বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: পিতা ও তার দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩০ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২১ বছর হলে, পিতার বয়স কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় = ৩০ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (৩০ × ৩) বছর
= ৯০ বছর 

আবার, 
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২১ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (২১ × ২) বছর 
= ৪২ বছর 

∴ পিতার বয়স = (৯০ - ৪২) বছর 
= ৪৮ বছর।

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮০ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর ৭৫। তাদের মধ্যে ৫০ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর ৭৮ হলে, বাকি শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৮০
মোট গড় = ৭৫
∴ ৮০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = ৭৫ × ৮০ = ৬০০০

৫০ জন শিক্ষার্থীর গড় = ৭৮
∴ ৫০ জনের মোট নম্বর = ৭৮ × ৫০ = ৩৯০০

বাকি শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৮০ - ৫০ = ৩০
∴ বাকি শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = ৬০০০ - ৩৯০০ = ২১০০

∴ বাকি শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর = ২১০০ ÷ ৩০ = ৭০

প্রশ্ন: ১/২, ৫/৬, ৩/৪, ৫/১২ ভগ্নাংশগুলোর গড় কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোর সমষ্টি = ১/২ + ৫/৬+ ৩/৪ + ৫/১২
= (৬ + ১০ + ৯ + ৫)/১২
= ৩০/১২
= ৫/২

∴ ভগ্নাংশগুলোর গড় = (৫/২)/৪
= (৫/২) × (১/৪)
= ৫/৮

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা:
 p/q আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0 , যেমন: √16 = 4, 3/1 = 3, 11/2 = 5.5, 5/3 = 1.666....... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।
- যে কোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়।
- শূন্য, সকল স্বাভাবিক সংখ্যা, ভগ্নাংশ এবং পৌনপুণিক সংখ্যা মূলদ সংখ্যা।

• অমূলদ সংখ্যা:
- যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও ৭ পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
- যেমন: √2 = 1.414213......., √3 = 1.732 ........, √11 = 3.31662........ ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
- কোনো অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।
- অমূলদ সংখ্যাকে একটি মূলদ সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়।

অপশনসমূহ:
(ক) = 15/99 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

(খ) 2/5 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

(গ) √(27/48) = √(9/16) = 3/4 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

(ঘ) √8 = √(4 × 2) = 2√2 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না এবং √2 একটি অমূলদ সংখ্যা। তাই √8 একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
আমরা জানি,  দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
ক) ১০ এবং ১৫: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৫ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

খ) ২১ এবং ২৮: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৭ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

গ) ৯ এবং ১৬:
৯ = ৩ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
৯ এবং ১৬ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক নেই।
∴ ৯, ১৬ সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা।

ঘ) ৬ এবং ২৭: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৩ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো (গ) ৯, ১৬।

প্রশ্ন: চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে কত যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
ধরি চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলো, 
n, n + 1, n + 2, n + 3

∴ তাদের গুণফল = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
= (n² + 3n)(n² + 3n + 2)
= x(x + 2)  ; [ধরি, x = n² + 3n] 
= x² + 2x
= x² + 2x + 1  ; [1 যোগ করে পাই] 
= (x + 1)²  ; যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা

সুতরাং, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। 

প্রশ্ন: R হলো একটি ধনাত্মক সংখ্যা। সংখ্যাটিকে 8 দিয়ে গুণ করে তার বর্গ করা হলো। এখন বর্গটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে তার বর্গমূল করা হলো। বর্গমূলের ফল Q হলে, Q এর মান কত? 

সমাধান:

R কে 8 দিয়ে গুণ করে তার বর্গ করা হলো,

R × 8 = 8R
বর্গ: (8R)² = 64R²

বর্গটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে তার বর্গমূল করা হলো,

ভাগ: 64R² ÷ 4 = 16R²

বর্গমূল: √(16R²) = 4R
তাহলে, Q = 4R

উত্তর: খ) 4R

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
ক) ১১/১৪ = ০.৭৮৫৭ 

খ) ১৭/২১ = ০.৮০৯৫

গ) ৫/৬ = ০.৮৩৩৩

ঘ) ১২/১৫ = ০.৮

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট দলের ১০ জন খেলোয়াড়ের রানের গড় ৩৫। যদি আরও একজন খেলোয়াড় যোগ হয়, তবে দলের মোট রান ৩৯৬ হয়। ১১তম খেলোয়াড়ের রানের গড় কত?

