বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একসঙ্গে বেজে উঠল এবং তারপর যথাক্রমে ১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ সেকেন্ড অন্তর বাজতে থাকে। কতক্ষণ পর আবার সবগুলো একসঙ্গে বাজবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে সময়গুলো,
১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ সেকেন্ড

এখন, ১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ ল.সা.গু = ৩০০ সেকেন্ড
= ৩০০/৬০ মিনিট  ; [১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড] 
= ৫ মিনিট 

অতএব, ৫ মিনিট পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি পরস্পর সহমৌলিক?

সমাধান:
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক। 

এখানে,
১৫ = ১ × ৩ × ৫
২২ = ১ × ২ × ১১

১৫, ২২ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
∴ ১৫, ২২ পরস্পর সহমৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্নঃ কোন ভগ্নাংশটি ৭/৯ হতে বড়?

সমাধানঃ 
৭/৯ ≈ 0.৭৭৭

৭/১০  =0.৭ 
২/৩ = 0.৬৬৬৭ 
১২/১৫ = 0.৮ 
১০/১৩ = 0.৭৬৯২

সঠিক উত্তর: গ) ১২/১৫

প্রশ্ন: একটি নার্সারিতে ১৬ জাতের ফুল গাছ আছে। ১/৪ অংশ জাতের ৫টি করে এবং ৩/৪ অংশ জাতের ৪টি করে গাছ আছে।  সর্বমোট কতটি গাছ আছে নার্সারিতে?

সমাধান:
মোট জাত = ১৬ টি 

১/৪ অংশ জাত = ১৬ এর (১/৪) = ৪ টি 
∴ মোট গাছ = ৪ × ৫ = ২০টি  ; [প্রতি জাতে ৫টি করে গাছ]

আবার, 
৩/৪ অংশ জাত = ১৬ এর (৩/৪) = ১২ টি 
∴ মোট গাছ = ৪ × ১২ = ৪৮ টি  ; [প্রতি জাতে ৪টি করে গাছ]

∴ সর্বমোট গাছ = ২০ + ৪৮ = ৬৮টি

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার শতক, দশক ও একক স্থানীয় অঙ্ক যথাক্রমে a, b, c হলে সংখ্যাটি হবে- 

সমাধান:
একটি সংখ্যার শতক, দশক ও একক স্থানীয় অংক যথাক্রমে a, b, c হলে সংখ্যাটি হবে,
100 × শতক স্থানীয় অঙ্ক + 10 × দশক স্থানীয় অঙ্ক + 1 × একক স্থানীয় অঙ্ক
= (100 × a) + (10 × b) + (1 × c)
= 100a + 10b + c

পূর্ণ সংখ্যাঃ শূন্য সহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণ সংখ্যা বলে।

স্বাভাবিক সংখ্যাঃ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে।

মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers): যেসব সংখ্যা ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়, অর্থাৎ (p/q আকারে লিখা যায়, যেখানে q ≠ 0), যেমন: ১/২, ৩, -৫, ০.৭৫ ইত্যাদি।

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers): যেসব সংখ্যা ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না, অর্থাৎ (p/q আকারে লিখা যায় না, যেখানে q ≠ 0)যেমন: √২, π, √৫ ইত্যাদি।

প্রশ্ন: ১০০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে? 

সমাধান: 
১০০৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭ 
= ২^৪ × ৩^২ × ৭^১ 
এখানে, 
২ এর সূচক ৪, ৩ এর সূচক ২ এবং ৭ এর সূচক হলো ১

এখন, 
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা। 
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) (২ + ১) (১ + ১) 
= ৫ × ৩ × ২ 
= ৩০

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ৩০।

সমাধান:
ধরি,
সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
ক - (ক/৪) - (৩ক/৫) = ৬
⇒(২০ক - ৫ক - ১২ক)/২০ = ৬
⇒ ৩ক/২০ = ৬
⇒ ৩ক = ১২০
∴ ক = ৪০

সুতরাং সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭ তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
২০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭, সেগুলো হলো:
৩৭, ৪৭, এবং ৬৭।

সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি = ৩৭ + ৪৭ + ৬৭ = ১৫১

প্রশ্ন: ০, ৩, ৫, ৭ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য কত?

