লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বিন্যাস ও সমাবেশ

মোট প্রশ্ন১,৭৫০এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বিন্যাস ও সমাবেশ

PrepBank · পাতা ১৪ / ১৮ · ১,৩০১–১,৪০০ / ১,৭৫০

১,৩০১.
পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর যেতে ৫ টি পৃথক পথ আছে এবং কালিয়াপুর থেকে রাজগঞ্জ যেতে ৭ টি পৃথক পথ আছে। সিয়াম কত প্রকারে পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর হয়ে রাজগঞ্জ যেতে পারবে?
  1. ক
    ৩৫টি উপায়
  2. খ
    ৪৯টি উপায়
  3. গ
    ৩২টি উপায়
  4. ঘ
    ২৮টি উপায়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর যেতে ৫ টি পৃথক পথ আছে এবং কালিয়াপুর থেকে রাজগঞ্জ যেতে ৭ টি পৃথক পথ আছে। সিয়াম কত প্রকারে পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর হয়ে রাজগঞ্জ যেতে পারবে?

সমাধান: 
সিয়াম পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর হয়ে রাজগঞ্জ যেতে পারবে = ৫ × ৭ উপায়ে
= ৩৫ উপায়ে

সুতরাং ৩৫টি উপায়ে সিয়াম রাজগঞ্জ যেতে পারবে।
১,৩০২.
6টি বইয়ের মধ্যে 3টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    144
  2. খ
    124
  3. গ
    148
  4. ঘ
    128
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6টি বইয়ের মধ্যে 3টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
3টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই = (6 - 3) + 1 = 4টি
4টি বই সাজানোর মোট উপায় = 4!

বিশেষ বই 3টি সাজানোর মোট উপায় = 3!

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 4! × 3!
= 24 × 6
= 144

১,৩০৩.
যদি 7Pr = 210 হয়, তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 7Pr = 210 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 7Pr = 210
⇒ 7!/(7 - r)! = 210
⇒ (7 - r)! = 7!/210
⇒ (7 - r)! = 5040/210 = 24
⇒ (7 - r)! = 4!
⇒ 7 - r = 4
⇒ r = 7 - 4
∴ r = 3

১,৩০৪.
'BIRTHDAY' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে A এবং H থাকবে না? 
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 120
  3. গ
    গ) 180
  4. ঘ
    ঘ) 240
ব্যাখ্যা
'BIRTHDAY' শব্দটিতে ৮টি বর্ণ। 
A এবং H থাকবে না তাহলে 6টি বর্ণ

প্রতিবারে 3টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 6P3 = 120
১,৩০৫.
দশ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?
  1. ক
    20 টি
  2. খ
    35 টি
  3. গ
    21 টি
  4. ঘ
    31 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দশ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা= n(n - 3)/2

∴ আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণ আছে = 10(10 - 3)/2 = 35 টি
১,৩০৬.
'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায় যেখানে শব্দের শেষে সর্বদা একটি ব্যাঞ্জনবর্ণ থাকবে?
  1. ক
    9
  2. খ
    360
  3. গ
    180
  4. ঘ
    480
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায় যেখানে শব্দের শেষে সর্বদা একটি ব্যাঞ্জনবর্ণ থাকবে?

সমাধান: 
'LEADER' শব্দটিতে মোট 6টি বর্ণ রয়েছে, যাদের 3টি (L, D, R) ব্যাঞ্জনবর্ণ।

শব্দের শেষ ঘর 3টি ব্যাঞ্জনবর্ণ দিয়ে 3P1 = 3 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।

∴ অবশিষ্ট পাঁচ ঘর সাজানো যায় = 5!/2!  [ এখানে E দুই বার আছে]
= 60

∴ সাজানোর মোট উপায় = 3 × 60 = 180
১,৩০৭.
8 জন ও 10 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 8 জনের দল থেকে কমপক্ষে 7 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে? 
  1. ক
    1800
  2. খ
    1680
  3. গ
    1350
  4. ঘ
    1200
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 জন ও 10 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 8 জনের দল থেকে কমপক্ষে 7 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে? 

সমাধান: 
১ম দল (8 জন)  ২য় দল(10জন)
১)     8                      3
২)    7                      4 

১নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 8C8 × 10C3 = 1 × 120 = 120
২নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 8C7 × 10C4 = 8 × 210 = 1680

টিম গঠনের উপায় = 120 + 1680  = 1800
১,৩০৮.
'OLYMPICS' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে M এবং P থাকবে না? 
  1. ক
    ক) 30
  2. খ
    খ) 60
  3. গ
    গ) 100
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'OLYMPICS' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে M এবং P থাকবে না? 

সমাধান: 
'OLYMPICS' শব্দটিতে ৮টি বর্ণ। 
M এবং P থাকবে না তাহলে 6টি বর্ণ

প্রতিবারে 3টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 6P3 = 120
১,৩০৯.
ANUBHAW শব্দটিকে কতগুলি পন্থায় বিন্যাস করা যায় তা নির্ণয় করুন?
  1. ক
    2250
  2. খ
    5220
  3. গ
    2500
  4. ঘ
    2520
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ANUBHAW শব্দটিকে কতগুলি পন্থায় বিন্যাস করা যায় তা নির্ণয় করুন?

সমাধান:
ANUBHAW শব্দটিতে 7টি অক্ষর আছে কিন্তু A অক্ষরটি দুইবার দেখা যাচ্ছে
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2520

∴ ANUBHAW শব্দটি 2520 উপায়ে পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে।
১,৩১০.
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'WRITTEN' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?
  1. ক
    720
  2. খ
    2520
  3. গ
    1800
  4. ঘ
    560
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'WRITTEN' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
'WRITTEN' শব্দটিতে মোট বর্ণ 7টি যেখানে T  2টি এবং বাকি বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 2টি।
7টি বর্ণকে সাজানো যায় = 7!/2! = 2520

স্বরবর্ণ দুটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 6টি যেখানে T 2টি
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6!/2!

স্বরবর্ণ দুটিকে সাজানো যায় = 2!

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = (6!/2!) × 2!
= 6!
= 720

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = (2520 - 720)
= 1800
১,৩১১.
4 × nP3 = 5 × n - 1P3 হলে, n এর মান কত ?
  1. ক
    16
  2. খ
    15
  3. গ
    17
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 × nP3 = 5 × n - 1P3 হলে, n এর মান কত ?

সমাধান: 
4 × nP3 = 5 × n - 1P3
4 × n!/(n - 3)! = 5 × (n - 1)!/ (n - 1 - 3)!
4 × n!/(n - 3)! = 5 × (n - 1)!/ (n - 4)! 
4 ×n(n -1)!/(n - 3)(n - 4)! =  5 × (n - 1)!/ (n - 4)!
4n/(n - 3) = 5 
5n - 15 = 4n 
5n - 4n = 15 
n = 15 
১,৩১২.
3 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন পুরুষ সর্বদা একত্রে থাকবে?
  1. ক
    420
  2. খ
    620
  3. গ
    880
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন পুরুষ সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট পুরুষ ও মহিলা = (3 + 4) = 7 জন
তিনজন পুরুষ একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (1 + 4) জন
= 5 জন
∴ 5 জনকে সাজানো যায় = 5!
∴ 3 জন পুরুষকে সাজানো যায় = 3!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! × 3!
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 120 × 6
= 720

১,৩১৩.
12 টি পুস্তক থেকে 5টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2টি পুস্তক কখন ও অর্ন্তভুক্ত হবে না?
  1. ক
    120
  2. খ
    252
  3. গ
    792
  4. ঘ
    30240
ব্যাখ্যা

সমাবেশ সংখ্যা = (12 - 2)C5
= 10C5
= 252

১,৩১৪.
14 বাহুবিশিষ্ট বহুভূজের কতটি কর্ণ আছে?
  1. ক
    52 টি
  2. খ
    60 টি
  3. গ
    77 টি
  4. ঘ
    86 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 14 বাহুবিশিষ্ট বহুভূজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 14

∴ কর্ণের সংখ্যা = nC2 - n
= 14C2 - n
= {14!/2!(14 - 2)!} - 14
= {14!/2! × 12!} - 14
= 91 - 14
= 77
১,৩১৫.
একজন ব্যক্তির ১২ জন বন্ধু আছে যাদের মধ্যে ৭ জন মেয়ে। তিনি কত প্রকারে ৬ জন বন্ধুকে দাওয়াত দিতে পারেন যাদের মধ্যে ৪ জন মেয়ে বন্ধু থাকবেন?
  1. ক
    ক) ৩৩৬
  2. খ
    খ) ৩৫০
  3. গ
    গ) ৩৫
  4. ঘ
    ঘ) ৪৫
ব্যাখ্যা

