বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ এবং ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ৯০ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাগফল = ৯০

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ভাগফল/৩ = ৯০/৩ = ৩০

এবং ভাগশেষ = ভাজক/২ = ৩০/২ = ১৫

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ 
= (৯০ × ৩০) + ১৫
= ২৭০০ + ১৫ 
= ২৭১৫ 

প্রশ্ন: পানিভর্তি একটি বালতির ওজন ১২ কেজি। বালতির অর্ধেক পানিভর্তি হলে তার ওজন ৭ কেজি। খালি বালতির ওজন কত?

সমাধান:
ধরি,
খালি বালতির ওজন = x কেজি
পূর্ণ পানির ওজন = y কেজি

প্রথম শর্ত অনুসারে: x + y = ১২ ...... (1)

দ্বিতীয় শর্ত অনুসারে: x + y/২ = ৭ ...... (2)

সমীকরণ (1) - সমীকরণ (2) ⇒
(x + y) - (x + y/২) = ১২ - ৭ 
বা, y - y/২ = ৫
বা, y/২ = ৫
বা, y = ১০ কেজি

সমীকরণ (1) থেকে.
x + ১০ = ১২
বা, x = ২ কেজি

সুতরাং, খালি বালতির ওজন = ২ কেজি

প্রশ্ন: নিম্নলিখিত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?
৫/৬, ৭/৯, ৮/১১, ৯/১০

সমাধান:
প্রত্যেকটি ভগ্নাংশকে দশমিক আকারে রূপান্তর করি-
৫/৬ = ০.৮৩৩
৭/৯ ≈ ০.৭৭৭
৮/১১ ≈ ০.৭২৭
৯/১০ = ০.৯০০

তুলনা:
০.৮৩৩, ০.৭৭৭, ০.৭২৭, ০.৯০০

∴ ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ৯/১০ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে , প্রদত্ত সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

এখানে, 
১২৯ -এ ১ + ২ + ৯ = ১২, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
১৪৪ -এ ১ + ৪ + ৪ = ৯, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
৩২৭ -এ ৩ + ২ + ৭ = ১২, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
১৫৮ -এ ১ + ৫ + ৮ = ১৪, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ ১৫৮ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

প্রশ্ন: কোন বইয়ের ৮৪ পৃষ্ঠা পড়ার পরেও তার ৩/১০ অংশ পড়তে বাকি থাকলে বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত?

সমাধান:
পড়া হয়েছে = ১ - (৩/১০) = ৭/১০ অংশ

প্রশ্নমতে,
৭/১০ অংশ = ৮৪ পৃষ্ঠা
∴ ১ অংশ বা সম্পূর্ণ বইটি = (৮৪ × ১০)/৭ = ১২০ পৃষ্ঠা

প্রশ্ন: 2x + y = 7, 2x - y = 13 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে দুটি সমীকরণ,
(১) 2x + y = 7
(২) 2x - y = 13

দুটি সমীকরণ যোগ করলে:
(2x + y) + (2x - y) = 7 + 13
⇒ 4x = 20
⇒ x = 20/4
x = 5

এবার x = 5 মানটি (১) নম্বর সমীকরণে বসাই:
⇒ 2(5) + y = 7
⇒ 10 + y = 7
⇒ y = 7 - 10
y = - 3

∴ x = 5 এবং y = - 3

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ১১৪ এবং ১৯। যদি একটি সংখ্যা ৩৮ হয়, তবে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ১১৪ এবং ১৯
এবং, একটি সংখ্যা ৩৮

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার গুণফল = তাদের ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = তাদের ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৮  × অপর সংখ্যা = ১১৪ × ১৯ 
⇒ অপর সংখ্যা = (১১৪ × ১৯)/৩৮ 
∴ অপর সংখ্যা =  ৫৭

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৫৭। 

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে ৫ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান ৩ হয় এবং হর থেকে ৪ বাদ দিলে ভগ্নাংশের মান ৪ হয়। তাহলে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
ভগ্নাংশটি = x/y  ; [যেখানে x = লব, y = হর]

