লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বিন্যাস ও সমাবেশ

মোট প্রশ্ন১,৭৫০এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বিন্যাস ও সমাবেশ

PrepBank · পাতা ৫ / ১৮ · ৪০১–৫০০ / ১,৭৫০

৪০১.
কোনো পরীক্ষায় কৃতকার্য হতে 6টি বিষয়ের প্রত্যেকটিতে ন্যূনতম নম্বর পেতে হবে। একজন পরীক্ষার্থী কত প্রকারে অকৃতকার্য হতে পারে? 
  1. ক
    60
  2. খ
    63
  3. গ
    58
  4. ঘ
    65
ব্যাখ্যা
একজন ছাত্র 1টি বিষয়ে, 2টি বিষয়ে, 3টি বিষয়ে, 4টি বিষয়ে, 5টি বিষয়ে বা 6টি বিষয়ে নূন্যতম নম্বর না পেলে অকৃতকার্য হবে।

∴ অকৃতকার্য হবার মোট উপায় -
= 6C1×6C2×6C3×6C4×6C5×6C6
= 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1
= 63
৪০২.
'BANGLA' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?
  1. ক
    296
  2. খ
    240
  3. গ
    188
  4. ঘ
    156
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'BANGLA' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?

সমাধান:
'BANGLA' শব্দটিতে মোট 6 টি বর্ণ রয়েছে, যার মধ্যে 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ এবং 2 টি স্বরবর্ণ।
এখন, প্রথম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = 4P1 = 4
অবশিষ্ট পাঁচটি যার মধ্যে A = 2 বার,
বাকি পাঁচটি সাজানোর উপায় = 5!/2! = 60 উপায়ে

তাহলে, মোট বিন্যাস সংখ্যা = 60 × 4 = 240
৪০৩.
সম্পূরক সমাবেশ কোনটিকে বলে?
  1. ক
    ক) p সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত না করে n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবার r সংখ্যক বস্তু নিয়ে গঠিত সমাবেশকে সম্পূরক সমাবেশ বলে
  2. খ
    খ) কতগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবকটি একবারে নিয়ে যত প্রকারে নির্বাচন বা দল (ক্রমবর্জন করে) গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সম্পূরক সমাবেশ বলে
  3. গ
    গ) n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে প্রত্যেক বার r সংখ্যক জিনিস নিয়ে গঠিত সমাবেশ সংখ্যা, n সংখ্যক জিনিস থেকে প্রত্যেকবার (n-r) সংখ্যক জিনিস নিয়ে গঠিত সমাবেশ সংখ্যার সমান হলে এরকম সমাবেশকে সম্পূরক সমাবেশ বলে
  4. ঘ
    ঘ) সম্পূরক সমাবেশ বলে কিছু নেই
ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তরটাই ব্যাখ্যা। nCr = nCn-r
৪০৪.
6 ছেলে এবং 4 জন মেয়ের একটি দল থেকে 4 জনকে নির্বাচন করতে হবে। কতগুলি ভিন্ন উপায়ে তাদের নির্বাচন করা যেতে পারে যাতে অন্তত দুইটি মেয়ে থাকবে?
  1. ক
    ক) 115
  2. খ
    খ) 124
  3. গ
    গ) 85
  4. ঘ
    ঘ) 154
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 ছেলে এবং 4 জন মেয়ের একটি দল থেকে 4 জনকে নির্বাচন করতে হবে। কতগুলি ভিন্ন উপায়ে তাদের নির্বাচন করা যেতে পারে যাতে অন্তত দুইটি মেয়ে থাকবে?

সমাধান:
    ছেলে (6 জন)   মেয়ে (4 জন)
1)       0                       4
2)       1                       3
3)       2                       2

মোট উপায় = (6C0 × 4C4) + (6C1 × 4C3) + (6C2  × 4C2) 
                  = (1 + 24 + 90)
                  = 115
৪০৫.
6 ছেলে এবং 4 জন মেয়ের একটি দল থেকে 4 জনকে নির্বাচন করতে হবে। কতগুলি ভিন্ন উপায়ে তাদের নির্বাচন করা যেতে পারে যাতে অন্তত একটি ছেলে থাকবে?
  1. ক
    ক) 219
  2. খ
    খ) 209
  3. গ
    গ) 105
  4. ঘ
    ঘ) 210
ব্যাখ্যা
           ছেলে (6 জন)                     মেয়ে (4 জন)
1)                1                                   3
2)                2                                  2
3)                3                                  1
4)                4                                  0


মোট উপায় = (6C1 × 4C3) + (6C2 × 4C2) + (6C3  × 4C1) + (6C4)
                  = (24 + 90 + 80 + 15)
                  = 209
৪০৬.
৮ জন খেলোয়ারকে সমান সংখ্যক দু'টি দলে বিভক্ত করা যায় কত উপায়ে?
  1. ক
    ৫০
  2. খ
    ৬০
  3. গ
    ৭০
  4. ঘ
    ৩৫
ব্যাখ্যা

২m সংখ্যক জিনিস সমান দুই ভাগে বিভক্ত করলে সমাবেশ সংখ্যা = (২m)!/২!(m!)২ ।
৮ বা (২X৪) জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে বিভক্ত করার উপায়= ৮!/ [২!(৪!)২] = ৩৫ ।

বিকল্প সমাধানঃ

প্রতি দলে ৪ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৮ জন থেকে ৪ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ৮C৪ = (৮)!/(৪!(৮-৪)!) = ৭০ ।
সমান সংখ্যক বা ৪ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ৭০/২ = ৩৫ ।

৪০৭.
X ও Y দেশের ৩ জন করে কূটনীতিবিদ গোলটেবিল বৈঠকে মিলিত হলে তারা কত উপায়ে বসতে পারেন যেন দুই দেশের কূটনীতিবিদ পাশাপাশি না বসেন?
  1. ক
    ৬
  2. খ
    ৮
  3. গ
    ১২
  4. ঘ
    ১৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: X ও Y দেশের ৩ জন করে কূটনীতিবিদ গোলটেবিল বৈঠকে মিলিত হলে তারা কত উপায়ে বসতে পারেন যেন দুই দেশের কূটনীতিবিদ পাশাপাশি না বসেন?

সমাধান:
X দেশের একজনকে স্থির রেখে বাকী দুজনকে বিন্যাস করা যায় = 2! উপায়ে
Y দেশের তিনজন বিন্যাস করা যায় = 3! উপায়ে

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 2! × 3!
= 2 × 3 × 2
= 12
৪০৮.
POLICE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে সবকয়টি বর্ণকে সাজানোর উপায়-
  1. ক
    24
  2. খ
    96
  3. গ
    120
  4. ঘ
    144
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: POLICE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে সবকয়টি বর্ণকে সাজানোর উপায়-

সমাধান:
শব্দটির 6টি বর্ণের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।

স্বরবর্ণগুলো একত্রে ১টি ধরলে মোট বর্ণ হয় 4 টি
4 টি বর্ণ সাজানোর উপায় = 4!

