নৌকা, ট্রেন, সময় ও গতিবেগ সংক্রান্ত সমস্যা

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি প্রতিদিন ২০ মিনিট করে এগিয়ে যায়। এটি সকাল ৯:০০ টায় ঠিক করা হলে, কত দিন পর সঠিক সময় দেখাবে?  

সমাধান: 
ঘড়িটি প্রতিদিন প্রকৃত সময়ের চেয়ে ২০ মিনিট এগিয়ে যায়।
ঘড়িটি সঠিক সময় থেকে পুরো ১২ ঘণ্টা (৬০ × ১২ = ৭২০ মিনিট) এগিয়ে গেলে আবার “একই সময়” দেখাবে। 

তাহলে, 
১২ ঘণ্টা বা ৭২০ মিনিট এগোতে সময় লাগবে
⇒ ৭২০/২০ = ৩৬ দিন

∴ ৩৬ দিন পরে ঘড়িটি একই সময় দেখাবে। 

প্রশ্ন: যদি একটি নৌকা স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ মিনিটে ৮ কি. মি. যায় এবং স্রোতের গতি ৪ কি. মি./ঘন্টা হয়, তাহলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?

সমাধান:
৪৮ মিনিটে স্রোতের প্রতিকূলে যায় = ৮ কি.মি.
১  মিনিটে স্রোতের প্রতিকূলে যায়= ৮/৪৮ কি.মি.
∴ ৬০ মিনিটে স্রোতের প্রতিকূলে যায় = ৮ × (৬০/৪৮) কি.মি.
= ১০ কি. মি.

আমরা জানি,  
প্রতিকূল বেগ = নৌকার স্থির পানিতে বেগ - স্রোতের বেগ
ধরি, স্থির পানিতে নৌকার বেগ = ক কি.মি./ঘণ্টা
তাহলে, 
ক - ৪ = ১০
⇒ ক = ১০ + ৪
∴ ক = ১৪ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, স্থির পানিতে নৌকার বেগ ১৪ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: আকাশ সাইকেলে ৩ ঘন্টায় ১২ কিমি. ও রাসেল সাইকেলে ৪ ঘন্টায় ২৪ কিমি. যায়। তাদের বেগের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আকাশ সাইকেলে ৩ ঘন্টায় ১২ কিমি. ও রাসেল সাইকেলে ৪ ঘন্টায় ২৪ কিমি. যায়।

আমরা জানি,
বেগ = দূরত্ব/সময়

∴ আকাশের বেগ,
= ১২/৩ কি.মি./ঘণ্টা
= ৪ কি.মি./ঘণ্টা

রাসেলের বেগ,
= ২৪/৪ কি.মি./ঘণ্টা
= ৬ কি.মি./ঘণ্টা

তাদের বেগের অনুপাত= ৪ : ৬
= ২ : ৩          

প্রশ্ন: নৌকাটি স্রোতের প্রতিকূলে যেতে যা সময় লাগে, স্রোতের অনুকূলে যেতে তার অর্ধেক সময় লাগে। যদি পুরো যাত্রায় ৯ ঘণ্টা সময় লাগে, তাহলে স্রোতের অনুকূলে যেতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
মনে করি, 
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = x ঘণ্টা 
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ২x ঘণ্টা  

প্রশ্নমতে,
x + ২x = ৯ 
বা, ৩x = ৯ 
বা, x = ৯/৩ 
∴ x = ৩

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে = ৩ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. ও ২ কি.মি. হলে স্রোতের অনুকূলে ৭২ কি.মি. পথ অতিক্রম করে পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে নৌকাটির মোট কত সময় লাগবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ = ১০ কি.মি./ঘণ্টা 
স্রোতের বেগ = ২ কি.মি./ঘণ্টা 

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (১০ + ২) = ১২ কি.মি./ঘণ্টা 
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (১০ - ২) = ৮ কি.মি./ঘণ্টা 

এখন,
৭২ কি.মি. পথ অতিক্রম করে যেতে প্রয়োজনীয় সময় = ৭২/১২ = ৬ ঘণ্টা 
এবং, ৭২ কি.মি. পথ পুনরায় ফিরে আসতে প্রয়োজনীয় সময় = ৭২/৮ = ৯ ঘণ্টা 

∴ মোট সময় লাগবে = (৬ + ৯) ঘণ্টা = ১৫ ঘণ্টা

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন 5 : 35 বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত? 

