বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: ৭৫৬ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৭৫৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^২ × ৩^৩ × ৭^১

এখানে,
২ এর সূচক ২, ৩ এর সূচক ৩ এবং ৭ এর সূচক হলো ১

এখন, প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১)
= ৩ × ৪ × ২
= ২৪

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ২৪।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার অংকগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

(ক) ৩৮১ ⇒ ৩ + ৮ + ১ = ১২ (৩ দ্বারা বিভাজ্য)
(খ) ৬৮৪ ⇒ ৬ + ৮ + ৪ = ১৮ (৩ দ্বারা বিভাজ্য)
(গ) ২৯৩ ⇒ ২ + ৯ + ৩ = ১৪ (৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়)
(ঘ) ১২৬ ⇒ ১ + ২ + ৬ = ৯ (৩ দ্বারা বিভাজ্য)

∴ ২৯৩ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

সঠিক উত্তর: (গ) ২৯৩

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৩/৪ হতে বড়?

সমাধান:
৩/৪ = ০.৭৫

এখানে,
৫/৭ = ০.৭১
৭/৯ = ০.৭৮
১১/১৫ = ০.৭৩
১৩/১৮ = ০.৭২

এখানে, ৩/৪ < ৭/৯

∴ ৭/৯ ভগ্নাংশটি ৩/৪ হতে বড়।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: মূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ (p/q) হিসেবে প্রকাশ করা যায়, যেখানে q শূন্য নয়। 
অমূলদ সংখ্যা: মূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ (p/q) হিসেবে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে q শূন্য নয়। 

ক) √18/√32
= √(18/32) = √(9/16) = 3/4 = 0.75
→ এটি একটি মূলদ সংখ্যা

খ) √3/√2 = √(3/2) = 1.22474487
এটি অমূলদ সংখ্যা

গ) √8/√6 = √(8/6) = √(4/3) = 1.15470054
এটি অমূলদ সংখ্যা

ঘ) 1/√8 = 0.35355339
 এটি অমূলদ সংখ্যা

প্রশ্ন: ছয়টি সংখ্যাকে বড় থেকে ছোট ক্রমানুসারে সাজানো হলো। প্রথম পাঁচটি সংখ্যার গড় ৩০ এবং শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৫। প্রথম ও শেষ সংখ্যার পার্থক্য কত? 

সমাধান: 
মনেকরি 
সংখ্যা ছয়টি a, b, c, d, e, f যেখানে a > b > c > d > e > f

১ম শর্তমতে 
(a  + b + c + d + e)/5 = 30
a  + b + c + d + e = 150 ...................(1)

২য় শর্তমতে 
(b + c + d + e + f)/5 = 25
b + c + d + e + f = 125 ...................(2)

(1) - (2) ⇒
(a + b + c + d + e) - (b + c + d + e + f) = 150 - 125
a + b + c + d + e -  b - c - d -  e  -  f = 25
a - f = 25 

প্রশ্ন: ৩, ০, ৫, ৮ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত?

সমাধান:
৩, ০, ৫, ৮ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৮৫৩০
এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০৫৮

∴ এদের পার্থক্য = ৮৫৩০ - ৩০৫৮ = ৫৪৭২

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ১/২ অংশ এবং ১/৮ অংশের মধ্যে পার্থক্য ১৮ হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
⇒ ক/২ - ক/৮ = ১৮
⇒ (৪ক - ক)/৮ = ১৮
⇒ ৩ক/৮ = ১৮
⇒ ৩ক = ১৮ × ৮
⇒ ৩ক = ১৪৪
⇒ ক = ১৪৪/৩
∴ ক = ৪৮

অতএব, সংখ্যাটি হলো ৪৮।

প্রশ্ন: .০২ × .০০৫ × .০০৬ = ?

