লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বিন্যাস ও সমাবেশ

মোট প্রশ্ন১,৭৫০এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বিন্যাস ও সমাবেশ

PrepBank · পাতা ১৩ / ১৮ · ১,২০১–১,৩০০ / ১,৭৫০

১,২০১.
৪ জন কর্মকর্তা এবং ৬ জন কর্মচারীর মধ্য থেকে ৪ জনের কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যায় যাতে ১ জন বিশেষ কর্মকর্তা সর্বদা বিদ্যমান থাকে?
  1. ক
    ক) ৪২
  2. খ
    খ) ২১
  3. গ
    গ) ৮৪
  4. ঘ
    ঘ) ৬৩
ব্যাখ্যা
মোট সদস্য = ৪+৬ = ১০
গঠিত কমিটির সদস্য = ৪
∴ কমিটি গঠনের উপায় = ১০-১C৪-১
= ৯C৩
= ৮৪
১,২০২.
'PORKER' শব্দটিকে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    ৭২০
  2. খ
    ৩৬০
  3. গ
    ৪২০
  4. ঘ
    ১৮০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'PORKER' শব্দটিকে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
PORKER শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৬টি, এবং R বর্ণটি আছে ২ বার

∴ মোট সাজানোর উপায় = ৬!/২! = ৩৬০
১,২০৩.
'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'APPLE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    4.5 গুণ
  2. খ
    6 গুণ
  3. গ
    5 গুণ
  4. ঘ
    6.5 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'APPLE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
APPLE শব্দে 5টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 2টি P আছে।
∴ 'APPLE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2!
= 120/2
= 60 উপায়ে

আবার,
COPPER শব্দে 6টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 2টি P আছে।
∴ 'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2!
= 720/2
= 360

∴ COPPER এর বিন্যাস সংখ্যা, APPLE এর বিন্যাস সংখ্যার = 360/60 = 6 গুণ
১,২০৪.
'NARSINGDI' শব্দটির বর্ণগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 90720
  2. খ
    খ) 80720
  3. গ
    গ) 45360
  4. ঘ
    ঘ) 70580
ব্যাখ্যা

'NARSINGDI' শব্দটির মোট 9টি বর্ণের মধ্যে 2টি N এবং 2টি I আছে। সুতরাং নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 9!/(2!2!)
= (9×8×7×6×5×4×3×2×1)/(2×1×2×1)
= 90720

১,২০৫.
(n + 1)!/(n - 2)! = ?
  1. ক
    n2 - 1
  2. খ
    n2 - n
  3. গ
    n3 - n
  4. ঘ
    n
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (n + 1)!/(n - 2)! = ?

সমাধান:
(n + 1)!/(n - 2)!
{(n + 1) × n × (n - 1) × (n - 2)!}/(n - 2)!
= (n + 1) × n × (n - 1)
= n × (n2 - 1)
= n3 - n
১,২০৬.
4 জন বালক ও 6 জন বালিকার মধ্য থেকে 4 সদস্য বিশিষ্ট একটি উপকমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট বালিকা সর্বদাই উপস্থিত থাকে। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    84
  2. খ
    120
  3. গ
    132
  4. ঘ
    145
ব্যাখ্যা
1 জন নির্দিষ্ট বালিকা সর্বদাই উপস্থিত থাকে।
অবশিষ্ট থাকে = 6 - 1 = 5

অতএব, 4 জন বালক ও 5 জন বালিকার মধ্য থেকে 3 সদস্য বিশিষ্ট একটি উপকমিটি গঠন করতে হবে।
উপকমিটি গঠন করার উপায়
= (4 + 5)C3
= 9C3
= 9!/(3!6!)
= 6!(7 × 8 × 9)/(6! × 2 × 3)
= 84
১,২০৭.
'ALGORITHM' শব্দের বর্ণগুলো থেকে ৩টি বর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যাবে যেখানে কোন বর্ণের পুনরাবৃত্তি ঘটবে না?
  1. ক
    ৫৪০
  2. খ
    ৬৫০
  3. গ
    ৭২০
  4. ঘ
    ৫০৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'ALGORITHM' শব্দের বর্ণগুলো থেকে ৩টি বর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যাবে যেখানে কোন বর্ণের পুনরাবৃত্তি ঘটবে না?

সমাধান:
'ALGORITHM' শব্দটিতে মোট ৯টি ভিন্ন রয়েছে।
৯টি বর্ণ থেকে ৩টি বর্ণ নিয়ে শব্দ তৈরি করা যায় = ৯P৩
= ৯!/(৯ - ৩)!
= (৯ × ৮ × ৭ × ৬!)/৬!
= ৯ × ৮ × ৭
= ৫০৪
১,২০৮.
একটি ফুটবল স্কোয়াডে 20 জন সদস্য আছে। তাদের মধ্য থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ক) 760
  2. খ
    খ) 380
  3. গ
    গ) 190
  4. ঘ
    ঘ) 270
ব্যাখ্যা
20 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 20C1 = 20 উপায়ে
19 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 19C1 =19 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 20 × 19 = 380
১,২০৯.
8 জন বালক এবং 6 জন বালিকা হতে 2 জন বালক ও 2 জন বালিকা একত্রে কতভাবে বেছে নেওয়া যাবে?
  1. ক
    ক) 1260
  2. খ
    খ) 420
  3. গ
    গ) 140
  4. ঘ
    ঘ) 240
ব্যাখ্যা

8 জন বালক থেকে 2 জনকে বেছে নেওয়া যায় 8C2 উপায়ে
6 জন বালিকা থেকে 2 জনকে বেছে নেওয়া যায় 6C2 উপায়ে
∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 8C2 × 6C2 = 28 × 15 = 420 উপায়ে

১,২১০.
7টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি মালা তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    210
  2. খ
    360
  3. গ
    504
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
তসবী, মালা ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা হয় = (n - 1)!/2
এখানে, n = 7
∴ মালা গঠনের উপায় = (7 - 1)!/2
= 6! / 2
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / 2
= 720 / 2
= 360

১,২১১.
একটি অফিসে 12 জন বসতে পারে। 13 জন ব্যক্তি কত উপায়ে অফিসে বসতে পারে?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 13
  4. ঘ
    ঘ) 26
ব্যাখ্যা
12 জন ধারণ ক্ষমতাবিশিষ্ট অফিসে 13 জন বসার উপায়
= 13C12
= 13!/12!
= 12! × 13/12!
= 13
১,২১২.
'Motherland' থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে? 
  1. ক
    ক) 115
  2. খ
    খ) 120
  3. গ
    গ) 150
  4. ঘ
    ঘ) 105
ব্যাখ্যা
'Motherland' শব্দটিতে ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 7টি 
 এবং স্বরবর্ণ আছে 3টি 

7টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = 7C3
                                                                                 = 35 
3টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = 3C2 
                                                                        = 3 
বাছাইয়ের মোট উপায় = 35 × 3 
                                   = 105
১,২১৩.
8 জন ও 10 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 8 জনের দল থেকে কমপক্ষে 7 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
  1. ক
    1800
  2. খ
    1680
  3. গ
    1350
  4. ঘ
    1200
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 জন ও 10 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 8 জনের দল থেকে কমপক্ষে 7 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে? 

সমাধান: 
১ম দল (8 জন)  ২য় দল(10জন)
১)     8                      3
২)    7                      4 

১নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 8C8 × 10C3 = 1 × 120 = 120
২নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 8C7 × 10C4 = 8 × 210 = 1680

টিম গঠনের উপায় = 120 + 1680  = 1800
১,২১৪.
'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায় যেখানে শব্দের শেষে সর্বদা একটি ব্যাঞ্জনবর্ণ থাকবে?
  1. ক
    120
  2. খ
    180
  3. গ
    200
  4. ঘ
    140
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায় যেখানে শব্দের শেষে সর্বদা একটি ব্যাঞ্জনবর্ণ থাকবে?

সমাধান: 
'LEADER' শব্দটিতে মোট 6টি বর্ণ রয়েছে, যাদের 3টি (L, D, R) ব্যাঞ্জনবর্ণ।

শব্দের শেষ ঘর 3টি ব্যাঞ্জনবর্ণ দিয়ে 3P1 = 3 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
∴ অবশিষ্ট পাঁচ ঘর সাজানো যায় = 5!/2! [ এখানে E দুই বার আছে]
= 60

∴ সাজানোর মোট উপায় = 3 × 60 = 180
১,২১৫.
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'ORANGE' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?
  1. ক
    520
  2. খ
    576
  3. গ
    655
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'ORANGE' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
“ORANGE" শব্দটিতে মোট 6টি বর্ণ রয়েছে যেখানে সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 3টি। 
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6! = 720

স্বরবর্ণ 3 টি একটি ধরে মোট ভিন্ন বর্ণ 4টি
4টি বর্ণকে সাজানো যায় = 4!
স্বরবর্ণ 3 টি সাজানো যায় = 3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = 4! × 3!
= 24 × 6
= 144

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = 720 - 144
= 576
১,২১৬.
3টি শূন্য পদের জন্য 12 জন প্রার্থী আছে। একজন ভোটার 3 টির বেশি ভোট দিতে পারবেন না। তিনি কত প্রকারে ভোট দিতে পারবেন ?
  1. ক
    ক) 360
  2. খ
    খ) 240
  3. গ
    গ) 180
  4. ঘ
    ঘ) 298
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3টি শূন্য পদের জন্য 12 জন প্রার্থী আছে। একজন ভোটার 3 টির বেশি ভোট দিতে পারবেন না। তিনি কত প্রকারে ভোট দিতে পারবেন ?

