লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বিন্যাস ও সমাবেশ

মোট প্রশ্ন১,৭৫০এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বিন্যাস ও সমাবেশ

PrepBank · পাতা ১২ / ১৮ · ১,১০১–১,২০০ / ১,৭৫০

১,১০১.
'COMPUTER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    5040
  2. খ
    3280
  3. গ
    5460
  4. ঘ
    4320
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'COMPUTER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
COMPUTER শব্দটিতে মোট বর্ণ = 8 টি 
স্বরবর্ণ O, U, E = 3 টি
ব্যঞ্জনবর্ণ C, M, P, T, R = 5 টি

স্বরবর্ণ গুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! উপায়ে 

∴ স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে একটি বর্ণ ধরে COMPUTER শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা,
= 6! × 3!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 3 × 2
= 4320

১,১০২.
6 টি উপন্যাসের মধ্যে দুটি বিশেষ উপন্যাস একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 240
  2. খ
    খ) 360
  3. গ
    গ) 48
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- 6 টি উপন্যাসের মধ্যে দুটি বিশেষ উপন্যাস একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান-
2 টি বিশেষ উপন্যাস একত্রে রেখে অর্থাৎ দুটি উপন্যাসকে একটি মনে করলে মোট উপন্যাস সংখ্যা হয় 5 টি।

5 টি উপন্যাসকে নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় = 5! = 120
2 টি বিশেষ উপন্যাসকে নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় = 2! = 2

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 120 × 2 = 240
১,১০৩.
10 জন বালকের সাহায্যে মোট কত রকম ভাবে বাস্কেটবল টিম বানানো যাবে?
  1. ক
    172 টি
  2. খ
    248 টি
  3. গ
    250 টি
  4. ঘ
    252 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 জন বালকের সাহায্যে মোট কত রকম ভাবে বাস্কেটবল টিম বানানো যাবে?

সমাধান:
বাস্কেটবল টিমে খেলোয়ার থাকে ৫ জন।

10 জন থেকে 5 জনের টিম সাজানো যাবে = 
10C5
= 252 টি
১,১০৪.
যদি 8Pr = 1680 হয়, তাহলে r =?
  1. ক
    3
  2. খ
    6
  3. গ
    5
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 8Pr = 1680 হয়, তাহলে r =?

সমাধান:
8Pr = 1680
⇒ 8!/(8 - r)! = 1680
⇒ (8 - r)! = 8!/1680
⇒ (8 - r)! = 24
⇒ (8 - r)! = 4!
⇒ (8 - r) = 4
⇒ r = 8 - 4 = 4
১,১০৫.
1, 3, 4, 6, 7, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    120
  2. খ
    480
  3. গ
    380
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1, 3, 4, 6, 7, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 6 টি।

5 অঙ্কবিশিষ্ট  সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= 6P5
= (6!)/(6 - 5)!
= 6!/1!
= 6!
= 720

∴ মোট 5 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 720 টি।

১,১০৬.
'CHECKABLE' শব্দটি কত প্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে A ও শেষে L থাকবে?
  1. ক
    1260
  2. খ
    630
  3. গ
    45360
  4. ঘ
    22680
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'CHECKABLE' শব্দটি কত প্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে A ও শেষে L থাকবে?

সমাধান:
'CHECKABLE' শব্দটিতে 9টি বর্ণ আছে।  
যেখানে C = 2টি, E = 2টি 

প্রথমে A ও শেষে L থাকবে

সাজানো সংখ্যা = 7!/2!2!
= 5040/4
=1260
১,১০৭.
nC12 = nC8 হলে, 22Cn এর মান কত?
  1. ক
    231
  2. খ
    416
  3. গ
    318
  4. ঘ
    548
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: nC12 = nC8 হলে, 22Cn এর মান কত?

১,১০৮.
একটি বাক্সে 2টি সবুজ বল, 3টি কালো বল এবং 4টি লাল বল আছে। বাক্সটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি লাল বল হয়?
  1. ক
    ক) 37
  2. খ
    খ) 74
  3. গ
    গ) 148
  4. ঘ
    ঘ) 111
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাক্সে 2টি সবুজ বল, 3টি কালো বল এবং 4টি লাল বল আছে। বাক্সটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি লাল বল হয়?

সমাধান:
সবুজ বল = 2টি
কালো বল = 3টি 
লাল বল =  4টি 

4টি লাল বল থেকে 1টি এবং 5টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = 4C1 × 5C2
4টি লাল বল থেকে 2টি এবং 5 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় =4C2 × 5C1
4টি লাল বল থেকে 3টি  = 4C3

মোট উপায়  = (4C1 × 5C2) + (4C2 × 5C1) + (4C3) 
= (40 + 30 + 4)
= 74
১,১০৯.
In a hockey championship, there are 153 matches played. Every two teams played one match with each other. The number of teams participating in the championship is:
  1. ক
    ক) 16
  2. খ
    খ) 17
  3. গ
    গ) 18
  4. ঘ
    ঘ) 19
ব্যাখ্যা
Let there were x teams participating in the games, then total number of matches,
nC2 = 153
On solving we get,
⇒ n = −17 and n =18
It cannot be negative so,
n = 18 is the answer.
১,১১০.
'OPTICAL' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 240
  3. গ
    গ) 360
  4. ঘ
    ঘ) 720
ব্যাখ্যা
'OPTICAL'  শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
Vowel আছে 3টি 
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel  তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3! 
                                                                           =120 × 6 
                                                                            = 720
১,১১১.
একটি প্রশ্নপত্রের 10 টি প্রশ্নের 5 টি A সেট এবং বাকীগুলো B সেটের অন্তর্ভুক্ত। একজন ছাত্রকে A সেট থেকে কমপক্ষে 2 টি প্রশ্ন নিয়ে মোট 6 টি প্রশ্নের উত্তর দতে হবে। ছাত্রটি কতভাবে প্রশ্ন বাছাই করবে?
  1. ক
    ক) 201
  2. খ
    খ) 202
  3. গ
    গ) 204
  4. ঘ
    ঘ) 205
ব্যাখ্যা
6 টি প্রশ্ন বাছাই প্রক্রিয়া নিম্নরূপ
A(5) -- B(5)
i) 2 -- 4 বাছাই এর উপায় = 5C2 × 5C4
ii) 3 -- 3 বাছাই এর উপায় = 5C3 × 5C3
i) 4 -- 2 বাছাই এর উপায় = 5C4 × 5C2
i) 5 -- 1 বাছাই এর উপায় = 1 × 5C1
∴ বাছাই করার উপায় = 50 + 100 + 50 + 5
= 205
১,১১২.
3টি শূন্য পদের জন্য 12 জন প্রার্থী আছে। একজন ভোটার 3 টির বেশি ভোট দিতে পারবেন না। তিনি কত প্রকারে ভোট দিতে পারবেন?
  1. ক
    298
  2. খ
    286
  3. গ
    232
  4. ঘ
    220
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3টি শূন্য পদের জন্য 12 জন প্রার্থী আছে। একজন ভোটার 3 টির বেশি ভোট দিতে পারবেন না। তিনি কত প্রকারে ভোট দিতে পারবেন?

সমাধান:
একজন ভোটার 12 জন প্রার্থীর মধ্যে 1 জনকে বা 2 জনকে বা 3 জনকে ভোট দিতে পারবেন।

∴ নির্ণেয় ভোট দেয়ার উপায় = 12C1 + 12C2 + 12C3
= 12 + 66 + 220
= 298
১,১১৩.
3টি শূন্য পদের জন্য 12 জন প্রার্থী আছে। একজন ভোটার 3 টির বেশি ভোট দিতে পারবেন না। তিনি কত প্রকারে ভোট দিতে পারবেন?
  1. ক
    298
  2. খ
    286
  3. গ
    232
  4. ঘ
    220
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3টি শূন্য পদের জন্য 12 জন প্রার্থী আছে। একজন ভোটার 3 টির বেশি ভোট দিতে পারবেন না। তিনি কত প্রকারে ভোট দিতে পারবেন?

