2/3)
= log₂√(3 ⋅ 2) + log₂√2/√3
= log₂√3 + log₂√2 + log₂√2 - log₂√3
= 2 log₂√2
= 2 log₂2^1/2
= 2 ⋅ (1/2) log₂2
= 1 ⋅ 1
= 1

৯৬১.

ক
1
খ
0
গ
x^{b - c}
ঘ
x^{a + b}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯৬২.

x^-4 - 0.0001 = 0 হলে, x² এর মান কত?

ক
1/1000
খ
1/100
গ
10
ঘ
100

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x^{- 4} - 0.0001 = 0 হলে, x² এর মান কত?

সমাধান,
x^{- 4} - 0.0001 = 0
বা, x^{- 4} = 0.0001
বা, 1/x⁴ = 1/10000
বা, x⁴= (10)⁴
বা, x = 10

∴ x² = 10² = 100

৯৬৩.

ক
5
খ
25
গ
75
ঘ
125

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯৬৪.

ক
20
খ
15
গ
25
ঘ
35

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯৬৫.

ক
3
খ
- 1/2
গ
- 1
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯৬৬.

(m/3)^{x -5} = 1 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 6
খ
খ) 5
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (m/3)^{x -5} = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(m/3)^{x -5} = 1
⇒ (m/3)^{x -5}= (m/3)⁰
⇒ x - 5 = 0
∴ x = 5

৯৬৭.

50⁷ × 20⁷ সংখ্যাটি 10⁸ এর 10^x গুণ বড় হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 6
খ
খ) 13
গ
গ) 21
ঘ
ঘ) 29

ব্যাখ্যা

প্রশ্নমতে,
50⁷ × 20⁷ = 10⁸ × 10^x
বা, (50×20)⁷ = 10^x+8
বা, (1000)⁷ = 10^x+8
বা, (10³)⁷ = 10^x+8
বা, 10²¹ = 10^x+8
বা, x + 8 = 21
∴ x = 13

৯৬৮.

5^{3x - 6} = 3^{3x - 6} হলে 2x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^{3x - 6} = 3^{3x - 6} হলে 2x এর মান কত?

সমাধান:
5^{3x - 6} = 3^{3x - 6}
⇒ 5^{3x - 6}/ 3^{3x - 6} = 1
⇒ (5/3)^{3x - 6} = (5/3)⁰
⇒ 3x - 6 = 0
⇒ 3x = 6
⇒ x = 6/3
∴ x = 2
2x = 2 × 2
2x = 4

৯৬৯.

ক
1/4
খ
1/2
গ
3/4
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯৭০.

log_√216 = x হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 2√2
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 8√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্নঃ log_√216 = x হলে, x এর মান কত?

সমাধানঃ
log_√216 = x
⇒ √2^x = 16
⇒ √2^x= 2⁴
⇒ √2^x = (√2)⁸
⇒ x = 8

৯৭১.

1000 এর লগ 3 হলে, এর ভিত্তি কত?

ক
5
খ
100
গ
10
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1000 এর লগ 3 হলে, এর ভিত্তি কত?

সমাধান:
মনেকরি
ভিত্তি = x

প্রশ্নমতে
log_x1000 = 3
x³ = 1000
x³ = 10³
x = 10

৯৭২.

32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 1/5
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম = log₂32
= log₂2⁵
= 5 log₂2
= 5 × 1
= 5

৯৭৩.

x^-3 - 0.001 = 0 হলে, x² এর মান-

ক
ক) 1/100
খ
খ) 1/10
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 100

ব্যাখ্যা

x^-3 - 0.001 = 0
⇒ x^-3 = 0.001
⇒ (1/x)³ = 1/1000
⇒ (1/x)³ = (1/10)³
⇒ x³ = 10³
∴ x = 10
∴ x² = 10² = 100

৯৭৪.

81 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
3
খ
4
গ
9
ঘ
27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 81 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₃81
= log₃3⁴
= 4log₃3 [∵ log_am^r = rlog_am]
= 4 × 1 [∵ log_aa = 1]
= 4

৯৭৫.

log_√515625 = ?

ক
ক) 6
খ
খ) 3
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

log_√515625
= log_√55⁶
= log_√5(√5)¹²
= 12log_√5√5
= 12

৯৭৬.

log₇√7 এর মান কত?

ক
0
খ
1/2
গ
1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₇√7 এর মান কত?

সমাধান:
log₇√7
= log₇7^1/2
= (1/2) × log₇7
= (1/2) × 1 [∴ log₇7 = 1]
= 1/2 ।

৯৭৭.