সমাধান:
বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫৩০ (বড় থেকে ছোট ক্রমে অঙ্কগুলো সাজানো)
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০৫৭ (ছোট থেকে বড় ক্রমে অঙ্কগুলো সাজানো; প্রথম অঙ্ক ০ হতে পারে না)

∴ পার্থক্য = ৭৫৩০ - ৩০৫৭ = ৪৪৭৩

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৬৩, ১০৮ ও ১৩৫-কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না?

সমাধান: 
৬৩, ১০৮ ও ১৩৫-এর গ.সা.গু.ই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

এখন, মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
৬৩ = ৩ × ৩ × ৭  
১০৮ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩  
১৩৫ = ৩ × ৩ × ৩ × ৫  

৬৩, ১০৮ ও ১৩৫-এর গ.সা.গু. = ৩ × ৩ = ৯ 

প্রশ্ন: চার বিষয়ের কোনো একটি পরীক্ষায় একজন পরীক্ষার্থীর বাংলা, ইংরেজি ও গণিতে প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৭৮, ৮১ ও ৯৪। বিজ্ঞানে কত নম্বর পেলে তার গড় নম্বর ৮২ হবে?

সমাধান:
ধরি,
বিজ্ঞানে প্রাপ্ত নম্বর = ক

প্রশ্নমতে,
(৭৮ + ৮১ + ৯৪ + ক)/৪ = ৮২
বা, (২৫৩+ ক)/৪ = ৮২
বা, ২৫৩ + ক = ৮২ × ৪
বা, ২৫৩ + ক = ৩২৮
বা, ক = ৩২৮ - ২৫৩
বা, ক = ৭৫

∴ বিজ্ঞানে প্রাপ্ত নম্বর = ৭৫ 

প্রশ্ন: ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার দীর্ঘ তিনটি কাঠের টুকরোকে একই দৈর্ঘ্যের তক্তায় বিভক্ত করতে হবে। প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
প্রত্যেক সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করে পাই, 
১৪৩ = ১১ × ১৩
৭৮  = ২ × ৩ × ১৩
১১৭ = ৩ × ৩ × ১৩

∴ ১৪৩, ৭৮ এবং ১১৭ সাধারণ উৎপাদক = ১৩ 

অতএব, প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হবে ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার চারগুণের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটির চেয়ে ১৮ বেশি হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
বা, ৪ক + ৬ = ক + ১৮
বা, ৪ক - ক = ১৮ - ৬
বা, ৩ক = ১২
বা, ক = ১২/৩
∴  ক = ৪

∴ সংখ্যাটি = ৪ ।

প্রশ্ন: ১৩টি সংখ্যার যোগফল ৬৯৫। প্রথম ৭টির গড় ৫২ এবং শেষ ৭টির গড় ৫৮ হলে সপ্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
প্রথম ৭টি সংখ্যার গড় = ৫২
∴ প্রথম ৭টি সংখ্যার যোগফল = (৫২ × ৭) = ৩৬৪

শেষ ৭টি সংখ্যার গড় = ৫৮
∴ শেষ ৭টি সংখ্যার যোগফল = (৫৮ × ৭) = ৪০৬

∴ প্রথম ৭ ও শেষ ৭ সংখ্যার যোগফলের সমষ্টি = (৩৬৪ + ৪০৬)
= ৭৭০

∴ ৭ম সংখ্যাটি = (৭৭০ - ৬৯৫)
= ৭৫

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান: 
মূলদ সংখ্যা: যেসব সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q ≠ 0 তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে।
- শূণ্য, সব স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা। যেমন: √4, √36.
- সব পূর্ণ ঘন সংখ্যার ঘনমূল মূলদ সংখ্যা।
- দশমিকের পরের অঙ্কগুলো যদি সসীম আকারে থাকে তাহলে সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা। যেমন: 5.66, 7.75.