সমাধান:
.০২ × .০০৫ × .০০৬ = ০.০০০০০০৬

প্রশ্ন: নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনটির ভাজক সংখ্যা বিজোড়?
​
​সমাধান:
​পূর্ণ বর্গসংখ্যার ভাজক সংখ্যা বিজোড়। উপর্যুক্ত সংখ্যার মধ্যে শুধুমাত্র ১০২৪ পূর্ণবর্গ সংখ্যা। 
​∴ √(১০২৪) = ৩২
​সুতরাং ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড় সংখ্যা হবে। 
​এখন,১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করি: 
​১০২৪ = ১ × ১০২৪
​= ২ × ৫১২
​= ৪ × ২৫৬
​= ৮ × ১২৮
​= ১৬ × ৬৪
​= ৩২ × ৩২
​
​∴ ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা = ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮, ২৫৬, ৫১২ এবং ১০২৪ = ১১ টি।

প্রশ্ন: যদি P এবং Q দুটি বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে নিম্নের কোনটি অবশ্যই জোড় হবে?

সমাধান:
ধরি, P = 1 এবং Q = 1 (যেহেতু P এবং Q দুটিই বিজোড় সংখ্যা)।

এখন অপশনগুলোতে মান বসিয়ে পাই,
(ক) P² + 2Q = 1² + 2(1) = 1 + 2 = 3 (বিজোড়)

(খ) 2P² + Q = 2(1²) + 1 = 2 + 1 = 3 (বিজোড়)

(গ) 3Q + 1 = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4 (জোড়)

(ঘ) 2Q + P = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 (বিজোড়)

∴ সঠিক উত্তর: (গ) 3Q + 1

প্রশ্ন: ১০ টি সংখ্যার গড় ২০। একটি সংখ্যা আরও যোগ করলে গড় হয় ২২, নতুন সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
১০ টি সংখ্যার গড় = ২০
∴ ১০ টি সংখ্যার যোগফল = ২০ × ১০ = ২০০

নতুন সংখ্যা যুক্ত করার পর ১১ টি সংখ্যার গড় = ২২
∴ ১১ টি সংখ্যার যোগফল = ২২ × ১১ = ২৪২

∴ নতুন সংখ্যাটি = ২৪২ - ২০০
= ৪২

প্রশ্ন: নয়টি সংখ্যার গড় ৮। যদি প্রত্যেকটি সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করা হয় তবে নতুন সংখ্যাগুলোর গড় কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
নয়টি সংখ্যার গড় ৮
৯ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৯ × ৮ = ৭২ 

আবার, 
প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করলে নতুন নয়টি সংখ্যার সমষ্টি হবে = ৭২ - (৯ × ৪) = ৭২ - ৩৬ = ৩৬ 

∴ নতুন নয়টি সংখ্যার গড় = ৩৬ ÷ ৯ = ৪ 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৬৪২ থেকে যত বড়, ৭০২ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৬৪২ = ৭০২ - ক
⇒ ক + ক = ৭০২ + ৬৪২
⇒ ২ক = ১৩৪৪
⇒ ক = ১৩৪৪/২
∴ ক = ৬৭২

অতএব, সংখ্যাটি ৬৭২

প্রশ্ন: কোনো কারখানায় যদি আরো ১০ টি মেশিন যোগ করা হয়, তবে মেশিনগুলোকে ১২, ১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ সংখ্যক সারিতে সাজানো সম্ভব হবে। কারখানায় শুরুতে কতটি মেশিন ছিল?

সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৫ = ৫ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫ = ৩০০

অর্থাৎ, মেশিন সংখ্যা = ৩০০ - ১০ = ২৯০

∴ কারখানায় শুরুতে ২৯০ টি মেশিন ছিল।

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৮/৫৫। যদি একটি ৩/১১ হয়, তবে অপর ভগ্নাংশ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল = ১৮/৫৫
এদের একটি = ৩/১১

∴ অপর ভগ্নাংশ = গুণফল/প্রথম ভগ্নাংশ
= (১৮/৫৫)/(৩/১১)
= (১৮/৫৫) × (১১/৩)
= (১৮ × ১১)/(৫৫ × ৩)
= ৬/৫ 

