বিন্যাস ও সমাবেশ

প্রশ্ন: একটি মিটিং এ ১২ জন ব্যক্তি উপস্থিত আছেন। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করমর্দন করলে মোট কতগুলো করমর্দনের ঘটনা ঘটবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রতি ২ জনে ১ টি করে করমর্দন হয়। 

সুতরাং,
মোট করমর্দনের সংখ্যা,
= ^১২C_২
= ১২!/{২! × (১২ - ২)!}
= ১২!/(২! × ১০!)
= (১২ × ১১ × ১০!)/(২! × ১০!)
= (১২ × ১১)/২
= ৬৬

প্রশ্ন: 'COMPUTER' শব্দটির অক্ষরগুলিকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যেন স্বরবর্ণগুলি (vowels) সবসময় জোড় অবস্থানে (even positions) থাকে? 

সমাধান: 
'COMPUTER' শব্দটিতে মোট 8টি অক্ষর আছে।
স্বরবর্ণ আছে ৩টি (O, U, E)।
ব্যঞ্জনবর্ণ আছে ৫টি (C, M, P, T, R)।
মোট 8টি স্থানের মধ্যে জোড় স্থান আছে 4টি (২য়, ৪র্থ, ৬ষ্ঠ, ৮ম)।

এখন, 
স্বরবর্ণ সাজানোর উপায়,
 4টি জোড় স্থানের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণকে সাজানো যাবে = ⁴P₃ = 4!/(4 - 3)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24  উপায়ে।

আবার,
ব্যঞ্জনবর্ণ সাজানোর উপায়,
বাকি (8 - 3) = 5টি স্থানে বাকি 5টি ব্যঞ্জনবর্ণকে সাজানো যাবে  = ⁵P₅ = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

∴ মোট উপায় =  24 × 120 = 2880

দেওয়া আছে,
5^{(2x - 6)} = 7^{(2x - 6)}
বা, 5^{(2x - 6)}/7^{(2x - 6)} = 1
বা, (5/7)^{(2x - 6)} = 1
বা, (5/7)^{(2x - 6)} = (5/7)⁰
বা, 2x - 6 = 0
বা, 2x = 6
বা, x = 6/2
বা, x = 3

AMERICA শব্দটিতে 7টি বর্ণ আছে যাদের 2টি A অর্থাৎ, 6 ধরণের বর্ণ রয়েছে।
প্রতিবার 3টি বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠনের ক্ষেত্রে
(i) সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন
(ii) 2টি A বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন

(i) এর ক্ষেত্রে শব্দ সংখ্যা = ⁶p₃ = 120
(ii) এর ক্ষেত্রে শব্দ সংখ্যা = ⁵c₁ × 1 × 3!/2! = 15

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = 120 + 15 = 135

'INSURANCE' শব্দটিতে 4টি স্বরবর্ণ রয়েছে। স্বরবর্ণ গুলোকে একটি বর্ণ ধরে বর্ণ দাঁড়ায় (IUAE), N, S, R, N, C অর্থাৎ দুটি N সহ মোট 6টি বর্ণ। অতএব স্বরবর্ণগুলোকে একটি বর্ণ ধরে মোট 6টি বর্ণকে সাজানোর উপায় = 6!/2!। কিন্তু 4টি স্বরবর্ণকে নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় = 4!
সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2! × 4!
= 360 × 24 = 8640।

প্রশ্ন: 14 টি পুস্তক থেকে 5 টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 3 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমাবেশ = ^{n - m}C_{r - m}  [যেখানে, মোট পুস্তক = n, প্রতিবার নিতে হবে = r, সর্বদা বাদ বা বর্জন থাকবে = m]
= ^{14 - 3}C_{5 - 3}
= ¹¹C₂
= 11!/2!(11 - 2)!
= (11 × 10  × 9!)/(2  × 9!)
= 55

∴ মোট 55 প্রকারে 5 টি পুস্তক বাছাই করা যাবে।

প্রশ্ন: SUCCESS শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
SUCCESS শব্দটিতে মোট 7টি অক্ষর আছে।
এখানে, অক্ষর 'S' আছে 3 বার এবং অক্ষর 'C' আছে 2 বার।
অন্যান্য অক্ষরগুলো (U, E) একবার করে আছে।

আমরা জানি, n সংখ্যক বস্তুর মধ্যে p সংখ্যক এবং q সংখ্যক বস্তু একজাতীয় হলে বিন্যাস সংখ্যা = n!/(p! × q!)

∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(3! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/{(3 × 2 × 1) × (2 × 1)}
= 5,040/(6 × 2)
 = 5,040/12
= 420

“CONTRIBUTION” শব্দটিতে মোট ১২ টি বর্ণ আছে।
শব্দটিতে ২ টি O, ২ টি N, ২ টি T, ২ টি I এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

সবগুলো বর্ণ একত্রে মোট সাজানো সংখ্যা = (১২!)/(২!২!২!২!)
N দুটিকে একটি বর্ণ মনে করলে মোট বর্ণ সংখ্যা ১১টি ।
N দুটিকে পাশাপাশি রেখে মোট সাজানো সংখ্যা = (১১!)/(২!২!২!)
N দুটি পাশাপাশি থাকবে না সেক্ষেত্রে সাজানো সংখ্যা = (১২!)/(২!২!২!২!) - (১১!)/(২!২!২!)

প্রশ্ন: 7 জন ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে কত উপায়ে বসানো যাবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)! উপায়ে 
∴ 7 জনকে ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (7 - 1)! উপায়ে 
= 6! উপায়ে 
= 720 উপায়ে । 

প্রশ্ন: 5টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 3টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
5টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায়,
= ⁵C₃
= 5!/(3! × 2!)
= (5 × 4)/(2 × 1)
= 10

3টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায়,
= ³C₂
= 3!/(2! × 1!)
= 3

∴ মোট বর্ণ বাছাইয়ের উপায় = 10 × 3 = 30

এখন,
প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে 5টি, এদের সাজানোর উপায়,
= 5! = 120

সুতরাং, মোট শব্দ সংখ্যা = 30 × 120
= 3600

প্রশ্ন: 10 জন ছাত্র ও 5 জন ছাত্রী থেকে কত উপায়ে 4 জন ছাত্র ও 3 জন ছাত্রী নিয়ে একটি দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
10 জন ছাত্র থেকে 4 জন ছাত্র এবং 5 জন ছাত্রী থেকে 3 জন ছাত্রী বাছাই করতে হবে.
∴ মোট উপায় = ¹⁰C₄ × ⁵C₃
= 210 × 10 উপায়
= 2100 উপায়

প্রশ্ন: 15 সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন নির্দিষ্ট অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক সহ ১১ সদস্যের দল কতভাবে নির্বাচন করা যায়?

সমাধান: 
15 সদস্য বিশিষ্ট দল থেকে একজন নির্দিষ্ট অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক সহ ১১ সদস্যের দল বাছাই করতে হলে, ২ জন কে বাছাই এর বাইরে রাখতে হবে।
(১৫ - ২) = ১৩ জনের মধ্য থেকে (১১ - ২) = ৯ জন কে বাছাই করতে হবে। 

উপায় সংখ্যা = ^১৩C_৯ 
= ১৩!/{৯! × (১৩ - ৯)!}
= ১৩!/(৪! × ৯!)
= (১৩ × ১২ × ১১ × ১০ × ৯!)/(৪ × ৩ × ২ × ৯!)
= ৭১৫

∴ মোট উপায় সংখ্যা = ৭১৫ 

প্রশ্ন: “PUZZLES” শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা “SUCCESS” শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
SUCCESS শব্দটিতে মোট 7টি বর্ণ
S = 3টি, C = 2টি, U = 1টি, E = 1টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(3! × 2!)
= 5040/(6 × 2)
= 5040/12
= 420

PUZZLES শব্দটিতে মোট 7টি বর্ণ
Z = 2টি, বাকি সব একবার করে

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= 5040/2
= 2520

∴ অনুপাত = 2520/420 = 6

অতএব, “PUZZLES” শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা “SUCCESS” শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 6 গুণ।

প্রশ্ন: 17 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে 3 টি বিন্দু প্রয়োজন হয়। 

তাহলে,
17 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা,
= ¹⁷C₃
= 17!/{3! × (17 - 3)!}
=17!/(3! × 14!)
= (17 × 16 × 15 × 14!)/(3! × 14!)
= (17 × 16 × 15)/(3 × 2)
= 17 × 8 × 5
= 680

যেহেতু একবার খেলার জন্য দুইজন প্রতিযোগী প্রয়োজন। সুতরাং খেলা অনুষ্ঠিত হবে = 6c₂ = 15 টি।

KANDAHAR শব্দটিতে ৪টি বর্ণ আছে যাদের 3টি স্বরবর্ণ এবং 5টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
স্বরবর্ণগুলোর অবস্থান পরিবর্তন না করে বাকী 5টি বর্ণ সাজানো যায় = 5!
= 120 উপায়ে
∴ পুনর্বিন্যাস করা যায় = 120 - 1
= 119 উপায়ে