আবার স্বরবর্ণ তিনটিকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় 3! উপায়ে
∴ স্বরবর্ণগুলো একত্রে রেখে সবগুলো বর্ণ সাজানোর উপায় = 4! × 3!
= 144
৪০৯.
একটি ব্যাটমিন্টন টুর্ণামেন্ট খেলায় মোট ২১টি ম্যাচ হয়। প্রত্যেক দল প্রতিটি দলের সাথে একটি করে ম্যাচ খেললে মোট দলের সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৭
  2. খ
    ৯
  3. গ
    ১০
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ব্যাটমিন্টন টুর্ণামেন্ট খেলায় মোট ২১টি ম্যাচ হয়। প্রত্যেক দল প্রতিটি দলের সাথে একটি করে ম্যাচ খেললে মোট দলের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট দলের সংখ্যা n টি

∴ nC২ = ২১
⇒ n!/{(n - ২)! × ২!} = ২১
⇒ n(n - ১) = ৪২
⇒ n২ - n - ৪২ = ০
⇒ n২ - ৭n + ৬n - ৪২ = ০
⇒ n(n - ৭) + ৬(n - ৭) = ০
⇒ (n - ৭)(n + ৬) = ০
∴ n = ৭ অথবা n = - ৬
n = - ৬ গ্রহণযোগ্য নয়।

∴ মোট দলের সংখ্যা ৭টি।
৪১০.
একটি নৌকায় 3 জন লোক উঠতে পারে, নৌকাটি দ্বারা 4 জন লোক কত প্রকারে নদী পার হতে পারে?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
নৌকাটি দ্বারা 4 জন লোক নদী পার হতে পারে 4!/(3!.1!) = 4 উপায়ে।
৪১১.
3 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন পুরুষ সর্বদা একত্রে থাকবে?
  1. ক
    560
  2. খ
    670
  3. গ
    840
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন পুরুষ সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট পুরুষ ও মহিলা = (3 + 4) = 7 জন
তিনজন পুরুষ একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (1 + 4) জন
= 5 জন
∴ 5 জনকে সাজানো যায় = 5!
∴ 3 জন পুরুষকে সাজানো যায় = 3!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! × 3!
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 120 × 6
= 720
৪১২.
3, 5 এবং 7 এই তিনটি সংখ্যা ব্যবহার করে কতগুলি দুই অঙ্কের সংখ্যা তৈরি করা যাবে? (অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তির অনুমতি রয়েছে)
  1. ক
    9
  2. খ
    8
  3. গ
    3
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3, 5 এবং 7 এই তিনটি সংখ্যা ব্যবহার করে কতগুলি দুই অঙ্কের সংখ্যা তৈরি করা যাবে? (অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তির অনুমতি রয়েছে)

সমাধান:
3 , 5 এবং 7 এই তিনটি সংখ্যা ব্যবহার করে দুই অঙ্কের সংখ্যা তৈরি হতে পারে = 3 × 3 = 9

9 টি দুই অঙ্কের সংখ্যা সৃষ্টি হতে পারে।
সংখ্যাগুলো: 33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77
৪১৩.
2ncr = 2ncr+2 হলে, n = ?
  1. ক
    r - 1
  2. খ
    r
  3. গ
    r + 1
  4. ঘ
    r + 2
ব্যাখ্যা

2ncr = 2ncr+2
বা, 2nc2n-r = 2ncr+2
∴ 2n - r = r + 2
বা, 2n = 2r + 2
∴ n = r + 1

৪১৪.
6 জন ছাত্র এবং 5 জন ছাত্রী থেকে 2 জন ছাত্র ও 1 জন ছাত্রী নিয়ে কতপ্রকারে একটি কমিটি নির্ণয় করা যায়?
  1. ক
    ক) 70
  2. খ
    খ) 72
  3. গ
    গ) 74
  4. ঘ
    ঘ) 75
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 জন ছাত্র এবং 5 জন ছাত্রী থেকে 2 জন ছাত্র ও 1 জন ছাত্রী নিয়ে কতপ্রকারে একটি কমিটি নির্ণয় করা যায়?

সমাধান: 
6 জন ছাত্র থেকে 2 জন ছাত্র নিয়ে গঠিত কমিটি সংখ্যা = 6C2 = (6 × 5)/(1 × 2) = 15
আবার,
 5 জন ছাত্রী থেকে 1 জন ছাত্রী নিয়ে গঠিত কমিটি সংখ্যা = 5C1 = 5/1 = 5

∴ 6 জন ছাত্র এবং 5 জন ছাত্রী থেকে 2 জন ছাত্র ও 1 জন ছাত্রী নিয়ে গঠিত মোট কমিটি সংখ্যা = (15 × 5)
= 75
৪১৫.
১৫টি পুস্তক থেকে ৭টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    ৬৪৩৫
  2. খ
    ৩০০৩
  3. গ
    ১৭১৬
  4. ঘ
    ১২৮৭
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫টি পুস্তক থেকে ৭টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু, ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সেহেতু পুস্তক বাকি থাকে (১৫ - ২) বা ১৩টি এবং ৭টি থেকে বাছাই করতে হবে (৭ - ২) বা ৫ টি।

∴ ১৩টি পুস্তক থেকে ৫টি পুস্তক বাছাই করার উপায় = ১৩C৫ = ১২৮৭
৪১৬.
'SUCCESS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    ৮৪০
  2. খ
    ৫০৪০
  3. গ
    ১০২০
  4. ঘ
    ৪২০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'SUCCESS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'SUCCESS' শব্দটির মোট অক্ষর = ৭টি

এদের মধ্যে:
S অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = ৩টি
C অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = ২টি
∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = ৭!/(৩! × ২!)
= (৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১)/{(৩ × ২ × ১) × (২ × ১)}
= ৫০৪০/(৬ × ২)
= ৫০৪০/১২
= ৪২০

∴ 'SUCCESS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে ৪২০ উপায়ে সাজানো যায়।

৪১৭.
চাকুরির নিয়োগ পরীক্ষায় 2টি খালি পদের জন্য 11 জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা বেশি নয় এরুপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যায়?
  1. ক
    ক) 44
  2. খ
    খ) 66
  3. গ
    গ) 56
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চাকুরির নিয়োগ পরীক্ষায় 2টি খালি পদের জন্য 11 জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা বেশি নয় এরুপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যায়?

সমাধান:
2টি খালি পদের জন্য প্রার্থী সংখ্যা 11 জন
1 জনকে নির্বাচনের উপায় = 11C1 = 11
2 জনকে নির্বাচনের উপায় = 11C2 = 55

∴ নির্বাচনের মোট উপায় = 11 + 55
= 66
৪১৮.
কামাল ঢাকা থেকে রাজশাহী ৫ উপায়ে যেতে পারে এবং রাজশাহী থেকে রংপুর ৩ উপায়ে যেতে পারে। সে ঢাকা থেকে রংপুর কত উপায়ে যেতে পারবে?
  1. ক
    ক) ৮
  2. খ
    খ) ১৫
  3. গ
    গ) ৩৫
  4. ঘ
    ঘ) ৫৩
ব্যাখ্যা
কামাল ঢাকা থেকে রাজশাহী ৫ উপায়ে যেতে পারে
অর্থাৎ ঢাকা থেকে রাজশাহী যাওয়ার পথ বা যানবাহন  ৫ টি 

রাজশাহী থেকে রংপুর ৩ উপায়ে যেতে পারে।
অর্থাৎ রাজশাহী থেকে রংপুর যাওয়ার পথ বা যানবাহন  ৩ টি 

মোট উপায় = ৩ × ৫ = ১৫
৪১৯.
TAIWAN শব্দটির vowel গুলিকে একত্র রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে?
  1. ক
    ক) ৭২
  2. খ
    খ) ১৪৪
  3. গ
    গ) ৩৬
  4. ঘ
    ঘ) ২৭
ব্যাখ্যা
TAIWAN শব্দটিতে ৩ টি Consonant ও ৩টি vowel আছে। vowel ৩টি একত্রে রেখে মোট ৪ টি বর্ণ সাজানো যাবে = ৪! = ২৪ ভাবে।
আবার, vowel ৩টি নিজেদেরে মধ্যে সাজানো যাবে ৩!/২! = ৩ ভাবে
∴ শব্দটিকে সাজানো যাবে ২৪×৩ = ৭২ ভাবে
৪২০.
9C4 এর মান কত?
  1. ক
    3024
  2. খ
    15120
  3. গ
    126
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9C4 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
nCr = n!/{r! × (n - r)!}
∴ 9C4 = 9!/{4! × (9 - 4)!}
= 9!/(4! × 5!)
= (9 × 8 × 7 × 6)/(4 × 3 × 2 × 1)
= 126
৪২১.
একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা 105 হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লোক ছিল?
  1. ক
    10
  2. খ
    12
  3. গ
    15
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা 105 হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লোক ছিল?

সমাধান: 
মনে করি,
ঐ অনুষ্ঠানে n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিল।
প্রশ্নানুসারে, 
nC2 = 105
⇒ n(n - 1)/2 = 105
⇒ n(n - 1) = 210
⇒ n2 - n - 210= 0
⇒ n2 - 15n + 14n - 210 = 0
⇒ n(n - 15) + 14(n - 15) = 0
⇒ (n + 14)(n - 15) = 0

n = 15 কিন্তু n এর মান - 14 গ্রহণযোগ্য নয়। [কারণ n এর মান ঋণাত্মক]
সুতরাং ঐ অনুষ্ঠানে 15 জন লোক ছিল।
৪২২.
একজন ব্যক্তি তার 4 জন বন্ধুকে কত উপায়ে দাওয়াত দিতে পারবেন? 
  1. ক
    ক) 14
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 24
ব্যাখ্যা
দাওয়াত দিতে পারবে = 4C1 +4C2 + 4C3 + 4C4  
                                 = 4 + 6 + 4 + 1 = 15
৪২৩.
EQUITY শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ গুলো একত্রে থাকবে? 
  1. ক
    24
  2. খ
    96
  3. গ
    120
  4. ঘ
    144
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: EQUITY শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ গুলো একত্রে থাকবে? 

সমাধান: 
EQUITY শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে = 6 টি যাদের মধ্যে 3 টি (E, U, I) স্বরবর্ণ এবং বাকী 3 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ। 
∴ স্বরবর্ণগুলোকে একটি বর্ণ ধরে সাজানোর উপায় = 4!
= 24 
আবার, 
স্বরবর্ণগুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! উপায়ে
= 6 উপায়ে 

∴ সাজানোর মোট উপায় = (24 × 6)
= 144  ।
৪২৪.
একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? 
  1. ক
    12
  2. খ
    15
  3. গ
    18
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? 

সমাধান: 
একবার খেলার জন্য প্রতিযোগী প্রয়োজন = 2 জন 
∴ 6 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = 6C2 
= (6 × 5)/(2 × 1) 
= 15
৪২৫.
5টি বইয়ের মধ্যে 2টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    24
  2. খ
    48
  3. গ
    120
  4. ঘ
    440
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5টি বইয়ের মধ্যে 2টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
2টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই 4টি
4টি বই সাজানোর মোট উপায় = 4!

বিশেষ বই দুটি সাজানোর মোট উপায় 2!

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 4! × 2!
= 24 × 2
= 48
৪২৬.
'BANGLA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত? 
  1. ক
    540
  2. খ
    720
  3. গ
    180
  4. ঘ
    360
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'BANGLA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
'BANGLA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2!
= 360 টি 
৪২৭.
APPLE শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    24
  2. খ
    40
  3. গ
    60
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
.প্রশ্ন: APPLE শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
APPLE শব্দটিতে 5টি অক্ষর রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি P বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = 60
৪২৮.
'MISSISSIPPI' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    24560
  2. খ
    36500
  3. গ
    34650
  4. ঘ
    43360
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'MISSISSIPPI' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট 11টি অক্ষর আছে।

এখানে,
M আছে 1 বার
I আছে 4 বার
S আছে 4 বার
P আছে 2 বার

আমরা জানি, যদি কোনো শব্দে n টি অক্ষরের মধ্যে একই অক্ষর যথাক্রমে a, b, c …… বার থাকে, তবে মোট সাজানোর উপায় = n! / (a! × b! × c! ……)

∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায়
= 11! / (4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/(24 × 2)
= 39916800/1152
= 34650

∴ মোট সাজানোর উপায় = 34650

৪২৯.
৫, ৬, ২, ৩ অংকগুলোর দ্বারা ৫,০০০ এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    ক) ১২
  2. খ
    খ) ২৪
  3. গ
    গ) ৬
  4. ঘ
    ঘ) ১৮
ব্যাখ্যা

৫,০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা ক্ষেত্রে সংখ্যাগুলো চার অংকের হবে,
এবং ১ম অংকে ৫ অথবা ৬ নির্দিষ্ট করতে হবে?
∴ ১ম অংকটি পূর্ণ করা যায় = ২p১ = ২ উপায়ে।
অবশিষ্ট ৩টি ঘর পূর্ণ করা যায় = ৩! = ৬ উপায়ে।
∴ সংখ্যা তৈরি করা যাবে = ২ × ৬ = ১২টি

৪৩০.
TUTOR শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    30 প্রকারে
  2. খ
    60 প্রকারে
  3. গ
    80 প্রকারে
  4. ঘ
    120 প্রকারে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: TUTOR শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
TUTOR শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5 টি
T আছে = 2 টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 5! /2! 
= 60

∴ TUTOR শব্দটির সব বর্ণ একত্রে নিয়ে 60 প্রকারে সাজানো যায়।
৪৩১.
একটি সমাবেশ শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সমাবেশে উপস্থিত লোকের সংখ্যা 16 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?
  1. ক
    105
  2. খ
    114
  3. গ
    120
  4. ঘ
    130
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমাবেশ শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সমাবেশে উপস্থিত লোকের সংখ্যা 16 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকের সংখ্যা = 16

∴ হ্যান্ডশেকের সংখ্যা = 16C2
= 16!/{2!(16 - 2)!}
= 16!/(2! × 14!)
= (16 · 15 · 14!)/(2! × 14!)
= 120
৪৩২.
যদি nP4 = 12 × nP2 হয়, তবে n =?
  1. ক
    5
  2. খ
    6
  3. গ
    7
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি nP4 = 12 × nP2 হয়, তবে n =?

সমাধান:
nP4 = 12 × nP2
⇒ n!/(n - 4)! = 12 × {n!/(n - 2)!}
⇒ {n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × (n - 4)!}/(n - 4)!} = 12 × [{n × (n - 1) × (n - 2)!}/(n - 2)!]
⇒ n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) = 12 × n × (n - 1)
⇒ (n - 2) × (n - 3) = 12
⇒ n2 - 5n + 6 = 12
⇒ n2 - 5n - 6 = 0
⇒ n2 - 6n + n - 6 = 0
⇒ n(n - 6) + 1(n - 6) = 0
⇒ (n - 6)(n + 1) = 0
∴ n = 6 এবং n = - 1 [ ঋনাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
∴ n = 6
৪৩৩.
একজন রেফারির 3 টি লাল পতাকা 2 টি হলুদ পতাকা 1 টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 6 টি পতাকাকে একটি সারিতে ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?
  1. ক
    720
  2. খ
    120
  3. গ
    60
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন রেফারির 3 টি লাল পতাকা 2 টি হলুদ পতাকা 1 টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 6 টি পতাকাকে একটি সারিতে ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?

সমাধান:
মোট পতাকা 6 টি
যার মধ্যে লাল 3 টি, হলুদ 2 টি, নীল 1 টি

মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6! / (3! × 2!)
= (6 × 5 × 4 × 3!)/(3! × 2!)
= (6 × 5 × 4)/2 
= 60
৪৩৪.
10 টি বইয়ের মধ্যে 4 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে নিদির্ষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকবে?
  1. ক
    60
  2. খ
    68
  3. গ
    70
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্যে 4 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে নিদির্ষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট পুস্তক, n = 10
সর্বদা বাদ থাকবে, m = 2
এবং প্রতিবার নিতে হবে, r = 4

∴ বাছাই করার উপায় = n - mCr = (10 - 2)C4
= 8C4
= 8!/4!(8 - 4)!
= 8!/(4! × 4!)
= 70
৪৩৫.
8 জন কর্মী অফিস মিটিং এ গোলাকার টেবিলে কতভাবে বসতে পারবে ?
  1. ক
    2520
  2. খ
    5040
  3. গ
    2500
  4. ঘ
    5000
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 জন কর্মী অফিস মিটিং এ গোলাকার টেবিলে কতভাবে বসতে পারবে ?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তি গোলাকার টেবিলে বসার উপায় = (n - 1)!