সমাধান:
প্রথমে ১০ জন খেলোয়াড়ের গড় ৩৫।
∴ ১০ জনের মোট রান = ১০ × ৩৫ = ৩৫০

আবার, 
এখন ১১ জনের মোট রান = ৩৯৬

∴ ১১তম খেলোয়াড়ের রান = ৩৯৬ - ৩৫০ = ৪৬

সুতরাং ১১তম খেলোয়াড়ের রান ৪৬

প্রশ্ন: যদি Q একটি মৌলিক সংখ্যা হয়  তাহলে √Q কী হবে?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা অনুসারে, Q কেবলমাত্র 1 এবং Q দ্বারা বিভাজ্য।
আমরা জানি যে, যদি Q একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় √Q​ মূলদ সংখ্যা হয়। 
কিন্তু যেহেতু Q মৌলিক, এটি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
∴ √Q মূলদ সংখ্যা নয়।
যদি Q = 2, 3, 5, 7, 11, 13,… হয়, তবে  √Q​​ একটি অমূলদ সংখ্যা (irrational number)।
কারণ  √Q​​ কখনো ভগ্নাংশ বা পূর্ণসংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

অর্থাৎ √Q একটি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার অংকগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

ক) ৫০৪ ⇒ ৫ + ০ + ৪ = ৯ (বিভাজ্য)
খ) ১৪৭ ⇒ ১ + ৪ + ৭ = ১২ (বিভাজ্য)
গ) ৫১৩ ⇒ ৫ + ১ + ৩ = ৯ (বিভাজ্য)
ঘ) ২৫১ ⇒ ২ + ৫ + ১ = ৮ (৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়)

∴ ২৫১ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

পূর্ণ সংখ্যা (Integers): 
শূন্য সহ সকল ধনাত্বক ও ঋণাত্বক অখণ্ড সংখ্যা সমূহকে পূর্ণ সংখ্যা বলা হয়। 
যেমন: .............., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 .......... ইত্যাদি। সাধারণত পূর্ণ সংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
অর্থাৎ, Z = {.........., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 .......... ইত্যাদি} । 

ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number): 
দুইটি পূর্ণ সংখ্যা p ও q যদি সহমৌলিক হয় এবং q ≠ 0, q ≠ 1 হয় তবে p/q আকারের সংখ্যাকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলা হয়। 
যেমন: 1/2, 2/3, 5/6,- 5/2 ইত্যাদি। 
p < q হলে ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং p > q হলে ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। 
যেমন: 1/3, 2/3, 2/7, ......... ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং 3/2, 5/3, 7/2, 9/4, ............ ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। 

মূলদ সংখ্যা (Rational Number): 
দুইটি পূর্ণ সংখ্যা p ও q এবং q ≠ 0 হলে, আকারের সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। মূলদ সংখ্যার সেটকে সাধারণত Q দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
অর্থাৎ, Q =  {p/q | p,q ∈ Z এবং q ≠ 0, p ও q সহমৌলিক} । 

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): 
যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না তাদেরকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। অমূলদ সংখ্যার সেটকে সাধারণত Q' দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
যেমন: π, √2, √3, √(5/2) ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: a ও b দুইটি বিজোড় সংখ্যা। নিচের কোন সংখ্যাটি জোড়?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a ও b উভয়ই বিজোড় সংখ্যা।

ধরি, a = 1 এবং b = 3 (উভয়ই বিজোড়)

এখন, প্রতিটি অপশনে মান বসাই:

ক) ab = 1 × 3 = 3 (বিজোড়)

খ) b + 2a + 2 = 3 + 2(1) + 2 = 3 + 2 + 2 = 7 (বিজোড়)

গ) a + b + 1 = 1 + 3 + 1 = 5 (বিজোড়)

ঘ) 2a + 4b = 2(1) + 4(3) = 2 + 12 = 14 (জোড়)

∴ সঠিক উত্তর: ঘ) 2a + 4b

প্রশ্ন: একজন ছাত্রের প্রথম পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বর ৮৫। তৃতীয় পরীক্ষার পর তার নম্বরের গড় ৮৭ থেকে ৮২ হয়। ২য় ও ৩য় পরীক্ষার ফলাফলের গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ছাত্রটির প্রথম পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ৮৫
এবং তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বরের গড় = ৮২

∴ তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত মোট নম্বর = (৮২ × ৩) = ২৪৬

সুতরাং, ২য় ও ৩য় পরীক্ষার প্রাপ্ত মোট নম্বর = (২৪৬ - ৮৫) = ১৬১

∴ ২য় ও ৩য় পরীক্ষার ফলাফলের গড় = ১৬১ / ২ = ৮০.৫

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ২১৬ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম সংখ্যাটি = ক
সুতরাং, দ্বিতীয় সংখ্যাটি = (ক + ১)
এবং, তৃতীয় সংখ্যাটি = (ক + ২)

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) = ২১৬
বা, ৩ক + ৩ = ২১৬
বা, ৩ক = ২১৬ - ৩
বা, ৩ক = ২১৩
বা, ক = ২১৩ / ৩
∴ ক = ৭১

∴ বড় সংখ্যাটি হলো= ক + ২ = ৭১ + ২ = ৭৩

প্রশ্ন: ০, ১, ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত? 