[log₁₀(5log₁₀100)]² এর মান নির্ণয় করুন।

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: [log₁₀(5log₁₀100)]² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
[log₁₀(5log₁₀100)]²
=[log₁₀{5log₁₀(10)²}]²
=[log₁₀{(5 × 2)log₁₀10}]²
=(log₁₀10)²
= (1)²
= 1

৯৭৮.

log₄2 + log₆√6 এর মান নিচের কোনটি?

ক
0
খ
1
গ
1/2
ঘ
5/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₄2 + log₆√6 এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
log₄2 + log₆√6
= log₄√4 + log₆√6
= log₄4^1/2 + log₆6^1/2
= 1/2log₄4 + 1/2log₆6
= (1/2) × 1 + (1/2) × 1 [∴ log_aa = 1]
= (1/2) + (1/2)
= (1 + 1)/2
= 2/2
= 1

৯৭৯.

যদি 10^2a = 25 হয়, তবে 10^{- a} = কত?

ক
1/2
খ
2
গ
1/10
ঘ
1/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 10^2a = 25 হয়, তবে 10^{- a} = কত?

সমাধান:
10^2a = 25
⇒ (10^a)² = 5²
⇒ 10^a = 5
⇒ 1/10a = 1/5
⇒ 10^{- a} = 1/5

৯৮০.

5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

ক
ক) √5
খ
খ) 2/3
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ
= log₅5√5
= log₅5 +log₅√5
= 1 + log₅5^1/2
= 1 + (1/2)log₅5
= 1 + (1/2)
= (2 + 1)/2
= 3/2

৯৮১.

p^m × pⁿ × p^-r = কত?

ক
ক) p^-mpr
খ
খ) p^m+n+r
গ
গ) p^m+n-r
ঘ
ঘ) p^m-n-r

ব্যাখ্যা

p^m× pⁿ × p^-r
= p^m+n-r

৯৮২.

625(√5)^2x = 1 হলে x এর মান কত?

ক
ক) -2
খ
খ) -4
গ
গ) -3
ঘ
ঘ) -5

ব্যাখ্যা

625(√5)^2x = 1
বা, (√5)^2x = 1/625
বা, (√5)^2x = 1/(5 × 5 × 5 × 5)
বা, (√5)^2x = 1/(√5)⁸
বা, (√5)^2x = (√5)^-8
বা, 2x = -8
বা, x = -4

৯৮৩.

কোন শর্তে logₐa = 1?

ক
ক) a > 0
খ
খ) a ≠ 1
গ
গ) a ≠ 0, a > 1
ঘ
ঘ) a > 0, a ≠ 1

ব্যাখ্যা

logₐa = 1 হবে যখন a>0, a≠1

৯৮৪.

27(√3)^2x = 1 হলে x এর মান কত?

ক
ক) - 1
খ
খ) 0
গ
গ) - 2
ঘ
ঘ) - 3

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
27(√3)^2x = 1
3³(3^1/2)^2x = 1
3³.3^x = 1
3^{3 + x} = 3⁰
x + 3 = 0
x = - 3

৯৮৫.

এর মান কত?

ক
ক) 6/5
খ
খ)
গ
গ) 5/6
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এর মান কত?

সমাধান:

= log₅(5^1/3 × 5^1/2)
= log₅5^{(1/3 + 1/2)}
= log₅5^5/6
= 5/6 log₅5
= (5/6) × 1
= 5/6

৯৮৬.

সরল করুনঃ (12)^-1/2 × ³√54

ক
√3/³√4
খ
√4/⁴√3
গ
2/³√4
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

(12)^-1/2 × ³√54
(2²×3)^-1/2 × (3³×2)^1/3
(2^-1×3^-1/2 ) × (3×2^1/3 )
(2^-1+1/3) ×(3^1-1/2)
(2^-2/3 ) × (3^1/2)
√3/³√4

৯৮৭.

(1000)¹¹ ÷ (10)³⁰ = কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 10
গ
গ) 100
ঘ
ঘ) 1000

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1000)¹¹ ÷ (10)³⁰ = কত?

সমাধান:
(1000)¹¹÷ (10)³⁰
= (10³)¹¹ ÷ (10)³⁰
= 10³³ ÷ 10³⁰
= 10^{33 - 30}
= 10³
= 1000

৯৮৮.

হলে a এর মান কত?

ক
0
খ
2
গ
- 1
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
হলে a এর মান কত?

সমাধান:

৯৮৯.

[8-10(8-10)^-1]^-1 এর মান কত?