সমাধান:
একজন ভোটার 12 জন প্রার্থীর মধ্যে 1 জনকে বা 2 জনকে বা 3 জনকে ভোট দিতে পারবেন।

∴ নির্ণেয় ভোট দেয়ার উপায় = 12C1 + 12C2 + 12C3
= 12 + 66 + 220
= 298
১,১১৪.
3 × nP4 = nP5 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 7
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 × nP4 = nP5 হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
3 × nP4 = nP5
⇒ 3 × n!/(n - 4)! = n!/(n - 5)!
⇒ 3 × n!/(n - 4)(n - 5)! = n!/(n - 5)!
⇒ 3/(n - 4)  = 1
⇒ n - 4 = 3
∴ n = 7
১,১১৫.
"QUESTION" শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে স্বরবর্ণ থাকবে?
  1. ক
    20140 টি
  2. খ
    20160 টি
  3. গ
    20210 টি
  4. ঘ
    20224 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "QUESTION" শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
"QUESTION" শব্দটিতে মোট বর্ণ = 8টি,
স্বরবর্ণ আছে = 4টি।
"QUESTION" শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা = 8! = 40320

1টি উপাদানের বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস/উপাদান সংখ্যা
= 40320/8
= 5040

∴ 4টি স্বরবর্ণ এর জন্য বিন্যাস = (5040 × 4) = 20160 টি

সুতরাং , 20160 টি বিন্যাসের শুরুতে স্বরবর্ণ থাকবে।
১,১১৬.
একটি বাস্কেটবল টুর্নামেন্টে 9 টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে, মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?
  1. ক
    18
  2. খ
    24
  3. গ
    36
  4. ঘ
    72
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাস্কেটবল টুর্নামেন্টে 9 টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে, মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

সমাধান:
9 টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সংখ্যা 1 টি করে খেলা খেলবে।

তাহলে,
মোট খেলা হবে = 9C2
= 36
১,১১৭.
যদি 5Pr = 2 × 6Pr - 1 হয়, তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 5Pr = 2 × 6Pr - 1 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
5Pr = 2 × 6Pr - 1
⇒ 5!/(5 - r)! = 2 × {6!/(6 - r + 1)!}
⇒ 5!/(5 - r)! = 2 × {6!/(7 - r)!}
⇒ 1/(5 - r)! = 2 × {6/(7 - r)!}
⇒ 1/(5 - r)! = 12/(7 - r)!
⇒ (7 - r)! = 12(5 - r)!
⇒ (7 - r)(6 - r)(5 - r)! = 12(5 - r)!
⇒ (7 - r)(6 - r) = 12
⇒ 42 - 7r - 6r + r2 = 12
⇒ r2 - 13r + 30 = 0
⇒ (r - 10)(r - 3) = 0
∴ r = 10 অথবা r = 3

r এর মান n থেকে ছোট হতে হবে।
∴ r = 3
১,১১৮.
১৫ জন ছাত্র থেকে ৪ জন করে ছাত্র নিয়ে মোট কত উপায়ে দল গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ১৩৬৫
  2. খ
    ৬০
  3. গ
    ৩০
  4. ঘ
    ৩২৭৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫ জন ছাত্র থেকে ৪ জন করে ছাত্র নিয়ে মোট কত উপায়ে দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট দল গঠন করার উপায়= ১৫C৪ = ১৩৬৫
১,১১৯.
6 জন ছেলে এবং 4 জন মেয়ের একটি দল থেকে 4 জনকে নির্বাচন করতে হবে। কতগুলি ভিন্ন উপায়ে তাদের নির্বাচন করা যেতে পারে যাতে অন্তত দুইজন ছেলে থাকবে?
  1. ক
    ক) 165
  2. খ
    খ) 185
  3. গ
    গ) 175
  4. ঘ
    ঘ) 145
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  6 জন ছেলে এবং 4 জন মেয়ের একটি দল থেকে 4 জনকে নির্বাচন করতে হবে। কতগুলি ভিন্ন উপায়ে তাদের নির্বাচন করা যেতে পারে যাতে অন্তত দুইজন ছেলে থাকবে?

সমাধান: 

           ছেলে (6 জন)        মেয়ে (4 জন)
1)                2                             2
2)                3                             1
3)                4                             0

মোট উপায় =  (6C2 × 4C2) + (6C3  × 4C1) + (6C4 + 4C0)
                  =(90 + 80 + 15)
                  = 185
১,১২০.
৬ জন বালক ও ৩ জন বালিকা থেকে ৫ জন বালক ও ২ জন বালিকা বিশিষ্ট দল কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ৯
  2. খ
    ১৮
  3. গ
    ৫৫
  4. ঘ
    ১১০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬ জন বালক ও ৩ জন বালিকা থেকে ৫ জন বালক ও ২ জন বালিকা বিশিষ্ট দল কত উপায়ে গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৬ জন বালক থেকে ৫ জন বাচাই করা যায় ৬C৫ = ৬ উপায়ে
৩ জন বালিকা থেকে ২ জন বাচাই করা যায় ৩C২ = ৩ উপায়ে

∴ দল গঠন করার মোট উপায় = ৬ × ৩ = ১৮ উপায়ে
১,১২১.
BANKS শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    120
  2. খ
    90
  3. গ
    30
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: BANKS শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
BANKS শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন।

∴ সাজানোর উপায় = 5!
= 120
১,১২২.
কত প্রকারে ৫২ খানা তাস ৪ ব্যক্তির মধ্যে সমান ভাবে ভাগ করা যায়?
  1. ক
    ক) ৫২/(১৩!)৪
  2. খ
    খ) ৫২!/(১৩!)৪
  3. গ
    গ) ৫২!/(১৩)৪
  4. ঘ
    ঘ) ৫২!/৪!
ব্যাখ্যা

মোট বস্তু = ৫২, ভাগ সংখ্যা = ৪
প্রতি ভাগে বস্তুর সংখ্যা = ৫২/৪ = ১৩
আমরা জানি, বিন্যাস = (মোট বস্তু!)/(প্রতি ভাগে বস্তুর সংখ্যা!)ভাগ সংখ্যা
∴ বিন্যাস = (৫২)!/(১৩!)৪

১,১২৩.
১৩টি পুস্তক থেকে ৫টি পুস্তককে কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    ক) ১৫৫
  2. খ
    খ) ২৫০
  3. গ
    গ) ১৬৫
  4. ঘ
    ঘ) ২৫২
ব্যাখ্যা

যেহেতু, ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সেহেতু পুস্তক বাকি থাকে (১৩-২)বা ১১ টি এবং ৫ টি থেকে বাছাই করতে হবে (৫-২) বা ৩ টি।
তাহলে, ১১ টি পুস্তক থেকে ৩ টি পুস্তক বাছাই করার সংখ্যা
11C3 = 11!/3!(11-3)!
= 11!/3!8!
= 11.10.9.8!/3.2.8!
= 165

১,১২৪.
একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় ৪৩৫টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?
  1. ক
    ২৫ জন
  2. খ
    ৩০ জন
  3. গ
    ৩৫ জন
  4. ঘ
    ৪০ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় ৪৩৫টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?

সমাধান:
আমরা জানি করমর্দন দুইজনের মাঝে সংঘটিত হয়।
ধরি,
সভায় লোকের সংখ্যা n জন

∴ nC2 = 435
⇒ n!/{2! ×(n - 2)!} = 435
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2! ×(n - 2)!} = 435
⇒ n(n - 1)/2 = 435
⇒ n2 - n = 870
⇒ n2 - n - 870 = 0
⇒ n2 - 30n + 29n - 870 = 0
⇒ n(n - 30) + 29(n - 30) = 0
⇒ (n - 30)(n + 29) = 0
⇒ n - 30 = 0 অথবা n + 29 = 0
∴ n = 30 অথবা n = - 29
ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ n = 30

∴ সভায় মোট লোক ছিল ৩০ জন।
১,১২৫.
এক ব্যক্তি রিক্সা ভাড়া প্রদানের জন্য তার ছেলেকে ৫০ টাকা ও ২০ টাকার নোট হিসাবে মোট ৫১০ টাকা প্রদান করলো। কত প্রকারে নোট প্রদান করা যাবে?
  1. ক
    ৯ প্রকার
  2. খ
    ৪ প্রকার
  3. গ
    ৫ প্রকার
  4. ঘ
    ৮ প্রকার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক ব্যক্তি রিক্সা ভাড়া প্রদানের জন্য তার ছেলেকে ৫০ টাকা ও ২০ টাকার নোট হিসাবে মোট ৫১০ টাকা প্রদান করলো। কত প্রকারে নোট প্রদান করা যাবে?

