বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: ২৩০ এর ভাজক সংখ্যা কতটি?

সমাধান: 
২৩০-কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
২৩০ = ২ × ৫ × ২৩
= ২^১ × ৫^১ × ২৩^১

∴ মোট ভাজকের সংখ্যা = (১ + ১)(১ + ১)(১ + ১) = ২ × ২ × ২ = ৮

অতএব, ২৩০-এর ভাজক সংখ্যা মোট ৮টি।

২৩০-এর সব ভাজকগুলো হলো-
১, ২, ৫, ১০, ২৩, ৪৬, ১১৫, ২৩০

প্রশ্ন: ০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত ০৫ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল কত হবে?

সমাধান:
০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত ০৫ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৪৩২১০ 
০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত ০৫ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা= ১০২৩৪

যোগফল = ৪৩২১০ + ১০২৩৪
= ৫৩৪৪৪

প্রশ্ন: ০.৪ × ০.০৪ × ০.০০৪ = ?

সমাধান: 
০.৪ × ০.০৪ × ০.০০৪ = ০.০০০০৬৪

যে সংখ্যাগুলো গুণ করতে হবে সেসব সংখায় দশমিকের পর মোট যত ঘর আছে গুনফলেও দশমিকের পর ঠিক তত ঘর থাকবে।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ছোট, হর বড় অর্থাৎ ৫/৬
অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব বড়, হর ছোট
অর্থাৎ ২৫/১৭, ১২/১০, ৪/৩

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
ক) ৫/৮ = ০.৬২৫
খ) ৭/১০ = ০.৭
গ) ৩/৪ = ০.৭৫
ঘ) ১/২ = ০.৫

এখানে ০.৭৫ মানটি সবচেয়ে বড়।
∴ বৃহত্তম ভগ্নাংশটি হলো ৩/৪

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ২৫। প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৩০ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় = ২৫
∴ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (২৫ × ২)
= ৫০

আবার,
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় = ৩০
∴ প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৩০ × ৩) 
= ৯০ 

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = (৯০ - ৫০) 
= ৪০  । 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪। যদি তাদের ল.সা.গু ২৪০ হয়, তবে দুটি সংখ্যার মধ্যে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, দুটি সংখ্যা হলো ৩x এবং ৪x, যেখানে x তাদের সাধারণ গুণনীয়ক।
∴ ৩x এবং ৪x এর  ল.সা.গু = ১২x

প্রশ্নমতে, 
১২x = ২৪০ 
⇒ x = ২৪০/১২ 
∴ x = ২০ 

∴ সংখ্যা দুটি হলো,
৩x = ৩ × ২০ = ৬০ 
৪x = ৪ × ২০ = ৮০ 

সুতরাং, দুটি সংখ্যার মধ্যে ছোটটি হলো ৬০।  

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ এবং ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ১২০ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাগফল = ১২০

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ভাগফল/৩ = ১২০/৩ = ৪০

এবং ভাগশেষ = ভাজক/২ = ৪০/২ = ২০

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ 
= (১২০ × ৪০) + ২০
= ৪৮২০

প্রশ্ন: নয়টি সংখ্যার গড় ৬৩। এদের প্রথম পাঁচটির গড় ৬০ এবং শেষ পাঁচটির গড় ৬৫ হলে পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
নয়টি সংখ্যার যোগফল = ৯ × ৬৩ = ৫৬৭ 
প্রথম পাঁচটির যোগফল = ৫ × ৬০ = ৩০০
শেষ পাঁচটির যোগফল = ৫ × ৬৫ = ৩২৫

তাহলে,
পঞ্চম সংখ্যাটি = প্রথম পাঁচটির + শেষ পাঁচটির - নয়টির যোগফল
= ৩০০ + ৩২৫ - ৫৬৭
= ৬২৫ - ৫৬৭
= ৫৮

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
দশমিকে রূপান্তর করে পাই, 
5 ÷ 12 = 0.4167
6 ÷ 13 = 0.4615
11 ÷ 24 = 0.4583
3 ÷ 8 = 0.375

তুলনা:
0.375 < 0.4167 < 0.4583 < 0.4615

∴ বৃহত্তম ভগ্নাংশ = 6/13

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭
আবার, 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১
∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার যোগফল = (৯৭ + ৪১)
= ১৩৮

∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = ১৩৮/২
= ৬৯ ।

প্রশ্ন: ৪/৯, ৬/১৫ ও ৮/২১ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = (লব গুলোর ল.সা.গু.)/(হর গুলোর গ.সা.গু.)

