লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বিন্যাস ও সমাবেশ

মোট প্রশ্ন১,৭৫০এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বিন্যাস ও সমাবেশ

PrepBank · পাতা ৬ / ১৮ · ৫০১–৬০০ / ১,৭৫০

৫০১.
'INTERNET' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'HOUSE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? 
  1. ক
    28 গুণ
  2. খ
    42 গুণ
  3. গ
    48 গুণ
  4. ঘ
    52 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'INTERNET' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'HOUSE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? 

সমাধান: 
INTERNET শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 8 টি যার মধ্যে, N আছে 2 টি, T আছে 2 টি এবং E আছে 2 টি। 
∴ INTERNET শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! × 2! × 2!)
= 5040 

আবার, 
HOUSE শব্দে মোট বর্ণ আছে = 5 টি যার সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন। 
∴ HOUSE শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120 

∴ 'INTERNET' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'HOUSE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 5040/120
= 42 গুণ ।
৫০২.
'DRIVER' শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যাবে যেন স্বরবর্ণগুলো একসাথে থাকে?
  1. ক
    360
  2. খ
    720
  3. গ
    180
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'DRIVER' শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যাবে যেন স্বরবর্ণগুলো একসাথে থাকে?

সমাধান:
স্বরবর্ণ “IE” কে একটি বর্ণ ধরে

D, R, V, R, এবং IE ৫টি বর্ণ যেখানে R আছে 2 বার

৫টি সাজানোর উপায় = 5!/2! = 60
২টি স্বরবর্ণ সাজানোর উপায় 2! = 2

মোট সাজানোর উপায় = 60 × 2 = 120
৫০৩.
একটি অফিসে ১০ জন পুরুষ এবং ৫ জন মহিলা কর্মচারী আছেন। এদের মধ্য থেকে ৭ সদস্যের একটি প্রজেক্ট টিম কতভাবে গঠন করা যায়, যেখানে অন্তত ৩ জন মহিলা কর্মচারী থাকবেন?
  1. ক
    ২৭৩২
  2. খ
    ২৭৪৫
  3. গ
    ২৭৫৩
  4. ঘ
    ২৭৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অফিসে ১০ জন পুরুষ এবং ৫ জন মহিলা কর্মচারী আছেন। এদের মধ্য থেকে ৭ সদস্যের একটি প্রজেক্ট টিম কতভাবে গঠন করা যায়, যেখানে অন্তত ৩ জন মহিলা কর্মচারী থাকবেন?

সমাধান:
৪ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা = ১০C৪ × ৫C৩ = ২১০ × ১০ = ২১০০
৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলা = ১০C৩ × ৫C৪ = ১২০ × ৫ = ৬০০
২ জন পুরুষ ও ৫ জন মহিলা = ১০C২ × ৫C৫ = ৪৫ × ১ = ৪৫

সুতরাং, মোট উপায় = (২১০০ + ৬০০ + ৪৫)
= ২৭৪৫
৫০৪.
9, 8, 2, 5 এই চারটি সংখ্যা একবার করে ব্যবহার করে 8000 থেকে বড় কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9, 8, 2, 5 এই চারটি সংখ্যা একবার করে ব্যবহার করে 8000 থেকে বড় কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
8000 থেকে বড় হতে হলে প্রথম ঘরে অবশ্যই 8, 9 থাকতে হবে।
প্রথম ঘরে এই দুই সংখ্যার যেকোনো একটি রাখ যাবে 2p1 = 2 উপায়ে।
বাকি 3 ঘর সাজানো যাবে 3! = 6 ভাবে।

∴ মোট সাজানো যাবে = 6 × 2 = 12 উপায়ে যাতে সংখ্যাটি 8000 হতে বড় হয়।
৫০৫.
'FASHION' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ক) 720
  2. খ
    খ) 360
  3. গ
    গ) 180
  4. ঘ
    ঘ) 340
ব্যাখ্যা
'FASHION' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
Vowel আছে 3টি 
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel  তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3! 
                                                                           =120 × 6 
                                                                            = 720
৫০৬.
৮ জন বাংলাদেশি, ৪ জন আমেরিকান ও ৪ জন ইংরেজ একটি সারিতে কত উপায়ে বসতে পারবে যেন একই জাতির মানুষ একসাথে বসবে?
  1. ক
    ৩!৮!৪!৪!
  2. খ
    ৩!৮!
  3. গ
    ৪!৪!
  4. ঘ
    ৮!৪!৪!
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮ জন বাংলাদেশি, ৪ জন আমেরিকান ও ৪ জন ইংরেজ একটি সারিতে কত উপায়ে বসতে পারবে যেন একই জাতির মানুষ একসাথে বসবে?

সমাধান:
৩টি জাতি জাতিগতভাবে বসতে পারে ৩! উপায়ে।
৮ জন বাংলাদেশি নিজেদের মাঝে বসতে পারে ৮! উপায়ে
৪ জন আমেরিকান নিজেদের মাঝে বসতে পারে ৪! উপায়ে
৪ জন ইংরেজ নিজেদের মাঝে বসতে পারে ৪! উপায়ে

∴ মোট বসার উপায় ৩!৮!৪!৪!
৫০৭.
FREEDOM শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যাবে?
  1. ক
    2480
  2. খ
    2520
  3. গ
    2420
  4. ঘ
    2540
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: FREEDOM শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যাবে?

সমাধান:
FREEDOM শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি 
এখানে,
E আছে 2 টি 
বাকি বর্ণগুলো আছে 1 টি করে 

বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 
= 2520
৫০৮.
n স্বাভাবিক সংখ্যা হলে (n + 1)! = ?
  1. ক
    ক) n! + 1!
  2. খ
    খ) (n + 1)n!
  3. গ
    গ) (n!)(1!)
  4. ঘ
    ঘ) (n + 1)(n - 1)!
ব্যাখ্যা
(n + 1)! = (n + 1)n!
৫০৯.
nC4 ÷ nC5 + 1 = 1/2 হলে, n = কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    - 6
  3. গ
    14
  4. ঘ
    - 14
ব্যাখ্যা
nC4 ÷ nC5 + 1 = 1/2 
বা, 5/(n - 4) + 1 = 1/2 [  nC4 ÷ nC5 = 5/(n - 4)  ]
বা, 5/(n - 4) = 1/2 - 1 
বা, 5/(n - 4) = - 1/2
বা, n - 4 = - 10
বা, n = - 10 + 4
∴ n = - 6
৫১০.
একটি খেলার দুই দলের মোট ২২ জন খেলোয়ার পরস্পরের সাথে খেলার শুরুতে এবং শেষে করমর্দন করে। মোট কত বার করমর্দন সম্পন্ন হয়?
  1. ক
    462
  2. খ
    448
  3. গ
    412
  4. ঘ
    406
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খেলার দুই দলের মোট ২২ জন খেলোয়ার পরস্পরের সাথে খেলার শুরুতে এবং শেষে করমর্দন করে। মোট কত বার করমর্দন সম্পন্ন হয়?

সমাধান:
∴ খেলার শুরুতে করমর্দন সংখ্যা = 22C2
= (22 × 21)/2
= 231

∴ খেলার শেষে করমর্দন সংখ্যা = 22C2
= (22 × 21)/2
= 231

∴ মোট করমর্দন সম্পন্ন হয় = (231 + 231) = 462
৫১১.
10 টি বইয়ের মধ্য থেকে 5 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?
  1. ক
    42
  2. খ
    56
  3. গ
    84
  4. ঘ
    112
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্য থেকে 5 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে তাই মোট সংখ্যা হবে = (10 - 2) = 8 টি

এখন,
8 টি বইয়ের মধ্য থেকে 5 টি বই বাছাই করার উপায় সংখ্যা,
= 8C5 
= 8!/{5! × (8 - 5)!}
= 8!/(5! × 3!)
= (8 × 7 × 6 × 5!)/(5! × 3!)
= (8 × 7 × 6)/(3 × 2)
= 56
৫১২.
'ENGLAND' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'PANAMA' শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যস্ত সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    8
  2. খ
    12
  3. গ
    15
  4. ঘ
    21
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ENGLAND' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'PANAMA' শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যস্ত সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
ENGLAND শব্দে মোট বর্ণ = 7 টি
এর মধ্যে N = 2 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/2
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2520

আবার, PANAMA শব্দে মোট বর্ণ = 6 টি
এর মধ্যে A = 3 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 6 × 5 × 4 = 120

∴ ENGLAND শব্দের বিন্যাস সংখ্যা PANAMA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার 2520/120 = 21 গুণ।