এখন, 
√৭২৯
= √(২৭ × ২৭) 
= √(২৭)^২ 
= ২৭
 যা মূলদ সংখ্যা।

অন্য অপশন গুলো অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি ৪০ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = (ক এর ২/৩)
= ২ক/৩ ফুট 

প্রশ্নমতে, 
ক + (২ক/৩) = ৪০
বা, (৩ক + ২ক)/৩ = ৪০
বা, ৫ক = ১২০
বা, ক = ১২০/৫
∴ ক = ২৪

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২ × ২৪)/৩
= ১৬ ফুট ।

প্রশ্ন: m ও n দুটি বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচের কোন সংখ্যাটি অবশ্যই বিজোড় হবে?

সমাধান:
ধরা যাক, m = 1 এবং n = 3 (যেকোনো দুটি বিজোড় সংখ্যা)

এখন,
ক) m + n = 1 + 3 = 4 (জোড়)
খ) m² + n² = 1² + 3² = 1 + 9 = 10 (জোড়)
গ) (m + n)² = (1 + 3)² = 4² = 16 (জোড়)
ঘ) mn + 2 = (1 × 3) + 2 = 3 + 2 = 5 (বিজোড়)

∴ সঠিক উত্তর হলো ঘ) mn + 2

প্রশ্ন: a ও b বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড়?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a ও b হলো দুইটি বিজোড় সংখ্যা।

আমরা জানি, দুইটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল সর্বদা একটি বিজোড় সংখ্যা হয়।

যেহেতু, a ও b উভয়ই বিজোড়,
তাহলে, ab = একটি বিজোড় সংখ্যা।

এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
ab = বিজোড় সংখ্যা।
ab + 1 = বিজোড় সংখ্যা + 1 = জোড় সংখ্যা। [যেমন: 3 + 1 = 4]
ab + 2 = বিজোড় সংখ্যা + 2 = বিজোড় সংখ্যা। [যেমন: 3 + 2 = 5]
ab + 4 = বিজোড় সংখ্যা + 4 = বিজোড় সংখ্যা। [যেমন: 3 + 4 = 7]

যেহেতু ab একটি বিজোড় সংখ্যা এবং বিজোড় সংখ্যার সাথে 1 যোগ করলে পরবর্তী জোড় সংখ্যাটি পাওয়া যায়,

∴ ab + 1 একটি জোড় সংখ্যা।

প্রশ্ন: ১২টি সংখ্যার গড় ৩৫। প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৫ বিয়োগ করে পরে ২ দিয়ে গুণ করলে নতুন গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মূল গড় = ৩৫  
মোট সংখ্যা = ১২  
∴ সমষ্টি = ১২ × ৩৫ = ৪২০

এখন, 
প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৫ বিয়োগ করলে নতুন সমষ্টি  
= ৪২০ - (১২ × ৫)  
= ৪২০ - ৬০  
= ৩৬০

আবার, 
প্রত্যেক সংখ্যাকে ২ দিয়ে গুণ করলে নতুন সমষ্টি,  
= ৩৬০ × ২ = ৭২০

∴ নতুন গড় = ৭২০/১২ = ৬০ 

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা যুগল সহমৌলিক?

সমাধান:
• দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

১৪ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৭, ১৪।
২৫ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ৫, ২৫।

এখানে ১৪ এবং ২৫ এর মধ্যে ১ ছাড়া আর কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই। তাই, ১৪ এবং ২৫ হলো সহ-মৌলিক।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ২/৫ অংশ কাদায়, ১/৩ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ৮ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য = ক মিটার।

কাদায় আছে = ক এর ২/৫ = ২ক/৫ মিটার
পানিতে আছে = ক এর ১/৩ = ক/৩ মিটার

∴ খুঁটিটির কাদায় ও পানিতে মোট আছে = (২ক/৫) + (ক/৩) মিটার
= (৬ক + ৫ক)/১৫ মিটার
= ১১ক/১৫ মিটার

∴ পানির উপরে অবশিষ্ট আছে = ক - (১১ক/১৫) মিটার
= (১৫ক - ১১ক)/১৫ মিটার
= ৪ক/১৫ মিটার

প্রশ্নমতে, পানির উপরে অবশিষ্ট অংশ ৮ মিটার।
∴ ৪ক/১৫ = ৮
⇒ ৪ক = ৮ × ১৫
⇒ ৪ক = ১২০
⇒ ক = ৩০

∴ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার।

প্রশ্ন: ৩০০ থেকে ৪০০ এর মধ্যে কয়টি সংখ্যা তিন দিয়ে বিভাজ্য?