সমাধান: 
উৎপন্ন কোণ = {|11M - 60H|}/2 
= {|(11 × 35) - (60 × 5)|}/2 
= {|385 - 300|}/2 
= 85/2 
= 42.5°

প্রশ্ন: যদি একটি ঘড়ি প্রতিদিন ২০ মিনিট করে সময় বেশি দেখায়, তাহলে কতদিন পর ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় দিবে?

সমাধান:
যদি কোন ঘড়ি সময় বেশি দেখাতে থাকে তাহলে তাকে সঠিক সময় দিতে হলে ১২ ঘণ্টা বা ৭২০ মিনিট সময় বেশি দেখাতে হবে।

এখন,
ঘড়িটি ২০ মিনিট বেশি দেখায় ১ দিনে
∴ ঘড়িটি ৭২০ মিনিট বেশি দেখাবে (১ × ৭২০)/২০ দিনে
= ৩৬ দিনে

∴ ৩৬ দিন পর ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় দিবে।

প্রশ্ন: দুটি ট্রেন বিপরীত দিক থেকে একটি অপরটির দিকে চলছে। যদি একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ১২০ মি. হয় এবং তারা একে অপরকে ১২ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। প্রত্যেক ট্রেনের গতিবেগ ৩৬ কি.মি./ঘণ্টা হলে অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ক মি.
আপেক্ষিক বেগ = (৩৬ + ৩৬) কি.মি./ঘণ্টা 
= ৭২ কি.মি./ঘণ্টা
= ৭২ × (৫/১৮) মি./সে.
= ২০ মি./সে.

সময় = ১২ সে.
∴ মোট দূরত্ব = (ক + ১২০) মি.

আমরা জানি,
দূরত্ব = সময় × বেগ
বা, ক + ১২০ = ১২ × ২০
বা, ক + ১২০ = ২৪০
বা, ক = ২৪০ - ১২০
∴ ক = ১২০ মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য 130 মিটার এবং গতি ঘণ্টায় 45 কিলোমিটার। ট্রেনটি 30 সেকেন্ডে যে সেতুটি পার হয়, সেতুটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 130 মিটার
গতি = 45 কিমি/ঘণ্টা
সময় = 30 সেকেন্ড

আমরা জানি, 
গতি = দূরত্ব × সময় = (45 × 1000)/(60 × 60) = 12.5 মিটার/সেকেন্ড

আবার, 
৩০ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব 
= 12.5 × 30= 375 মিটার

আমরা জানি, 
মোট দূরত্ব = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য)
⇒ সেতুর দৈর্ঘ্য = মোট দূরত্ব - ট্রেনের দৈর্ঘ্য
= 375 - 130 = 245 মিটার

সুতরাং, সেতুর দৈর্ঘ্য = 245 মিটার

প্রশ্ন: একটি ২৮০ মিটার দীর্ঘ ট্রেন তার নিজের দৈর্ঘ্যের তিন গুণ দীর্ঘ একটি প্ল্যাটফর্ম ৫০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনের গতি কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টায় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৮০ মি.
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৩ × ২৮০ = ৮৪০ মি.

∴ অতিক্রম করতে হবে মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
= (২৮০ + ৮৪০)  মি.
= ১১২০ মি.
এবং, সময় = ৫০ সেকেন্ড

আমরা জানি, 
গতি = দূরত্ব/সময়
= ১১২০/৫০
= ২২.৪ মি./সে.
= ২২.৪ × ৩.৬   ; [১ মি./সে. = ৩.৬ কিমি./ঘণ্টা] 
= ৮০.৬৪ কিমি./ঘণ্টা

∴ ট্রেনের গতি ৮০.৬৪ কিমি./ঘণ্টা।

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৭২ কিমি গতিতে চলমান ৯০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ২১০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ অতিক্রম করতে কত সেকেন্ড সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৯০ মিটার
ব্রিজের দৈর্ঘ্য = ২১০ মিটার

ট্রেনের গতি = ৭২ কিমি/ঘণ্টা
= ৭২ × (১০০০/৩৬০০)
= ২০ মিটার/সেকেন্ড

∴  ট্রেনটি ব্রিজ অতিক্রম করতে মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য+ ব্রিজের দৈর্ঘ্য
= ৯০+ ২১০
 = ৩০০ মিটার।

সময় = দূরত্ব/ গতিবেগ
= ৩০০/২০
= ১৫ সেকেন্ড

সুতরাং, ট্রেনটি ব্রিজ অতিক্রম করতে ১৫ সেকেন্ড সময় লাগবে।

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ১২ কি.মি. ও ৬ কি.মি.। নদীপথে ৫৪ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ১২ কি.মি. ও ৬ কি.মি.