∴ 8 জন কর্মী অফিস মিটিং এ গোলাকার টেবিলে বসতে পারবে = (8 - 1)!
= 7!
= 5040
৪৩৬.
একটি পার্টিতে n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিল। তারা প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করে মোট 45 টি হ্যান্ডশেক হলে n = ?
  1. ক
    9
  2. খ
    11
  3. গ
    10
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা

প্রতি 2 জনের সমাবেশ থেকে একটি হ্যান্ডশেক সংগঠিত হয়।
∴ মোট হ্যান্ডশেক = nc2
= 45
বা, n!/(n - 2)!2! = 45
বা, n(n - 1)(n - 2)!/(n - 2)!2 = 45
বা, n(n - 1) = 90
বা, n2 - n - 90 = 0
বা, n2 - 10n + 9n - 90 = 0
বা, n(n - 10) + 9(n - 10) = 0
বা, (n + 9)(n - 10) = 0
বা, n - 10 = 0[∴ n ≠ 9]
∴ n = 10

৪৩৭.
যদি nPr = 720 এবং nCr = 120 হয়, তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি nPr = 720 এবং nCr = 120 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
nPr = 720 এবং nCr = 120

আমরা জানি,
nPr​ = nCr​ × r!
⇒ 720 = 120 × r!
​⇒ r! = 720/120
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3

৪৩৮.
যদি nPr = 3024 এবং nCr = 126  হয়, তাহলে n এবং r এর মান কত?
  1. ক
    9, 4
  2. খ
    10, 3
  3. গ
    12, 4
  4. ঘ
    11, 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি nPr = 3024 এবং nCr = 126  হয়, তাহলে n এবং r এর মান কত?

সমাধান:

∴ n = 9, r = 4
৪৩৯.
20 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে 1 জন অধিনায়ক ও 1 জন সহঅধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    280
  2. খ
    540
  3. গ
    380
  4. ঘ
    460
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 20 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে 1 জন অধিনায়ক ও 1 জন সহঅধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
অধিনায়ক বাছাই,
20 জন সদস্যের মধ্যে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করার উপায় = 20C1 = 20

আবার, 
সহঅধিনায়ক বাছাই,
অধিনায়ক বাছাই হয়ে গেলে বাকি সদস্য = 20 - 1 = 19  জন
সহঅধিনায়ক বাছাই করার উপায় = 19C1 = 19

∴ মোট উপায় = 20 × 19 = 380

সুতরাং, ৩৮০ভাবে অধিনায়ক ও সহঅধিনায়ক বাছাই করা যাবে। 

৪৪০.
nP4 = 14 × n - 2P3 হয়, তবে n এর মান কত?
  1. ক
    8 এবং 9
  2. খ
    7 এবং 8
  3. গ
    5 এবং 6
  4. ঘ
    7 এবং 4
ব্যাখ্যা
nP4 = 14 × n - 2P3 
n!/(n - 4)! = 14 × (n - 2)! /(n - 2 - 3)!
n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)! /(n - 4)! =14 × {(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)! /(n - 5)!}
n(n - 1)(n - 2)(n - 3) = 14 × (n - 2)(n - 3)(n - 4)
n(n - 1) = 14 ×(n - 4)
n2 - n = 14n - 56
n2 - n  - 14n + 56 = 0
n2 - 15n + 56 = 0
n2 - 8n - 7n + 56 = 0 
n(n - 8) - 7 (n - 8) = 0
(n - 8)(n - 7) = 0 
n = 7, 8
৪৪১.
একজন চেয়ারম্যান, দুইজন ভাইস চেয়ারম্যান ও 16 জনের অন্যান্য সদস্য নিয়ে কোনো একটি পরিষদ গঠিত। একজন চেয়ারম্যান ও কেবল একজন ভাইস চেয়ারম্যানকে সর্বদা অন্তর্ভুক্ত রেখে 5 জনের কতগুলি বিভিন্ন কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) 1020
  2. খ
    খ) 1060
  3. গ
    গ) 1080
  4. ঘ
    ঘ) 1120
ব্যাখ্যা

নিম্নে বর্ণিত উপায়ে কমিটিটি গঠন করা যায়-
1 জন চেয়ারম্যান 2 জন ভাইস চে. 16 জন সদস্য
1 ------------ 1 ------------ 3
সুতরাং নির্ণেয় কমিটির সংখ্যা = 1C1 × 2C1 × 16C3
= 1 × 2 × 560
= 1120

৪৪২.
1 + 12 + 2 + 22 + 3 + 32 + 4 + 42 + 5 + 52 + 6 + 62 + 7 + 72 + 8 + 82 = ?
  1. ক
    240
  2. খ
    548
  3. গ
    648
  4. ঘ
    638
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + 12 + 2 + 22 + 3 + 32 + 4 + 42 + 5 + 52 + 6 + 62 + 7 + 72 + 8 + 82 = ?

সমাধান :
আমরা জানি, 
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2, এবং
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি =n(n+1)(2n+1)/2

এখানে, n = 8

প্রদত্ত রাশি, 
1 + 12 + 2 + 22 + 3 + 32 + 4 + 42 + 5 + 52 + 6 + 62 + 7 + 72 + 8 + 82
= (1 + 2 + ..... + 8) + (12 + 22 + ..... + 82)
= {8(8 + 1)/2} + [{8(8 + 1){(2 × 8) +1}/6]
= {(8 × 9)/2} + {(8 × 9 × 17)/6}
= 36 +204
= 240
৪৪৩.
৮C৬ = কত?
  1. ক
    ৪৮
  2. খ
    ২০
  3. গ
    ২/১৪
  4. ঘ
    ২৮
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮C৬ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
nCr = n!/{(n - r)! × r!}

∴ ৮C৬ = ৮!/{(৮ - ৬)! × ৬!} = ৮!/(২! × ৬!) = (৮ × ৭)/২! = ৪ × ৭ = ২৮
৪৪৪.
'AUTHORIZED' শব্দটি থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?  
  1. ক
    100
  2. খ
    120
  3. গ
    105
  4. ঘ
    210
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'AUTHORIZED' শব্দটি থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?  

সমাধান:
'AUTHORIZED' শব্দটি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 5টি 
 এবং স্বরবর্ণ আছে 5টি 

5টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = 5C3
= 10

5টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = 5C2 
  = 10

বাছাইয়ের মোট উপায় = 10 × 10 
= 100
৪৪৫.
8জন ব্যক্তিকে 1টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    ক) 6005
  2. খ
    খ) 5040
  3. গ
    গ) 2520
  4. ঘ
    ঘ) 40320
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8জন ব্যক্তিকে 1টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান: 
 8জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে সাজানো যাবে ( n - 1)! উপায়ে।
= (8 - 1)! 
= 7!
= 5040
৪৪৬.
8 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    324 উপায়ে
  2. খ
    720 উপায়ে
  3. গ
    5040 উপায়ে
  4. ঘ
    40320 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
8 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (8 - 1)!
= 7!
= 5040 উপায়ে
৪৪৭.
একটি দাবা খেলায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় সব মিলিয়ে কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
  1. ক
    ১২ টি
  2. খ
    ২৫ টি
  3. গ
    ২২ টি
  4. ঘ
    ১৫ টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দাবা খেলায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় সব মিলিয়ে কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
একবার খেলার জন্য ২ জন করে প্রতিযোগী প্রয়োজন।

∴ মোট অনুষ্ঠিত ইভেন্টের সংখ্যা = ৬C২
 = ৬!/{২! × (৬ - ২)!} 
= ৬!/(২! × ৪!) 
= (৬ × ৫ × ৪!)/(২ × ১ × ৪!) 
= ১৫ টি 

৪৪৮.
0, 1, 2, 3, 5, 6 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায়? 
  1. ক
    ক) 300
  2. খ
    খ) 360
  3. গ
    গ) 340
  4. ঘ
    ঘ) 320
ব্যাখ্যা
এখানে, 
মোট অঙ্ক সংখ্যা 6
6টি অঙ্ক থেকে 4টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত  সংখ্যা = 6P4 
                                                                    = 360
0 কে প্রথমে রেখে,
5টি অঙ্ক থেকে 3টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত  সংখ্যা = 5P3
                                                                   = 5!/(5 - 3)!
                                                                   = 60 

অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায় = 360 - 60 = 300
৪৪৯.
EQUATION শব্দটির বর্ণগুলো হতে প্রত্যেকবার 4টি করে বর্ণ নিয়ে বিভিন্ন শব্দ গঠন করা হল, এদের কতগুলোতে Q বর্তমান থাকবে কিন্তু N থাকবে না?
  1. ক
    380
  2. খ
    420
  3. গ
    480
  4. ঘ
    320
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: EQUATION শব্দটির বর্ণগুলো হতে প্রত্যেকবার 4টি করে বর্ণ নিয়ে বিভিন্ন শব্দ গঠন করা হল, এদের কতগুলোতে Q বর্তমান থাকবে কিন্তু N থাকবে না?