সমাধান:
৩০০ থেকে ৪০০ এর মধ্যে সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য:

ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা ≥ ৩০০ যা ৩: ৩০০ দ্বারা বিভাজ্য (যেহেতু ৩০০ ÷ ৩ = ১০০)

এবং, 
বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা ≤ ৪০০ যা ৩: ৩৯৯ দ্বারা বিভাজ্য (যেহেতু ৩৯৯ ÷ ৩ = ১৩৩)।
এগুলো পাটিগণিত ক্রম গঠন করে ৩০০, ৩০৩, ..., ৩৯৯ যার সাধারণ পার্থক্য ৩।

∴ তিন দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা আছে = (১৩৩ - ১০০) + ১ = ৩৩ + ১ = ৩৪ টি 

∴ ৩০০ থেকে ৪০০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য ৩৪টি সংখ্যা আছে।

অথবা, 
n দ্বারা প্রদত্ত পদ n এর সংখ্যা = ((শেষ - প্রথম)/পার্থক্য) + ১ = ((৩৯৯ - ৩০০)/৩) + ১ = (৯৯/৩) + ১ = ৩৩ + ১ = ৩৪ ।

প্রশ্ন: যদি 'ক' এবং 'খ' উভয়ই জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে নিচের কোনটি অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
ধরি,
ক = ৪, খ = ৬ (উভয় জোড়)

ক) ৪ + ২ × ৬ = ১৬ → জোড়

খ) ৪ × ৬ + ১ = ২৫ → বিজোড়

গ) ৪ + ৬ = ১০ → জোড়

ঘ) ২ × ৪ + ৬ = ১৪ → জোড়

সুতরাং, কখ + ১ অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে। 

প্রশ্ন: একটি বইয়ের ৩/৮ অংশ পড়তে ৪৫ মিনিট লাগে। বাকি অংশ পড়তে কত মিনিট লাগবে?

সমাধান:
বইয়ের ৩/৮ অংশ পড়তে সময় লাগে = ৪৫ মিনিট
∴ ১ বা পুরো অংশ পড়তে সময় লাগবে = ৪৫ × (৮/৩) মিনিট
= (১৫ × ৮) মিনিট
= ১২০ মিনিট

∴ বাকি অংশ = পুরো বই - ৩/৮ অংশ = ১ - (৩/৮) = (৮ - ৩)/৮ = ৫/৮ অংশ

∴ ৫/৮ অংশ পড়তে সময় লাগবে = ১২০ × (৫/৮) মিনিট
= (১৫ × ৫) মিনিট
= ৭৫ মিনিট

সুতরাং বাকি অংশ পড়তে ৭৫ মিনিট লাগবে।

প্রশ্ন: পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা ৪১ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০ 
∴ ৪১) ১০০০০(২৪৩
            ৮২
     ______________
            ১৮০
            ১৬৪
    _______________
               ১৬০
               ১২৩
   _______________
                 ৩৭

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (১০০০০ - ৩৭) + ৪১
= ১০০০৪ ।

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার যোগফল ৫২০। এদের প্রথম চারটির গড় ৪৮ এবং শেষ পাঁচটির গড় ৩৮ হলে, পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
পঞ্চম সংখ্যাটি = ৫২০ - {(৪৮ × ৪) + (৩৮ × ৫)}
= ৫২০ - (১৯২ + ১৯০)
= ৫২০ - ৩৮২
= ১৩৮

প্রশ্ন: - (- ২) - ২ + (- ২) - {- (২)} - ২ + ২ - (- ২) = ?