∴ স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘন্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ
= ১২ + ৬ কিমি
= ১৮ কিমি

∴ ৫৪ কিমি যেতে সময় লাগবে = ৫৪/১৮ ঘন্টা
= ৩ ঘন্টা।

স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘন্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ
= ১২ - ৬ কিমি
= ৬ কিমি

∴ ৫৪ কিমি যেতে সময় লাগবে ৫৪/৬ = ৯ ঘন্টা।

∴ মোট সময় লাগবে = ৩ + ৯ ঘন্টা।
= ১২ ঘন্টা।

প্রশ্ন: ১৫০ মিটার লম্বা মহানগর এক্সপ্রেস একটি খুঁটিকে ৯ সেকেন্ডে অতিক্রম করল। ট্রেনটির গতিবেগ কিলোমিটার/ঘণ্টায় কত? 

সমাধান: 
ট্রেনটি ৯ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = ১৫০ মিটার 
∴ ১ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = ১৫০/৯ মিটার 
∴ ৩৬০০ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = (৩৬০০ × ১৫০)/৯) মিটার 
= ৬০০০০ মিটার 
= ৬০ কি.মি.   ; [১০০০মি. = ১ কি.মি.] 

∴ অতএব, ট্রেনটির গতিবেগ ৬০ কিলোমিটার/ঘণ্টা। 

প্রশ্ন: চাঁদপুর থেকে চট্টগ্রাম যাওয়ার সময় একটি ট্রেনের গতিবেগ ছিল ১২০ কি.মি./ঘণ্টা এবং চট্টগ্রাম থেকে চাঁদপুর ফিরে আসার সময় এর গতিবেগ ছিল ৮০ কি.মি./ঘণ্টা। পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ = ২ × x × y/(x + y)
= (২ × ১২০ × ৮০)/(১২০ + ৮০)
= (২ × ১২০ × ৮০)/২০০ 
= ৯৬ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ ৯৬ কি.মি./ঘণ্টা। 

প্রশ্ন: ১৮০ মিটার লম্বা একটি ট্রেনকে ২২০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম অতিক্রম করতে কত মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?

সমাধান:
প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ২২০ মিটার
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৮০ মিটার

∴ মোট দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য 
= ১৮০ + ২২০
= ৪০০ মিটার

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ঘণ্টায় ৬ কি.মি. বেগে দৌড়ে কোন স্থানে গেলেন এবং ঘণ্টায় ৩ কি.মি. বেগে ফিরে আসলেন। যাত্রাপথে তার গড় গতি কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
গন্তব্যস্থলের দূরত্ব = ক কি.মি. 
∴ ব্যক্তিটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ক + ক = ২ক কি.মি. 

যাওয়ার সময় ব্যক্তিটির সময় লাগে = ক/৬ ঘণ্টা 
ফিরে আসতে ব্যক্তিটির সময় লাগে = ক/৩ ঘণ্টা 

∴ গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময় 
= ২ক/{(ক/৬) + (ক/৩)}
= ২ক/{(ক + ২ক)/৬}
= ২ক/(৩ক/৬)
= ২ক/(ক/২)
= ২ক × (২/ক)
= ৪ কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ১২ সেকেন্ডে একটি খুঁটি এবং ৩০ সেকেন্ডে একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার হলে, প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনটি একটি খুঁটি অতিক্রম করে ১২ সেকেন্ডে
একই ট্রেন একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে ৩০ সেকেন্ডে
এবং ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার

এখন, 
খুঁটি অতিক্রম করার বেগ = দূরত্ব/সময়
= ২০০/১২
= ২০০/১২
= ৫০/৩ মি./সে.