৭ জন মেয়ে বন্ধু থেকে ৪ জনকে সাজানো যায় 7C4 উপায়ে
(১২ - ৭) বা ৫ জন ছেলে বন্ধু থেকে (৬ - ৪) বা ২ জন ছেলে বন্ধুকে সাজানো যায় 5C2 উপায়ে
মোট সাজানো সংখ্যা =7C4 x 5C2 
= 7.6.5.4!/4!3! x 5.4.3!/2!3!
= 35 x 10 = 350

১,৩১৬.
একটি সম্মেলনে কিছু প্রতিনিধি উপস্থিত ছিলেন। যদি তারা প্রত্যেকেই পরস্পরের সাথে কেবল একবার করমর্দন করে এবং করমর্দনের মোট সংখ্যা 105 হয়, তাহলে ঐ সম্মেলনে কতজন প্রতিনিধি উপস্থিত ছিলেন?
  1. ক
    12 জন
  2. খ
    15 জন
  3. গ
    18 জন
  4. ঘ
    25 জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সম্মেলনে কিছু প্রতিনিধি উপস্থিত ছিলেন। যদি তারা প্রত্যেকেই পরস্পরের সাথে কেবল একবার করমর্দন করে এবং করমর্দনের মোট সংখ্যা 105 হয়, তাহলে ঐ সম্মেলনে কতজন প্রতিনিধি উপস্থিত ছিলেন?

সমাধান:
মনে করি, ঐ সম্মেলনে n সংখ্যক প্রতিনিধি উপস্থিত ছিলেন।

প্রশ্নানুসারে,
nC2 = 105
⇒ n!/{2!(n - 2)!} = 105
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 105
⇒ n(n - 1)/2 = 105
⇒ n(n - 1) = 210
⇒ n2 - n = 210
⇒ n2 - n - 210 = 0
⇒ n2 - 15n + 14n - 210 = 0
⇒ n(n - 15) + 14(n - 15) = 0
⇒ (n + 14)(n - 15) = 0
⇒ n = - 14 অথবা n = 15

n এর মান - 14 গ্রহণযোগ্য নয় (কারণ n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না)।
∴ n = 15

∴ ঐ সম্মেলনে 15 জন প্রতিনিধি উপস্থিত ছিলেন।

১,৩১৭.
‘DEGREE’ শব্দটির অক্ষরগুলি থেকে যেকোনো 4টি অক্ষর প্রত্যেক বার নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) ৫
  2. খ
    খ) ৬
  3. গ
    গ) ৭
  4. ঘ
    ঘ) ৮
ব্যাখ্যা

‘DEGREE’ শব্দটিতে 3 টি E সহ 6 টি বর্ণ আছে।
4 টি অক্ষর প্রত্যেক বার নিয়ে বাছাই করা যায় 4 টি অক্ষরই ভিন্ন = 4C4 = 1
2 বর্ণ একই এবং 2 বর্ণ ভিন্ন = 2C2 x 3C2 = 3
3 টি বর্ণ একই এবং 1 বর্ণ ভিন্ন = 3C3 x 3C1 = 3
বর্ণগুলো বাছাই এর মোট সংখ্যা = 1 + 3 + 3 = 7

১,৩১৮.
একটি ক্লাবের 5 জন মহিলা এবং 7 জন পুরুষ আছে। 4 সদস্য বিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে যাতে একজন নির্দিষ্ট মহিলা সর্বদাই উপস্থিত থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    120
  2. খ
    84
  3. গ
    225
  4. ঘ
    165
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের 5 জন মহিলা এবং 7 জন পুরুষ আছে। 4 সদস্য বিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে যাতে একজন নির্দিষ্ট মহিলা সর্বদাই উপস্থিত থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

 সমাধান:
যেহেতু 1 জন মহিলা সর্বদাই উপস্থিত থাকবে তাই
(5 - 1) + 7 = 4 + 7 = 11 জন থেকে বাকি 3 সদস্য বাছাই করা যাবে = 11C3 
= 11!/3!(11 - 3)!
= (11 × 10 × 9 × 8!)/(3 × 2) × 8!
= 11 × 5 × 3
= 165

∴ কমিটি গঠন করা যেতে পারে ১৬৫ প্রকারে।

১,৩১৯.
'COMPUTER' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?
  1. ক
    5040
  2. খ
    12500
  3. গ
    15250
  4. ঘ
    25200
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'COMPUTER' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?

সমাধান: 
COMPUTER - শব্দটিতে মোট 8টি বিভিন্ন বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ এবং 5টি ব্যঞ্জনবর্ণ।

শব্দের ১ম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = 5P1 = 5

অবশিষ্ট ছয়টি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 7! = 5040 উপায়ে।

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5040 × 5
= 25200 উপায়ে
১,৩২০.
5C2 + 5P2 = ?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 20
  3. গ
    গ) 30
  4. ঘ
    ঘ) 130
ব্যাখ্যা
5C2 + 5P2
= 5!/(2!3!) + 5!/3!
=  10 + 20
= 30 
১,৩২১.
9 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    76
  2. খ
    84
  3. গ
    96
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
তিনটি বিন্দু দিয়ে গঠিত হয় ত্রিভুজ।

∴ 9 টি বিন্দু ‍দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যায় = 9C3
= 84
১,৩২২.
'COMPUTER' শব্দের অক্ষরগুলোকে কতগুলো ভিন্ন উপায়ে সাজানো যাবে, যদি স্বরবর্ণগুলো সর্বদা একসাথে থাকে?
  1. ক
    1450
  2. খ
    2840
  3. গ
    4320
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'COMPUTER' শব্দের অক্ষরগুলোকে কতগুলো ভিন্ন উপায়ে সাজানো যাবে, যদি স্বরবর্ণগুলো সর্বদা একসাথে থাকে?

সমাধান:
'COMPUTER' শব্দটিতে 8টি অক্ষর রয়েছে। এতে 3টি স্বরবর্ণ (O, U, E) এবং 5টি ব্যঞ্জনবর্ণ (C, M, P, T, R) রয়েছে।
3টি স্বরবর্ণকে সর্বদা একত্রে রাখলে অক্ষরগুলো হবে: C, M, P, T, R, (OUE)।

ধরি,
এই শব্দে 6টি অক্ষর আছে যার সবগুলোই ভিন্ন।
তাহলে, সাজানোর উপায় সংখ্যা = 6! = 720

3টি স্বরবর্ণ (OUE)-তে, সকল স্বরবর্ণ আলাদা এই স্বরবর্ণগুলি সাজানোর উপায় সংখ্যা = 3! = 6
∴ মোট সাজানোর উপায় সংখ্যা = 720 × 6 = 4320
১,৩২৩.
৯, ৮, ২, ৫ এই চারটি অংক একবার করে ব্যবহার করে ৫০০০ থেকে বড় কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ৬টি
  2. খ
    ১২টি
  3. গ
    ১৮টি
  4. ঘ
    ২৪টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯, ৮, ২, ৫ এই চারটি অংক একবার করে ব্যবহার করে ৫০০০ থেকে বড় কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৫০০০ থেকে বড় হতে হলে প্রথম ঘরে অবশ্যই ৫, ৮, ৯ এর যেকোন একটি থাকতে হবে।

প্রথম ঘরে ৫ রেখে বাকি ৩ ঘর সাজানো যায় ৩P৩ = ৬ উপায়ে
প্রথম ঘরে ৮ রেখে বাকি ৩ ঘর সাজানো যায় ৩P৩ = ৬ উপায়ে
প্রথম ঘরে ৯ রেখে বাকি ৩ ঘর সাজানো যায় ৩P৩ = ৬ উপায়ে

∴ মোট সাজানো যাবে = ৬ + ৬ + ৬ = ১৮ উপায়ে যাতে সংখ্যাটি ৫০০০ থেকে বড় হয়।

∴ ৫০০০ থেকে বড় ১৮টি সংখ্যা গঠন করা যাবে।
১,৩২৪.
10 টি বইয়ের মধ্যে 5 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে?
  1. ক
    52
  2. খ
    56
  3. গ
    62
  4. ঘ
    40
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্যে 5 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (10 - 2) বা 8 টি থেকে 5 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = 8C5
= 8!/(5! 3!)
= 56
১,৩২৫.
কোন একটি মোবাইল অপারেটরের মোবাইল নম্বরগুলো 01212 দ্বারা শুরু হয়ে 11 ডিজিট বিশিষ্ট হলে ঐ অপারেটর কোম্পানি সর্বোচ্চ কতটি মোবাইল সিম বাজারে আনতে পারবে?
  1. ক
    ক) 1011
  2. খ
    খ) 1010
  3. গ
    গ) 105
  4. ঘ
    ঘ) 106
ব্যাখ্যা