এখানে, লব ৪, ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু. = ২৪
এবং হর ৯, ১৫ ও ২১ এর গ.সা.গু. = ৩

∴ ল.সা.গু. = ২৪/৩ = ৮

প্রশ্ন: কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা: p/q আকারে প্রকাশযোগ্য সংখ্যা যা p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0। উদাহরণ: √25 = 5, 5/1 = 5, 5/6, 1/2 ইত্যাদি।

• অমূলদ সংখ্যা: এমন সংখ্যা যা p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না (p ও q পূর্ণসংখ্যা ও q ≠ 0)। উদাহরণ: √2 ≈ 1.414213......,  √3 ≈ 1.732...... ইত্যাদি।

এখানে,
ক) e = 2.71828...
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

খ) π = 3.14159...
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

গ) 1/√5
√5 অমূলদ, ফলে 1/√5 ও অমূলদ।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

ঘ) √3/√108 = √3/√(36 × 3)
= √3/(6√3) = 1/6
এটি p/q আকারে আছে, যেখানে p = 1, q = 6।
∴ এটি মূলদ সংখ্যা।

উত্তর: ঘ) √3/√108

প্রশ্ন: P সংখ্যক সংখ্যার গড় A এবং Q সংখ্যক সংখ্যার গড় B হলে, সবগুলো সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P সংখ্যক সংখ্যার গড় = A 
∴ P সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = PA

আবার, 
Q সংখ্যক সংখ্যার গড় = B 
∴ Q সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = QB

মোট সংখ্যা = P + Q 
∴ তাদের সমষ্টি = PA + QB
∴ তাদের গড় = (PA + QB)/(P + Q)।

প্রশ্ন: এক ক্লাসে ১০ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১৫ বছর। যদি আরও ৫ জন শিক্ষার্থী যোগ করা হয় এবং নতুন গড় হয় ১৬ বছর, নতুন যোগকৃত ৫ জনের গড় বয়স কত?

 সমাধান:
প্রথমে,
১০ জনের মোট বয়স = ১০ × ১৫ = ১৫০ বছর

আবার,
৫ জন শিক্ষার্থী যোগ করা হয় নতুন শিক্ষার্থী = ১০ + ৫ = ১৫ জন 
∴ ১৫ জনের মোট বয়স = ১৫ × ১৬ = ২৪০ বছর

∴ নতুন ৫ জনের মোট বয়স = ২৪০ - ১৫০ = ৯০ বছর

∴ নতুন ৫ জনের গড় বয়স = ৯০/৫ = ১৮ বছর

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১২ এবং ল.সা.গু. ১৮০। একটি সংখ্যা ৬০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
প্রথম সংখ্যা × অপর সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ৬০ × ক = ১২ × ১৮০
⇒ ৬০ × ক = ২১৬০
⇒ ক = ২১৬০/৬০
∴ ক = ৩৬

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৩৬

প্রশ্ন: ০.৯৬০৪ এর বর্গমূল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
√০.৯৬০৪
= √(৯৬০৪/১০০০০)
= √(৯৮^২/১০০^২)
= ৯৮/১০০
= ০.৯৮

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৮৪২ থেকে যত ছোট, ৬১২ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

Solution:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৮৪২ - ক = ক - ৬১২
⇒ ৮৪২ + ৬১২ = ক + ক
⇒ ১৪৫৪ = ২ক
⇒ ক = ১৪৫৪/২
∴ ক = ৭২৭

বিকল্প পদ্ধতি:
সংখ্যাটি হলো প্রদত্ত সংখ্যা দুটির গড় বা মধ্যবর্তী মান।
সংখ্যাটি = (৮৪২ + ৬১২)/২
= ১৪৫৪/২
= ৭২৭

∴ সংখ্যাটি হলো ৭২৭

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বড়? 