প্রশ্ন: 8 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চতুর্দিকে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
8 জন ব্যক্তি 1 টি গোলটেবিলের চতুর্দিকে বসতে পারে,
 (n - 1)!
= (8 - 1)!
= 7!
= 5040

AKUDAMA শব্দটিতে 3 টি A নিয়ে মোট 7 টি অক্ষর আছে।
প্রতিবার 4 টি অক্ষর বাছাই এর ক্ষেত্রে -
(i) 3 টি A অন্য একটি ভিন্ন
(ii) 2 টি A, 2 টি ভিন্ন
(iii) সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন হবে
∴ বাছাই এর উপায় = ⁴c₁ + ⁴c₂ + ⁵c₄
= 4 + 6 + 5
= 15

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 25 জন ছাত্র আছে। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সঙ্গে একবার করে করমর্দন করে। মোট করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট করমর্দনের সংখ্যা = ²⁵C₂
= 25!/2!(25 - 2)!
= (25 × 24 × 23!)/(2 × 23!)
= 25 × 12
= 300

প্রশ্ন: 'POSTAGE' শব্দটির অক্ষরগুলি কত রকমে সাজানো যায় যেন স্বরবর্নগুলো জোড়াস্থানে থাকে?

সমাধান:
POSTAGE শব্দটিতে 3টি স্বরবর্ণ (O, A, E) এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ (P, S, T, G) আছে।
এখন 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 এই সাতটি স্থানের মধ্যে তিনটি জোড়স্থান (2, 4, 6) রয়েছে।

সুতরাং তিনটি জোড়স্থানে 3 টি স্বরবর্ণ রেখে বাকী 4 টি স্থান 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা পূরণ করা যায়
= 4P4
= 4!
= 24 উপায়ে।

 এবং 3 টি স্বরবর্ণ দ্বারা 3 টি জোড় স্থান পূরণ করা যায়
= 3!
= 6 উপায়ে

সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা
= 24 × 6
= 144 উপায়ে।

5 জন বাংলা এর ছাত্রকে গোল টেবিলে বসানো যায় = (5 - 1)! = 24 উপায়ে
∴5 জন গোল হয়ে বসলে তাদের মাঝে ফাকা থাকে 5 টি
এই 5 স্থান গণিতে 5 জন ছাত্র পূরণ করবে ⁵P₅ = 120 উপায়ে
∴মোট আসন সংখ্যা = 24 × 120 = 2880

প্রশ্ন: 'ARRANGE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'ARRANGE' শব্দটিতে মোট বর্ণসংখ্যা = 7 টি
এর মধ্যে A = 2 টি এবং R = 2 টি।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 2)
= 5040 / 4
= 1260

দুটি খেলা পছন্দ করে = F∩C = 10 জন
শুধু ফুটবল পছন্দ করে = 20 - 10 = 10 জন
শুধু ক্রিকেট পছন্দ করে = 15 - 10 = 5 জন
∴খেলা পছন্দ করে = 25 জন
দুটি খেলাই পছন্দ করে না = 40 - 25 = 15 জন।

প্রশ্ন: 'EQUATION' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান: 
এখানে,
Equation শব্দটিতে 8 টি ভিন্ন অক্ষর আছে যথা,  E, Q, U, A, T, I, O, N 

সুতরাং, 8 টি বর্ণ থেকে প্রতিবারে 3 টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁸P₃
= 8!/(8 - 3)!
= 8!/5!
= (8 × 7 × 6 × 5!)/5!
= 8 × 7 × 6
= 336

প্রশ্ন: 11 টি বিন্দু থেকে 6 বাহু বিশিষ্ট কতটি ভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
একটি 6 বাহুবিশিষ্ট বহুভুজ গঠনের জন্য আমাদের 6 টি বিন্দু বেছে নিতে হবে।
আমরা কেবল “11 টি বিন্দু থেকে 6 টি বিন্দু বাছাই” করছি।

তাহলে,
¹¹C₆ = (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6)/(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 462

∴ 6 বাহু বিশিষ্ট কতটি ভুজ আঁকা সম্ভব = 462 টি

পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করতে হলে ১ম অংকটি ০ ছাড়া বাকী চারটি দ্বারা পূর্ণ করতে হবে যা ⁴p₁ = 4 উপায়ে পূর্ণ
করা যায়।
অবশিষ্ট চারটি ঘর বাকী চারটি অংক দ্বারা 4! = 24 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
সুতরাং এক্ষেত্রে গঠিত মোট সংখ্যা = 4 × 24 = 96