এখানে ষষ্ঠ ঘরে দশটি অঙ্কের যেকোনোটি বসতে পারে অর্থাৎ এই ঘরটি 10 উপায় পূর্ণ করা যায়। অনুরূপে অবশিষ্ট পাঁচটি ঘর পূর্ণ করা যায়।
∴ মোট সিম সংখ্যা হবে = 10×10×10×10×10×10
= 106 টি
১,৩২৬.
nC5 : nC6 = 1 : 2 হলে, n = ?
  1. ক
    12
  2. খ
    15
  3. গ
    17
  4. ঘ
    19
ব্যাখ্যা
nC5 : nC6 = 1 : 2
or, nC5 / nC6 = 1/2
or, 6 / (n - 5) = 1/2
or, n = 17

[ সূত্র - nCr  ÷ nCr - 1 = {n - (r - 1)}/r ]
১,৩২৭.
ব্যাঞ্জনবর্ণগুলো কেবল বিজোড় স্থানে রেখে EQUATION শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 2556
  2. খ
    খ) 2578
  3. গ
    গ) 2880
  4. ঘ
    ঘ) 4562
ব্যাখ্যা

এখানে মোট বর্ণ 8 টি, ব্যাঞ্জনবর্ণ 3 টি এবং বিজোড় স্থান 4 টি । সুতরাং ব্যাঞ্জনবর্ণগুলো কেবল বিজোড় স্থানে রেখে EQUATIONS শব্দটিকে সাজানো যায় = 4p3 × 5p5 = 24 × 120 = 2880.

১,৩২৮.
২, ৩, ৫, ৬, ৭, এবং ৯ অংকগুলো একবার করে ব্যবহার করে ৫ দ্বারা বিভাজ্য ৩ অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    ৫টি
  2. খ
    ১০টি
  3. গ
    ১৫টি
  4. ঘ
    ২০টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২, ৩, ৫, ৬, ৭, এবং ৯ অংকগুলো একবার করে ব্যবহার করে ৫ দ্বারা বিভাজ্য ৩ অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
২, ৩, ৫, ৬, ৭, এবং ৯ মোট ৬টি অংক
যেহেতু সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য তাই একক স্থানীয় ঘরে শুরু ৫ বসবে।
দশক স্থানীয় ঘরে বসতে পারবে ৫ ব্যতীত বাকি ৫টি অংক
শতক স্থানীয় ঘরে বসতে পারবে ৫ এবং দশক স্থানীয় ঘরের অংক বাদে বাকি ৪টি অংক।

∴ মোট সংখ্যা = ৪ × ৫ × ১ = ২০টি
১,৩২৯.
একটি সামাজিক অনুষ্ঠানে 30 জন লোক প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে শুভেচ্ছা বিনিময় করলে তা কত উপায়ে করা যাবে? 
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 120
  3. গ
    গ) 870
  4. ঘ
    ঘ) 435
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামাজিক অনুষ্ঠানে 30 জন লোক প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে শুভেচ্ছা বিনিময় করলে তা কত উপায়ে করা যাবে? 

সমাধান: 
শুভেচ্ছা বিনিময়ের উপায় সংখ্যা = 30C2 = 435
১,৩৩০.
একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে ৮ টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?
  1. ক
    ক) ২৮
  2. খ
    খ) ১৪
  3. গ
    গ) ৮
  4. ঘ
    ঘ) ৪
ব্যাখ্যা

দু'টি দলের সমাবেশ থেকে একটি খেলা পরিচালিত হয়
∴ মোট খেলার সংখ্যা = ৮c২ = ২৮

১,৩৩১.
6টি জিনিসের মধ্যে 2টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 5টি নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 240
  3. গ
    গ) 360
  4. ঘ
    ঘ) 480
ব্যাখ্যা
প্রতিবারে 5টি নিয়ে সাজানোর ক্ষেত্রে -
(i) 2টি একই জাতীয় এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন
(ii) সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন

(i) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায় = 1 × 4c3 × 5!/2! = 240
(ii) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায় = 5p5 = 5! = 120
∴ সাজানোর মোট উপায় = 240+120 = 360
১,৩৩২.
8 জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কতভাবে বিভক্তি করা যায়?
  1. ক
    30
  2. খ
    35
  3. গ
    70
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কতভাবে বিভক্তি করা যায়?

সমাধান:
প্রতি দলে 4 জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।

এখন,
8 জন থেকে ৩ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = 8C4
= 8!/{4!(8 - 4)!}
= 70

সুতরাং, সমান সংখ্যক বা 4 জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = 70/2 = 35
১,৩৩৩.
7 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 720
  3. গ
    গ) 5040
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (n - 1)!
7 জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (7 - 1)!
= 6!
= 720
১,৩৩৪.
(1/6!) + (1/7!) = (x/8!) হলে x এর মান কত?
  1. ক
    32
  2. খ
    42
  3. গ
    64 
  4. ঘ
    48
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/6!) + (1/7!) = (x/8!) হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
(1/6!) + (1/7!) = (x/8!)
বা, (1/6!) + {1/(7 × 6!)} = (x/8!)
বা, {1 + (1/7)}(1/6!) = (x/8!)
বা, (7 + 1)/(7 × 6!) = (x/8!)
বা, 8/(7 × 6!) = (x/8!)
বা, 8/(7 × 6!) = x/(8 × 7 × 6!)
বা, 8 = x/8
∴ x = 64 

১,৩৩৫.
যদি nPr = 5040 এবং nCr = 210 হয়, তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    7
  3. গ
    5
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি nPr = 5040 এবং nCr = 210 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
nPr = 5040 এবং nCr = 210

আমরা জানি,
nPr​ = nCr​ × r!
⇒ 5040 = 210 × r!
⇒ r! = 5040/210
⇒ r! = 24
⇒ r! = 4!
∴ r = 4
১,৩৩৬.
'IDENTITY' শব্দটির বর্ণগুলি কত প্রকারে সাজানো যাবে?
  1. ক
    10000
  2. খ
    10080
  3. গ
    12200
  4. ঘ
    11040
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'IDENTITY' শব্দটির বর্ণগুলি কত প্রকারে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'IDENTITY' শব্দটির বর্ণগুলি 8 টি, এবং এর মধ্যে 'I' এবং 'T' দুটি বর্ণ দুইবার করে আছে।
সাজানোর সংখ্যা হবে,
= 8!/(2! × 2!)
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1 × 2 × 1)
= 10080
১,৩৩৭.
ঈদগাহে ঈদের নামাজ শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা বিনিময় করল। শুভেচ্ছা সংখ্যা 45 হলে ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা

প্রশ্নমতে,
বা, nC2 = 45
বা,(n(n-1)/2 = 45
বা,n2 - n - 90 = 0
বা,n2 -10n + 9n -90 = 0
বা,(n-10)(n+9) = 0
বা,n = 10  [n =-9 গ্রহন যোগ্য নয়]
∴ ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা 10 জন।

১,৩৩৮.
ACCLAIM শব্দটির বর্ণগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?
  1. ক
    180
  2. খ
    360
  3. গ
    120
  4. ঘ
    240
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ACCLAIM শব্দটির বর্ণগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান:
'ACCLAIM' শব্দটিতে মোট 7টি বর্ণ আছে যার 3টি স্বরবর্ণ ও 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
3টি স্বরবর্ণকে 1টি ধরে মোট বর্ণ সংখ্যা 5টি কে সাজানো যায় = 5!/2! 
  = 60 উপায়ে

আবার
3 টি স্বরবর্ণকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3!/2! (যেহেতু A দুইটি)
= 3 উপায়ে

সুতরাং নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 3 × 60
= 180 উপায়ে।
১,৩৩৯.
RAJSHAHI শব্দটি দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা, BARISHAL শব্দটির অক্ষর দিয়ে বিন্যাস সংখ্যার -
  1. ক
    তিনগুণ
  2. খ
    দ্বিগুণ
  3. গ
    অর্ধেক
  4. ঘ
    তিন ভাগের এক
ব্যাখ্যা
RAJSHAHI শব্দটি দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2!×2!) = 10080 এবং
BARISHAL শব্দটির অক্ষর দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2!) = 20160 = 2 × 10080 = 2 × RAJSHAHI.
অতএব, RAJSHAHI শব্দটি দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা, BARISHAL শব্দটির অক্ষর দিয়ে বিন্যাস সংখ্যার অর্ধেক।
১,৩৪০.
'ECONOMIC' শব্দটির অক্ষরগুলো কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে N এবং শেষে M থাকবে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 180
  3. গ
    গ) 210
  4. ঘ
    ঘ) 360
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'ECONOMIC' শব্দটির অক্ষরগুলো কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে N এবং শেষে M থাকবে?