সমাধান: 
০, ১, ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৫৩২১০
০, ১, ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০২৩৫

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল = (৫৩২১০ - ১০২৩৫) 
= ৪২৯৭৫। 

প্রশ্ন: ৮ জনের একটি দলের ৫৬ কেজি ওজনের এক জনের পরিবর্তে অপর একজন যুক্ত হলে, গড় ওজন ২.৫ কেজি হ্রাস পায়। নতুন ব্যক্তিটির  ওজন কত? 

সমাধান:
ধরি, 
৮ জন গড় ওজন = ক কেজি 
৮ জন মোট ওজন = ৮ক কেজি 
আবার, 
নতুন ব্যক্তির ওজন = খ কেজি হলে, 
নতুন ৮ জনের গড় ওজন = (ক - ২.৫) কেজি 
∴ নতুন ৮ জনের মোট ওজন = {(ক - ২.৫) × ৮} কেজি 

প্রশ্নমতে, 
৮ক - ৫৬ + খ = {(ক - ২.৫) × ৮}
⇒ ৮ক - ৫৬ + খ = ৮ক - ২০
⇒ ৮ক + খ - ৮ক = - ২০ + ৫৬ 
∴ খ = ৩৬ 

∴ নতুন ব্যক্তির ওজন = ৩৬ কেজি ।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/৪ অংশ মাটির নিচে, ১/২ অংশ পানির মধ্যে এবং বাকি ৩ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
খুটির দৈর্ঘ্য = x মিটার 

তাহলে,
মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (১/৪ + ১/২ ) × x অংশ = (৩x/৪) অংশ 
এবং পানির উপরে আছে = (১ - ৩x/৪) = (x/৪) অংশ 

প্রশ্নমতে,
x/৪ = ৩
∴ x = ১২ 

∴ খুটির দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের পাঁচগুণ। সংখ্যা তিনটির গড় কত?

সমাধান:
ধরি তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো: ক - ১, ক, ক + ১
গুণফল = (ক - ১) × ক × (ক + ১)

যোগফল = (ক - ১) + ক + (ক + ১) = ৩ক

প্রশ্নমতে,
(ক - ১) × ক × (ক + ১) = ৫ × ৩ক
বা, ক × (ক^২ - ১) = ১৫ক
বা, ক^২ - ১ = ১৫
বা, ক^২ = ১৬
বা, ক = ৪

সুতরাং তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো: ৩, ৪, ৫

তিনটি সংখ্যার গড় = (৩ + ৪ + ৫) ÷ ৩ = ১২ ÷ ৩ = ৪

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৩ তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
​৩০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৩ সেগুলো হলো = ৪৩, ৫৩, ৭৩।

এই সংখ্যাগুলোর সমষ্টি,
= (৪৩ + ৫৩ + ৭৩)
= ১৬৯

অতএব, সংখ্যাগুলোর সমষ্টি হলো ১৬৯।

প্রশ্ন: ছয়টি সংখ্যার গড় 6। যদি প্রত্যেক সংখ্যা থেকে 3 বিয়োগ করা হয়, তবে নতুন সংখ্যাগুলোর গড় কত হবে?

সমাধান: 
ছয়টি সংখ্যার গড় = ৬ 
∴ ছয়টি সংখ্যার সমষ্টি = (৬ × ৬)
= ৩৬

আবার,
প্রত্যেকটি সংখ্যা থেকে ৩ বিয়োগ করা হলে-
ছয়টি সংখ্যার সমষ্টি = {৩৬ - (৬ × ৩)}
= (৩৬ - ১৮)
= ১৮

∴ নতুন সংখ্যাগুলোর গড় = ১৮/৬
= ৩

প্রশ্ন: ১৪৭৫ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ১৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
১৯) ১৪৭৫ ( ৭৭
       ১৩৩ 
_____________
         ১৪৫
         ১৩৩ 
______________
           ১২  

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৯ - ১২ = ৭

সমাধান:
(এভাবে বছরের সাথে মাসও থাকলে একসাথে গুণ করে মাসগুলোকে বছর বানাতে হবে)