দেওয়া শর্ত দুটি, লবের সাথে ৫ যোগ করলে মান ৩ হয়
⇒ (x + ৫)/y = ৩
⇒ x + ৫ = ৩y
∴ x = ৩y - ৫ ……… (১)

এবং হর থেকে ৪ বাদ দিলে মান ৪ হয়
⇒ x/(y - ৪) = ৪
⇒ x = ৪(y - ৪)  
⇒ ৩y - ৫ = ৪(y - ৪)
⇒ ৩y - ৫ = ৪y - ১৬ 
⇒ ৪y - ৩y = ১৬ - ৫ 
∴ y = ১১

(১) নং হতে পাই, 
⇒ x = ৩y - ৫
⇒ x = ৩৩ - ৫ 
∴ x = ২৮ 

সুতরাং ভগ্নাংশটি = ২৮/১১

প্রশ্ন: কোনো শ্রেণীতে ২৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১২ বছর। শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় ১৩ বছর হলে, শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় = ১২ বছর

∴ ২৫ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২৫ × ১২) বছর
= ৩০০ বছর

শিক্ষকসহ মোট সদস্য সংখ্যা = ২৫ জন ছাত্র + ১ জন শিক্ষক
= ২৬ জন

শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় = ১৩ বছর
∴ শিক্ষকসহ ২৬ জনের মোট বয়স = (২৬ × ১৩) বছর
= ৩৩৮ বছর

∴  শিক্ষকের বয়স = (শিক্ষকসহ মোট বয়স) - (২৫ জন ছাত্রের মোট বয়স)
= (৩৩৮ - ৩০০) বছর
= ৩৮ বছর।

প্রশ্ন: ৯৬ সংখ্যাটির মোট কয়টি ভাজক আছে?

সমাধান:
প্রথমে ৯৬ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ 
= ২^৫ × ৩^১ 

এখন, ৯৬ ভাজক আছে = (৫ + ১) × (১ + ১) 
= ৬ × ২ 
= ১২ 

সুতরাং, ৯৬ সংখ্যাটির মোট ১২টি ভাজক আছে। 

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৫ অংশ পানিতে, ২/৩ অংশ মাটিতে এবং অবশিষ্ট ২ মিটার পানির উপরে আছে।  সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

পানিতে ও মাটিতে আছে= {(ক/৫) + (২ক/৩)} অংশ
= {(৩ক + ১০ক)/১৫} অংশ
= ১৩ক/১৫ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ক - (১৩ক/১৫)
= (১৫ক - ১৩ক)/১৫ অংশ
= ২ক/১৫ অংশ

প্রশ্নমতে,
২ক/১৫ = ২ মিটার
বা, ২ক = ২ × ১৫
বা, ২ক = ৩০
বা, ক = ৩০/২
বা, ক = ১৫

অর্থাৎ সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার

প্রশ্ন: ১২টি সংখ্যার যোগফল ৭২০। প্রথম ৫টি সংখ্যার গড় ৫০ এবং শেষ ৬টি সংখ্যার গড় ৬০। ষষ্ঠ সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
১২টি সংখ্যার যোগফল ৭২০

এখন,
প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল = ৫ × ৫০ = ২৫০ 
শেষ ৬টি সংখ্যার যোগফল = ৬ × ৬০ = ৩৬০ 

প্রশ্নমতে,
মোট ১২টির যোগফল = প্রথম ৫টি + ষষ্ঠ + শেষ ৬টি
⇒ ৭২০ = ২৫০ + ষষ্ঠ + ৩৬০ 
⇒ ষষ্ঠ = ৭২০ - ৬১০ 
∴ ষষ্ঠ = ১১০ 

প্রশ্ন: যদি কবির এর ওজন 10 পাউন্ড কমে, তাহলে কবির এর ওজন তার বোনের ওজনের দ্বিগুণ হবে। এখন তাদের উভয়ের ওজন 280 পাউন্ড হলে বর্তমানে কবির এর ওজন কত?