সমাধান: 
ক) √০.৩ = ০.৫৪৭৭

খ) ০.৩ = ০.৩

গ) ০.২ = ০.২

ঘ) √০.২ = ০.৪৪৭২

 সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = √০.৩

প্রশ্ন: যদি m একটি বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি বিজোড়?

সমাধান:
ধরি, m = 1 (একটি বিজোড় সংখ্যা)

ক) 2m = 2 × 1 = 2 (জোড় সংখ্যা)
খ) m² + 1 = (1)² + 1 = 1 + 1 = 2 (জোড় সংখ্যা)
গ) 3m = 3 × 1 = 3 (বিজোড় সংখ্যা)
ঘ) 3m + 1 = (3 × 1) + 1 = 3 + 1 = 4 (জোড় সংখ্যা)

যেহেতু 3m এর মান বিজোড় এসেছে,
∴ 3m হলো বিজোড় সংখ্যা।

প্রশ্ন: ১২০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রথমে সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করতে হবে।
১২০  = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^১ × ৫^১

আমরা জানি, 
কোনো সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা বের করতে হলে এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচকের সাথে ১ যোগ করে গুণ করতে হয়।

∴ ১২০-এর মোট ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ২ × ২
= ১৬

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা ৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ল.সা.গু = ৬০
গ.সা.গু = ১০
এবং একটি সংখ্যা ৩০

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ অপর সংখ্যা = (৬০ × ১০)/৩০
= ৬০০/৩০
= ২০

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি ২০

প্রশ্ন: একটি সংখ্যাকে তিনগুণ করে তার থেকে 15 বিয়োগ করা হলো। উক্ত ফলাফলকে 4 দ্বারা ভাগ করলে 9 পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নানুসারে, 
(3x - 15)/4 = 9
⇒ 3x - 15 = 9 × 4
⇒ 3x - 15 = 36
⇒ 3x = 36 + 15
⇒ 3x = 51
⇒ x = 51/3
∴ x = 17

সুতরাং, সংখ্যাটি 17.

প্রশ্ন: ৩/৫ এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ৪/৫ হয়? 

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
(৩ + x)/(৫ + x) = ৪/৫
বা, ১৫ + ৫x = ২০ + ৪x 
বা, ৫x - ৪x = ২০ - ১৫ 
∴ x = ৫

∴ সংখ্যাটি = ৫ । 

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের অনুপাত ৫ : ৯। লবের সাথে ৪ যোগ করলে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যায় সেটি মূল ভগ্নাংশের ৮/৫ গুণ। ভগ্নাংশটির হর কত?

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশের লব = ৫ক
 ভগ্নাংশের হর = ৯ক
∴ মূল ভগ্নাংশ = ৫ক/৯ক

প্রশ্নমতে,
(৫ক + ৪)/৯ক = (৫ক/৯ক) × (৮/৫)
⇒(৫ক + ৪)/৯ক = (৮/৯)
⇒ ৫ক + ৪ = (৮/৯) × ৯ক
⇒ ৫ক + ৪ = ৮ক
⇒ ৮ক - ৫ক = ৪  
⇒ ৩ক = ৪
⇒ ক = ৪/৩

∴ হর = ৯ক = ৯ × (৪/৩)
= ৩ × ৪
= ১২

∴ ভগ্নাংশটির হর হলো ১২।

প্রশ্ন: দুটি ক্ষুদ্রতম ক্রমিক সংখ্যা নির্ণয় করুন যাদের বর্গের অন্তর একটি পূর্ণ সংখ্যা?