সমাধান:
- (- ২) - ২ + (- ২) - {- (২)} - ২ + ২ - (- ২)
= ২ - ২ - ২ + ২ - ২ + ২ + ২
= ২ + ২ + ২ + ২ - ২ - ২ - ২
= ৮ - ৬
= ২

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ, সা, গু, অন্তর ও ল, সা, গু যথাক্রমে ১২, ২৪ ও ১৮০ হলে  সংখ্যা দুটি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
গ.সা.গু = ১২
ল.সা.গু = ১৮০
দুটি সংখ্যার অন্তর = ২৪

আমরা জানি, 
 দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু × ল.সা.গু
= ১২ × ১৮০
= ২১৬০ 

ধরি, সংখ্যা দুটি  ১২x এবং ১২y  ;  [যেখানে x ও y সহমৌলিক]

শর্তমতে, 
১২x × ১২y = ২১৬০
⇒ ১৪৪xy = ২১৬০
⇒ xy = ২১৬০/১৪৪ 
∴ xy = ১৫ ......(১) 

আবার, সংখ্যাটির অন্তরফল = ২৪ 
১২y - ১২x = ২৪ 
⇒ ১২(y - x) = ২৪ 
⇒ y - x = ২৪/১২ 
⇒ y - x = ২ 
∴ y = ২ + x .........(২) 

(১) নং হতে পাই, 
xy = ১৫
⇒ x(২ + x) = ১৫ 
⇒ x^২ + ২x - ১৫ = ০ 
⇒ x^২ + ৫x - ৩x - ১৫ = ০ 
⇒ x(x + ৫) - ৩(x + ৫) = ০ 
⇒ (x + ৫)(x - ৩) = ০ 

∴ x = - ৫ এবং x = ৩ 

(২) নং হতে পাই,
∴y = ২ + x = ২ + ৩ = ৫ 

∴ সংখ্যা দুটি = ১২ × ৩ = ৩৬ এবং ১২  × ৫ = ৬০ 
সুতরাং, সংখ্যা দুটি = ৩৬ এবং ৬০

প্রশ্ন: ১ থেকে ১২ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তাদের গুণফল কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১২ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১ 
∴ গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১ 
= ৬ × ৩৫ × ১১ 
= ২৩১০ ।

প্রশ্ন: ০.২ × ৪.২৫ × ৬.৪ = ?

সমাধান:
০.২ × ৪.২৫ × ৬.৪
= (২/১০) × (৪২৫/১০০) × (৬৪/১০)
= (২ × ৪২৫ × ৬৪) ÷ (১০ × ১০০ × ১০)
= ৫৪৪০০ ÷ ১০০০০
= ৫.৪৪

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে বড়?

সমাধান:
প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিক আকারে প্রকাশ করি:

৫/৮ = ০.৬২৫
২/৩ = ০.৬৬৬........
৩/৪ = ০.৭৫
৭/৮ = ০.৮৭৫

∴ তুলনা করলে দেখা যায়,
৭/৮ >  ৩/৪  > ২/৩ > ৫/৮

∴ ৭/৮ ভগ্নাংশটি সবচেয়ে বড়।

প্রশ্ন:


সমাধান: 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা (Rational Number) হলো এমন সংখ্যা, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়-
p/q, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা এবং q ≠ 0.

ক) ০.১২
০.১২ = ১২/১০০ = ৩/২৫
এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) √৭২
√৭২ = √(36×2) = 6√2
√2 অমূলদ সংখ্যা, তাই 6√2  অমূলদ সংখ্যা।
গ) √৪৯
√৪৯ = ৭
এটি একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √২৫
√২৫ = ৫
এটিও একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৮৮৮ থেকে যত ছোট, ৬৬৬ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
৮৮৮ - ক = ক - ৬৬৬
⇒ ৮৮৮ + ৬৬৬ = ক + ক
⇒ ১৫৫৪ = ২ক
⇒ ক = ১৫৫৪/২
∴ ক = ৭৭৭

অতএব, সংখ্যাটি = ৭৭৭

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ৩/১০। একটি ভগ্নাংশ ৩/৫ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ৩/১০
একটি ভগ্নাংশ = ৩/৫