৫১৩.
তিনজন ভদ্রলোক এবং তিনজন ভদ্রমহিলা দুটি শূন্যপদের জন্য প্রার্থী। একজন ভোটারকে দুজন প্রার্থীর জন্য ভোট দিতে হবে। তাহলে একজন ভোটার কতভাবে ভোট দিতে পারে?
  1. ক
    ৪৫ উপায়ে
  2. খ
    ৩০ উপায়ে
  3. গ
    ৬০ উপায়ে
  4. ঘ
    ১৫ উপায়ে
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনজন ভদ্রলোক এবং তিনজন ভদ্রমহিলা দুটি শূন্যপদের জন্য প্রার্থী। একজন ভোটারকে দুজন প্রার্থীর জন্য ভোট দিতে হবে। তাহলে একজন ভোটার কতভাবে ভোট দিতে পারে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ভদ্রলোক (পুরুষ) = ৩ জন
ভদ্রমহিলা (মহিলা) = ৩ জন
মোট প্রার্থী = ৬ জন
ভোট দিতে হবে = ২ জন প্রার্থীকে

মোট উপায় = ৬C২ 
= ৬!/২!(৬ - ২)!
= (৬ × ৫ × ৪!) /(২ × ৪!) 
= ১৫ 

অর্থাৎ, একজন ভোটার ১৫ উপায়ে ভোট দিতে পারবে। 

৫১৪.
১৫ জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নিদিষ্ট একজন অধিনায়কসহ ১১ জনের একটি ফুটবল দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    ৯০০১
  2. খ
    ১০১০
  3. গ
    ১০০১
  4. ঘ
    ১১০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫ জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নিদিষ্ট একজন অধিনায়কসহ ১১ জনের একটি ফুটবল দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু একজন নির্দিষ্ট খেলোয়াড়কে অধিনায়ক হিসেবে বাছাই করতে হবে, তাই অধিনায়কের জন্য ১টি উপায় আছে।
অধিনায়ক বাদে অবশিষ্ট খেলোয়াড় সংখ্যা = ১৫ - ১ = ১৪ জন
দলে অবশিষ্ট খেলোয়াড় সংখ্যা = ১১ - ১ = ১০ জন
তাই ১৪ জন থেকে ১০ জন বাছাই করার উপায় সংখ্যা,
১৪C১০ = ১৪!/(১৪ - ১০)! × ১০!
= ১৪!/(১০! × ৪!)
= (১৪ × ১৩ × ১২ × ১১ × ১০!)/(১০! × ৪ × ৩ × ২ × ১)
= ৭ × ১৩ × ১১
= ১০০১
∴ ১০০১ বাছাই করা যাবে
৫১৫.
বাড়ি থেকে স্কুল যাওয়ার ৪টি পথ এবং স্কুল থেকে কোচিং যাওয়ার ৩টি পথ আছে। বাড়ি থেকে কোচিং পর্যন্ত মোট কতটি ভিন্ন পথ আছে? 
  1. ক
    ২৪টি
  2. খ
    ৩২টি
  3. গ
    ৪টি
  4. ঘ
    ১২টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাড়ি থেকে স্কুল যাওয়ার ৪টি পথ এবং স্কুল থেকে কোচিং যাওয়ার ৩টি পথ আছে। বাড়ি থেকে কোচিং পর্যন্ত মোট কতটি ভিন্ন পথ আছে?

সমাধান:
বাড়ি থেকে স্কুল যাওয়ার পথ আছে = ৪টি 
এবং স্কুল থেকে কোচিং যাওয়ার পথ আছে = ৩টি 

∴ মোট ভিন্ন পথের সংখ্যা = ৪ × ৩ = ১২টি

সুতরাং, বাড়ি থেকে কোচিং পর্যন্ত মোট ১২টি ভিন্ন পথ আছে।

৫১৬.
'LEADING' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ক) 730
  2. খ
    খ) 720
  3. গ
    গ) 1440
  4. ঘ
    ঘ) 1460
ব্যাখ্যা
'LEADING' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
Vowel আছে 3টি 
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel  তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3! 
                                                                           =120 × 6 
                                                                            = 720
৫১৭.
ছয় বাহু বিশিষ্ট বহুভূজে কয়টি কর্ণ আছে?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ছয় বাহু বিশিষ্ট বহুভূজে কয়টি কর্ণ আছে?

সমাধান: 
বিহুভূজের বাহু n = 6 

কর্ণের সংখ্যা = 6c2 - 6 
= 15 - 6
= 9 
৫১৮.
৩ জন ব্যক্তিকে ৬টি সিটের সারিতে বসানোর কতটা উপায় রয়েছে?(একটি সিটে একজনই বসবে)
  1. ক
    ১০০ উপায়
  2. খ
    ১২০ উপায়
  3. গ
    ১৪০ উপায়
  4. ঘ
    ১৬০ উপায়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ জন ব্যক্তিকে ৬টি সিটের সারিতে বসানোর কতটা উপায় রয়েছে? (একটি সিটে একজনই বসবে)

সমাধান:
প্রথম ব্যক্তি ৬টি উপায়ে বসতে পারে, দ্বিতীয় ব্যক্তি ৫টি উপায়ে বসতে পারে এবং তৃতীয় ব্যক্তি ৪টি উপায়ে বসতে পারে।

এখন, মৌলিক নিয়ম অনুযায়ী, তিনটি ব্যক্তি ৬টি সিটে এক সারিতে বসানোর মোট উপায় হবে (৬ × ৫ × ৪) উপায়
= ১২০ উপায়।
৫১৯.
15 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে 11 জনকে নিয়ে একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে। কিন্তু প্রথম সারির 6 ব্যাটসম্যানের মধ্যে অবশ্যই 4 জন কে নিয়ে কত উপায়ে টিম গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) 224 উপায়ে
  2. খ
    খ) 310 উপায়ে
  3. গ
    গ) 460 উপায়ে
  4. ঘ
    ঘ) 540 উপায়ে
ব্যাখ্যা

প্রথম 6 জন থেকে 4 জন নিয়ে টিম গঠন করা যাবে = 6C4
= 6!/(4! × 2!)
= 15 উপায়ে।

পরের 9 জন থেকে 7 জন নিয়ে টিম গঠন করা যাবে = 9C7
= 9!/(7! × 2!)
= 36 উপায়ে।

টিম গঠন করা যাবে = 6C4 × 9C7
= 15×36
= 540 উপায়ে।

৫২০.
একটি হল রুমের ৫ টি দরজা রয়েছে। এক ব্যক্তি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন? 
  1. ক
    ১৬
  2. খ
    ২৪
  3. গ
    ২০
  4. ঘ
    ৮৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি হল রুমের ৫ টি দরজা রয়েছে। এক ব্যক্তি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন? 
 
সমাধান: 
যেহেতু অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে, তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকবে সে দরজা দিয়ে বের হতে পারবে না। 
অর্থাৎ, ঢুকার সময় দরজা সংখ্যা ৫ টি এবং বের হওয়ার সময় দরজা সংখ্যা ৪ টি
∴ উপায় সংখ্যা = ৫ × ৪
= ২০  । 
৫২১.
0, 7, 2, 4, 5, 6 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে? 
  1. ক
    ক) 280
  2. খ
    খ) 300
  3. গ
    গ) 320
  4. ঘ
    ঘ) 340
ব্যাখ্যা
এখানে, 
মোট অঙ্ক সংখ্যা 6
6টি অঙ্ক থেকে 4টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত  সংখ্যা = 6P4 
                                                                    = 360
0 কে প্রথমে রেখে,
5টি অঙ্ক থেকে 3টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত  সংখ্যা = 5P3
                                                                   = 5!/(5 - 3)!
                                                                   = 60 

অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায় = 360 - 60 = 300
৫২২.
একটি পার্টিতে ১৮ জন অতিথি আছে। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সঙ্গে একবার করে করমর্দন করে। মোট করমর্দনের সংখ্যা কত?
  1. ক
    ১০৫
  2. খ
    ১৮৯
  3. গ
    ২২৫
  4. ঘ
    ১৫৩
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পার্টিতে ১৮ জন অতিথি আছে। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সঙ্গে একবার করে করমর্দন করে। মোট করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট করমর্দনের সংখ্যা = ১৮C২
= ১৮!/২!(১৮ - ২)!
= (১৮ × ১৭ × ১৬!)/(২ × ১৬!)
= ৯ × ১৭
= ১৫৩

৫২৩.
একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে ৯টি দল অংশগ্রহণ করেছে। একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করা যাবে?
  1. ক
    ১৮টি
  2. খ
    ২১টি
  3. গ
    ৩৬টি
  4. ঘ
    ৪২টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে ৯টি দল অংশগ্রহণ করেছে। একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করা যাবে? 

সমাধান: 
প্রতিটি খেলার জন্য ৯টি দল থেকে ২টি দল নির্বাচন করতে হবে 

মোট খেলার সংখ্যা = ৯C২ = ৩৬
৫২৪.
একটি দৌড় প্রতিযোগিতায় 12 জন প্রতিযোগীর প্রত্যেকে অন্য একজনের সাথে একবার মাত্র দৌড়াবে। সর্বমোট কতগুলো দৌড় প্রতিযোগিতা হবে?
  1. ক
    ক) 33
  2. খ
    খ) 44
  3. গ
    গ) 22
  4. ঘ
    ঘ) 66
ব্যাখ্যা
যেহেতু, একটি দৌড় প্রতিযোগিতায় 12 জন প্রতিযোগীর প্রত্যেকে অন্য একজনের সাথে একবার মাত্র দৌড়াবে।
প্রত্যেক প্রতিযোগিতায় দুইজন অংশগ্রহণ করবে।
মোট দৌড় প্রতিযোগিতার সংখ্যা = 12C2 = 66
৫২৫.
একটি বিদ্যালয়ের পরিচালনা কমিটিতে 4 জন পুরুষ সদস্য ও 3 জন মহিলা সদস্য আছেন। শুধু পুরুষ অথবা শুধু মহিলা সদস্য নিয়ে 2 সদস্য বিশিষ্ট কতগুলি উপকমিটি গঠন করা যায় তা নির্ণয় করুন।
  1. ক
    3
  2. খ
    6
  3. গ
    7
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ের পরিচালনা কমিটিতে 4 জন পুরুষ সদস্য ও 3 জন মহিলা সদস্য আছেন। শুধু পুরুষ অথবা শুধু মহিলা সদস্য নিয়ে 2 সদস্য বিশিষ্ট কতগুলি উপকমিটি গঠন করা যায় তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি,
পুরুষ সদস্য, a, b, c, d
মহিলা সদস্য p, q, r

শুধু পুরুষ সদস্য নিয়ে 2 সদস্যবিশিষ্ট যে সকল উপকমিটি গঠন করা যায়, তা হলো:
{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b , d} {c,d}, এদের মোট সংখ্যা 6

শুধু মহিলা সদস্য নিয়ে 2 সদস্যবিশিষ্ট সে সকল উপ-কমিটি গঠন করা যায় তাহলো:
{p, q}, {p, r}, {q, r}, এদের মোট সংখ্যা 3

∴ গণনার যোজন বিধি অনুযায়ী শুধু পুরুষ অথবা শুধু মহিলা সদস্য নিয়ে 2 সদস্য বিশিষ্ট উপকমিটি মোট সংখ্যা
6 + 3 = 9
৫২৬.
যদি nC6 = nC8 হয়, তবে nC2 = কত?
  1. ক
    ক) 182
  2. খ
    খ) 81
  3. গ
    গ) 121
  4. ঘ
    ঘ) 91
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি nC6 = nC8 হয়, তবে nC2 = কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
nC6 = nC8
n = 6 + 8 = 14

nC2 = 14C2 =(14 × 13)/(2 × 1)
                   = 91
৫২৭.
Mathematics শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 4989600
  2. খ
    খ) 4979600
  3. গ
    গ) 4969600
  4. ঘ
    ঘ) 4959600
ব্যাখ্যা
Mathematics শব্দটিতে মোট 11 টি অক্ষর আছে। যার মধ্যে 2 টি M, 2 টি A ও 2 টি T
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 11!/(2!2!2!) = 4989600
৫২৮.
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'BEAUTY' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?
  1. ক
    720
  2. খ
    576
  3. গ
    480
  4. ঘ
    624
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'BEAUTY' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
'BEAUTY' শব্দটিতে মোট বর্ণ 6টি যেখানে সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 3টি।
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6! = 720

স্বরবর্ণ তিনটিকে একটি ধরে মোট ভিন্ন বর্ণ 4টি   ;[(EAU), B, T, Y ]
4টি বর্ণকে সাজানো যায় = 4! = 24
স্বরবর্ণ তিনটিকে সাজানো যায় = 3! = 6

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = 24 × 6 = 144

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = 720 - 144 = 576
৫২৯.
5 জন পুরুষ ও 5 জন মহিলা হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে 2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা থাকবে?
  1. ক
    100
  2. খ
    240
  3. গ
    80
  4. ঘ
    320
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 জন পুরুষ ও 5 জন মহিলা হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে 2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা থাকবে?

সমাধান:
5 জন পুরুষ হতে ন্যূনতম পক্ষে 2 জন পুরুষ বেছে নেয়ার উপায় = 5C2 = 10
5 জন মহিলা হতে ন্যূনতম পক্ষে 2জন মহিলা বেছে নেয়ার উপায় = 5C2 = 10

∴ 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করার মোট উপায় = 10 × 10 = 100
৫৩০.
5, 6, 7, 8 দ্বারা গঠিত 7000 এর চেয়ে ছোট সংখ্যা কতটি?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 24
ব্যাখ্যা

7000 এর চেয়ে ছোট সংখ্যা গঠন করতে হলে ১ম অংকটি 5 অথবা 6 দ্বারা পূর্ণ করতে হবে যা 2p1 = 2 উপায়ে সম্পন্ন করা যায়।
অবশিষ্ট 3টি অংক 3! = 6 উপায়ে পূর্ণ করা যায়
∴ 7000 থেকে ছোট সংখ্যা = 2 × 6
= 12 টি

৫৩১.
13 টি বস্তুর একবারে 6 টি নিয়ে কতগুলি বিন্যাসের মধ্যে 3 টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    50600
  2. খ
    70200
  3. গ
    60500
  4. ঘ
    86400
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 13 টি বস্তুর একবারে 6 টি নিয়ে কতগুলি বিন্যাসের মধ্যে 3 টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
6 টি বস্তুর মধ্যে 3 টি বিশেষ বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 6P3 এবং
অবশিষ্ট (13 - 3) টি বা 10 টি বস্তুর মধ্যে (6 - 3) টি বা 3 টি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 10P3

অতএব, নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 6P3 × 10P3
= 120 × 720
= 86400
৫৩২.
‘PERMUTATION’ শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে কত রকমে পুনরায় সাজানো যেতে পারে?
  1. ক
    ক) ৩৬০
  2. খ
    খ) ৭২০
  3. গ
    গ) ৩৫৯
  4. ঘ
    ঘ) ৫৯
ব্যাখ্যা

‘PERMUTATION’ শব্দটিতে ১১ টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে ৫ টি স্বরবর্ণ এবং ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে। স্বরবর্ণ গুলো তাদের স্থান পরিবর্তন করবে না, সুতরাং তাদের স্থান নির্দিষ্ট করে ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা 6!/2! (T = 2)
= 360
‘PERMUTATION’ শব্দটি নিজেই একটা বিন্যাস সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা হবে (360-1) বা, 359

৫৩৩.
ORBITAL শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রতিবার 2টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও একটি স্বরবর্ণ নিয়ে কয়টি শব্দ গঠন করা যায় যেন স্বরবর্ণ সর্বদা মাঝখানে থাকে?
  1. ক
    ক) 210
  2. খ
    খ) 420
  3. গ
    গ) 36
  4. ঘ
    ঘ) 15
ব্যাখ্যা

ORBITAL শব্দে মোট 7টি বর্ণ আছে যাদের 3টি স্বরবর্ণ এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
মধ্যবর্তী স্থানটি স্বরবর্ণ দিয়ে 3p1 = 3 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট দু'টি শূন্যস্থান 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করা যায় = 4p2 = 12 উপায়ে
∴ শব্দ গঠনের মোট উপায় = 3 × 12
= 36 

৫৩৪.
7 জন শিক্ষক ও 5 জন শিক্ষার্থীর মধ্য হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে 2 জন শিক্ষক ও 2 জন শিক্ষার্থী থাকবে?
  1. ক
    190
  2. খ
    210
  3. গ
    250
  4. ঘ
    260
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 জন শিক্ষক ও 5 জন শিক্ষার্থীর মধ্য হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে 2 জন শিক্ষক ও 2 জন শিক্ষার্থী থাকবে?

সমাধান:
7 জন শিক্ষক থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = 7C2
= 7!/(2! × 5!)
= (7 × 6)/(2 × 1)
= 21

5 জন শিক্ষার্থী থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = 5C2
= 5!/(2! × 3!)
= (5 × 4)/(2 × 1)
= 10

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 21 × 10 = 210

৫৩৫.
'TIGER' শব্দের স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    96
  2. খ
    144
  3. গ
    78
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'TIGER' শব্দের স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
TIGER শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে। যেখানে স্বরবর্ণ আছে E, I দুটি।
বেজোড় স্থান আছে ১ম, ৩য়, ৫ম মোট 3টি।

3টি বেজোড় স্থানে 2টি স্বরবর্ণ সাজানো যায় 3P2 = 6 উপায়ে
বাকি 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ স্বরবর্ণের স্থান বাদে বাকি 3 ঘরে সাজানো যায় 3P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 উপায়ে

∴ মোট সাজানোর উপায় = 6 × 6 = 36

৫৩৬.
6 টি জিনিসের মধ্যে ২ টি একজাতীয় ও বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন। ঐ জিনিস গুলো থেকে প্রতিবারে 4 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?
  1. ক
    6
  2. খ
    10
  3. গ
    11
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
এখানে, n = 6, p = 2, r = 4 এবং i = 0,1, 2 (1 থেকে p পর্যন্ত)
6 টি জিনিসের মধ্যে ২ টি একজাতীয় এবং ঐ জিনিস গুলো থেকে প্রতিবারে 4 টি নিয়ে বাছাই করা যায়
= n - pCr-i
= n - pCr-0 + n - pCr-1 + n - pCr-2
= 6 - 2C4-0 + 6 - 2C4-1 + 6 - 2C4-2
= 4C4 + 4C3 + 4C2
= 1 + 4 + 6
= 11
৫৩৭.
5 × nP3 = 4 × (n + 1)P3 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 14
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 × nP3 = 4 × (n + 1)P3 হলে n এর মান কত? 

সমাধান: 
nP3 = n × (n - 1) × (n - 2)
(n+1)P3 = (n + 1) × n × (n - 1)

এখন
5 × n × (n - 1) × (n - 2) = 4 × (n + 1) × n × (n - 1)
⇒ 5(n - 2) = 4(n + 1)
⇒  5n - 10 = 4n + 4
⇒  5n - 4n = 4 + 10
n = 14
৫৩৮.
7 × nP3 = 6 × (n +1)P3 হলে, n এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    10
  3. গ
    14
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 × nP3 = 6 × (n +1)P3 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
7 × nP3 = 6 × (n +1)P3
⇒ 7 × n × (n - 1) × (n - 2) = 6 × (n + 1) × n × (n - 1)
⇒ 7(n - 2) = 6(n + 1)
⇒ 7n - 14 = 6n + 6
⇒ 7n - 6n = 6 + 14
∴ n = 20
৫৩৯.
টেলিফোন ডায়ালে 0 থেকে 9 পর্যন্ত লেখা আছে, যদি খুলনা শহরের টেলিফোন গুলো 5 অংক বিশিষ্ট হয়, তবে ঐ শহরে কত টেলিফোন সংযোগ দেওয়া যাবে?
  1. ক
    ক) 105
  2. খ
    খ) 103
  3. গ
    গ) 10!/5
  4. ঘ
    ঘ) 10!
ব্যাখ্যা

n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবারে r সংখ্যক বস্তু একত্র নিয়ে (যেখানে উপাদান গুলো একাধিক বার ব্যবহার করা যাবে) বিন্যাস nr = 105

৫৪০.
1, 2, 3, 5, 6, 7 অঙ্ক গুলো প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 5000 থেকে 6000 এর মধ্যবর্তী কত গুলো সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) 50
  2. খ
    খ) 49
  3. গ
    গ) 60
  4. ঘ
    ঘ) 59
ব্যাখ্যা

5000 এবং 6000 এর মধ্যবর্তী গঠিত সংখ্যা চার অঙ্ক বিশিষ্ট হবে এবং প্রথমে ৫ দ্বারা শুরু হবে। এখানে মোট ৬ টি ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ক আছে। সুতরাং 5000 এবং 6000 এর মধ্যবর্তী সংখ্যা পেতে প্রথমে ৫ স্থির রেখে বাকী ৩ টি অঙ্ক দ্বারা গঠিত মোট সংখ্যাই নির্ণেয় সংখ্যা।
∴নির্ণেয় সংখ্যা = 5!/(5 - 3)! = 60

৫৪১.
একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? 
  1. ক
    12
  2. খ
    15
  3. গ
    18
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? 

সমাধান: 
একবার খেলার জন্য প্রতিযোগী প্রয়োজন = 2 জন 

∴ 6 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = 6C2
= (6 × 5)/(2 × 1)
= 15
৫৪২.
৬ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলার একটি দল হতে দুইজন পুরুষ ও একজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারের একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ১৫ উপায়ে
  2. খ
    ৪৫ উপায়ে 
  3. গ
    ৩০ উপায়ে
  4. ঘ
    ৯০ উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলার একটি দল হতে দুইজন পুরুষ ও একজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারের একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান: 
৬ জন পুরুষ হতে দুইজন পুরুষ বাছাই করার উপায় = ৬C২ = ১৫টি 
৩ জন মহিলা হতে একজন মহিলা  বাছাই করার উপায় = ৩C১ = ৩টি 

∴ একটি কমিটি গঠন করা যাবে = ১৫ × ৩ উপায়ে 
= ৪৫ উপায়ে 
৫৪৩.
১, ২, ৪, ৫ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ৪০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?
  1. ক
    ৬ টি
  2. খ
    ৮ টি
  3. গ
    ১০ টি
  4. ঘ
    ১২ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১, ২, ৪, ৫ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ৪০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
যদি সংখ্যাটি ৪০০০ অপেক্ষা বড় হয় তবে প্রথম অঙ্কটি অবশ্যই ৪ অথবা ৫ হতে হবে।
প্রথম অঙ্কটি ৪ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

অনুরূপভাবে,
প্রথম অঙ্কটি ৫ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

৪০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা যায় = (৬ + ৬) টি
= ১২ টি
৫৪৪.
'Maturity' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে M থাকবে? 
  1. ক
    ক) 2500 উপায়ে
  2. খ
    খ) 2540 উপায়ে
  3. গ
    গ) 2560 উপায়ে
  4. ঘ
    ঘ) 2520 উপায়ে
ব্যাখ্যা
'Maturity' শব্দটিতে বর্ণ আছে 8টি 
t  = 2 টি

প্রথমে M থাকবে

∴ সাজানো যাবে = 7!/(2!)
                         = 2520 উপায়ে
৫৪৫.
QURBANI শব্দটির বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?
  1. ক
    ক) 620
  2. খ
    খ) 720
  3. গ
    গ) 820
  4. ঘ
    ঘ) 920
ব্যাখ্যা

QURBANI শব্দটিতে 7টি বর্ণ রয়েছে যাদের 3টি স্বরবর্ণ এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
স্বরবর্ণ 3টি একত্রে রাখলে 5টি বর্ণ হয় যাদেরকে 5! উপায়ে সাজানো যায় আবার,
স্বরবর্ণ 3টি নিজেদের মধ্যে 3! উপায়ে সাজানো যায়।
সুতরাং শর্তসাপেক্ষে বর্ণগুলো সাজানোর মোট উপায় = 5! × 3!
= 120 × 6
= 720

৫৪৬.
ঈদগাহে ঈদের নামাজ শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা 45 হলে ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা কত?
  1. ক
    10 জন
  2. খ
    18 জন
  3. গ
    12 জন
  4. ঘ
    9 জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ঈদগাহে ঈদের নামাজ শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা 45 হলে ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, 
নামাজীর সংখ্যা = n

যদি প্রত্যেকে একে অপরের সাথে একবার শুভেচ্ছা জানায়, তবে মোট শুভেচ্ছার সংখ্যা হবে = nCr = nC2 = n!/2!(n - 2)!
= n(n - 1)(n - 2)!/2!(n - 2)! = n(n - 1)/2

প্রশ্নমতে, 
n(n - 1)/2 = 45 
⇒ n2 - n - 90 = 0
⇒ n2 - 10n + 9n - 90 = 0
⇒ n(n - 10) + 9(n - 10) = 0
⇒ (n - 10)(n + 9) = 0
হয়, 
n - 10 = 0
∴ n = 10

অথবা, 
n + 9 = 0
∴ n = - 9   ; [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

সুতরাং, ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা 10 জন। 

৫৪৭.
'APPLIED' শব্দটির বর্ণ গুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    2520
  2. খ
    1260
  3. গ
    5040
  4. ঘ
    2540
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'APPLIED' শব্দটির বর্ণ গুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
'APPLIED' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি,যার মাঝে P আছে  2 টি।

∴ সাজানোর উপায়= 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/(2!)
= 2520

∴ 'APPLIED' শব্দটির বর্ণগুলোকে 2520 প্রকারে সাজানো যায়।
৫৪৮.
5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলি দ্বারা কতগুলি 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে? (অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তির অনুমতি রয়েছে)
  1. ক
    55
  2. খ
    70
  3. গ
    75
  4. ঘ
    85
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলি দ্বারা কতগুলি 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে? (অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তির অনুমতি রয়েছে)

সমাধান:
ধরি,
অঙ্ক 3 টি হল যথাক্রমে H T U (শতক, দশক, একক অঙ্ক)
3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠন করতে
কেবলমাত্র 5, 7, 9 কে একক অঙ্কের স্থানে ব্যবহার করা সম্ভব
শতক এবং দশকের স্থানে 5 টি অঙ্কই ব্যবহার করা সম্ভব

একক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 3
দশক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 5
শতক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 5

3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যার সংখ্যা = 3 × 5 × 5 = 75
∴ 5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলি দ্বারা 75 টি 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে, যদি অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তি সম্ভব হয়।
৫৪৯.
৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ১৬ টি
  2. খ
    ১৮ টি
  3. গ
    ২০ টি
  4. ঘ
    ২৫ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৩ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ৩C১ × ৪C২
= ৩ × ৬
= ১৮ টি উপায়ে। 
৫৫০.
৪, ২, ১, ৩ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ২০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?
  1. ক
    ১২টি
  2. খ
    ১৮টি
  3. গ
    ২৪টি
  4. ঘ
    ৩০টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪, ২, ১, ৩ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ২০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
যদি সংখ্যাটি ২০০০ অপেক্ষা বড় হয় তবে প্রথম অঙ্কটি অবশ্যই ২, ৩ অথবা ৪ হতে হবে।

প্রথম অঙ্কটি ২ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

প্রথম অঙ্কটি ৩ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

অনুরূপভাবে, প্রথম অঙ্কটি ৪ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

∴ ২০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা যায় = (৬ + ৬ + ৬)টি
= ১৮টি
৫৫১.
দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। দুইটি মুদ্রাতেই হেড অথবা দুইটি মুদ্রাতেই টেল আসার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    3/4
  2. খ
    1
  3. গ
    2/3
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। দুইটি মুদ্রাতেই হেড অথবা দুইটি মুদ্রাতেই টেল আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে ঘটনাগুলো ঘটে সেগুলো হলো {HH, HT, TH, TT}
এখানে,
মোট ঘটনা = 4
অনুকূল ঘটনা = {HH, TT} = 2 

∴ দুইটি মুদ্রাতেই হেড অথবা দুইটি মুদ্রাতেই টেল আসার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 2/4
= 1/2
৫৫২.
৭ জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে? 
  1. ক
    ১৮০
  2. খ
    ৩৬০
  3. গ
    ৪২০
  4. ঘ
    ৭২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)! 
∴ ৭ জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (৭ - ১)!
= ৬!
= ৭২০  ।
৫৫৩.
20 জন ছাত্রী থেকে কত ভাবে 3 জন ছাত্রী বাছাই করা যায় যেখানে একজন ছাত্রী সবসময়ই অন্তর্ভূক্ত থাকবে?
  1. ক
    160
  2. খ
    168
  3. গ
    171
  4. ঘ
    175
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 20 জন ছাত্রী থেকে কত ভাবে 3 জন ছাত্রী বাছাই করা যায় যেখানে একজন ছাত্রী সবসময়ই অন্তর্ভূক্ত থাকবে?

সমাধান:
একজন ছাত্রী সবসময়ই অন্তর্ভূক্ত থাকলে মোট 19 জন ছাত্রী থেকে 2 বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই সংখ্যা = 19C2
= (19 × 18)/2!
= 342/2
= 171
৫৫৪.
৭ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা থেকে কত উপায়ে ৫ জন পুরুষ ও ২ জন মহিলা বিশিষ্ট দল তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    ৪৫
  2. খ
    ৯০
  3. গ
    ৬৩
  4. ঘ
    ১২৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা থেকে কত উপায়ে ৫ জন পুরুষ ও ২ জন মহিলা বিশিষ্ট দল তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
৭ জন পুরুষ থেকে ৫ জন পুরুষ এবং ৩ জন মহিলা থেকে ২ জন মহিলা বাছাই করতে হবে.

∴ মোট উপায় = ৭C৫ × ৩C২
= ২১ × ৩ উপায়
= ৬৩ উপায়
৫৫৫.
'GOOGLE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    120
  2. খ
    360
  3. গ
    720
  4. ঘ
    180
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'GOOGLE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'GOOGLE' শব্দে বর্ণ আছে 6 টি।
এর মধ্যে G ও O বর্ণ আছে 2 বার করে । 

∴ মোট সাজানো যাবে = 6!/(2! × 2!)
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2)/4
= 180

৫৫৬.
16 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো চতুর্ভূজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    1420
  2. খ
    1620
  3. গ
    1820
  4. ঘ
    2020
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 16 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো চতুর্ভূজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
চারটি বিন্দু দিয়ে গঠিত হয় চতুর্ভূজ।

∴ 16 টি বিন্দু ‍দিয়ে চতুর্ভূজ গঠন করা যায় = 16C4
= 1820
৫৫৭.
15 টি বইয়ের মধ্যে 6 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট তিনটি বই সর্বদা বাদ থাকে?
  1. ক
    660
  2. খ
    772
  3. গ
    824
  4. ঘ
    924
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 15 টি বইয়ের মধ্যে 6 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট তিনটি বই সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (15 - 3) বা 12 টি থেকে 6 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় =12C6
= 12!/(6! 6!)
= 924
৫৫৮.
14 জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    728
  2. খ
    286
  3. গ
    364
  4. ঘ
    1001
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 14 জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
সর্বদা একজনকে নির্দিষ্ট রেখে 11 জনের দল বাছাই করার উপায়,
= 14  - 1c11 - 1
= 13c10
= 286
৫৫৯.
AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রতিবারে 3 টি বর্ণ নিয়ে গঠিত ভিন্ন ভিন্ন শব্দ সংখ্যা কত হবে?
  1. ক
    130
  2. খ
    135
  3. গ
    140
  4. ঘ
    145
ব্যাখ্যা

যেহেতু AMERICA শব্দটিতে 7 টি বর্ণ রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি A.
একটি A বাদ দিয়ে 6টি ভিন্ন বর্ণ থেকে প্রতিবারে 3টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 6P3 = 120
দুইটি A কে ভিন্ন ভিন্ন পাঁচটি বর্ণের প্রতিটির সাথে নিলে 3 বর্ণ শব্দ সংখ্যা = 5 × 3P2 = 15
∴ মোট শব্দ সংখ্যা = 120 + 15 = 135

৫৬০.
একটি পার্টিতে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা প্রত্যেকে সকলের সাথে করমর্দন করায় মোট ২১টি করমর্দন হলো। ঐ পার্টিতে মোট কত জন উপস্থিত ছিল?
  1. ক
    ক) ৬
  2. খ
    খ) ৭
  3. গ
    গ) ৮
  4. ঘ
    ঘ) ৯
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পার্টিতে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা প্রত্যেকে সকলের সাথে করমর্দন করায় মোট ২১টি করমর্দন হলো। ঐ পার্টিতে মোট কত জন উপস্থিত ছিল?

সমাধান; 
ধরি,
অনুষ্ঠানে উপস্থিত মোট লোক ছিল = n, 

∴ মোট করমর্দন nc2 = 21
বা, {(n)(n - 1)}/2 =21
বা, (n2 - n)/2 = 21
বা, n2 - n = 42
বা, n2 - n - 42 = 0
বা, n2 - 7n + 6n - 42= 0
বা, n(n - 7) + 6(n - 7) = 0
বা, (n - 7)(n + 6) = 0

হয়                              
n - 7 = 0                  
n = 7 
 
অথবা 
 n + 6 = 0
 n = - 6 [গ্রহণযোগ্য নয় ]
৫৬১.
একটি অনুষ্ঠানে কিছু লােক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা 190 হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লােক ছিল?
  1. ক
    19 জন
  2. খ
    25 জন
  3. গ
    17 জন
  4. ঘ
    20 জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লােক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা 190 হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লােক ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
ঐ অনুষ্ঠানে n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিল।
প্রশ্নানুসারে, 
nC2 = 190
⇒ n!/{2!(n - 2)!} = 190
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 190
⇒ n(n - 1)/2 = 190
⇒ n(n - 1) = 380
⇒ n2 - n - 380 = 0
⇒ n2 - 20n + 19n - 380 = 0
⇒ n(n - 20) + 19(n - 20) = 0
⇒ (n + 19)(n - 20) = 0
হয়, (n + 19) = 0
∴ n = - 19  ; [ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]

অথবা,
n - 20 = 0
∴ n = 20

সুতরাং ঐ অনুষ্ঠানে 20 জন লোক ছিল।

৫৬২.
6 টি উপন্যাসের মধ্যে দুটি বিশেষ উপন্যাস একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    360
  2. খ
    480
  3. গ
    240
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ 6 টি উপন্যাসের মধ্যে দুটি বিশেষ উপন্যাস একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান-
2 টি বিশেষ উপন্যাস একত্রে রেখে অর্থাৎ দুটি উপন্যাসকে একটি মনে করলে মোট উপন্যাস সংখ্যা হয় 5 টি।

5 টি উপন্যাসকে নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় = 5! = 120
2 টি বিশেষ উপন্যাসকে নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় = 2! = 2

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 120 × 2 = 240
৫৬৩.
PERMUTATION শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে মোট কত রকমে সাজানো যেতে পারে?
  1. ক
    360
  2. খ
    480
  3. গ
    400
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: PERMUTATION শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে মোট কত রকমে সাজানো যেতে পারে?

সমাধান:
PERMUTATION শব্দটিতে মোট 11 টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে(E, U, A, I, O) 5টি স্বরবর্ণ এবং 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে।

যেহেতু স্বরবর্ণগুলি এদের অবস্থান পরিবর্তন করবে না, কাজেই এদের স্থান নির্দিষ্ট করে বাকি 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা সাজানোর সংখ্যা বের করতে হবে যার মধ্যে দুই বার T থাকবে।

সুতরাং সাজানোর সংখ্যা হবে= 6!/2! = 360 টি
৫৬৪.
8 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    5040
  2. খ
    720
  3. গ
    2550
  4. ঘ
    480
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
8 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (8 - 1)!
= 7!
= 5040 উপায়ে
৫৬৫.
স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে SCIENCE শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়?
  1. ক
    24
  2. খ
    28
  3. গ
    36
  4. ঘ
    48
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে SCIENCE শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
এখানে মোট বর্ণ আছে 7টি
স্বরবর্ণ আছে (I, E, E) 3টি এবং E দুইটি ও I একটি।

স্বরবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3!/2! = 3 [E আছে 2টি]
বাকি 4টি বর্ণ 4টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 4!/2! [C আছে 2টি]
= 12

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 3 × 12 = 36

অতএব, SCIENCE শব্দটিকে স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট 36 উপায়ে সাজানো যাবে।
৫৬৬.
৭ জন মহিলা ও ৫ জন পুরুষের মধ্য থেকে ৫ সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    ২৬০
  2. খ
    ২১০
  3. গ
    ৪২০
  4. ঘ
    ৩৩০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন মহিলা ও ৫ জন পুরুষের মধ্য থেকে ৫ সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

সমাধান:
যেহেতু ১ জন পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকবে তাই ৭ + ৪ = ১১ জন থেকে ৪ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করার ঊপায়,
= ১১C৪
= ১১!/৪!(১১ - ৪)!
= (১১ × ১০ × ৯ × ৮ × ৭!)/(৪ × ৩ × ২ × ৭!)
= ৩৩০ 
৫৬৭.
'OCTOPUS' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    180
  2. খ
    120
  3. গ
    360
  4. ঘ
    280
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'OCTOPUS' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
OCTOPUS শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি, Vowel আছে 3টি।
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel চারটি সাজানো যায় = 3!/2 = 3 [O দুইটি]
∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3
= 120 × 3
= 360
৫৬৮.
একটি সামাজিক অনুষ্ঠানে 15 জন লোক প্রত্যেক প্রত্যেকের সাথে শুভেচ্ছা বিনিময় করলে তা কত উপায়ে করা যাবে?
  1. ক
    ক) 105
  2. খ
    খ) 210
  3. গ
    গ) 30
  4. ঘ
    ঘ) 360
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামাজিক অনুষ্ঠানে 15 জন লোক প্রত্যেক প্রত্যেকের সাথে শুভেচ্ছা বিনিময় করলে তা কত উপায়ে করা যাবে? 

সমাধান: 
উপায় সংখ্যা =nC2 
= 15C2
= 105
৫৬৯.
৬টি বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগ করলে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?
  1. ক
    720
  2. খ
    120
  3. গ
    6
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬টি বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগ করলে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান: 
একটি ত্রিভুজ গঠন করার জন্য বিন্দু প্রয়োজন 3টি 

ত্রিভুজের গঠন করা যাবে = 6C3 = 20
৫৭০.
4 টি ভিন্ন রঙের পতাকার একটি বা একাধিক একবারে নিয়ে কতটি সংকেত দেয়া যাবে?
  1. ক
    54
  2. খ
    48
  3. গ
    56
  4. ঘ
    64
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 টি ভিন্ন রঙের পতাকার একটি বা একাধিক একবারে নিয়ে কতটি সংকেত দেয়া যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, 4 টি ভিন্ন রঙের পতাকার একটি বা একাধিক একবার নিয়ে বানাতে বলা হয়েছে
সুতরাং, 4 টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 4P1 = 4
4 টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 4P2 = 12
4 টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 4P3 = 24
4 টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 4P4 = 24

মোট সংকেত সংখ্যা = 4 + 12 + 24 + 24 = 64
৫৭১.
৯ জন লোকের একটি দল দুইটি যানবাহনে ভ্রমণ করবে যার একটিতে ৭ জনের বেশি এবং অপরটিতে ৪ জনের বেশি ধরে না। দলটি কত রকমে ভ্রমণ করতে পারবে?
  1. ক
    ক) ১২৩
  2. খ
    খ) ২৪৬
  3. গ
    গ) ৮৪
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬
ব্যাখ্যা
যানবাহন (১) | যানবাহন (২)
i) ৭ | ২
ii) ৬ | ৩
iii) ৫ | ৪

i) নং এর জন্য বাছাই সংখ্যা = ৯c৭×২c২ = ((৯×৮)/২)×১ = ৩৬
ii) নং এর জন্য বাছাই সংখ্যা = ৯c৬×৩c৩ = ((৯×৮×৭)/(৩×২×১))×১ = ৮৪
iii) নং এর জন্য বাছাই সংখ্যা = ৯c৫×৪c৪ = ((৯×৮×৭×৬)/(৪×৩×২×১))×১ = ১২৬
∴ মোট বাছাই সংখ্যা = ৩৬+৮৪+১২৬ = ২৪৬।
Note: একই কাজ একের অধিক উপায়ে করলে উপায়গুলো যোগ হয়।
৫৭২.
৮ জন ছাত্র ও ৬ জন ছাত্রী থেকে ৩ সদস্যের একটি দল কতভাবে গঠন করা যায়, যাতে কমপক্ষে ১ জন ছাত্রী থাকে?
  1. ক
    ৫১০
  2. খ
    ৪২০
  3. গ
    ২৮০
  4. ঘ
    ৩০৮
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮ জন ছাত্র ও ৬ জন ছাত্রী থেকে ৩ সদস্যের একটি দল কতভাবে গঠন করা যায়, যাতে কমপক্ষে ১ জন ছাত্রী থাকে?

সমাধান:
২ জন ছাত্র ও ১ জন ছাত্রী বিশিষ্ট কমিটি= ৮C২ × ৬C১ = ২৮ × ৬ = ১৬৮
১ জন ছাত্র ও ২ জন ছাত্রী বিশিষ্ট কমিটি= ৮C১ × ৬C২ = ৮ × ১৫ = ১২০
০ জন ছাত্র ও ৩ জন ছাত্রী বিশিষ্ট কমিটি= ৬C৩ = ২০

∴ মোট উপায়= ১৬৮ + ১২০ + ২০ = ৩০৮
৫৭৩.
৭ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। অন্তত ১ জন মহিলাকে নিয়ে মোট কত প্রকারে কমিটি গঠন হতে পারে?
  1. ক
    ক) ৩০০
  2. খ
    খ) ২৯০
  3. গ
    গ) ২৯৫
  4. ঘ
    ঘ) ২৮৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। অন্তত ১ জন মহিলাকে নিয়ে মোট কত প্রকারে কমিটি গঠন হতে পারে?

সমাধান:
কমিটিতে অত্যন্ত ১ জন মহিলা থাকবে।
পুরুষ (৭ জন)      -      মহিলা (৪ জন)
৩ জন                 -          ১ জন
২ জন                 -         ২ জন
১ জন                 -         ৩ জন
০ জন                 -         ৪ জন

অত্যন্ত ১ জন মহিলাকে নিয়ে মোট কমিটি গঠন হতে পারে 
(7C3 × 4C1 )+ (7C2 × 4C2)+(7C1 × 4C3)+ (7C0 × 4C4)
= (35 × 4) + (21 × 6) + (7 × 4) + (1 × 1)
= 140 + 126 + 28 + 1
= 295
৫৭৪.
7 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে? 
  1. ক
    144 উপায়ে
  2. খ
    320 উপায়ে
  3. গ
    720 উপায়ে
  4. ঘ
    480 উপায়ে
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
7 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (7 - 1)!
= 6!
= 720 উপায়ে

৫৭৫.
যদি 5Pr = 60 এবং 5Cr = 10 হয় তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 5Pr = 60 এবং 5Cr = 10 হয় তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
nPr = n!/(n - r)!
এবং
nCr = n!/(n - r)!r!
nCr = {n!/(n - r)!} × (1/r!)
⇒ nCr = nPr × (1/r!)
⇒ 5Cr = 5Pr × (1/r!)
⇒ 5Pr = 5Cr × r!
⇒ 60 = 10 × r!
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3
৫৭৬.
7 টি ভিন্ন রংয়ের পাথর কতভাবে একটি নেকলেসে লাগানো যায়?
  1. ক
    ক) 5040
  2. খ
    খ) 2520
  3. গ
    গ) 720
  4. ঘ
    ঘ) 360
ব্যাখ্যা

নেকলেসে পাথর লাগানোর উপায় = (7 - 1)!/2 [(a - 1)!/2]
= 720/2
= 360

৫৭৭.
'COMMENT' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত? 
  1. ক
    ক) 2330
  2. খ
    খ) 2520
  3. গ
    গ) 2650
  4. ঘ
    ঘ) 2180
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'COMMENT' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত? 

সমাধান:
'COMMENT' শব্দটিতে মোট বর্ণ ৭টি 
M = ২টি 

মোট বিন্যাস = 7!/2!
= 5040/2
= 2520

৫৭৮.
যদি 8Pr = 336 হয়, তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    7
  2. খ
    2
  3. গ
    5
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 8Pr = 336 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 8Pr = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 336 = 6 × 7 × 8
⇒ (8 - r)! = 8!/(6 × 7 × 8)
⇒ (8 - r)! = (8 × 7 × 6 × 5!)/(6 × 7 × 8)
⇒ (8 - r)! = 5!
⇒ 8 - r = 5
⇒ r = 8 - 5
∴ r = 3
৫৭৯.
কোন নৌকায় ৪ জন লোক উঠতে পারে, নৌকাটি দ্বারা ৬ জন লোক কত প্রকারে উঠে নদী পার হতে পারে?
  1. ক
    ক) ৪
  2. খ
    খ) ৮
  3. গ
    গ) ১২
  4. ঘ
    ঘ) ১৫
ব্যাখ্যা
৬ জন লোক হতে ৪ জন করে নৌকাতে উঠে নদী পার হওয়ার উপায়-
6C4 = 6!/4!(6-4)! = 15
৫৮০.
একটি বক্সে ২টি সাদা, ৩টি লাল এবং ৪টি কালো বল রয়েছে। কত উপায়ে ৩টি বল তোলা যাবে যেখানে কমপক্ষে ১টি বল লাল হবে?
  1. ক
    ৮০
  2. খ
    ৬৪
  3. গ
    ৭২
  4. ঘ
    ৪৮
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বক্সে ২টি সাদা, ৩টি লাল এবং ৪টি কালো বল রয়েছে। কত উপায়ে ৩টি বল তোলা যাবে যেখানে কমপক্ষে ১টি বল লাল হবে?

সমাধান:
লাল বল(৩)       অন্যান্য বল(৬)
১                              ২
২                              ১
৩                             ০

মোট তোলার উপায় = 
৫৮১.
একটি রেলওয়ে কামড়ায় একটি বেঞ্চে 6 টি আসন খালি আছে। তিন জন যাত্রী কতভাবে এই 6 টি আসনে বসতে পারবে? 
  1. ক
    140
  2. খ
    120
  3. গ
    138
  4. ঘ
    160
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রেলওয়ে কামড়ায় একটি বেঞ্চে 6 টি আসন খালি আছে। তিন জন যাত্রী কতভাবে এই 6 টি আসনে বসতে পারবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বেঞ্চ সংখ্যা = 6 টি 
এবং যাত্রী সংখ্যা = 3 জন 

∴ বিন্যাসের নিয়মানুসারে উপায় সংখ্যা হবে = 6P3 
= 6!/(6 - 3)! 
= 6!/3! 
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(3 × 2 × 1) 
= 120 

∴ 120 উপায়ে বসতে পারবে।
৫৮২.
৩ জন বাংলাদেশী এবং ৩ জন ভারতীয় কূটনীতিবিদ তিস্তা পানি চুক্তি নিয়ে গোলটেবিল বৈঠকে মিলিত হলে তারা কত উপায়ে বসতে পারেন যেন দুই দেশের কূটনীতিবিদ পাশাপাশি না বসেন?
  1. ক
    ১০ জন
  2. খ
    ১২ জন
  3. গ
    ১৬ জন
  4. ঘ
    ২০ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ জন বাংলাদেশী এবং ৩ জন ভারতীয় কূটনীতিবিদ তিস্তা পানি চুক্তি নিয়ে গোলটেবিল বৈঠকে মিলিত হলে তারা কত উপায়ে বসতে পারেন যেন দুই দেশের কূটনীতিবিদ পাশাপাশি না বসেন?

সমাধান: 
একজন বাংলাদেশীকে স্থির রেখে বাকী দুজনকে বিন্যাস করা যায় = 2!
তিনজন ভারতীয়কে বিন্যাস করা যায় = 3!

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 2! × 3!
= 2 × 3 × 2
= 12
৫৮৩.
nc5 = nc7 হলে n = ?
  1. ক
    ক) 9
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 11
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা

nc5 = ncn - 5
∴ nc5 = nc7
বা, ncn - 5 = nc7
বা, n - 5 = 7
বা, n = 7 + 5
∴ n = 12

৫৮৪.
একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি হলুদ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি হলুদ বল থাকে?
  1. ক
    16
  2. খ
    32
  3. গ
    48
  4. ঘ
    64
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি হলুদ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি হলুদ বল থাকে?

সমাধান:
সাদা বল = 2টি
হলুদ বল = 3টি 
লাল বল =  4টি 

3টি হলুদ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = 3C1 × 6C2
3টি হলুদ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় = 3C2 × 6C1
3টি হলুদ বল থেকে 3টি  = 3C3

মোট উপায়  = (3C1 × 6C2) + (3C2 × 6C1) + (3C3) 
= (45 + 18 + 1)
= 64
৫৮৫.
৭টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৪টি স্বরবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ২টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?
  1. ক
    ২৫২০০
  2. খ
    ১০৫০
  3. গ
    ২১০
  4. ঘ
    ২১৪০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৪টি স্বরবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ২টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
৭টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় ৭C৩ = ৩৫
৪টি স্বরবর্ণ থেকে ২টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় ৪C২= ৬
∴ মোট বর্ণ বাছাই করার উপায় = ৩৫ × ৬ = ২১০

প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে ৫টি এদের সাজানোর উপায় = ৫! = ১২০

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = ২১০ × ১২০ = ২৫২০০
৫৮৬.
np3 = 4 × np2 হলে n = ?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 7
ব্যাখ্যা

np3 = 4 × np2
বা, n!/(n - 3)! = 4 × n!/(n - 2)!
বা, 1/(n - 3)! = 4 × 1/(n - 2)(n - 3)!
বা, 1 = 4/(n - 2)
বা, n - 2 = 4
∴ n = 6

৫৮৭.
LEVEL শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    30 প্রকারে
  2. খ
    60 প্রকারে
  3. গ
    90 প্রকারে
  4. ঘ
    120 প্রকারে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: LEVEL শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
LEVEL শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5 টি
E আছে = 2 টি
L আছে = 2 টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 5! / (2! × 2!)
= 120/4
= 30

∴ LEVEL শব্দটির সব বর্ণ একত্রে নিয়ে 30 প্রকারে সাজানো যায়।
৫৮৮.
এক ব্যক্তির 4টি লাল পতাকা 3 টি হলুদ পতাকা 2 টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 9 টি পতাকাকে একটি সারিতে ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?
  1. ক
    760
  2. খ
    1260
  3. গ
    870
  4. ঘ
    1460
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির 4টি লাল পতাকা 3 টি হলুদ পতাকা 2 টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 9 টি পতাকাকে একটি সারিতে
ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
লাল পতাকা (R) = 4
হলুদ পতাকা (Y) = 3
নীল পতাকা (B) = 2
∴ মোট পতাকা = 4 + 3 + 2 = 9
একই রঙের পতাকা সমান, তাই পুনরাবৃত্তি সহ permutation সূত্র ব্যবহার করি। 

সুতরাং, বিন্যাস সংখ্যা = 9!/(4! × 3! × 2!) = 1260

৫৮৯.
'BALLOON' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    360 ভাবে
  2. খ
    720 ভাবে
  3. গ
    180 ভাবে
  4. ঘ
    460 ভাবে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'BALLOON' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'BALLOON' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি
স্বরবর্ণ আছে 3টি (A, O, O)
স্বরবর্ণ তিনটিকে সাজানো যায় = 3!/2! = 3 ভাবে [2 টি O আছে]

স্বরবর্ণ তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!/2! = 60 [2 টি L আছে]

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 3 × 60
= 180 ভাবে
৫৯০.
10 টি মুক্তা দিয়ে মালা তৈরী করা যাবে কত উপায়ে?
  1. ক
    ক) 5!/2
  2. খ
    খ) (10-1)!
  3. গ
    গ) 10!
  4. ঘ
    ঘ) 9!/2
ব্যাখ্যা

চক্রাকার গঠনে একটি বস্তুকে সর্বদা স্থির রাখতে হবে এবং উল্টানো যাবে এমন n সংখ্যক বস্তু নিয়ে মালা তৈরী করা যাবে =(n-1)!/2
∴10 টি মুক্তা দিয়ে মালা তৈরী করা যাবে = (10 - 1)!/2 = 9!/2

৫৯১.
একটি ক্রিকেট টুর্নামেন্টে 8টি দল অংশগ্রহণ করেছে। একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 28
  4. ঘ
    ঘ) 14
ব্যাখ্যা
দুইটি দলের সমাবেশ থেকে একটি খেলা অনুষ্ঠিত হয়
∴ অনুষ্ঠিত মোট খেলার সংখ্যা = 8C2 = 28
৫৯২.
nP4 = 5 × nP3 হয়, তবে n এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    7
  3. গ
    8
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: nP4 = 5 × nP3 হয়, তবে n এর মান কত?

সমাধান: 
nP4 = 5 × nP3
বা, np4/np3 = 5
বা, {n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}/{n(n - 1)(n - 2)} = 5
বা, n - 3 = 5
বা, n = 8
∴n এর মান 8
৫৯৩.
১২টি বিন্দুর মধ্যে ৮টি সমরেখ। প্রদত্ত বিন্দুগুলো দিয়ে কয়টি সরলরেখা আঁকা যাবে?
  1. ক
    ৩৯
  2. খ
    ২৯
  3. গ
    ৪৯
  4. ঘ
    ৫৯
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২টি বিন্দুর মধ্যে ৮টি সমরেখ। প্রদত্ত বিন্দুগুলো দিয়ে কয়টি সরলরেখা আঁকা যাবে?

সমাধান:
সরলরেখা তৈরি করতে মোট বিন্দু লাগে ২টি।
১২টি বিন্দু দিয়ে সরলরেখা আঁকা যায় ১২C২ = ৬৬টি

এখানে ৮টি বিন্দু সমরেখ তাই তাদের দিয়ে আলাদা বা বিচ্ছিন্ন রেখা পাওয়া যায়না।
৮টি বিন্দু দিয়ে সরলরেখা হত ৮C২ = ২৮টি যা মোট থেকে বাদ যাবে। এবং ৮টি বিন্দু একটি সরলরেখা গঠন করে তাই ১ যোগ হবে।

∴ মোট সরলরেখা হবে = ৬৬ - ২৮ + ১টি
= ৩৯টি
৫৯৪.
১০ টি বইয়ের মধ্যে ৪ টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে ২ টি বই কখনোই বাছাই করা হবে না?
  1. ক
    ৬০ টি
  2. খ
    ৫০ টি
  3. গ
    ৭০ টি
  4. ঘ
    ৪০ টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০ টি বইয়ের মধ্যে ৪ টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে ২ টি বই কখনোই বাছাই করা হবে না?

সমাধান:
২ টি বই কখনোই বাছাই না করা হলে বাছাইযোগ্য বইসংখ্যা হবে = (১০ - ২) টি = ৮ টি 

∴ ৮ টি বইয়ের মধ্য থেকে ৪ টি বই বাছাই করার সংখ্যা = ৮C৪
= ৮!/{৪! × (৮ - ৪)!}
= ৮!/(৪! × ৪!)
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪!)/(৪ × ৩ × ২ × ৪!)
= ৭০ 

৫৯৫.
যদি 9Pr​ = 3024 হয়, তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    3
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 9Pr​ = 3024 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 9Pr​ = 3024
⇒ 9!/(9 - r)! = 3024
⇒ (9 - r)! = 9!/3024
⇒ (9 - r)! = (9 × 8 × 7 × 6 × 5!)/(6 × 7 × 8 × 9)
⇒ (9 - r)! = 5!
⇒ 9 - r = 5
⇒ r = 9 - 5
∴ r = 4
৫৯৬.
6C4 + 6C3 + 7C3 = কত?
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 65
  3. গ
    গ) 70
  4. ঘ
    ঘ) 75
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6C4 + 6C3 + 7C3 = কত?

সমাধান:
6C4 + 6C3 + 7C3
= 7C4 + 7C3  [nCr + nCr - 1 = n + 1Cr
= 8C4
= 70
৫৯৭.
কোনো পরীক্ষায় কৃতকার্য হতে 5 টি বিষয়ের প্রত্যেকটিতে ন্যূনতম নম্বর পেতে হয়। একজন পরীক্ষর্থী কত প্রকারে অকৃতকার্য হতে পারে? 
  1. ক
    ক) 63
  2. খ
    খ) 36
  3. গ
    গ) 31
  4. ঘ
    ঘ) 15
ব্যাখ্যা
1 জন ছাত্র 1টি বিষয়ে, 2টি বিষয়ে, 3টি বিষয়ে, 4টি বিষয়ে, এবং 5টি বিষয়ে ন্যূনতম নম্বর না পেলে অকৃতকার্য হবে।  

 অকৃতকার্য হওয়ার মোট উপায় = 5C1 + 5C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5 
                                               = 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31
৫৯৮.
11 জনের একটি প্যানেল থেকে 5 জনের কমিটি কতভাবে বানানো যাবে?
  1. ক
    362
  2. খ
    484
  3. গ
    252
  4. ঘ
    462
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 11 জনের একটি প্যানেল থেকে 5 জনের কমিটি কতভাবে বানানো যাবে?

সমাধান: 
11 জনের মধ্যে থেকে 5 জনের কমিটি বানানোর উপায় = 11C5
= 11!/(5! × 6!)
= 462
৫৯৯.
12 টি বস্তুর একবারে 5 টি নিয়ে কতগুলি বিন্যাসের মধ্যে 2 টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    720
  2. খ
    14400
  3. গ
    12400
  4. ঘ
    14200
ব্যাখ্যা
5 টি বস্তুর মধ্যে 2 টি বিশেষ বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
= 5p2 এবং
অবশিষ্ট (12 - 2) টি বা 10 টি বস্তুর মধ্যে
(5 - 2) টি  বা 3 টি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
= 10p3

অতএব, নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা
= 5p2 × 10p3
= 20 × 720
= 14400
৬০০.
If 8pr = 336, then r = ?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা

8pr = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 336
⇒ (8 - r)! = 8!/336
⇒ (8 - r)! = 120
⇒ (8 - r)! = 5!
⇒ (8 - r) = 5
⇒ r = 8 - 5 = 3