৩ জন ছাত্রকে একত্রে রাখতে হবে তাই তিনজনকে একজন ধরে এবং ৫ জন ছাত্রীকে নিয়ে সাজানো যায় ৬! = ৬×৫×৪×৩×২×১ = ৭২০ ভাবে। আবার তিনজন ছাত্রকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় ৩! = ৩×২×১ = ৬ ভাবে।
মোট সাজানোর সংখ্যা = ৭২০×৬ = ৪৩২০

প্রতিবার 3 টি বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠন এর ক্ষেত্রে -
(a) সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।
(b) 2 টি A বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
(a) এর ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₃ = 120
(b)                                = 1×⁵c₁×3!/2! = 5×3 = 15
∴ মোট শব্দ = 120 + 15 = 135

যেহেতু প্রত্যেকবার 2 জন করে হ্যান্ডশেক করবে সেহেতু মোট হ্যান্ডশেক সংখ্যা 15C2.
15C2
= 15!/{2!×(15-2)!}
= (15×14×13!) / (2!×13!)
= (15×14) / 2
= 105

প্রশ্ন: যদি ⁶P_r = 120 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
⁶P_r = 120
⇒ 6!/(6 - r)! = 120
⇒ 720/(6 - r)! = 120
⇒ (6 - r)! = 720/120
⇒ (6 - r)! = 6
⇒ (6 - r)! = 3!
⇒ 6 - r = 3
⇒ r = 6 - 3
∴ r = 3

প্রশ্ন: 'CIRCLE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
CIRCLE
বর্ণ সংখ্যা 6 টি (C, I, R, C, L, E)
স্বরবর্ণ I, E (2টি)
ব্যঞ্জনবর্ণ C, R, C, L (৪টি, C দুইবার)
স্থান: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬; বেজোড় স্থান: ১, ৩, ৫ (৩টি)

এখন,
বেজোড় স্থানে স্বরবর্ণ (I, E) সাজানো 3 টি স্থান থেকে 2 টি সাজানোর উপায় = ³C₂ = 3
এবং স্বরবর্ণ সাজানোর  উপায় = 2! = 2

∴ মোট সাজানো উপায় = 3 × 2 = 6

আবার, 
বাকি 3 টি স্থানে 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ (C, C, R, L) সাজানোর উপায় = 4!/2! = 24/2 = 12

∴ মোট সাজানো উপায় = 6 × 12 = 72

সুতরাং, 'CIRCLE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট 72 উপায়ে সাজানো যায়।

প্রশ্ন: 20 জন ছাত্রের ক্লাস থেকে 2 জন ছাত্রকে কতভাবে নির্বাচন করা যায়? 

সমাধান: 
20 জন ছাত্রের মধ্যে 2 জনকে নির্বাচন করার উপায়, 
20C2
= 20!/2!(20 - 2)!
= (20 × 19 × 18!)/(2  × 18!)
= 190

প্রশ্ন: "ORANGE" শব্দটিতে কেবল স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে রেখে শব্দটি কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
এখানে মোট বর্ণ আছে 6টি।
স্বরবর্ণ অর্থাৎ Vowel আছে (O, A, E) 3টি।
ব্যঞ্জনবর্ণ অর্থাৎ Consonant আছে (R, N, G) 3টি।

স্বরবর্ণ 3টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6
বাকি 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6 = 36

অতএব, ORANGE শব্দটিকে স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট 36 উপায়ে সাজানো যাবে।

প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 10 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
প্রতিযোগিতায় প্রত্যেক খেলোয়াড় অন্য প্রতিটি খেলোয়াড়ের সাথে একবার করে খেলবে।

∴ খেলার সংখ্যা হবে,
= ¹⁰C₂
= (10 × 9)/2
= 45

∴ মোট খেলার সংখ্যা 45 টি।

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে শুধু জোড় অবস্থানে সীমাবদ্ধ রেখে EXAMPLE শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
এখানে মোট বর্ণ আছে 7টি
স্বরবর্ণ আছে (E, A, E) 3টি এবং যার মধ্যে 2টি E এবং 1টি A.
ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 4টি

স্বরবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3!/2! = 3
বাকি 4টি বর্ণ 4টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ⁴P₄ = 4! = 24

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 3 × 24 = 72

প্রশ্ন: 'LEADING' শব্দটির ব্যঞ্জনবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'LEADING' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
স্বরবর্ণ আছে = 3টি 
এবং ব্যঞ্জনবর্ণ আছে = 4টি 
ব্যঞ্জনবর্ণ চারটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 4টি 
∴ 4টি বর্ণকে সাজানো যায় = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

এবং, ব্যঞ্জনবর্ণ চারটিকে সাজানো যায় = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

∴ ব্যঞ্জনবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 24 × 24 = 576