আবার, 
৩ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৫০ মিটার
∴ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৫০/৩ মিটার
∴ ৩০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৫০ × ৩০)/৩ = ৫০০ মিটার

∴ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে মোট দূরত্ব = ৫০০ মিটার

আমরা জানি, 
মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
⇒ ৫০০ = ২০০ + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
⇒ প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৫০০ - ২০০ মিটার
∴ প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৩০০ মিটার

প্রশ্ন: ১২০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৩৩০ মিটার লম্বা একটি সেতু অতিক্রম করবে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৩০ কি.মি হলে, সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
সেতুসহ ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (৩৩০ + ১২০) মিটার 
= ৪৫০ মিটার 
ট্রেনটিকে সেতু অতিক্রম করতে সেতুর দৈর্ঘ্য ও ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

আমরা জানি, 
১ কি.মি = ১০০০ মিটার 
∴ ৩০ কি.মি = ৩০,০০০ মিটার 
এবং 
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড 
∴ ৬০ মিনিট = (৬০ × ৬০) সেকেন্ড 
= ৩৬০০ সেকেন্ড

এখন, 
৩০,০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে 
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৩০,০০০ সেকেন্ডে 
∴ ৪৫০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৪৫০)/৩০,০০০ সেকেন্ডে 
= ৫৪ সেকেন্ডে

∴ সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির সময় লাগবে = ৫৪ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৩০ সেকেন্ডে একটি ২০০ মিটার লম্বা স্টেশন অতিক্রম করে এবং ২০ সেকেন্ডে ১০০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ২০০)/৩০ = (ক + ১০০)/২০
⇒ ২০(ক + ২০০) = ৩০(ক + ১০০)
⇒ ২০ক + ৪০০০ = ৩০ক + ৩০০০
⇒ ৩০ক - ২০ক = ৪০০০ - ৩০০০
⇒ ১০ক = ১০০০ 
⇒ ক = ১০০০/১০ 
∴ ক = ১০০ মিটার

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১০০ মিটার।

প্রশ্ন: দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৫ : ৬। যদি প্রথম ট্রেনটি ৫ ঘণ্টায় ৬০০ কি.মি. যায়। তাহলে, দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেয়া আছে
দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত = ৫ : ৬

ধরি
১ম ট্রেনের গতিবেগ = ৫ক
২য় ট্রেনের গতিবেগ = ৬ক

আবার
১ম ট্রেনের গতিবেগ = ৬০০/৫ কি.মি./ঘণ্টা
= ১২০ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্নমতে
৫ক = ১২০
∴ ক = ২৪

২য় ট্রেনের গতিবেগ = (৬ × ২৪) কি.মি./ঘণ্টা
= ১৪৪ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি নৌকার বেগ ঘণ্টায় ১৫ কি.মি. এবং স্রোতের বেগ ঘণ্টায় ৫ কি.মি.। নৌকাটি ৬০ কি.মি. দূরে যাবে এবং একই পথে ফিরে আসবে। যাতায়াতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে কার্যকরী বেগ ঘণ্টায় (১৫ + ৫) = ২০ কি.মি.
স্রোতের প্রতিকূলে কার্যকরী বেগ ঘণ্টায় (১৫ - ৫) = ১০ কি.মি.

স্রোতের অনুকূলে ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ৬০/২০ = ৩ ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ৬০/১০ = ৬ ঘণ্টা

∴ মোট সময় লাগে = (৩ + ৬) ঘণ্টা = ৯ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন একটি 60 মি. দৈর্ঘ্যের প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে 12 সেকেন্ড সময় নেয় এবং একটি 240 মি. দৈর্ঘ্যের প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে 24 সেকেন্ড সময় নেয়। ট্রেনের দৈর্ঘ্য ও গতির অনুপাত কত?

সমাধান:
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = L মি.
ট্রেনের গতি = v মি./সেকেন্ড

L + 60 = 12v......(1)
L + 240 = 24v......(2)

সমীকরণ (2) - (1):
(24v - 12v) = (L + 240) - (L + 60)
⇒ 12v = 180
⇒ v = 180/12
⇒ v = 15 মি./সেকেন্ড

তাহলে ট্রেনের দৈর্ঘ্য:
L + 60 = 12v
⇒ L = (12 × 15) - 60
= 180 - 60
= 120 মি.

ট্রেনের দৈর্ঘ্য ও গতির অনুপাত:
120 : 15
= 8 : 1

∴ট্রেনের দৈর্ঘ্য ও গতির অনুপাত = 8 : 1 

প্রশ্ন: ১৫০ মিটার ও ২০০ মিটার দীর্ঘ দুটি ট্রেন একই দিকে যথাক্রমে ৬০ কি.মি./ঘণ্টা ও ৭৮ কি.মি./ঘণ্টা বেগে চলছে। দ্রুত ট্রেনটি ধীর ট্রেনটিকে সম্পূর্ণ অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধীরগতির ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার
দ্রুতগতির ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার
ধীর ট্রেনের বেগ = ৬০ কি.মি./ঘণ্টা
দ্রুত ট্রেনের বেগ = ৭৮ কি.মি./ঘণ্টা

∴ আপেক্ষিক বেগ = দ্রুত ট্রেনের বেগ - ধীর ট্রেনের বেগ  ; [যেহেতু দুটি ট্রেন একই দিকে চলছে]
= (৭৮ - ৬০) কি.মি./ঘণ্টা
= ১৮ কি.মি./ঘণ্টা
= ১৮ × (৫/১৮) মি./সে.
= ৫ মি./সে.