সমাধান: 
ধরি,
কবিরের বর্তমান ওজন = k পাউন্ড
তার বোনের বর্তমান ওজন = s পাউন্ড

প্রশ্নমতে,
k - 10 = 2s 
k = 2s + 10 ........(1)

আবার, তাদের  বর্তমানে মোট ওজন,
k + s = 280
⇒ 2s + 10 + s = 280
⇒ 3s = 280 - 10
⇒ 3s = 270
⇒ s = 270/3
∴ s = 90

∴ কবিরের বর্তমান ওজন, k = 2s + 10 = 2 × 90 + 10 = 180 + 10 = 190 পাউন্ড

অতএব, কবিরের বর্তমান ওজন = 190 পাউন্ড।

প্রশ্ন: ৫৪০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৫৪০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^২ × ৩^৩ × ৫^১

এখানে,
২ এর সূচক ২, ৩ এর সূচক ৩ এবং ৫ এর সূচক হলো ১

এখন, প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১)
= ৩ × ৪ × ২
= ২৪

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ২৪।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার দুই-পঞ্চমাংশ এবং এক-দশমাংশের পার্থক্য ৪.৫ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(২ক/৫) - (ক/১০) = ৪.৫
⇒ (৪ক - ক)/১০ = ৪.৫
⇒ ৩ক/১০ = ৪.৫
⇒ ৩ক = ৪.৫ × ১০
⇒ ৩ক = ৪৫
⇒ ক = ৪৫/৩
⇒ ক = ১৫

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো ১৫

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের ১২ জন ছাত্রের ওজনের গড় ৪৫.৫ কেজি। ১৩তম একজন ছাত্রের ওজন কত হলে সবার ওজনের গড় ৪৭.২ কেজি হবে?

সমাধান:
 ১২ জন ছাত্রের ওজনের গড় = ৪৫.৫ কেজি
∴ ১২ জন ছাত্রের মোট ওজন = (৪৫.৫ × ১২) কেজি 
= ৫৪৬ কেজি

আবার,
১৩ জন ছাত্রের ওজনের গড় = ৪৭.২ কেজি
১৩ জন ছাত্রের মোট ওজন = (৪৭.২ × ১৩) কেজি
= ৬১৩.৬ কেজি

∴ ১৩তম ছাত্রের ওজন = (৬১৩.৬ - ৫৪৬) কেজি
= ৬৭.৬ কেজি

∴ ১৩তম ছাত্রের ওজন ৬৭.৬ কেজি।

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ৫/৮ থেকে বড়?

সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশ ৫/৮ = ০.৬২৫

এখন অপশনগুলো দেখি:
ক) ৩/৫ = ০.৬
খ) ৭/১১ ≈ ০.৬৩৬
গ) ৪/৭ ≈ ০.৫৭১
ঘ) ৯/১৬ = ০.৫৬২৫

এখানে ০.৬৩৬ সংখ্যাটি ০.৬২৫ এর চেয়ে বড়।

∴ ৭/১১ ভগ্নাংশটি ৫/৮ থেকে বড়।

প্রশ্ন: ৩৬০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৩৬০ সংখ্যাটিকে প্রথমে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
৩৬০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^২ × ৫^১

এখানে মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচক বা ঘাত হলো:
২ এর সূচক = ৩
৩ এর সূচক = ২
৫ এর সূচক = ১

কোনো সংখ্যার মোট ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র হলো, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাতের সাথে ১ যোগ করে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলো গুণ করা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (২ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ৩ × ২
= ২৪

∴ ৩৬০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা হলো ২৪

প্রশ্ন: ১৫টি সংখ্যার গড় ৪০, ১৫টি সংখ্যার গড় ৩০ এবং ২০টি সংখ্যার গড় ৫০। মোট ৫০টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
১৫টি সংখ্যার গড় ৪০
∴ ১৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৫ × ৪০ = ৬০০

১৫টি সংখ্যার গড় ৩০
∴ ১৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৫ × ৩০ = ৪৫০

২০টি সংখ্যার গড় ৫০
∴ ২০টি সংখ্যার সমষ্টি = ২০ × ৫০ = ১০০০

∴ ৫০টি সংখ্যার সমষ্টি = (৬০০ + ৪৫০ + ১০০০) = ২০৫০
∴ ৫০টি সংখ্যার গড় = ২০৫০ ÷ ৫০ = ৪১

প্রশ্ন: ৪৫ থেকে ১০০ পর্যন্ত ৪ এর গুণিতক সংখ্যা মোট কতটি?