সমাধান:
একজন ভোটার 12 জন প্রার্থীর মধ্যে 1 জনকে বা 2 জনকে বা 3 জনকে ভোট দিতে পারবেন। নির্ণেয় ভোট দেয়ার উপায় = 12C1 + 12C2 + 12C3
= 12 + 66 + 220
= 298
১,২১৭.
CALCULUS শব্দটির বর্ণগুলোর সবগুলো একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম ও শেষ অক্ষর U থাকে?
  1. ক
    ক) 360
  2. খ
    খ) 81
  3. গ
    গ) 180
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা

CALCULUS শব্দে 8 বর্ণ আছে
L = 2 টি
U =2টি
C = 2 টি
১ম ও শেষ অক্ষর U, বাকী থাকবে 6টি অক্ষর
∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!) = 180 উপায়ে

১,২১৮.
কত জন বালিকাকে ৩৬০ টি কমলালেবু এবং ৫০৪টি আপেল সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যায়?
  1. ক
    ক) ২৪
  2. খ
    খ) ৭২
  3. গ
    গ) ১২
  4. ঘ
    ঘ) ১৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : কত জন বালিকাকে ৩৬০ টি কমলালেবু এবং ৫০৪টি আপেল সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যায়?

সমাধান :
 
বালিকার সংখ্যা হবে  ৩৬০  এবং ৪৫৬  এর গ.সা.গু 
৩৬০  = ২ × ২ × ২ × ৩  × ৩  × ৫
৫০৪ = ২ × ২ × ২ × ৩  × ৩ × ৭

৩৬০ এবং ৪৫৬ এর গসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩  × ৩ = ৭২ 


বালিকার সংখ্যা = ৭২ জন 
 
১,২১৯.
'ACCOUNT' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    2520
  2. খ
    720
  3. গ
    5040
  4. ঘ
    1260
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'ACCOUNT' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'ACCOUNT' শব্দটির 7 টি অক্ষরের মধ্যে 'C' রয়েছে 2 বার

∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3)
= 2520
১,২২০.
13 বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কতগুলো কর্ণ আছে?
  1. ক
    ক) 65
  2. খ
    খ) 78
  3. গ
    গ) 13
  4. ঘ
    ঘ) 156
ব্যাখ্যা

13 বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের 13 টি কৌণিক বিন্দু আছে।
2 টি কৌণিক বিন্দুর সমাবেশ হতে একটি রেখা পাওয়া যায়
∴ মোট রেখার সংখ্যা = 13c2 = 78 যাদের মধ্যে 13 টি বহুভূজের বাহু।
∴ কর্ণের সংখ্যা = 78 - 13 = 65

১,২২১.
6 জন মানুষ কত উপায়ে বসে একটি গোল টেবিলে বৈঠক করতে পারবে?
  1. ক
    120 উপায়ে
  2. খ
    210 উপায়ে
  3. গ
    160 উপায়ে
  4. ঘ
    144 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 জন মানুষ কত উপায়ে বসে একটি গোল টেবিলে বৈঠক করতে পারবে?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
গোল টেবিলে বৈঠক করার উপায় = (n - 1)!
= (6 - 1)!
= 5!
= 120 উপায়ে
১,২২২.
একটি ক্লাবের নির্বাহী কমিটিতে 1 জন চেয়ারম্যান, 2 জন ভাইস চেয়াম্যান এবং 8 জন সদস্য আছে চেয়াম্যান, 1 জন ভাইস- চেয়ারম্যান এবং 4 জন সদস্য নিয়ে কত উপায়ে সব-কমিটি গঠন করা যেতে পারে? 
  1. ক
    ক) 100
  2. খ
    খ) 73
  3. গ
    গ) 140
  4. ঘ
    ঘ) 80
ব্যাখ্যা
১ জন চেয়ারম্যান থেকে ১ জন বাছাই করার উপায় = 1C1 = 1
২ জন ভাইস -চেয়ারম্যান থেকে ১ জন বাছাই করার উপায় = 2C1 = 2
৮ জন সদস্য থেকে ৪ জন সদস্য বাছাই করার উপায় = 8C4 = 70

সাব- কমিটি গঠনের উপায় = 1 × 2 × 70 = 140
১,২২৩.
PFIZER শব্দটির বর্ণগুলো কত উপায় সাজানো যায় যেখানে শব্দের শেষে সর্বদা একটি ব্যাঞ্জনবর্ণ থাকবে?
  1. ক
    ক) 480
  2. খ
    খ) 720
  3. গ
    গ) 48
  4. ঘ
    ঘ) 72
ব্যাখ্যা

PFIZER শব্দটিতে মোট 6টি বর্ণ রয়েছে, যাদের 4টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।
শব্দের শেষ অক্ষর 4টি ব্যাঞ্জনবর্ণ দিয়ে 4P1 = 4 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট 5 টি বর্ণ সাজানো যায় = 5! = 120 উপায়ে
∴ সাজানোর মোট উপায় = 4 × 120 = 480

১,২২৪.
স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে EXAMPLE শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়?
  1. ক
    72
  2. খ
    144
  3. গ
    840
  4. ঘ
    4896
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে EXAMPLE শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
এখানে মোট বর্ণ আছে 7টি
স্বরবর্ণ আছে (E, A, E) 3টি এবং যার মধ্যে 2টি E এবং 1টি A.
ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 4টি

স্বরবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3!/2! = 3
বাকি 4টি বর্ণ 4টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 4P4 = 4! = 24

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 3 × 24 = 72
১,২২৫.
PADMA শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে পুনর্বিন্যাস করা যায়?
  1. ক
    ক) 59
  2. খ
    খ) 60
  3. গ
    গ) 119
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা
শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 2টি A
∴ এক্ষেত্রে সাজানোর উপায় = 5!/2! = 60
∴ পুনর্বিন্যাস করার উপায় = 60-1 = 59
১,২২৬.
একটি ক্রিকেট ম্যাচে বাংলাদেশ দলের ১৫ জন থেকে কতভাবে একাদশ সাজানো যাবে যেখানে অধিনায়ক পরিবর্তন হবে না?
  1. ক
    ৮৯১
  2. খ
    ৯৬০
  3. গ
    ১০০১
  4. ঘ
    ১২০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  একটি ক্রিকেট ম্যাচে বাংলাদেশ দলের ১৫ জন থেকে কতভাবে একাদশ সাজানো যাবে  যেখানে অধিনায়ক পরিবর্তন হবে না?

সমাধান:
ধরি,
১৫ জনের মধ্যে একজন অধিনায়ক নির্ধারিত।
তাহলে আমাদের ১৫ জনের মধ্যে থেকে অধিনায়ককে বাদ দিলে বাকি থাকে = 15 − 1 = 14 জন

একাদশ সাজাতে হবে ১১ জন নিয়ে, যার মধ্যে অধিনায়ক আগে থেকেই নির্ধারিত।
তাই বাছাই করতে হবে = ১১ - ১ = ১০ জন 
অর্থাৎ, অধিনায়ক ছাড়া বাকি ১০ জন বাছাই করতে হবে ১৪ জন থেকে।

নির্বাচনের সংখ্যা = ১৪C১০ 
= ১৪! / ( ১০! × ৪! )
= ( ১৪ × ১৩ × ১২ × ১১ × ১০! ) / {( ৪ × ৩ × ২ ) ×  ১০!} 
= ৭ × ১৩ × ১১
= ১০০১ 

অর্থাৎ অধিনায়ক পরিবর্তন না করে বাংলাদেশ দলের ১৫ জন থেকে একাদশ সসাজানো যাবে ১০০১ উপায়ে। 
১,২২৭.
"PURPOSE" শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    120
  2. খ
    360
  3. গ
    540
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "PURPOSE" শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
"PURPOSE" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 7টি,
Vowel আছে = 3টি
এবং P আছে = 2টি

এখন,
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!/2! = 60
Vowel তিনটি সাজানো যায় = 3! = 6

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = (60 × 6)
= 360
১,২২৮.
6 জন গণিত ও 4 জন পদার্থ বিজ্ঞানের ছাত্র থেকে 6 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। যাতে গণিতের ছাত্রদের সংখ্যাগরিষ্ঠতা থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যায়?
  1. ক
    110
  2. খ
    115
  3. গ
    130
  4. ঘ
    139
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 জন গণিত ও 4 জন পদার্থ বিজ্ঞানের ছাত্র থেকে 6 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। যাতে গণিতের ছাত্রদের সংখ্যাগরিষ্ঠতা থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যায়?