সুতরাং, অপর ভগ্নাংশ = ৬/৫

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ২/৭ অংশ ৬৪ এর সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

শর্তমতে, 
ক এর ২/৭ = ৬৪
বা, ক = ৬৪ এর ৭/২
বা, ক = ২২৪

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
সংখ্যাটি হবে ১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ২ কম। 
১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু = ৭২ 

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭২ - ২
 = ৭০ ।

প্রশ্ন: ৫ এর তিনটি ক্রমিক গুণিতকের যোগফল যদি ১০৫ হয় তাহলে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সবচেয়ে ছোট গুণিতকটি = ৫ক
২য় গুণিতকটি = ৫(ক + ১)
৩য় গুণিতকটি = ৫(ক + ২)

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৫(ক + ১) + ৫(ক + ২) = ১০৫
⇒ ৫ক + ৫ক + ৫ + ৫ক + ১০ = ১০৫
⇒ ১৫ক + ১৫ = ১০৫
⇒ ১৫ক = ১০৫ - ১৫
⇒ ১৫ক = ৯০
⇒ ক = ৯০/১৫
⇒ ক = ৬

∴ সবচেয়ে ছোট গুণিতকটি = ৫ × ৬ = ৩০

প্রশ্ন: একটি লাঠি ২৪ ইঞ্চি লম্বা, এটি দুটি অংশে ভাগ করা হয়েছে যাতে ছোট অংশটি বড় অংশের ১/৩ হয়। ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট অংশটি = ক ইঞ্চি
তাহলে, বড় অংশটি = ৩ক  ইঞ্চি

শর্তমতে,
ক + ৩ক = ২৪ ইঞ্চি
⇒ ৪ক = ২৪ ইঞ্চি
⇒ ক  = ২৪/৪ ইঞ্চি
∴ ক = ৬ ইঞ্চি

অতএব, ছোট অংশটি ৬ ইঞ্চি লম্বা।

আমরা জানি,
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে.মি.
∴ ৬ ইঞ্চি = ৬ × ২.৫৪ = ১৫.২৪ সে.মি.

অতএব, ছোট অংশটি ১৫.২৪ সে.মি. লম্বা।

প্রশ্ন: ৬০ থেকে বড় এবং ৭০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
৬০ থেকে বড় এবং ৭০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৬১ ও ৬৭ 
∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ৬১ + ৬৭ 
= ১২৮। 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
- মূলদ সংখ্যা (Rational Number) হলো এমন সংখ্যা, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়। p/q, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা এবং q ≠ 0.
- যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না তা অমূলদ সংখ্যা। সাধারণত পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ হয়।

ক) √১৬ = ৪; এটি একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই মূলদ।

খ) √(২৫/৯) = ৫/৩; এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই মূলদ।

গ) √১২ = √(৪ × ৩) = ২√৩; যেহেতু ৩ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই এর বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, √১২ একটি অমূলদ সংখ্যা।

ঘ) ০.৭৫ = ৭৫/১০০ = ৩/৪; এটি একটি সসীম দশমিক সংখ্যা এবং একে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ৩/৫ অংশ সবুজ এবং বাকি অংশ হলুদ। খুঁটির সবুজ এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য ৮ মিটার হলে সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য = ১ অংশ

খুঁটির সবুজ অংশ = ৩/৫ অংশ
∴ খুঁটির হলুদ অংশ = ১ - (৩/৫) অংশ
= (৫-৩)/৫ অংশ
= ২/৫ অংশ

সবুজ এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য = (৩/৫) - (২/৫) অংশ
= (৩ - ২)/৫ অংশ
= ১/৫ অংশ

প্রশ্নমতে,
১/৫ অংশ = ৮ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = (৫ × ৮)/১ মিটার
= ৪০ মিটার

প্রশ্ন: ৭২ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান: 
প্রথমে ৭২ এর মৌলিক গুণনীয়ক রূপ,
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
৭২ = ২^৩ × ৩^২
এখানে ২ এর সূচক ৩ ও ৩ এর সূচক ২।

ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র:
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে সেটিই ভাজক সংখ্যা।  
ভাজক সংখ্যা:
(৩ + ১)(২ + ১) = ৪ × ৩ = ১২

∴ ৭২ এর মোট ১২টি ভাজক আছে।

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ২/৯। একটি ভগ্নাংশ ৪/৩ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ২/৯
একটি ভগ্নাংশ = ৪/৩

∴ অপর ভগ্নাংশ = (২/৯) ÷ (৪/৩)
= (২/৯) × (৩/৪)
= ৬/৩৬
= ১/৬

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের হর ও লবের অনুপাত ৭ : ৪। হর থেকে ১০ বাদ দিলে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যায় সেটি মূল ভগ্নাংশের ৭/৫ গুণ। ভগ্নাংশটির লব কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের হর = ৭ক
ভগ্নাংশের লব = ৪ক
∴ ভগ্নাংশটি = ৪ক/৭ক

প্রশ্নমতে,
৪ক/(৭ক - ১০) = (৪ক/৭ক) × (৭/৫)
⇒ ৪ক/(৭ক - ১০) = ৪/৫
⇒ ৪(৭ক - ১০) = ২০ক
⇒ ২৮ক - ৪০ = ২০ক
⇒ ২৮ক - ২০ক = ৪০
⇒ ৮ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/৮
⇒ ক = ৫

∴ ভগ্নাংশটির লব = ৪ × ৫ = ২০

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল ৬০ হলে সংখ্যা তিনটির যোগফল কত?

সমাধান: 
এখানে, ৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৩ × ৪ × ৫
∴ সংখ্যা তিনটি যোগফল = ৩ + ৪ + ৫ = ১২ 

প্রশ্ন: শূন্য অপেক্ষা বড় যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে বলা হয়?

সমাধান:
শূন্য অপেক্ষা বড় পূর্ণ সংখ্যাগুলো (যেমন: ১, ২, ৩, ...) কে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়।

অন্য দিকে,
অমূলদ সংখ্যা: এগুলো হলো এমন সংখ্যা যেগুলোকে p/q​ আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেমন: √2, π)।
মূলদ সংখ্যা: এগুলোকে p/q​ আকারে লেখা যায় (যেমন: 3 = 3/1​)।
বাস্তব সংখ্যা: সমস্ত স্বাভাবিক, পূর্ণ, মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: ছয়জন পুরুষ, আটজন নারী এবং একটি বালকের গড় বয়স ৩৬ বছর। পুরুষদের গড় বয়স ৪১ এবং নারীদের ৩৫। বালকের বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১ জন বালকের বয়সের গড় ৩৬ বছর।
∴ ৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১জন বালকের বয়সের সমষ্টি = ৩৬ × ১৫ = ৫৪০ বছর

আবার, 
পুরুষদের বয়সের গড় ৪১ বছর
∴ পুরুষদের বয়সের সমষ্টি = ৪১ × ৬ = ২৪৬ বছর

এবং, 
স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৫ বছর
∴ স্ত্রীলোকদের বয়সের সমষ্টি = ৩৫ × ৮ = ২৮০ বছর

∴ বালকের বয়স = ৫৪০ - (২৪৬ + ২৮০) = ১৪ বছর

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ১২০ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬
এবং ল.সা.গু. = ১২০

ধরি, দুটি সংখ্যা = ৫ক এবং ৬ক ; [যেখানে ক = গ.সা.গু.] 
এখন, দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ৫ক × ৬ক = ৩০ক 

সুতরাং, ৩০ক = ১২০
ক = ১২০/৩০
ক = ৪

অতএব, দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. = ৪

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:  p/q  আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q  পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
যেমন: √16 = 4 ,3/1 = 3,  11/2= 5.5, 5/ 3 = 1.666... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।

এখন অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) √১০/√২ = √(১০/২) = √৫ ; যা অমূলদ