সমাধান:
EQUATION শব্দটিতে বর্ণ আছে 8 টি 
N কে না নিলে বর্ণ হবে 7 টি
Q কে সর্বদা রাখলে আরও বর্ণ থাকে 7 - 1 = 6 টি
Q কে 4 টি অবস্থানে সাজানো যায় = 4 উপায়ে 
Q কে নির্দিষ্ট রাখলে বর্ণ নেয়া যাবে 4 - 1 = 3 টি

∴ 6 টি থেকে 3 টি নিয়ে সাজানো যায় = 6P3 = 120

∴ মোট সাজানোর উপায় 4 × 120 = 480
৪৫০.
5টি আঙ্গুলে 7টি আংটি কত উপায়ে পরানো যেতে পারে?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 243
  3. গ
    গ) 720
  4. ঘ
    ঘ) 78125
ব্যাখ্যা

5টি আঙ্গুলে 7টি আংটি পরানো যেতে পারে = 57 উপায়ে = 78125

৪৫১.
DEGREE শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে যেকোনো চারটি অক্ষর প্রতিবার নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    7
  2. খ
    9
  3. গ
    12
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: DEGREE শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে যেকোনো চারটি অক্ষর প্রতিবার নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যাবে?

সমাধান-
DEGREE শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি, যার মধ্যে E তিনটি।

মোট বাছাই সংখ্যা:
4টি ভিন্ন ভিন্ন (D,G,E,R)= 4c4 = 1
2টি একই (E,E) এবং 2টি ভিন্ন (D,G,R) = 2c2 × 3C2 = 1 × 3 = 3
3টি একই (E,E,E) এবং 1টি ভিন্ন (D,G,R) = 3c3 × 3C1 = 1 × 3 = 3

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 1 + 3 + 3 = 7
৪৫২.
৮, ১২, ৫, ৬, ৭, ১০, ৯, ১১, ৪, ৩, ১৩ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?
  1. ক
    ক) ৯
  2. খ
    খ) ৮
  3. গ
    গ) ৭
  4. ঘ
    ঘ) ৬
ব্যাখ্যা

• আমরা জানি, পরিসংখ্যানের উপাত্তগুলোর মানের ক্রমানুসারে সাজালে যেসকল উপাত্ত ঠিক মাঝখানে থাকে সেগুলোর মানই হবে উপাত্তগুলোর মধ্যক।
• যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে (n + 1)/2 তম পদের মান।
• সেক্ষেত্রে ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩ উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে = (১১+১)/২ = ৬ তম পদের মান।
• সুতরাং উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে = ৮।

৪৫৩.
একটি সভায় কিছু লোক রয়েছে এবং তারা সকলেই সভা শেষে একে অপরের সাথে করমর্দন করে। মোট ১০৫টি করমর্দন হলে সভায় কতজন লোক আছে?
  1. ক
    ১৪ জন
  2. খ
    ১৩ জন
  3. গ
    ১৫ জন
  4. ঘ
    ২৫ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সভায় কিছু লোক রয়েছে এবং তারা সকলেই সভা শেষে একে অপরের সাথে করমর্দন করে। মোট ১০৫টি করমর্দন হলে সভায় কতজন লোক আছে?

সমাধান:
সভায় লোক আছে, = n জন

আমরা জানি,
করমর্দন সংখ্যা = nC2

∴ সভা শেষে মোট করমর্দন সংখ্যা = nC2 = 105
⇒ n!/{(n - 2)! × 2!} = 105
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{(n - 2)! × 2!} = 105
⇒ n(n - 1) = 105 × 2
⇒ n2 - n = 210
⇒ n2 - n - 210 = 0
⇒ n2 - 15n + 14n - 210 = 0
⇒ n(n - 15) + 14(n - 15) = 0
⇒ (n - 15)(n + 14) = 0
∴ n = 15 অথবা n = - 14 [ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ সভায় লোকের সংখ্যা ১৫ জন।
৪৫৪.
INTERNET শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা এবং CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত কত?
  1. ক
    16 : 3
  2. খ
    42 : 1
  3. গ
    21 : 5
  4. ঘ
    15 : 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: INTERNET শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা এবং CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত কত?

সমাধান:
INTERNET শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি যার মধ্যে, N আছে 2টি, T আছে 2 টি এবং E আছে 2 টি।
∴ INTERNET শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 8!/2!2!2! = 5040

CANADA শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে, A আছে 3 টি।
∴ CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3! = 720/6 = 120

INTERNET এবং CANADA শব্দ দুইটির বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত = 5040 : 120
= 42 : 1
৪৫৫.
৪ জন বালক এবং ৪ জন বালিকা গোলটেবিল খেতে বসলে তারা কত উপায়ে বসতে পারে যেন দুই বালক-বালিকা পাশাপাশি না বসে?
  1. ক
    ২৪
  2. খ
    ৩৬
  3. গ
    ৮২
  4. ঘ
    ১৪৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪ জন বালক এবং ৪ জন বালিকা গোলটেবিলে খেতে বসলে তারা কত উপায়ে বসতে পারে যেন দুই বালক-বালিকা পাশাপাশি না বসে?

সমাধান:
একজন বালককে স্থির রেখে বাকী তিনজনকে বিন্যাস করা যায় = ৩!
চারজন বালিকাকে বিন্যাস করা যায় = ৪!

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = ৩! × ৪!
=  ৬ × ২৪
= ১৪৪
৪৫৬.
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক সংযোগ রেখাদ্বারা কয়টি বিভিন্ন ত্রিভুজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) n(n - 1)(n - 2)/3
  2. খ
    খ) n(n - 1)(n - 2)/2
  3. গ
    গ) n(n - 1)(n - 2)/5
  4. ঘ
    ঘ) n(n - 1)(n - 2)/6
ব্যাখ্যা

বহুভুজের কৌণিক বিন্দু = n
3টি কৌণিক বিন্দুর সমাবেশ থেকে একটি ত্রিভুজ গঠিত হয়
∴ মোট ত্রিভুজ সংখ্যা = nc3
= n!/3!(n - 3)!
=n(n - 1)(n - 2)(n - 3)!/6(n - 3)!
= n(n -1)(n - 2)/6

৪৫৭.
1, 2, 4, 6, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    60
  2. খ
    120
  3. গ
    180
  4. ঘ
    160
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1, 2, 4, 6, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 5টি।

4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= 5P4
= (5!)/(5 - 4)!
= 5!/1!
= 5!
= 120

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 120 টি।
৪৫৮.
১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬ অংক গুলো প্রতিটি একবার নিয়ে ৪ অংকের ক্ষুদ্রতম কতগুলো ভিন্ন সংখ্যা হবে?
  1. ক
    ক) ১২০
  2. খ
    খ) ২৪০
  3. গ
    গ) ৩৬০
  4. ঘ
    ঘ) ৫৪০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬ অংক গুলো প্রতিটি একবার নিয়ে ৪ অংকের ক্ষুদ্রতম কতগুলো ভিন্ন সংখ্যা হবে?