সমাধান:
গণিত (6)        পদার্থ(4)
1) 6  __________  0 
2) 5 __________  1 
3) 4  __________ 2 

1) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = 6C6 × 4C0
= 1 × 1 = 1

2) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = 6C5 × 4C1
= 6 × 4 = 24 

3) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = 6C4 × 4C2 
= 15 × 6
 = 90 

কমিটি গঠনের মোট উপায় = 1 + 24 + 90 = 115
১,২২৯.
6টি বইয়ের মধ্যে 3টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    24
  2. খ
    48
  3. গ
    96
  4. ঘ
    144
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6টি বইয়ের মধ্যে 3টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
3টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই = (6 - 3) + 1 = 4টি
4টি বই সাজানোর মোট উপায় = 4!

বিশেষ বই 3টি সাজানোর মোট উপায় = 3!

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 4! × 3!
= 24 × 6
= 144

১,২৩০.
'HANDSOME' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যাবে যাতে সবগুলো স্বরবর্ণ একসাথে থাকবে?
  1. ক
    ক) 4320
  2. খ
    খ) 2160
  3. গ
    গ) 2258
  4. ঘ
    ঘ) 3500
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'HANDSOME' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত ভাবে সাজানো যাবে যাতে সবগুলো স্বরবর্ণ একসাথে থাকবে?

সমাধান:
এখানে মোট অক্ষর 8 টি এবং স্বরবর্ণ 3 টি এবং সবগুলো বর্ন ভিন্ন ভিন্ন।
স্বরবর্ণ তিনটিকে একটি মনে করে মোট বর্ণ 6 টি।
তাদের বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720
স্বরবর্ণ 3 টির নিজেদেরভ মধ্যে বিন্যাস = 3! = 6

∴ মোট বিন্যাস = 720 × 6 = 4320
১,২৩১.
9 জন ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    36,280
  2. খ
    40,320
  3. গ
    42,560
  4. ঘ
    18,000
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9 জন ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n জন ব্যক্তিকে গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!

∴ 9 জনকে বসানোর উপায় = (9 - 1)! = 8!
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 40320

১,২৩২.
7 × 0! এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    7
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 × 0! এর মান কত?

সমাধান:
ফ্যাক্টোরিয়াল সূত্র অনুযায়ী,
n! = n × (n - 1)!

এখন, n = 1 হলে,
1! = 1 × (1 - 1)!
 ⇒ 1! = 1 × 0!
⇒ 1 = 0!
∴ 0! = 1

∴ 7 × 0! = 7 × 1 = 7

১,২৩৩.
8 জন বালক এবং 7 জন বালিকার মধ্য থেকে 3 জন বালক এবং 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?
  1. ক
    ক) 1176
  2. খ
    খ) 3360
  3. গ
    গ) 2276
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 8 জন বালক এবং 7 জন বালিকার মধ্য থেকে 3 জন বালক এবং 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?
সমাধান :
3 জন বালক বাছাই করা যায় = 8c3 = 56
2 জন বালিকা বাছাই করা যায় = 7c2 = 21
∴ বেছে নেওয়ার মোট উপায় =  56 × 21 = 1176
১,২৩৪.
২ জন প্রার্থীর ৪ জন ভোটার ১ জন প্রার্থী কত উপায়ে নির্বাচিত হতে পারে? 
  1. ক
    ক) ৮ উপায়ে
  2. খ
    খ) ৬৪ উপায়ে
  3. গ
    গ) ১৬ উপায়ে
  4. ঘ
    ঘ) ৩২ উপায়ে
ব্যাখ্যা
এখানে,
প্রার্থীর সংখ্যা n = ২ জন
ভোটার সংখ্যা r = ৪ জন

নির্বাচিত হতে পারে = nr উপায়ে
                              = ২৪ উপায়ে
                                = ১৬ উপায়ে
১,২৩৫.
A, B, C, D চারটি বর্ণ। বর্ণ চারটি হতে পূনরাবৃত্তি না ঘটিয়ে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে সাজানো যায়? 
  1. ক
    96
  2. খ
    60
  3. গ
    120
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A, B, C, D চারটি বর্ণ। বর্ণ চারটি হতে পূনরাবৃত্তি না ঘটিয়ে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে সাজানো যায়? 

সমাধান: 
মোট বর্ণ, n = 4
প্রতিবারে নিতে হবে 3 টি বর্ণ, r = 3 (এখানে কতটি বর্ণ নিতে হবে তা বলে দেয়া আছে)

মোট সাজানোর উপায় = nPr = n!/(n - r)!
= 4!/(4 - 3)!
= 4!/1!
= 4 × 3 × 2 × 1
= 24

সুতরাং, মোট ২৪টি ভাবে তিনটি বর্ণ সাজানো যায়।

১,২৩৬.
একজন শিক্ষার্থীকে 12 টি প্রশ্ন থেকে 6 টি প্রশ্নের উত্তর করতে হবে। প্রথম 5 টি প্রশ্ন থেকে ঠিক 4 টি প্রশ্ন বাছাই করে কত প্রকারে 6 টি প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যাবে?
  1. ক
    80
  2. খ
    85
  3. গ
    90
  4. ঘ
    105
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন শিক্ষার্থীকে 12 টি প্রশ্ন থেকে 6 টি প্রশ্নের উত্তর করতে হবে। প্রথম 5 টি প্রশ্ন থেকে ঠিক 4 টি প্রশ্ন বাছাই করে কত প্রকারে 6 টি প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যাবে?

সমাধান:
12 - 5 = 7
6 - 4 = 2

প্রথম 5 টি থেকে 4 টি বাছাই করার উপায় = 5C4 = 5

7 টি থেকে 2 টি বাছাই করে 7C2 = 21 উপায়ে উত্তর করা যাবে। 
∴ মোট বাছাই করার উপায় = 5 × 21 = 105
--------------------------------------------------

বিকল্প পদ্ধতিঃ
প্রথম পাঁচটি প্রশ্ন থেকে চারটি বাছাই করার উপায়
1234, 1235, 1345, 1342, 1452
প্রথম পাঁচটি প্রশ্ন থেকে চারটি উপর্যুক্ত পাঁচ উপায়ে বাছাই করা যায়।

পরবর্তী 7 টি প্রশ্ন থেকে 2 টি বাছাই করার উপায়
67, 68, 69, 6(10), 6(11), 6(12), 78, 79, 7(10), 7(11), 7(12), 89, 8(10), 8(11), 8(12), 9(10), 9(11), 9(12), 10(11), 10(12), 11(12)
শেষ সাতটি প্রশ্ন থেকে দুইটি প্রশ্ন উপর্যুক্ত একুশ উপায়ে বাছাই করা যায়।

মোট বাছাই করার উপায় = 5 × 21 বা 105
 
১,২৩৭.
5 × nP3 = 4 × (n+1)P3 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 × nP3 = 4 × (n+1)P3 হলে n এর মান কত?
    
সমাধান:
⇒ nP3 = n × (n - 1) × (n - 2)
⇒ (n+1)P3 = (n + 1) × n × (n - 1)

এখন,
5 × n × (n - 1) × (n - 2) = 4 × (n + 1) × n × (n - 1)
⇒ 5(n - 2) = 4(n + 1)
⇒ 5n - 10 = 4n + 4
⇒ 5n - 4n = 4 + 10
⇒ n = 14
১,২৩৮.
৬ জন খেলোয়ারকে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কত ভাবে বিভক্ত করা যায়? 
  1. ক
    ১০
  2. খ
    ২০
  3. গ
    ৬০
  4. ঘ
    ১২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ ৬ জন খেলোয়ারকে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কত ভাবে বিভক্ত করা যায়? 

সমাধান:
প্রশ্নটি ৪০ তম বিসিএসের প্রশ্ন; কিন্তু তা ৪০ তম বিসিএসেই প্রথম আসেনি। এর আগে এটি কুমিল্লা শিক্ষাবোর্ডে ২০১৭ সালের এইসএসসি পরীক্ষায় এসেছিল। অনলাইনের প্রায় সব গুলো ওয়েবসাইট এবং বাজারের বেশ কিছু বইয়ে এর ভুল সমাধান দেওয়া আছে।

চলুন এর সঠিক সমাধান জেনে নেইঃ
২m সংখ্যক জিনিস সমান দুই ভাগে বিভক্ত করলে সমাবেশ সংখ্যা = (২m)!/২!(m!)২
৬ বা (২X৩) জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে বিভক্ত করার উপায়= ৬!/ [২!(৩!)২] = ১০

বিকল্প সমাধানঃ
প্রতি দলে ৩ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৬ জন থেকে ৩ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ৬C৩ = (৬)!/(৩!(৬-৩)!) = ২০
সমান সংখ্যক বা ৩ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ২০/২ = ১০

উৎসঃ উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণী।
১,২৩৯.
6 জন বিজ্ঞান ও 4 জন কলা বিভাগের ছাত্র থেকে 6 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। বিজ্ঞানের ছাত্রদেরকে সংখ্যা গরিষ্ঠতা দিয়ে কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যায়? 
  1. ক
    ক) 130
  2. খ
    খ) 125
  3. গ
    গ) 115
  4. ঘ
    ঘ) 145
ব্যাখ্যা
6 জন বিজ্ঞান ছাত্র থেকে 6 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়= 6C6 = 1
6 জন বিজ্ঞান ছাত্র থেকে 5 জন নিয়ে এবং 4 জন কলা বিভাগের ছাত্র থেকে 1 জন নিয়ে
কমিটি গঠনের উপায় = 6C5 × 4C1 
                                  = 6 × 4
                                  = 24                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                       
6 জন বিজ্ঞান ছাত্র থেকে 4 জন নিয়ে এবং 4 জন  কলা বিভাগের ছাত্র থেকে 2 জন নিয়ে
কমিটি গঠনের উপায় = 6C4 × 4C2
                                = 15 × 6
                               = 90                                                                                                                                   

কমিটি গঠনের মোট উপায় = (1 + 24 + 90)
                                         = 115
১,২৪০.
৫, ৪, ৯, ২ অঙ্কগুলো দ্বারা ৫০০০ চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায় যেনো কোন অঙ্কের পুনরাবৃত্তি না হয়?
  1. ক
    ক) ৬ টি
  2. খ
    খ) ১২ টি
  3. গ
    গ) ২৪ টি
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫, ৪, ৯, ২ অঙ্কগুলো দ্বারা ৫০০০ চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায় যেনো কোন অঙ্কের পুনরাবৃত্তি না হয়?