সমাধান: 
'ECONOMIC' শব্দটিতে বর্ণ আছে ৮টি। 
C = 2 টি
O = 2টি

প্রথমে N এবং শেষে M থাকবে

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
                         = 180 উপায়ে
১,৩৪১.
5 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 2 জন মহিলা সর্বদা একত্রে থাকবে?
  1. ক
    720
  2. খ
    1440
  3. গ
    1050
  4. ঘ
    1260
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 2 জন মহিলা সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট পুরুষ ও মহিলা = (5 + 2) = 7 জন
2 জন মহিলা একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (5 + 1) জন
= 6 জন
6 জনকে সাজানো যায় = 6!
2 জন মহিলাকে সাজানো যায় = 2!

∴ 2 জন মহিলা সর্বদা একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1)
= 720 × 2
= 1440
১,৩৪২.
nc6 = nc3 হলে n = ?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা

nc6 = nc3
বা, ncn-6 = nc3
∴ n - 6 = 3
বা, n = 9

১,৩৪৩.
3টি আঙ্গুলে 5টি আংটি কত উপায়ে পরানো যেতে পারে? 
  1. ক
    8
  2. খ
    35
  3. গ
    53
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3টি আঙ্গুলে 5টি আংটি কত উপায়ে পরানো যেতে পারে? 

সমাধান: 
এখানে,
আঙ্গুলের সংখ্যা n = 3
আংটির সংখ্যা r = 5

আংটিগুলো আঙ্গুলে পরানো যেতে পারে  =nr
= 35
১,৩৪৪.
একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? 
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 18
  4. ঘ
    ঘ) 30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? 

সমাধান: 
একবার খেলার জন্য প্রতিযোগী প্রয়োজন = 2 জন 

∴ 6 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = 6C2 
= (6 × 5)/(2 × 1) 
= 15 
১,৩৪৫.
একটি সভা শেষে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করে। মোট করমর্দন সংখ্যা 66 হলে কতজন লোক সভায় উপস্থিত ছিল?
  1. ক
    ক) 11
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 13
  4. ঘ
    ঘ) 33
ব্যাখ্যা

ধরি,
সভায় মোট লোকছিল = n, 2 জন এর সমাবেশ হতে 1 টি করমর্দন সংগঠিত হয়।
∴ মোট করমর্দন nc2 = 66
বা, {(n)(n - 1)}/2! = 66
বা, (n2 - n)/2 = 66
বা, n2 - n = 132
বা, n2 - n - 132 = 0
বা, n2 - 12n + 11n - 132 = 0
বা, n(n - 12) + 11(n - 12) = 0
বা, (n - 12)(n + 11) = 0
∴ n = 12

১,৩৪৬.
একটি থলেতে ১২টি লাল বল ১৪টি সবুজ বল এবং ২২টি হলুদ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুলে নিলে বলটি লাল বা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ১৩/২৪
  2. খ
    ১১/২৪
  3. গ
    ১/২
  4. ঘ
    ৫/১২
ব্যাখ্যা

লাল বল = ১২টি
সবুজ বল = ১৪টি
হলুদ বল = ২২টি
মোট বল = (১২ + ১৪ + ২২)
= ৪৮টি
লাল বা সবুজ বল = ১২ + ১৪
= ২৬টি
∴ সম্ভাবনা = ২৬/৪৮
= ১৩/২৪

১,৩৪৭.
25টি বিন্দু দিয়ে কতটি সরলরেখা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    300
  2. খ
    290
  3. গ
    350
  4. ঘ
    390
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 25টি বিন্দু দিয়ে কতটি সরলরেখা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেকোনো দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা তৈরি করা সম্ভব। 25টি বিন্দু থেকে দুটি করে বিন্দু নির্বাচন করে সরলরেখা গঠন করা যাবে।
তাই মোট সরলরেখার সংখ্যা হবে,
= 25C2
= 25!/2!(25 - 2)!
= (25 × 24 × 23!)/2!23!
= (25 × 24)/2
= 25 × 12
= 300

∴ 25টি বিন্দু দিয়ে 300টি সরলরেখা গঠন করা যাবে।
১,৩৪৮.
MATHEMATICS শব্দটির বর্ণগুলোকে কত রকমে সাজানো যায় যখন সর্বদা শুরুতে H থাকে?
  1. ক
    226800
  2. খ
    453600
  3. গ
    362880
  4. ঘ
    907200
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: MATHEMATICS শব্দটির বর্ণগুলোকে কত রকমে সাজানো যায় যখন সর্বদা শুরুতে H থাকে?

সমাধান:
MATHEMATICS শব্দটিতে 11টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে M আছে 2টি, A আছে 2টি, T আছে 2টি এবং বাকি গুলো ভিন্ন ভিন্ন।

এখন,
সর্বদা শুরুতে H রাখলে, প্রতিটি বিন্যাসে H কে স্থির রেখে বাকি 10টি বর্ণের বিন্যাস,
= 10!/(2! × 2! × 2!)
= 453600
১,৩৪৯.
GOLDEN শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে G সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?
  1. ক
    ৬০
  2. খ
    ৭২০
  3. গ
    ২৪
  4. ঘ
    ১২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: GOLDEN শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে G সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?

সমাধান: 
GOLDEN শব্দটিতে প্রথম অক্ষর G ছাড়া আর বর্ণ আছে ৫ টি এবং প্রত্যেকটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
৫ টি ভিন্ন বর্ণকে সাজানর উপায় = 5! 
= 120

অর্থাৎ মোট ১২০ উপায়ে সাজানো যাবে।
১,৩৫০.
৬ জন পুরুষ এবং ৭ জন মহিলার মধ্যে থেকে ৫ জনের একটি কমিটি নির্বাচিত করতে হবে। সেই কমিটিতে নির্দিষ্টভাবে ২ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা থাকার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ১৫/৪২
  2. খ
    ৩৭/৪২
  3. গ
    ১৭/৪২৯
  4. ঘ
    ১৭৫/৪২৯
  5. ঙ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬ জন পুরুষ এবং ৭ জন মহিলার মধ্যে থেকে ৫ জনের একটি কমিটি নির্বাচিত করতে হবে। সেই কমিটিতে নির্দিষ্টভাবে ২ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা থাকার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট সদস্য = ৬ + ৭= ১৩
৬ জন পুরুষের মধ্যে ২ জনকে বেছে নেওয়া যায় ৬C২ উপায়ে।
৭ জন নারীর মধ্যে ৩ জনকে বেছে নেওয়া যায় ৭C৩ উপায়ে।

প্রয়োজনীয় উপায়ের সংখ্যা = ৬C২ × ৭C৩ = ১৫ × ৩৫ = ৫২৫

সকল সদস্য নিয়ে কমিটি গঠনের মোট উপায়ের সংখ্যা = ১৩C৫ = ১২৮৭

∴ কমিটিতে ঠিক ২ জন পুরুষ এবং ৩ জন নারী থাকার সম্ভাবনা = ৫২৫/১২৮৭
= ১৭৫/৪২৯
১,৩৫১.
'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? 
  1. ক
    1/4
  2. খ
    2
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?  

সমাধান:
'BARISAL' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি। 
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7! / 2! = 5040/2 = 2520

আবার, 
'RAJSHAHI' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি এবং H আছে  2 টি।
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8! / (2! × 2!) = 40320/4 = 10080

এখন,
 BARISAL/RAJSHAHI  = 2520/10080
⇒ BARISAL/RAJSHAHI = 1/4

অর্থাৎ 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার 1/4 গুণ।

১,৩৫২.
0, 1, 3, 7, 8 অঙ্কগুলো প্রতি সংখ্যায় একবার ব্যবহার করে পাঁচ অঙ্কের কয়টি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায়?
  1. ক
    24
  2. খ
    90
  3. গ
    96
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0, 1, 3, 7, 8 অঙ্কগুলো প্রতি সংখ্যায় একবার ব্যবহার করে পাঁচ অঙ্কের কয়টি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
এখানে 0, 1, 3, 7, 8 মোট পাঁচটি অঙ্ক আছে।
সবগুলো অঙ্ক নিয়ে সংখ্যা তৈরির মোট উপায় = 5! = 120