সমাধান:
এখানে, অংক আছে 6টি
অংকগুলো থেকে প্রতিটি একবার নিয়ে 4 অংকের ভিন্ন সংখ্যা = 6P4
= 360
৪৫৯.
FREEDOM শব্দটির বর্ণগুলো কত উপায়ে পুনর্বিন্যাস করা যায়?
  1. ক
    ক) 2519
  2. খ
    খ) 2520
  3. গ
    গ) 2521
  4. ঘ
    ঘ) 2522
ব্যাখ্যা

FREEDOM শব্দটিতে 7টি বর্ণ আছে যাদের 2টি E.
∴ সবগুলো বর্ণ নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 2520
∴ পুনর্বিন্যাস সংখ্যা = 2520 - 1 = 2519

৪৬০.
8Pr = 336 হলে, r এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    6
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8Pr = 336 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
8Pr = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 6 × 7 × 8
⇒ (8 - r)! × 6 × 7 × 8 = 8!
⇒ (8 - r)! = (8 × 7 × 6 × 5!)/(6 × 7 × 8)
⇒ (8 - r)! = 5!
⇒ (8 - r) = 5
⇒ r = 8 - 5
∴ r = 3

৪৬১.
যদি 5 × nP3 = 4 × (n + 1)P3, n এর মান কত?
  1. ক
    14
  2. খ
    18
  3. গ
    22
  4. ঘ
    26
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 5 × nP3 = 4 × (n + 1)P3, n এর মান কত?

সমাধান:
5 × nP3 = 4 × (n + 1)P3
5 × n × (n - 1) × (n - 2) = 4 × (n + 1) × n × (n - 1)
Or, 5(n - 2) = 4(n + 1)
Or, 5n - 10 = 4n + 4
Or, 5n - 4n = 4 + 10
∴ n = 14
৪৬২.
কোনো পরীক্ষায় কৃতকার্য হতে ৬টি বিষয়ের প্রত্যেকটিতে নূন্যতম নাম্বার পেতে হয়। একজন পরীক্ষার্থী কত প্রকারে অকৃতকার্য হতে পারে?
  1. ক
    ক) ৬১
  2. খ
    খ) ৬৩
  3. গ
    গ) ৬৫
  4. ঘ
    ঘ) ৬২
ব্যাখ্যা
একজন ছাত্র ১টি বিষয়ে, ২টি বিষয়ে, ৩টি বিষয়ে, ৪টি বিষয়ে, ৫টি বিষয়ে বা ৬টি বিষয়ে নূন্যতম নম্বর না পেলে অকৃতকার্য হবে।

∴ অকৃতকার্য হবার মোট উপায় = ৬c১×৬c২×৬c৩×৬c৪×৬c৫×৬c৬
= ৬+১৫+২০+১৫+৬+১
= ৬৩।
৪৬৩.
৩ জন বালক ও ৪ জন বালিকার একটি দল থেকে একজন বালক ও দুইজন বালিকা নিয়ে কত প্রকারে একটি দল গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ১২
  2. খ
    ১৮
  3. গ
    ২৪
  4. ঘ
    ৩২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ জন বালক ও ৪ জন বালিকার একটি দল থেকে একজন বালক ও দুইজন বালিকা নিয়ে কত প্রকারে একটি দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৩ জন বালক ও ৪ জন বালিকার একটি দল থেকে একজন বালক ও দুইজন বালিকা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ৩C১ × ৪C২
= ৩ × ৬
= ১৮ উপায়ে
৪৬৪.
OXFORD শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ গুলো একত্রে থাকবে?
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 120
  3. গ
    গ) 360
  4. ঘ
    ঘ) 240
ব্যাখ্যা

মোট অক্ষর 6 টি যাদের মধ্যে 2 টি O অর্থাৎ স্বরবর্ন বাকী 4 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ
∴ সাজানোর উপায় 5! = 120

৪৬৫.
যদি 8Pr = 336 হয়, তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    7
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 8Pr = 336 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
8Pr = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 336 [আমরা জানি, nPr = n!/(n - r)!]
⇒ 40320/(8 - r)! = 336
⇒ (8 - r)! = 40320/336 
⇒ (8 - r)! = 120
⇒ (8 - r)! = 5!  [5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120]
⇒ 8 - r = 5
⇒ r = 8 - 5 
∴ r = 3

৪৬৬.
FATHER শব্দটি থেকে প্রতিবারে দুটি অক্ষর নিয়ে কতভাবে সাজানো যায়?
  1. ক
    ৩০
  2. খ
    ৪০
  3. গ
    ৫০
  4. ঘ
    ৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: FATHER শব্দটি থেকে প্রতিবারে দুটি অক্ষর নিয়ে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
FATHER শব্দটিতে মোট ৬টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর রয়েছে।
প্রতিবারে দুটি অক্ষর নিয়ে সাজানো যায় ৬P২ = ৩০ উপায়ে
৪৬৭.
17 বাহু বিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দু গুলি সংযোগ করে কত গুলি ত্রিভুজ পাওয়া যায়?
  1. ক
    ক) 390
  2. খ
    খ) 260
  3. গ
    গ) 680
  4. ঘ
    ঘ) 760
ব্যাখ্যা

∴নির্ণেয় ত্রিভুজের সংখ্যা = 17C3 = 680

৪৬৮.
6Pr = 360 এবং 6Cr = 15 হলে r এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    8
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6Pr = 360 এবং 6Cr = 15 হলে r এর মান কত? 

সমাধান: 
nPr = nCr × r!
6Pr = 6Cr × r!
6Pr = 15 × r!
360 = 15 × r!
r! = 360/15
r! = 24
r! = 4!
r = 4
৪৬৯.
'BALLOON' শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'SCHOOL' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?
  1. ক
    5.5 গুণ
  2. খ
    2.5 গুণ
  3. গ
    5.2 গুণ
  4. ঘ
    3.5 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'BALLOON' শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'SCHOOL' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

সমাধান:
'BALLOON' শব্দে মোট 7 টি বর্ণ রয়েছে । 
এখানে 'L' দুটি এবং 'O' দুটি, সুতরাং পুনরাবৃত্তি রয়েছে।

তাহলে,
'BALLOON'এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!) = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/(2 × 2!) = 1260
 
আবার,
'SCHOOL' শব্দে মোট 6টি বর্ণ রয়েছে, যেখানে 'O' বর্ণটি 2টি ।
তাহলে,
'SCHOOL' এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2! = 720/2 = 360

∴ প্রথম শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা দ্বিতীয়টির বিন্যাস সংখ্যার = (1260/360) গুণ
= 3.5 গুণ
৪৭০.
একজন সভাপতি পদের জন্য 3 জন প্রার্থী। 5 জন লোকের ভোটে একজন নির্বাচিত হবেন। কত প্রকারে তাঁরা ভোট দিতে পারবেন? 
  1. ক
    ক) 125
  2. খ
    খ) 625
  3. গ
    গ) 243
  4. ঘ
    ঘ) 729
ব্যাখ্যা
প্রার্থীর সংখ্যা n = 3 জন 
ভোটার  সংখ্যা r = 5 জন 

তাঁরা ভোট দিতে পারবেন =nr
                                        = 35
                                        = 243
৪৭১.
একটি বাক্সে 10 টি নীল ও 15 টি লাল মার্বেল আছে। যেমন খুশি টেনে প্রতিবার একটি করে পর পর দুইটি মার্বেল উঠালে দুটি একই রং -এর মার্বেল হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 1/3
  3. গ
    গ) 2/3
  4. ঘ
    ঘ) 1/5
ব্যাখ্যা

মোট বল = 10 + 15 = 25 টি
নীল বল তোলার সম্ভাবনা = (10/25) × (9/24) = 3/20
লাল বল তোলার সম্ভাবনা = (15/25) × (14/24) =7/20
মোট সম্ভাবনা = 3/20 + 7/20 = 1/2.