ক
ক) 13
খ
খ) -13
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 1/13

ব্যাখ্যা

[8-10(8-10)^-1]^-1 এর মান
=[8-10(-2)^-1]^-1
=[8+10/2]^-1
=[13]^-1
=1/13

৯৯০.

যদি (a/b)^a/b = a^{(a/b) - 1} এবং a = 2b হয়, তবে b এর মান কত?

ক
4
খ
1
গ
2
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (a/b)^a/b = a^{(a/b) - 1} এবং a = 2b হয়, তবে b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 2b
এবং,
⇒ (a/b)^a/b = a^{(a/b) - 1}
⇒ (2b/b)^(2b/b) = (2b)^{(2b/b) - 1}
⇒ 2² = (2b)^{(2 - 1)}
⇒ 4 = 2b
∴ b = 2

৯৯১.

log₁₂ √12 = x হলে x এর মান কত?

ক
√3
খ
4
গ
1/2
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₂ √12 = x হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₂ √12 = x
⇒ 12^x = √12
⇒ 12^x = (12)^1/2
⇒ x = 1/2

৯৯২.

³√x⁴ = 4 হলে x² = ?

ক
ক) 8
খ
খ) 2√2
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

³√x⁴ = 4
বা, (³√x⁴)³ = (4)³[উভয় পক্ষকে ঘন করে]
বা, x⁴ = 64
∴ x² = √64 = 8

৯৯৩.

যদি (25)^{(2x + 2)} = 5^{(3x + 6)} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
2
খ
0
গ
- 3
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (25)^{(2x + 2)} = 5^{(3x + 6)} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(25)^{(2x + 2)} = 5^{(3x + 6)}
⇒ (5²)^{(2x + 2)} = 5^{(3x + 6)}
⇒ 5^{(4x + 4)} = 5^{(3x + 6)}
⇒ 4x + 4 = 3x + 6
⇒ 4x - 3x = 6 - 4
∴ x = 2

৯৯৪.

log_√8x = 2(2/3) হলে x এর মান কত?

ক
8
খ
16
গ
32
ঘ
64

ব্যাখ্যা

lদেওয়া আছে,
log_√8x = 2(2/3) = 8/3
বা, (√8)^8/3= x [যেহেতু, logaN = X হলে, aX = N]
বা, {√(2³)}^8/3 = x
বা, (2^3/2)^8/3= x
বা, 2⁴ = x
বা, 16 = x
∴ x = 16

৯৯৫.

যদি log₂[log₃ (log₂x)] = 1 হয় তাহলে x = ?

ক
ক) 0
খ
খ) 128
গ
গ) 256
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

log₂[ log₃( log₂x)] = 1
⇒ log₃(log₂x) = 2¹= 2
⇒ log₂x = 3²= 9
⇒ x = 2⁹ = 512

৯৯৬.

এর মান কত?

ক
1/a
খ
- 1
গ
0
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এর মান কত?

সমাধান:

৯৯৭.

5^a = 3125 হলে, 5^{(a - 3)} এর মান কত?

ক
25
খ
5
গ
125
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^a = 3125 হলে, 5^{(a - 3)} এর মান কত?

সমাধান:
5^a = 3125
⇒ 5^a= 5⁵
⇒ a = 5

∴ 5^{(a - 3)}= 5^{(5 - 3)}
= 5²
= 25

৯৯৮.

যদি a^p = b, b^q = c এবং c^r = a হয় তবে pqr = কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a^p = b, b^q = c এবং c^r = a হয়, তবে pqr = কত?

সমাধান:
a^p = b, b^q = c এবং c^r = a

এখানে
c^r = a
⇒ (b^q)^r = a
⇒ b^qr = a
⇒ (a^p)^qr= a
⇒ a^pqr = a¹
pqr = 1

৯৯৯.

যদি 5^{(x - y)} = 25 এবং 5^{(x + y)} = 3125 হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
5
খ
3.5
গ
10
ঘ
8.25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5^{(x - y)} = 25 এবং 5^{(x + y)} = 3125 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5^{(x - y)} = 25
⇒ 5^{(x - y)} = 5²⇒ x - y = 2 .......................... (1)

এবং 5^{(x + y)} = 3125
⇒ 5^{(x + y)} = 5⁵
⇒ x + y = 5 .......................... (2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(x - y) + (x + y) = 2 + 5
⇒ 2x = 7
⇒ x = 7/2
∴ x = 3.5

১,০০০.

ক
x⁶
খ
x²
গ
x^1/2
ঘ
x¹⁵

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান: