নৌকা, ট্রেন, সময় ও গতিবেগ সংক্রান্ত সমস্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ১৮ সেকেন্ড ও ১৫ সেকেন্ডে যথাক্রমে ১৬২ ও ১২০ মিটার লম্বা দুটি স্টেশন অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার? 

সমাধান: 
ধরি, 
ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার 

প্রশ্নমতে, 
(ক + ১৬২)/১৮ = ( ক + ১২০)/১৫ 
⇒ ১৮ক + ২১৬০ = ১৫ক + ২৪৩০ 
⇒ ১৮ক - ১৫ক = ২৪৩০ - ২১৬০ 
⇒ ৩ক = ২৭০
⇒ ক = ২৭০/৩
∴ ক = ৯০ 

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ৯০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি বাস সকাল ৬:২০ মিনিটে ঢাকা থেকে রওনা হয়ে কোথাও থেমে না থেকে সকাল ১০:২০ মিনিটে নড়াইল পৌঁছায়। যদি বাসের গতি ঘণ্টায় ৬০ কিমি হয়, তাহলে ঢাকা থেকে নড়াইলের দূরত্ব কত?

সমাধান:
একটি বাস ঢাকা থেকে রওনা হয় সকাল ৬টা ২০ মিনিটে
নড়াইল পৌঁছাল সকাল ১০টা ২০ মিনিটে

∴ মোট সময় = (১০ : ২০ − ৬ : ২০) = ৪ ঘণ্টা

১ ঘণ্টায় যায় ৬০ কি.মি.
∴ ৪ ঘণ্টায় যায় (৬০ × ৪) কি.মি.
= ২৪০ কি.মি.

প্রশ্ন: রবিন ৪ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে হেঁটে শাহবাগ থেকে ২.৫ ঘণ্টায় মালিবাগ যায়। শাহবাগ থেকে মালিবাগের দূরত্ব কত?

সমাধান:
এখানে, গতিবেগ = ৪ কিলোমিটার/ঘণ্টা
এবং অতিবাহিত সময় = ২.৫ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
দূরত্ব = বেগ × সময়
= ৪ × ২.৫ 
= ১০ কিলোমিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের বেগ ঘন্টায় 72 কি.মি. এবং ট্রেনের দৈর্ঘ্য 180 মিটার হলে 320 মিটার একটি প্লাট ফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনটি কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 180 মিটার
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = 320 মিটার
∴ মোট পথ = 180 + 320 = 500 মিটার

বেগ = 72 কি.মি./ঘন্টা
= 72 × (1000/3600)
= 72 × (5/18)
= 20 মিটার/সেকেন্ড

আমরা জানি, 
সময় = পথ/বেগ
= 500/20
= 25 সেকেন্ড

∴ ট্রেনটি 320 মিটার প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে 25 সেকেন্ড সময় লাগবে।

প্রশ্ন: ১২ জন শ্রমিক একটি কাজ ৬ ঘণ্টায় শেষ করে। ২৪ জন শ্রমিক একই কাজ কত ঘণ্টায় শেষ করবে?

সমাধান:
মোট কাজ = শ্রমিক × সময়
= ১২ × ৬
= ৭২ লোক-ঘণ্টা

নতুন সময় = মোট কাজ/নতুন শ্রমিক
= ৭২/২৪
= ৩ ঘন্টা 

∴২৪ জন শ্রমিক একই কাজ ৩ ঘণ্টায় শেষ করবে। 

প্রশ্ন: একটি সিএনজি প্রথম মাইলের জন্য ৬০ টাকা এবং পরবর্তী প্রতি মাইলের জন্য ১২ টাকা ভাড়া নেয়। সাড়ে চার মাইল পথের জন্য কত টাকা ভাড়া হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
একটি সিএনজি প্রথম মাইলের জন্য ৬০ টাকা নেয়
এবং পরবর্তী প্রতি মাইলের জন্য ১২ টাকা নেয়।
পথের মোট দূরত্ব = সাড়ে চার মাইল = ৪.৫ মাইল

এখন, 
প্রথম ১ মাইলের ভাড়া = ৬০ টাকা

∴ পরবর্তী দূরত্ব = ৪.৫ - ১ = ৩.৫ মাইল
∴ পরবর্তী ৩.৫ মাইলের ভাড়া = ৩.৫ × ১২ = ৪২ টাকা

∴ মোট ভাড়া = ৬০ + ৪২ = ১০২ টাকা

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কি.মি. পথ ১২ ঘণ্টায় অতিক্রম করেন। স্থির পানিতে একই সময়ে ২ গুণ দূরত্ব অতিক্রম করতে পারেন। স্রোতের অনুকূলে একই পথ অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতি = ৪৮/১২ কি.মি./ঘন্টা
= ৪ কি.মি./ঘন্টা

স্থির পানিতে নৌকার গতি = ২ × স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতি
= ২ × ৪
= ৮ কি.মি./ঘন্টা

নদীর স্রোতের গতি = স্থির পানিতে নৌকার গতি - স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতি
= ৮ - ৪ কি.মি./ঘন্টা
= ৪ কি.মি./ঘন্টা

অনুকূলের গতি = স্থির পানিতে নৌকার গতি + নদীর স্রোতের গতি
= ৮ + ৪ কি.মি./ঘন্টা
= ১২ কি.মি./ঘন্টা

একই পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে = ৪৮/১২ ঘন্টা
= ৪ ঘন্টা

∴ একই পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে ৪ ঘন্টা।

প্রশ্ন: ১২০ মিটার লম্বা একটি আন্তঃনগর এক্সপ্রেস ট্রেন একটি লাইট পোস্ট ৬ সেকেন্ডে অতিক্রম করল। ট্রেনটির গতিবেগ কিলোমিটার/ঘণ্টায় কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড 
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার 
ট্রেনটি লাইট পোস্ট অতিক্রম করতে তার নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হয়। 

এখন,
৬ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ১২০ মিটার 
∴ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ১২০/৬ মিটার 
∴ ৩৬০০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (১২০ × ৩৬০০)/৬ মিটার 
= ৭২০০০ মিটার 
= ৭২ কিলোমিটার 

∴ ট্রেনটির গতিবেগ = ৭২ কিলোমিটার/ঘণ্টা ।

প্রশ্ন: রহিম একটি রাস্তার অর্ধেক পথ ঘন্টা প্রতি ২০ কিমি বেগে এবং বাকি অর্ধেক পথ ঘন্টা প্রতি ৪০ কিমি বেগে হাঁটে। পুরো পথ অতিক্রম করতে তার ৬ ঘন্টা সময় লাগে। রাস্তার মোট দৈর্ঘ্য কত কিলোমিটার?

সমাধান:
ধরি, মোট দূরত্ব = ক কিমি

এখানে,
প্রথম অর্ধেক পথ = (ক/২) কিমি,
এবং গতি = ২০ কিমি/ঘন্টা

বাকি অর্ধেক পথ = (ক/২) কিমি,
এবং গতি = ৪০ কিমি/ঘন্টা

∴ প্রথম অংশে সময় = দূরত্ব/গতি
= (ক/২)/২০
= ক/৪০ ঘন্টা

∴ দ্বিতীয় অংশে সময় = দূরত্ব/গতি
= (ক/২)/৪০
= ক/৮০ ঘন্টা

প্রশ্নমতে,
ক/৪০ + ক/৮০ = ৬
⇒ (২ক + ক)/৮০ = ৬
⇒ ৩ক = ৬ × ৮০
⇒ ৩ক = ৪৮০
∴ ক = ১৬০

∴ রাস্তার মোট দৈর্ঘ্য = ১৬০ কিমি।

প্রশ্ন: ১৮০ মিটার লম্বা একটি আন্তঃনগর এক্সপ্রেস একটি লাইট পোস্টকে ১২ সেকেন্ডে অতিক্রম করলো। ট্রেনটির গতিবেগ কিলোমিটার/ঘণ্টায় কত?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি লাইট পোস্ট বা খুঁটি অতিক্রম করার অর্থ হলো ট্রেনটি তার নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করা।

ট্রেনটি ১২ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ১৮০ মিটার 
ট্রেনটি ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে (১৮০/১২) মিটার
∴ ট্রেনটি ৩৬০০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে (১৮০/১২) × ৩৬০০ মিটার
= ৫৪০০০ মিটার
= ৫৪০০০/১০০০ কিলোমিটার
= ৫৪ কিলোমিটার

∴ ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৫৪ কিলোমিটার।

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি 120 কিলোমিটার দূরত্ব একটি নির্দিষ্ট গতিবেগে অতিক্রম করে। যদি তার গতিবেগ ঘন্টায় 10 কিলোমিটার বেশি হতো, তবে তার গন্তব্যে পৌঁছাতে 1 ঘণ্টা সময় কম লাগত। তার আসল গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, ব্যক্তির আসল গতিবেগ = x কি.মি./ঘন্টা
∴ সময় লাগবে = 120/x ঘণ্টা।

আবার,
যদি গতিবেগ 10 কি.মি./ঘন্টা বেশি হয়, তাহলে
সময় লাগবে = 120/(x + 10)​ ঘণ্টা।

প্রশ্নমতে, 
(120/x) - {120/(x + 10)} = 1
⇒ 120{(x + 10 - x)/x(x + 10)} = 1
⇒ 1200/x(x + 10) = 1
⇒ x² + 10x = 1200
⇒ x² + 10x - 1200 = 0
⇒ x² + 40x - 30x - 1200 = 0
⇒ x(x + 40) - 30(x + 40) = 0
⇒ (x + 40)(x - 30) = 0
হয়, x + 40 = 0
∴ x = - 40 ; [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

অথবা,
x - 30 = 0
∴ x = 30

অতএব, তার আসল গতিবেগ ছিল 30 কি.মি./ঘন্টা।

প্রশ্ন: রুমান সাইকেলে ৩ ঘন্টায় ১৮ কিমি. ও রুশান সাইকেলে ৪ ঘন্টায় ২৮ কিমি. যায়। তাদের বেগের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রুমান সাইকেলে ৩ ঘন্টায় ১৮ কিমি. ও রুশান ৪ ঘন্টায় ২৮ কিমি. যায়।

আমরা জানি,
বেগ = দূরত্ব/সময়

∴ রুমানের বেগ,
= ১৮/৩ কি.মি./ঘণ্টা
= ৬ কি.মি./ঘণ্টা

রুশানের বেগ,
= ২৮/৪ কি.মি./ঘণ্টা
= ৭ কি.মি./ঘণ্টা

তাদের বেগের অনুপাত= ৬ : ৭                            

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি সকালে ৬ কি.মি./ঘণ্টা বেগে হেঁটে বাসা থেকে অফিসে যান এবং বিকেলে ৪ কি.মি./ঘণ্টা বেগে হেঁটে অফিস থেকে বাসায় ফেরেন এতে তার ১ ঘণ্টা বেশি লাগে । বাসা থেকে অফিসের দুরত্ব কত?

সমাধান:

মনে করি,
বাসা থেকে অফিসের দুরত্ব x কিলোমিটার।

সকালে ৬ কি.মি. অতিক্রম করে ১ ঘণ্টায়
সকালে ১ কি.মি. অতিক্রম করে ১/৬ ঘণ্টায়
সকালে x কি.মি. অতিক্রম করে x/৬ ঘণ্টায়

আবার,
বিকেলে ৪ কি.মি. অতিক্রম করে ১ ঘণ্টায়
বিকেলে ১ কি.মি. অতিক্রম করে ১/৪ ঘণ্টায়
বিকেলে x কি.মি. অতিক্রম করে x/৪ ঘণ্টায়

প্রশ্নানুযায়ী,
 (x/৪) - (x/৬) = ১
⇒ (৩x - ২x)/১২ = ১
⇒ x/১২ = ১
∴ x = ১২
সুতরাং, বাসা থেকে অফিসের দুরত্ব ১২ কিলোমিটার।

প্রশ্ন: ৫০ জনের ২৭ দিনের খাদ্য আছে। ৩ দিন পর ৩০ জন লোক আসলে ঐ খাদ্যে কতদিন চলবে? 

সমাধান: 
দিন বাকী আছে (২৭ - ৩) দিন
= ২৪ দিন 
মোট লোক সংখ্যা হলো = (৫০ + ৩০) জন
= ৮০ জন 

এখন,
৫০ জন লোকের চলে = ২৪ দিন 
∴ ১ জন লোকের চলে = (২৪ × ৫০) দিন 
∴ ৮০ জন লোকের চলে = (২৪ × ৫০)/৮০ দিন 
= ১৫ দিন। 

প্রশ্ন: একটি প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য ২৭০ মিটার। ২৫০ মিটার লম্বা ট্রেনকে উক্ত প্লাটফর্মের অতিক্রম করতে কত দূরত্ব অতিক্রম করতে হয়?

সমাধান:
এখানে,
প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ২৭০ মিটার
এবং ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৫০ মিটার।

যেহেতু ট্রেনকে প্লাটফর্ম অতিক্রম করতে হলে তার নিজের দৈর্ঘ্যও অতিক্রম করতে হবে।

∴মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = (২৭০ + ২৫০) মিটার = ৫২০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি নৌকার বেগ ১০ কি.মি. এবং স্রোতের বেগ ৫ কি.মি.। নৌকাটি ৪৫ কি.মি. পথ গিয়ে আবার ফিরে আসতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকুলে নৌকার বেগ ঘণ্টায় ১৫ কি.মি.
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ ঘণ্টায় ৫ কি.মি.

৪৫ কি.মি. অতিক্রম করতে সময় লাগে = ৪৫/১৫ ঘণ্টা
= ৩ ঘণ্টা 
 
এবং ৪৫ কি.মি. ফিরে আসতে সময় লাগে = ৪৫/৫ ঘণ্টা
= ৯ ঘণ্টা 

∴ মোট সময় লাগে = (৩ + ৯) ঘণ্টা
= ১২ ঘণ্টা

প্রশ্ন: ৩০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৫০০ মিটার লম্বা একটি প্লাটফর্ম ২ মিনিটে অতিক্রম করলে ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কি.মি. ছিল?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৩০০ মিটার
প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৫০০ মিটার

∴ মোট দূরত্ব = ৩০০ + ৫০০ = ৮০০ মিটার
সময় = ২ মিনিট = (২ × ৬০) সেকেন্ড = ১২০ সেকেন্ড

এখন,
ট্রেনটি ১২০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ৮০০ মিটার
ট্রেনটি ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৮০০/১২০) মিটার
ট্রেনটি ৩৬০০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৮০০/১২০) × ৩৬০০ মিটার
= ২৪০০০ মিটার
= (২৪০০০/১০০০) কিলোমিটার
= ২৪ কিলোমিটার

∴ ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ২৪ কি.মি. ।

প্রশ্ন: ২০০ মিটার লম্বা উপকূল এক্সপ্রেস একটি খুঁটিকে ১০ সেকেন্ডে অতিক্রম করল। ট্রেনটির গতিবেগ কত কি.মি./ঘণ্টা?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার
খুঁটি অতিক্রম করতে সময় = ১০ সেকেন্ড

আমরা জানি, 
গতিবেগ = দূরত্ব ÷ সময়
= ২০০/১০
= ২০ মি/সে
= ২০ × (১৮/৫) কিমি/ঘণ্টা ; [১ মি/সে = ১৮/৫ কিমি/ঘণ্টা] 
= (২০ × ১৮)/৫
= ৭২ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, ট্রেনের গতিবেগ ৭২ কি.মি./ঘণ্টা। 

প্রশ্ন: ৬টি মেশিন ৮ মিনিটে ৪৮টি শার্ট সেলাই করতে পারে। যদি এখন ৩টি মেশিন ২০% দ্রুত চালানো হয়, তবে ৬৬টি শার্ট সেলাই করতে কত মিনিট লাগবে?

সমাধান:
৬ মেশিন ৮ মিনিট সেলাই করে = ৪৮ শার্ট
১ মেশিন ৮ মিনিট সেলাই করে = ৪৮/ ৬ শার্ট
১ মেশিন ১ মিনিট সেলাই করে = ৪৮/(৬ × ৮) শার্ট = ১ শার্ট

∴৩টি সাধারণ মেশিনে = ৩ শার্ট/মিনিট 

বাকি ৩ টি মেশিনে ২০% দ্রুত চালানো হলে, 
৩ মেশিন ১ মিনিটে সেলাই করতে পারে = ৩ × ১.২ শার্ট = ৩.৬ শার্ট

তাহলে ৬ টি মেশিন ১ মিনিটে সেলাই করতে পারে = ৩ + ৩.৬ = ৬.৬ টি শার্ট
৬৬ শার্ট সেলাই করতে সময় লাগবে = (৬৬/৬.৬) = ১০ মিনিট

∴৬৬টি শার্ট সেলাই করতে সময় লাগবে ১০ মিনিট 

প্রশ্ন: সামির যে সময়ে ৭ বার পদক্ষেপ দেয়, মাহিম ততক্ষণে ৮ বার পদক্ষেপ দেয়। কিন্তু মাহিম ৫ পদক্ষেপে যতদূর যায়; সামির ৪ পদক্ষেপে ততদূর যায়। সামির ও মাহিমের গতিবেগের অনুপাত নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মাহিমের ৫ পদক্ষেপের দূরত্ব = সামিরের ৪ পদক্ষেপের দূরত্ব
মাহিমের ১ পদক্ষেপের দূরত্ব = সামিরের ৪/৫ পদক্ষেপের দূরত্ব
মাহিমের ৮ পদক্ষেপের দূরত্ব = সামিরের (৪ × ৮)/৫ পদক্ষেপের দূরত্ব
= ৩২/৫ পদক্ষেপের দূরত্ব

∴ সামিরের বেগ : মাহিমের বেগ = ৭ : (৩২/৫)
= ৩৫ : ৩২

প্রশ্ন: একটি বাস ঘণ্টায় 25 কি.মি. গতিবেগে ঢাকার গাবতলী থেকে আরিচা পৌঁছাল। আবার বাসটি  ঘণ্টায় 30 কি.মি. গতিবেগে আরিচা থেকে গাবতলী ফিরে এলো। যাতায়াতে বাসটির মোট 11 ঘণ্টা সময় লাগল। গাবতলী থেকে আরিচার দূরত্ব কত?

সমাধান:
মনে করি,
গাবতলী থেকে আরিচার দূরত্ব d কি.মি.।

গাবতলী থেকে আরিচা যেতে সময় লাগে (d/25) ঘণ্টা।
আবার,
আরিচা থেকে গাবতলী ফিরে আসতে সময় লাগে (d/30) ঘণ্টা।

∴ যাতায়াতে বাসটির মোট সময় লাগল {(d/25) + d/30)} ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
{(d/25) + d/30)} = 11
বা, (6d + 5d)/150 = 11
বা, 11d/150 = 11
বা, 11d = 11 × 150
বা, d = (11 × 150)/11
∴ d = 150

∴ গাবতলী থেকে আরিচার দূরত্ব 150 কি.মি.।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ঘণ্টায় ৪ কি.মি. গতিতে হেঁটে গন্তব্যে পৌঁছায় এবং ঘণ্টায় ৫ কি.মি. গতিতে ঘোড়ায় চড়ে ফিরে আসে। তার যাত্রাপথে মোট ৯ ঘণ্টা সময় লাগলে গন্তব্যস্থলের দূরত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
যাওয়ার গতি (হাঁটা) = ৪ কি.মি./ঘণ্টা
ফেরার গতি (ঘোড়ায়) = ৫ কি.মি./ঘণ্টা

∴ মোট সময় (যাওয়া + ফেরা) = ৯ ঘণ্টা

ধরি
গন্তব্যের দূরত্ব = d কি.মি.
তাহলে, যাওয়ার সময় = d/৪ ঘণ্টা
ফেরার সময় = d/৫ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে, 
(d/৪) + (d/৫) = ৯ 
⇒ (৫d + ৪d)/২০ = ৯ 
⇒ ৯d/২০ = ৯ 
⇒ d = (৯ × ২০)/৯ 
∴ d = ২০ 

সুতরাং, গন্তব্যস্থলের দূরত্ব ২০ কিলোমিটার।

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৭২ কি.মি বেগে চলমান একটি ট্রেন ১৫০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম ২৫ সেকেন্ড অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ট্রেনের গতিবেগ = ৭২ কি.মি./ঘণ্টা
আমরা জানি, ১ কি.মি. = ১০০০ মিটার
এবং ১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড।

∴ ট্রেনের গতিবেগ = (৭২×১০০০)/৩৬০০ মিটার/সেকেন্ড
= ২০ মিটার/সেকেন্ড।

ট্রেনটি ২৫ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, = গতিবেগ × সময়
= ২০ × ২৫
= ৫০০ মিটার

ট্রেনটি প্লাটফর্ম অতিক্রম করার সময় অতিক্রান্ত দূরত্ব হলো ট্রেন এবং প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্যের যোগফল।

∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৫০০ মিটার
বা, ট্রেনের দৈর্ঘ্য + ১৫০ মিটার = ৫০০ মিটার
বা, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৫০০ - ১৫০
∴  ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৩৫০ মিটার

প্রশ্ন: ৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কি.মি বেগে চলে। রাস্তার পাশের একটি খুঁটিকে ট্রেনটি কত সেকেন্ডে অতিক্রম করবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ কি.মি = ১০০০ মিটার 
∴ ৩৬ কি.মি = (৩৬ × ১০০০) মিটার 
= ৩৬০০০ মিটার 

খুঁটিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।
এখন, 
ট্রেনটি ৩৬০০০ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০ সেকেন্ডে 
∴ ট্রেনটি ১ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০/৩৬০০০ সেকেন্ডে 
∴ ৫০ মিটার অতিক্রম করে = (৩৬০০ × ৫০)/৩৬০০০ সেকেন্ডে 
= ৫ সেকেন্ডে 

∴ খুঁটিকে ট্রেনটি ৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করবে।

প্রশ্ন: একটি প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ২৫০ মিটার। ৩২০ মিটার লম্বা একটি ট্রেনকে ঐ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে কত দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?

সমাধান:
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৩২০ মিটার
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ২৫০ মিটার

∴ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনকে অতিক্রম করতে হবে = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
= ৩২০ + ২৫০ মিটার
= ৫৭০ মিটার

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি গাড়িযোগে ৮০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে কিছু পথ অতিক্রম করে এবং বাকি পথ ৪০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে অতিক্রম করে। মোট ৪ ঘণ্টায় ২৪০ কিমি অতিক্রম করে। তাহলে প্রথম অংশের দূরত্ব কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঘণ্টায় ৮০ কি.মি বেগে যায় = ক কি.মি 
∴ ঘণ্টায় ৪০ কি.মি বেগে যায় = (২৪০ - ক) কি.মি

প্রশ্নমতে,
(ক/৮০) + {(২৪০ - ক)/৪০} = ৪ 
⇒ {ক + ২(২৪০ - ক)}/৮০ = ৪
⇒ (ক + ৪৮০ - ২ক)/৮০ = ৪
⇒ (৪৮০ - ক)/৮০ = ৪
⇒ ৪৮০ - ক = ৩২০  
⇒ - ক = ৩২০ - ৪৮০ 
⇒ - ক = - ১৬০  
∴ ক = ১৬০

∴ প্রথম অংশের দূরত্ব ১৬০ কি.মি।

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ৩ ঘণ্টায় ১৮ মাইল যায় এবং ৬ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে । তার ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
মোট দূরত্ব = ১৮ + ১৮ = ৩৬ মাইল
মোট সময় = ৩ + ৬ = ৯ ঘণ্টা

∴ ঘন্টায় গড় গতিবেগ = ৩৬/৯ মাইল/ঘণ্টা
= ৪ মাইল/ঘণ্টা

সুতরাং, তার ভ্রমণে প্রতি ঘণ্টায় গড় গতিবেগ ৪ মাইল।

প্রশ্ন: রুনা ঘণ্টায় ৫ কি.মি. হাঁটে এবং রুনি ৫ মিনিটে ২৫০ মিটার হাঁটে। রুনা এবং রুনির গতিবেগের অনুপাত কত?

সমাধান: 
রুনার গতিবেগ, 
রুনা ৩/২ ঘণ্টায় ৫ কি.মি. হাঁটে
∴ গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
= ৫/(৩/২)
= ৫ × (২/৩)
= ১০/৩ কি.মি./ঘণ্টা

এবং
রুনির গতিবেগ,
রুনি ৫ মিনিটে ২৫০ মিটার হাঁটে।
∴ রুনি ১ মিনিটে = ২৫০/৫ = ৫০ মিটার
∴ রুনি ৬০ মিনিটে = ৫০ × ৬০ = ৩০০০ মিটার/ঘণ্টা
= ৩ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, রুনা : রুনি গতিবেগের অনুপাত = (১০/৩) : ৩ = ১০ : ৯ 

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে যেতে ৫০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে গেলে ১০ মিনিট দেরি হয়। আবার ৬০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে গেলে ৫ মিনিট আগে পৌঁছে। যাত্রা পথের দূরত্ব কত?

সমাধান:

ধরি,
যাত্রা পথের দূরত্ব = ’ক’ কি.মি.

ঘণ্টায় ৫০ কি.মি. বেগে ’ক’ কি.মি. পথ অতিক্রম করতে সময় লাগে ক/৫০ ঘণ্টা
ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. বেগে ’ক’ কি.মি. পথ অতিক্রম করতে সময় লাগে ক/৬০ ঘণ্টা

১ম সময় ও ২য় সময়ের পার্থক্য = (১০ + ৫) মিনিট = ১৫ মিনিট
= ১৫/৬০ = ১/৪ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৫০) - (ক/৬০) = ১/৪
বা, (৬ক - ৫ক)/৩০০ = ১/৪
বা, ক/৩০০ = ১/৪
বা, ক = ৩০০/৪
∴ ক = ৭৫ কি.মি.

∴ যাত্রা পথের দূরত্ব = ৭৫ কি.মি. ।

প্রশ্ন: ২০ জন পুরুষ একটি পুকুর ১৫ দিনে খনন করতে পারে। কত জন পুরুষ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে? 

সমাধান: 
১৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ × ১৫ জন 
∴ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = (২০ × ১৫)/২০ জন 
= ১৫ জন। 

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ১৫ জন।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি গাড়িযোগে ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার বেগে কিছুদূর অতিক্রম করে ঘণ্টায় ৪০ কিলোমিটার বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। সে মোট ৫ ঘণ্টায় মোট ২৪০ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করে। সে ৬০ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে কত কিলোমিটার গিয়েছিল? 

সমাধান: 
ধরি, 
ঘণ্টায় ৬০ কি.মি বেগে যায় = x কি.মি 
∴ ঘণ্টায় ৪০ কি.মি বেগে যায় = (২৪০ - x) কি.মি 

প্রশ্নমতে, 
(x/৬০) + (২৪০ - x)/৪০ = ৫ 
বা, {২x + ৩(২৪০ - x)}/১২০ = ৫ 
বা, (২x + ৭২০ - ৩x)/১২০ = ৫ 
বা, (৭২০ - x)/১২০ = ৫ 
বা, ৭২০ - x = ৬০০ 
বা, - x = ৬০০ - ৭২০ 
বা, - x = - ১২০ 
∴ x = ১২০ 

∴ সে ৬০ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে ১২০ কিলোমিটার গিয়েছিল।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৯০ কি.মি. গতিতে চলে এবং এর দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার। এটি একটি স্থির ট্রেনের পাশ দিয়ে অতিক্রম করে, যার দৈর্ঘ্য ১৫০ মিটার। স্থির ট্রেনটিকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
মোট দৈর্ঘ্য = ২০০ + ১৫০ = ৩৫০ মিটার।

আমরা জানি,
১ কি.মি = ১০০০ মিটার
∴ ৯০ কি.মি = (১০০০ × ৯০) = ৯০০০০ মিটার

এখন, 
৯০০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৯০০০০ সেকেন্ডে
∴ ৩৫০ মিটার যায় = (৩৬ × ৩৫০)/৯০০ = ১৪ সেকেন্ডে

সুতরাং, স্থির ট্রেনটিকে অতিক্রম করতে সময় লাগবে ১৪ সেকেন্ড

প্রশ্ন: সিলেট ষ্টেশন থেকে একটি ট্রেন সকাল ৯টায় ঘণ্টায় ৪০ কি.মি. গতিতে চট্টগ্রামের উদ্দেশ্যে রওনা দিল। সকাল ১১ টায় আরেকটি ট্রেন ঘণ্টায় ৫০ কি.মি. গতিতে চট্টগ্রামের উদ্দেশ্যে রওনা দিল। ট্রেন দুটি সিলেট থেকে কত দূরে মিলিত হবে?