সমাধান:
৫০ টাকার নোট                       ২০ টাকার নোট                                  মোট
____________________________________________________________________________________________________________
৯                                             ৩                                                     ৫০ × ৯ + ২০ × ৩ = ৪৫০ + ৬০ = ৫১০
৭                                             ৮                                                     ৫০ × ৭ + ২০ × ৮ = ৩৫০ + ১৬০ = ৫১০
৫                                             ১৩                                                   ৫০ × ৫ + ২০ × ১৩ = ২৫০ + ২৬০ = ৫১০
৩                                             ১৮                                                   ৫০ × ৩ + ২০ × ১৮ = ১৫০ + ৩৬০ = ৫১০
১                                             ২৩                                                   ৫০ × ১ + ২০ × ২৩ = ৫০ + ৪৬০ = ৫১০

∴ এই ৫ প্রকারে প্রদান করা যায়।
১,১২৬.
CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    ১২
  2. খ
    ৬
  3. গ
    ৩
  4. ঘ
    ২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান: 
'America' শব্দটিতে মোট ৭টি বর্ণ আছে যাদের ২ টি A
'America' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে সাজানো সংখ্যা = ৭!/২!
= ২৫২০
'Calcutta' শব্দটিতে মোট ৮টি বর্ণ আছে যাদের ২টি C, ২টি A ,২টি T আছে
'Calcutta' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে সাজানো সংখ্যা = ৮!/২!২!২!
= ২ × ২৫২০
= ৫০৪০
১,১২৭.
'JUPITER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ৬৪০
  2. খ
    ১২৮০
  3. গ
    ৮৪০
  4. ঘ
    ৭২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'JUPITER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান: 
'JUPITER'  শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
Vowel আছে 3টি 
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel  তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3! 
=120 × 6 
= 720
১,১২৮.
SCIENCE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে সব কয়টি বর্ণকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    ৯০
  2. খ
    ১২০
  3. গ
    ১৮০
  4. ঘ
    ২২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: SCIENCE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে সব কয়টি বর্ণকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
SCIENCE - শব্দটিতে,
মোট বর্ণ ৭টি, যার মধ্যে ৩টি স্বরবর্ণ।
স্বরবর্ণগুলোকে একটি ধরে,
মোট ৫টি বর্ণ সাজানোর উপায় সংখ্যা = ৫!/২! (C দুটি)
= ৬০

আবার,
স্বরবর্ণ ৩টি কে সাজানোর উপায় = ৩!/২! (E দুটি)
= ৩
∴ মোট সাজানোর উপায় সংখ্যা = ৬০ × ৩ = ১৮০
১,১২৯.
'AMERICA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    ক) ২
  2. খ
    খ) ৪
  3. গ
    গ) ১২
  4. ঘ
    ঘ) ২১
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'AMERICA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
AMERICA শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি যার মধ্যে, A আছে 2 টি।
∴ AMERICA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 5040/2 = 2520

CANADA শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে, A আছে 3 টি।
∴ CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3! = 720/6 = 120

∴ 'AMERICA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 2520/120 = 21 গুণ।
১,১৩০.
7 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলা থেকে 4 জনের একটি কমিটি এমনভাবে গঠন করা হলো যাতে ন্যূনতম 2 জন মহিলা থাকে। মোট কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) 150
  2. খ
    খ) 155
  3. গ
    গ) 200
  4. ঘ
    ঘ) 210
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলা থেকে 4 জনের একটি কমিটি এমনভাবে গঠন করা হলো যাতে ন্যূনতম 2 জন মহিলা থাকে।
মোট কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান: 
4 জনের কমিটিতে,

2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলাকে 7c2 × 4c2 = 126 উপায়ে সাজানো যাবে। 
1 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলাকে 7c1 × 4c3 = 28 উপায়ে সাজানো যাবে।
 শুধুমাত্র 4 জন মহিলাকে 4c4 = 1 উপায়ে সাজানো যাবে।

∴ মোট = 126 + 28 + 1 = 155 প্রকারে গঠন করা যাবে।
১,১৩১.
একটি ক্লাসের ৯ জন ছাত্রের মধ্যে থেকে সভাপতি এবং সম্পাদক বাছাই করতে হলে কতভাবে এই নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ৩৬
  2. খ
    ৭২
  3. গ
    ৮১
  4. ঘ
    ১৭
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ক্লাসের ৯ জন ছাত্রের মধ্যে থেকে সভাপতি এবং সম্পাদক বাছাই করতে হলে কতভাবে এই নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
৯ জন ছাত্র থেকে সভাপতি নির্বাচন করার উপায় ৯C১ = ৯
বাকি (৯ - ১) = ৮ জন ছাত্র থেকে সম্পাদক নির্বাচন করার উপায় ৮C১ = ৮

∴ মোট বাছাই করার উপায় = ৯ × ৮ = ৭২
১,১৩২.
nC4 / nC5 = ?
  1. ক
    ক) (n - 4)/5
  2. খ
    খ) 5/(n - 4)
  3. গ
    গ) 4/(n - 5)
  4. ঘ
    ঘ) 5/(n - 5)
ব্যাখ্যা
nC4 / nC5 = 5/(n - 4)

nC4 / nC5
= n!/4!(n - 4)! × 5!(n - 5)!/n!
= 5!(n - 5)!/4!(n - 4)!
= 5/(n - 4)
১,১৩৩.
n+1cr + n+1cr+1 = ?
  1. ক
    ক) n+1cr
  2. খ
    খ) n+2cr
  3. গ
    গ) n+1cr+1
  4. ঘ
    ঘ) n+2cr+1
ব্যাখ্যা

ncr + ncr-1 = n+1cr  .............(1)
(1) নং -এ n এর পরিবর্তে n+1 এবং r এর পরিবর্তে r+1 বসিয়ে পাই 
n+1cr+1 + n+1cr = n+2cr+1

১,১৩৪.
MATHEMATICS শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 10080
  2. খ
    খ) 120960
  3. গ
    গ) 560120
  4. ঘ
    ঘ) 152871
ব্যাখ্যা

MATHEMATICS শব্দটির মধ্যে মোট 11 টি বর্ণ আছে যার মধ্যে 4টি স্বরবর্ণ।
4 টি স্বরবর্ণের মধ্যে আবার 2 টি a আছে।
স্বরবর্ণগুলোকে একটি বর্ণ বিবেচনা করলে বর্ণ সংখ্যা হয় 8 টি।
∴ সাজানো সংখ্যা 8! / 2!2! = 10080
4 টি স্বরবর্ণকে আবার নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় 4! / 2! = 12 প্রকারে।
∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো সংখ্যা = 10080 × 12 = 120960

১,১৩৫.
স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে "EDUCATION" শব্দকে কতভাবে সাজানো যায়?
  1. ক
    2880
  2. খ
    2490
  3. গ
    1880
  4. ঘ
    3020
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে "EDUCATION" শব্দকে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
এখানে মোট বর্ণ আছে 9টি
স্বরবর্ণ আছে (A, E, I, O, U ) 5টি এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।

স্বরবর্ণ 5টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! =120
বাকি 4টি বর্ণ 4টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 120 × 24 = 2880
১,১৩৬.
একটি পরীক্ষায় মোট ৬টি বিষয়ের উপর পরীক্ষা হয়। কোন পরীক্ষার্থী সেই পরীক্ষায় কত উপায়ে ফেল করতে পারবে?
  1. ক
    ৪৮
  2. খ
    ৫২
  3. গ
    ৫৫
  4. ঘ
    ৬৩
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় মোট ৬টি বিষয়ের উপর পরীক্ষা হয়। কোন পরীক্ষার্থী সেই পরীক্ষায় কত উপায়ে ফেল করতে পারবে?

সমাধান:
পরিক্ষার্থী পরীক্ষায় ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬ এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যক উপায়ে ফেল করতে পারে।

∴ মোট ফেলের উপায় = ৬C১ + ৬C২ + ৬C৩ + ৬C৪ + ৬C৫ + ৬C৬
= (৬ + ১৫ + ২০ + ১৫ + ৬ + ১)
= ৬৩
১,১৩৭.
3, 4, 6, 8 এবং 9 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে চার অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    360
  2. খ
    240
  3. গ
    120
  4. ঘ
    90
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3, 4, 6, 8 এবং 9 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে চার অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:  
মোট অংক 5টি।
প্রতিবার 4টি অংক নিয়ে গঠনকৃত সংখ্যা = 5P4
= 120
১,১৩৮.
'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'DEGREE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    ক) 3 গুণ
  2. খ
    খ) 4 গুণ
  3. গ
    গ) 5 গুণ
  4. ঘ
    ঘ) 2 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'DEGREE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
COPPER শব্দে 6টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 1টি C, 2টি P, 1টি O, 1টি E এবং 1টি R আছে।

 শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2!
= 720/2
= 360 উপায়ে৷


DEGREE শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে, E আছে 3 টি।
∴ DEGREE শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3! = 720/6 = 120

∴ 'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'DEGREE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 360/120 = 3 গুণ।
১,১৩৯.
প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার নিয়ে 1, 2, 3, 4, 5, 6 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 120
  3. গ
    গ) 160
  4. ঘ
    ঘ) 180
ব্যাখ্যা
যেহেতু অঙ্কগুলো ভিন্ন ভিন্ন
তাই ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যায়
= 6P3 টি
= 6!/3! টি 
= 120 টি 
১,১৪০.
একজন চেয়ারম্যান, দুইজন ভাইস চেয়ারম্যান ও 10 জন অন্যান্য সদস্য নিয়ে কোনো একটি পরিষদ গঠিত। একজন চেয়ারম্যান ও কেবল একজন ভাইস চেয়ারম্যানকে সর্বদা অন্তর্ভুক্ত রেখে 5 জনের কতগুলো বিভিন্ন কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) 220
  2. খ
    খ) 260
  3. গ
    গ) 280
  4. ঘ
    ঘ) 240
ব্যাখ্যা