২০ জনের মোট বয়স = ২০ × ১২ = ২৪০ বছর।

নতুন ৪ জন সহ ২০ + ৪ = ২৪ জনের মোট বয়স = ২৪ × (১১ বছর ৮ মাস) [যেহেতু নতুন ৪ জন ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় ৪ মাস কমে]

= ২৬৪ বছর ১৯২ মাস 
 ২৬৪ বছর + ১৬ বছর (১৯২ মাসে ১৬ বছর হয়)
= ২৮০ বছর 

এখন নতুন ৪ জনের বয়স = ২৮০ - ২৪০ = ৪০ বছর।

সুতরাং নতুন ৪ জনের গড় বয়স = ৪০ ÷ ৪ = ১০ বছর

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪৫ থেকে যত বেশি ৮৫ থেকে তত কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৪৫ = ৮৫ - ক
⇒ ক + ক = ৮৫ + ৪৫
⇒ ২ক = ১৩০
⇒ ক = ১৩০/২ 
⇒ ক = ৬৫

∴ সংখ্যাটি = ৬৫

প্রশ্ন: প্রথম ২৫ টি জোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম ২৫ টি জোড় সংখ্যা:
২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪........

আমরা জানি,
প্রথম n টি জোড় সংখ্যার যোগফল = n(n + ১)

এখানে, n = ২৫
∴ যোগফল = ২৫(২৫ + ১)
= ২৫ × ২৬
= ৬৫০

∴ প্রথম ২৫টি জোড় সংখ্যার যোগফল = ৬৫০

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১২ এবং ল.সা.গু. ১৮০। একটি সংখ্যা অপরটির ৩/৫ গুণ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গ.সা.গু. = ১২
ল.সা.গু. = ১৮০

ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক 
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ৩ক/৫

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ক × ৩ক/৫ = ১২ × ১৮০ 
⇒ ৩ক^২/৫ = ২১৬০
⇒ ক^২ = (২১৬০ × ৫)/৩ 
⇒ ক^২ = ৭২০ × ৫
⇒ ক = √ ৩৬০০ 
∴ ক = ৬০ 

সুতরাং, বড় সংখ্যা = ৬০
এবং ছোট সংখ্যা = (৩/৫) × ৬০ = ৩৬

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোকে তুলনা করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো সেগুলোকে দশমিকে রূপান্তর করা।
 ২/৫ = ০.৪
 ১/২ = ০.৫
 ৪/৫ = ০.৮
 ৪/৯ = ০.৪৪...

দশমিক মানগুলো তুলনা করলে আমরা দেখতে পাই যে ০.৮ সবচেয়ে বড়।

সুতরাং, ৪/৫ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

প্রশ্ন: ২৫ ইনিংসে গড় ৫০ রান। সর্বোচ্চ স্কোর সর্বনিম্ন স্কোরের চেয়ে ১৯০ রান বেশি। দুটি ইনিংস বাদ দিলে বাকি ২৩ ইনিংসের গড় ৪৬ রান হয়। সর্বোচ্চ স্কোর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
২৫ ইনিংসে গড় ৫০ রান
∴ ২৫ ইনিংসের মোট = গড় × ইনিংস সংখ্যা
= ৫০ × ২৫
= ১২৫০ রান

আবার, 
দুটি ইনিংস বাদ দিলে বাকি ২৩ ইনিংসের গড় ৪৬ রান
২৩ ইনিংসের মোট = ৪৬ × ২৩ = ১০৫৮ রান

∴ দুটি বিশেষ ইনিংসের (সর্বোচ্চ + সর্বনিম্ন) মোট = ১২৫০ - ১০৫৮ = ১৯২ রান

ধরি,
সর্বনিম্ন স্কোর = ক রান
সর্বোচ্চ স্কোর = ক + ১৯০ রান
তাহলে:
ক + (ক + ১৯০) = ১৯২
⇒ ২ক + ১৯০ = ১৯২
⇒ ২ক = ১৯২ - ১৯০
⇒ ২ক = ২
⇒ ক = ১

সুতরাং সর্বোচ্চ স্কোর = ক + ১৯০
= ১ + ১৯০
= ১৯১ রান

অতএব, খেলোয়াড়ের সর্বোচ্চ স্কোর ১৯১ রান 

প্রশ্ন:  (০.০০২)/(০.১ × ০.২) = কত? 

সমাধান:
(০.০০২)/(০.১ × ০.২) 
= (০.০০২)/(০.০২)
= (২ × ১০০)/(২ × ১০০০)
= ১/১০
= ০.১