সমাধান:
৫০০০ চেয়ে বড় বিধায় প্রথম অঙ্কটি  ৫ বা ৯ হতে হবে।

প্রথম অঙ্ক ৫ হলে, বাকি ৩ টি অঙ্ক ২, ৯, ৪ বিন্যাস হবে।
এরুপ সংখ্যা হবে = ৩!
= ১ × ২ × ৩
= ৬ টি 

প্রথম অঙ্ক ৯ হলে, বাকি ৩ টি অঙ্ক ২, ৫, ৪ বিন্যাস হবে।
এরুপ সংখ্যা হবে = ৩!
= ১ × ২ × ৩
= ৬ টি 

∴ ৫, ৪, ৯, ২ অঙ্কগুলো দ্বারা ৫০০০ চেয়ে বড়  সংখ্যা তৈরি করা যায় = ৬ + ৬ টি 
= ১২ টি
১,২৪১.
একটি দাবা খেলার প্রতিযোগিতায় 8 জন প্রতিযোগীর প্রত্যেকে অন্য একজন খেলোয়াড়ের সাথে একবার মাত্র খেলবে। সর্বমোট কতগুলো খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
  1. ক
    22 টি
  2. খ
    28 টি
  3. গ
    30 টি
  4. ঘ
    32 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দাবা খেলার প্রতিযোগিতায় 8 জন প্রতিযোগীর প্রত্যেকে অন্য একজন খেলোয়াড়ের সাথে একবার মাত্র খেলবে। সর্বমোট কতগুলো খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
একবার খেলার জন্য প্রতিযোগী প্রয়োজন = 2 জন

∴ 8 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = 8C2
= 8!/{2!(8! - 2!)
= 8!/(2! · 6!)
= 28
১,২৪২.
৬টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৪টি স্বরবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ২টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?
  1. ক
    ২৫২০০
  2. খ
    ১৪৪০০
  3. গ
    ২১৪০০
  4. ঘ
    ১২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৪টি স্বরবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ২টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
৬টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় ৬C৩ = ২০
৪টি স্বরবর্ণ থেকে ২টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় ৪C২= ৬
∴ মোট বর্ণ বাছাই করার উপায় = ২০ × ৬ = ১২০

প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে ৫টি এদের সাজানোর উপায় = ৫! = ১২০

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = ১২০ × ১২০ = ১৪৪০০
১,২৪৩.
15 জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    286
  2. খ
    1001
  3. গ
    512
  4. ঘ
    324
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 15 জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
সর্বদা একজনকে নির্দিষ্ট রেখে 11 জনের দল বাছাই করার উপায়, = 15 - 1C11 - 1
= 14C10
= (14 × 13 × 12 × 11)/(4 × 3 × 2 × 1)
= 1001
১,২৪৪.
একজন ব্যক্তি তার ৫জন বন্ধুকে কয়টি উপায়ে দাওয়াত দিতে পারে?
  1. ক
    ক) ২১
  2. খ
    খ) ২২
  3. গ
    গ) ৩১
  4. ঘ
    ঘ) ৩০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি তার ৫জন বন্ধুকে কয়টি উপায়ে দাওয়াত দিতে পারে?

সমাধান:
৫ জন বন্ধুকে দাওয়াত দেয়ার মোট উপায় = 5c1 + 5c2 + 5c3 + 5c4 + 5c5 
= 5 + 10 + 10 + 5 +1 
= 31
১,২৪৫.
একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় ৪৩৫টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?
  1. ক
    ২৫ জন
  2. খ
    ৩০ জন
  3. গ
    ৩৫ জন
  4. ঘ
    ৪০ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় ৪৩৫টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?

সমাধান:
আমরা জানি করমর্দন দুইজনের মাঝে সংঘটিত হয়।
ধরি,
সভায় লোকের সংখ্যা n জন

∴ nC2 = 435
⇒ n!/{2! ×(n - 2)!} = 435
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2! ×(n - 2)!} = 435
⇒ n(n - 1)/2 = 435
⇒ n2 - n = 870
⇒ n2 - n - 870 = 0
⇒ n2 - 30n + 29n - 870 = 0
⇒ n(n - 30) + 29(n - 30) = 0
⇒ (n - 30)(n + 29) = 0
⇒ n - 30 = 0 অথবা n + 29 = 0
∴ n = 30 অথবা n = - 29
ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ n = 30

∴ সভায় মোট লোক ছিল ৩০ জন।
১,২৪৬.
৫ জন মানুষ কত উপায়ে বসে একটি গোল টেবিলে বৈঠক করতে পারবে?
  1. ক
    ২১
  2. খ
    ২৪
  3. গ
    ১২০
  4. ঘ
    ১২১
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ জন মানুষ কত উপায়ে বসে একটি গোল টেবিলে বৈঠক করতে পারবে?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
গোল টেবিলে বৈঠক করার উপায় = (n - 1)!
= (৫ - ১)!
= ২৪
১,২৪৭.
একজন পরীক্ষার্থীকে 12টি প্রশ্ন থেকে 5টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। এর মধ্যে তাকে প্রথম 5টি থেকে 3টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলি বাছাই করতে হবে?
  1. ক
    ক) 105
  2. খ
    খ) 210
  3. গ
    গ) 510
  4. ঘ
    ঘ) 150
ব্যাখ্যা
প্রথম 5টি থেকে 3টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে
প্রথম 5টি থেকে 3টি প্রশ্ন বাছাই করার উপায় = 5C3 
                                                                   =10

বাকি 7টি থেকে 2টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে
7টি থেকে 2টি প্রশ্ন বাছাই করার উপায় =  7C2 
                                                          = 21

মোট প্রশ্ন বাছাই করার উপায় =  10 × 21 
                                             = 210
১,২৪৮.
একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 153টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?
  1. ক
    17 জন
  2. খ
    18 জন
  3. গ
    19 জন
  4. ঘ
    20 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 153টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
মোট উপস্থিত = n জন
মোট করমর্দন = nC2

প্রশ্নমতে,
nC2 = 153
⇒ n(n - 1)/1 × 2 = 153
⇒ n2 - n = 306
⇒ n2 - n - 306 = 0
⇒ n2 - 18n + 17n - 306 = 0
⇒ n (n - 18) + 17(n - 18) = 0
⇒ (n - 18) (n + 17) = 0

হয়, n - 18 = 0
∴ n = 18

অথবা, n + 17 = 0
∴ n = - 17
যা গ্রহণযোগ্য নয়। কেননা জনসংখ্যা কখনও ঋণাত্বক হতে পারে না।

∴ মোট উপস্থিত 18 জন।
১,২৪৯.
CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা FREEDOM শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    দেড়গুণ
  2. খ
    দ্বিগুণ
  3. গ
    তিনগুণ
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা FREEDOM শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'FREEDOM' শব্দটিতে মোট ৭টি বর্ণ আছে যাদের ২ টি E
'FREEDOM' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে সাজানো সংখ্যা = ৭!/২!
= ২৫২০

'CaALCUTTA' শব্দটিতে মোট ৮টি বর্ণ আছে যাদের ২টি C, ২টি A, ২টি T আছে
'CALCUTTA' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে সাজানো সংখ্যা = ৮!/২!২!২!
= ৫০৪০
= ২৫২০ × ২

অতএব, CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা FREEDOM শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার দ্বিগুণ।
১,২৫০.
1m, 2m, 3m, 4m দৈর্ঘ্যের বাহু দ্বারা কয়টি ত্রিভুজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) 1টি
  2. খ
    খ) 2টি
  3. গ
    গ) 3টি
  4. ঘ
    ঘ) 4টি
ব্যাখ্যা

4টি বাহু থেকে প্রতিবার 3টি বাহু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজ সংখ্যা = 4C3 = 4টি
কিন্তু {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4} সমাবেশ ত্রিভুজ গঠন করেনা। [যেহেতু, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।]
∴ মোট ত্রিভুজ = 4 - 3 = 1টি

১,২৫১.
৮ জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    ৪০৩২০ 
  2. খ
    ৭২০ 
  3. গ
    ৫০৪০ 
  4. ঘ
    ৫৭৬০ 
  5. ঙ
    ৪০৩২ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮ জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
৮ জন ব্যক্তিকে ১ টি গোলটেবিলের চারপাশে সাজানো যাবে (n - ১)! উপায়ে।
= (৮ - ১)!
= ৭!
= ৫০৪০

১,২৫২.
APPLE শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    60
  2. খ
    120
  3. গ
    720
  4. ঘ
    180
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: APPLE শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
APPLE শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে এবং P বর্ণটি দুইবার আছে।

∴ সাজানোর উপায় = 5!/2!
= 60
১,২৫৩.
এক ব্যক্তির 4 টি লাল পতাকা 3 টি হলুদ পতাকা 2 টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 9 টি পতাকাকে একটি সারিতে ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?
  1. ক
    1260
  2. খ
    15120
  3. গ
    2400
  4. ঘ
    1400
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক ব্যক্তির 4 টি লাল পতাকা 3 টি হলুদ পতাকা 2 টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 9 টি পতাকাকে একটি সারিতে ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?

সমাধান:
মোট পতাকা 9 টি
যার মধ্যে, লাল 4 টি, হলুদ 3 টি, নীল 2 টি

মোট বিন্যাস সংখ্যা = 9! / (4! × 3! × 2!)
= (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!) / (4! × 3! × 2!)
= (9 × 8 × 7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 2)
= 1260
১,২৫৪.
স্বরবর্ণ গুলোর স্থান পরিবর্তন না করে Director শব্দটির অক্ষর গুলোকে কত প্রকারে পুনরায় সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 70
  3. গ
    গ) 60
  4. ঘ
    ঘ) 59
ব্যাখ্যা

Director শব্দটিতে অক্ষর আছে 8 যার মধ্যে 3 টি স্বরবর্ণ এবং 5 টি ব্যঞ্জনবর্ণ, এবং r = 2 টি
স্বরবর্ণ গুলোর স্থান পরিবর্তন না করে Director শব্দটির অক্ষর গুলোকে পুনরায় সাজানো যায় = (5!/2!) - 1 = 59 উপায়ে।

১,২৫৫.
চারজন মহিলা ও ছয়জন পুরুষের মধ্য থেকে চার সদস্য বিশিষ্ট একটি উপকমিটি কত প্রকারে গঠন করা যাবে, যাতে একজন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    ক) 504
  2. খ
    খ) 210
  3. গ
    গ) 126
  4. ঘ
    ঘ) 84
ব্যাখ্যা

যেহেতু একজন পুরুষ সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সুতরাং পুরুষ = 6-1 = 5 এবং মহিলা = 4.
∴ কমিটি গঠনের উপায় = ⁵C₃×⁴C₀ + ⁵C₂×⁴C₁ + ⁵C₁×⁴C₂ + ⁵C₀×⁴C₃
= 10+40+30+4 = 84

১,২৫৬.
যদি 5Pr = 60 এবং 5Cr = 10 হয় তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    6
  3. গ
    2
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 5Pr = 60 এবং 5Cr = 10 হয় তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
nPr = n!/(n - r)!
এবং nCr = n!/(n - r)!r!
nCr = {n!/(n - r)!} × (1/r!)
⇒ nCr = nPr × (1/r!)
⇒ 5Cr = 5Pr × (1/r!)
⇒ 5Pr = 5Cr × r!
⇒ 60 = 10 × r!
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3
১,২৫৭.
১১ জন বালক থেকে ৩ জন বালক কত উপায়ে বেছে নেয়া যায় যেখানে একজন নির্দিষ্ট বালক র্সবদা ক্যাপ্টেনের দায়িত্ব পালন করব?
  1. ক
    ক) ৩৬
  2. খ
    খ) ১৮
  3. গ
    গ) ৭২
  4. ঘ
    ঘ) ৪৫
ব্যাখ্যা
সর্বদা ১ জনকে বদ্যিমান রখেে ১১ জন বালক হতে প্রতিবার ৩ জন বালক বেছে নেয়া যায়;
10c2 = (10 × 9)/(2 × 1) = 45 উপায়ে।
১,২৫৮.
'LOGARITHMS' শব্দের বর্ণগুলো থেকে ৪টি বর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যাবে যেখানে কোন বর্ণের পুনরাবৃত্তি ঘটবে না?
  1. ক
    ৪০
  2. খ
    ৪০০
  3. গ
    ৫০৪০
  4. ঘ
    ২৫২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'LOGARITHMS' শব্দের বর্ণগুলো থেকে ৪টি বর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যাবে যেখানে কোন বর্ণের পুনরাবৃত্তি ঘটবে না?

সমাধান:
'LOGARITHMS' শব্দটিতে মোট ১০টি ভিন্ন রয়েছে।
১০টি বর্ণ থেকে ৪টি বর্ণ নিয়ে শব্দ তৈরি করা যায় ১০P৪ = ৫০৪০
১,২৫৯.
2, 0, 3, 4, 5 অংকগুলোর প্রতিটি অংক প্রত্যেক সংখ্যায় কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কের কতটি অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) 58
  2. খ
    খ) 60
  3. গ
    গ) 62
  4. ঘ
    ঘ) 64
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা হতে হলে অবশ্যই একক স্থানে 0, 2, 4, 6, 8 ও 0 থাকতে হবে।
প্রথমে 0 থাকলে এবং একক স্থানে 2 বা 4 থাকলে অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কের জোড় সংখ্যা গঠন করা সম্ভব নয় = 3p3 = 3! = 6 ভাবে।
একক স্থানে 2 থাকলে অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কের জোড় সংখ্যা গঠন করা সম্ভব = 4p4 - 6 = 4! - 6 = 24 - 6 = 18 ভাবে।
তদ্রুপ একক স্থানে 4 থাকলে অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কের জোড় সংখ্যা গঠন করা সম্ভব = 4p4 - 6 = 4! - 6 = 24 - 6 = 18 ভাবে।
এবং একক স্থানে 0 থাকলে অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কের জোড় সংখ্যা গঠন করা সম্ভব = 4p4 = 4! = 24 ভাবে।
মোট সংখ্যা গঠন করা যায় = 18 + 18 + 24 = 60টি।

১,২৬০.
পাঁচ বন্ধুর মধ্যে শুধু রাজিব মোটর সাইকেল চালাতে পারে। যদি মোটর সাইকেলটিতে প্রতিবার তিনজন উঠতে পারে তবে, তারা পাঁচ বন্ধু মোটরসাইকেলটি চড়ে কত উপায়ে ঢাকা থেকে গাজিপুর যেতে পারবে?
  1. ক
    ১০
  2. খ
    ২০
  3. গ
    ৬
  4. ঘ
    ৪
ব্যাখ্যা

৫ জনের মধ্যে প্রতিবার ৩ জন নিয়ে দল গঠন করতে হবে যেখানে ১জন(রাজিব) সর্বদা বিদ্যমান থাকে।
এক্ষেত্রে ভ্রমনের উপায় = (৫ - ১)c(৩ - ১)
= ৪c২
= ৬

১,২৬১.
৮ জন ছাত্র ও ৬ জন ছাত্রী থেকে ৪ সদস্যের একটি দল কতভাবে গঠন করা যায়, যাতে কমপক্ষে ১ জন ছাত্রী থাকে?
  1. ক
    ৩৬৮
  2. খ
    ৯৩১
  3. গ
    ৭২৮
  4. ঘ
    ১০২৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮ জন ছাত্র ও ৬ জন ছাত্রী থেকে ৪ সদস্যের একটি দল কতভাবে গঠন করা যায়, যাতে কমপক্ষে ১ জন ছাত্রী থাকে?

সমাধান:
৩ জন ছাত্র ও ১ জন ছাত্রী বিশিষ্ট কমিটি= ৮C৩ × ৬C১ = ৫৬ × ৬ = ৩৩৬
২ জন ছাত্র ও ২ জন ছাত্রী বিশিষ্ট কমিটি= ৮C২ × ৬C২ = ২৮ × ১৫ = ৪২০
১ জন ছাত্র ও ৩ জন ছাত্রী বিশিষ্ট কমিটি= ৮C১ × ৬C৩ = ৮ × ২০ = ১৬০
০ জন ছাত্র ও ৪ জন ছাত্রী বিশিষ্ট কমিটি= ৬C৪ = ১৫

মোট উপায়= ৩৩৬ + ৪২০ + ১৬০ + ১৫ = ৯৩১
১,২৬২.
'EQUATION' শব্দের অক্ষর থেকে মোট কতগুলি 6 অক্ষরের শব্দ তৈরি করা যায়?
  1. ক
    20160
  2. খ
    20220
  3. গ
    20960
  4. ঘ
    20560
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'EQUATION' শব্দের অক্ষর থেকে মোট কতগুলি 6 অক্ষরের শব্দ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
EQUATION শব্দটিতে বর্ণ আছে = 8 টি
6 টি করে বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠন করা যাবে 8P6 = 20160 টি
১,২৬৩.
8 জন বন্ধুকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?
  1. ক
    4050
  2. খ
    5040
  3. গ
    5060
  4. ঘ
    6050
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8 জন বন্ধুকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক লোককে একটি গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!

∴  8 জন বন্ধুকে একটি গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (8 - 1)! = 7! = 5040

১,২৬৪.
8টি বস্তুর একবারে দুইটি নিয়ে কতগুলি বিন্যাসের মধ্যে 2টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে না?
  1. ক
    60 উপায়ে
  2. খ
    90 উপায়ে
  3. গ
    120 উপায়ে
  4. ঘ
    30 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8টি বস্তুর একবারে দুইটি নিয়ে কতগুলি বিন্যাসের মধ্যে 2টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে না?

সমাধান: 
৪টি বস্তুর মধ্যে 2টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত না থাকলে অবশিষ্ট বস্তু থাকে (8 - 2) টি = 6টি

∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা 6P2 = 6!/4! = 30 
১,২৬৫.
৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) ৮ টি
  2. খ
    খ) ১০ টি
  3. গ
    গ) ১৬ টি
  4. ঘ
    ঘ) ১৮ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৩ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ৩C১ × ৪C২
= ৩ × ৬
= ১৮ টি উপায়ে 
১,২৬৬.
‘CRITICAL’ শব্দটির সব অক্ষর ব্যবহার করে কত প্রকারে সাজানো যায় তা বের করুন-
  1. ক
    ক) ১০৮০
  2. খ
    খ) ১০৮০০
  3. গ
    গ) ১০০৮০
  4. ঘ
    ঘ) ২০০২১
ব্যাখ্যা
‘CRITICAL’ শব্দটিতে মোট ৮ টি অক্ষর আছে যার মধ্যে C = ২, I = ২
বিন্যাস সংখ্যা ৮!/২!২! = ১০০৮০
১,২৬৭.
১৮ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কতভাবে বিভক্ত করা যায়?
  1. ক
    ১৮!/৯!
  2. খ
    ১৮!/(৯!৯!)
  3. গ
    ৯!
  4. ঘ
    ২!৯!
ব্যাখ্যা

১৮ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে বিভক্ত করলে প্রত্যেক দলে ৯ জন করে থাকবে।
সুতরাং, ১৮ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি বিভক্ত করা যায়
= ১৮!/(৯!৯!) উপায়ে

১,২৬৮.
WIZARD শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?
  1. ক
    180
  2. খ
    240
  3. গ
    360
  4. ঘ
    260
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: WIZARD শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান:
WIZARD শব্দটিতে মোট অক্ষর 6 টি যাদের মধ্যে 2 টি (I, A) স্বরবর্ণ এবং বাকী 4 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।

স্বরবর্ণগুলোকে একটি বর্ণ ধরে সাজানোর উপায় 5! = 120
আবার স্বরবর্ণগুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 2! = 2 উপায়ে

∴ সাজানোর মোট উপায় = 120 × 2
= 240
১,২৬৯.
২, ৪, ৮, ৬, ৯ এই অংকগুলো দ্বারা ৪ অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) ২৪
  2. খ
    খ) ১২০
  3. গ
    গ) ৬০
  4. ঘ
    ঘ) ১২
ব্যাখ্যা
৫টি অংক হতে প্রতিবার ৪টি করে নিয়ে গঠিত সংখ্যা = ৫P৪ = ১২০।
১,২৭০.
দুইজন নির্দিষ্ট বালককে সবসময় অন্তর্ভুক্ত রেখে 12 জন বালক থেকে 5 জনকে কত রকমে বাছাই করা যায়? 
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 90
  3. গ
    গ) 120
  4. ঘ
    ঘ) 240
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইজন নির্দিষ্ট বালককে সবসময় অন্তর্ভুক্ত রেখে 12 জন বালক থেকে 5 জনকে কত রকমে বাছাই করা যায়? 

সমাধান: 
দুইজন বালক নির্দিষ্ট
অবশিষ্ট (12 - 2) জন বা 10 জন থেকে (5 - 2) জন বা 3 জন বাছাই করতে হবে। 

বাছাই করার মোট উপায় = 10C3 = 120
১,২৭১.
10 জন ও 9 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 10 জনের দল থেকে কমপক্ষে 8 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
  1. ক
    4149
  2. খ
    4200
  3. গ
    3660
  4. ঘ
    3430
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 জন ও 9 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 10 জনের দল থেকে কমপক্ষে 8 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?

সমাধান:
১ম দল (10 জন)    -   ২য় দল (9 জন)
1) 10                         1
2) 9                           2
3) 8                           3


1) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C10 × 9C1 = (1 × 9) = 9
2) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C9 × 9C2 = (10 × 36) = 360
3) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C8 × 9C3 = (45 × 84) = 3780


টিম গঠনের উপায় = 9 + 360 + 3780
= 4149
১,২৭২.
2টি শার্ট, 3টি জিন্স, 3টি মোজা রয়েছে, ও 2টি স্কার্ট রয়েছে। সকল মোজা এবং সকল স্কার্টগুলো একত্রে রেখে দোকানদার কতভাবে পণ্যগুলোকে সাজাতে পারবেন?
  1. ক
    ক) 4034
  2. খ
    খ) 5040
  3. গ
    গ) 5920
  4. ঘ
    ঘ) 5091
ব্যাখ্যা
৩টি মোজাকে ১টি এবং ২টি স্কার্টকে ১টি ধরে মোট পণ্যসংখ্যা = ১ + ১+ ২ +৩ = ৭টি 
সকল মোজা এবং সকল স্কার্টগুলো একত্রে রেখে সাজানো যাবে = ৭! = ৫০৪০
১,২৭৩.
TRIANGLE শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতরকম ভাবে সাজানো যাবে যেখানে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?
  1. ক
    4320
  2. খ
    5440
  3. গ
    10800
  4. ঘ
    8700
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: TRIANGLE শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতরকম ভাবে সাজানো যাবে যেখানে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান:
TRIANGLE শব্দটিতে মোট অক্ষর = 8 টি 
স্বরবর্ণ = A, E, I অর্থাৎ 3 টি 

স্বরবর্ণ গুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! উপায়ে 

∴ স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে একটি অক্ষর ধরে TRIANGLE শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা,
= 6! × 3!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 3 × 2
= 4320
১,২৭৪.
4টি চকলেট 3 জন বালিকার মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে? 
  1. ক
    61
  2. খ
    71
  3. গ
    105
  4. ঘ
    81
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4টি চকলেট 3 জন বালিকার মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে? 

সমাধান: 
বালিকার সংখ্যা n = 3 জন
চকলেট r = 4টি 

চকলেট বিতরণ করা যেতে পারে = nr
= 34
= 81

∴  4টি চকলেট 3 জন বালিকার মধ্যে 81 উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে।
১,২৭৫.
20Cr = 20Cr + 2 হলে rC5 = কত?
  1. ক
    ক) 115
  2. খ
    খ) 126
  3. গ
    গ) 158
  4. ঘ
    ঘ) 240
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 20Cr = 20Cr + 2 হলে rC5 = কত?

সমাধান: 
20Cr = 20Cr + 2 
r + r + 2 = 20
2r + 2 = 20
2r = 20 - 2
2r = 18
r = 9

rC5 =9C5 =126
১,২৭৬.
10 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    150
  2. খ
    90
  3. গ
    120
  4. ঘ
    100
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
তিনটি বিন্দু দিয়ে গঠিত হয় ত্রিভুজ।

∴ 10 টি বিন্দু ‍দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যায় = 10C3
= 10!/3!(10 - 3)!
= (10 × 9 × 8 × 7!)/(6 × 7!)
= 10 × 12
= 120

∴ 10 টি বিন্দু ‍দিয়ে 120 টি ত্রিভুজ গঠন করা যায়।
১,২৭৭.
4 × nP3 = 3 × (n + 1)P3 হলে , n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 11
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  4 × nP3 = 3 × (n + 1)P3 হলে , n এর মান কত?

সমাধান:
4n!/(n - 3)! = 3(n +1)!/(n + 1 - 3)!
⇒ 4 n(n - 1)(n - 2)(n - 3)!/(n - 3)! = 3 (n + 1) n (n - 1) (n - 2)!/(n - 2)!
⇒ 4 n(n - 1)(n - 2) =  3 (n + 1) n (n - 1)
⇒ 4 (n - 2) = 3 (n + 1)
⇒ 4n - 8 = 3n + 3
⇒ 4n - 3n = 3 + 8
∴ n = 11
১,২৭৮.
'DRIVER' শব্দের বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো শব্দ তৈরি করা যাবে যেন স্বরবর্ণগুলো একত্রে না থাকে?
  1. ক
    ২৪০
  2. খ
    ১২০
  3. গ
    ৩৬০
  4. ঘ
    ৭২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'DRIVER' শব্দের বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো শব্দ তৈরি করা যাবে যেন স্বরবর্ণগুলো একত্রে না থাকে?