নিম্নে বর্ণিত উপায়ে কমিটিটি গঠন করা যেতে পারেঃ
1 জন চে. ----- 2 জন ভাইস চে. ---- 10 জন সদস্য
1 ------------ 1 ---------------- 3
সুতরাং নির্ণেয় কমিটি গঠনের সংখ্যা = 1C1 × 2C1 × 10C3
= 1 × 2 × 10!/{3! × (10-3)!}
= 1 × 2 × (10 × 9 × 8 × 7! ÷ 3! × 7!)
= 2 × 120
= 240

১,১৪১.
একটি বোর্ড মিটিং-এ 7 জন সদস্য উপস্থিত ছিলেন। মিটিং এর শুরুতে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলেন। মোট হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?
  1. ক
    15
  2. খ
    16
  3. গ
    19
  4. ঘ
    21
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বোর্ড মিটিং-এ 7 জন সদস্য উপস্থিত ছিলেন। মিটিং এর শুরুতে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলেন। মোট হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
লোক সংখ্যা, n = 7 জন
∴ হ্যান্ডশেকের সংখ্যা = nC2
= 7C2 
= 7!/{2!(7 - 2)!}
= 7!/(2! · 5!)
= (7 · 6 · 5!)/(2 · 5!)
= 21
১,১৪২.
প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার  নিয়ে 1, 8, 3, 6, 4, 2 অংকগুলো দ্বারা তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে? 
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 120
  3. গ
    গ) 140
  4. ঘ
    ঘ) 130
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত অংকগুলো 1, 8, 3, 6, 4, 2 যা ভিন্ন ভিন্ন 

নির্ণেয় সংখ্যা  = 6P3 = 120
১,১৪৩.
2, 5, 6, 7 এবং 8 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে চার অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) 90
  2. খ
    খ) 120
  3. গ
    গ) 240
  4. ঘ
    ঘ) 360
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2, 5, 6, 7 এবং 8 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে চার অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?


সমাধান:  
মোট অংক 5টি।
প্রতিবার 4টি অংক নিয়ে গঠনকৃত সংখ্যা = 5P4
= 120
১,১৪৪.
'ARCHIVE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    480
  2. খ
    720
  3. গ
    1020
  4. ঘ
    1080
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'ARCHIVE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
ARCHIVE শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি, Vowel আছে 3টি।
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel তিনটি সাজানো যায় = 3! 
∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3!
= 120 × 6
= 720
১,১৪৫.
একটি অফিসের 4 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলা কর্মচারীকে একটি সারিতে কতভাবে বসানো যায় যেখানে 4 জন পুরুষ কর্মচারী সর্বদা পাশাপাশি থাকবে?
  1. ক
    2854
  2. খ
    3426
  3. গ
    2924
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অফিসের 4 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলা কর্মচারীকে একটি সারিতে কতভাবে বসানো যায় যেখানে 4 জন পুরুষ কর্মচারী সর্বদা পাশাপাশি থাকবে?

সমাধান:
মোট কর্মচারী = (4 + 3) = 7 জন
4 জন পুরুষ কর্মচারী একত্রে থাকলে তাদেরকে একটি ইউনিট হিসেবে ধরলে মোট সংখ্যা = (1 + 3) জন
= 4 জন

4 জনকে বসানো যায় = 4!
4 জন পুরুষ কর্মচারীকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 4!
3 জন মহিলা কর্মচারীকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3!
সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা = 4! × 4! × 3!
= 24 × 24 × 6
= 3456
১,১৪৬.
7 টি ভিন্ন ধরনের পাথর কত রকমের একটি ব্যান্ডে লাগিয়ে একটি হার তৈরি করা যায়?
  1. ক
    ক) 360
  2. খ
    খ) 2520
  3. গ
    গ) 5040
  4. ঘ
    ঘ) 720
ব্যাখ্যা

একটি স্থির ধরে 7 টির সবগুলো নিয়ে চক্রবিন্যাস (7-1)! = 6!
যেহেতু বামাবার্তে এবং ডানাবার্তে একই হয় তবে বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2 = 360

১,১৪৭.
'ENGINEER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    240
  2. খ
    720
  3. গ
    380
  4. ঘ
    620
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ENGINEER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'ENGINEER' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যার মধ্যে Vowel আছে 4টি (তবে E আছে তিনটি)।
Vowel চারটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5টি (যার মধ্যে n আছে দুইটি)

∴ 5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!/2! = 120/2 = 60
Vowel চারটিকে সাজানো যায় = 4!/3! = 4

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 60 × 4 = 240

১,১৪৮.
একজন পরীক্ষার্থীকে 15 টি প্রশ্ন থেকে 8 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। এর মধ্যে তাকে প্রথম 6 টি থেকে 5 টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলি বাছাই করতে হবে?
  1. ক
    ক) 304
  2. খ
    খ) 216
  3. গ
    গ) 604
  4. ঘ
    ঘ) 504
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন পরীক্ষার্থীকে 15 টি প্রশ্ন থেকে 8 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। এর মধ্যে তাকে প্রথম 6 টি থেকে 5 টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলি বাছাই করতে হবে?

সমাধান: 
প্রথম 6 টি থেকে 5 টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে
প্রথম 6 টি থেকে 5 টি প্রশ্ন বাছাই করার উপায় = 6C5 = 6

বাকি 9 টি থেকে 3 টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে
9 টি থেকে 3 টি প্রশ্ন বাছাই করার উপায় =  9C3 = 84

মোট প্রশ্ন বাছাই করার উপায় =  6 × 84 = 504
১,১৪৯.
5 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলার মধ্যে থেকে কমপক্ষে একজন মহিলার সমন্বয়ে 4 জনের একটি কমিটি কত পদ্ধতিতে করা যেতে পারে?
  1. ক
    60
  2. খ
    65
  3. গ
    70
  4. ঘ
    75
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলার মধ্যে থেকে কমপক্ষে একজন মহিলার সমন্বয়ে 4 জনের একটি কমিটি কত পদ্ধতিতে করা যেতে পারে?

সমাধান:
5 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা।
ন্যূনতম 1 জন মহিলা সম্বলিত কমিটি গঠনের পদ্ধতির সংখ্যা
3 পুরুষ এবং 1 মহিলা + 2 পুরুষ এবং 2 মহিলা + 1 পুরুষ এবং 3 মহিলা
= 5C3 × 3C1 + 5C2 × 3C2 + 5C1 × 3C3
= 10 × 3 + 10 × 3 + 5 × 1
= 30 + 30 + 5
= 65
১,১৫০.
13টি পুস্তক থেকে 6টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 3টি পুস্তক সর্বদাই অন্তুর্ভুক্ত থাকে? 
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 140
  3. গ
    গ) 160
  4. ঘ
    ঘ) 180
ব্যাখ্যা
বাছাই সংখ্যা =13 - 3C6 - 3
                    = 10C3
                      = 120
১,১৫১.
৭ জন বালক ও ৩ জন বালিকা থেকে ৬ জন বালক ও ২ জন বালিকা বিশিষ্ট দল কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ৫০
  2. খ
    ১২০
  3. গ
    ২১
  4. ঘ
    ২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন বালক ও ৩ জন বালিকা থেকে ৬ জন বালক ও ২ জন বালিকা বিশিষ্ট দল কত উপায়ে গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৭ জন বালক থেকে ৬ জন বাচাই করা যায় ৭C৬ = ৭ উপায়ে
৩ জন বালিকা থেকে ২ জন বাচাই করা যায় ৩C২ = ৩ উপায়ে

∴ দল গঠন করার মোট উপায় = ৭ × ৩ = ২১ উপায়ে
১,১৫২.
একটি প্রশ্নপত্রে ক বিভাগ ও খ বিভাগের প্রত্যেকটিতে  5 টি করে মোট 10 টি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী কোনো বিভাগ থেকে 4 টির বেশি প্রশ্ন না নিয়ে মোট 6 টি প্রশ্ন কত উপায়ে বাছাই করতে পারবে? 
  1. ক
    120
  2. খ
    180
  3. গ
    200
  4. ঘ
    360
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি প্রশ্নপত্রে ক বিভাগ ও খ বিভাগের প্রত্যেকটিতে  5 টি করে মোট 10 টি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী কোনো বিভাগ থেকে 4 টির বেশি প্রশ্ন না নিয়ে মোট 6 টি প্রশ্ন কত উপায়ে বাছাই করতে পারবে? 