কিন্তু প্রথম অঙ্কটি 0 হলে সংখ্যাটি অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কের হয় না
এরূপ সংখ্যা গঠিত হয় 4! = 24 উপায়ে
∴ শর্তানুসারে গঠিত মোট সংখ্যা = 120 - 24 = 96 উপায়ে
১,৩৫৩.
ঢাকা সিটি কলেজ থেকে শাহবাগ পর্যন্ত ২টি ভিন্ন রাস্তা আছে। শাহবাগ থেকে মালিবাগ পর্যন্ত ৩টি ভিন্ন রাস্তা আছে। মালিবাগ থেকে বনানী পর্যন্ত ৪টি ভিন্ন রাস্তা আছে। ঢাকা সিটি কলেজ থেকে বনানী পর্যন্ত মোট কতটি ভিন্ন পথ আছে?
  1. ক
    ২০ টি
  2. খ
    ১৬ টি
  3. গ
    ২৪ টি
  4. ঘ
    কোনটিই নয় 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ঢাকা সিটি কলেজ থেকে শাহবাগ পর্যন্ত ২টি ভিন্ন রাস্তা আছে। শাহবাগ থেকে মালিবাগ পর্যন্ত ৩টি ভিন্ন রাস্তা আছে। মালিবাগ থেকে বনানী পর্যন্ত ৪টি ভিন্ন রাস্তা আছে। ঢাকা সিটি কলেজ থেকে বনানী পর্যন্ত মোট কতটি ভিন্ন পথ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ঢাকা সিটি কলেজ থেকে শাহবাগ পর্যন্ত রাস্তা = ২টি
শাহবাগ থেকে মালিবাগ পর্যন্ত রাস্তা = ৩টি
মালিবাগ থেকে বনানী পর্যন্ত রাস্তা = ৪টি
 
∴ মোট ভিন্ন পথের সংখ্যা = ২ × ৩ × ৪ = ২৪ টি 
সুতরাং, ২৪টি ভিন্ন পথ আছে।

১,৩৫৪.
'ALGEBRA' শব্দের বর্ণ গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে A সবসময় প্রথম বর্ণ থাকে?
  1. ক
    920
  2. খ
    720
  3. গ
    5040
  4. ঘ
    360
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ALGEBRA' শব্দের বর্ণ গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে A সবসময় প্রথম বর্ণ থাকে?

সমাধান:
'ALGEBRA' শব্দে মোট 7 টি বর্ণ আছে। যথা  A, L, G, E, B, R, A
এখানে A বর্ণটি 2 বার আছে।

যেহেতু প্রথম স্থান A দিয়ে বাধ্যতামূলকভাবে পূরণ করা হবে, তাই প্রথম স্থানের জন্য কোনো আলাদা বাছাই নেই।

সুতরাং বাকি 6 টি বর্ণ L, G, E, B, R, A
এখানে কোনো বর্ণই একাধিকবার নেই (কারণ A দুটির একটি প্রথমে ব্যবহার করায় বাকি 1 টি A আছে, তাই পুনরাবৃত্তি নেই)।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6 টি ভিন্ন বস্তুর বিন্যাস = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 720

১,৩৫৫.
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'ACTIVE' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে? 
  1. ক
    ক) 720
  2. খ
    খ) 576
  3. গ
    গ) 144
  4. ঘ
    ঘ) 1045
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'ACTIVE' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে? 

সমাধান: 
'ACTIVE' শব্দটিতে 6 টি বর্ণ রয়েছে 

যাদের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।

6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6! = 720

 স্বরবর্ণ 3টিকে 1টি ধরে মোট বর্ণ হয় 4টি 
4টি বর্ণকে সাজানো যায় = 4!
 স্বরবর্ণ 3টিকে সাজানো যায় = 3! 

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা
= 4! × 3!
= 24 × 6 
= 144

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা
= 720 - 144
= 576
১,৩৫৬.
"MANAGEMENT" শব্দটির অক্ষরগুলি কত প্রকারে সাজানো যায় যেখানে প্রথমে ও শেষে M থাকবে?
  1. ক
    4020
  2. খ
    5020
  3. গ
    2510
  4. ঘ
    5040
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "MANAGEMENT" শব্দটির অক্ষরগুলি কত প্রকারে সাজানো যায় যেখানে প্রথমে ও শেষে M থাকবে?

সমাধান:
"MANAGEMENT" শব্দটিতে 10টি অক্ষর আছে।
তন্মধ্যে 2টি A, 2টি E এবং ২টি N আছে।
প্রথমে ও শেষে M থাকবে এরুপে সাজানো সংখ্যা = 8!/(2! 2! 2!)
= 5040
১,৩৫৭.
একটি দাবা প্রতিযোগিতায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ২ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
  1. ক
    ৬০ টি
  2. খ
    ৩০ টি
  3. গ
    ৪৫ টি
  4. ঘ
    ১৮ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ২ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
প্রথমে,
প্রতিযোগিতায় প্রত্যেক খেলোয়াড় অন্য প্রতিটি খেলোয়াড়ের সাথে একবার করে খেললে খেলার সংখ্যা হবে,
= ৬C২
= (৬ × ৫)/২
= ১৫

সুতরাং, একবার করে খেললে মোট ১৫টি খেলা হবে।

যেহেতু প্রতিযোগীদের একে অপরের সাথে ২ বার করে খেলতে হবে, তাই মোট খেলার সংখ্যা হবে = ২ × ১৫ = ৩০ টি
১,৩৫৮.
4 × nP3 = nP4 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    7
  3. গ
    6
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 × nP3 = nP4 হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
4 × nP3 = nP4
⇒ 4 × n!/(n - 3)! = n!/(n - 4)!
⇒ 4 × n!/(n - 3)(n - 4)! = n!/(n - 4)!
⇒ 4/(n - 3)  = 1
⇒ n - 3 = 4
∴ n = 7
১,৩৫৯.
কোনো তিনটি বিন্দু সমরেখ নয় এরুপ 12টি বিন্দু দ্বারা কয়টি সরল রেখা গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) 132
  2. খ
    খ) 66
  3. গ
    গ) 33
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা

1টি সরলরেখা 2টি বিন্দুর সমাবেশ।
∴ 12টি বিন্দু থেকে প্রাপ্ত রেখা = 12c2
= 66

১,৩৬০.
'ENGINEERING' শব্দের বর্ণগুলোকে কতভাবে সাজানো যাবে যাতে তিনটি E একসাথে পাশাপাশি থাকে? 
  1. ক
    60480 
  2. খ
    15120
  3. গ
    20160
  4. ঘ
    90720
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ENGINEERING' শব্দের বর্ণগুলোকে কতভাবে সাজানো যাবে যাতে তিনটি E একসাথে পাশাপাশি থাকে? 

সমাধান: 
ENGINEERING শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে,  11টি 
যেখানে, E আছে 3টি, N আছে 3টি, G আছে 2টি, I আছে 2টি এবং R আছে 1টি
তিনটি E-কে একসাথে রাখতে হলে তাদের একটা একক ইউনিট বা 'ব্লক' হিসেবে ধরতে হবে। 
অর্থাৎ, EEE কে একটা বর্ণের মতো বিবেচনা করা হবে। 

সুতরাং, মোট বর্ণ হবে = 11 - 3 + 1 = 9 ; [EEE, N, N, N, G, G, I, I, R]
যেখানে, N আছে 3টি, G আছে 2টি এবং I আছে 2টি। 

সুতরাং বিন্যাসের সংখ্যা হবে = 9!/(3! × 2! × 2!)
= (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(3 × 2 × 2 × 2)
= 9 × 8 × 7 × 6 × 5
= 15120

১,৩৬১.
একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 18
  4. ঘ
    ঘ) 30
ব্যাখ্যা

দাবা খেলায় প্রতি খেলায় একজন অন্যজনের সাথে খেলবে অর্থাৎ এক খেলার জন্য দুইজন প্রতিযোগী প্রয়োজন।
সুতরাং, মোট খেলা অনুষ্ঠিত হবে = 6c2 = (6 × 5) / (1 × 2) = 15 টি।

১,৩৬২.
COMMON শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যখন M গুলো একত্রে থাকবে না?
  1. ক
    60
  2. খ
    120
  3. গ
    48
  4. ঘ
    180
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: COMMON শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যখন M গুলো একত্রে থাকবে না?