৪৭২.
16 সদস্যবিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    240
  2. খ
    188
  3. গ
    220
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16 সদস্যবিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
16 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 16C1 = 16 উপায়ে
15 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 15C1 = 15 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 16 × 15 = 240

৪৭৩.
'DEGREE' শব্দটি থেকে প্রতিবারে 4 টি করে বর্ণ নিয়ে মোট কতগুলো শব্দ তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    11
  2. খ
    7
  3. গ
    13
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

'DEGREE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে 3টি E আছে। 3টি E কে একটি ধরে বর্ণ সংখ্যা হয় 4টি।

(1) সবগুলো ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = 4C4
= 1

(2) দুটি অভিন্ন এবং দুটি ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = 2C2 × 3C2
= 1 × 3
= 3

(3) তিনটি অভিন্ন এবং একটি ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = 3C3 × 3C1
= 1 × 3
=3

সুতরাং মোট শব্দ তৈরি করা যাবে = 1 + 3 + 3
= 7

৪৭৪.
AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রতিবারে 3 টি বর্ণ নিয়ে গঠিত ভিন্ন ভিন্ন শব্দ সংখ্যা কত হবে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 135
  3. গ
    গ) 240
  4. ঘ
    ঘ) 270
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত শব্দটিতে A দুইবার আছে। 6 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থেকে প্রতিবারে 3 টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
= 6P3
= 120
আবার, 2 টি A কে 5 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণের সাথে নিলে 3 টি বর্ণ নিয়ে গঠিত শব্দ সংখ্যা
= 3C2 × 5C1
= 3 × 5
= 15
মোট শব্দ সংখ্যা = 120 + 15 = 135
৪৭৫.
'ACCURATE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর U ও শেষ অক্ষর T থাকে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 180
  3. গ
    গ) 100
  4. ঘ
    ঘ) 360
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'ACCURATE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর U ও শেষ অক্ষর T থাকে?

সমাধান: 
'ACCURATE' শব্দে 8টি বর্ণ আছে। যেখানে 
A = 2টি
C = 2টি

১ম অক্ষর U ও শেষ অক্ষর T থাকলে বাকী থাকে 6টি অক্ষর

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
                         = 180 উপায়ে
৪৭৬.
প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার নিয়ে 7, 6, 3, 5, 2, 4 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্ক বিশিষ্ট কত গুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যায়? 
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 216
  3. গ
    গ) 100
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার নিয়ে 7, 6, 3, 5, 2, 4 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্ক বিশিষ্ট কত গুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যায়? 

সমাধান: 
প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার নিয়ে 7, 6, 3, 5, 2, 4 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্ক বিশিষ্ট ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে = 6P3 = 120
৪৭৭.
যদি 5 × nP3 = 4 × (n + 1)P3 হয়, তাহলে n এর মান কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    11
  3. গ
    12
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 5 × nP3 = 4 × (n + 1)P3 হয়, তাহলে n এর মান কত?

সমাধান:
⇒ nP3 = n × (n - 1) × (n - 2)
⇒ (n+1)P3 = (n + 1) × n × (n - 1)

এখন,
5 × n × (n - 1) × (n - 2) = 4 × (n + 1) × n × (n - 1)
⇒ 5(n - 2) = 4(n + 1)
⇒ 5n - 10 = 4n + 4
⇒ 5n - 4n = 4 + 10
⇒ n = 14
৪৭৮.
১৭টি বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগ করে কতগুলি ত্রিভুজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) ৩৪০
  2. খ
    খ) ৬৮০
  3. গ
    গ) ২৪০
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
একটি ত্রিভুজের গঠন করতে ৩টি বিন্দুর প্রয়োজন।
∴ নির্ণেয় ত্রিভুজের মোট সংখ্যা = ১৭c৩ = ৬৮০।
৪৭৯.
CADRE শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?
  1. ক
    120 টি
  2. খ
    96 টি
  3. গ
    48 টি
  4. ঘ
    240টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: CADRE শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
CADRE শব্দটিতে মোট বর্ণ 5টি, স্বরবর্ণ আছে 2টি।
CADRE শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
এখন,
একটি উপাদানের মোট বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস/উপাদান সংখ্যা
= 120/5
= 24

∴ 2টি স্বরবর্ণ এর জন্য বিন্যাস = (24 × 2) = 48টি

অতএব, 48টি বিন্যাসের শুরুতে স্বরবর্ণ থাকবে ।
৪৮০.
৭ জন বালক ও ৬ জন বালিকা থেকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট কতটি দল ঘোষণা করা যাবে যেখানে কমপক্ষে ৩ জন বালক থাকবে?
  1. ক
    ৬৪৫
  2. খ
    ৭৩৪
  3. গ
    ৭৫৬
  4. ঘ
    ৬১২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন বালক ও ৬ জন বালিকা থেকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট কতটি দল ঘোষণা করা যাবে যেখানে কমপক্ষে ৩ জন বালক থাকবে?

সমাধান:
বালক      বালিকা
৩            ২
৪             ১
৫            ০

১ম ক্ষেত্রে দল = ৭C৩ × ৬C২ = ৩৫ × ১৫ = ৫২৫
২য় ক্ষেত্রে দল = ৭C৪ × ৬C১ = ৩৫ × ৬ = ২১০
৩য় ক্ষেত্রে দল = ৭C৫ = ২১

∴ মোট দলের সংখ্যা = ৫২৫ + ২১০ + ২১ = ৭৫৬
৪৮১.
একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?
  1. ক
    256
  2. খ
    128
  3. গ
    64
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান:
সাদা বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি 
লাল বল =  4টি 

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = 3C1 × 6C2
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় = 3C2 × 6C1
3টি সবুজ বল থেকে 3টি  = 3C3

মোট উপায়  = (3C1 × 6C2) + (3C2 × 6C1) + (3C3) 
= (45 + 18 + 1)
= 64
৪৮২.
2nCr = 2nCr + 2 হলে r এর মান কত?
  1. ক
    n
  2. খ
    n + 1
  3. গ
    n - 1
  4. ঘ
    2n - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2nCr = 2nCr + 2 হলে r এর মান কত? 

সমাধান: 
2nCr = 2nCr + 2 
বা, 2nC2n - r = 2nCr + 2
বা, 2n - r = r + 2 
বা, 2n - 2 = r + r 
বা, 2r = 2(n - 1) 
বা, r = 2(n - 1)/2 
∴ r = n - 1.
৪৮৩.
  1. ক
    231
  2. খ
    221
  3. গ
    241
  4. ঘ
    251
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
৪৮৪.
9 জন বালক ও 8 জন বালিকা থেকে 2 জন বালক ও 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেয়া যায়?
  1. ক
    4032
  2. খ
    2016
  3. গ
    1008
  4. ঘ
    64
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9 জন বালক ও 8 জন বালিকা থেকে 2 জন বালক ও 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেয়া যায়?

সমাধান:
9 জন বালক থেকে 2 জন বালক বেছে নেওয়া যায় = 9C2 = 36 উপায়ে 
8 জন বালিকা থেকে 2 জন বালিকা বেছে নেওয়া যায় = 8C2 = 28 উপায়ে 

9 জন বালক ও 8 জন বালিকা থেকে 2 জন বালক ও 2 জন বালিকা বেছে নেওয়া যায় = 36 × 28 = 1008 উপায়ে 
৪৮৫.
'Courage' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যায় যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?
  1. ক
    ৫০৪০
  2. খ
    ১৪৪
  3. গ
    ২১০
  4. ঘ
    ২৮৮০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'Courage' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যায় যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?

সমাধান:
Courage শব্দটিতে ৭ টি অক্ষর যার মধ্যে চারটি স্বরবর্ণ (o, u, a, e) আছে।

প্রথমে o স্বরবর্ণ রেখে বাকি ৬টি অক্ষরকে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ৬! = ৭২০
প্রথমে u স্বরবর্ণ রেখে বাকি ৬টি অক্ষরকে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ৬! = ৭২০
প্রথমে a স্বরবর্ণ রেখে বাকি ৬টি অক্ষরকে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ৬! = ৭২০
প্রথমে e স্বরবর্ণ রেখে বাকি ৬টি অক্ষরকে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ৬! = ৭২০