সমাধান: 
6 টি প্রশ্ন বাছাই করার ক্ষেত্রে, 
(i) ক বিভাগ হতে 2 টি ও খ বিভাগ হতে 4 টি 
(ii) ক বিভাগ হতে 3 টি ও খ বিভাগ হতে 3 টি
(iii) ক বিভাগ হতে 4 টি ও খ বিভাগ হতে 2টি প্রশ্ন বাছাই করতে পারবে। 

(i) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = 5C2 × 5C4
= 10 × 5
= 50 
আবার, 
(ii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = 5C3 × 5C3
= 10 × 10
= 100 
অনুরূপভাবে, 
(iii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = 5C4 × 5C2
= 5 × 10
= 50

∴ বাছাই করার মোট উপায় = 50 + 100 + 50
= 200  ।
১,১৫৩.
চারটি ফুটবল খেলার ফলাফল কত উপায়ে হতে পারে?
  1. ক
    81
  2. খ
    4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    96
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চারটি ফুটবল খেলার ফলাফল কত উপায়ে হতে পারে?

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্য:
প্রতিটি ফুটবল খেলার ফলাফল হতে পারে:
জয় (W),
হার (L),
ড্র (D)

প্রতিটি খেলার জন্য ৩টি ফলাফল হতে পারে 
∴ প্রতিটি খেলায় ৩টি ফলাফল হলে, চারটি খেলায়:
3 × 3 × 3 × 3 = 34 = 81

∴ চারটি ফুটবল খেলার ফলাফল 81 উপায়ে হতে পারে।

১,১৫৪.
'EQUATION' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে যেখানে A, N থাকবে না?
  1. ক
    180
  2. খ
    120
  3. গ
    60
  4. ঘ
    240
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'EQUATION' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে যেখানে A, N থাকবে না?

সমাধান:
EQUATION শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি।
যেহেতু, A, N থাকবেনা মোট বর্ণ হবে 6টি

∴ প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 6P3
= 120
১,১৫৫.
5 টি স্বরবর্ণ হতে অন্তত একটি স্বরবর্ণ বাছাই করা যায় কত উপায়ে?
  1. ক
    ক) 29
  2. খ
    খ) 30
  3. গ
    গ) 31
  4. ঘ
    ঘ) 32
ব্যাখ্যা

5 টি স্বরবর্ণ হতে অন্তত একটি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = 25 - 1 = 31

১,১৫৬.
SMART শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    24 উপায়ে
  2. খ
    64 উপায়ে
  3. গ
    120 উপায়ে
  4. ঘ
    720 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: SMART শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
বিন্যাস সংখ্যা = 5p5
= 120
১,১৫৭.
6 জন গণিত ও 4 জন পদার্থ বিজ্ঞান এর ছাত্র থেকে 6 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। যাতে গণিতের ছাত্রদের সংখ্যা গরিষ্ঠতা থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) 90
  2. খ
    খ) 24
  3. গ
    গ) 114
  4. ঘ
    ঘ) 115
ব্যাখ্যা
কমিটি গঠনের উপায়
= 6C6 × 4C0 + 6C5 × 4C1 + 6C4 × 4C2
=(1 × 1) + (6 × 4) + (15 × 6)
= 1 + 24 + 90
= 115
১,১৫৮.
একটি দাবা খেলার প্রতিযোগিতায় ৩ জন প্রতিযোগির প্রত্যেকে অন্য একজন খেলোয়াড়ের সাথে একবার মাত্র খেলবে। সর্বমোট কতগুলো খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
  1. ক
    ক) ২ বার
  2. খ
    খ) ৩ বার
  3. গ
    গ) ৬ বার
  4. ঘ
    ঘ) ৯ বার
ব্যাখ্যা
যেহেতু প্রত্যেক খেলোয়াড় অন্য খেলোয়াড়ের সাথে সর্বোচ্চ একবার খেলবে সুতরাং সর্বমোট খেলা সংখ্যা 3C2 = 3
১,১৫৯.
1, 3, 4, 6, 7, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    300
  2. খ
    720
  3. গ
    360
  4. ঘ
    180
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1, 3, 4, 6, 7, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 6 টি।

4 অঙ্কবিশিষ্ট  সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= 6P4
= (6!)/(6 - 4)!
= 6!/2!
= 720/2
= 360

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 360 টি।

১,১৬০.
একটি ক্লাসের ১০ জন শিক্ষার্থীর মধ্য থেকে প্রতিবার ৪ জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে ২ জন ছাত্রী কোন কমিটিতে থাকবেনা?
  1. ক
    ক) ২১০
  2. খ
    খ) ২৮
  3. গ
    গ) ৭০
  4. ঘ
    ঘ) ১৬৮০
ব্যাখ্যা

২ জনকে সর্বদা বাদ দিয়ে ৪ জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= (১০ - ২)c৪
= ৭০

১,১৬১.
5 টি পোস্ট বাক্সে 4 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?
  1. ক
    256
  2. খ
    625
  3. গ
    1024
  4. ঘ
    1296
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 টি পোস্ট বাক্সে 4 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা, n = 5
চিঠির সংখ্যা, r = 4
∴ চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)চিঠি 
= nr
= 54
= 625 টি উপায়ে 

১,১৬২.
Equation শব্দটির সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে কতগুলো শব্দ তৈরি করা যায় নির্ণয় করুন।
  1. ক
    1
  2. খ
    8
  3. গ
    64
  4. ঘ
    40320
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: Equation শব্দটির সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে কতগুলো শব্দ তৈরি করা যায় নির্ণয় করুন।

সমাধান:
Equation শব্দটিতে 8 টি অক্ষর আছে।
এখন 8 টি অক্ষরের সবকয়টি একত্রে নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে 8P8 = 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40,320
১,১৬৩.
'ALGEBRA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ১২০
  2. খ
    ৩৬০
  3. গ
    ৭২০
  4. ঘ
    ১৪৪০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'ALGEBRA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'ALGEBRA' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি
Vowel আছে 3টি
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় = 3!/2! = 3 [A আছে ২টি]

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3
= 120 × 3
= 360
১,১৬৪.
'DETAIL' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো বিজোড় অবস্থানে থাকে?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 36
  3. গ
    গ) 120
  4. ঘ
    ঘ) 72
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- 'DETAIL' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো বিজোড় অবস্থানে থাকে?

সমাধান-
এখানে মোট বর্ণ আছে 6 টি স্বরবর্ণ আছে 3 টি এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।

স্বরবর্ণ 3 টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3P3 = 6
বাকি বর্ণগুলো 3 টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3P3 = 6

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6 = 36
১,১৬৫.
'ADMISSION' শব্দটির M ও N কে দুই প্রান্তে রেখে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 2520
  2. খ
    খ) 2820
  3. গ
    গ) 2620
  4. ঘ
    ঘ) 1260
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'ADMISSION' শব্দটির M ও N কে দুই প্রান্তে রেখে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
“ADMISSION" শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে 9টি
যার মধ্যে 2টি I এবং 2টি S বিদ্যমান।

M ও N কে বাদ দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!) = 1260
আবার, 
M ও N কে নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = 2! = 2

∴ মোট সাজানো সংখ্যা = (1260 × 2)
= 2520
১,১৬৬.
"SCHOOLS" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "SUCCESS" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: "SCHOOLS" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "SUCCESS" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
SCHOOLS শব্দটির বর্ণ সংখ্যা = 7
S দুইবার, O দুইবার আছে, বাকিগুলো একবার করে।
∴ মোট বিন্যাস = 7!/(2! × 2!)
= 5040/4
= 1260 

SUCCESS শব্দটির বর্ণ সংখ্যা = 7
S তিনবার, C দুইবার আছে, বাকিগুলো একবার করে।
∴ মোট বিন্যাস = 7!/(3! × 2!)
= 5040/(6 × 2)
= 5040/12
= 420

∴ অনুপাত = 1260/420= 3

অতএব, "SCHOOLS" শব্দটির বর্ণগুলোর বিন্যাস সংখ্যা "SUCCESS" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 3 গুণ।

১,১৬৭.
CONIC শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    24
  2. খ
    40
  3. গ
    60
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: CONIC শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
CONIC শব্দটিতে 5টি অক্ষর রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি C বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = 60
১,১৬৮.
'EQUATION' শব্দটির অক্ষর গুলো থেকে চার অক্ষরবিশিষ্ট বিভিন্ন শব্দ গঠন হলে এদের কতগুলোতে Q থাকবে কিন্তু N থাকবে না?
  1. ক
    480
  2. খ
    140
  3. গ
    184
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'EQUATION' শব্দটির অক্ষর গুলো থেকে চার অক্ষরবিশিষ্ট বিভিন্ন শব্দ গঠন হলে এদের কতগুলোতে Q থাকবে কিন্তু N থাকবে না?