আবার, 
দ্রুত ট্রেনকে ধীর ট্রেনকে সম্পূর্ণ অতিক্রম করতে যে দূরত্ব পাড়ি দিতে হবে,
= দ্রুত ট্রেনের দৈর্ঘ্য + ধীর ট্রেনের দৈর্ঘ্য
= (২০০ + ১৫০) মিটার
= ৩৫০ মিটার

আমরা জানি, 
সময় = দূরত্ব/আপেক্ষিক বেগ   
= ৩৫০/৫
= ৭০ সেকেন্ড

সুতরাং, দ্রুত ট্রেনটি ধীর ট্রেনটিকে সম্পূর্ণ অতিক্রম করতে ৭০ সেকেন্ড সময় লাগবে।

প্রশ্ন: একজন মাঝি দাঁড় বেয়ে 24 কি.মি. যেতে এবং সেখান থেকে ফিরে আসতে 6 ঘণ্টা সময় লাগে। সে স্রোতের অনুকূলে যতক্ষণে 6 কি.মি. যায়, স্রোতের প্রতিকূলে ততক্ষণে 3 কি.মি. যায়। স্রোতের বেগ কত?

সমাধান:
ধরি,
স্রোতের অনুকূলে 6 কি.মি. যায় x ঘণ্টায়
স্রোতের প্রতিকূলে 3 কি.মি. যায় x ঘণ্টায়

∴ স্রোতের অনুকূলে বেগ = 6/x কি.মি./ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = 3/x কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
24/(6/x) + 24/(3/x) = 6
⇒ 24 × (x/6) + 24 × (x/3) = 6
⇒ 4x + 8x = 6
⇒ 12x = 6
⇒ x = 1/2

∴ স্রোতের অনুকূলে বেগ = 6/(1/2) = 12 কি.মি./ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = 3/(1/2) = 6 কি.মি./ঘণ্টা

আমরা জানি, স্রোতের বেগ = (অনুকূল বেগ - প্রতিকূল বেগ)/2
∴ স্রোতের বেগ = (12 - 6)/2 = 3 কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে যেতে ৪০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে গেলে ৯ মিনিট দেরি হয়। আবার ৫০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে গেলে ৬ মিনিট আগে পৌঁছে। যাত্রা পথের দূরত্ব কত?

সমাধান:

ধরি,
যাত্রা পথের দূরত্ব = ’ক’ কি.মি.

ঘণ্টায় ৪০ কি.মি. বেগে ’ক’ কি.মি. পথ অতিক্রম করতে সময় লাগে ক/৪০ ঘণ্টা
ঘণ্টায় ৫০ কি.মি. বেগে ’ক’ কি.মি. পথ অতিক্রম করতে সময় লাগে ক/৫০ ঘণ্টা

১ম সময় ও ২য় সময়ের পার্থক্য = (৯ + ৬) মিনিট = ১৫ মিনিট
= ১৫/৬০ = ১/৪ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৪০) - (ক/৫০) = ১/৪
বা, (৫ক - ৪ক)/২০০ = ১/৪
বা, ক/২০০ = ১/৪
বা, ক = ২০০/৪
∴ ক = ৫০ কি.মি.

∴ যাত্রা পথের দূরত্ব = ৫০ কি.মি. ।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৪০ সেকেন্ডে একটি ২৮০ মিটার লম্বা স্টেশন অতিক্রম করে এবং ২৪ সেকেন্ডে ১২০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ২৮০)/৪০ = (ক + ১২০)/২৪
⇒ ২৪(ক + ২৮০) = ৪০(ক + ১২০)
⇒ ২৪ক + ৬৭২০ = ৪০ক + ৪৮০০
⇒ ৪০ক - ২৪ক = ৬৭২০ - ৪৮০০
⇒ ১৬ক = ১৯২০
⇒ ক = ১৯২০/১৬
∴ ক = ১২০ মিটার