সমাধান: 
ধরি, মোট দূরত্ব x কি.মি.

এখন, ৪০ কি.মি. যায় ১ ঘণ্টায়
∴ x কি.মি. যায় (x/৪০) ঘণ্টায়

আবার, ৫০ কি.মি যায় ১ ঘণ্টায়
∴ x কি.মি যায় (x/৫০) ঘণ্টায়

সকাল ১১ টা ও সকাল ৯ টার মধ্যে সময়ের পার্থক্য = ২ ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে, (x/৪০) - (x/৫০) = ২
⇒ (৫x - ৪x)/২০০ = ২
⇒ x = ৪০০

∴ ট্রেন দুটি সিলেট থেকে ৪০০ কি.মি. দূরে মিলিত হবে

প্রশ্ন: ২২০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ৫৪ কিলােমিটার/ঘণ্টা বেগে ৬৮০ মিটার দীর্ঘ একটি টানেলে প্রবেশ করলে, টানেলটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
এখানে, ট্রেনের বেগ = ৫৪ কিলােমিটার/ঘণ্টা = ৫৪ × (৫/১৮) মি/সেকেন্ড = ১৫ মি/সেকেন্ড

মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + টানেলের দৈর্ঘ্য
= ২২০ + ৬৮০ মিটার
= ৯০০ মিটার 

∴ সময় = দূরত্ব/বেগ = ৯০০/১৫ = ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট  

প্রশ্ন: আজ যদি রবিবার হয়, তাহলে 95 তম দিনে ঠিক কোন দিন হবে?

প্রশ্ন: আগামী পরশুর পরের দিন যদি রবিবার হয় তাহলে গতকালের আগের দিন কী বার ছিলো?

সমাধান:
আগামী পরশুর পরের দিন যদি রবিবার হয় তাহলে আজ হবে বৃহস্পতিবার।

এই ক্রম অনুসারে,
গতকালের আগের দিন ছিলো মঙ্গলবার। 

ক্রমটি হবে,
মঙ্গলবার (গতকালের আগের দিন) - বুধবার - বৃহস্পতিবার (আজ) - শুক্রবার - শনিবার (পরশু) - রবিবার (পরশুর পরের দিন)

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৩ কি.মি. বেগে চললে কোনো স্থানে পৌঁছাতে যে সময় লাগে, ঘণ্টায় ৬ কি.মি. বেগে চললে তার চেয়ে ৬০ মিনিট কম লাগে। স্থানটির দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
​স্থানটির দূরত্ব = ক কি.মি.
​
৩ কি.মি./ঘণ্টায় চললে কোনো স্থানে পৌছতে সময় লাগে = ক/৩ ঘণ্টা 
আবার, 
​৬ কি.মি./ঘণ্টায় চললে কো্নো স্থানে পৌছতে সময় লাগে = ক/৬ ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) - (ক/৬) = ১ 
বা, (২ক - ক)/৬ = ১
বা, ক/৬ = ১
∴ ক = ৬ 
​
∴ স্থানটির দূরত্ব = ৬ কি.মি.।

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি প্রতিদিন ৮ মিনিট ধীরে চলে। কতদিন পর এটি সঠিক সময় দিবে?

সমাধান:
ঘড়ির মোট সময় = ১২ ঘণ্টা = (১২ × ৬০) মিনিট = ৭২০ মিনিট 
৭২০ মিনিট সময় হারালে ঘড়িতে আবার সঠিক সময় পাওয়া যাবে।

এখন,
৮ মিনিট হারায় = ১ দিনে 
∴ ১ মিনিট হারায় = ১/৮ দিনে 
∴ ৭২০ মিনিট হারায় = ৭২০/৮ = ৯০ দিনে 