সমাধান: 
'EQUATION' শব্দটিতে ৪টি বিভিন্ন বর্ণ রয়েছে।
যেহেতু গঠিত শব্দে N থাকবে না সুতরাং ব্যবহার্য বিভিন্ন বর্ণের মোট সংখ্যা (8 - 1) = 7 টি 
চার অক্ষরবিশিষ্ট শব্দের চারটি স্থানের একটি স্থান একটি নির্দিষ্ট বর্ণ Q দ্বারা পূরণ করার উপায়,
4P1 = 4

অবশিষ্ট 3টি স্থান (7 - 1) বা 6 টি বর্ণ দ্বারা পূরণ করার উপায় = 6P3 = 120

∴ নির্ণেয় শব্দ গঠনের উপায় = 4 × 120 = 480

১,১৬৯.
'GERMANY' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায় যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি করে স্বরবর্ণ  থাকে?
  1. ক
    ক) 360
  2. খ
    খ) 2280
  3. গ
    গ) 1440
  4. ঘ
    ঘ) 720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: `GERMANY' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায় যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি করে স্বরবর্ণ  থাকে?

সমাধান:
 `GERMANY' শব্দটিতে 7টি বর্ণ আছে, তন্মধ্যে স্বরবর্ণ 2টি হলো E ও A এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি করে স্বরবর্ণ  নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 2P1 × 6P6
= 2!/(2 -1)! × 6!/(6 -6)!
= 2 × 1 × 6!
= 2 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 1440
১,১৭০.
12 টি কলমের মধ্যে 3 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন। ঐ কলমগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?
  1. ক
    ক) 372
  2. খ
    খ) 384
  3. গ
    গ) 120
  4. ঘ
    ঘ) 196
ব্যাখ্যা
n টি জিনিসের মধ্যে p টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে r(r ≥ p) টি নিয়ে বাছাই করার উপায়
= n - pCr - 0 + n - pCr - 1 + n - pCr - 2 + ... ... ... + n - pCr - p [ i = 0, 1, 2, 3, ... ... ... p; যেখানে p ∈ N ]

অতএব, 12 টি কলমের মধ্যে 3 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন। ঐ কলমগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে বাছাই করার উপায়
= 12 - 3C5 - 0 + 12 - 3C5 - 1 + 12 - 3C5- 2 + 12 - 3C5 - 3 [ n = 12, p = 3, r = 5 ]
= 9C5 + 9C4 + 9C3 + 9C2
= 126 + 126 + 84 + 36
= 372
১,১৭১.
5 টি পোস্ট বাক্সে 7 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?
  1. ক
    75
  2. খ
    57
  3. গ
    77
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 টি পোস্ট বাক্সে 7 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 5 টি
চিঠির সংখ্যা r =7 টি

চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)চিঠি
= nr
= 57
১,১৭২.
একটি হল রুমের ৫টি দরজা রয়েছে। আপনি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন?
  1. ক
    ২০
  2. খ
    ৯
  3. গ
    ১২০
  4. ঘ
    ৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি হল রুমের ৫টি দরজা রয়েছে। আপনি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন?
 
সমাধান:
যেহেতু অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে, তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকবে সে দরজা দিয়ে বের হতে পারবে না।
অর্থাৎ ঢুকার সময় দরজা সংখ্যা ৫টি এবং বের হওয়ার সময় দরজা সংখ্যা ৪টি।
∴ উপায় সংখ্যা ৫ × ৪ = ২০
১,১৭৩.
একজন শিক্ষার্থীকে ১২টি প্রশ্ন থেকে ৬টি প্রশ্নের উত্তর করতে হবে। প্রথম ৫টি থেকে ঠিক ৪টি প্রশ্ন বাছাই করে কত প্রকারে ৬টি প্রশ্ন উত্তর করা যাবে?
  1. ক
    ৮৪
  2. খ
    ১০৫
  3. গ
    ২১০
  4. ঘ
    ২১
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন শিক্ষার্থীকে ১২টি প্রশ্ন থেকে ৬টি প্রশ্নের উত্তর করতে হবে। প্রথম ৫টি থেকে ঠিক ৪টি প্রশ্ন বাছাই করে কত প্রকারে ৬টি প্রশ্ন উত্তর করা যাবে?

সমাধান:
পরীক্ষার্থীকে প্রথম ৫টি থেকে ৪টি এবং অবশিষ্ট (১২ - ৫) = ৭টি থেকে ২টি প্রশ্ন বাছাই করে উত্তর করতে হবে।

প্রথম ৫টি প্রশ্ন থেকে ৪টি বাছাই করা যায়, ৫C৪ = ৫!/৪!(৫ - ৪)! = ৫ উপায়ে
আবার,
৭টি থেকে ২টি বাছাই করা যায় ৭C২ = ৭!/২!(৭ - ২)! = (৭ × ৬ ×৫!)/(২ × ৫!) = ২১ উপায়ে।

∴ মোট প্রশ্ন বাছাই করা যায় = ৫ × ২১ = ১০৫ উপায়ে
১,১৭৪.
একজন পরীক্ষার্থীকে ১৪ টি প্রশ্নের মধ্যে ৬টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। তাকে প্রথম ৭ টি থেকে অবশ্যই ৪ টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারবে?
  1. ক
    ক) ৩৫২৮০
  2. খ
    খ) ৭৩৫
  3. গ
    গ) ৩০০৩
  4. ঘ
    ঘ) ৭৩০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন বাছাই করার উপায় ৭c৪ × ৭c২ = ৩৫ × ২১ = ৭৩৫

১,১৭৫.
15 জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    1001
  2. খ
    1365
  3. গ
    11
  4. ঘ
    286
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 15 জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
সর্বদা একজনকে নির্দিষ্ট রেখে 11 জনের দল বাছাই করার উপায়,
= 15 - 1C11 - 1
= 14C10
= 1001
১,১৭৬.
9 ব্যক্তির একটি দল দুটি যানবাহনে ভ্রমণ করবে, যার একটিতে 7 জনের বেশি এবং অন্যটিতে 4 জনের বেশি ধরে না। দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে?
  1. ক
    ক) 246
  2. খ
    খ) 256
  3. গ
    গ) 320
  4. ঘ
    ঘ) 380
ব্যাখ্যা

দলটির ভ্রমণ করার উপায় নিম্নে দেখান হলো-
প্রথম যানবাহন ------ দ্বিতীয় যানবাহন
(১) 7 -------------- 2
(২) 6 -------------- 3
(৩) 5 -------------- 4
সুতরাং ভ্রমণ করার উপায় = 9C7 + 9C6 + 9C5 = 9C2 + 9C3 + 9C4
= 36 + 84 + 126
= 246

১,১৭৭.
একটি গাড়িতে 2টি সামনের ও 3টি পেছনের সিট আছে। 5 জন যাত্রী মোট কতভাবে বসতে পারে?
  1. ক
    120
  2. খ
    140
  3. গ
    160
  4. ঘ
    180
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়িতে 2টি সামনের ও 3টি পেছনের সিট আছে। 5 জন যাত্রী মোট কতভাবে বসতে পারে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট যাত্রী = 5 জন
সামনের সিট = 2টি
পেছনের সিট = 3টি

∴ 5 জন থেকে 2 জন বেছে নেওয়ার উপায় = 5P2
 = 5!/(5 - 2)!
= (5 × 4 × 3!)/3!
= 20

বাকি 3 জনকে পেছনের 3 সিটে বসানোর উপায় = 3! = 6

∴ মোট বসানোর উপায় = 20 × 6 = 120

১,১৭৮.
8 জন ও 10 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 8 জনের দল থেকে কমপক্ষে 7 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে? 
  1. ক
    ক) 1200
  2. খ
    খ) 1350
  3. গ
    গ) 1680
  4. ঘ
    ঘ) 1800
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 জন ও 10 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 8 জনের দল থেকে কমপক্ষে 7 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে? 