∴ স্বরবর্ণ প্রথমে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা হয় = ৪ × ৭২০ = ২৮৮০
৪৮৬.
'MEDICAL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    5040
  2. খ
    2520
  3. গ
    40320
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'MEDICAL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
'MEDICAL' শব্দটিতে 7টি বর্ণ আছে। এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।
∴ 'MEDICAL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 7! = 5040
৪৮৭.
LIVEMCQ শব্দটি কত প্রকারে সাজানো যাবে যার প্রথমে I এবং শেষে L থাকবে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 720
  3. গ
    গ) 5040
  4. ঘ
    ঘ) None of them
ব্যাখ্যা
LIVEMCQ শব্দটি সাজানো যাবে যার প্রথমে I এবং শেষে L থাকবে = 5! = 120 প্রকারে.
৪৮৮.
চারজন মহিলা ও ছয়জন পুরুষের মধ্য হতে চার সদস্য বিশিষ্ট একটি উপকমিটি কত প্রকারে গঠন করা যাবে, যাতে একজন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত হবে?
  1. ক
    ক) ১২৬
  2. খ
    খ) ২০৮
  3. গ
    গ) ৮৪
  4. ঘ
    ঘ) ৪২
ব্যাখ্যা
একজন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই অন্তর্ভূক্ত হবে
∴ পুরুষ = ৬-১ = ৫
∴ কমিটি গঠনের সম্ভাব্য উপায়গুলো নিম্নরূপঃ (প্রতিবার ১জন বিয়োগ, কারণ আগে থেকে একজন নির্দিষ্ট থাকবে।)

উপায় | পুরুষ(৫) | মহিলা(৪)
i) | ৪-১=৩ | ০
ii) | ৩-১=২ | ১
iii) | ২-১=১ | ২
iv) | ১-১=০ | ৩

∴ কমিটি গঠনের উপায় = (৫C৩×৪C০)+(৫C২×৪C১)+(৫C১×৪C২)+(৫C০×৪C৩) = ১০+৪০+৩০+৪ = ৮৪।
৪৮৯.
5, 9, 4, 1 অঙ্কগুলো দ্বারা 5000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরী করা যাবে?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 24
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা

5, 9, 4, 1 অঙ্ক গুলি দ্বারা গঠিত যে সব সংখ্যার প্রথম স্থানে 5 অথবা 9 থাকবে সে সকল সংখ্যা 5000 এর চেয়ে বড় হবে।
প্রথম স্থানে 5 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6
আবার, প্রথম স্থানে 9 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6
সুতরাং, 5000 এর চেয়ে বড় সংখ্যা (6+6) = 12.

৪৯০.
১২টি বিন্দু দিয়ে কত উপায়ে ত্রিভুজ গঠন করা যবে?
  1. ক
    ২৮০
  2. খ
    ৫৬০
  3. গ
    ১১০
  4. ঘ
    ২২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২টি বিন্দু দিয়ে কত উপায়ে ত্রিভুজ গঠন করা যবে?

সমাধান: 
ত্রিভুজ গঠন করতে বিন্দু প্রয়োজন ৩ টি।

অর্থাৎ, 12C3 = 12!/(3!)(9!) = 220 উপায়ে ত্রিভুজ গঠন করা যবে।
৪৯১.
A,B,C,D বর্ণগুলোর বিন্যাস সংখ্যা -
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 24
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা

4 টি বর্ণ নিয়ে মোট সাজানোর উপায় = 4!

৪৯২.
4 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) 210
  2. খ
    খ) 304
  3. গ
    গ) 84
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা

যেহেতু ১ জন পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকবে তাই ৫+৪ =৯ জন থেকে ৩ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে = 9c3 = 84

৪৯৩.
APPLE শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায় যখন P গুলো একত্রে থাকবে না?
  1. ক
    24
  2. খ
    36
  3. গ
    48
  4. ঘ
    60
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: APPLE শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায় যখন P গুলো একত্রে থাকবে না?

সমাধান:
APPLE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে 5টি, যেখানে P আছে ২ বার এবং বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন।
∴ APPLE শব্দটিকে সাজানো যায় 5!/2! = 60 উপায়ে।

P দুটি নিজেদের মধ্যে 2!/2! = 1 উপায়ে সাজে।

এখন P দুটিকে ১টি অক্ষর বিবেচনা করে মোট অক্ষর হয় 4টি 
এই 4 টি অক্ষরকে সাজানো যায় = 4! = 24 উপায়ে
∴ P দুটিকে একত্রে রেখে সাজানো যায় 24 × 1 = 24 উপায়ে

∴ P দুটি একত্রে থাকবে না = (60 - 24) = 36 উপায়ে
৪৯৪.
একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে 9টি দল অংশগ্রহণ করেছে। একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করা যাবে? 
  1. ক
    ক) 18
  2. খ
    খ) 36
  3. গ
    গ) 21
  4. ঘ
    ঘ) 42
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে 9টি দল অংশগ্রহণ করেছে। একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করা যাবে? 

সমাধান: 
প্রতিটি খেলার জন্য 9টি দল থেকে 2টি দল নির্বাচন করতে হবে 

মোট খেলার সংখ্যা = 9C2 = 36
৪৯৫.
15 টি বিন্দু দিয়ে কতগুলো চতুর্ভুজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    1365
  2. খ
    1260
  3. গ
    1450
  4. ঘ
    1600
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 15 টি বিন্দু দিয়ে কতগুলো চতুর্ভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি চতুর্ভুজ গঠন করতে 4টি বিন্দুর প্রয়োজন হয়।
এখানে মোট বিন্দুর সংখ্যা, n = 15
∴ ১৫ টি বিন্দু দিয়ে গঠিত চতুর্ভুজ সংখ্যা = 15C4
= 15!/{4! × (15 - 4)!}
= 15!/(4! × 11!)
= (15 × 14 × 13 × 12 × 11!)/(4 × 3 × 2 × 1 × 11!)
= (15 × 14 × 13 × 12)/(4 × 3 × 2 × 1)
= (15 × 14 × 13 × 12)/24
= 32760/24
= 1365

৪৯৬.
বাংলাদেশ ফুটবল দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৭ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ১৪৪ উপায়ে
  2. খ
    ২২০ উপায়ে
  3. গ
    ২৭২ উপায়ে
  4. ঘ
    ১৮২ উপায়ে
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাংলাদেশ ফুটবল দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৭ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
১৭ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৭C১ = ১৭ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৭ - ১) = ১৬ জন

১৬ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৬C১ = ১৬ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৭ × ১৬ = ২৭২ উপায়ে

৪৯৭.
যদি 5pr = 60 এবং 5cr = 10 হয় তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 5pr = 60 এবং 5cr = 10 হয় তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
npr = n!/(n-r)!

এবং 
ncr = n!/(n-r)!r!
⇒ ncr = {n!/(n-r)!} × (1/r!)
⇒ ncr = npr  × (1/r!)
⇒ npr = ncr × r!
⇒ 5pr = 5cr × r!
⇒ 60 = 10 × r!
⇒ 6 = r!
⇒ r! = 3!
⇒ r = 3
৪৯৮.
BOOK শব্দের বর্ণগুলোকে মোট কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?
  1. ক
    ক) ১৫
  2. খ
    খ) ১৮
  3. গ
    গ) ১৪
  4. ঘ
    ঘ) ১২
ব্যাখ্যা

BOOK শব্দটিতে মোট 4 টি বর্ণ আছে যার মধ্যে O আছে 2 টি।
সুতরাং, নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা 4!/2! = 12

৪৯৯.
3 জন ছাত্র ও 5 জন ছাত্রীকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন ছাত্র সর্বদা একত্রে থাকবে?
  1. ক
    ক) 5760
  2. খ
    খ) 4320
  3. গ
    গ) 2880
  4. ঘ
    ঘ) 2160
ব্যাখ্যা

3 জন ছাত্র সর্বদা একত্রে থাকবে বলে 3 জনকে 1 জন ধরতে হবে। তাহলে 1 ছাত্র জন ও 5 জন ছাত্রী মিলে মোট 6 জন হবে।
সুতরাং একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6!×3! (যেহেতু 3 জন ছাত্রের নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = 3!)
= 720 × 6
= 4320

৫০০.
ncr + ncr + 1 = ?
  1. ক
    n + 1cr
  2. খ
    ncr + 1
  3. গ
    n + 1cr + 1
  4. ঘ
    n - 1cr
ব্যাখ্যা

অনুসিদ্ধান্ত অনুসারে-
nCr + nCr + 1 = n + 1Cr
এখন,
r এর স্থলে r + 1 বসিয়ে পাই
nCr + 1 + nCr +2 = n + 1Cr + 1