বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার তালিকা:
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

∴ মোট মৌলিক সংখ্যা = ২৫টি।

উল্লেখ্য,
সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা হলো ২
১০০ থেকে ২০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২১ টি।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ৩/৫ অংশ লাল এবং বাকি অংশ হলুদ। খুঁটির লাল এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য ৬ মিটার হলে, সম্পূর্ণ অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য = ১ অংশ

দেওয়া আছে, 
খুঁটির লাল অংশ = ৩/৫ অংশ

∴ খুঁটির হলুদ অংশ = ১ - (৩/৫) অংশ
= (৫ - ৩)/৫ অংশ
= ২/৫ অংশ

∴ লাল এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য = (৩/৫) - (১/৫) অংশ
= (৩ - ২)/৫ অংশ
= ১/৫ অংশ

প্রশ্নমতে,
১/৫ অংশ = ৬ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = (৫ × ৬) = ৩০ মিটার

অতএব, সম্পূর্ণ অংশের দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার। 

প্রশ্ন: একজন বোলার গড়ে ৩২ রান দিয়ে ৪ উইকেট পান। পরবর্তী খেলায় গড়ে ৪ রান দিয়ে ৩ উইকেট পান। তিনি গড়ে উইকেট প্রতি কত রান দিয়েছেন?

সমাধান: 
একজন বোলার গড়ে ৩২ রান দিয়ে ৪ উইকেট পান
∴ মোট রান দিয়েছেন = (৩২ × ৪) রান 
= ১২৮ রান 

আবার, 
পরবর্তী খেলায় গড়ে ৪ রান দিয়ে ৩ টি উইকেট পান 
∴ মোট রান দিয়েছেন = (৪ × ৩) রান 
= ১২ রান 

∴ তিনি গড়ে উইকেট প্রতি রান দিয়েছেন = (১২৮ + ১২)/(৪ + ৩) 
= ১৪০/৭ 
= ২০ রান। 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩৬ থেকে যত বড়, ৮৪ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৩৬ = ৮৪ - ক
⇒ ক + ক = ৮৪ + ৩৬
⇒ ২ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/২
∴ ক = ৬০

∴ সংখ্যাটি হলো = ৬০

প্রশ্ন: কোন বইয়ের ৭৮ পৃষ্ঠা পড়ার পরেও তার ৩/৫ অংশ পড়তে বাকি থাকলে, বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত?

সমাধান:
পড়া হয়েছে = {১ - (৩/৫)} অংশ
= (৫ - ৩)/৫ অংশ 
= ২/৫ অংশ

শর্তমতে,
২/৫ অংশ = ৭৮ পৃষ্ঠা
   ১   অংশ  = ৭৮ × (৫/২) পৃষ্ঠা
= ১৯৫ পৃষ্ঠা

∴ মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা = ১৯৫

প্রশ্ন: ৭২৮ এবং ৯০০ সংখ্যাদ্বয়কে এমন একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৮ এবং ৪ অবশিষ্ট থাকবে। সেই সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
৭২৮ - ৮ = ৭২০
এবং ৯০০ - ৪ = ৮৯৬।

এখানে,
৭২০ এবং ৮৯৬ এর গ.সা.গু. হলো = ২ × ২ × ২ × ২ = ১৬

সুতরাং, ৭২৮ ও ৯০০ কে ১৬ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ৮ ও ৪ অবশিষ্ট থাকবে।

প্রশ্ন: ৬ টি সংখ্যার গড় ২৫। যদি ২২ গড় বিশিষ্ট ৩ টি সংখ্যা প্রদত্ত সংখ্যাটির সাথে যোগ করা হয়, তবে সমন্বিত ৯টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
প্রথম ৬টি সংখ্যার যোগফল = ৬ × ২৫ = ১৫০

আবার, 
নতুন ৩টি সংখ্যার যোগফল = ৩ × ২২ = ৬৬

∴ মোট (৬ + ৩) = ৯টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৫০ + ৬৬ = ২১৬

∴ নতুন গড় = ২১৬/৯ = ২৪

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 4.3^. এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি?

সমাধান:
4.333..
= 4 + 0.3333 
= 4 + 1/3
= (12 + 1)/3
= 13/3

প্রশ্ন: m ও n উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড়?

সমাধান:
ধরি, m = 1 এবং n = 3, দুটোই বিজোড় সংখ্যা।
এখন,
ক) mn = 1 × 3 = 3  ⇒ বিজোড়
খ) mn + 1 = (1 × 3) + 1 = 4  ⇒ জোড়
গ) mn + 2 = (1 × 3) + 2 = 5  ⇒ বিজোড়
ঘ) mn + 4 = (1 × 3) + 4 = 7  ⇒  বিজোড়

∴ শুধুমাত্র খ) mn + 1 জোড় সংখ্যা।

প্রশ্ন: তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল ১৬৫। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক, (ক + ২) এবং (ক + ৪)
​
প্রশ্নমতে,
ক+ (ক + ২) + (ক + ৪) = ১৬৫
⇒ ৩ক + ৬ = ১৬৫
⇒ ৩ক = ১৬৫- ৬
⇒ ৩ক = ১৫৯
⇒ ক = ১৫৯/৩
⇒ ক = ৫৩

∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = (৫৩ + ২) = ৫৫

প্রশ্ন: এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা নির্ণয় করুণ, যা তার বর্গের থেকে ৫৬ কম।

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
ক^২ - ক = ৫৬
⇒ ক^২- ক - ৫৬ = 0
⇒ ক^২ - ৮ক + ৭ক - ৫৬ = 0
⇒ ক(ক - ৮) + ৭(ক - ৮) = 0
⇒ (ক - ৮) (ক + ৭) = 0
হয়,
(ক - ৮) = ০
∴ ক = ৮ [ধনাত্মক সংখ্যা]
অথবা
(ক + ৭) = ০
⇒ ক = - ৭ [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

নির্ণেয় সংখ্যাটি ৮ ।

 প্রশ্ন: (১২ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (১৫ - ৩ × ২) = কত?

সমাধান: (১২ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (১৫ - ৩ × ২) 
= ১৫ ÷ ৩ × ২ - (১৫ - ৬)
= ১৫ ÷ ৩ × ২ - ৯
= ৫ × ২ - ৯
= ১০ - ৯
= ১

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৮১। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৮১
বা, (ক^২ + ২ক + ১) - ক^২ = ৮১
বা, ২ক + ১ = ৮১
বা, ২ক = ৮১ - ১
বা, ২ক = ৮০
বা, ক = ৮০/২
∴ ক = ৪০

∴ বড় সংখ্যাটি = ক + ১ = ৪০ + ১ = ৪১

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪২০ থেকে যত বড়, ৫৮০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৪২০ = ৫৮০ - ক
⇒ ক + ক = ৫৮০ + ৪২০
⇒ ২ক = ১০০০
⇒ ক = ১০০০/২
∴ ক = ৫০০

প্রশ্ন: তিনটি বাতি যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং ২০ মিনিট অন্তর জ্বলে। যদি বাতিগুলো সন্ধ্যা ৬টায় একত্রে জ্বলে, তবে পুনরায় কখন একত্রে জ্বলবে?

সমাধান:
তিনটি বাতি যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং ২০ মিনিট অন্তর জ্বলে। 
এখন, 
সংখ্যাগুলোকে মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করে পাই,
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫

∴ ১২, ১৫ এবং ২০ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০ মিনিট
∴ সন্ধ্যা ৬:০০ থেকে ৬০ মিনিট পরে = সন্ধ্যা ৭ : ০০

অতএব, পুনরায় একত্রে জ্বলবে ৭ : ০০ টায়। 

প্রশ্ন: ৫, ০, ৯, ৩ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৫, ০, ৯, ৩ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৫৩০
৫, ০, ৯, ৩ অংকগুলো দ্বারা গঠিত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০৫৯

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় = (৯৫৩০ + ৩০৫৯)/২
= ১২৫৮৯/২
= ৬২৯৪.৫

প্রশ্ন: ২৬৪ টি কলার সাথে আর কতগুলো কলা যোগ করলে তা ৬, ৭ বা ৮ জনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে? 

সমাধান: 
৬, ৭ এবং ৮ এর ল.সা.গু = (২ × ৩ × ৭ × ৪)
= ১৬৮

এখন, 
১৬৮) ২৬৪ (১
         ১৬৮
       ______
           ৯৬

∴ কলা যোগ করতে হবে = (১৬৮ - ৯৬) টি
= ৭২ টি।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার বেতনের ১/৪ অংশ ভাড়া বাবদ এবং ১/৩ অংশ খাদ্য বাবদ খরচ করেন। যদি তার কাছে অবশিষ্ট ১০,০০০ টাকা থাকে, তবে তার মোট বেতনের পরিমাণ কত ছিল?

সমাধান:
ভাড়া ও খাদ্য বাবদ মোট খরচ হয় = ১/৪ + ১/৩ অংশ
= (৩ + ৪)/১২ অংশ
= ৭/১২ অংশ

মনে করি, সম্পূর্ণ বেতন = ১ অংশ
∴ অবশিষ্ট আছে = ১ - ৭/১২ অংশ
= (১২ - ৭)/১২ অংশ
= ৫/১২ অংশ

প্রশ্নমতে,
৫/১২ অংশ = ১০,০০০ টাকা
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ১০,০০০ × ১২/৫ টাকা
= ২০,০০০ × ১২ টাকা
= ২৪,০০০ টাকা

∴ তাঁর সম্পূর্ণ বেতনের পরিমাণ ছিল ২৪,০০০ টাকা।

প্রশ্ন: (- 1, - 4) এবং (4, 8) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: ৭২ টি কলম এবং ৯৬ টি পেন্সিল এমনভাবে বাক্সে রাখতে হবে যাতে প্রতিটি বাক্সে সমান সংখ্যক কলম ও পেন্সিল থাকে এবং কোনোটি অবশিষ্ট না থাকে। সর্বাধিক কতটি বাক্স তৈরি করা যাবে?