সমাধান: 
১ম দল (8 জন)  ২য় দল(10জন)
১)     8                      3
২)    7                      4 

১) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 8C8 × 10C3 = 1 × 120 = 120
২)নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 8C7 × 10C4 = 8 × 210 = 1680

টিম গঠনের উপায় = 120 + 1680  = 1800
১,১৭৯.
একটি সভায় এ ১৬ জন ব্যক্তি উপস্থিত আছেন। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করমর্দন করলে মোট কতগুলো করমর্দনের ঘটনা ঘটবে?
  1. ক
    ১৬০
  2. খ
    ১৯৬
  3. গ
    ৬৬
  4. ঘ
    ১২৪
  5. ঙ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সভায় এ ১৬ জন ব্যক্তি উপস্থিত আছেন। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করমর্দন করলে মোট কতগুলো করমর্দনের ঘটনা ঘটবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রতি ২ জনে ১ টি করে করমর্দন হয়। 

সুতরাং,
মোট করমর্দনের সংখ্যা,
= ১৬C২
= ১৬!/{২! × (১৬ - ২)!}
= ১৬!/(২! × ১৪!)
= (১৬ × ১৫ × ১৪!)/(২! × ১৪!)
= (১৬ × ১৫)/২
= ১২০

১,১৮০.
PEOPLE শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?
  1. ক
    72
  2. খ
    98
  3. গ
    68
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: PEOPLE শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান:
PEOPLE শব্দটিতে মোট অক্ষর 6 টি যাদের মধ্যে 3 টি (E, O, E) স্বরবর্ণ এবং বাকী 3 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।

স্বরবর্ণগুলোকে একটি বর্ণ ধরে সাজানোর উপায় 4!/2! = 12 [P দুইটি]
আবার স্বরবর্ণগুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3!/2! = 3 উপায়ে [E দুইটি]

∴ সাজানোর মোট উপায় = 12 × 3
= 36
১,১৮১.
8টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 5টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?
  1. ক
    58300
  2. খ
    60780
  3. গ
    63900
  4. ঘ
    65450
  5. ঙ
    67200
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 5টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
8টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = 8C3 = 56
5টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = 5C2 = 10
∴ মোট বর্ণ বাছাই করার উপায় = (56 × 10)
= 560

এখন,
প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে 5টি এদের সাজানোর উপায় = 5!
= 120

সুতরাং, মোট শব্দ সংখ্যা = (560 × 120)
= 67200
১,১৮২.
30 জন ছাত্রের একটি শ্রেণি থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সাধারণ সম্পাদক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    720
  2. খ
    870
  3. গ
    960
  4. ঘ
    1020
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 30 জন ছাত্রের একটি শ্রেণি থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সাধারণ সম্পাদক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
প্রথমে 30 জন ছাত্র থেকে 1 জন সভাপতি নির্বাচন করা যায়,
= 30C1 
= 30

সভাপতি নির্বাচনের পর বাকি থাকে ২৯ জন।

∴ 29 জন থেকে 1 জন সাধারণ সম্পাদক নির্বাচন করা যায়,
= 29C1
= 29

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 30 × 29 = 870

১,১৮৩.
একটি পুনর্মিলনীতে ১৫ জন বন্ধু পরস্পরের সাথে পুনর্মিলনীর শুরু এবং শেষে করমর্দন করে। তাহলে মোট কত বার করমর্দন সম্পন্ন হয়?
  1. ক
    ২১০
  2. খ
    ১৩২
  3. গ
    ১৮০
  4. ঘ
    ২৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পুনর্মিলনীতে ১৫ জন বন্ধু পরস্পরের সাথে পুনর্মিলনীর শুরু এবং শেষে করমর্দন করে। তাহলে মোট কত বার করমর্দন সম্পন্ন হয়?

সমাধান:
প্রতি বন্ধু প্রতিটি অন্য বন্ধুর সাথে করমর্দন করবে।
যেহেতু করমর্দন করতে ২ জন বন্ধুর প্রয়োজন, তাই করমর্দন হবে,
= ১৫C২
= ১৫!/২!(১৫ - ২)!
= (১৫ × ১৪ × ১৩!​)/(২! × ১৩!)
= (১৫ × ১৪)/২
= ১০৫

যেহেতু, শুরু এবং শেষে করমর্দন করে, তাহলে মোট করমর্দনের সংখ্যা হবে = ১০৫ × ২ = ২১০ বার
১,১৮৪.
3টি আঙ্গুলে 5টি আংটি কত উপায়ে পরানো যেতে পারে? 
  1. ক
    ক) 125
  2. খ
    খ) 243
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3টি আঙ্গুলে 5টি আংটি কত উপায়ে পরানো যেতে পারে? 

সমাধান: 
এখানে,
আঙ্গুলের সংখ্যা n = 3
আংটির সংখ্যা r = 5

আংটিগুলো আঙ্গুলে পরানো যেতে পারে  =nr
                                                            = 35
১,১৮৫.
এক ব্যক্তির 12 জন বন্ধু আছে। তাদের মধ্যে 8 জন আত্মীয়। তিনি কত প্রকারে 7 জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে পারবেন যাদের মধ্যে 5 জন আত্মীয় থাকবে?
  1. ক
    ক) 336
  2. খ
    খ) 96
  3. গ
    গ) 564
  4. ঘ
    ঘ) 123
ব্যাখ্যা

8 জন আত্মীয় থেকে 5 কে ডাকা যায় = 8C5 = 56উপায়ে 
বাকী 4 থেকে 2 জন ডাকা যায়= 4C2 =6 উপায়ে
মোট ডাকা যায় = (56×6) = 336 উপায়ে

১,১৮৬.
BALLOON শব্দটির অক্ষরগুলো কত উপায়ে সাজানো যায় যেন স্বরবর্ণগুলো জোড় স্থান দখল করে?
  1. ক
    36 উপায়ে
  2. খ
    144 উপায়ে
  3. গ
    240 উপায়ে
  4. ঘ
    320 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: BALLOON শব্দটির অক্ষরগুলো কত উপায়ে সাজানো যায় যেন স্বরবর্ণগুলো জোড় স্থান দখল করে? 

সমাধান: 
BALLOON শব্দটিতে 7 টি অক্ষর আছে যার মধ্যে 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 3টি স্বরবর্ণ 
7 টি স্থানের মধ্যে 4 টি বিজোড় স্থান এবং 3 টি জোড় স্থান। 

এখন, 
3 টি স্বরবর্ণকে 3 টি জোড় স্থানে রেখে মোট উপায় = 3!/2! = 3 [ যেখানে, 0 দুইটি]
4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ 4 টি বিজোড় স্থানে রেখে মোট উয়ায় = 4!/2! = 12 

∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = (3 × 12) উপায়ে
= 36 উপায়ে।
১,১৮৭.
একটি প্রশ্নপত্রে ক বিভাগ, খ বিভাগ প্রতিটিতে 4টি করে মোট আটটি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী কোন বিভাগ থেকে 3টির বেশি প্রশ্ন না নিয়ে মোট 5টি প্রশ্ন কত উপায়ে বাছাই করতে পারবে?
  1. ক
    ক) 24
  2. খ
    খ) 576
  3. গ
    গ) 288
  4. ঘ
    ঘ) 48
ব্যাখ্যা

5টি প্রশ্ন বাছাই করার ক্ষেত্রে,
(i) ক বিভাগ হতে 2টি খ বিভাগ হতে 3টি
(ii) ক বিভাগ হতে 3টি খ বিভাগ হতে 2টি প্রশ্ন বাছাই করবে।
(i) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = 4c2 × 4c3
= 6 × 4 = 24
(ii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = 4c3 × 4c2
= 4 × 6 = 24
∴ বাছাই করার মোট উপায় = 24 + 24 = 48

১,১৮৮.
nPr = 240, এবং r = 2 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 14
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: nPr = 240, এবং r = 2 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
nPr = 240
⇒ nP2 = 240
⇒ n!/(n - 2)! = 240
⇒ {n (n - 1) (n - 2)!}/(n - 2)! = 240
⇒ n(n - 1) = 240
⇒ n2 - n - 240 = 0
⇒ n2 - 16n + 15n - 240 = 0
⇒ n (n - 16) + 15(n - 16) = 0
⇒ (n - 16) (n + 15) = 0

হয়, n - 16 = 0
বা, n = 16

অথবা,
n + 15 = 0
বা, n = - 15 [গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ n = 16
১,১৮৯.
৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে ২ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) ৫০
  2. খ
    খ) ৩৫
  3. গ
    গ) ৪০
  4. ঘ
    ঘ) ৩৯
ব্যাখ্যা
৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ৫C২ × ৪C৩
= ১০ × ৪
= ৪০
১,১৯০.
একটি পরীক্ষার প্রশ্নপত্রে দুটি বিভাগ রয়েছে, প্রতিটি বিভাগে ৪টি প্রশ্ন আছে। পরীক্ষার্থীকে ৫টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে, তবে কোনো এক বিভাগ থেকে সর্বাধিক ৩টি প্রশ্ন নির্বাচন করা যাবে। তাহলে কতভাবে ৫টি প্রশ্ন বাছাই করা সম্ভব?
  1. ক
    ৩২
  2. খ
    ৪৮
  3. গ
    ৫২
  4. ঘ
    ৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পরীক্ষার প্রশ্নপত্রে দুটি বিভাগ রয়েছে, প্রতিটি বিভাগে ৪টি প্রশ্ন আছে। পরীক্ষার্থীকে ৫টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে, তবে কোনো এক বিভাগ থেকে সর্বাধিক ৩টি প্রশ্ন নির্বাচন করা যাবে। তাহলে কতভাবে ৫টি প্রশ্ন বাছাই করা সম্ভব?