অর্থাৎ ৯০ দিন পর আবার ঘড়িতে সঠিক সময় পাওয়া যাবে।

প্রশ্নঃ একটি নৌকায় নদীর স্রোতের অনুকূলে ২১ কি.মি. পথ যেতে ৩ ঘণ্টা সময় লেগেছে। নৌকার প্রকৃত গতি ঘণ্টায় ৫ কি.মি. হলে ফিরে আসার সময় নৌকাটির কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
স্রোতের অনুকূলে দূরত্ব = ২১ কি.মি.
স্রোতের অনুকূলে সময় = ৩ ঘণ্টা
নৌকার প্রকৃত গতি = ৫ কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = দূরত্ব ÷ সময় 
= ২১ ÷ ৩
= ৭ কি.মি./ঘণ্টা

আমরা জানি,
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = নৌকার প্রকৃত গতি + স্রোতের গতি
⇒ ৭ = ৫ + স্রোতের গতি
⇒ স্রোতের গতি = ৭ - ৫ = ২ কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = নৌকার প্রকৃত গতি - স্রোতের গতি
= ৫ - ২ = ৩ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ফিরে আসার সময় = দূরত্ব ÷ স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ
= ২১ ÷ ৩
=৭ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতহীন জলে নৌকা চালিয়ে সকালে ঘাঁট থেকে বাজারের দিকে ৬ কি.মি/ঘণ্টা বেগে যান এবং বিকেলে বাজার থেকে ঘাঁটে ফেরার সময় তার নৌকার গতি হয় ৪ কি.মি/ঘণ্টা। ফেরার পথে যেতে আসার চেয়ে ১ ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। ঘাঁট থেকে বাজারের দূরত্ব কত কি.মি? 

সমাধান: 
ধরি, 
ঘাঁট থেকে বাজারের দূরত্ব = ক কি.মি 
বাজারে যেতে সময় লাগে = ক/৬ ঘণ্টা 
আবার, 
বাজার থেকে ফিরতে সময় লাগে = ক/৪ ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে, 
(ক/৪) - (ক/৬) = ১ 
⇒ (৬ক - ৪ক)/২৪ = ১ 
⇒ ২ক/২৪ = ১ 
⇒ ক/১২ = ১ 
∴ ক = ১২ 

∴ ঘাঁট থেকে বাজারের দূরত্ব = ১২ কি.মি। 

প্রশ্ন: স্রোতের প্রতিকূলে যেতে যে সময় লাগে, অনুকূলে যেতে তার অর্ধেক সময় লাগে। যাতায়াতে যদি ১২ ঘণ্টা সময় লাগে তাহলে স্রোতের অনুকূলে যেতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
মনে করি,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = x ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ২x ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
x + ২x = ১২
বা, ৩x = ১২
বা, x = ১২/৩
∴ x = ৪

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে = ৪ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩৫৪ কিলোমিটার। চট্টগ্রাম থেকে একটি ট্রেন সকাল ৭ টায় ছেড়ে দুপুর ১ টায় ঢাকা পৌঁছায়। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
ট্রেনের যাত্রার সময় = সকাল ৭ টা থেকে দুপুর ১ টা = ৬ ঘণ্টা

গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব ÷ মোট সময়
= ৩৫৪ ÷ ৬
= ৫৯ কিমি/ঘণ্টা

∴ ট্রেনটির গড় গতিবেগ ৫৯ কিমি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: ১৫০ মিটার ও ১০০ মিটার দীর্ঘ দুটি ট্রেন প্রতি ঘণ্টায় যথাক্রমে ৬০ কি.মি. ও ৪৫ কি.মি. বেগে চলছে। তারা একই স্থানে থেকে একই দিকে চলা শুরু করলে পরস্পরকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দুই ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (১৫০ + ১০০) = ২৫০ মিটার

ট্রেন দুটি একই দিকে চলছে,
∴ তাদের আপেক্ষিক বেগ = (৬০ − ৪৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ১৫ কিমি/ঘণ্টা

এখন,
১৫ কিমি/ঘণ্টা = (১৫ × ১০০০)/৬০ মিটার/মিনিট
= ২৫০ মিটার/মিনিট

∴ সময় = দূরত্ব ÷ বেগ
= ২৫০ ÷ ২৫০
= ১ মিনিট

∴ পরস্পরকে অতিক্রম করতে ১ মিনিট সময় লাগবে।

প্রশ্ন: দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৫ : ৬ । যদি প্রথম ট্রেনটি ৫ ঘণ্টায় ৩৭৫ কি.মি. যায়। তাহলে, দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুটি ট্রেনের গতিবেগের = ৫ : ৬ 

​ধরি, 
১ম ট্রেনের গতিবেগ = ৫ক 
২য় ট্রেনের গতিবেগ = ৬ক 

আবার
১ম ট্রেনের গতিবেগ = ৩৭৫/৫ কি.মি./ঘণ্টা 
= ৭৫ কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে 
৫ক = ৭৫
∴ ক = ১৫ 

∴ ২য় ট্রেনের গতিবেগ = (৬ × ১৫) কি.মি./ঘণ্টা 
= ৯০ কি.মি./ঘণ্টা