সমাধান:
COMMON শব্দে মোট অক্ষর = 6টি।
এখানে O দুইবার এবং M দুইবার এসেছে।
∴ মোট বিন্যাস = 6!/(2! × 2!)
= 720/4
= 180

এখন,
দুটি M একত্রে থাকলে অক্ষরগুলো হয়:
MM, C, O, O, N (মোট ৫টি একক, যেখানে O দুইবার আছে)।
∴ বিন্যাস = 5!/2!
= 120/2
= 60

∴ M একত্রে না থাকার বিন্যাস সংখ্যা = 180 - 60
= 120

১,৩৬৩.
4 × nP3 = 5 × n - 1P3 হলে, n এর মান কত ?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 13
  3. গ
    গ) 14
  4. ঘ
    ঘ) 15
ব্যাখ্যা
4 × nP3 = 5 × n - 1P3
4 × n!/(n - 3)! = 5 × (n - 1)!/ (n - 1 - 3)!
4 × n!/(n - 3)! = 5 × (n - 1)!/ (n - 4)! 
4 ×n(n -1)!/(n - 3)(n - 4)! =  5 × (n - 1)!/ (n - 4)!
4n/(n - 3) = 5 
5n - 15 = 4n 
5n - 4n = 15 
n = 15 
১,৩৬৪.
12 টি বইয়ের মধ্যে 5 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যাবে, যাতে নিদিষ্ট দুটি বই সর্বদা বাদ যাবে?
  1. ক
    ক) 10C3
  2. খ
    খ) 10C5
  3. গ
    গ) 12C3
  4. ঘ
    ঘ) 12C5
ব্যাখ্যা

মোট বই = 12 টি; সর্বদা বাদ যাবে 2 টি বই, বই বাছায় করতে হবে 5 টি
∴বই বাছাই করা যাবে (12-2)C5 = 10C5 উপায়ে।

১,৩৬৫.
7 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    180
  2. খ
    360
  3. গ
    420
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)! উপায়ে 
∴ 7 জনকে ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (7 - 1)! উপায়ে 
= 6! উপায়ে 
= 720 উপায়ে
১,৩৬৬.
স্বরবর্ণগুলোকে পাশাপাশি রেখে APPLE শব্দের বর্ণগুলো সাজানোর উপায় -
  1. ক
    ১২
  2. খ
    ১৮
  3. গ
    ২৪
  4. ঘ
    ৩৬
ব্যাখ্যা

APPLE শব্দে মোট ৫টি বর্ণ আছে, যাদের মধ্যে ২টি স্বরবর্ণ।
সুতরাং স্বরবর্ণ দু'টি একত্রে রাখলে বর্ণগুলোকে ৪!/২! = ১২ উপায়ে সাজানো যায়।
আবার স্বরবর্ণ ২টি নিজেদের মধ্যে ২! = ২ উপায়ে সাজানো যায়।
সুতরাং সাজানোর মোট উপায় = ১২ × ২
= ২৪

১,৩৬৭.
একটি পরীক্ষায় ক বিভাগ ও খ বিভাগে 5টি করে মোট 10টি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী মোট 6টি প্রশ্নের উত্তর দেবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে সর্বোচ্চ 4টি প্রশ্ন নিতে পারবে। কতভাবে সে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারে?
  1. ক
    150
  2. খ
    180
  3. গ
    200
  4. ঘ
    250
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ক বিভাগ ও খ বিভাগে 5টি করে মোট 10টি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী মোট 6টি প্রশ্নের উত্তর দেবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে সর্বোচ্চ 4টি প্রশ্ন নিতে পারবে। কতভাবে সে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারে?

সমাধান:
মোট 6টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে 4টির বেশি নেওয়া যাবে না।
সম্ভাব্য উপায়গুলো হলো-
1) ক বিভাগ থেকে 2টি, খ বিভাগ থেকে 4টি
2) ক বিভাগ থেকে 3টি, খ বিভাগ থেকে 3টি
3) ক বিভাগ থেকে 4টি, খ বিভাগ থেকে 2টি

প্রতিটি ক্ষেত্রে বাছাইয়ের উপায়:
(1) 5C2 × 5C4 = 10 × 5 = 50
(2) 5C3 × 5C3 = 10 × 10 = 100
(3) 5C4 × 5C2 = 5 × 10 = 50

∴ মোট উপায় = 50 + 100 + 50 = 200

১,৩৬৮.
CUMILLA শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা DHAKA শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    21 গুণ
  2. খ
    12 গুণ
  3. গ
    42 গুণ
  4. ঘ
    24 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: CUMILLA শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা DHAKA শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
এখানে,
CUMILLA শব্দটিতে বর্ণ আছে 7 টি যাদের মধ্যে 2টি L রয়েছে।
সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1)/(2 × 1)
= 5040/2
= 2520

এবং
DHAKA শব্দটিতে বর্ণ আছে 5 টি যাদের মধ্যে 2টি A রয়েছে।
সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2!
= (5 × 4 × 3 × 2 ×1)/(2 × 1)
= 120/2
= 60

∴ CUMILLA শব্দটির বিন্যাস, DHAKA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 2520 ÷ 60
= 42 গুণ
১,৩৬৯.
4 জন ভদ্র মহিলাসহ 10 ব্যক্তির মধ্যে 5 জনের একটি কমিটি কত প্রকারে গঠন করা যেতে পারে যেন প্রত্যেক কমিটিতে অন্তত:পক্ষে 2 জন ভদ্র মহিলা থাকবে?
  1. ক
    ক) 246
  2. খ
    খ) 256
  3. গ
    গ) 186
  4. ঘ
    ঘ) 196
ব্যাখ্যা
মোট ব্যক্তি = 10 জন 
ভদ্র মহিলা 4 জন 
ভদ্র পুরুষ 10- 4 = 6 জন 

4 জন ভদ্র মহিলা থেকে 4 জন এবং 6 জন ভদ্র পুরুষ থেকে 1 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়=  4C4 × 6C1= 1 × 6 = 6
4 জন ভদ্র মহিলা থেকে 3 জন এবং 6 জন ভদ্র পুরুষ থেকে 2 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়=4C3 × 6C2 = 4×15 =60
4 জন ভদ্র মহিলা থেকে 2 জন এবং 6 জন ভদ্র পুরুষ থেকে 3 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়=4C2 × 6C3 = 6 × 20 = 120


কমিটি গঠনের উপায়= 6 + 60 +120  = 186
১,৩৭০.
3 টি পোস্ট বাক্সে 5 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?
  1. ক
    225 টি উপায়ে
  2. খ
    243 টি উপায়ে
  3. গ
    256 টি উপায়ে
  4. ঘ
    289 টি উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 টি পোস্ট বাক্সে 5 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 3 টি
চিঠির সংখ্যা r = 5 টি

∴ চিঠি ফেলা যায় = nr = 35 = 243 টি উপায়ে
১,৩৭১.
THESIS শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে প্রতিবারে 4 টি অক্ষর নিয়ে মোট কত ভাবে সমাবেশ সংখ্যা পাওয়া যায়?
  1. ক
    ক) 9
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 11
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
THESIS শব্দটিতে  মোট 6টি অক্ষর আছে যার মধ্যে 2 টা S 
প্রদত্ত শব্দটিতে ভিন্ন ভিন্ন পাঁচটি বর্ণ আছে। যথা - T, H, E, S, I

∴ 4 টি অক্ষরই ভিন্ন এক্ষেত্রে সমাবেশ সংখ্যা
= 5C4
= 5

দুইটি একই বা অভিন্ন বর্ণ(SS) অক্ষর থেকে দুইটাই নিলে, আমরা পাই 2C2
অন্য চারটি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ(T, H, E, I) থেকে দুইটি নিলে, আমরা পাই 4C2

অতএব, 2টি অভিন্ন ও 2টি ভিন্ন এক্ষেত্রে সমাবেশ সংখ্যা
= 2C2 × 4C2
= 6

মোট সমাবেশ সংখ্যা
= (5 + 6)
= 11
১,৩৭২.
6 জন গণিত ও 4 জন ইংরেজি বিভাগের ছাত্র থেকে 6 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। গণিতের ছাত্রদেরকে সংখ্যা গরিষ্ঠতা দিয়ে কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যায়? 
  1. ক
    120
  2. খ
    118
  3. গ
    115
  4. ঘ
    110
ব্যাখ্যা
6 জন গণিত ছাত্র থেকে 6 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়= 6C6 = 1
6 জন গণিত ছাত্র থেকে 5 জন নিয়ে এবং 4 জন ইংরেজি বিভাগের ছাত্র থেকে 1 জন নিয়ে
কমিটি গঠনের উপায় = 6C5 × 4C1 
                                  = 6 × 4
                                  = 24                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                       
6 জন গণিত ছাত্র থেকে 4 জন নিয়ে এবং 4 জন ইংরেজি বিভাগের ছাত্র থেকে 2 জন নিয়ে
কমিটি গঠনের উপায় = 6C4 × 4C2
                                 = 15 × 6
                                 = 90                                                                                                                                   

কমিটি গঠনের মোট উপায় = (1 + 24 + 90)
                                         = 115
১,৩৭৩.
8 জন বালক এবং 2জন বালিকার মধ্য থেকে বালিকাদের সর্বদা গ্রহণ করে 6 জনের একটি কমিটিতে কত উপায়ে গঠন করা যেতে পারে? 
  1. ক
    ক) 50
  2. খ
    খ) 60
  3. গ
    গ) 80
  4. ঘ
    ঘ) 70
ব্যাখ্যা
বালক =8 জন
বালিকা = 2 জন