সমাধান: 
আমরা এমন সর্বাধিক সংখ্যক বাক্স চাই যেখানে প্রতিটি বাক্সে সমান সংখ্যা হবে।
∴ সর্বাধিক বাক্সের সংখ্যা = ৭২ এবং ৯৬ গ.সা.গু 

এখন, ৭২ এবং ৯৬ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করে পাই, 
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ 
৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ 

∴ ৭২ এবং ৯৬ গ সা গু = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২৪ 

সুতরাং, সর্বাধিক বাক্সের সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ৩৬ এবং ৩০ এর গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু.-এর গুণফল কত?

সমাধান:
গ.সা.গু. (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয়,
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ 
৩০ = ২ × ৩ × ৫
সাধারণ উৎপাদক ২ এবং ৩
∴ গ.সা.গু. = ২ × ৩ = ৬

এবং 
ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয়, 
৩৬ এবং ৩০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ৪ × ৯ × ৫
= ১৮০

∴ গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
= ৬ × ১৮০
= ১০৮০

অতএব, ৩৬ এবং ৩০ এর গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু.-এর গুণফল = ১০৮০

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। 

এখানে, 
৪৮২০৬৪ সংখ্যাটির শেষ দুইটি অঙ্ক অর্থাৎ ৬৪ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।অর্থাৎ (৬৪ ÷ ৪) = ১৬ 
(৪৮২০৬৪ ÷ ৪) = ১২০৫১৬ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য একটি সংখ্যা।

প্রশ্ন: 4, 8 এবং 16 এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় =
 
∴ 4, 8 এবং 16 এর জ্যামিতিক গড় = (4 × 8 × 16)^1/3
= (512)^1/3
= (8³)^1/3
= 8

প্রশ্ন: একটি সম্পত্তির ৭/৮ অংশ ২ পুত্র ও ৩ কন্যার মধ্যে এমনভাবে বণ্টন করা হলো যার ফলে প্রত্যেক কন্যা প্রত্যেক পুত্রের অর্ধেক পায়। প্রত্যেক পুত্র সম্পত্তির কত অংশ পেল?

সমাধান:
মনেকরি,
প্রত্যেক পুত্র পায় 'ক' অংশ।
তাহলে, প্রত্যেক কন্যা পায় = ক/২ অংশ। 

প্রশ্নমতে,
২ক + ৩ক = ৭/৮
⇒ ২ক + ৩(ক/২) = ৭/৮
⇒ ৪ক + ৩ক = ১৪/৮ = ৭/৪
⇒ ৭ক = ৭/৪
⇒ ক = ৭/(৪ × ৭)
∴ ক = ১/৪

সুতরাং, প্রত্যেক পুত্র সম্পত্তির ১/৪ অংশ পেল।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনটি ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ? 

সমাধান: 
৩/১০ = ০.৩ (বৃহত্তম), 
৫/১৭ = ০.২৯৪ (বৃহত্তম), 
৪/১৫ = ০.২৬৭ (ক্ষুদ্রত্তম) এবং 
২/৫ = ০.৪ (বৃহত্তম) । 

∴ ৪/১৫ ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম। 

প্রশ্ন: বাংলাদেশের রাত ৮টা আন্তর্জাতিক সময় কত?

সমাধান:
আন্তর্জাতিক সময় ২৪ ঘণ্টায় হিসেব করা হয়।
অর্থাৎ, ১২ টার পর ১৩টা, ১৪টা, ..., ২৪টা।

সে অনুযায়ী বাংলাদেশে,
দুপুর ১টা = ১৩ টা,
দুপুর ২টা = ১৪ টা
...
......
রাত ৮টা = ২০ টা।

অতএব, বাংলাদেশের রাত ৮টা, আন্তর্জাতিক সময় অনুযায়ী তখন বাংলাদেশে আন্তর্জাতিক সময় ২০টা।

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৮/৩৫। এদের একটি ৬/৭ হলে অপরটি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল = ১৮/৩৫
এদের একটি ভগ্নাংশ = ৬/৭

ধরি, অপর ভগ্নাংশটি = ক
তাহলে:
(৬/৭) × ক = ১৮/৩৫
⇒ ক = (১৮/৩৫)/(৬/৭)
⇒ ক = (১৮/৩৫) × (৭/৬)
⇒ ক = (১৮ × ৭)/(৩৫ × ৬)
∴ ক = ৩/৫

সুতরাং, অপর ভগ্নাংশটি ৩/৫

প্রশ্ন: একটি ট্যাংকের ২/৫ অংশ পানি পূর্ণ আছে। ট্যাংকটিতে আরও ৩২ লিটার পানি যোগ করা হলে এটি ৬/৭ অংশ পূর্ণ হবে। ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান:
ধরি,
ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা = ক লিটার

প্রশ্নমতে,
⇒ (২ক/৫) + ৩২ = (৬ক/৭)
⇒ ৩২ = (৬ক/৭) - (২ক/৫)
⇒ ৩২ = (৩০ক - ১৪ক)/৩৫
⇒ ৩২ = ১৬ক/৩৫
⇒ ২ = ক/৩৫
∴ ক = ৭০ 

∴ ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা ৭০ লিটার।