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১২০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন 450 মিটার এবং এটি 54 কিমি/ঘন্টা গতিতে চলে 1.2 মিনিটে একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে। প্ল্যাটফর্ম এবং ট্রেনের দৈর্ঘ্যের মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 450 মি
প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে সময় লাগে = 1.2 মিনিট = 1.2 × 60 = 72 সেকেন্ড
ট্রেনের গতি = 54 কিমি/ঘন্টা = 54 × (1000/3600) = 15 মি/সেকেন্ড

আমরা জানি, 
অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব = গতি × সময়
মোট দূরত্ব = 15 × 72 = 1080 মি

এবং, 

অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
⇒ প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = মোট দূরত্ব - ট্রেনের দৈর্ঘ্য
∴  প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = 1080 - 450 = 630 মি

∴ প্ল্যাটফর্ম এবং ট্রেনের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য = 630 - 450 = 180 মিটার 

অতএব, প্ল্যাটফর্ম ও ট্রেনের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য = 180 মিটার

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৮ কি.মি. ও ৬ কি.মি.। নদী পথে ১৯২ কি.মি. যেতে এবং ফিরে আসতে লঞ্চটির কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = ১৮ + ৬ = ২৪ কি.মি./ঘণ্টা 
স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = ১৮ - ৬ = ১২ কি.মি./ঘণ্টা 

∴ মোট সময় = (১৯২/১২) + (১৯২/২৪) ঘণ্টা 
= (১৬ + ৮) ঘণ্টা 
= ২৪ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি দুর্গে ৫৫ দিনের জন্য ১২০০ সৈন্যের খাবার রয়েছে। ১০ দিন পর ২০০ সৈন্য দুর্গ ছেড়ে যায়। অবশিষ্ট খাবার কত দিন চলবে? 

সমাধান: 
১০ দিন পর সৈন্য আছে= (১২০০ - ২০০) জন
= ১০০০ জন
এবং
দিন বাকি = (৫৫ - ১০) দিন
= ৪৫ দিন

এখন,
১২০০ জন সৈন্যের খাবার আছে = ৪৫ দিনের 
∴ ১ জন সৈন্যের খাবার আছে = ৪৫ × ১২০০ দিনের 
∴ ১০০০ জন সৈন্যের খাবার আছে = (৪৫ ×১২০০)/১০০০ দিনের 
= ৫৪ দিনের 

∴  অবশিষ্ট খাবার চলবে = ৫৪ দিন । 

প্রশ্ন: ১২০০ মিটার একটি ট্রেন ৪০০ মিটারের একটি ব্রিজকে ৪০ সেকেন্ডে অতিক্রম করতে চাইলে তার গতি কত রাখতে হবে?

সমাধান: 
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১২০০ মিটার
ব্রিজের দৈর্ঘ্য = ৪০০ মিটার
সময় = ৪০ সেকেন্ড

মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + ব্রিজের দৈর্ঘ্য 
= ১২০০ + ৪০০
= ১৬০০ মিটার

গতি রাখতে হবে = ১৬০০/৪০ মিটার/সেকেন্ড
= ৪০ মিটার/সেকেন্ড
= (৪০ × ৩.৬) কি.মি./ঘন্টা [যেহেতু ১ মিটার/সেকেন্ড = ৩৬০০/১০০০ = ৩.৬ কি.মি./ঘণ্টা]
= ১৪৪ কি.মি./ঘন্টা

∴ ট্রেনটির গতি রাখতে হবে ১৪৪ কি.মি./ঘন্টা। 

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার। ট্রেনটির গতি ঘন্টায় ১০০ কি. মি. হলে ৩০ মিনিটে ট্রেনটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

সমাধান:
ট্রেনের গতি = ১০০ কিমি/ঘণ্টা
সময় = ৩০ মিনিট = ০.৫  ঘণ্টা

আমরা জানি, 
দূরত্ব = গতি × সময়
⇒ দূরত্ব = ১০০ × ৫০ = ৫০ কিমি

অতএব, ট্রেনটি ৩০ মিনিটে ৫০ কিলোমিটার দূরত্ব অতিক্রম করবে।

প্রশ্ন: রাজশাহী ও ঢাকা শহরের দূরত্ব ২৭০ কিমি। রাজশাহী থেকে একটি ট্রেন সকাল ৬ টায় ছেড়ে ১২ টায় ঢাকায় পৌঁছালো। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
রাজশাহী ও ঢাকা শহরের দূরত্ব ২৭০ কিমি।
সকাল ৬ টায় ছেড়ে গিয়ে দুপুর ১২ টায় পৌঁছে।