সমাধান:
৪৫ থেকে ১০০ পর্যন্ত ৪ এর গুণিতকগুলো হলো,
৪৮, ৫২, ৫৬, ৬০, ৬৪, ৬৮, ৭২, ৭৬, ৮০, ৮৪, ৮৮, ৯২, ৯৬, ১০০

∴ সংখ্যা মোট ১৪ টি। 

প্রশ্ন: বৃহত্তম সংখ্যাটি নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
ক) ০.৮৫ = ০.৮৫

খ) ৫/৬ = ০.৮৩

গ) ৮/৯ = ০.৮৮ 

ঘ) ৪/৫ = ০.৮০

তুলনা করে পাই, ০.৮০ < ০.৮৩ < ০.৮৫ < ০.৮৮ 

সুতরাং সবচেয়ে বড় ৮/৯

 প্রশ্ন: a = 9 এবং b ও c এর মানের গড় 18 হলে ‍a, b এবং c এর গড় মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 9
b ও c এর মানের গড় = 18
b ও c এর মানের সমষ্টি = (18 × 2)= 36

∴ a, b এবং c এর মানের গড় = (36 + 9)/3
= 45/3
= 15

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 121 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = x
বড় সংখ্যাটি = x + 1

প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 121
⇒ x² + 2x + 1 - x² = 121
⇒ 2x + 1 = 121
⇒ 2x = 121 - 1
⇒ 2x = 120
⇒ x = 120/2
∴ x = 60

∴ বড় সংখ্যাটি = 60 + 1 = 61

প্রশ্ন: ২৪ জন ছাত্র এবং একজন শিক্ষকের বয়সের গড় ১৬ বছর। শিক্ষককে বাদ দিয়ে শুধু ছাত্রদের গড় করলে গড় ২ বছর কমে যায়। শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
মোট ব্যক্তি = ২৫ জন  
গড় = ১৬ বছর  
∴ মোট বয়স = ২৫ × ১৬ = ৪০০ বছর

আবার, 
শিক্ষককে বাদ দিলে,   
ছাত্র = ২৪ জন  
গড় = ১৬ - ২ = ১৪ বছর
∴ ছাত্রদের মোট বয়স = ২৪ × ১৪ = ৩৩৬ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = মোট বয়স - ছাত্রদের মোট বয়স  
= ৪০০ - ৩৩৬  
= ৬৪ বছর

সুতরাং, শিক্ষকের বয়স ৬৪ বছর। 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় তাই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, সে সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেখানে p এবং q উভয়ই পূর্ণসংখ্যা এবং q শূন্য নয় এমন সংখ্যা।

ক) √৭/৩; ⇒ যেহেতু, √৭ একটি অমূলদ সংখ্যা, তাই এই ভগ্নাংশটি অমূলদ।

খ) √২৫/√৮১ = ৫/৯; ⇒ এটিকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে ৫ ও ৯ উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা। ∴ এটি একটি মূলদ সংখ্যা।

গ) √৫/৪; ⇒ যেহেতু √৫ একটি অমূলদ সংখ্যা, তাই এই ভগ্নাংশটি অমূলদ।

ঘ) √২; ⇒ এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

অতএব, √২৫/√৮১ হলো মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ৫৮৫ এবং ১৩। সংখ্যা দুটির মধ্যে পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
গ.সা.গু = ১৩ এবং ল.সা.গু = ৫৮৫

ধরি,
সংখ্যাটি হলো  ১৩ক এবং ১৩খ   ; [ যেখানে ক এবং খ হল সহ-মৌলিক সংখ্যা।]
∴ ১৩ক এবং ১৩খ এর ল.সা.গু = ১৩কখ