অপর ভগ্নাংশ = (৩/১০) ÷ (৩/৫)
= (৩/১০) × (৫/৩)
= ১৫/৩০
= ১/২

প্রশ্ন: ৫ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল হবে-

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা:
মৌলিক সংখ্যা হলো ১-এর চেয়ে বড় এমন স্বাভাবিক সংখ্যা, যার কেবলমাত্র দুটি উৎপাদক থাকে- ১ এবং সংখ্যাটি নিজে।
অর্থাৎ, যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
যেমন, ২, ৩, ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি হলো মৌলিক সংখ্যা।

এখন, 
৫ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংথ্যাগুলো হলো ৫ ও ৭।
সুতরাং এদের গুনফল = ৫ × ৭ = ৩৫

প্রশ্ন: ১৯৪৪ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

​সমাধান:
​১৯৪৪ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করে পাই,
​১৯৪৪ = ২ × ২ × ২ ×৩ × ৩ × ৩ × ৩ × ৩
​= ২^৩ × ৩^৫ 

​​একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে তার মৌলিক গুণনীয়কের সূচক (exponent) জোড় সংখ্যা হতে হয়।

​এখানে ২ ও ৩ উভয়ের সূচকই বিজোড় সংখ্যা।
​তাই পূর্ণবর্গ করতে প্রয়োজন = ২ × ৩ = ৬

​সুতরাং, ১৯৪৪ সংখ্যাটিকে (২ × ৩) বা ৬ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
১৯৪৪ × ৬ = ১১৬৬৪ = ১০৮^২

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তাদের গুণফল কত?

সমাধান:
১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩, ৫, ৭ 
∴ গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ 
= ৬ × ৩৫ 
= ২১০

প্রশ্ন: পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০
তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯

∴ নির্ণেয় অন্তর = ১০০০০ - ৯৯৯
= ৯০০১

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ২৩৫ থেকে যত ছোট, ১৬৫ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি
সংখ্যাটি = ক
তাহলে, 
২৩৫ - ক = ক - ১৬৫
⇒ ২ক = ২৩৫ + ১৬৫
⇒ ২ক = ৪০০
⇒ ক = ৪০০/২
∴ ক = ২০০

সঠিক উত্তর গ) ২০০

শর্টকাট:
সংখ্যাটি = (২৩৫ + ১৬৫)/২ = ৪০০/২ = ২০০

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট ম্যাচে হাসান প্রথম তিন ইনিংসে যথাক্রমে ৪৫, ৫২ ও ৬০ রান করেন। চতুর্থ ইনিংসে তাকে কত রান করতে হবে যেন তার গড় রান ৫৫ হয়?

সমাধান:
ধরি, চতুর্থ ইনিংসে রান করতে হবে = x

প্রশ্নমতে,
(৪৫ + ৫২ + ৬০ + x)/৪ = ৫৫
বা, (১৫৭ + x)/৪ = ৫৫
বা, ১৫৭ + x = ২২০
বা, x = ২২০ - ১৫৭
∴ x = ৬৩

∴ চতুর্থ ইনিংসে তাকে ৬৩ রান করতে হবে।

প্রশ্ন: সপ্তম শ্রেণির বার্ষিক পরীক্ষায় রাকিবের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৬৫, ৮০ ও ৭০ । চতুর্থ পরীক্ষায় তাকে কত নম্বর পেতে হবে যেন তার গড় প্রাপ্ত নম্বর ৭৫ হয়? 

সমাধান: 
ধরি,
চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ক 

প্রশ্নমতে, 
(৬৫ + ৮০ + ৭০ + ক)/৪ = ৭৫ 
বা, ২১৫ + ক = ৩০০ 
বা, ক = ৩০০ - ২১৫
∴ ক = ৮৫ 

∴ চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ৮৫ ।

প্রশ্ন: ১২০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১২০ এর মৌলিক গুণনীয়ক রূপ বের করি:
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^১ × ৫^১

এখানে ২ এর সূচক ৩, ৩ এর সূচক ১ এবং ৫ এর সূচক ১।

ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র:
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে সেটিই ভাজক সংখ্যা।
∴ ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ২ × ২
= ১৬
অর্থাৎ, ১২০ এর মোট ১৬টি ভাজক আছে।