 ∴ মধ্যবর্তী সময়ের পার্থক্য = (১২ - ৬)
= ৬ ঘণ্টা

∴  ট্রেনটির গড় গতিবেগ =  মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব/মোট ব্যয়িত সময়
= ২৭০/৬
= ৪৫ কিমি/ঘণ্টা

∴  ট্রেনটির গড় গতিবেগ ৪৫ কিমি/ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির গতি সেকেন্ডে ১৫ মিটার হলে, গাড়িটির ঘন্টার গতি বেগ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
গাড়ির গতি = ১৫ মিটার/সেকেন্ড
= ১৫ × (১৮/৫) কিমি/ঘণ্টা
= (১৫ × ১৮)/৫
= ৫৪ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, গাড়িটির ঘন্টায় গতিবেগ ৫৪ কি.মি. প্রতি ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একটি এনালগ ঘড়িতে সাড়ে পাঁচটার সময় ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘণ্টার সময় = ৫ 
মিনিটের সময় = ৩০ 

∴ ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = {(১১ × মিনিট) - (৬০ × ঘণ্টা)}/২ 
= ।(১১ × ৩০) - (৬০ × ৫)।/২ 
= ।(৩৩০ - ৩০০)।/২
= ।৩০।/২ 
= ১৫° 

∴ সাড়ে পাঁচটার সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ ১৫°।

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি প্রতিদিন ৩৬ মিনিট সময় হারায়। কতদিন পর ঘড়িটি সঠিক সময় নির্দেশ করবে? 

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘড়ির কাঁটার সম্পূর্ণ ঘন্টা = ১২ ঘন্টা
অর্থাৎ ১২ ঘণ্টা = ১২ × ৬০ মিনিট
= ৭২০ মিনিট সময় হারালে ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় নির্দেশ করবে।

এখন, ৩৬ মিনিট সময় হারায় = ১ দিনে
∴ ৭২০ মিনিট সময় হারায় = ৭২০/৩৬ দিনে
= ২০ দিনে

অতএব, ঘড়িটি ২০ দিন পর সঠিক সময় নির্দেশ করবে।

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন 4 : 25 বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত?

সমাধান: 
উৎপন্ন কোণ = {|11M - 60H|}/2 
= {| (11 × 25) - (60 × 4)|}/2 
= {|275 - 240|}/2 
= 35/2
= 17.5°

প্রশ্ন: একজন দৌড়বিদ ১০ মিটার/সেকেন্ড বেগে দৌড়ালে ২ কি.মি. দৌড় সম্পূর্ণ করতে তার কত সময় লাগবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গতিবেগ = ১০ মিটার/সেকেন্ড
দূরত্ব = ২ কি.মি. = ২ × ১০০০ = ২০০০ মিটার

∴ সময় = দূরত্ব ÷ গতিবেগ
= ২০০০ ÷ ১০
= ২০০ সেকেন্ড

৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট
∴ ২০০ সেকেন্ড = ৩ মিনিট ২০ সেকেন্ড

∴ ২ কি.মি. দৌড় সম্পূর্ণ করতে তার ৩ মিনিট ২০ সেকেন্ড সময় লাগবে

প্রশ্ন: ১৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ৪৫০ মিটার দীর্ঘ একটি সেতু অতিক্রম করবে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৭২ কি.মি. হলে, সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
সেতুসহ ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (৪৫০ + ১৫০) মিটার = ৬০০ মিটার

ট্রেনটিকে সেতু অতিক্রম করতে সেতুর দৈর্ঘ্য ও এর নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

আমরা জানি,
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড
১ কি.মি = ১০০০ মিটার
∴ ৭২ কি.মি = ৭২,০০০ মিটার

৭২,০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৭২,০০০ সেকেন্ডে
∴ ৬০০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৬০০)/৭২,০০০ সেকেন্ডে = ৩০ সেকেন্ডে

∴ সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির ৩০ সেকেন্ড সময় লাগবে।

প্রশ্ন: যদি মাসের ২য় দিন সোমবার হয় তাহলে মাসের ১৮ তম দিন কী বার হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো নির্দিষ্ট দিনের সাথে ৭ দিন যোগ করলে একই বার ফিরে আসে।

মাসের ২য় দিন সোমবার হলে ,
২ + ৭ = ৯ তম,
৯ + ৭ = ১৬ তম,
১৬ + ৭ = ২৩ তম দিন গুলোও হবে সোমবার।