প্রশ্নমতে,
১৩কখ = ৫৮৫
⇒ কখ = ৫৮৫/১৩
⇒ কখ = ৪৫ = ৫ × ৯ 

∴ ক = ৫ এবং খ = ৯  অথবা ক = ৯ এবং খ = ৫

∴  প্রথম সংখ্যা = ১৩ক = ১৩ × ৫ = ৬৫
∴  দ্বিতীয় সংখ্যা = ১৩খ = ১৩ × ৯ = ১১৭ 

∴ সংখ্যা দুটির পার্থক্য = ১১৭ - ৬৫ = ৫২ 

অতএব, সংখ্যা দুটির পার্থক্য ৫২

প্রশ্ন: একজন চাকুরিজীবীর মাসিক আয়ের ১/৪ অংশ বাসা ভাড়ায়, ২/৫ অংশ খাদ্যে এবং ১/১০ অংশ যাতায়াতে ব্যয় হয়। তার আয়ের শতকরা কত ভাগ সঞ্চয় হয়? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাসা ভাড়া = ১/৪ অংশ
খাদ্য = ২/৫ অংশ
যাতায়াত = ১/১০ অংশ

মোট ব্যয় = (১/৪) + (২/৫) + (১/১০)
= (৫ + ৮ + ২)/২০ 
= ১৫/২০
= ৩/৪ অংশ

∴ সঞ্চয়ের অংশ = মোট আয় - মোট ব্যয়
= ১ - (৩/৪)
= ১/৪ অংশ

∴ শতকরা সঞ্চয় = (১/৪) × ১০০% = ২৫%

সুতরাং, তার আয়ের শতকরা ২৫ ভাগ সঞ্চয় হয়। 

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগশেষ ভাজকের এক-চতুর্থাংশ এবং ভাগফল ভাজকের দ্বিগুণ। ভাজক ১২ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, ভাজক = ১২
ভাগশেষ = ভাজকের এক-চতুর্থাংশ = ১২/৪ = ৩
ভাগফল = ভাজকের দ্বিগুণ = ১২ × ২ = ২৪

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (১২ × ২৪) + ৩
= ২৮৮ + ৩
= ২৯১

∴ ভাজ্য = ২৯১

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা থেকে ৩৫ বিয়োগ করলে তা কমে সংখ্যাটির ৮০% এর সমান হয়। সংখ্যাটির চার-পঞ্চমাংশের মান কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x − ৩৫ = x এর ৮০% 
বা, x − ৩৫ = x × ৮০/১০০ 
বা, ১০০x − ৩৫০০ = ৮০x
বা, ১০০x − ৮০x = ৩৫০০ 
বা, ২০x = ৩৫০০ 
বা, x = ৩৫০০/২০ 
∴ x = ১৭৫ 

∴ সংখ্যাটির চার-পঞ্চমাংশ = ১৭৫ × (৪/৫) 
= ১৪০ ।

 প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:  p/q  আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q  পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।

অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q  আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।

এখন, 
ক) π = 3.14159…
খ) √3 = 1.73205081…
গ) e = 2.71828…
ঘ)


সুতরাং, সঠিক উত্তর ঘ 

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ছোট? 

সমাধান:
সব ভগ্নাংশে লব (উপরের সংখ্যা) একই, অর্থাৎ ১,
সুতরাং যে ভগ্নাংশের হর (নিচের সংখ্যা) সবচেয়ে বেশি, সেটিই সবচেয়ে ছোট।

অপশন অনুযায়ী—
১/৫ = ০.২
১/৬ ≈ ০.১৬৬৭
১/৭ ≈ ০.১৪২
১/৮ = ০.১২৫ এই সংখ্যাটি সবচেয়ে ছোট

প্রশ্ন: ৭২০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।

৭২০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৪ × ৩^২ × ৫^১

এখানে,
২-এর ঘাত হলো ৪, যা একটি জোড় সংখ্যা।
৩-এর ঘাত হলো ২, যা একটি জোড় সংখ্যা।
৫-এর ঘাত হলো ১, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

৫-এর ঘাত জোড় করতে হলে আরও একটি ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।

৭২০ × ৫ = ৩৬০০ = ৬০^২

সুতরাং, ৫ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।