সমাধান:
DRIVER শব্দটিতে  মোট বর্ণ আছে ৬টি, যেখানে R বর্ণটি আছে ২ বার।
স্বরবর্ণ আছে I, E মোট ২টি
২টি স্বরবর্ণকে একটি বর্ণ ধরা হলে মোট বর্ণ থাকে ৫টি

∴ স্বরবর্ণ একত্রে রেখে সাজানোর মোট সাজানোর উপায় = (৫!/২!) × ২! = ১২০

সবগুলো বর্ণ নিয়ে সাজানোর মোট উপায় ৬!/২! = ৩৬০

∴ স্বরবর্ণ একত্রে থাকবে না এমন শব্দ সংখ্যা = ৩৬০ - ১২০ = ২৪০
১,২৭৯.
nP4 = 12 × nP2 হয়, তবে n এর মান কত?
  1. ক
    7
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: nP4 = 12 × nP2 হয়, তবে n এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
nP4 = 12 × nP2
⇒ n!​/(n - 4)! = 12 × n!​/(n - 2)!
⇒ 1/(n - 4)! = 12/(n - 2)!
⇒ 1/(n - 4)! = 12/(n - 2)(n - 3)(n - 4)!   ; [(n - 2)! = (n - 2)(n - 3)(n - 4)!]
⇒ (n - 2)(n - 3) = 12
⇒ n2 - 5n + 6 - 12 = 0
⇒ n2 - 5n - 6 = 0
⇒ n2 - 6n + n - 6 = 0
⇒ n(n - 6) + 1(n - 6) = 0
⇒ (n - 6)(n + 1) = 0
হয়,
n - 6 = 0
∴ n = 6
অথবা, 
n + 1 = 0
∴ n = - 1 ; [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

সুতরাং, n এর মান 6

১,২৮০.
4 - nP2 = 6 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 - nP2 = 6 হলে n এর মান কত? 

সমাধান: 
4 - nP2 = 6
(4 - n)!/(4 - n - 2)! = 6
(4 - n)!/(2 - n)! = 6
(4 - n)(3 - n)(2 - n)!/(2 - n)! = 6
(4 - n)(3 - n) = 6
12 - 3n - 4n + n2 = 6
n2 - 7n + 12 - 6 = 0
n2 - 7n + 6 = 0
n2 - 6n - n + 6 = 0
n(n - 6) - 1(n - 6)= 0
(n - 6)(n - 1) = 0
n = 1, 6 
১,২৮১.
একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা একজন কেবলমাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 78টি হয়, তবে অনুষ্ঠানে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?
  1. ক
    12 জন
  2. খ
    13 জন
  3. গ
    14 জন
  4. ঘ
    15 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা একজন কেবলমাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 78টি হয়, তবে অনুষ্ঠানে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
মোট উপস্থিত = n জন
মোট করমর্দন = nC2

প্রশ্নমতে,
nC2 = 78
⇒ n!/(n - 2)! 2! = 78
⇒ n(n - 1)/1 × 2 = 78
⇒ n2 - n = 156
⇒ n2 - n - 156 = 0
⇒ n2 - 13n + 12n - 156 = 0
⇒ n(n - 13) + 12(n - 13) = 0
⇒ (n - 13) (n + 12) = 0
হয়, n - 13 = 0 ∴ n = 13
অথবা, n + 12 = 0 ∴ n = - 12 যা গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা জনসংখ্যা কখনও ঋণাত্বক হতে পারে না।

∴ মোট উপস্থিত 13 জন।
১,২৮২.
'AMERICA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    3 গুণ
  2. খ
    8 গুণ
  3. গ
    15 গুণ
  4. ঘ
    21 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'AMERICA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
AMERICA শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি যার মধ্যে, A আছে 2 টি।
∴ AMERICA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 5040/2 = 2520

CANADA শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে, A আছে 3 টি।
∴ CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3! = 720/6 = 120

∴ 'AMERICA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 2520/120 = 21 গুণ।
১,২৮৩.
কোনো শ্রেণিতে ১০০ জন পরীক্ষার্থী ছিল। বার্ষিক পরীক্ষায় ৮৪ জন বাংলায় এবং ৭০ জন গণিতে পাশ করেছে। ৬৫ জন উভয় বিষয়ে পাশ করলে কত জন উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
  1. ক
    ক) ১১ জন
  2. খ
    খ) ১২ জন
  3. গ
    গ) ১৩ জন
  4. ঘ
    ঘ) ১৪ জন
ব্যাখ্যা

উভয় বিষয়ে পাশ করে = ৬৫ জন।
শুধু বাংলায় পাশ করে = (৮৪ - ৬৫) = ১৯ জন।
শুধু গণিতে পাশ করে = (৭০ - ৬৫) = ৫ জন।
মোট পাশ করে = (৬৫ + ১৯ + ৫) = ৮৯ জন।
সুতরাং উভয় বিষয়ে ফেল করে = (১০০ - ৮৯) জন।
= ১১জন।

১,২৮৪.
0, 1, 2, 3, 4, 6 অংকগুলি দ্বারা কতগুলি ছয় অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    324
  2. খ
    420
  3. গ
    512
  4. ঘ
    600
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0, 1, 2, 3, 4, 6 অংকগুলি দ্বারা কতগুলি ছয় অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720

0 কে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
∴ ছয় অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (720 - 120)
= 600
১,২৮৫.
৭ জন পুরুষ ও ৬ জন মহিলার একটি দল হতে ৫ সদস্যের একটি কমিটি কতভাবে নির্বাচিত করা যায় যাতে সবসময় কমিটিতে অন্তত ৩ জন মহিলা থাকবে?
  1. ক
    ক) ৩৫১
  2. খ
    খ) ৫৩১
  3. গ
    গ) ৪৫১
  4. ঘ
    ঘ) ৫৪১
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৬ জন মহিলার একটি দল হতে ৫ সদস্যের একটি কমিটি কতভাবে নির্বাচিত করা যায় যাতে সবসময় কমিটিতে অন্তত ৩ জন মহিলা থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু ৫ সদস্যের একটি কমিটিতে সবসময় অন্তত ৩ জন মহিলা থাকবে, সেহেতু নিম্নোক্তভাবে কমিটি গঠন করা সম্ভব।

   মহিলা (6)   -  পুরুষ (7)
1)   3             -      2
2)   4             -      1
3)   5             -      0

∴ কমিটি গঠন করা যাবে = (6C3 × 7C2) + (6C4 × 7C1) + (6C5 × 7C0)
= (20 × 21) + (15 × 7) + (6 × 1)
= 531
১,২৮৬.
৪ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে ৩ জন মহিলা সর্বদা একত্রে থাকবে?
  1. ক
    ৮৪০
  2. খ
    ১৪৪০
  3. গ
    ৭২০
  4. ঘ
    ১২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে ৩ জন মহিলা সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট পুরুষ ও মহিলা = (৪ + ৩) = ৭ জন
৩ জন মহিলা একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (১ + ৪) জন
= ৫ জন
∴ ৫ জনকে সাজানো যায় = ৫!
∴ ৩ জন মহিলাকে সাজানো যায় = ৩!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ৫! × ৩!
= ১২০ × ৬
= ৭২০
১,২৮৭.
12 বাহু বিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দুর সংযোগ রেখা দ্বারা কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    180 টি
  2. খ
    196 টি
  3. গ
    220 টি
  4. ঘ
    240 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 বাহু বিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দুর সংযোগ রেখা দ্বারা কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 12
∴ মোট ত্রিভুজের সংখ্যা = nC3
= 12C3
= 220 টি
১,২৮৮.
14 সদস্যের দল থেকে খেলোয়াড়দেরকে নিয়ে কতভাবে একাদশ সাজানো যাবে যেখানে প্রতিবার একজন অধিনায়ক হিসেবে নির্দিষ্ট থাকবেন?
  1. ক
    286
  2. খ
    728
  3. গ
    1001
  4. ঘ
    1200
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 14 সদস্যের দল থেকে খেলোয়াড়দেরকে নিয়ে কতভাবে একাদশ সাজানো যাবে যেখানে প্রতিবার একজন অধিনায়ক হিসেবে নির্দিষ্ট থাকবেন?