সমাধান:
৫ টি প্রশ্ন নিম্নলিখিত উপায়ে নির্বাচিত হতে পারে,

প্রথম গ্রুপ থেকে ২ টি প্রশ্ন এবং দ্বিতীয় গ্রুপ থেকে ৩ টি প্রশ্ন অথবা
প্রথম গ্রুপ থেকে ৩ টি প্রশ্ন এবং দ্বিতীয় গ্রুপ থেকে ২ টি প্রশ্ন।

= (৪C২ × ৪C৩) + (৪C৩ × ৪C২)
= ২৪ + ২৪
= ৪৮
১,১৯১.
4-xP2 = 6 হলে x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

4-xP2 = 6
(4-x)!/(4-x-2)! = 6
(4-x)(4-x-1)(4-x-2)!/(4-x-2)! = 6
(4-x)(4-x-1) = 6
16 – 8x + x² - 4 + x – 6 = 0
x² - 7x + 6 = 0
(x-6)(x-1) = 0
x = 6, 1
x = 6 হলে, (4-x) = 4- 6 = -2 ইহা ঋণাত্মক। এটা কখনো সম্ভব না। সেহেতু x এর মান হবে 1।

১,১৯২.
"PUBLIC" শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে স্বরবর্ণ থাকবে?
  1. ক
    120 টি
  2. খ
    180 টি
  3. গ
    240টি
  4. ঘ
    360 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "PUBLIC" শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
"PUBLIC" শব্দটিতে মোট বর্ণ = 6টি,
স্বরবর্ণ আছে = 2টি।
"PUBLIC" শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720

1টি উপাদানের বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস/উপাদান সংখ্যা
= 720/6!
= 120

∴ 2টি স্বরবর্ণ এর জন্য বিন্যাস = (120 × 2) = 240টি

সুতরাং , 240টি বিন্যাসের শুরুতে স্বরবর্ণ থাকবে ।
১,১৯৩.
Math Master এর পরের রাউন্ডে বিন্যাস আর সমাবেশ একসাথে হবে।
১) নিচের কোনটি ভুল?
  1. ক
    ক) nCr = n! / r!(n-r)!
  2. খ
    খ) (n-p)C(r-p)
  3. গ
    গ) n সংখ্যক জিনিস থেকে প্রত্যেকবার অন্তত একটি জিনিস নিয়ে গঠিত সমাবেশ সংখ্যা 2n
  4. ঘ
    ঘ) সবগুলোই ঠিক আছে, কোন ভুল নেই
ব্যাখ্যা
n সংখ্যক জিনিস থেকে প্রত্যেকবার অন্তত একটি জিনিস নিয়ে গঠিত সমাবেশ সংখ্যা 2n-1
১,১৯৪.
"COMPUTER" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "LAPTOP" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    108 গুণ
  2. খ
    126 গুণ
  3. গ
    112 গুণ
  4. ঘ
    98 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "COMPUTER" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "LAPTOP" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
"COMPUTER" শব্দে 8টি ভিন্ন অক্ষর রয়েছে।
∴ "COMPUTER" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 8! = 40320

আবার,
"LAPTOP" শব্দে 6টি বর্ণ আছে। যেখানে P দুটি 
∴ "LAPTOP" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2! = 360

∴ "COMPUTER" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "LAPTOP" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 40320/360 = 112 গুণ
১,১৯৫.
"MENTAL" শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে M সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?
  1. ক
    60 উপায়ে
  2. খ
    120 উপায়ে
  3. গ
    180 উপায়ে
  4. ঘ
    720 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "MENTAL" শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে M সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?

সমাধান:
"MENTAL" শব্দটিতে প্রথম অক্ষর Q ছাড়া আর বর্ণ আছে 5 টি এবং প্রত্যেকটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
5 টি ভিন্ন বর্ণকে সাজানর উপায় = 5!
= 120

সুতরাং, মোট 120 উপায়ে সাজানো যাবে।
১,১৯৬.
২০ সদস্যবিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে? 
  1. ক
    ক) ১৯০
  2. খ
    খ) ৭৬০
  3. গ
    গ) ২০
  4. ঘ
    ঘ) ৩৮০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২০ সদস্যবিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে? 

সমাধান: 
20 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 20C1 = 20 উপায়ে
19 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 19C1 =19 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 20 × 19 = 380
১,১৯৭.
একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় ৩০০টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?
  1. ক
    ২৪
  2. খ
    ২৫
  3. গ
    ৩০
  4. ঘ
    ৩৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় ৩০০টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?

সমাধান:
আমরা জানি করমর্দন দুইজনের মাঝে সংঘটিত হয়।
ধরি,
সভায় লোকের সংখ্যা n জন

∴ nC2 = 300
⇒ n!/{2! ×(n - 2)!} = 300
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2! ×(n - 2)!} = 300
⇒ n(n - 1)/2 = 300
⇒ n2 - n = 600
⇒ n2 - n - 600 = 0
⇒ n2 - 25n + 24n - 600 = 0
⇒ n(n - 25) + 24(n - 25) = 0
⇒ (n - 25)(n + 24) = 0
⇒ n - 25 = 0 অথবা n + 24 = 0
∴ n = 25 অথবা n = - 24
ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ n = 25

∴ সভায় মোট লোক ছিল ২৫ জন।
১,১৯৮.
0, 2, 3, 5, 7, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায়? 
  1. ক
    ক) 360
  2. খ
    খ) 220
  3. গ
    গ) 250
  4. ঘ
    ঘ) 300
ব্যাখ্যা
এখানে, 
মোট অঙ্ক সংখ্যা 6
6টি অঙ্ক থেকে 4টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত  সংখ্যা = 6P4 
                                                                    = 360
0 কে প্রথমে রেখে,
5টি অঙ্ক থেকে 3টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত  সংখ্যা = 5P3 
                                                                   = 5!/(5 - 3)!
                                                                   = 60 

অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায় = 360 - 60 = 300
১,১৯৯.
এক জন ছাত্রের কোন পরীক্ষায় 12টি প্রশ্ন হতে 7টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। তাকে প্রথম 5টি প্রশ্ন হতে ঠিক 3টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। কতভাবে সে প্রশ্নগুলোর উত্তর দিতে পারবে?
  1. ক
    250 উপায়ে
  2. খ
    350 উপায়ে
  3. গ
    400 উপায়ে
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক জন ছাত্রের কোন পরীক্ষায় 12টি প্রশ্ন হতে 7টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। তাকে প্রথম 5টি প্রশ্ন হতে ঠিক 3টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। কতভাবে সে প্রশ্নগুলোর উত্তর দিতে পারবে? 

সমাধান:
5টি প্রশ্ন থেকে 3টি প্রশ্ন বাছাই করা যায় = 5C3
∴7টি প্রশ্ন থেকে 4টি প্রশ্ন বাছাই করা যায় = 7C4
∴প্রশ্ন বাছাই করা যায়  = 5C3 × 7C4
= 10 × 35 উপায়ে
= 350 উপায়ে
১,২০০.
'GEOGRAPHY' শব্দের অক্ষরগুলোকে এমন কয়টি ভিন্ন উপায়ে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি সর্বদা একসাথে থাকে?
  1. ক
    2520
  2. খ
    2530
  3. গ
    15130
  4. ঘ
    15120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'GEOGRAPHY' শব্দের অক্ষরগুলোকে এমন কয়টি ভিন্ন উপায়ে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি সর্বদা একসাথে থাকে?

সমাধান:
'GEOGRAPHY' শব্দটিতে 9টি অক্ষর রয়েছে। এতে E, O, A স্বরবর্ণ রয়েছে এবং এই 3টি স্বরবর্ণকে সর্বদা একত্রে রাখতে হবে।
তাই এই 3টি স্বরবর্ণকে গোষ্ঠীবদ্ধ করা যেতে পারে এবং একটি একক অক্ষর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে; অর্থাৎ, GGRPHY(EOA)।

মনে করি
এই শব্দে 7টি অক্ষর আছে কিন্তু এই 7টি অক্ষরে 2 বার 'G' আসলেও বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন।
এখন, এই অক্ষর সাজানোর উপায় সংখ্যা = 7!/2! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520

3টি স্বরবর্ণ (EOA)-তে, সকল স্বরবর্ণ আলাদা এই স্বরবর্ণগুলি সাজানোর উপায় সংখ্যা = 3! = 3 × 2 × 1 = 6

এখন, উপায়ের সংখ্যা = 2520 × 6 = 15120