8 জন বালক থেকে 4 জন ও বালিকা 2 জন থেকে 2 জন নিয়ে
কমিটি গঠনের উপায় = 8C4 × 2C2
                                  = 70 × 1
                                  = 70
১,৩৭৪.
'LETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'BETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    1 গুণ 
  2. খ
    1/2 গুণ 
  3. গ
    2 গুণ 
  4. ঘ
    3/2 গুণ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'LETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'BETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'LETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা:
মোট বর্ণ সংখ্যা: 6টি
পুনরাবৃত্ত বর্ণ:  E এবং T প্রত্যেকে 2 বার করে আছে। 

বিন্যাস সংখ্যা =  6!/(2! × 2!)
= 720/(2 × 2)
= 720/4
= 180

 আবার, 

'BETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা:
মোট বর্ণ সংখ্যা: 6টি
পুনরাবৃত্ত বর্ণ:  E এবং T প্রত্যেকে 2 বার করে আছে। 

বিন্যাস সংখ্যা =  6!/(2! × 2!)
= 720/(2 × 2)
= 720/4
= 180

সুতরাং, 'LETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'BETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 180/180 = 1 গুণ। 

১,৩৭৫.
একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে ৬টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?
  1. ক
    ক) ৩০,
  2. খ
    খ) ১২
  3. গ
    গ) ৭২
  4. ঘ
    ঘ) ১৫
ব্যাখ্যা
৬টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সংখ্যা ১টি করে খেলা খেলবে।
তাহলে মোট খেলা হবে ৬C২ = (৬×৫)/(২×১) = ১৫টি।
১,৩৭৬.
9 জন মানুষ এক সারিতে ঈদের নামাজে কত উপায়ে দাঁড়াতে পারবে?
  1. ক
    ক) 8!
  2. খ
    খ) 7!
  3. গ
    গ) 9!
  4. ঘ
    ঘ) 9!/2
ব্যাখ্যা

9 জন মানুষ সারিতে দাঁড়াতে পারবে = 9! = 362880

১,৩৭৭.
নিচের কোনটি সত্য নয়?
  1. ক
    0! = 1
  2. খ
    1! = 1
  3. গ
    2! = 2
  4. ঘ
    3! = 3
ব্যাখ্যা
0! = 1
1! = 1
2! = 1 × 2 = 2
3! = 1 × 2 × 3 = 6
১,৩৭৮.
'WELLNESS' শব্দটির অক্ষরগুলো কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে এবং শেষে L থাকবে?
  1. ক
    ক) 120 উপায়ে
  2. খ
    খ) 360 উপায়ে
  3. গ
    গ) 180 উপায়ে
  4. ঘ
    ঘ) 240 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'WELLNESS' শব্দটির অক্ষরগুলো কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে এবং শেষে L থাকবে?

সমাধান: 
'WELLNESS' শব্দটিতে বর্ণ আছে ৮টি। 
L = 2 টি
E =2টি
S= 2 টি

প্রথমে এবং শেষে L থাকবে

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
                         = 180 উপায়ে
১,৩৭৯.
52 খানা তাসের প্যাকেট হতে একখানা তাস দৈবভাবে উঠানো হল। তাসটি ছবিযুক্ত হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) 7/13
  2. খ
    খ) 4/13
  3. গ
    গ) 1/26
  4. ঘ
    ঘ) 3/13
ব্যাখ্যা

• একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = 52টি।
• এর মধ্যে লাল কালো তাসের সংখ্যা = 26টি করে।
• রুইতন, হরতন, ইস্কাপন ও চিরাতন ১৩টি করে।
• টেক্কা, রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে।
• নম্বর যুক্ত তাপ ৩৬টি।
• ছবিযুক্ত তাস ১২টি (রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে)।
• সুতরাং দৈবভাবে একটি তাস টানলে সেটি ছবিযুক্ত হওয়ার সম্ভাবনা = 12/52
= 3/13।

১,৩৮০.
loga(1/3) = -1/2 হলে a এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    6
  3. গ
    9
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: loga(1/3) = -1/2 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
loga(1/3) = -1/2
⇒ a-1/2 = 1/3
⇒ 1/a1/2 = 1/3
⇒ 1/√p = 1/3
⇒ √p = 3
∴ p = 9
১,৩৮১.
9 জন লোকের একটি দল 2টি বাহনে ভ্রমণ করবে। যার একটিতে 7 জনের বেশি এবং অপরটিতে 4 জনের বেশি ধরে না। দলটি কত রকমে ভ্রমণ করতে পারবে?
  1. ক
    ক) 278
  2. খ
    খ) 236
  3. গ
    গ) 255
  4. ঘ
    ঘ) 246
ব্যাখ্যা
বাহন (1)                      বাহন (2)
i) 7                                         2
ii) 6                                         3
iii) 5                                        4

i) নং এর জন্য বাছাই সংখ্যা = 9C7 × 2c2
                                          =36 ×1 
                                          = 36 
ii) নং এর জন্য বাছাই সংখ্যা = 9C6×3C3
                                           = 84 ×1
                                            = 84
iii) নং এর জন্য বাছাই সংখ্যা = 9C5×4C4
                                            = 126×1
                                            = 126

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 36 + 84 + 126 = 246
১,৩৮২.
(n + 2)! = 30 × n! হলে n এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 7
ব্যাখ্যা
(n + 2)! = 30 × n!
⇒ (n + 2) × (n + 1) × n! = 30 × n!
⇒ n2 + 3n + 2 = 30
⇒ n2 + 3n - 28 = 0
⇒ n2 + 7n - 4n - 28 = 0
⇒ n( n + 7) - 4(n + 7) = 0
⇒ (n - 4)(n + 7) = 0
হয়                        অথবা 
n - 4 = 0              n + 7 = 0
n = 4                          n = - 7 
১,৩৮৩.
একটি বাক্সে 6 টি ভিন্ন রঙের বল আছে। 3 টি বল একসাথে নির্বাচন করার কতটি উপায় আছে? 
  1. ক
    6
  2. খ
    12
  3. গ
    20
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাক্সে 6 টি ভিন্ন রঙের বল আছে। 3 টি বল একসাথে নির্বাচন করার কতটি উপায় আছে?

সমাধান:
ভিন্ন রঙের মোট বল আছে = 6 টি 
একসাথে নির্বাচন করতে বল নিতে হবে = 3 টি 

∴ নির্বাচন করার উপায় আছে = 6C3 
= 6⋅5⋅4​/ 3⋅2⋅1​ 
= 20 

১,৩৮৪.
12 বাহু বিশিষ্ট একটি সমতলিক ক্ষেত্রের কর্ণ সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 66
  2. খ
    খ) 54
  3. গ
    গ) 132
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা
কর্ণ সংখ্যা = 12C2 - 12
= 54
১,৩৮৫.
5টি বইয়ের মধ্যে 2টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    24
  2. খ
    48
  3. গ
    120
  4. ঘ
    440
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5টি বইয়ের মধ্যে 2টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
2টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই 4টি
4টি বই সাজানোর মোট উপায় = 4!

বিশেষ বই দুটি সাজানোর মোট উপায় 2!

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 4! × 2!
= 24 × 2
= 48
১,৩৮৬.
বাংলাদেশ হকি দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা দরকার। ১৫ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ২৩৫ উপায়ে
  2. খ
    ২১০ উপায়ে
  3. গ
    ২৩০ উপায়ে
  4. ঘ
    ২৪৫ উপায়ে
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাংলাদেশ হকি দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা দরকার। ১৫ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান: 
১৫ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫C১ = ১৫ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৫ - ১) = ১৪ জন 

১৪ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৪C১ = ১৪ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫ × ১৪ = ২১০ উপায়ে

১,৩৮৭.
'TEACHER' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    ২৫২০
  2. খ
    ৭২০ 
  3. গ
    ৫০৪০ 
  4. ঘ
    ১২২০ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'TEACHER' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'TEACHER' শব্দে মোট বর্ণ = ৭টি
যার মধ্যে E = ২ বার আছে। 
বাকি অক্ষর (T, A, C, H, R) প্রতিটি ১ বার করে।

একই অক্ষর থাকলে ভিন্ন ভিন্ন সাজানোর উপায় = ৭!/২!
= (৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২)/২ 
= ২৫২০

∴ সাজানোর উপায় ২৫২০

১,৩৮৮.
8টি বই হতে 6টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 4টি বই সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    8
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা

যেহেতু 4টি বই সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সুতরাং 4টি বই সর্বদাই বাদ রেখে হিসাব করতে হবে।
সুতরাং, (8 - 4) টি বই হতে (6 - 4) টি বই (8 - 4)C(6 - 4) বা 6 প্রকারে বাছাই করা যায়।