∴ ১৬ + ২ = ১৮ তম দিন হবে সোমবার + ২ দিন = বুধবার

প্রশ্ন: একটি প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ১৭০ মিটার। ২৪০ মিটার লম্বা একটি আন্তঃনগর ট্রেনকে ঐ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে কত দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৪০ মিটার 
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ১৭০ মিটার 

আমরা জানি,  প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ও ট্রেনটির নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

∴ ট্রেনটির অতিক্রান্ত দূরত্ব = (প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য + ট্রেনের দৈর্ঘ্য) 
= (১৭০ + ২৪০) মিটার
= ৪১০ মিটার

∴ ট্রেনটিকে ৪১০ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে।

প্রশ্ন: ২০ জন পুরুষ একটি পুকুর ১৫ দিনে খনন করতে পারে। কত জন পুরুষ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে? 

সমাধান: 
১৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০×১৫ জন 
∴ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = (২০×১৫)/২০ জন 
= ১৫ জন। 

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ১৫ জন।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ১০ ঘণ্টায় একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করেন। যাত্রাপথের অর্ধেক দূরত্ব তিনি ১২ কি.মি./ঘণ্টা এবং বাকী অর্ধেক দূরত্ব ১৫ কি.মি./ঘন্টা গতিতে চলেন। মোট দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি, 
মোট দূরত্ব = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
{(ক/২)/১২} + {(ক/২)/১৫} = ১০
বা, (ক/২৪) + (ক/৩০) = ১০
বা, ৫ক + ৪ক = ১০ × ১২০
বা, ৯ক = ১০ × ১২০
বা, ক = (১০ × ১২০)/৯
∴ ক = ৪০০/৩ কি.মি

প্রশ্ন: দুজন শ্রমিক একটি কাজ যথাক্রমে ৬ ও ১০ মিনিটে করতে পারে। দুজনে একত্রে কত মিনিটে শেষ করবে?

সমাধান:
প্রথম শ্রমিক একা কাজটা ৬ মিনিটে করে।
১ মিনিটে করে = ১/৬ অংশ

দ্বিতীয় শ্রমিক একা কাজটা ১০ মিনিটে করে।
১ মিনিটে করে = ১/১০ অংশ

∴ দুইজন একত্রে, ১ মিনিটে করে = (১/৬) + (১/১০) অংশ
= (৫ + ৩)/৩০ অংশ
= ৮/৩০ অংশ
= ৪/১৫ অংশ

কাজের ৪/১৫ অংশ শেষ হয় = ১ মিনিটে
∴ কাজের ১ বা সম্পূর্ণ অংশ শেষ হয় = (১৫/৪) মিনিটে
= ৩.৭৫ মিনিট 
= ৩ মিনিট + (০.৭৫ × ৬০) সেকেন্ড
= ৩ মিনিট ৪৫ সেকেন্ড

∴ দুজনে একত্রে কাজ শেষ করবে = ৩ মিনিট ৪৫ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: ৬০ কি.মি. পথ পাড়ি দিতে সুমনের, মাহির চেয়ে ৩ ঘণ্টা সময় বেশি লাগে। সুমন যদি তার গতিবেগ দ্বিগুণ করত, তবে মাহির চেয়ে তার ২ ঘণ্টা সময় কম লাগত। সুমনের গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, সুমনের গতিবেগ = ক কি.মি./ঘণ্টা 
সময়ের ব্যবধান = ৩ + ২ = ৫ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(৬০/ক) - (৬০/২ক) = ৫
⇒ (১২০ - ৬০)/২ক = ৫
⇒ ৬০/২ক = ৫
⇒ ৩০/ক = ৫
⇒ ৫ক = ৩০
⇒ ক = ৬

∴ সুমনের গতিবেগ ছিল ৬ কি.মি./ঘণ্টা।

প্রশ্ন: দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৪ : ৭। যদি প্রথম ট্রেনটি ৬ ঘণ্টায় ৪৮০ কি.মি. অতিক্রম করে, তাহলে দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৪ : ৭

মনে করি,
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = ৪ক
দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = ৭ক

আবার,
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = ৪৮০/৬ কি.মি./ঘণ্টা
= ৮০ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
৪ক = ৮০
⇒ ক = ৮০/৪
∴ ক = ২০

∴ দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = (৭ × ২০) কি.মি./ঘণ্টা
= ১৪০ কি.মি./ঘণ্টা