সমাধান:
14 সদস্যের দলে 1 জন অধিনায়ক নির্দিষ্ট থাকলে বাকি খেলোয়াড় সংখ্যা হবে = (14 - 1) = 13 জন 

একাদশে অধিনায়ক নির্দিষ্ট থাকলে খেলোয়াড় বাছাই করতে হবে = 11 - 1 = 10 জন 

∴ সমাবেশ সংখ্যা = 13C10
= 13!/{10! × (13 - 10)!}
= 13!/(10! × 3!)
= (13 × 12 × 11 × 10!)/(10! × 3!)
= (13 × 12 × 11)/(3 × 2 × 1)
= 286
১,২৮৯.
একটি লিফটে ৬ জন লোক উঠতে পারে। লিফটের গেইটে দাড়ানো ১০ জন লোক কত প্রকারে লিফট চড়ে নিচতলা থেকে উপর তলায় যেতে পারবে?
  1. ক
    ক) ১৫১২০০
  2. খ
    খ) ৭২০
  3. গ
    গ) ২১০
  4. ঘ
    ঘ) ২
ব্যাখ্যা

১০ জন লোকের মধ্য থেকে প্রতিবার ৬ জন নিয়ে পাড়াপাড়ের উপায় = ১০c৬ = ২১০

১,২৯০.
টেলিফোন ডায়ালে 0 থেকে 9 পর্যন্ত লেখা আছে। যদি কক্সবাজার শহরের টেলিফোনগুলো চার ডিজিটের হয়, তবে ঐ শহরে কতোগুলো টেলিফোন সংযোগ দেওয়া যাবে?
  1. ক
    ক) 9000
  2. খ
    খ) 10000
  3. গ
    গ) 1000
  4. ঘ
    ঘ) 900
ব্যাখ্যা

চার ডিজিটের টেলিফোন নম্বরে ১ম ডিজিট পূর্ণ করা যায় = 10 উপায়ে
অনুরূপে, ২য়, ৩য়, এবং ৪র্থ ডিজিটের প্রতিটি পূর্ণ করার উপায় = 10
∴ মোট টেলিফোন সংযোগ দেওয়া যাবে
= 10 × 10 × 10 × 10
= (10)4
= 10000 (উত্তর)।

তবে, এই অঙ্কের সমাধান নিয়ে যথেষ্ঠ বিতর্ক রয়েছে।
যেমন - ০০০০ কারোর টেলিফোন নাম্বার হতে পারে না।
সেক্ষেত্রে প্রকৃত সংযোগ হবে (10000 - 1) = 9999টি।

আবার,
ল্যান্ডফোনের বর্তমান নিয়ম অনুসারে, প্রথম অঙ্কটি 0 হয় না।
সেক্ষেত্রে, বাম দিকে 0 বাদে 9টি ডিজিট বসানো যাবে 9 উপায়ে।
তাহলে, মোট টেলিফোন সংযোগের সংখ্যা হবে 9 × 10 × 10 ×10 = 9000টি।

উত্তর নির্ভর করে প্রশ্নকর্তা কোনটি ধরে প্রশ্ন করবেন তার উপর।
সেক্ষেত্রে অপশন বিবেচনায় উত্তর করতে হবে।
আমাদের পরামর্শঃ
১. যদি অপশনে 9999 থাকে তবে এটি উত্তর করবেন।
২. যদি 9999 না থাকে; কিন্তু অপশনে 10000 ও 9000 দুটোই থাকে তাহলে 10000 উত্তর করবেন।
কেননা, সরকারি নির্দশনা থাকলে গাণিতিকভাবে প্রথমে 0 ব্যবহার করা যায়। তাই 10000 উত্তর হবে।
৩. 9999 ও 10000 কোনটিই অপশনে না থাকলে 9000 উত্তর করা যাবে।

১,২৯১.
একটি মূদ্রা পর পর 3 বার নিক্ষেপ করা হলে প্রত্যেকবারই Tail আসার সম্ভাব্যতা কত?
  1. ক
    ক) 1/6
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 1/8
  4. ঘ
    ঘ) 1/9
ব্যাখ্যা

একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করলে নমুনা বিন্দু হবে, 2³ = 8 টি
(HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)
নমুনা ক্ষেত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, প্রত্যেকবার T (TTT) আসার সম্ভাবনা 1 বার।
অর্থাৎ, সম্ভাব্যতা = 1/8

১,২৯২.
TRAIN শব্দের বিন্যাস সংখ্যা CAR শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?
  1. ক
    12 গুণ
  2. খ
    15 গুণ
  3. গ
    20 গুণ
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: TRAIN শব্দের বিন্যাস সংখ্যা CAR শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

সমাধান:
TRAIN শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 5!
CAR শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 3!

এখন, 5!/3! = (5 × 4 × 3!)/3!
= 20

∴ TRAIN শব্দের বিন্যাস সংখ্যা CAR শব্দের বিন্যাস সংখ্যার ২০ গুণ।
১,২৯৩.
৩ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা হতে কত ভাবে ২ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন পুরুষ ও ১ মহিলা থাকবে?
  1. ক
    ক) ৩
  2. খ
    খ) ৫
  3. গ
    গ) ৬
  4. ঘ
    ঘ) ৯
ব্যাখ্যা
৩ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা হতে ২ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন পুরুষ ও ১ মহিলা থাকবেঃ ৩C১ X ৩C১ = ৯ ভাবে।
১,২৯৪.
একটি খেলায় 22 জন খেলোয়ার আছে এবং তারা সকলেই খেলার শুরুতে একে অপরের সাথে করমর্দন করে। মোট কতটি করমর্দন হবে?
  1. ক
    231
  2. খ
    220
  3. গ
    190
  4. ঘ
    289
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খেলায় 22 জন খেলোয়ার আছে এবং তারা সকলেই খেলার শুরুতে একে অপরের সাথে করমর্দন করে। মোট কতটি করমর্দন হবে?

সমাধান:
খেলায় খেলোয়ার আছে, n = 22 জন

আমরা জানি,
করমর্দন সংখ্যা = nC2

∴ মোট করমর্দন সংখ্যা = 22C2
= 22!/(22 - 2)! × 2!
= (22 × 21 × 20!)/(20! × 2)
= (22 × 21)/2
= 462/2
= 231
১,২৯৫.
a° = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    -1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
a° = 1 [সূত্র]
১,২৯৬.
প্রতি গ্ৰুপে 5 টি প্রশ্ন আছে এমন দুটি গ্ৰুপে বিভক্ত 10 টি প্রশ্ন হতে 6 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে এবং কোন গ্ৰুপ থেকে 4 টির বেশি উত্তর দিতে পারবে না। কত প্রকারে প্রশ্নগুলো বাছাই করে যাবে? 
  1. ক
    280
  2. খ
    220
  3. গ
    250
  4. ঘ
    200
ব্যাখ্যা
একজন পরীক্ষার্থী নিম্নভাবে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারেন -

১ম গ্ৰুপ  5টি প্রশ্ন     | ২য় গ্ৰুপ  (5 টি প্রশ্ন) -
(i) 4                         |     2
(ii) 3                        |     3
(iii) 2                       |     4

(i) নং এর ক্ষেত্রে বাছাই সংখ্যা = 5C4 × 5C2
                                              =  5 × 10 = 50
(ii) নং এর ক্ষেত্রে বাছাই সংখ্যা = 5C3 × 5C3 
                                              = 10 × 10 = 100
(iii) নং এর ক্ষেত্রে বাছাই সংখ্যা = 5C2 × 5C4 
                                                = 10 ×  5 
মোট বাছাই সংখ্যা = 50 + 100 + 50 = 200
১,২৯৭.
করোনার কারণে ঢাকা থেকে চট্টগ্রামগামী একটি বাসে 30 জনের পরিবর্তে 20 জন উঠতে পারে। ঐ 30 জন লোক কত প্রকারে বাসে উঠে চট্টগ্রামে যেতে পারবে?
  1. ক
    ক) 30!/10!
  2. খ
    খ) 20!/10!
  3. গ
    গ) 30!/(20!10!)
  4. ঘ
    ঘ) 30!/(20!)
ব্যাখ্যা
চট্টগ্রামে যাওয়ার উপায়
= 30C20
= 30!/(20!10!)
১,২৯৮.
একটি পঞ্চভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগে উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা-
  1. ক
    5
  2. খ
    10
  3. গ
    15
  4. ঘ
    60
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগে উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা-

সমাধান:
পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দু = 5টি
আমরা জানি,
ত্রিভুজ গঠনের জন্য 3টি শীর্ষবিন্দু প্রয়োজন।

এখন,
পঞ্চভুজের 5টি বিন্দু থেকে 3টি বিন্দু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = 5C3
= 5!/3!(5 - 3)!
= 5!/(3! × 2!)
= 5 × 4 × 3!)/(3! × 2 × 1)
= 20/2
= 10

∴ উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা 10টি।

১,২৯৯.
১৫টি পুস্তক থেকে ৭টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    ১২৫৫
  2. খ
    ১১৯৩
  3. গ
    ১২৮৭
  4. ঘ
    ১৩৪২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫টি পুস্তক থেকে ৭টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু, ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সেহেতু পুস্তক বাকি থাকে (১৫ - ২) বা ১৩টি এবং ৭টি থেকে বাছাই করতে হবে (৭ - ২) বা ৫ টি।

∴ ১৩টি পুস্তক থেকে ৫টি পুস্তক বাছাই করার উপায় = ১৩C৫ = ১২৮৭
১,৩০০.
10 টি বইয়ের মধ্যে 4 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে নিদির্ষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকবে?
  1. ক
    70 প্রকারে
  2. খ
    120 প্রকারে
  3. গ
    180 প্রকারে
  4. ঘ
    210 প্রকারে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্যে 4 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে নিদির্ষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট পুস্তক, n = 10
সর্বদা বাদ থাকবে, m = 2
এবং প্রতিবার নিতে হবে, r = 4

∴ বাছাই করার উপায় = n - mCr = (10 - 2)C4
= 8C4
= 8!/4!(8 - 4)!
= 8!/(4! × 4!)
= 70