১,৩৮৯.
'EQUATION' শব্দের অক্ষর থেকে মোট কতগুলি 7 অক্ষরের শব্দ তৈরি করা যায়?
  1. ক
    40320
  2. খ
    8
  3. গ
    5040
  4. ঘ
    20160
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'EQUATION' শব্দের অক্ষর থেকে মোট কতগুলি 7 অক্ষরের শব্দ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
'EQUATION' শব্দে মোট অক্ষর = 8টি
মোট 6 অক্ষরের শব্দ হল:- 8P7 = 8!/(8 - 7)! = 8!/1! 
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 40320

∴ 7- অক্ষরের মোট 40320 শব্দ গঠিত হতে পারে।
১,৩৯০.
একটি অনুষ্ঠানে কিছু লােক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা ৯১ হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লােক ছিল? 
  1. ক
    15 জন
  2. খ
    11 জন
  3. গ
    12 জন
  4. ঘ
    14 জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লােক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা ৯১ হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লােক ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
ঐ অনুষ্ঠানে n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিল।
প্রশ্নানুসারে, 
nC2 = 91
⇒ n!/{2!(n - 2)!} = 91
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 91
⇒ n(n - 1)/2 = 91
⇒ n(n - 1) = 182
⇒ n2 - n - 182 = 0
⇒ n2 - 14n + 13n - 182 = 0
⇒ n(n - 14) + 13(n - 14) = 0
⇒ (n + 13)(n - 14) = 0

n = 14 কিন্তু n এর মান - 13 গ্রহণযোগ্য নয়। [কারণ n এর মান ঋণাত্মক]
সুতরাং ঐ অনুষ্ঠানে 14 জন লোক ছিল।

১,৩৯১.
'MISSISSIPPI' শব্দটির বর্ণ নিয়ে কতগুলো বিন্যাস করা যাবে, যাদের প্রথম অক্ষর হবে 'M'?
  1. ক
    3150
  2. খ
    3450
  3. গ
    3600
  4. ঘ
    3750
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'MISSISSIPPI' শব্দটির বর্ণ নিয়ে কতগুলো বিন্যাস করা যাবে, যাদের প্রথম অক্ষর হবে 'M'?

সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট ১১টি বর্ণ রয়েছে।

এখন,
'M' প্রথম স্থানে স্থির, তাই বাকি ১০টি স্থানে বাকি বর্ণগুলো বিন্যাস করতে হবে - I, I, I, I, S, S, S, S, P, P।
এখানে I চারটি, S চারটি, P দুটি রয়েছে।

∴ বাকি ১০টি বর্ণের বিন্যাস সংখ্যা =

অতএব, 'M' দিয়ে শুরু হওয়া 'MISSISSIPPI' শব্দের বিন্যাসের সংখ্যা = 3150.

১,৩৯২.
'ALGEBRA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    720
  2. খ
    360
  3. গ
    7!/3!
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'ALGEBRA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'ALGEBRA' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি
Vowel আছে 3টি
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় = 3!/2! = 3 [ A আছে ২টি]

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3
= 120 × 3
= 360
১,৩৯৩.
'PARALLEL' শব্দটির বর্ণগুলোকে নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়?
  1. ক
    2520
  2. খ
    4200
  3. গ
    4032
  4. ঘ
    3360
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'PARALLEL' শব্দটির বর্ণগুলোকে নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়?

সমাধান:
'PARALLEL' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি
যেখানে, A আছে 2 বার, L আছে 3 বার এবং P, R, E প্রত্যেকে 1 বার করে আছে। 

∴ মোট বিন্যাস = 8!/(2! × 3!)
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 3 × 2)
= 8 × 7 × 6 × 5 × 2
= 56 × 60
= 3360

সুতরাং, 'PARALLEL' শব্দটির বর্ণগুলিকে নিয়ে 3360 প্রকারে বিন্যাস করা যায়। 

১,৩৯৪.
7 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চতুর্দিকে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    5040
  2. খ
    2344
  3. গ
    1020
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চতুর্দিকে কতভাবে বসানো যাবে? 

সমাধান:
7 জন ব্যক্তি 1 টি গোলটেবিলের চতুর্দিকে বসতে পারে (n - 1)! উপায়ে
= (7-1)!
= 6!
= 720
১,৩৯৫.
রবিনের বাসা থেকে কলেজে যাওয়ার 4টি রাস্তা আছে আবার কলেজ থেকে লাইব্রেরীতে যাওয়ার 5টি রাস্তা আছে। সে কত উপায়ে বাসা থেকে কলেজ হয়ে লাইব্রেরীতে যেতে পারবে?
  1. ক
    ক) 9
  2. খ
    খ) 20
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 102
ব্যাখ্যা

বাসা থেকে কলেজে যাওয়ার 4টি উপায়
কলেজ থেকে লাইব্রেরিতে যাওয়ার 5টি উপায়
∴ বাসা থেকে কলেজ হয়ে লাইব্রেরিতে যাওয়ার 4 × 5
= 20টি উপায়
[এক্ষেত্রে গণনার গুণন বিধি হয়]

১,৩৯৬.
ব্যাঞ্জনবর্ণ গুলি কেবল জোড় স্থানে রেখে EQUATION শব্দটির অক্ষর গুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 1440
  3. গ
    গ) 8890
  4. ঘ
    ঘ) 2880
ব্যাখ্যা

EQUATION শব্দে 8 বর্ণ আছে
Q, T, N 3 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ
জোড় স্থান আছে 4 টি
∴ ব্যাঞ্জনবর্ণ বসতে পারবে = 4P3 = 24 উপায়ে
স্বরবর্ণ আছে 5 টি
স্বরবর্ণ বসতে পারে 5P5 = 120 উপায়ে
∴ব্যাঞ্জনবর্ণ গুলি কেবল জোড় স্থানে বসতে পারবে = 120 × 24 = 2880 উপায়ে.

১,৩৯৭.
৬ জন বালক ও ৩ জন বালিকা থেকে ৫ জন বালক ও ২ জন বালিকা বিশিষ্ট দল কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ৯
  2. খ
    ১১০
  3. গ
    ৫৫
  4. ঘ
    ১৮
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬ জন বালক ও ৩ জন বালিকা থেকে ৫ জন বালক ও ২ জন বালিকা বিশিষ্ট দল কত উপায়ে গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৬ জন বালক থেকে ৫ জন বাচাই করা যায় ৬C৫ = ৬ উপায়ে
৩ জন বালিকা থেকে ২ জন বাচাই করা যায় ৩C২ = ৩ উপায়ে

∴ দল গঠন করার মোট উপায় = ৬ × ৩ = ১৮ উপায়ে
১,৩৯৮.
একটি সেমিনারে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় মোট 435 টি করমর্দন হলো। সেমিনারে মোট কতজন লোক ছিল?
  1. ক
    20 জন
  2. খ
    25 জন
  3. গ
    30 জন
  4. ঘ
    35 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সেমিনারে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় মোট 435 টি করমর্দন হলো। সেমিনারে মোট কতজন লোক ছিল?

সমাধান:
আমরা জানি করমর্দন দুইজনের মধ্যে সংঘটিত হয়।

ধরি,
সভায় লোকের সংখ্যা n জন

প্রশ্নমতে,
nC2 = 435
⇒ n!/{2!(n - 2)!} = 435
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 435
⇒ n(n - 1)/2 = 435
⇒ n2 - n = 870
⇒ n2 - n - 870 = 0
⇒ n2 - 30n + 29n - 870 = 0
⇒ n(n - 30) + 29(n - 30) = 0
⇒ (n - 30)(n + 29) = 0
হয়, n - 30 = 0 অথবা n + 29 = 0
∴ n = 30 অথবা n = - 29

n এর ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ লোকসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n = 30

অতএব, সভায় মোট লোক ছিলো 30 জন।
১,৩৯৯.
30 জন ছাত্রের একটি শ্রেণি থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সাধারণ সম্পাদক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    1020
  2. খ
    960
  3. গ
    720
  4. ঘ
    870
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 30 জন ছাত্রের একটি শ্রেণি থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সাধারণ সম্পাদক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
প্রথমে 30 জন ছাত্র থেকে 1 জন সভাপতি নির্বাচন করা যায়,
= 30C1 
= 30

সভাপতি নির্বাচনের পর বাকি থাকে ২৯ জন।

∴ 29 জন থেকে 1 জন সাধারণ সম্পাদক নির্বাচন করা যায়,
= 29C1
= 29

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 30 × 29 = 870

১,৪০০.
'MEDICINE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর M ও শেষ অক্ষর D থাকে?
  1. ক
    ক) 180
  2. খ
    খ) 160
  3. গ
    গ) 140
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'MEDICINE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর M ও শেষ অক্ষর D থাকে?

সমাধান: 
MEDICINE শব্দে 8টি  বর্ণ আছে।  যেখানে 
E = 2টি
I = 2টি

১ম অক্ষর M ও শেষ অক্ষর D, বাকী থাকবে 6টি অক্ষর

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
                         = 180 উপায়ে