খ) √৮/৩ = √(৪ × ২)/৩ = ২√২/৩ ; যা অমূলদ

গ) √১২/√৩ = √(৪ × ৩)/√৩ = (√৪ × √৩)/√৩ = ২ ; যা মূলদ

ঘ) √৩/২ ; যা অমূলদ

সুতরাং, সঠিক উত্তর: গ) √১২/√৩ 

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তাদের যোগফল কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যা = ২, ৩, ৫, ৭ 
∴ তাদের যোগফল = ২ + ৩ + ৫ + ৭ 
= ১৭ ।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/৪ অংশ কাঁদায়, ১/২ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ১২ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
একটি খুঁটির = ১/৪ অংশ কাঁদায়
একটি খুঁটির = ১/২ অংশ পানিতে
∴ কাঁদায় ও পানিতে আছে খুঁটিটির = {(১/৪) + (১/২)} অংশ
= ৩/৪ অংশ 

এখন,
অবশিষ্ট আছে খুঁটিটির = {১ - (৩/৪)} অংশ
= ১/৪ অংশ 

খুঁটিটির ১/৪ অংশ = ১২ মিটার
∴ খুঁটিটির সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = (১২ × ৪) মিটার
= ৪৮ মিটার। 

প্রশ্ন: ২, ০, ৭, ৯ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত?

সমাধান:
২, ০, ৭, ৯ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৭২০
এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৭৯

∴ এদের পার্থক্য = ৯৭২০ - ২০৭৯ = ৭৬৪১

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১২। যদি হর থেকে ২ বিয়োগ করলে তা লব এর সমান হয়, তাহলে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = ক
∴  হর = ১২ - ক

প্রশ্নমতে,
(১২ - ক) - ২ = ক
⇒ ১২ - ২ = ক + ক
⇒ ১০ = ২ক
⇒ ক = ৫

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = ৫/(১২- ৫)
= ৫/৭

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা পরস্পর সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি, দুই বা ততোধিক সংখ্যার মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক (Common Factor) না থাকলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক। অর্থাৎ এদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) হবে ১।

এখানে, 
ক) ১২ = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২ এবং ১৮ = ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮।
এদের সাধারণ গুণনীয়ক ২, ৩, ৬; তাই এগুলো সহমৌলিক নয়।

খ) ১৬ = ১, ২, ৪, ৮, ১৬ এবং ৩৫ = ১, ৫, ৭, ৩৫।
এখানে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই। অর্থাৎ এদের গ.সা.গু ১। সুতরাং ১৬ এবং ৩৫ পরস্পর সহমৌলিক।

গ) ২১ = ১, ৩, ৭, ২১ এবং ২৮ = ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮।
এখানে ৭ একটি সাধারণ গুণনীয়ক; তাই এগুলো সহমৌলিক নয়।

ঘ) ২৭ = ১, ৩, ৯, ২৭ এবং ৪৫ = ১, ৩, ৫, ৯, ১৫, ৪৫।
এখানে ৩ এবং ৯ সাধারণ গুণনীয়ক; তাই এগুলো সহমৌলিক নয়।

∴ সঠিক উত্তর হলো খ) ১৬, ৩৫

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি বাস্তব সংখ্যা নয়?

সমাধান:
• বাস্তব সংখ্যা: শূণ্য সহ সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে। যেমনঃ ০, ১, ২, - ১, - ২, - √২, √৫ ইত্যাদি।

অপশন ক, গ, ঘ তিনটিই বাস্তব সংখ্যা।

কিন্তু,
অপশন (খ) এর ৩ + √-৫ একটি কাল্পনিক সংখ্যা। কারণ √-৫ বাস্তব সংখ্যার মধ্যে পড়ে না। এটি একটি কাল্পনিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: √(- 18) × √(- 2) = কত?

সমাধান:
√- 18 × √- 2
= √{18(i²)} × √{2(i²)} [i² = - 1]
= 3√(2)i × √(2)i
= 3 × 2 × i²
= 6 × (- 1)
= - 6