সমাধান:
অপশনসমূহের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা হচ্ছে - খ) ২,৩ 

3² − 2² = 9 − 4 = 5
যা একটি পূর্ণসংখ্যা। 

তাই, সঠিক উত্তর: খ) ২,৩ 

প্রশ্ন: তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় ৯৫ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় ৯২ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় = ৯৫
তিনটি সংখ্যার সমষ্টি (৯৫ × ৩) = ২৮৫

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় = ৯২ 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির সমষ্টি (৯২ × ২) = ১৮৪ 

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = (২৮৫ - ১৮৪) = ১০১ 

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১০১

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৯০ এবং অন্তরফল ১০ হলে ছোট সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
বড় সংখ্যাটি = ক 
∴ ছোট সংখ্যাটি = ক - ১০

প্রশ্নমতে, 
ক + (ক - ১০) = ৯০ 
⇒ ক + ক - ১০ = ৯০ 
⇒ ২ক - ১০ = ৯০ 
⇒ ২ক = ৯০ + ১০ 
⇒ ২ক = ১০০ 
⇒ ক = ১০০/২ 
∴ ক = ৫০ 

∴ ছোট সংখ্যাটি = ক - ১০
= ৫০ - ১০ 
= ৪০ । 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ১০ এবং ল.সা.গু. ২১০। ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম সংখ্যা = ৭ক
২য় সংখ্যা = ১০ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = ৭০ক

প্রশ্নমতে,
৭০ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৭০
⇒ ক = ৩ 

অর্থাৎ ১ম সংখ্যা = ৭ × ৩ = ২১
২য় সংখ্যা = ১০ × ৩ = ৩০

∴ ছোট সংখ্যাটি = ২১

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১২৩। ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম দুইটি সংখ্যার গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে x - ১, x এবং x + ১

প্রশ্নমতে,
x - ১ + x + x + ১ = ১২৩
বা, ৩x = ১২৩
বা, x = ১২৩/৩
∴ x = ৪১
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ৪০, ৪১ এবং ৪২

∴ ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম দুইটি সংখ্যার গুণফল = (৪০ × ৪২)
= ১৬৮০ । 

প্রশ্ন: একটি ৩০ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = (ক এর ২/৩)
= ২ক/৩ ফুট 

প্রশ্নমতে, 
ক + (২ক/৩) = ৩০
বা, (৩ক + ২ক)/৩ = ৩০
বা, ৫ক = ৯০
বা, ক = ৯০/৫
∴ ক = ১৮

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২ × ১৮)/৩
= ১২ ফুট ।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
(x/২) + ৬ = ২x/৩ 
বা, (২x/৩) - (x/২) = ৬ 
বা, (৪x - ৩x)/৬ = ৬ 
বা, x/৬ = ৬ 
∴ x = ৩৬ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৬। 

প্রশ্ন: ২০০২ সংখ্যাটি কোন সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু. নয়?

সমাধান:
১৩, ৭৭, ৯১, ১৪৩ - সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু = ১০০১

অন্যান্য সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু. ২০০২।

প্রশ্ন: 18 এবং 72 এর গুণোত্তর গড় কোনটি? 

সমাধান:
গুণোত্তর গড়ের সূত্র: ⁿ√(a₁ × a₂ × ..... a_n)
এখানে a₁ = 18, a₂ = 72

গুণোত্তর গড় = √(18 × 72)
= √1296
= 36

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ছোট?

সমাধান:
সব ভগ্নাংশে লব (উপরের সংখ্যা) হচ্ছে ২। তাহলে যে ভগ্নাংশের হর (নিচের সংখ্যা) বেশি, সেটাই সবচেয়ে ছোট হবে। কারণ: যত বেশি হর, তত ছোট ভগ্নাংশ (যদি লব সমান থাকে)।

অপশন অনুযায়ী:
২/২৪ = ০.০৮৩
২/২৫ = ০.০৮
২/২৬ = ০.০৭৭
২/২৭ = ০.০৭৪ ← সবচেয়ে ছোট

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান: 
অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না সে সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলে। পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা। যেমন, √2, √3, π ইত্যাদি। 

ক) √18 = অমূলদ সংখ্যা। কারণ 18 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। 
√18 = 3√2 যেখানে √2 অমূলদ।

খ) √12 = অমূলদ সংখ্যা। কারণ 12 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। 
√12 = 2√3 যেখানে √3 অমূলদ।

গ) e = 2.71828...... যা অমূলদ সংখ্যা। এটি কোনো ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না।

সুতরাং, সঠিক উত্তর: ঘ) সবগুলো